Unidad 9. Límites, continuidad y asíntotas

Transcripción

1 Unidad 9. Límites, continuidad y asíntotas. Límite de una función en un punto Piensa y calcula Halla mentalmente y completa la tabla siguiente:,9,99,,00,0, f () =,9,99,,00,0, f () =,9,99 3, 3 3,00 3,0 3, Aplica la teoría Observando la gráfica, halla el ite en cada caso; si no eiste, justifícalo: f() a) 3 f () b) 3 g() g() 3 5 = 3 3 = 3( ) = 3 Para cualquier ε > 0, se puede tomar δ = ε/3 y se cumple la condición: Siempre que 0 < < = ε/3, se tiene 5 = 3 < 3 ε 3 = ε 3 Completa las tablas para estimar el ite en cada caso: 0,9 0,99 0,999 f () = a) 3 f () = 4 b) 3 g() no eiste porque los ites laterales son distintos. g() = ; g() = 3 3 Demuestra que el (3 ) = 5 Hay que demostrar que para todo ε > 0, eiste un δ > 0 tal que 3 5 < ε siempre que 0 < < δ,,0,00 f () = a) ( ) b) ( ) 0,9 0,99 0,999 f () = 0,9 0,099 0, ,,0,00 f () = 0, 0,00 0,00 0 a) ( ) = 0 b) ( ) = 0 80 Bloque III. Análisis

2 4 Calcula mentalmente los siguientes ites: b) 3 3 a) ( 3 ) c) 4 0 e) ln (4 ) a) ( 3 ) = 8 4 = 5 d) 5 0 f) sen ( π) π/ b) 3 3 = 6 6 = c) 4 = 4 = 0 d) 5 = 5 0 = e) ln (4 ) = ln 6 f ) sen ( π) = sen π = 0 π/. Límite de una función en el infinito Piensa y calcula Halla mentalmente y completa la tabla siguiente: f () = / f () = / 0 0,00 0,0 0, 0, 0,0 0,00 0 Aplica la teoría 5 Usa la gráfica para estimar el ite en cada caso; y si no eiste, justifícalo: a) f (), f () siendo f () = b) g(), g() siendo g() = sen f() = a) f () =, f () = g() = sen b) g() no eiste porque la función sen está oscilando continuamente entre y No se acerca a ningún valor cuando la tiende a g() no eiste porque la función sen está oscilando continuamente entre y No se acerca a ningún valor cuando la tiende a 6 Indica si los siguientes ites son infinitos, un número o una indeterminación: a) ( 3) c) e) g) ( b) ( 3) d) 5 log f) 5 ) i) a) = h) b) [ ] = = ( Observa que: > 3 ) c) = 0 d) 5 = 0 e 5 ln ( 5) j) ( 3) e) [ ] = 0 ( Observa que: log < ) f ) [ ] Indeterminado. 9. Límites, continuidad y asíntotas 8

3 g) [ ] Indeterminado. h) [ ] = ( Observa que: e 5 > ln ( 5) ) i) = [ ] = 0 ( Observa que: < ) j) = 3. Límites de funciones polinómicas y racionales Piensa y calcula Indica cuál de las siguientes epresiones es determinada, y calcula el resultado, y cuál indeterminada: a) ( ) 3 b) 3 c) 4 0 d) 0 4 e) 0 0 f) 5 g) a) ( ) 3 = b) 3 = c) 4 0 = d) 0 4 = 0 e) [ 0 0 ] Indeterminado. f) 5 = 0 g) [ ] Indeterminada. Aplica la teoría 7 Calcula los ites siguientes: a) (5 3) b) (3 5 4) a) b) 8 Calcula los ites siguientes: a) 3 b) a) / b) 9 Calcula los ites siguientes: 5 a) b) a) 5 = b) = 5 = = 0 Calcula los ites siguientes: a) b) a) 0 b) 3 Calcula los ites siguientes: a) ( b) ( c) ( d) ( a) 0 b) c) d) 3 ) 54 3 ) 3 3 ) 3 4 ) 8 Bloque III. Análisis

4 4. Límites de funciones irracionales y potenciales-eponenciales Piensa y calcula Indica cuál de las siguientes epresiones es determinada, calcula el resultado, y cuál indeterminada: a) b) c) 0 d) 3 e) 0 0 f) a) b) Indeterminada. c) Indeterminada. d) e) Indeterminada. f) Indeterminada. Aplica la teoría Calcula, si eisten, los siguientes ites: a) 5 5 a) No eiste. b) 0 b) Calcula, si eisten, los siguientes ites: a) 3 b) 3 a) No eiste. b) 4 Calcula los ites siguientes: a) ( ) a) 0 b) /6 b) (3 9 ) 5 Calcula los ites siguientes: a) 0 4 b) a) /4 b) /6 6 Calcula los ites siguientes: a) ( 5 ) b) ( 3 ) a) e 3 b) e = /e 5. Continuidad Piensa y calcula Indica en qué valores es discontinua la función parte entera: y = Ent() En los valores enteros en los que tiene una discontinuidad de salto finito. 9. Límites, continuidad y asíntotas 83

5 Aplica la teoría 7 A la vista de la gráfica, clasifica las discontinuidades de las siguientes funciones: a) b) y = 9 3 y = 3 3 b) Como los ites laterales no son iguales, no eiste el f () Eiste una discontinuidad de.ª especie de salto finito en = c) d) y = Ent() f() = a) Tiene una discontinuidad evitable en = 3, que se evita haciendo f (3) = 6 b) Tiene una discontinuidad de.ª especie de salto infinito en = y = c) Tiene una discontinuidad de.ª especie de salto finito en los valores enteros. d) Tiene una discontinuidad de.ª especie en los valores = y = 8 Representa y estudia la continuidad de las siguientes funciones: a) f () = si si > b) g() = si ln si > La función está definida a trozos con dos funciones polinómicas que siempre son continuas en su dominio. El único punto conflictivo puede ser para = a) f () = 4 b) f () = () = 4 f () = ( ) = La función está definida a trozos con una función eponencial y una logarítmica que siempre son continuas en su dominio. El único punto conflictivo puede ser para = a) g() = 0 b) f () = ( ) = 0 f () = ln = 0 Como los ites laterales son iguales, el f () = 0 La función es continua. 9 Estudia la continuidad de las siguientes funciones: a) f () = b) f () = 4 c) f () = 6 a) Es una función racional que es continua en todo su dominio. Los valores donde no eiste la función son = y = En = = = La función tiene una discontinuidad de.ª especie de salto infinito. En = = = La función tiene una discontinuidad.ª especie de salto infinito. b) Es una función racional que es continua en todo su dominio. El valor donde no eiste la función es = 4 = 4 La función tiene una discontinuidad evitable. Se evita haciendo f () = 4 84 Bloque III. Análisis

6 c) Es una función irracional que es continua en todo su dominio. Los puntos conflictivos se encuentran en los valores de los etremos finitos del dominio = 4 y = 4 En = 4 f (4) = no eiste. 6 4 = 0 La función tiene una discontinuidad de.ª especie en = 4 En = 4 f (4) = = no eiste. La función tiene una discontinuidad de.ª especie en = 4 0 Halla el valor del parámetro k para que la siguiente función sea continua en = f () = si k si > a) f () = 0 b) f () = = 0 f () = (k ) = k c) Para que sea continua, el ite debe eistir cuando tiende a, y ser igual que f () k = 0 k = / 6. Propiedades de la continuidad Piensa y calcula En la gráfica se representa la función parte decimal. Es continua en el intervalo (, )? f() = Dec() Sí, es continua en el intervalo abierto (, ) Aplica la teoría Estudia la continuidad de las siguientes funciones en los intervalos cerrados correspondientes: a) f () = 5 en [5, 5] b) f () = 4 c) f () = en [, ] en [0, ] a) Es una función irracional que es continua en su dominio. Hay que estudiar los etremos. En = 5 f (5) = = 0 La función es continua por la derecha en = 5 En = 5 f (5) = = 0 La función es continua por la izquierda en = 5 La función es continua en el intervalo cerrado [5, 5] b) La función es racional, que es continua en su dominio. Los valores para los que la función no está definida son = y = Como [, ], la función no es continua en dicho intervalo porque = tiene una discontinuidad de.ª especie de salto infinito. c) La función es racional, que es continua en su dominio. Los valores para los que la función no está definida son = ; = Como [0, ], la función no es continua en el intervalo porque en = tiene una discontinuidad de.ª especie de salto infinito. 9. Límites, continuidad y asíntotas 85

7 Halla los intervalos en los que las siguientes funciones son continuas: a) f () = 3 b) f () = a) Es una función racional que es continua en su dominio. Luego es continua en: (, ) (, ) b) Es un cociente de dos funciones continuas en sus dominios respectivos. La función no eiste para = 0 y tampoco eiste en aquellos valores en que el radicando es negativo, es decir, (, ) Luego la función es continua en [, 0) (0, ) 3 Halla los intervalos en los que las siguientes funciones son continuas: si a) f () = 3 si > si b) g () = si > a) La función está definida por dos funciones polinómicas que son continuas en sus dominios. Se estudia = f () = f () = ( ) = f () = ( 3) = Como no eiste el ite para =, la función no es continua en =. Luego la función es continua en (, ) < (, ) b) La función está definida por una función polinómica y una función racional que son continuas en sus dominios. Se estudia = g () = 0 g() = ( ) = 0 g() = = Como no eiste el ite para =, la función no es continua en = Como para > la función racional no está definida para =, en ese valor no es continua. Luego la función es continua en: (, ) < (, ) < (, ) 4 Demuestra que las siguientes funciones tienen un cero en los intervalos correspondientes: a) f () = 3 3 en [0, ] b) f () = sen en [0, π] Se comprueban las hipótesis del teorema de Bolzano: a) f () es continua en [0, ] por ser una función polinómica. f (0) = < 0 f () = > 0 Por el teorema de Bolzano, se tiene que eiste al menos un valor c (0, ) tal que f (c) = 0 b) f () es continua en [0, π] por ser la resta de un polinomio y la función sen, que son continuas. f (0) = f (π) = π > 0 Por el teorema de Bolzano se tiene que eiste al menos un valor c (0, π) tal que f (c) = 0 7. Asíntotas Piensa y calcula Calcula mentalmente los siguientes ites: a) b) c) a) b) c) 0 86 Bloque III. Análisis

8 Aplica la teoría Calcula las asíntotas y la posición de la gráfica respecto de las asíntotas de las siguientes funciones: 5 f () = 4 Verticales: =, = = 4 4 = = 4 4 = Horizontales: y = 0 4 = 0 La gráfica está por debajo de la asíntota. 4 = 0 La gráfica está por debajo de la asíntota. Oblicuas: no tiene. 6 f () = Verticales: = = Horizontales: no tiene. Oblicuas: y = 4 = 0 La gráfica está debajo de la asíntota. 4 = 0 La gráfica está encima de la asíntota. 7 f () = Verticales: no tiene. Horizontales: y = 0 = 0 La gráfica está debajo de la asíntota. = 0 La gráfica está encima de la asíntota. Oblicuas: no tiene. = 8 f () = Verticales: = 0 = = 0 0 Horizontales: y = = 0 La gráfica está debajo de la asíntota. = 0 La gráfica está debajo de la asíntota. Oblicuas: no tiene. 9 f () = Verticales: no tiene. Horizontales: no tiene. Oblicuas: a) y = ( ) = 0 La gráfica está por debajo de la asíntota. b) y = ( ) = 0 La gráfica está por debajo de la asíntota. 30 f () = Verticales: = no eiste. = Horizontales: no tiene. Oblicuas: no tiene. 9. Límites, continuidad y asíntotas 87

9 Ejercicios y problemas Preguntas tipo test Sea f () = El [ (f ( ) f ())] es: 0 La función f () = ( ) 4 tiene: Una asíntota horizontal, y = / Dos asíntotas verticales, = ±/ Una asíntota horizontal, y = Una asíntota oblicua, y = 3 Dada la ecuación 3 5 = 0, tiene en el intervalo (, ) Dos soluciones. Al menos una solución. Ninguna solución. Ninguna de las anteriores es correcta. 4 El es: 3/ 5 El ( ) es: e 0 /e 6 Se sabe que el ( a ) = El valor de a es: 0 4 No se puede calcular. Queda una epresión del tipo La función f () = e Tiene una asíntota vertical, = 0 Tiene una asíntota oblicua, y =, y una horizontal, y = 0 Tiene una asíntota oblicua, y = No tiene asíntotas. 8 Dada la función f () = a si < e si el valor de a que hace que f () sea continua en = es: a = a = a = 4 a = 4 9 La siguiente función: tiene: f () = Una asíntota vertical en = 0 Una asíntota vertical, =, y una asíntota horizontal, y = Una asíntota vertical, =, una horizontal, y = Una asíntota vertical, =, y dos asíntotas horizontales, y =, y = 0 Se tienen dos programas informáticos A y B. Para procesar n datos, el programa A realiza un número de operaciones elementales no superior a n 4 n 3, mientras que el programa B ejecuta n n 0 operaciones elementales. Cuando el número n de datos es grande, qué programa procesa los n datos con menos operaciones elementales? A B Los dos iguales. Ninguna de las anteriores es correcta. 88 Bloque III. Análisis

10 Ejercicios y problemas propuestos. Límite de una función en un punto 3 Observando la gráfica en cada caso, halla el ite, y si no eiste, justifícalo: a) f () siendo f () = 3 b) 0 g () siendo g () = si < 0 0 si = 0 si > 0 33 Demuestra que el 4 ( ) = 3 Hay que demostrar que para todo ε > 0, eiste un δ > 0 tal que / 3 < ε siempre que 0 < 4 < δ / 3 = / = 4 Para cualquier ε > 0, se puede tomar δ = ε y se cumple la condición: Siempre que 0 < 4 < δ = ε, se tiene f() g() / 3 = 4 < ε = ε 34 Calcula mentalmente los siguientes ites: a) 4 ( 5 ) c) 6 b) 4 d) π cos a) f () = b) 0 f () no eiste. e) 3 log 4 8 f ) cos π/6 a) b) c) d) / e) f ) / 3 Completa la tabla para estimar el ite en cada caso: f () = f () =,9,99, , 3,0 3,00 3 a) 3 b) 3 f () = f () =,9,99,999 3,,0,00 3, 3,0 3,00 3 a) 3 = b) 3 = 0,909 0,990 0,999. Límite de una función en el infinito 35 Copia y completa la tabla en cada caso: f () = f () = a) b) f () =,,0, f () = 0,9090 0,99 0,999 a) = b) = 9. Límites, continuidad y asíntotas 89

11 36 Asocia cada gráfica con una función ayudándote de los ites a los que tiende la función cuando tiende a infinito. 3 f () = g () = 3 h () = 6 sen 4 a) b) i () = Indica si los siguientes ites son infinitos, un número o una indeterminación: a) (4 ) c) e) 4 5 log ( ) b) ( ) d) f) 3 6 a) b) [ ] c) d) 0 e) 0 f) c) d) 3. Límites de funciones polinómicas y racionales 39 Calcula los ites siguientes: a) (4 5 ) b) (3 5 4 ) a) b) f () = es la gráfica d) 3 g () = es la gráfica b) 3 6 sen 4 h () = es la gráfica a) i () = 3 es la gráfica c) 4 37 Ordena de menor a mayor los órdenes de los siguientes infinitos: a) 3, b), c) log, d) 4,,,5, 3, ln, a) /3 < < 3 /3 b),5 < < e e c) log < 0 < 3 d) ln < 4 <,5 0,5 40 Calcula los ites siguientes: a) c) b) 3 d) a) /3 b) c) 0 d) 7/6 4 Calcula los ites siguientes: a) a) b) = = = = b) = = 4 Calcula los ites siguientes: a) c) b) d) a) 0 b) 7/ c) d) / 90 Bloque III. Análisis

12 Ejercicios y problemas propuestos 43 Calcula los ites siguientes: a) ( ) c) 0 ( 3 ) a) b) 0 c) 0 ( 0 ( d) 3/4 3 ) = 3 ) = b) ( d) ( 3 4 ) 8 4 ) f (0) = 0 f () = 0 0 (e ) = 0 f () = 0 0 ( ) = 0 f () = 0 0 f (0) = 0 f () = 0 f () es continua en = 0 48 Representa y estudia la continuidad de la siguiente función: f () = 5 si 0 < 5 5 si Límites de funciones irracionales y potenciales-eponenciales 44 Calcula los ites siguientes: a) ( 4 ) b) ( ) a) 0 b) / 45 Calcula los ites siguientes: a) a) 5 0 b) 7 3 b) 6 46 Calcula los ites siguientes: a) ( 5 3 ) b) ( ) c) ( ) a) e 8 b) e 9/ c) e 4/3 5. Continuidad 47 Se considera la función f () = si > 0 e si 0 Razona si es continua en = 0 Como la función está definida por dos funciones polinómicas que son continuas, el único punto conflictivo puede ser para el valor = 5 f(5) = 0 f () = 5 5 ( 5) = f () = ( 5) = 0 f (5) = 5 f () = 0 f () es continua en = 5 49 Dada la función f (): f () = 4 4 el segundo miembro de la igualdad carece de sentido cuando = 4. Cómo elegir el valor de f (4) para que la función f () sea continua en ese punto? 4 f (4) = 4 4 = 4 ( 4) 4 50 Estudia la continuidad de la función: f () = 4 = 4 = 4 La función está definida para [0, 4) < (4, ) Se estudian los valores = 4 y = 0 9. Límites, continuidad y asíntotas 9

13 En = 4 f (4) no eiste. 4 4 = /4 Tiene una discontinuidad evitable que se evita haciendo f (4) = /4 En = 0 f (0) = / f () no eiste. 0 f () = / 0 Es continua por la derecha. Hay una discontinuidad de.ª especie en = 0 5 Se considera la función: f () = 5 si k si > Determina el valor de k para que la función sea continua. Como está definida por funciones polinómicas, el punto que puede ser conflictivo se da para el valor = f () = 7 f () = ( 5) = 7 f () = ( k) = k Como para ser continua f () = f () se tiene: k = 7 k = 6 6. Propiedades de la continuidad 5 Estudia la continuidad de las siguientes funciones en los intervalos cerrados correspondientes: a) f () = 3 en [3, 0] b) g () = 3 3 en [, ] a) f () es una función irracional que es continua en su dominio [3, ). Como el intervalo (3, 0) está incluido en su dominio, la función es continua en él. Se estudian los etremos: En = 3 f (3) = 0 3 = 0 3 La función es continua por la derecha en = 3 En = 0 Como 0 [3, ), la función es continua en = 0 y, por tanto, es continua por la izquierda en = 0 La función es continua en el intervalo cerrado [3, 0] b) La función es racional y es continua en su dominio R {}. Como el intervalo (, ) está en el dominio, la función es continua. Se estudian los etremos: En = f () no eiste. La función no es continua por la derecha en = La función no es continua en el intervalo cerrado [, ] 53 Halla los intervalos en los que las siguientes funciones son continuas: a) f () = b) f () = a) Es una función racional que es continua en su dominio. El único punto donde no eiste la función es = 0 Luego es continua en (, 0) (0, ) b) Es el cociente de un polinomio y una función irracional, que son continuas en su dominio. Como 0 ya que 0 para todo, la función cociente es continua en R = (, ) 54 Prueba que la función f () = cos tiene un cero en el intervalo [0, π] Se prueban las hipótesis del teorema de Bolzano: La función es continua en (0, π) f (0) = > 0 f (π) = π < 0 Por el teorema de Bolzano, eiste al menos un valor c (0, π) tal que f (c) = 0 55 Dada la función f () = Demuestra que eiste un valor c (, 5) tal que f (c) = 0/3 Se prueban las hipótesis del teorema de los valores intermedios: f () es continua en (, 5) Observa que el único valor de en el que la función no es continua no pertenece al intervalo. f () = 6 f (5) = 30/4 = 5/ Como 6 < 0/3 < 5/, por el teorema de los valores intermedios eiste un c (, 5) tal que f (c) = 0/3 9 Bloque III. Análisis

14 Ejercicios y problemas propuestos 7. Asíntotas 56 Calcula las asíntotas de las siguientes funciones y estudia la posición de la curva respecto de ellas: a) f () = b) f () = 8 c) f () = 3 4 d) f () = a) Verticales: = = = Horizontales: no tiene. Oblicuas: y = = 0 La gráfica está por debajo de la asíntota. = 0 La gráfica está por encima de la asíntota. b) Verticales: no tiene. Horizontales: y = 0 8 = 0 La gráfica está por debajo de la asíntota. 8 = 0 La gráfica está por encima de la asíntota. Oblicuas: no tiene. c) Verticales: =, = 3 4 = 3 4 = 3 4 = 3 4 = Horizontales: y = 7 4 = 0 La gráfica está por encima de la asíntota. 7 4 = 0 La gráfica está por encima de la asíntota. Oblicuas: no tiene. d) Verticales: =, = = = = = Horizontales: y = = 0 La gráfica está por encima de la asíntota. = 0 La gráfica está por debajo de la asíntota. Oblicuas: no tiene. 57 Calcula las asíntotas, y la posición de la curva respecto de ellas de la función: a) f () = 4 b) f () = a) Verticales: no tiene. Horizontales: y = 0 4 = 0 La gráfica está por encima de la asíntota. 4 = 0 La gráfica está por encima de la asíntota. Oblicuas: no tiene. b) Verticales: no tiene. Horizontales: no tiene. Oblicuas: y = ( ) = 0 La gráfica está por encima de la asíntota. y = ( ) = 0 La gráfica está por encima de la asíntota. 9. Límites, continuidad y asíntotas 93

15 Para ampliar 58 Calcula: a) [ln( ) ln ] b) [ln( ) ln ] a) [ln ( ) ln ] = ln = ln = 0 b) [ln ( ) ln ] = ln = 59 Calcula: a) e 3 b) 0 c) ( ) d) ln ( ) = a) 0 b) / c) e d) 3 60 Estudia la continuidad de la función: En = f () = 0 si f () = 3 9 si < si > 3 f () = ( ) = 0 f () = (3 9) = 0 f () = f () La función es continua en = En = 3 f (3) = 0 f () = 3 3 (3 9) = 0 f () = 3 3 ( 6 30) = 0 f () = f (3) La función es continua en = 3 3 La función es continua en R = ln e = 6 Estudia la continuidad de la función: En = f () = 0 si < f () = si 8 si > f () = ( ) = 0 f () = ( ) = 0 f () = f () La función es continua en = En = f () = 6 f () = ( ) = 6 f () = f () ( 8) = f () f () La función no es continua en = Tiene una discontinuidad de.ª especie de salto finito. 6 Estudia la continuidad de f (): En = f () = 4 3 si f () = 4 si < 4 ( 4) si > 4 f () = ( 3) = 4 f () = 4 = 4 f () = f () La función es continua en = En = 4 f (4) = 4 f () = 4 = f () = (( 4 4 4) ) = f () f (4) La función no es continua en = 4 4 Tiene una discontinuidad de.ª especie de salto finito. 63 Estudia la continuidad de la función: f () = 3 si ( ) si < 94 Bloque III. Análisis

16 Ejercicios y problemas propuestos En = f () = 0 f () = ( ) = 0 f () = 3 = 0 f () = f () La función es continua en = y por consiguiente es continua en R 64 Estudia la continuidad de f (): si f () = 3 si > La función está definida mediante dos funciones racionales. Además de estudiar el valor =, hay que estudiar el valor =, para el que no está definida la función En = f () no eiste. f () = = f () = = La función es discontinua en =, donde tiene una discontinuidad de.ª especie de salto infinito. En = f () = 4 f () = = 4 f () = 3 = La función es discontinua en =, donde tiene una discontinuidad de.ª especie de salto finito. 65 Se considera la función: 5 si 5 f () = 5 0 si = 5 a) Demuestra que f () no es continua en = 5 b) Eiste una función continua que coincida con f () para todos los valores 5? En caso afirmativo, da su epresión. a) f (5) = 0 f () = = 5 = 5 ( 5) = 0 ( 5)( 5) 5 = En = 5 hay una discontinuidad evitable. Se evita definiendo f (5) = 0 b) g () = f () si 5 0 si = 5 66 Sea f () una función continua en [, 5] de modo que f () < 0 y f (5) = 7. Responde de forma razonada si la función g () = f () 5 tiene al menos un cero en (, 5) La función g () cumple con las hipótesis del teorema de Bolzano: g () es continua en [, 5] por ser continua f () g () = f () 5 < 0 g (5) = f (5) 5 = 7 5 = > 0 Luego eiste al menos un c (, 5) tal que g (c) = 0 67 Sea la función f () = 4 4. Utiliza el teorema de Bolzano y justifica si eiste un c (0, ) que verifique que f (c) = 0. En caso afirmativo calcula dicho valor. f () es continua en [0, ] f (0) = > 0 f () = > 0 No se cumplen las condiciones del teorema de Bolzano, pero no podemos concluir que no eista un valor c [0, ] tal que f (c) = 0. Si se resuelve la ecuación f () = 0 se obtienen las raíces = = / (0, ) 68 Calcula las asíntotas de la función y estudia la posición de la gráfica respecto de ellas. Verticales: = 3 3 = 3 3 = Horizontales: no tiene. Oblicuas: 3 3 y = 3 9 = 3 9 f () = = 0 La gráfica está por debajo de la asíntota. 8 = 0 La gráfica está por encima de la asíntota. 9. Límites, continuidad y asíntotas 95

17 Problemas 69 Se considera la función: 3 3 si f () = si < a) Estudia la continuidad de f b) Halla las asíntotas de la gráfica de f a) La función está definida mediante dos funciones racionales. Además de estudiar el valor =, hay que estudiar el valor = 0, para el que no está definida la función 3 3 En = f () = 3 f () = = f () = 3 3 = 3 La función es discontinua en =, donde tiene una discontinuidad de.ª especie de salto finito. En = 0 f (0) = no eiste. f () = = f () = 3 3 = 0 0 La función es discontinua en = 0, donde tiene una discontinuidad de.ª especie de salto infinito. b) La función tiene una asíntota vertical en = 0 Tiene una asíntota horizontal en y = 70 Dada la siguiente función: a si 0 f () = si 0 < b 5 si > Determina el valor de a y b para que la función f () sea continua. Hay que estudiar los valores = 0 y = f (0) = a f () = ( a) = a 0 0 f () = ( ) = 0 0 Se tiene que cumplir: 0 0 f () = f () = f (0) = a a = En = f () = f () = ( ) = f () = (b 5) = b 5 Se tiene que cumplir: f () = f () = f () = b 5 b = 6 b = 3 7 Determina el valor de a y b para que la función f () sea continua. f () = 5 sen si 0 a b si > 0 La función está definida por dos funciones que son continuas. El punto que hay que estudiar es = 0 f (0) = f () = (5 sen ) = 5 f () = 0 0 ( a b) = b Se tiene que cumplir: 0 b = 5 f () = f () = f (0) 0 La función será continua para b = 5 y cualquier valor de a 7 Se considera la función f () = a 6 si < 5 si < 0 Determina el valor de a sabiendo que f es continua y que a > 0 f () = 3 f () = (a 6) = a 6 f () = 5 = 3 Se tiene que cumplir: f () = f () = f () a 6 = 3 a = 9 a = ±3 Como a > 0 a = 3 73 Se considera la función 3 5a si < 0 f () = b 3 si 0 < 4 si Estudia la continuidad de f () según los valores de las constantes a y b 96 Bloque III. Análisis

18 Ejercicios y problemas propuestos En = 0 f (0) = f () = (3 5a) = 5a f () = 0 0 (b 3) = 3 Se tiene que cumplir: 0 0 f () = f () = f (0) 5a = 3 a = 3/5 En = f () = 0 f () = (b 3) = 4b 3 f () = ( 4) = 0 Se tiene que cumplir: f () = f () = f () 4b 3 = 0 b = 3/4 74 Estudia la continuidad de f (): si 0 f () = e / 0 si = 0 La función está definida por funciones continuas en sus dominios. El valor que hay que estudiar es = 0 f (0) = 0 f () = 0 0 e = / 0 = f () = 0 0 e = / = 0 La función tiene una discontinuidad de.ª especie de salto finito en = 0 75 Estudia la continuidad de f (): e si < 4 f () = si 3 ln si > La función está definida por funciones continuas en sus dominios. Los valores que se estudian son = ; = En = f () = f () = e = /e 4 f () = 3 = La función tiene una discontinuidad de.ª especie de salto finito en = En = f () = 4 f () = 3 = f () = ( ln ) = La función es continua en = 76 Se considera la función: f () = a a si ln ( ) si > Estudia la continuidad según el valor del parámetro a f () = 3a 3 f () = ( a a ) = 3a 3 f () = ln ( ) = 0 Se tiene que cumplir: f () = f () = f () 3a 3 = 0 a = 77 Se considera la función: a si f () = a si < si > a) Calcula el valor de a para que f () sea continua en = b) Para el valor de a hallado, es continua la función en =? a) En = f () = 4a f () = (a ) = 4a f () = a = a Se tiene que cumplir: f () = f () = f () 4a = a a = /3 b) Para a = /3 f () = /3 f () = /3 = /3 f () = = La función tiene una discontinuidad de.ª especie de salto finito. 9. Límites, continuidad y asíntotas 97

19 78 Se ha estudiado la evolución de la ganancia y en céntimos de euro en cada instante desde un tiempo inicial, hasta pasados 5 años, por la fabricación de un determinado producto, y se ha modelizado funcionalmente dicha evolución así: Durante el primer año: y = t Durante el segundo y tercer año: y = 4t Durante el resto: y = e 3 t Eplica la continuidad de la función. Se escribe la función: t si 0 t < f (t) = 4t si t < 3 e 3 t si t 3 Se estudian los valores t = y t = 3 En t = f () = f () = t = f () = (4t ) = La función es continua en t = En t = 3 f (3) = 3 3 f () = (4t ) = 0 f () = 3 3 e3 t = La función no es continua en t = 3. Tiene una discontinuidad de.ª especie de salto finito. 79 Un comerciante vende un determinado producto. Por cada unidad de producto cobra la cantidad de 5. No obstante, si se le encargan más de 0 unidades, decide disminuir el precio por unidad, y por cada unidades cobra la siguiente cantidad: c() = 5 si 0 < 0 a 500 si > 0 a) Halla a para que el precio varíe de forma continua al variar el número de unidades que se compran. b) A cuánto tiende el precio de una unidad cuando se compran «muchísimas» unidades? a) Se estudia en = 0 f (0) = f () = 5 = 50 f () = 0 0 a 500 = 00a 500 Se tiene que cumplir: 0 0 f () = f () = f (0) 00a 500 = 50 a = 0 b) El precio por unidad es: c() Se calcula Para profundizar 80 Se considera la ecuación: = 0 3 m = Utilizando el teorema de Bolzano: a) Prueba que si m > la ecuación admite alguna solución menor que b) Prueba que si m < la ecuación admite alguna solución mayor que a) Se considera la función: f () = 3 m Como la raíz debe ser menor que, se toma: f () = m = m > 0 si m > Si se toma el intervalo [0, ], f () cumple las hipótesis del teorema de Bolzano. f () es continua en [0, ] f (0) = < 0 f () = m > 0 si m > Luego eiste al menos un c (0, ) tal que f (c) = 0 b) Razonando de la misma forma en el intervalo [, ]: f () es continua en [, ] f () = m < 0 si m < f () = 8 4m 4 = 3 4m 3 4m > 0 m > 3/4 Siempre que 3/4 < m < f () > 0 Se cumplirían las hipótesis del teorema de Bolzano y se puede garantizar que eiste al menos un c [, ] tal que f (c) = 0 8 Si f () es una función continua para todo valor de, y se sabe que f () y f (), demuestra que eiste un punto a [, ] con la propiedad de que f (a) = a f() y = 98 Bloque III. Análisis

20 Ejercicios y problemas propuestos Se trata de ver si la función f () y la función y = tienen algún punto en común. Se construye la función g () = f () g () es continua por serlo f() g () = f () = 0 g () = f () = 0 Luego por el teorema de Bolzano eiste al menos un a [, ] tal que g (a) = 0, es decir: g (a) = f (a) a f (a) = a 8 Se sabe que una función g () es continua en el inter valo [0, ] y que para 0 < es g () = f (), donde f () = 3. Cuánto vale g (0)? Como g () es continua en [0, ], se tiene que: g (0) = f () 0 Como f () = 3, (0, ) 3 < f () = 3 g () = g (0) = 0 ( ) = 83 Supongamos que nos dan la función: ( 4) si 0 4 f () = e si < Esta función está definida en el intervalo [0, ], f (0) = < 0 y f () = e > 0, pero no eiste ningún punto c (0, ) tal que f (c) = 0 Contradice el teorema de Bolzano? Razona la respuesta. La función no cumple con la hipótesis de ser continua en el intervalo [0, ] En = /, se tiene: f (/) = 7/8 f () = / / 4 ( 4) = 7/8 f () = / / e/4 La función tiene una discontinuidad de.ª especie de salto finito en = / No se contradice el teorema de Bolzano. 84 Estudia la continuidad de la función f () = intervalo [, ] Se cumple el teorema de Bolzano? f () = = si < 0 si 0 < en el f () es discontinua en = 0 porque no eiste f (0), luego no se puede aplicar el teorema de Bolzano. 85 Estudia la continuidad de la siguiente función: f () = Es el cociente de dos funciones continuas, luego es continua; salvo cuando se anule el denominador, lo que nunca sucede, ya que: La función es continua en R 86 Calcula, de forma razonada, dos funciones que no sean continuas en un cierto valor = a de su dominio y tales que la función suma sea continua en dicho valor. Cualquier función constante es continua en R. Se trata de buscar dos funciones que se rompan en un punto y que al sumarlas dé una constante. Por ejemplo: f () = 0 si 0 si > 0 g () = si 0 0 si > 0 La función f () g () = es continua en R 9. Límites, continuidad y asíntotas 99

21 Windows/Linu Practica Halla los siguientes ites y representa la función correspondiente para comprobarlo gráficamente. 9 ( 3 ) 94 (e ) Bloque III. Análisis

22 96 ( 3 3 ) ( 3 3 ) Límites, continuidad y asíntotas 0

23 00 ( 3 9 ) ( ) 03 = ( ) 0 Bloque III. Análisis

24 Representa las siguientes funciones y estudia sus continuidades. 04 f () = 06 f () = si si > 07 f () = si ln si > 05 f () = 9. Límites, continuidad y asíntotas 03

25 08 Demuestra que la función f () = tiene un cero en el intervalo (, 3). Representa la función y comprueba que se cumplen las condiciones del teorema de Bolzano. 0 f () = Representa las siguientes funciones, halla sus asíntotas y represéntalas: 09 f () = 04 Bloque III. Análisis