Problemas resueltos funciones de una variable. Continuidad. Matemáticas I. La función es continua en { 3} La función es continua en (, 1) ( 1, )

Transcripción

1 Problemas resueltos funciones de una variable. Continuidad. Matemáticas I. 1.-Estudiar la continuidad de las siguientes funciones: + f( ) = f( ) = f( ) = f( ) = log 1 f( ) = + 1 f ( ) 6 La función es continua en { } La función es continua en , La función es continua en (, 1] ( 1, ) La función es continua en (, 1) ( 1, ) La función es continua en = + La función es continua en Página 1

2 .-Calcular la derivada de las siguientes funciones en un punto genérico. Qué condiciones debe verificar ese punto para que la derivada esté definida en ese punto? f ( ) f ( ) El punto debe pertenecer al conjunto: ( 0, ) e e ( 1 ) ( 5+ 6) {,} e sen e ( sen cos ) + cos cos sen ( 1 Ln ) + ( 0, ) arctg + Ln ( + 1) (, 1) ( 0, ) sen ( ) cos 4 ( ) sen( ) cos 5 ( ) 4 sen ( ) cos ( ) sen( 15) cos( ) 15 cos( 15) cos( ) sen( 15) sen( ) ( + ) e e 1 e e 6e e + ( 1+ e ) (, ) cos 1 sen sen cos π + kπ, k Z Página

3 Problema Calcula las derivadas de las siguientes funciones especificando su dominio y los puntos en los que son continuas y derivables (a, b > 0). (a)f() = e +1 (b) ln( + ) (c)f() = ln ( + 1) (d)f() = a (e)f() = a a (f)f() = ( + ) (g)f() = (b + 1)e a +1 (h)f() = ea + 1 a + b (i)f() = ln 1 a b sen (a) (j)f() = sen (a)cos (a) (k)f() = (l)f() = arctg ( a + b ) cos (b) (m)f() = cos () (n)f() = (o)f() = (sen ) Solución (a) Esta función es continua y derivable siempre f () = e +1 ( + 1) (b) Esta función está definida en los puntos en los que el argumento del logaritmo es positivo Es continua y derivable en todo su dominio Dom(f) = { R / + > 0} = (0, + ) f () = con > 0 (c) Esta función es continua y derivable siempre, ya que el argumento del logaritmo es positivo f () = ln ( + 1 ) (d) Esta función está definida en los puntos en los que el argumento de la raíz es positivo o nulo Dom(f) = { R/a 0} = (, 0] [ a, + ) La función es continua en su dominio pero no es derivable en los puntos donde se anula el argumento ( = 0, = ), ya que en estos puntos tienen tangente vertical: a f () = a 1 a con (, 0) (, + ) a (e) Esta función es continua siempre pero no es derivable en los puntos donde se anula el argumento de la raíz ( = a, = a): f () = con ±a ( a) (f) Su dominio es casi el mismo que el de la primera función pero se ecluye además el punto en el que se anula el denominador ( = ). Dom(f) = { R /a 0, } = (, ) (, 0] [ a, + ) Página

4 Al igual que las anteriores, es continua en su dominio y no es derivable en los puntos donde se anula el argumento de la raíz ( = 0, = a ) f () = (g) Esta función es continua y derivable siempre a + ( + ) a con (, ) (, 0) ( a, + ) f () = e a +1 (ab + a + b) (h) Esta función está definida siempre y cuando el denominador no se anule Es continua y derivable en su dominio Dom(f) = { R / ±1} f () = a e a e a ae a ( 1) con ±1 (i) Esta función está definida en los puntos en los que el argumento del logaritmo es positivo Dom(f) = { R / a+b a b > 0} = (, b a ) ( b a, + ) Es continua y derivable en todo su dominio f () = (j) Esta función es continua y derivable siempre ab (a + b)(a b) con (, b a ) ( b a, + ) f () = acos (a) asen (a) (k) Esta función está definida siempre y cuando el denominador no se anule Dom(f) = { R /cos b) 0} Obsérvese que hay infinitos puntos en los que la función no esta definida, ya que la función cos (b) es periódica de periodo π y dentro del intervalo [ ] 0, π b b hay dos puntos en los que no está definida ( = π, = π ). Esta situación se repite en cada periodo. b b Dentro de su dominio es continua y derivable f () = acos (a)cos (b) + bsen (a)sen (b) cos (b) con cos (b) 0 (l) Esta función es continua y derivable siempre f () = a (a + b) arctg ( a + b ) Página 4

5 (m) Aunque esta función podría definirse para algunos valores negativos de, sólo la consideramos definida cuando la base es positiva Dom(f) = { R / > 0} Derivamos esta función considerando que su derivada es la suma de dos derivadas que reflejan la variación total de la función. En la primera se toma el eponente como una constante y en la segunda lo que se toma como constante es la base f () = cos () cos () 1 cos () ln()sen () con > 0 (n) Esta función sólo la consideramos definida cuando la base es positiva Para derivar esta función escribimos Dom(f) = { R / > 0} f() = = 1 y aplicamos la misma regla de derivación que en el apartado anterior. Así, volvemos a considerar que su derivada es la suma de dos derivadas, de forma que en la primera se toma el eponente como una constante y en la segunda lo que se toma como constante es la base Esta derivada se simplifica como f () = ln() ( 1 ) f () = 1 (1 ln ) con > 0 (o) De nuevo consideramos que esta función está definida sólo cuando la base es positiva Dom(f) = { R/sen > 0} Obsérvese que hay infinitos intervalos en los que la función no esta definida, ya que la función seno es periódica de periodo π y el seno toma tanto valores positivos como negativos. Dentro del intervalo [0, π] solo esta definida en (0, π), que es donde el seno es positivo. La situación se repite en cada uno de los periodos. Su derivada sigue la misma regla que las funciones anteriores y es f () = (sen ) 1 cos + (sen ) ln(sen ) con sen > 0 Página 5

6 Problema 4 Apartado a En este apartado vamos a representar la función f() = estudio completo de su gráfica en el que estudiaremos sus máimos y mínimos haciendo un Estudio previo: Determinación de su dominio: + 1 = 0 = 1 = está definida para 1 Cortes con los ejes y valores particulares de la función: f() = + 1 = 0 = = 1 = Corta al eje OX en (1, 0) + 1 f(0) = 1 = Corta al eje OY en (0, 1) Simplificación del estudio (paridad, simetrías, periodicidad,...): No presenta nada especial Asíntotas verticales en los puntos singulares que no estén en el dominio: En = 1 tiene una asíntota vertical lim = lim Comportamiento en el infinito (asíntotas horizontales y oblicuas): No tiene asíntotas horizontales lim = lim Tiene asíntota oblicua y = m + b con m = lim ± = 1 = + = + [ ] + 1 b = lim m = 5 ± Estudio de la derivada: f () = + 4 ( + 1) Puntos con tangente vertical No hay ningún punto del dominio donde la derivada sea infinita. Determinación de los puntos críticos f () = + 4 ( + 1) = 0 = = = 1 Página 6

7 Signo de la derivada: crecimiento y decrecimiento: f () 0 en (, ] = f es creciente en (, ]. f () 0 en [, 1 ) = f es decreciente en [, 1 ). f () 0 en ( 1, 1] = f es decreciente en ( 1, 1]. f () 0 en [1, + ) = f es creciente en [1, + ). Se deduce que en = tiene un máimo relativo y en = 1 un mínimo relativo. Estudio de la derivada segunda Puntos de infleión f () = 18 ( + 1) No tiene puntos de infleión, ya que la derivada segunda no se anula. Signo de la derivada segunda: conveidad y concavidad f () 0 en (, 1 ) = f es cóncava en (, 1 ). f () 0 en ( 1, + ) = f es convea en ( 1, + ). Estudio de los puntos críticos (máimos y mínimos) ( f tiene un máimo relativo en (, ) f ( ) = < 0 y f( ) = ) ( f tiene un mínimo relativo en (1, 0) f (1) = > 0 y f(1) = 0) Si representamos las asíntotas y los puntos clave sólo queda tener en cuenta los datos sobre crecimiento y concavidad para tener una buena aproimación de la función Página 7

8 Apartado b En este apartado vamos a estudiar los óptimos de la función f() = La gráfica se incluye pero se deja como ejercicio el estudio para su representación. En primer lugar determinamos los puntos en los que la derivada es cero (puntos críticos): f () = 1 (1 + ) = 0 = 1 = 1 = 0 = = A continuación calculamos su derivada segunda y estudiamos qué tipo de puntos son f () = ( + ) f (1) = 1 (1 + ) = < 0 máimo f ( 1) = 1 > 0 mínimo Como f(1) = 1 y f( 1) = 1 tenemos que el punto (1, 1 ) es un máimo relativo y que el punto ( 1, 1 ) es un mínimo relativo. Al observar su gráfica, vemos que son un máimo y un mínimo absolutos y que, por tanto, el valor máimo de la función es 1 y su valor mínimo 1. Apartado c En este apartado vamos a estudiar los óptimos de la función f() = La gráfica se incluye pero se deja como ejercicio el estudio para su representación.: En primer lugar determinamos los puntos en los que la derivada es cero (puntos críticos): = f () = ( + ) ( 4 + ) (1 + ) = 0 = = 1 = A continuación calculamos su derivada segunda y estudiamos qué tipo de puntos son f f () = ( ) () = 1 < 0 mínimo (1 + ) = f (1) = 9 < 0 máimo f ( ) = 0 Como f() = 7 y f(1) = 9 tenemos que el punto (, 7 ) es un mínimo relativo y que el punto (1, 9 ) es un máimo relativo (al observar su gráfica vemos que no son óptimos absolutos). Página 8

9 En =, como la segunda derivada en es cero, no podemos afirmar nada y tenemos que calcular la tercera derivada. Se puede comprobar que f ( ) = 6 5 ni un mínimo (es un punto de infleión). y que, por tanto, no tiene ni un máimo Página 9