1. Diagramas Frecuenciales Respuesta en Frecuencia 2

Transcripción

1 04 a Diagramas Frecueciales.doc 1 1. Diagramas Frecueciales 1. Diagramas Frecueciales Respuesta e Frecuecia 1.. Presetació de la Respuesta e Frecuecia - Diagramas de Bode Caso Particular: el retardo de trasporte Gráfico aproximado de los diagramas de Bode 11

2 04 a Diagramas Frecueciales.doc Respuesta e Frecuecia La respuesta e régime permaete de u sistema a señales siusoidales e u rago de frecuecias es lo que se cooce como la respuesta e frecuecia del sistema. El iterés de tratar etradas siusoidales está e que la respuesta del sistema a estas señales cotiee iformació sobre la respuesta a señales más geerales. De hecho, toda señal periódica puede descompoerse e ua serie de seos y coseos, por el Teorema de Fourier. Coociedo la respuesta del sistema a las compoetes siusoidales de la señal de etrada, puede recostruirse por Fourier la señal de salida. x t X s G( s) y t Y s Si la plata es lieal y estable, la salida será ua seoide de igual frecuecia y de diferete amplitud y fase. Esta diferecia solo depede de la fució de trasferecia.

3 04 a Diagramas Frecueciales.doc 3 Sea la etrada: se x t X ωt = [1.1] ω X s + ω = X s [1.] Fució de trasferecia racioal G s Salida B( s) ( + )( + ) ( + ) B s = = A s s s s s s s 1 B s Y ( s) = G( s) X ( s) = X ( s) [1.4] As Si el sistema es estable Y s 1 = = [1.5] A s s + ω s+ jω s jω s+ s1 s+ s [1.3] B s ω X a a b b Salida temporal j t j t 1 ω ω st st 1 [1.6] y t = ae + ae + be + + b e

4 04 a Diagramas Frecueciales.doc 4 todos los térmios tederá a cero, excepto los dos primeros es decir jωt jωt y t = ae + ae [1.7] qué es a? ωx ωx XG a = G( s) ( s+ jω) = G( s) ( s+ jω) = ( s+ jω )( s jω ) j s + ω s= jω s= jω ω X a = G( s) ( s jω ) = s + ω s= jω XG j ( ω ) j la magitud compleja G ( jω ) se puede escribir j ( ω) ( ω) G j G j e φ [1.9] = [1.10] j ( ω) ( ω) G j = G j e φ [1.11] reemplazado ( jω ) [1.8]

5 04 a Diagramas Frecueciales.doc 5 ( ω) ( ω) ( ω) ( ω) XG j G j e e G j e e jωt XG j jωt y() t = e + e = X + j j j j j( ωt+ φ) j( ωt+ φ) e e = XG( jω ) j ( ω ) se( ω φ) se( ω φ) y t = X G j t+ = Y t+ [1.13] es ua seoide desfasada jφ jωt jφ jωt e dode, la relació de amplitudes de etrada y salida es el valor de la fució de trasferecia e esa frecuecia ( ω ) G j Y X ( jω ) ( jω ) = [1.14] e forma compleja ( ω ) G j Y X ( jω ) ( jω ) = [1.15] tedrá ua amplitud y ua fase [1.1]

6 04 a Diagramas Frecueciales.doc 6 Ejemplo 1.1. Sistema de Primer Orde G s K = Ts + 1, G jω = su amplitud es K ( ω ) = G j y su fase T ω ta K jtω + 1 [1.16] [1.17] φ = G jω = Tω [1.18] la salida es XK y t t T T ω () = se( ω ta ω ) para frecuecias bajas, la gaacia es aproximadamete K y el desfasaje casi ulo para grades frecuecias es casi ua hipérbola proporcioal a 1 ω y el desfasaje de 90 [1.19]

7 - Porqué la Respuesta e Frecuecia? - La forma más comú de iestabilidad es ua salida seoidal. - Da idea de lo que pasa co la plata e cada frecuecia - Hay muchas herramietas matemáticas para aalizar frecuecialmete u sistema - Está limitado a sistemas lieales ivariates e el tiempo 04 a Diagramas Frecueciales.doc 7

8 04 a Diagramas Frecueciales.doc Presetació de la Respuesta e Frecuecia - Diagramas de Bode Los diagramas de Bode cosiste de u par de gráficas: 1. La magitud G( jω ) versus la frecuecia agular ω.. La fase φ ( jω ), tambié como fució de ω. Los diagramas de Bode se suele graficar e ejes especiales: - El eje de abscisas es logarítmico e ω, es decir, lieal e log( ω ), dode el logaritmo es de base 10. Así se cosigue ua represetació compacta sobre u rago amplio de frecuecias. La uidad del eje es la década, es decir, la distacia etre ω y 10ω para cualquier valor de ω. - La magitud de la respuesta e frecuecia se mide e decibeles [db], es decir, uidades de 0log G( jω ). - La fase se mide e escala lieal e radiaes o grados.

9 04 a Diagramas Frecueciales.doc 9 - Ejemplo = G s s 18s ,06s+ 10,01 bode(tf([18 100],[ ])) [1.0] Bode Diagrams 0 From: U(1) 10 Phase (deg); Magitude (db) To: Y(1) Frequecy (rad/sec)

10 04 a Diagramas Frecueciales.doc Caso Particular: el retardo de trasporte j T ( ω) e ω G j = [1.1] Amplitud (o aporta ada): ( ω) cosω ω 1 0 G j = T jse T = = db [1.] Fase (varía liealmete co la frecuecia) ( ω) ω [ ] 57,3ω [ ] G j = T rad = T grad [1.3] bode(tf(1,1, 'IOdelay', 1.0)); 1 Bode Diagram Magitude (db) Phase (deg) Frequecy (rad/sec)

11 04 a Diagramas Frecueciales.doc Gráfico aproximado de los diagramas de Bode Los programas como MATLAB y SCILAB posee comados especiales para calcular y graficar diagramas de Bode. Si embargo, existe reglas muy simples que permite esbozar estos diagramas prácticamete si hacer cálculos. Dada la fució trasferecia G s = K s m i= 1 k i= 1 ( β s + 1) i ( α s+ 1) i [1.4] m 0log G jω = 0log K 0klog ω + 0log β jω + 1 0log α jω + 1 Por otro lado, la fase de G( jω ) resulta m π G( jω) = K k + β jω + 1 αi jω + 1 [1.6] i i= 1 i= 1 i i [1.5] i= 1 i= 1

12 04 a Diagramas Frecueciales.doc 1 Así vemos de estas ecuacioes que el diagrama de Bode de cualquier fució trasferecia puede obteerse sumado y restado magitudes (e db) y fases de factores simples. - K: tiee magitud y fase costates. El diagrama de magitud es ua líea horizotal e 0log Kdb y la fase es ua líea horizotal e 0rad (si K>0). - k s : e magitud es ua recta co pediete 0 db horizotal de 0dB e ω = 1. k, y fase dec kπ - α is + 1: puede aproximarse asitóticamete de la siguiete maera: - para αi jω 1, 0log αi jω + 1 0log 1 = 0db, es ua líea horizotal.. Cruza el eje - para αi jω 1, 0log αi jω + 1 0log αi jω db, recta de pediete 0 db dec que corta el eje de 0dB e ω = 1 (la asítota de alta frecuecia). α - Ua década por debajo de 1 la fase es α 0rad i 1 sigo α π rad α la fase es ( i ) i sigo α π para la fase e ω = 1. α da ( i ) 4 i. Ua década por arriba de. Uiedo ambos putos por ua líea recta i

13 04 a Diagramas Frecueciales.doc 13 α complejo, αi Re( αi) j Im( αi) α + correspode a la fase del úmero complejo 1 ω Im( α ) + jωre( α ) - Para i is 1 = +, la fase del diagrama de Bode del factor i i.

14 04 a Diagramas Frecueciales.doc 14 Ejemplo 1.. Ejemplo: s + 1 G( s) = s+ 4 s+ 8 s+ 10 [1.7] Para dibujar la aproximació asitótica del diagrama de Bode primero llevamos a G(s) a ua forma e que los polos y los ceros o aporte gaacia estática, G s s + 1 = 0,5 1 0,15 1 0,1 1 ( s+ )( s+ )( s+ ) Usado las reglas aproximadas obteemos el diagrama siguiete: [1.8]

15 04 a Diagramas Frecueciales.doc 15

16 04 a Diagramas Frecueciales.doc 16 Ejemplo 1.3. Sistema de Segudo Orde G s = s ω + ξωs+ ω tiee sus polos e p = ξ ± ξ ω 1, 1 - Si el sistema tiee dos raíces reales se traza el diagrama de Bode como la suma de dos sistemas de primer orde. Esto se da para ξ 1. - Para valores bajos de ξ, las curvas asitóticas o so muy precisas. - Para bajas frecuecias, la asítota es ua recta horizotal que pasa por 0db - Para altas frecuecias, la asítota es u recta co pediete 40 db y que corta al eje de 0deb e ω = ω dec. - Estas asítotas so idepedietes de ξ.

17 04 a Diagramas Frecueciales.doc 17 - Hay u pico de resoacia. Es el máximo de 1 1 max ( G( jω )) = max max = ω ω 1 ξ j ω ω + 1 ξ ω ω + ω ω ω ω mi 1 + ξ ω ω ω ω d 1 + ξ ω ω ω ω ω ξ = 1 ξ 0 + = dω ω ω ω ω ( 1 ) ω ω ξ ω ω ω ω ω ξ ω+ ω = ω = ω = 0 ξ ω ω ω ω ω = ω 1 ξ r

18 04 a Diagramas Frecueciales.doc 18 M r = 1 ξ 1 ξ

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20 04 a Diagramas Frecueciales.doc 0 - Diagrama de Nyquist Se grafica polarmete G ( s) K( s ) 0