GOBIERNO DEL ESTADO DE MÉXICO SECRETARÍA DE EDUCACIÓN SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR Y SUPERIOR DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR

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1 GOBIERNO DEL ESTADO DE MÉXICO SECRETARÍA DE EDUCACIÓN SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR Y SUPERIOR DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR ESCUELA PREPARATORIA OFICIAL No. 5 EMILIANO ZAPATA GUIA DE ESTUDIO PARA EL EXAMEN ESTRAORDINARIO DE PENSAMIENTO ALGEBRAICO PROF. ING. JAIME CHÁVEZ CARRILLO

2 .- Definición de Razón.- Términos de una Razón.- Definición de Proporcionalidad 4.- Términos de una Proporción o Proporcionalidad 5.- Propiedad Fundamental de las Proporciones 6.- Cuarta Proporcionalidad 7.- Tercera Proporcionalidad 8.- Media Proporcionalidad 9.- Definición de Proporcionalidad Directa 0.- Definición de Proporcionalidad Inversa.- Definición de Constante de Proporcionalidad.- Fórmula de la Constante de Proporcionalidad Directa Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo Página: de 44

3 .- Fórmula de la Constante de Proporcionalidad Inversa 4.- Definición de Porcentaje (tanto por ciento) Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo Página: de 44

4 Problemas de Proporcionalidad: Indicando los Cuatro Elementos para su Resolución. a) Si en un Mapa se traza con la escala de ½ cm. a 5 kilómetros, Qué distancia representan 7 centímetros? Planteamiento Proporción Resultado b) Si un aeroplano vuela 580 kilómetros en una hora y media, Cuánto volará en dos horas y cuarenta minutos? Planteamiento Proporción Resultado c) Si el ruido de una explosión se oye a 45 metros en cuatro segundos, calcúlese a qué distancia está una persona que oye la explosión en seis segundos después de que ésta ocurre. Planteamiento Proporción Resultado d) Una fotografía tiene 0 cm de largo y cm de ancho; al hacer una amplificación se quiere tener 0 cm de largo. Cuánto medirá el ancho? Planteamiento Proporción Resultado Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo Página: de 44

5 e) Si en el problema anterior la fotografía se quiere reducir de modo que el largo sea de 5 cm, Cuánto medirá el ancho? Planteamiento Proporción Resultado f) Para recorrer 560 km, un automóvil necesitó 80 litros de gasolina. Cuántos litros necesitará para un viaje de 840 km si el consumo está en la misma proporción? Planteamiento Proporción Resultado g) Hallar la altura de un árbol que proyecta una sombra de.5 m, si sabemos que un poste de.8 m de alto proyecta una sombra de.5 m. Planteamiento Proporción Resultado h) Una mezcla de harina y leche contiene 60% de harina y 40% de leche. Si hay en la mezcla 50 ml de leche, Cuántos gramos hay de harina? Planteamiento Proporción Resultado Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo Página: 4 de 44

6 i) Un engrane dentado de 8 pulgadas engrana con otra de 6 pulgadas. Suponiendo que el engrane mayor tenga 7 dientes, Cuántos dientes tendrá el más pequeño? Planteamiento Proporción Resultado j) Una polea de 60 cm de diámetro y que da 80 revoluciones por minuto, mueve a otra polea de 5 cm de diámetro. Cuántas revoluciones por minuto dará la polea más pequeña? Planteamiento Proporción Resultado Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo Página: 5 de 44

7 Un Automóvil está viajando a una velocidad constante de 60 Km/h al aumentar el tiempo, la distancia recorrida será mayor, el experimento ha sido ejecutado con seis horas diferentes. Completa la siguiente tabla de valores y construye la gráfica que describe este problema. No olvidar indicar todo el procedimiento y operaciones utilizando las fórmulas de Proporcionalidad. Y finalmente coloca todos los Elementos que debe llevar una Gráfica en un Plano Cartesiano (5 Elementos). Distancia X Tiempo Y Procedimiento Matemático 60 Km. Hora Horas Horas 4 Horas 5 Horas 6 Horas Proporcionalidad: Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo Página: 6 de 44

8 Un Albañil tarda 0 días en construir un departamento, al aumentar el número de albañiles, el tiempo empleado para realizar el mismo trabajo será menor, el trabajo ha sido ejecutado con 6 albañiles. Completa la siguiente tabla de valores y construye la gráfica que describe este problema. No olvidar indicar todo el procedimiento y operaciones utilizando las fórmulas de Proporcionalidad. Y finalmente coloca todos los Elementos que debe llevar una Gráfica en un Plano Cartesiano (5 Elementos). Albañiles X Tiempo Y Procedimiento Matemático 0 Días Proporcionalidad: Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo Página: 7 de 44

9 Un Automóvil está viajando a una velocidad constante de 60 Km/h al aumentar el tiempo, la distancia recorrida será mayor, el experimento ha sido ejecutado con seis horas diferentes. Completa la siguiente tabla de valores y construye la gráfica que describe este problema. No olvidar indicar todo el procedimiento y operaciones utilizando su Respectiva Constante de Proporcionalidad. Y finalmente coloca todos los Elementos que debe llevar una Gráfica en un Plano Cartesiano (5 Elementos). Distancia X Tiempo Y Procedimiento Matemático 60 Km. Hora K = Horas Horas 4 Horas 5 Horas 6 Horas Proporcionalidad: Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo Página: 8 de 44

10 Un Albañil tarda 0 días en construir un departamento, al aumentar el número de albañiles, el tiempo empleado para realizar el mismo trabajo será menor, el trabajo ha sido ejecutado con 6 albañiles. Completa la siguiente tabla de valores y construye la gráfica que describe este problema. No olvidar indicar todo el procedimiento y operaciones utilizando su Respectiva Constante de Proporcionalidad. Y finalmente coloca todos los Elementos que debe llevar una Gráfica en un Plano Cartesiano (5 Elementos). Albañiles X Tiempo Y Procedimiento Matemático 0 Días K = Proporcionalidad: Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo Página: 9 de 44

11 Resolver los siguientes problemas de Porcentaje: Indicando los Cuatro Elementos para su Resolución. a) Un metro de Tela cuesta $ 5.00 A cómo tengo que venderla para ganar el 0 % del costo? Planteamiento Proporción Resultado b) De los 50 alumnos de la EPO 5, el 56 % no acreditaron la materia de Pensamiento Algebraico. Cuántos alumnos aprobaron la materia y cuantos no la aprobaron? Planteamiento Proporción Resultado c) De las 40 canicas que tiene un niño, 48 son rojas. Hallar el % de las canitas rojas Planteamiento Proporción Resultado d) Un comerciante compra televisores a $ , A cómo tiene que venderlos para ganar el 5 % de la venta? Planteamiento Proporción Resultado Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo Página: 0 de 44

12 e) 0 es qué porcentaje de 4? Planteamiento Proporción Resultado f) 5 es qué porcentaje de 000? Planteamiento Proporción Resultado g) En un examen con 88 preguntas, un estudiante contestó correctamente 76. Qué porcentaje de preguntas contestó correctamente? Planteamiento Proporción Resultado h) La sangre contiene 90 % de agua. El adulto en promedio tiene 5 litros de sangre. Cuánta agua hay en la sangre de un adulto? Planteamiento Proporción Resultado Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo Página: de 44

13 Definición de Función Definición de Relación Definición de Dominio o Conjunto de Partida Definición de Contradominio, Imagen o Ámbito Definición de Regla de Correspondencia Indique para cada recuadro si es una Función o bien si es una Relación. Utilizando los Elementos Respectivos para Un Diagrama de Flechas (4 elementos cada diagrama). ) ) X A Y B 4 Z C 6 W D 4 8 ) 4) Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo Página: de 44

14 5) 6) A 6 B C D ) 8) X 4 4 X 8 O 5 X 4 X 5 6 Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo Página: de 44

15 Llene las Tablas y Grafique su respectiva Función y Complete los Diagramas de Flechas con todos y cada uno de sus Elementos (4 Elementos), tanto las Gráficas como los Diagramas. En las Tablas Indicar todo el Procedimiento Matemático. y = x X y Procedimiento Matemático y = x + X y Procedimiento Matemático - -4 Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo Página: 4 de 44

16 y = x X y Procedimiento Matemático - -4 y = x + 4 x y Procedimiento Matemático 0 6 Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo Página: 5 de 44

17 Complete las Tablas y Grafique las siguientes Funciones Cuadráticas e indique todos y cada uno de los Elementos de un Plano Cartesiano (4 Elementos). f x x x ( ) X Y Procedimiento Matemático -4 f(x) = y = Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo Página: 6 de 44

18 f x x x ( ) X Y Procedimiento Matemático -4 f(x) = y = Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo Página: 7 de 44

19 f x x x ( ) X Y Procedimiento Matemático -4 f(x) = y = Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo Página: 8 de 44

20 Complete las Tablas y Grafique las siguientes Funciones Polinómicas e indique todos y cada uno de los Elementos de un Plano Cartesiano (4 Elementos). f x x x x ( ) 5 4 X Y Procedimiento Matemático -4 f(x) = y = Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo Página: 9 de 44

21 f x x x x x 4 ( ) X Y Procedimiento Matemático -4 f(x) = y = Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo Página: 0 de 44

22 f( x) x X Y Procedimiento Matemático -4 f(x) = y = Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo Página: de 44

23 f ( x) log x X Y Procedimiento Matemático f(x) = y = Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo Página: de 44

24 f( x) 4 x X Y Procedimiento Matemático -4 f(x) = y = Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo Página: de 44

25 f ( x) log 4 x X Y Procedimiento Matemático f(x) = y = Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo Página: 4 de 44

26 Dada las Gráficas, Calcular la Pendiente, su Ordenada al Origen y su Ecuación de la Recta. Y (0,) y y m y m (,) x x y x x X m = b = y = Valores Y X (-,-) (,-4) Valores m = b = y = Y (-5,8) (5, 7) X Valores m = b = y = Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo Página: 5 de 44

27 Y (0,) X (-,0) Valores m = b = y = Y (-, ) X (4, -9) Valores m = b = y = Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo Página: 6 de 44

28 Con los Ejercicios anteriores, encontrar la Pendiente y la Ordenada en el Origen de las Siguientes Ecuaciones. (Utilizando única y exclusivamente la Lógica). y = x - y = x + y = 6 - x y = x + y = - x y = x - y = - x y = x - y = x - 5 y = 4 - x y = x - y = x y = x + 4 y = - 7x y = 5 - x y = 0.5x y = - 4 y = - x y = x + 8 y = - x ECUACIÓN PENDIENTE ORDENADA EN EL ORIGEN Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo Página: 7 de 44

29 Encuentre la Ecuación para cada ejercicio si se conoce su Pendiente y su Ordenada al origen. Nota: No Utilizar ningún Procedimiento Matemático, sólo Lógico. Y escribirlo sin Faltas de Ortografía Matemática m = 4 ; ( 0, 6 ) => y = m = - ; ( 0, ) => y = m = m = ; ( 0, - 4 ) => y = ; ( 0, - 8 ) => y = m = 0 ; ( 0, - 6 ) => y = m = m = - ; ( 0, ; ( 0, 4 ) => y = ) => y = m = - ; ( 0, 0 ) => y = m = ; ( 0, 0 ) => y = m = ; ( 0, ) => y = m = 4 ; ( 0, m = 5 ; ( 0, 5 4 ) => y = ) => y = Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo Página: 8 de 44

30 Para cada Familia de Funciones Lineales: Representarla por medio de su Tabla, su Gráfica e indicar si la Familia de Funciones son Paralelas o bien se cruzan en algún punto (si se cruzan en un punto, indicar también el punto de Intersección). Finalmente indicar todos y cada uno de los Elementos de un Plano Cartesiano(4 Elementos). y = x + y = x y = x x y x y x y Las Familias de Funciones Lineales: Indicar el Punto de Intersección (si lo hay): Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo Página: 9 de 44

31 y = x y = x y = x x y x y x y Las Familias de Funciones Lineales: Indicar el Punto de Intersección (si lo hay): Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo Página: 0 de 44

32 Escribe sobre la línea si las siguientes familias son paralelas o se cortan en un punto (si se cortan en un punto, indicar el punto en de intersección). y = x y = x + y = x 4 y = x + y = x y = x + y = x y = x + y = x + y = x + y = x + 8 y = x y = x y = x + y = x y = 5x + 4 y = x y = x y = x y = x + 4 y = x y = x y = x y = x Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo Página: de 44

33 Resuelva los Siguientes Sistemas de Ecuaciones x por el Método que se indica. Método de Sustitución Guía de Estudio de Pensamiento Algebraico x + y = 4 x + y = 6 x + y = 8 x + y = x + 4y = 4 x + y = 5 Y = Y = Y = Método de Suma y Resta (Reducción o Eliminación) 4x + y = 9 4x + 5y = 8x + 5y = 9 x y = 4x y = 5 x 5y = 4 Y = Y = Y = Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo Página: de 44

34 Método Gráfico (Indique para cada gráfica sus respectivos 4 Elementos). x + y = 4 x y = 4 X Y X Y 0 0 Guía de Estudio de Pensamiento Algebraico Y= x y = 5 x + y = 5 X Y X Y X= Y= Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo Página: de 44

35 x + y = 6 x + 4y = 4 X Y X Y X= Y= Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo Página: 4 de 44

36 Resuelva los Siguientes Sistema de Ecuaciones x por el Método de Suma y Resta (Eliminación o Reducción) x + y z = 4 x y z = x y + z = Y = Z = x y z = x y z = x + y + z = 4 Y = Z = Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo Página: 5 de 44

37 4x y z = 4 x y + z = 0 x + y + z = Y = Z = Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo Página: 6 de 44

38 x c a x 0 ax c 0 x ax bx 0 c x a b a ax bx c 0 x, b b 4ac a Hallar las Raíces de las Ecuaciones Cuadráticas según la Fórmula que le corresponda 8 x 5x 7 x 5 4x 4 5 x 5x 5 x 65 x 7 X X X X X X X X X X x 5x 0 x x 0 x x x x 0 x 7x 0 X X X X X X X X X X Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo Página: 7 de 44

39 x 4x 0 x 0x 6 0 x 5x 0 x 7x 4 0 5x x 0 X X X X X X X X X X Factorización por Trinomio Cuadrado Perfecto 4x x 9 0 9x x 4 0 6x 8x 0 6x 56x x 60x 5 0 X X X X X X X X X X Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo Página: 8 de 44

40 Factorización Simple o Directa para cuando a = x 4x 0 x 0x 6 0 x x 5 0 x 5x 4 0 x 4x 0 X X X X X X X X X X Factorización Simple o Directa para cuando a x 5x 0 x 7x 4 0 x 7x 4 0 x 8x 0 5x x 0 X X X X X X X X X X Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo Página: 9 de 44

41 Completando el TCP para cuando a = x 4x 0 x x 5 0 x 4x 5 0 x 6x 8 0 x 6x 55 0 X X X X X X X X X X Completando el TCP para cuando a x x 0 x 5x 0 x x 9 0 x 8x 0 4x 7x 0 X X X X X X X X X X Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo Página: 40 de 44

42 Problemas de Aplicación de Ecuaciones Cuadráticas Los catetos de un triángulo rectángulo son dos números enteros consecutivos y el área del triángulo es de 6 m. Cuánto mide cada cateto?. Datos Ecuación Cuadrática y Resolución Resultado El cuadrado del dinero que tengo aumentado en su cuádruple y disminuido en 6 es igual a $ Cuánto dinero tengo?. Datos Ecuación Cuadrática y Resolución Resultado El área del piso de una sala mide 40 m, si su largo mide 6 m más que el ancho. Cuáles son sus dimensiones?. Datos Ecuación Cuadrática y Resolución Resultado Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo Página: 4 de 44

43 El ancho de un terreno rectangular es m mayor que la mitad de su largo y su área es de 48 m. Cuáles son las dimensiones del terreno?. Datos Ecuación Cuadrática y Resolución Resultado El cuadrado de un número menos el doble del número es 48. Determine el número. Datos Ecuación Cuadrática y Resolución Resultado Calcular dos números enteros consecutivos cuyo producto es 46. Datos Ecuación Cuadrática y Resolución Resultado Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo Página: 4 de 44

44 El área de un terreno rectangular es de 90 m. Si su largo mide m más que su base. Cuáles son sus dimensiones?. Datos Ecuación Cuadrática y Resolución Resultado Prof. Ing. Jaime Chávez Carrillo Página: 4 de 44