Breve introducción a Matrices

Transcripción

1 4 - Producto de matrices Breve introducción a Matrices El producto de matrices que definiremos a continuación difiere del producto definido en R en algunos aspectos, por ejemplo en el producto de matrices las matrices factores deben cumplir ciertas condiciones (con lo que el producto no está definido para dos matrices cualesquiera; el producto de matrices no es conmutativo; el producto de dos matrices puede ser la matriz nula y ninguno de los dos factores serlo. Def. 4.1 Sean A M p q y B M q r con p,q,r N, definimos el producto de A por B como la matriz C = (c i j definida de la siguiente manera: c i j = a ik b k j con 1 i p y 1 j r. Es decir que se trata de una ley de composición interna del tipo:. : M pxq M qxr M pxr Observación 4.1 i De la definición dada arriba deducimos que el producto de dos matrices de orden p q y q r respectivamente, será una matriz de orden p r. ii Es evidente que si en el producto de dos matrices A y B de orden p q y q r respectivamente p r no es posible plantear el producto de B por A. Podríamos preguntarnos entonces si en el caso de que p = r el producto sería conmutativo, pero una vez más surge el hecho de que el orden de A.B es p p y el orden de B.A es q q. Ampliamos entonces nuestro cuestionamiento y preguntamos y si las matrices A y B fuesen cuadradas y de igual orden?. Teorema 4.1 Para toda matriz A M m n se tiene que: A.I n = I m.a = A Calculemos por un lado A.I n y por otro I m.a y probemos que en ambos casos el resultado es A: ( k=n A.I n = a ik.δ k j = (a i j.δ j j = (a i j = A I m.a = ( k=m δ ik.a k j = (δ ii.a i j = (a i j = A Teorema 4.2 Sean A M p q y B M q r se tiene que: (A.B t = B t.a t

2 Calculemos por separado ambos miembros de la igualdad a demostrar y veamos finalmente si son iguales o no: A.B = a ik.b k j = (c i j (A.B t = (c ji = B t = ( b ji y A t = ( a ji B t.a t = b ki.a jk a jk.b ki Teorema 4.3 Para toda matriz A M p q se tiene que: ( A.A t y ( A t.a son matrices simétricas. Alcanza con probar 1 que (A.A t t = (A.A t y que (A t.a t = (A t.a Teorema 4.4 Sean A M p q y B M q r y α,β R, se tiene que: (α.a.(β.b = (α.β.(a.b = (β.a.(α.b Apliquemos la definición de producto de matrices: (α.a.(β.b = (α.a ik.(β.b k j = ((α.β.a ik.b k j = (α.β. a ik.b k j = (α.β.(a.b Teorema 4.5 Sean A M p q y B M q r y C M r s se tiene que: (A.B.C = A.(B.C Identifiquemos primero un elemento genérico del producto (A.B, sea x ih dicho elemento: x ih = a ik b kh entonces el elemento de la fila i y de la columna j de la matriz (A.B.C será el y i j definido como: y i j = h=r x ih c h j = h=r 1 Recordar el teorema 1.2 a ik.b kh.c h j = h=r a ik.b kh.c h j = h=r a ik.b kh.c h j

3 y i j = h=r a ik b kh.c h j y esta última igualdad representa el elemento de la fila i y la columna j del producto A.(B.C, lo que prueba el teorema. Teorema 4.6 Sean A M p q y B,C M q r se tiene que: A.(B +C = A.B + A.C Por cuenta del lector. Si prestamos especial antención al conjunto de las matrices cuadradas de orden n y recordando algunos resultados obtenidos podemos concluír que 2 : (M n n,+,. tiene estructura de anillo unitario no conmutativo. Veamos ahora cómo a partir de la definición dada anteriormente podemos introducir la idea de potencia de exponente natural de una matriz cuadrada. Def. 4.2 Sea A una matriz cuadrada, A M n n y n N, definimos entonces: A 0 = I A 1 = A A n+1 = A n.a Teorema 4.7 Sean A una matriz cuadrada, A M n n y p, r N, se tiene entonces que: A p.a r = A p+r Haremos la demostración por inducción sobre r; para r = 1 la tesis es cierta ya que quedaría A p.a = A p+1 de acuerdo con la definición dada más arriba. Resta ahora demostrar el siguiente teorema: H la proposición es cierta para r = n con n N, n 1, es decir que vale que A p.a n = A p+n. T la proposición es cierta para r = n + 1, o sea que A p.a n+1 = A p+(n+1. 2 siendo + y. las dos leyes de composición interna definidas anteriormente

4 Podemos escribir: A p.a n+1 = A p.(a n.a = (A p.a n.a = A p+n.a = A (p+n+1 = A p+(n+1 lo que demuestra este último teorema y a la vez el teorema 4.7. Ejercicios 1 Dadas las siguientes matrices A = ( B = ( C = ( calcula a A.B b B.C c A.B.C d 2(A + B.C 2 Dadas las matrices A y B A = 0 0 B = ( observa que ninguna de ellas es la matriz nula. Calcula ahora el producto A.B y si el resultado te sorprende expresa tu conclusión. 3 Calcula ( Dadas las matrices A,B M p p valdrá que (A + B 2 = A 2 + 2AB + B 2? Si opinas que si, pruébalo, si opinas que no, da un contraejemplo. 5 Halla las matrices X de orden 2 2 que verifiquen ( X = Resuelve en (M n n,+,., la ecuación X. ( = 0 1 7

5 Utilizando el resultado anterior, resolver ( ( 3 4.Y = Considera las siguientes matrices M y N y los reales α y β tales que α, β [0,2π ( ( cos(α sen(α cos(β sen(β M = y N = sen(α cos(α sen(β cos(β investiga si el producto de M por N es conmutativo. 9 Calcula la potencia n ésima de las siguientes matrices A = k y B = k discutiendo según k R. k 1 10 Crees que en el producto de matrices vale la propiedad cancelativa? Es decir crees que vale que si: A.B = A.C entonces B = C si tu respuesta es afirmativa, pruébalo, si es negativa da un contraejemplo. 11 Prueba que si la matriz A M p p es simétrica, entonces (AB t.b es simétrica para toda matriz B M p p.