Juegos Está+cos Lección 2: Conceptos de Solución. Universidad Carlos III de Madrid

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1 Juegos Está+cos Lección 2: Conceptos de Solución Universidad Carlos III de Madrid

2 Juego en forma normal Juego estratégico está+co o juego simultáneo: Cada jugador ejecuta una acción sin conocer la alterna+va elegida por los demás jugadores. Elementos de un juego simultáneo: a) Conjunto de jugadores: N = {1,..., n} b) Conjunto de acciones/estrategias posibles S i para cada jugador c) Función de u+lidad (esperada) sobre cada uno de los perfiles de estrategias. Así:, u i : S R para cada jugador i. Un juego en Forma Normal es una terna (N, S, u)

3 Cómo jugar Nos plantearemos cómo jugará un agente perfectamente racional: Primer paso para estudios más realistas Carácter norma+vo (no siempre descrip+vo) Examinaremos dos +pos de solución: Estrategias racionalizables Equilibrio de Nash

4 Estrategias estrictamente dominadas Informalmente, una estrategia está estrictamente dominada si existe otra estrategia posible que proporciona al jugador un pago mayor independientemente de lo que hagan los demás jugadores. Un jugador racional nunca u+lizará una estrategia estrictamente dominada, puesto que esta conducta sería inconsistente con adoptar siempre aquellas acciones que maximizan su bienestar.

5 Estrategias estrictamente dominadas. Ejemplo El dilema del prisionero Prisionero 2 Prisionero 1 C - 1, - 1-4, 0 Para cualquiera de los prisioneros la estrategia Callar (C) está estrictamente dominada por la estrategia Delatar (D). Tras eliminar las estrategias C, queda (D,D) como la solución del juego C D D 0, - 4-3, - 3

6 Estrategias racionalizables Sea el juego (N, S, u). Eliminamos todas las estrategias estrictamente dominadas. Tendremos un nuevo juego (N, S 1, u). En este juego podemos volver a eliminar estrategias estrictamente dominadas para obtener el juego (N, S 2, u). Procedemos itera+vamente hasta que no se puedan eliminar más estrategias. Si hemos parado en S k, este será el conjunto de estrategias racionalizables.

7 Estrategias racionalizables El orden de eliminación de las estrategias estrictamente dominadas no afecta al resultado. Cuidado!: No se deben eliminar estrategias débilmente dominadas para encontrar las estrategias racionalizables.

8 Estrategias racionalizables. Ejemplo Consideremos el juego B1 B2 B3 A1 1, 1 0, 0-1, 0 A2 0, 0 0, 6 10, - 1 A3 2, 0 10, - 1-1, - 1 B3 está estrictamente dominada por B1: B1 B2 A1 1, 1 0, 0 A2 0, 0 0, 6 A3 2, 0 10, - 1 A1 y A2 están estrictamente dominadas por A3.

9 Estrategias racionalizables. Ejemplo Tras la úl+ma iteración nos queda: B1 B2 A3 2, 0 10, - 1 B2 está estrictamente dominada por B1, de manera que {(A3, B1)} será el conjunto de estrategias racionalizables. En este caso solo hay un perfil en el conjunto, pero puede haber muchos.

10 Equilibrio de Nash El concepto de equilibrio de Nash iden+fica los perfiles de estrategias en los que ningún jugador +ene incen+vos para desviarse si espera que los demás adopten las acciones que el equilibrio prescribe para ellos. Cada jugador +ene que estar jugando su mejor estrategia dadas las elecciones de los otros jugadores. Ningún jugador +ene incen+vos a cambiar su estrategia unilateralmente.

11 Equilibrio de Nash Definición. Un equilibrio de Nash (EN) de un juego en forma normal G es un perfil de estrategias s * = (s *,..., 1 s* ) n tal que para cada Jugador i y cada estrategia tenemos u i (s * i, s * i ) u i (s i, s * i ) s i S i Interpretaciones del equilibrio de Nash: Es una norma autosostenible: una vez aceptada, ningún jugador +ene incen+vos para no seguirla Es un perfil de expecta+vas que se autoconfirman: si los jugadores esperan que los demás se comporten de acuerdo con lo prescrito, entonces estas acciones ocurren como consecuencia de la conducta de los jugadores.

12 Equilibrio de Nash Una estrategia estrictamente dominada no puede ser nunca jugada en un equilibrio de Nash. El conjunto de estrategias racionalizables incluye todos los equilibrios de Nash. Si cada jugado +ene una única estrategia racionalizable, el conjunto de estrategias racionalizables cons+tuye el único equilibrio de Nash.

13 Equilibrio de Nash. Cálculo Un equilibrio de Nash se caracteriza por que cada jugador responde de la mejor manera que puede frente a las estrategias de los demás jugadores. Para cada jugador i N y para cada perfil de estrategias de los demás jugadores, s i S i, iden+ficamos la estrategia que maximiza la u+lidad del Jugador i, MR i (s i ). Nos referimos a MR i (s i ) como la mejor respuesta del Jugador i al perfil s - i. Esta interpretación permite reformular el concepto de equilibrio de Nash como una solución a un sistema de ecuaciones. Si, por ejemplo, N = 2, el EN resuelve el sistema: s 1 * = MR 1 (s 2 * ) s 2 * = MR 2 (s 1 * )

14 Equilibrio de Nash. Ejemplos Coordinación Jugador 2 I 2 D 2 Jugador 1 I 1 1, 1 0, 0 D 1 0, 0 1, 1 EN = {(I 1,I 2 ), (D 1,D 2 )}

15 Equilibrio de Nash. Ejemplos Batalla de los sexos Jugador 2 F 2 B 2 Jugador 1 F 1 2, 1 0, 0 B 1 0, 0 1, 2 EN = {(F 1,F 2 ), (B 1,B 2 )}

16 Equilibrio de Nash. Ejemplos Dilema del prisionero Jugador 2 C 2 D 2 Jugador 1 C 1-1, - 1-4, 0 D 1 0, - 4-3, - 3 EN = {(D 1,D 2 )}

17 Equilibrio de Nash. Ejemplos Pares y nones Jugador 2 P N 2 Jugador 1 P 1 1, - 1-1, 1 N 1-1, 1 1, - 1 EN =

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