Curso de Estadística Unidad de Medidas Descriptivas. Lección 10: Síntesis de Medidas Descriptivas

Transcripción

1 1 Curso de Estadística Unidad de Medidas Descriptivas Lección 10: Síntesis de Medidas Descriptivas Creado por: Dra. Noemí L. Ruiz Limardo, EdD 010 Derechos de Autor

2 Objetivos 1. Reconocer las funciones de la estadística descriptiva.. Identificar los pasos que componen el método estadístico. 3. Aplicar el método estadístico en un estudio o investigación.

3 3 Introducción Síntesis de Estadística Descriptiva: Realización de un Estudio La estadística es una ciencia muy antigua, y es auxiliar de todas las demás ciencias. La administración de empresas, las ciencias médicas, la ingeniería, así como las investigaciones científicas dependen de las estadísticas para que la toma de decisiones sea efectiva durante el proceso de llevar a cabo sus funciones. Es por esto, que los procesos estadísticos se deben llevar a cabo cuidadosamente y de forma científica. Para que los datos sean útiles, las observaciones necesitan estar organizadas de tal forma que se puedan identificar tendencias a fin de llegar a conclusiones lógicas. La estadística se compone de dos ramas: descriptiva e inferencial. En las lecciones anteriores se han estudiado sólo temas concernientes a la estadística descriptiva. Diagrama 1: Resumen Procesos de Estadística Descriptiva ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA RECOPILACIÓN Y AGRUPACIÓN DE DATOS REPRESENTACIÓN DE DATOS DESCRIPCIÓN DE DATOS RECOPILACIÓN DE DATOS CRUDOS TABLAS Y GRÁFICAS AGRUPACIÓN DE DATOS POR VALOR SIMPLE AGRUPACIÓN DE DATOS POR CLASES MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL MEDIDAS DE VARIACIÓN MEDIDAS DE POSICIÓN

4 4 El Diagrama a continuación, presenta las medidas descriptivas que se han estudiado en este curso. Diagrama : Resumen Medidas de Estadística Descriptiva MEDIDAS DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA POSICIÓN VARIACIÓN TENDENCIA CENTRAL CUARTILES PERCENTILES MEDIANA* AMPLITUD VARIANZA DESVIACIÓN ESTÁNDAR COEFICIENTE DE VARIACIÓN MEDIA MEDIANA* MODA * La mediana es tanto medida de posición como de tendencia central. Antes de confiar en cualquier interpretación de datos o en cualquier generalización que se haga de una muestra hacia la población bajo estudio, es necesario poner a prueba los datos, haciéndose estas preguntas: Cómo se recopilaron los datos? Es probable que haya algún interés en suministrar datos que lleven a una conclusión en lugar de otra? Cuántas observaciones se realizaron? Son los datos representativos de la población bajo estudio? Estas preguntas pueden servir de guía para tomar conciencia de los usos incorrectos que se le pueden dar a la estadística. Entre los factores que promueven el mal uso de las estadísticas se pueden mencionar: errores en el diseño de cuestionarios, errores en el muestreo y errores en la representación de los datos. Al presente las computadoras juegan un papel muy importante en el manejo de las estadísticas. Las mismas producen resultados rápidos y menos propensos a errores. Así también, las computadoras permiten que el estadístico dedique más tiempo a la interpretación de resultados en lugar de realizar cómputos largos y tediosos. El uso de Excel es una herramienta muy útil ya que su potencial en análisis estadísticos y para construir gráficas, unido a

5 5 su bajo costo y fácil acceso, facilita la realización de análisis estadísticos. Además de Excel, existen otros programas estadísticos en el mercado que se utilizan frecuentemente. El Método Estadístico consiste en llevar a cabo los siguientes pasos: a. Definición del problema que se desea estudiar. b. Selección de una muestra lo más representativa posible de la población bajo estudio, esto es una muestra probabilística. Para ello se pueden utilizar los siguientes métodos de muestreo: muestreo aleatorio simple, muestreo estratificado, muestreo sistemático y muestreo por conglomerados. c. Agrupación de Datos: Los datos pueden agruparse por valor simple o por clases. Para llevar a cabo estos procesos se utilizan los conceptos de frecuencia relativa, frecuencia acumulada y marcas de clases, discutidos en lecciones anteriores. d. Representación de Datos: Los datos se pueden representar por medio de tablas o de gráficas, o ambos. Entre las gráficas más populares podemos mencionar: gráficas de barras, gráficas circulares ( Pie-charts ), histogramas, gráficas de puntos, gráficas lineales, polígonos de frecuencias y gráficas pictóricas. El tipo de gráfica que se utiliza depende del tipo de variable (discreta o continua) y de la escala que se utiliza para medir la variable (nominal, ordinal, intervalar o de razón). e. Cálculo de Medidas Descriptivas: Entre éstas se incluyen las siguientes: 1. Medidas de Tendencia Central: Son valores que generalmente tienden a ubicarse hacia el centro de una distribución. Las tres medidas de tendencia central más frecuentes son: media, mediana y moda.. Medidas de Variación: Las medidas de variación son utilizadas para indicar el grado de uniformidad (homogeneidad) entre los datos de la variable bajo estudio. Permiten determinar el grado de variación (desviación o dispersión) que tienen los datos con respecto a la media. Las medidas de variación más comunes son: amplitud, varianza, desviación estándar y coeficiente de variación. 3. Medidas de Posición: Son aquellos valores de la variable, que ordenados de menor a mayor, dividen a la distribución ordenada en partes iguales. Entre estas se incluyen los cuartiles y los percentiles.

6 6 f. Análisis de Resultados Se analizan los resultados obtenidos en las medidas descriptivas anteriores a la luz del significado de las mismas. Se puede utilizar también análisis de las frecuencias o frecuencias relativas obtenidas al agrupar los datos. g. Conclusiones, Recomendaciones y Toma de Decisiones. Se establecen las conclusiones y recomendaciones que se derivan del análisis anterior. Se toman las decisiones pertinentes respecto al problema estudiado. En esta lección se modelará la realización de un estudio completo con el propósito de ilustrar los siete pasos descritos anteriormente, los cuales comprenden el método estadístico. A continuación presentamos los detalles del estudio a realizarse. Estudio Estadístico Datos sobre el estudio: El Departamento de Educación de PR interesa hacer un estudio socioeconómico de los estudiantes matriculados en las Escuelas Públicas Diurnas de Puerto Rico. El propósito del estudio es conocer información relacionada al por ciento de estudiantes en las escuelas públicas diurnas de Puerto Rico que caen bajo los niveles de pobreza. Esta información es una herramienta valiosa para determinar las necesidades de los estudiantes y planificar los programas de servicios que ofrece la agencia. Este es un estudio descriptivo. Para determinar los niveles de pobreza por familia se utiliza el proceso preparado anualmente por el Mid Atlantic Region del Food Nutrition Service, del Departamento de Agricultura de los Estados Unidos. Hace diez años el Departamento de Educación logró identificar el por ciento de estudiantes de escuela pública que cayeron bajo el nivel de pobreza en los 101 distritos escolares de PR. Debido a que no se conoce la información similar correspondiente de años subsiguientes, se utilizarán los datos poblacionales disponibles a fin de obtener una muestra que sea aceptable para realizar el estudio. Para evitar problemas con la privacidad de la información, se identificarán los distritos escolares a través de un número secuencial sin revelar su nombre. La Tabla 1 a continuación, presenta estos datos.

7 7 Tabla 1: Informe Socioeconómico Año Académico XXXX por Distrito Escolar del Departamento de Educación de PR DISTRITO ESCOLAR % DISTRITO ESCOLAR % DISTRITO ESCOLAR % DISTRITO ESCOLAR % DISTRITO ESCOLAR % A. PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN Qué por ciento de estudiantes en las escuelas públicas diurnas de P.R. caen bajo los niveles de pobreza? 1. Clasificación de nuestra variable de interés: La variable bajo estudio es el por ciento de estudiantes bajo los niveles de pobreza. La misma es cuantitativa continua.. Población: Nuestro universo o población bajo estudio son los estudiantes de los 101 distritos escolares en Puerto Rico para el año académico XXXX (diez años antes del presente año).

8 8 B. SELECCIÓN DE LA MUESTRA 1. Determinar el Tamaño de Muestra: El primer paso para seleccionar la muestra es determinar su tamaño. Para ello se han construido tablas que permiten determinar el tamaño de la muestra a partir del tamaño de la población y el nivel de confiabilidad que se requiere en los resultados. Debido a que la discusión de estas tablas está fuera del alcance de este curso, se recomienda utilizar una muestra de al menos un 0% de la población para poblaciones que tienen entre 50 y 300 elementos. En el presente estudio, el tamaño de la población es igual a 101, por lo tanto el tamaño de muestra, que debe ser un número entero, se calcula de la siguiente manera, y se obtiene un tamaño igual a 1. (Como el resultado fue 0., sobrepasó 0 distritos. Como debe ser un número entero, se redondeó hacia arriba para obtener 1 distritos.) n 101(0.0) Cuál de todos los métodos de muestreo se debe aplicar para que la muestra sea probabilística? En este caso se tiene una lista completa de la población bajo estudio, por lo tanto se puede utilizar el método de muestreo aleatorio simple. Se utilizará la Tabla 1 de números aleatorios que aparece en la Lección 4. Comenzando con el primer número aleatorio y leyendo las columnas hacia abajo, se seleccionarán los primeros 1 distritos escolares que coincidan con los números aleatorios. A continuación se muestra la Tabla 1 de la Lección 4. Tabla 1-Lección 4: Fragmento de la Tabla de Números Aleatorios

9 9 La muestra resultante es la siguiente: Tabla : Muestra Resultante ELEMENTO EN LA MUESTRA # DISTRITO ESCOLAR % C. AGRUPACIÓN DE DATOS Debido a que la muestra no tiene datos repetidos no se recomienda la agrupación por valor simple ya que la frecuencia de todos los datos sería igual a uno. Por lo tanto se procede a agrupar los datos por clases. 1. Determinar el Total de Clases K: Se establece por conveniencia que el total de clases será 6.. Hallar el Ancho de Clase w: Se utilizará la siguiente fórmula: w Amplitud K DatoMayor DatoMenor TotalDeClases

10 10 3. Hallar los Límites de Clases: Comenzando con el dato menor se suma el ancho de clase encontrado hasta terminar con dato mayor como límite superior de la última clase. Tabla 3: Límites de Clase CLASE # LIMITE INFERIOR LIMITE SUPERIOR Hallar la Marca de Clase: La marca de clase es el punto medio entre los límites de clase Tabla 4: Marca de Clase CLASE # CLASE MARCA DE CLASE Hallar las Frecuencias de cada Clase: Se cuenta cuántos datos caen en cada clase para conocer su frecuencia absoluta y partiendo de ésta se pueden hallar las otras frecuencias (relativa y acumulada) para finalizar con la Distribución de Frecuencias. Tabla 5: Distribución de Frecuencia CLASE # CLASE MARCA DE CLASE FRECUENCIA FRECUENCIA ACUMULADA FRECUENCIA RELATIVA % TOTAL 1 100

11 11 D. REPRESENTACIÓN DE DATOS Debido a que la variable es cuantitativa continua, un histograma es la mejor representación gráfica que podemos hacer de los datos. Gráfica 1: Estudiantes Bajo el Nivel de Pobreza en Escuelas Públicas FRECUENCIA POR CIENTO DE ESTUDIANTES BAJO LOS NIVELES DE POBREZA EN ESCUELAS PÚBLICAS PORCIENTO BAJO EL NIVEL DE POBREZA A. CÁLCULO DE MEDIDAS DESCRIPTIVAS 1. Medidas de Tendencia Central a. Media Tabla 6: Por ciento de Estudiantes Bajo el Nivel de Pobreza en Escuelas Públicas CLASE # CLASES MARCAS DE CLASE FRECUENCIA m. i f i TOTAL 1 1,

12 1 x m n i f i % b. Moda c. Mediana La clase modal es la cuarta, la que va de a Tabla 7: Por ciento de Estudiantes Bajo el Nivel de Pobreza en Escuelas Públicas CLASE # CLASES MARCAS DE CLASE FRECUENCIA FRECUENCIA ACUMULADA TOTAL 1 Se determina la posición de la mediana hallando el 50% de n: n (0.50) 1 (0.5) 10.5 También, se puede determinar la posición de la mediana dividiendo n por : 11 n En este caso, el dato que representa la mediana se encuentra en la undécima posición. Al observar la columna de frecuencias acumuladas se determina que

13 13 el undécimo dato se encuentra en la cuarta clase. n Mediana Finf f fa w Mediana Mediana Medidas de Dispersión a. Amplitud Amplitud = Dato Mayor Dato Menor = = b. Varianza Para determinar la varianza se añaden varias columnas a la tabla de distribución de frecuencias. La Tabla 8 a continuación muestra los resultados.

14 14 Tabla 8: Por ciento de Estudiantes Bajo el Nivel de Pobreza en Escuelas Públicas CLASE # CLASE MARCA DE CLASE FREC. m i x ( x) m i ( m i x). f TOTAL s ( m i n x) 1 f c. Desviación Estándar Para hallar la desviación estándar se extrae la raíz cuadrada de la varianza obtenida anteriormente. s d. Coeficiente de Variación cv s x Medidas de Posición Solo se hallará el primer y tercer cuartil ya que el segundo cuartil es la mediana que ya se obtuvo.

15 15 a. Primer cuartil (Q 1 ): posición Q1 n(0.5) 1 (0.5) En este caso, el quinto dato sería el primer cuartil. Si observamos las frecuencias acumuladas notamos que el quinto dato estaría en la segunda clase. Q 1 P (0.5) Q b. Tercer Cuartil posición Q3 n(0.75) 1 (0.75) En este caso, el décimo sexto dato seria el tercer cuartil. Al observar las frecuencias acumuladas se determina que este dato está en la cuarta clase. Q 3 P (0.75) Q

16 16 F. ANÁLISIS DE RESULTADOS, CONCUSIONES, RECOMENDACIONES Y TOMA DE DECISIONES El estudio realizado fue uno descriptivo. Se utilizaron los datos poblacionales correspondientes al año académico XXXX. No es apropiado generalizar nuestros resultados a la fecha actual ya que han transcurrido más de diez años y al presente, las condiciones político-económicas en PR no son las mismas. Sin embargo, el estudio nos aporta un marco de referencia en relación a los niveles de pobreza de los estudiantes de escuela pública en el país. Los estudiantes de las escuelas publicas diurnas en PR cayeron en un nivel de pobreza promedio de 8.19% para el año académico XXXX. El 50% de los estudiantes de las escuelas publicas diurnas en PR cayó en un nivel de pobreza mayor a 83.15% para el año académico XXXX. La muestra presenta muy poca variabilidad ya que el coeficiente de variación fue igual a Esto significa que para el año académico XXXX los niveles de pobreza de los estudiantes de escuelas públicas diurnas se distribuyeron de manera homogénea alrededor de toda la isla. No hubo mucha diferencia entre un distrito escolar y otro. Se concluye que para el año académico XXXX los estudiantes de las escuelas públicas diurnas en PR cayeron en un nivel de pobreza considerablemente alto.

17 17 EJERCICIOS EJERCICIO - 1 Los siguientes datos corresponden a la producción por hora de lotes de 10 unidades por caja de cierto producto durante un día normal de trabajo. La fábrica trabaja dos turnos de 8 horas cada uno. HORA CAJAS Debido a factores que se desconocen nunca se produce la misma cantidad de lotes por hora. Se desea hacer un estudio descriptivo que permita tener más detalles sobre la producción de unidades por hora en la empresa. Utilice los datos poblacionales provistos y seleccione una muestra equivalente a un 5%

18 del tamaño de la población para completar el estudio. Es necesario aplicar el método estadístico descrito en esta lección para completar el mismo. 18

19 19 RESPUESTAS A EJERCICIOS A. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN Cuál es el promedio de unidades por hora que produce la empresa en un día normal de trabajo? Existe o no variabilidad significativa en la producción de unidades por hora en la empresa? 1. La variable de interés son las unidades del producto que se producen por hora en la empresa. La misma es cuantitativa discreta.. La población bajo estudio son los datos provistos correspondientes a un día de producción normal en la empresa. B. SELECCIÓN DE MUESTRA 1. Determinar el tamaño de muestra: Se nos indicó que la muestra debe ser un 5% del tamaño de la población. El tamaño de la población es igual a 16 ya que son 16 horas de trabajo. El tamaño de la muestra es igual a: n= 16(0.5) = 4. Debido a que tenemos la lista completa de la población, la muestra se seleccionará científicamente a través del método de muestreo aleatorio simple. Para ello utilizaremos la Tabla 1 de números aleatorios que aparece en la Lección 4. HORA CAJAS La muestra resultante es la siguiente:

20 Frecuencia 0 C. AGRUPACIÓN DE DATOS Debido a que la muestra es muy pequeña nos conviene la agrupación por valor simple. UNIDADES/HORA FRECUENCIA FRECUENCIA RELATIVA % % % % TOTAL 4 100% D. REPRESENTACIÓN DE DATOS Debido a que se tienen tres datos representados en la muestra se puede construir una gráfica de barras aunque la variable sea cuantitativa discreta. Produccion por Hora en la Empresa XX Unidades por Hora E. CÁLCULO DE MEDIDAS DESCRIPTIVAS 1. Medidas de Tendencia Central Media = 97.5 Mediana = 90 Moda=110. Medidas de Variación Amplitud = 40 Varianza = Desv. Estándar=18.93 Coeficiente de Variación = Medidas de Posición No vale la pena calcularlas, la muestra es muy pequeña.

21 1 E. ANÁLISIS DE RESULTADOS, CONCLUSIONES, RECOMENDACIONES Y TOMA DE DECISIONES La fábrica produce un promedio de 97.5 unidades del producto por hora. La muestra presenta poca variabilidad ya que el coeficiente de variación fue igual a Esto significa que la producción de unidades del producto por hora es bastante estable en un día de trabajo normal.