a) Cantidad a utilizar de cada ingrediente en las mezcla para minimizar los costes.

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Rodrigo Domingo Soto Navarro
hace 6 años
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1 PROLEMA 5 La compañía de transportes "La perola negra" se ha diversificado introduciéndose en el sector de la alimentación, produciendo alimentos mezclados de forma especial. Actualmente ha recibido un pedido de kilogramos como mínimo de una mezcla constituida por dos ingredientes A. El primer ingrediente A, le cuesta a la compañía 3 u.m. (unidades monetarias) el kilogramo; el segundo ingrediente le cuesta 8 u.m./kg. La mezcla no puede contener más del 4% del ingrediente A debe tener al menos 3% de. En estas condiciones calcular: a) Cantidad a utilizar de cada ingrediente en las mezcla para minimizar los costes. b) Dentro de qué intervalo podría variar el coste unitario del ingrediente A sin que cambie por ello la solución óptima? c) Saldría rentable para el proceso de producción añadir a la mezcla un ingrediente C sabiendo que el coste de éste es de 5 u.m./kg? Razónese. d) Qué pasaría si Sanidad impusiese que la cantidad máxima de antioxidante E- presente en cada kilogramo de mezcla (por haberse descubierto recientemente que tiene propiedades alucinógenas) fuese como máximo de 6 gramos, sabiendo que cada kilogramo de ingrediente A contiene gramos de E- cada kilogramo de contiene 3 gramos? SOLUCIÓN a) Llamando : kg. de ingrediente A en la mezcla. : kg. de ingrediente en la mezcla. La función de producción sería: Min Z ( + ) 3 ( + ), Sin embargo, dado que se trata de un problema de minimización, el método de resolución buscará que la cantidad de ingredientes fabricada sea lo más pequeña posible, lo justo para que se cumpla la primera restricción. Por esta razón se puede considerar que la suma de los ingredientes en el óptimo será de Kg, por lo que el problema se puede expresar de la siguiente manera: Javier Osorio

2 Min Z , 4, 3, Que introduciendo variables de holgura quedaría: Min Z j ( j,... 5) Vemos que no tenemos base inicial fácilmente identificable, por lo que recurriremos a la utilización de variables artificiales al método de dos fases. ª Fase: Min j ( j,... 7) 6, 7 : variables artificiales Calculamos ahora los valores de la fila cero de la columna de lado derecho para la primera tabla Simplex A Javier Osorio

3 N 3 5 a, a, a [ ] Z C C a C (,, ) Z C (,, ) Z3 C3 (,, ) Z5 C5 (,, ) Z C b (,, ) La primera tabla Simplex quedaría: LD Aplicando el algoritmo Simplex: Zk Ck ; k ; candidato a entrar en la base. b n b i Min : ik > { } Min ik, 6 6 rk i m Javier Osorio 3

4 7 sale de la base; 3 es el pivote. Iterando sucesivamente se obtienen las siguientes tablas: LD LD LD Solución óptima. Se han eliminado las variables artificiales, pasamos a resolver la ª fase: Min Z (las restricciones permanecen constantes) Z 3 - C 3 C a c (,, ) Z 4 - C 4 (, 3, 8) -5 6 Z C b (, 3, 8) 8. La solución es óptima de entrada no hace falta recurrir a la ª fase: 8 kg de A kg de Z. u.m. de coste 4 Javier Osorio

5 La tabla óptima sería: LD Z b) Intervalo de variación del coste de A. Se ha de cumplir que: (Z 3 - C 3 ) C a C 3 3 (,( 3+ ),8) ; no restringido inferiormente Inferiormente se puede decrementar hasta -, lo cual es físicamente imposible, pero sí puede disminuir el nuevo coste hasta cero, siendo óptima la solución con C (Z 4 - C 4 ) C a C (, ( 3 ), 8 ) Para C la solución sigue siendo óptima. c) Sale rentable añadir un ingrediente C? El nuevo problema sería: Min Z Javier Osorio 5

6 ,, 8 8 : kg. de ingrediente C en la mezcla. Se trata únicamente de estudiar el valor: Z8 - C8 C a c 8 8 Siendo: C (, 3, 8) De la última tabla de la ª fase. a 8 ; 8 a 8,, 5 3 > ; Sí es rentable. Z8 - C8 [ 3 8] Incorporamos esta variable a la tabla óptima anterior calculamos la nueva solución del problema. La nueva tabla sería: LD Z Iterando aplicando el algoritmo Simplex: LD Z Javier Osorio

7 8 kg. de A 6 kg. de 8 6 kg. de C Z. u.m. Esta solución es mejor, en cuanto que se disminuen los costes. d) Limitación de antioxidante presente. Se trata de añadir otra restricción comprobar si ésta es vinculante o no Con Se cumple la desigualdad, luego nuestro proceso está dentro de la le no es necesario cambiar la composición de la mezcla. Javier Osorio 7

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