Universidad Diego Portales Facultad de Economía y Empresa. 1. Reputación. Apuntes de Teoría de Juegos Profesor: Carlos R. Pitta

Transcripción

1 En estas notas revisaremos los conceptos de reputación desde la perspectiva de información incompleta. Para ello usaremos el juego del ciempiés. Además, introduciremos los conceptos de juegos de señales, e ilustraremos los conceptos de equilibrio separador (separating equilibria), equilibrio agrupador ó agregador (pooling equilibria), y equilibrio parcialmente agregador (partial-pooling equilibria). Para ello, usaremos un ejemplo de juegos de señalización. 1. Reputación Considere un juego en el que el jugador i tiene 2 tipos, por ejemplo A y B. Imagine que si los otros jugadores creen que i tiene tipo A, entonces el pago de equilibrio de i será mucho mayor en relación a lo que sería si los demás jugadores pensaran que su verdadero tipo es B. Si el juego es largo y porvenir, y si i es paciente, entonces actuará como si su tipo fuera A, aun cuando su tipo sea B, para convencer a los demás jugadores que es A. En otras palabras, tratará de formarse la reputación de ser del tupo A. Esto alterará dramáticamente el comportamiento de equilibrio cuando los otros jugadores asignen probabilidades positivas a cada tipo. Por ejemplo, si un vendedor piensa que el comprador no valora mucho su producto, entonces estará dispuesto a venderlo a un precio bajo, aun si en verdad el comprador desea fervientemente dicho bien. Más aun, el comprador actuará como si dicho bien no le importase, y no comprará a precios altos (aun cuando estaría dispuesto a pagar precios altos si se supiese que el valora mucho el bien). Entonces, si los jugadores son pacientes, el precio se establecerá en un rango bajo. Otro ejemplo es el juego de entrar o no entrar. Si es posible que el jugador inicial (incumbente) obtenga beneficios por la lucha en caso de que el jugador nuevo decida entrar (y si dicho conocimiento es de información privada del incumbente) y si aún le queda un largo futuro al juego, entonces el incumbente peleará siempre que el nuevo jugador entre, para poder formarse una reputación de agresivo que pueda detener futuras entradas. Ilustraremos dichos conceptos utilizando el juego del ciempiés. Considere la situación siguiente: En este juego un participante preferirá salir (fleja hacia abajo) si él cree que el otro jugador saldrá en el siguiente nodo. Más aun, el jugador 2 preferirá salir durante el último nodo. Por lo tanto, el único desenlace de inducción hacia atrás en este juego es que cada jugador se bajará a cada nodo. En particular, el jugador 1 se bajará en el primer nodo para terminar el juego de al tiro. Este resultado puede resultar contraintuitivo, dado que el jugador 1 renuncia a pagos muy altos. Veremos después que este no es un resultado robusto debido a alguna asimetría informativa, en el sentido que el resultado final cambiaría dramáticamente si existe una pequeña probabilidad de que un jugador sea de un tipo irracional. A continuación vemos dicho caso: 4. Juegos Dinámicos con Información Privada 1

2 Aquí, el jugador 2 asigna una probabilidad de al evento de que el jugador 1 sea un jugador estrictamente racional. Pero dado que también asigna una probabilidad de al evento de que el jugador 1 sea un jugador irracional bueno que no querría salirse del juego. Listamos los nodos usando n desde el fin del juego. La racionalidad secuencial requiere que el jugador 1 siga derecho en cada conjunto informativo de la rama más baja. Más aun en el último conjunto informativo (n=1) el jugador 2 se bajará con probabilidad de 1. Estos hechos pueden observarse en la siguiente figura: 4. Juegos Dinámicos con Información Privada 2

3 A partir de lo anterior intentaremos probar aun más corolarios. Pero para ello necesitamos más notación. Definiremos con n a la probabilidad de que el jugador 2 asigna a la rama más baja en el conjunto informativo n. Además, definiremos con p n la probabilidad que el jugador 1 se baje en el nodo n si es racional. Hechos sobre el Equilibrio Bayesiano Perfecto de Nash 1. Para cada n>1, el jugador 2 sigue adelante con una probabilidad positiva. Suponga que el jugador 2 se baja con probabilidad 1 en n>1. Entonces, si es racional, el jugador 1 debe bajarse con probabilidad 1 en n+1. Por lo tanto, debe ser que n =1. Es decir, el jugador 2 está seguro que el jugador 1 es irracional y que seguirá derecho hasta el final. Entonces, debe seguir derecho con probabilidad 1 en n. 2. Cada conjunto informativo del jugador 2 es alcanzable. Esto es así porque tanto el jugador irracional 1 como el jugador 2 siguen derecho con probabilidades positivas. Por lo tanto, las creencias están determinadas por la regla de Bayes. 3. Para cualquier n>2, el jugador racional 1 sigue derecho con una probabilidad positiva. Suponga que el jugador racional 1 se baja con probabilidad 1 en n>2. Entonces, n-1 =1, y por tanto el jugador 2 debe seguir derecho con probabilidad 1 en n-1. Entonces, el jugador racional 1 debe seguir derecho en n con probabilidad Si el jugador 2 prefiere estrictamente seguir derecho en n, entonces: a) 1 sigue derecho con probabilidad 1 en n+1, b) 2 debe preferir estrictamente seguir derecho en n+2, c) El posterior de 2 en n es su anterior Si el jugador racional 1 sigue derecho con probabilidad 1 en n, entonces el posterior de 2 en n-1 es su anterior. (ver 4c) 6. Existe un n* tal que cada jugador sigue derecho con probabilidad 1 antes de n* (por ejemplo, cuando n>n* ), y entonces el jugador racional 1 y el jugador 2 mezclan estrategias después de n* (por ejemplo, cuando n<n* ) 2 Ahora, procederemos a calcular el equilibrio. Primero, note que el jugador 2 mezcla en n=3 (es decir, para n>3), pues de otra forma tendríamos 3 =0.001 por 4c, cuando el jugador 2 se baja con probabilidad 1 en n=3, lo que contradice a (1). Esto significa que está indiferente entre seguir derecho o bajarse en n=3. Por lo tanto: 100= (1-3) = Es decir, 3 =1/2 Ahora considere cualquier n impar con 3<n< n*; el jugador 2 mueve en n. Describa con x el pago del jugador 2 en n (si se baja). Dado que el jugador 2 es indiferente entre seguir derecho y bajarse, tenemos: El lado izquierdo de esta ecuación son los pagos si el jugador 2 se baja. Miremos el lado derecho. Si el jugador 2 sigue derecho con probabilidad n, el jugador 1 es irracional y seguirá derecho en n-1 con probabilidad 1, alcanzando el conjunto de información en n-2. Dado que el jugador 2 es indiferente entre salir (bajarse) y seguir derecho en el conjunto de información n-2, el pago esperado de alcanzar este conjunto informativo para el jugador 2 es x+1. Esto nos da el primer término. Con probabilidad 1- n, el jugador 1 es racional y se bajará en n-1 con probabilidad p n-1, lo que resulta en un pago de x-1 para el jugador 2, y seguirá derecho con probabilidad 1-p n-1, alcanzando el conjunto de información en n-2, lo que resultará en un pago de x+1 para el 1 Las partes a y b deberían entenderse con claridad. Luego, la aplicación inductiva de dichas partes implican que los jugadores seguirán derecho con probabilidad 1 hasta n. Entonces, c se obtiene usando la regla de Bayes. 2 Esto se obtiene usando (1), (3) y (4) 4. Juegos Dinámicos con Información Privada 3

4 jugador 2. Esto nos da el segundo término. Después de algunas manipulaciones algebraicas, esta ecuación se simplifica a: (1) (1- n )p n-1=1/2 Pero, por la regla de Bayes, tenemos que: (2) n-2 =2 n Donde la última igualdad se debe a (1). Por lo tanto Y aplicando esa igualdad iterativamente, obtenemos: Y, secuencialmente: Por lo tanto, n*=20. En cualquier n< n*, el jugador 1 seguirá derecho con probabilidad: Y en n-1 el jugador 2 mezclará de manera que el jugador 1 está indiferente entre seguir derecho o bajarse. Si escribimos q n-1 como la probabilidad de que 2 se baje en n-1 e y para el pago del jugador racional 1 en n, entonces tenemos que: 4. Juegos Dinámicos con Información Privada 4

5 Es decir: q n-q =1/2 En n*+1=21, n*+1=0.001, y en n*-1=19, n*-1=1/512. Por lo tanto, por regla de Bayes: Lo que resulta en: Para cada n>n*, cada jugador seguirá derecho con probabilidad Juegos Dinámicos con Información Privada 5

6 2. Señales En un juego de señales existen dos jugadores: el Emisor (S) y el Receptor (R). Primero, la naturaleza selecciona un tipo t i de un espacio de tipos T={t 1, t 2,, t I} con probabilidad p(t i). El Emisor observa t i, y después escoge un mensaje m j de mensajes M={m 1, m 2,, t J} que será emitido al receptor. El receptor observa m j (pero no t i) y entonces escoge una acción a k de un espacio de acciones A={a 1, a 2,, t K}. Los pagos del emisor y del receptor son U S(t i, m j, a k). Un buen ejemplo de este tipo de juegos es el juego de la Cerveza-Tarta (Beer-Quiche Game) que se muestra a continuación: En este juego, el emisor es el jugador 1; el receptor es el jugador 2. El espacio de tipos es T={t s, t w}, que se refieren a un tipo fuerte y débil, respectivamente; los mensajes son cerveza y tarta, es decir, M={beer, quiche}; mientras que las acciones son pelear o no pelear, A={duel, don t}. En este juego hay dos resultados de equilibrio, ya sea ambos tipos toman cerveza o ambos tipos toman tarta. Gráficamente, el equilibrio ambos toman cerveza es el siguiente: Tal equilibrio es llamado equilibrio agregador ó agrupador (pooling equilibrium), porque todos los tipos envían el mismo mensaje, y por tanto no se transmite ninguna información al receptor. Las creencias posteriores del receptor sobre el camino al equilibrio son las mismas que las que tenía antes de recibir el mensaje. Definición 1: Un equilibrio agregador es un equilibrio en el cual todos los tipos de emisor envían el mismo mensaje. Por otra parte, otro tipo de Equilibrio Bayesiano Perfecto de Nash es el equilibrio separador: Definición 2: Un equilibrio separador es un equilibrio en el cual todos los tipos de emisor envían un mensaje diferente. 4. Juegos Dinámicos con Información Privada 6

7 Dado que cada tipo envía un mensaje diferente, durante el camino al equilibrio el receptor aprende el tipo del emisor (la verdad). Tal equilibrio se muestra a continuación: Note cómo el jugador 2 asigna probabilidad 1 al tipo fuerte después de recibir cerveza, y tipo débil después de recibir tarta. La mayoría de los equilibrios en muchos juegos son equilibrios parcialmente agregadores y parcialmente separadores. Definición 3: Un equilibrio parcialmente separador/agregador es un equilibrio en el cual algunos tipos de emisores envían el mismo mensaje, mientras que otros envían otros mensajes. Gráficamente para nuestro juego, un equilibrio parcialmente separador/agregador es el siguiente: En este ejemplo el jugador 1 es, muy probablemente, débil. El tipo fuerte de jugador 1 ordena cerveza, mientras que el tipo débil de jugador 1 mezcla entre cerveza y tarta de manera que después de observar cerveza, el jugador 2 encuentra igualmente probable ambos tipos, por lo que le resulta indiferente pelear o no. Después de observar cerveza el jugador 2 mezcla entre pelear o no con probabilidades iguales de manera que el tipo débil de jugador 1 se encuentra indiferente entre tarta y cerveza, lo que le permite mezclar. Note como las creencias son derivadas a través de la Regla de Bayes. También note como, después de observar tarta, el jugador 2 sabe que el jugador 1 es débil, pero no está seguro del tipo de jugador 1 si observa cerveza. De todas formas, el jugador 2 actualiza sus creencias y encuentra mucho más probable que el jugador 1 sea fuerte. 4. Juegos Dinámicos con Información Privada 7