5. Propiedades de los Lenguajes Recursivamente Enumerables y de los Lenguajes Recursivos.

Transcripción

1 5. Propiedades de los Lenguajes Recursivamente Enumerables y de los Lenguajes Recursivos. 5.1 Esquemas de representación de áquinas de Turing. 5.2 Propiedades de cierre. 5.3 Codificación de áquinas de Turing. 5.4 Un lenguaje no recursivamente enumerable: Lenguaje diagonal. 5.5 Un lenguaje rcursivamente enumerable no recursivo: Lenguaje Universal.

2 5.1 Esquemas de representación de áquinas de Turing. T. Aceptora que se detiene para todas las entradas: áquina de Turing Aceptora que puede no deternerse para alguna entrada: áquina de Turing Generadora áquina de Turing que utiliza a otra áquinas de Turing como subrutina: START

3 5.2 Propiedades de cierre 1. La clase de los Lenguajes Recursivamente Enumerables es cerrada bajo UNIÓN. L 1 L 0 1 : L( 1 ) = L 1 L 2 L 0 2 : L( 1 ) = L La clase de los Lenguajes Recursivos es cerrada bajo la operación UNIÓN. L 1 1 : L( 1 ) = L 1 L 2 2 : L( 2 ) = L 2 L() = L 1 L 2 1 START 2 L() = L 1 L 2

4 3. La clase de los Lenguajes Recursivos es cerrada bajo la COPLEENTACIÓN L : L() = L L() = L 4. Un Lenguaje es Recursivo si y solo si él y su complementario son Recursivamente Enumerables. a) L L L 0 L 1 : L( 1 ) = L 1 L() = L( 1 ) = L L L 0 b) L L L 0

5 b) L, L L 0 L L L 0 1 : L( 1 ) = L L L 0 1 : L( 1 ) = L 1 1 L() = L( 1 ) = L y se detiene siempre L Ejercicio b) L 1, L 2 L 1 L 2 1 START 2

6 A partir de 4, dado cualquier par L, L siempre se dará una de las tres posibilidades L, L L 0 L, L L R L, L Una forma de demostrar que un lenguaje no es recursivamente enumerable es demostrar que su complementario es r.e. no recursivo.

7 5. La clase de los Lenguajes Recursivos es cerrada bajo INTERSECCIÓN. L 1 1 : L( 1 ) = L 1 L 2 2 : L( 2 ) = L 2 1 START 2 L() = L( 1 ) L( 2 ) = L 1 L 2 6. La clase de los Lenguajes Recursivamente Enumerables es cerrada bajo la INTERSECCIÓN. L 1 L 0 1 : L( 1 ) = L 1 L 2 L 0 2 : L( 2 ) = L 2 2 START 1 L() = L( 1 ) L( 2 ) = L 1 L 2

8 7. La clase de los Lenguajes Recursivos es cerrada bajo la CONCATENACIÓN. L 1 L 2 = 1 2, 1 L 1, 2 L 2 1 A 2 START 2 Σ * START 1 L 1 1 : L( 1 ) = L 1 L 2 2 : L( 2 ) = L 2 Funcionamiento de : El módulo A divide en dos mitades 1 y 2 comenzando por 1 = λ y 2 =. La primera mitad se pasa a 1, la segunda posiblemente a 2. Cada vez que se vuelve a activar A, 1 aumenta una unidad hasta 1 = Si ninguna partición devuelve, el módulo A activa.

9 5.3 Codificación de áquinas de Turing. Objetivo: Codificar una.t. con {0,1}. Sup L (0+1)* rec. enumerable con Γ = {0, 1, B} tal que L = L(). Sea = ({q 1, q 2,..., q n }, {0, 1}, {0, 1, B}, δ, q 1, B, {q 2 }) Codificación de un movimiento Sea δ(q i, X j ) = (q k, X l, D m ) con 1 i, k n 1 j, l 3 1 m 2 D 1 = L D 2 = R X 1 = 0 X 2 = 1 X 3 = B Se codifica de forma unívoca como 0 i 10 j 10 k 10 l 10 m Una.T. se codifica como 111código 1 11código código r 111 Una.T. puede tener varios códigos, pero la decodificación es única. A una codificación de una.t le llamamos <> El par (máquina, entrada w) lo denominamos <, w>

10 5.4 Un lenguaje no recursivamente enumerable: Lenguaje diagonal. Se emplea el mismo argumento que para demostrar que el conjunto de las funciones f : N {0,1} no es numerable. Si lo fuera, se tendría A = {f 1, f 2, f 3,...}. Construimos f: f (i) = f i (i) + 1(mod 2). Si f A se tendría f = f j y sin embargo f (j) f j (j). Supongamos una tabla infinita en la que: En la primera columna se colocan las palabras de (0 + 1)* en orden canónico. En la primera fila índices de.t. (i, j) = 1 si la palabra i es aceptada por la máquina que se codifica en binario como j. (i, j) = 0 si la palabra i no es aceptada por la máq. que se codifica en binario como j. números que en binario son códigos de.t. (no todos) palabras de (0 + 1)* en orden canónico

11 Consideramos la diagonal de la tabla anterior y construimos L d = {w i : w i L( i )} - Si (i, i) = 0 w i L d - Si (i, i) = 1 w i L d L d no es recursivamente enumerable: -Supongamos que sí lo es : L() = L d. -En las columnas están todas las.t. j : j =. Entonces Si j L d = L( j ) (j, j) = 0 j L( j ) (contradicción) Si j L d = L( j ) (j, j) = 1 j L( j ) Luego no eiste.t. capaz de reconocer L d. Consecuencia L d es no recursivamente enumerable recursivamente enumerable no recursivo

12 Reducción de un problema a otro. Dados los problemas A y B, decimos que A se reduce a B (A α B) si, conocido un algoritmo que resuelve B, se puede resolver A. Si A α B entonces A es por lo menos tan duro como B Ejemplo AB. Instancia: G = (N, Σ, P, S) Cuestión: Es G ambigua? Respuesta: Si/No FIND. Instancia: G = (N, Σ, P, S) Cuestión: Encontrar w L(G): w posee más de un árbol de derivación. Respuesta: w /No AB α FIND

13 5.5 Un lenguaje reursivamente enumerable no recursivo: Lenguaje Universal. Veamos que L U = {<, w> : w L()} es: 1. Recursivamente enumerable. 2. No Recursivo. 1. Sea 1 la máquina con tres pistas: La 1ª es la cinta de entrada (contiene <, w> ). La 2ª simula la cinta de. inicialmente están en blanco La 3ª guarde el estado de. Operaciones que tiene que realizar: - Comprobar que la entrada es correcta. - Inicializar la 2ª cinta con w. - Inicializar la 3ª cinta con 0. (código de q 1 = estado inicial) Comportamiento de 1 - Si en la 3ª cinta aparece 00 (cód. de q 2 = estado final) 1 para y acepta <, w>. - Si en la 3ª cinta hay 0 i y en la segunda 0 j, se busca en la 1ª un fragmento 0 i 10 j Si no se encuentra ese fragmento, 1 para y rechaza <, w>. - Si se encuentra... w es aceptada por <, w> es aceptada por 1

14 2. Veamos que L U es no Recursivo. Sea L d = {w i : w i L( i )} Sabemos que L d es no recursivamente enumerable recursivamente enumerable no recursivo Veamos que L d se puede reducir a L U. (si reconocemos L U, tambien L d ) Supongamos que 1 : L( 1 ) = L U y 1 para ante todas las entradas < i, w i > L U w < i, w i > 1 S w i L( i ) w i L d conversión N w i L( i ) w i L d < i, w i > L U Luego si L U fuese recursivo también lo sería L d (contradicción)

15 L es un lenguaje de tipo 0 L es recursivamente enumerable Autómata de memoria acotada linealmente (ALL): -.T. no determinista con la entrada enmarcada entre dos símbolos ($ y # por ejemplo). - Los movimientos que hace la cabeza no pueden salirse de los límites. - Las marcas no pueden ser sustituidas. L es un lenguaje de tipo 1 L es aceptado por un ALL L. R. E. = Tipo 0 Tipo 1 L. R.