F. Geometría y Geometría Computacional Fundamentos de Geometría y Geometría Computacional

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Amparo Quintana Lozano
hace 6 años
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1 Fundamentos de Geometría y Geometría Computacional 1

2 Geometría 1. Elementos geométricos en 2D. Rectas. Triángulos. Polígonos. Curvas. 2. Problemas geométricos 2D. Distancia. Intersección. 3. Elementos geométricos 3D. Rectas. Planos. Superficies. Poliedros. 4. Problemas geométricos 3D. Distancia. Inclusión. Intersección. 5. Geometría diferencial. Campos escalares y vectoriales. Gradiente. Isosuperficies. 2

3 Geometría Bibliografía P.J. Shneider; D.H. Eberly: Geometric Tools for Computer Graphics. Morgan Kaufmann J. Vince: Essential mathematics for computer graphics fast. Springer A. Paoluzzi. Geometric programming for Computer-Aided Design. Wiley

4 3. Elementos geométricos en 3D. Rectas. (Shneider chap. 9, 325, Vince 170) d n0 Q lado - n1 P d = d x,d y,d z Línea : d =P 1 P 0 Implícitas lado + Paramétricas Recta que pasa por el punto P P t =P t d recta : t [, ] rayo :t [0, ] línea : t [t 0,t 1 ] n 0 Q P =0 n 1 Q P =0 4

5 3. Elementos geométricos en 3D. Planos (Shneider 326, Vince 173) semiespacio + n Q n Q P =0 n n Q P =0 Q d n =0 d = n P P semiespacio - 5

6 3. Elementos geométricos en 2D. Planos. (Shneider 328, Vince 176) semiespacio + n P t, s =P t u s v P t, s = P 0 t P 1 P 0 s P 2 P 0 Q n = u v v semiespacio - {P, d 0, d 1 } {P 0, P 1, P 2 } { n,d } Implícitas P u Paramétricas a x b y c z d =0 n =[a, b,c ] 6

7 3. Elementos geométricos en 3D. Triángulos. (Shneider 331, Vince 179) P t 0, t 1, t 2 =t 0 P 0 t 1 P 1 t 2 P 2 t 0 t 1 t 2=1 0 t i 1 P u, v =u 1 v P 0 1 u v P 1 1 u 1 v P 2 u, v [0,1] n = P 2 P 0 P 1 P 0 n P 2 d =0 (0,0,1) n (1,0,0) {P 0, P 1, P 2 } P2 P0 (0,1,0) P1 7

8 3. Elementos geométricos en 2D. Tetraedros Baricéntricas P t 0, t 1, t 2, t 3 =t 0 P 0 t 1 P 1 t 2 P 2 t 3 P 3 t 0 t 1 t 2 t 3=1 0 t i 1 8

9 3. Elementos geométricos en 2D. Poliedros Convexos Sólido= caras semiespacios {caras,aristas, vértices} 9

10 Geometría 1. Elementos geométricos en 2D. Rectas. Triángulos. Polígonos. Curvas. 2. Problemas geométricos 2D. Distancia. Intersección. 3. Elementos geométricos 3D. Rectas. Planos. Superficies. Poliedros. 4. Problemas geométricos 3D. Distancia. Inclusión. Intersección. 5. Geometría diferencial. Campos escalares y vectoriales. Gradiente. Isosuperficies. 10

11 4. Problemas geométricos en 3D. Inclusión Punto Plano Q : n P d =0 n P n Q d =0 n Q P =0 11

12 4. Problemas geométricos en 3D. Inclusión Punto Línea P1 Q n 0 Q P 0 =0 n 1 Q P 0 =0 Q [ P 0, P 1 ] d n0 n1 n 0 Q d 0=0 n 1 Q d 1=0 P0 n 0 Q P =0 n 1 Q P =0 12

13 4. Problemas geométricos en 3D. Inclusión Punto Triángulo Q P2 n P1 P0 1. si Q no esta en el plano no está en el triángulo 2. proyectar sobre plano 2D resolver en 2D 13

14 4. Problemas geométricos en 3D. Distancia (Shneider chap.10, 365) Punto línea (segmento) P1 Q d Q Q ' t =0 d Q P 0 t Q d =0 2 d Q P 0 t Q d =0 Q P 0 t Q =d 2 d d =P 1 P 0 d Q'(t) P0 { P 0 Q si t Q 0 distancia Q, = t d P 0 Q si t Q 1 P 1 Q si t Q 1 } 14

15 4. Problemas geométricos en 3D. Distancia (Shneider 374) Q n α r Punto Plano Q' r = Q Q ' = Q P cos = n Q P = Q P = Q P n P n Q P = n n Q d P n d =0 n =1 r= n r n =Q Q ' r n n = n Q n Q ' r=q n d 15

16 4. Problemas geométricos en 3D. Distancia (Shneider 376) Q n Punto Triángulo r P2 Q' P1 P0 Q ' =Q r n Q ' =Q n Q P n Q ' =u 1 v P 0 1 u v P 1 1 u 1 v P 2 si u, v [0,1] distancia=r si no distancia² =r² distancia Q ', arista más próxima ² 16

17 4. Problemas geométricos en 3D. Distancia (Shneider 376) Q Punto Triángulo r Q' P2 n P1 P0 Q ' =Q r n Q ' =Q n Q P n Q ' =u 1 v P 0 1 u v P 1 1 u 1 v P 2 si u, v [0,1] distancia=r si no distancia² =r² distancia Q ', arista más próxima ² 17

18 4. Problemas geométricos en 3D. Intersección (Shneider 483) Recta Plano P1 P d n0 n n1 Q n Q d =0 Q= P 0 t P 1 P 0 n P 0 t P 1 P 0 d =0 d n P 0 t= n P 1 P 0 P0 18

19 4. Problemas geométricos en 3D. Intersección (Shneider 530) Plano Plano d d = n 0 n 1 =0 n0 P0 Q P1 n1 n 0 Q d 0=0 n 1 Q d 1=0 Q=a n 0 b n 1 d 1 n 0 n 1 d 0 a= n 0 n 1 1 d 0 n 0 n 1 d 1 b= n 0 n 1 1 con n 0 = n 1 =1 19

20 4. Problemas geométricos en 3D. Intersección (Shneider 485) Q1 d P2 n Q P0 Q0 Triángulo línea 1. Los vértices del segmento están a distintos lados del plano. Hay intersección con el plano. P1 signo n Q 0 d signo n Q 1 d ó signo volumen [ P 0, P 1, P 2, Q 1 ] signo volumen [ P 0, P 1, P 2, Q 2 ] 20

21 4. Problemas geométricos en 3D. Intersección Q1 d P2 n Q P0 Triángulo línea 2. y, Q es interior al triángulo. Las aristas de este están al mismo lado de la línea. P1 Q0 signo volumen[ P 0, P 1, Q 1, Q 2 ] = signo volumen[ P 1, P 2, Q 1, Q 2 ] = signo volumen[ P 2, P 0, Q 1, Q 2 ] 21

22 Geometría 1. Elementos geométricos en 2D. Rectas. Triángulos. Polígonos. Curvas. 2. Problemas geométricos 2D. Distancia. Intersección. 3. Elementos geométricos 3D. Rectas. Planos. Superficies. Poliedros. 4. Problemas geométricos 3D. Distancia. Inclusión. Intersección. 5. Geometría diferencial. Curvas. Superficies. Campos escalares y vectoriales. Gradiente. Isosuperficies. 22

23 Bibliografía T. M. Apostol: Calculus Reverté, 1992 A. Paoluzzi. Geometric programming for Computer-Aided Design. Wiley Boehm, W. and Prautzsch, H Geometric Concepts for Geometric Design. A. K. Peters, Ltd. M. Desbrun, P.. Schröder: Discrete Differential Geometry: An Applied Introduction. SigGraph. Full-Day tutorial, 31 July

24 5. Geometría diferencial [Boehm 351] Utiliza el cálculo diferencial e integral para resolver problemas geométricos. Se desarrollo para estudiar propiedades de curvas y superficies. Una herramienta esencial en geometría diferencial es el uso de sistemas de coordenadas locales, que cambia de forma continua e infinitesimal a lo largo del elemento geométrico. 24

25 1. Curvas [Boehm 353] [ ] x t x = x t = y t, t [ a, b] ℝ z t donde x(t), y(t), z(t) son diferenciables. Consideramos solo parametrizaciones regulares. x(t) x '= dx ds x'(t) [ ] x t x t = y t 0 z t x'(t) es la pendiente a la curva x'(t) dt diferencial de arco s=s t 0 = a x t d t t0 25

26 Marcos de Frenet [Boehm 354] Podemos definir un sistema de coordenadas local en cada punto x de la curva, a partir de las tres primeras derivadas, siempre que sean linealmente independientes F= (t, m, b, x) con b x t= x x x b= x x m=b t t x t t: vector tangente m: vector normal principal b: vector binormal m 26

27 Curvatura y torsión [Boehm 356] Curvatura d² x x x k = x ' ' = = d s² x 3 Torsión = det [ x x x ] 1 det [ x ' x ' ' x ' ' ' ]= 2 k² x x 27

28 Interpretación geométrica [Desbrun] Curvatura. k es la inversa del radio de la circunferencia tangente a la curva 1 k 28

29 Interpretación geométrica [Desbrun] Representación de Gaus: El vector normal se puede representar sobre un circulo (o una esfera) 29

30 Interpretación geométrica [Desbrun] Número de giros, (índice de rotación) (K). +/- 1: curva simple 30

31 Interpretación geométrica [Desbrun] Teorema del número de giros. La integral de la curvatura (con signo) de cualquier curva cerrada depende solo del número de giros. 31

32 Interpretación geométrica [Desbrun] Podemos aplicar los mismos conceptos a elementos discretizados. 32

33 2. Superficies u u v v 33

34 Superficies Vectores tangentes en superficies paramétricas S u, v P S v S u 34

35 Superficies Vector normal en superficies paramétricas S u, v P S v n S S v v n= S S v v S u 35

36 Superficies x y z div = = x y z Curvatura S u, v K = n P S v n S u 36

37 3. Campo escalar. (Apostol) : E ℝ 37

38 Campo escalar: Isosuperficies y líneas de flujo : E ℝ s =k P =x² y² 1 s =k x² y² 1 k =0 38

39 Campo escalar: gradiente =,, x y z n= P = x² y² 1 = 2 x,2 y x, y n= x² y² 39

40 Campo escalar: curvatura x y z div = = x y z ² ² ² = ²= X² y² z² K = n = P = x² y² 1 1 = x² y² 40

41 Campo vectorial F : E ℝ 3 41

42 Campo vectorial El gradiente de un campo escalar es un campo vectorial =,, x y z P =x² y² 1 = 2x.2y 42

43 Campo vectorial Si F es un campo vectorial continuo en un espacio conexo, S, y su integral de línea es independiente del camino, podemos definir un campo escalar a partir de cualquier punto fijo de S.. x x = a F ds =,, = F x, F y, F z x y z 43

44 Campo vectorial Si F es un campo vectorial continuo en un espacio conexo, S, y su integral de línea es independiente del camino, podemos definir un campo escalar a partir de cualquier punto fijo de S.. rotacional F = F=0 x x = a F ds =,, = F x, F y, F z x y z 44

45 Cálculo en sistemas discretos j +2 i 1 i 1 x 2 x ² i 1 2 i i 1 x² x² j +1 j j -1 i -2 i -1 i i+1 45

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