ESCUELA SUPERIOR DE COMERCIO

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1 ESCUELA SUPERIOR DE COMERCIO LIBERTADOR GENERAL SAN MARTÍN ESTADÍSTICA 5º AÑO ANÁLISIS COMBINATORIO 1

2 ANÁLISIS COMBINATORIO La teoría de las probabilidades requiere saber calcular, o mejor dicho cotar, cuátos casos posibles se puede presetar e u cierto proceso. E efecto, la probabilidad de u suceso se hallará dividiedo el úmero de posibilidades favorables a que ocurra por sobre el úmero de opcioes posibles e el proceso del que surge. Las técicas de recueto se apoya e u pricipio fudametal la Regla del Producto de opcioes y e tres coceptos secillos, pero que es ecesario apreder a distiguir co seguridad: Permutacioes, Variacioes y Combiacioes. Los cálculos ivolucrados hace que aparezca co frecuecia u tipo especial de productos, los factoriales, que por esta razó será itroducidos como oció auxiliar iicial. NÚMEROS FACTORIALES. Sabemos que ua multiplicació repetida de factores iguales se expresa abreviadamete como ua poteciació: x x x x = 5 Y e geeral: a x a x a x a x a...x a = a Veamos ahora otra multiplicació particular, que se preseta frecuetemete e matemática, cuyos factores so úmeros aturales cosecutivos a partir de =! = 3! =! Y e geeral =! El producto de los eteros de 1 hasta se deota por! y se llama factorial de.! =. (-1). (-). (-3) Producto de los primeros eteros aturales. Ejemplos: 1! = 3! = 7! = 1! = Adoptamos como defiició que 1! = 1! = 1 Ejercicios: 1- Calcular: a) 5! b) 7! c) 1! - a) 7. 6! b) 7! 5! c) 13! 1! d) 8. 7! e) 1! 7!3! 3! f) 3! Propiedades de los úmeros factoriales: Deduce las propiedades a partir de los ejemplos

3 ! 1 -! (+1) = - = ( 1)! 3-! m! = - Si es meor que m es: =! I- PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACIÓN o REGLA DEL PRODUCTO DE OPCIONES Si u proceso costa de varias etapas, e la primera de las cuales hay 1 opcioes distitas etre las que elegir, e la seguda hay opcioes, e la tercera hay 3, etc. El úmero total de opcioes e la costrucció de ese proceso es el producto. 1 x x 3 x... Ejemplo: U grupo de amigas está plaeado sus vacacioes. Duda etre Mar del Plata, Brasil, Puta del Este o Piriápolis. Y además debe decidir si va e coche, colectivo o avió. Cuátas opcioes tiee e total? 1º debe elegir el lugar 1 = opcioes º debe elegir el trasporte = 3 opcioes Solució. 3 = 1 opcioes 1. La siguiete figura muestra el DIAGRAMA DE ÁRBOL, que eumera las diversas posibilidades. Este tipo de diagramas es útil para úmero pequeños de posibilidades, pero para tratar problemas complicados so ecesarias otras técicas de recueto. Mar del Plata Brasil Puta del Este Piriápolis colectivo avió coche colectivo avió coche colectivo avió coche colectivo avió coche Práctica: 1) Se va a coformar u comité de 3 miembros compuesto por u represetate de los trabajadores, uo de la admiistració y uo del gobiero. Si hay 3 cadidatos de los trabajadores, de la admiistració y del gobiero, determiar cuátos comités

4 diferetes puede formarse empleado: a) el pricipio de la multiplicació; b) u diagrama de árbol. ) a- 1 amigos juega tres partidas de bochas y al fial de cada ua, aota el resultado: 1º º 3º Gaador De cuatas maeras posibles se puede rellear la hoja? (prueba co meos amigos y o 3 partidas) b- los mismos 1 amigos juega u campeoato de ajedrez e el que se reparte 3 copas (1º premio,º premio y 3º premio); de cuátas maeras puede llevarse los premios? II- PERMUTACIONES (de elemetos distitos): Se llama permutacioes de elemetos distitos a las diferetes formas e que se puede ordear e fila. Ejemplo: Las permutacioes distitas de los Nº 1,, y 3 so: e total El primer problema de combiatoria cosiste e cotar el úmero de permutacioes de objetos (P ) distitos dados, o sea Cuátas formas hay de ordearlos? - E la primera posició podemos colocar cualquiera de ellos, o sea opcioes. - E la seguda cualquiera de los restates. Eso da -1 opcioes. - E la tercera, cualquiera de los - que todavía os queda, etc. - Cuado lleguemos a la última posició sólo tedremos u elemeto dispoible. Por la regla del producto, el úmero total de opcioes es: P =. (-1). (-) Aplicado factoriales: P =! Ejemplos: - Co las letras de la palabra AMOR se puede formar P =! Permutacioes, es decir palabras (auque muchas o tega sigificado): AMOR AOMR AORM AMOR ARMO AROM = 6 (Se forma poiedo tras la A las 6 permutacioes de las otras 3 letras) Formar las 6 que empieza co O, las 6 que empieza co R y las 6 co M

5 A M O R O R M R M O R O R M O M - De cuátas maeras distitas puede colocarse 5 litros distitos e ua estatería? 5- De cuátas maeras distitas puede quedar clasificados equipos de fútbol? 6- Se va a sortear el orde de actuació de ocho cojutos de rock participates e u cocurso. De cuátas formas puede quedar programadas sus actuacioes? (Estos ejemplos deja claro que el uso de diagramas e árbol solo puede cosiderarse como ua ayuda para eteder más fácilmete las ocioes de combiatoria o para calcular úmeros combiatorios pequeños). III- PERMUTACIONES CON ELEMENTOS INDISTINGUIBLES E la secció aterior hemos supuesto que los elemetos dados era todos diferetes. Así, co las letras de ECO so posibles las 6 permutacioes ECO, EOC, OCE, OEC, CEO, COE, todas distitas etre sí. Pero, qué ocurre si varios de los elemetos dados so iguales? Veamos u ejemplo para ituir la respuesta geeral. Co las letras de la palabra OSO podríamos formar tambié 6 permutacioes si distiguiéramos las dos letras O poiedo OSO. OSO OOS SOO SOO OOS OSO Pero e realidad las dos letras O de la palabra OSO so iguales, distiguibles (se repite) etre sí. Por esa razó, sólo hay 3 permutacioes verdaderamete distitas (o sea, distiguibles) etre sí: OSO que egloba a dos de las de ates OSO y OSO ahora idistiguibles OSO que egloba a dos de las de ates SOO y SOO ahora idistiguibles OOS que egloba a dos de las de ates OOS y OOS ahora idistiguibles E geeral cosideraremos elemetos de los cuales 1 so iguales etre sí, otros so iguales etre sí, etc.

6 Escojamos ua permutació cocreta de esos elemetos. Pues bie, todas las que resulta de ésta, permutado e ella los 1 etre si de todas las formas posibles ( 1! opcioes) y los etre si (! opcioes), etc. so idistiguibles. Luego cada ua de las que ahora so realmete distitas egloba 1!! 3!... 1,,3...! E cosecuecia, el úmero de P =!!! 1 3 IV- VARIACIONES (Arreglos) si repetició: Se llama Arreglos de elemetos distitos tomados de r e r a las distitas filas ordeadas de logitud r que se puede formar co ellos. Se llama Variacioes de elemetos tomados de r e r (V,r ) a los grupos que se puede formar co elemetos dados, tomádolos de r e r y tales que dos grupos se cosidera distitos, cuado difiere e algú elemeto, o e el orde e que los elemetos está dispuestos. (Las Permutacioes se cosidera u caso especial de las Variacioes Arreglos. E cada grupo se hace iterveir todos los elemetos dados, es decir las variacioes de elemetos tomados de e. Se comprede que como e cada grupo figura todos los elemetos, dos de esos grupos puede diferir úicamete e el orde e que esos elemetos aparece P = A, ) Para hallar el úmero de Variacioes procedemos como lo hicimos co las Permutacioes, pero dado que ahora solo ordeamos r elemetos de los totales (r posicioes) os deteemos tras colocar r elemetos (r posicioes). V,r =. (-1). (-)... ( (r-1)) (1) V,r =. (-1). (-)... ( r+1) Si trabajamos e (1) V,r =. (-1). (-). (-3). ( r+1)... 1 Multipli. y div. por ((-r). (-r-1). ( r-) V,r = (-1) (-)... ( r+1) (-r) (-r-1) (-r) (-r-1) V,r =! ( r)! Ejemplos: 7- (Ejercicio b. Del Producto de opcioes)

7 8- E ua carrera de 11 participates, de cuátas maeras se puede distribuir las medallas de oro, plata y broce? 9- E u curso de 3 alumos, de cuátas maeras distitas es posible elegir delegado y subdelegado? V- VARIACIONES (Arreglos) co repetició: E ciertos problemas se permite repetir, es decir ua vez seleccioado el primer elemeto volvemos a dispoer de todos 8de los iiciales) para (decidir cual) seleccioar el segudo elemeto y lo mismo para el tercero, etc. El úmero de posibilidades es para la primera posició, para la seguda y lo mismo para las r posicioes de la fila A,r = r Ejemplo: 1- Se va a sortear 3 premios $ 1., $ 5. y $.5 etre persoas extrayedo 3 bolillas de 1 bolillero. Cuátas distribucioes de premios distitas so posibles si las bolillas que va saliedo o se devuelve al bolillero? Y si se devuelve? VI- COMBINACIONES Se llama Combiacioes de elemetos tomados de r e r (C,r) a los grupos que se puede formar co esos elemetos tomados de r e r y tales que dos grupos se cosidera distitos úicamete cuado tiee algú elemeto diferete. Ahora solo importa cuales so los r elemetos elegidos, o importa el orde. Ua combiació es ua selecció de cierto grupo. Desarrollo de fórmula: Cada combiació da lugar a tatos Arreglos distitos como forma haya de permutar sus elemetos: A, r ( #) A,r = C,r. Pr C,r = Pr! C,r = ( r )! r! Veamos esto co u ejemplo: Como e las combiacioes cada grupo debe teer algú elemeto diferete del de los otros, los que puede formarse co los elemetos a, b, c, d tomados de 3 e 3 so: Abc abd acd bcd es decir C,3 = Para cocretar esta idea, se escribe e u regló los grupos que se obtuviero co los elemetos a, b, c, d tomados de 3 e 3 y e columa y debajo de cada uo de esos grupos, los grupos que se obtiee al permutar los 3 elemetos que los forma:

8 C, abc abd acd bcd acb adb adc bdc bac bad cad cbd P3 bca bda cda cdb cab adb dac dbc cba dba dca dcb E la primera fila figura los C,3 y e cada columa figura los 6 grupos que se obtiee al permutar los 3 elemetos, que ecabeza la columa, es decir P 3 ; resulta así u cuadro de grupos igual a C,3 x P 3. Pero dos cualesquiera de esos grupos, o bie tiee algú elemeto distito o bie si los elemetos so iguales aparece e distito orde, es decir, estos grupos so los arreglos de elemetos tomados de 3 e 3, o sea A,3. Por lo tato ( #) Ejemplo: Se ha preseleccioado 1 ciclistas para elegir etre ellos los 8 del equipo acioal que participará e el campeoato del mudo. De cuátas maeras podrá seleccioarse? No importa el orde de los elegidos, sio solo quiees so los 8 elegidos. 1! C 1,8 =! 8! Ejercicios: 11- Ua cadea de TV orgaiza u cocurso de cultura geeral etre equipos de 3 estudiates de 5to.año. Las respuestas se da e equipo, tras cosultarse los3 etre sí. a) E u cocurso de 3 alumos, de cuátas maeras puede elegirse u equipo de 3 para participar e ese cocurso de TV? b) Y si el cocurso tuviese ua prueba de fuerza, otra de cultura y otra de mímica, y hubiese que elegir el equipo asigado u participate a cada especialidad? NÚMERO COMBINATORIO El úmero de combiacioes C,r, suele expresarse por el símbolo úmero combiatorio, es decir: C,r = (se lee sobre r o tomados de r) r E cosecuecia: ( 1) ( ) ( r + 1) = r r!! = r r! ( r)! r que se llama

9 Resolver: a) 9 b) 5 9 c) 5 d) 5 5 e) 8 f) 6 8 g) 1 h) 1 1 i) 6 j) 6 Propiedades: 1- Simetría: r = r Nº complemetarios - E particular: = = 1 1 = 1 = 3- Recurrecia: 1 r + r = + r 1 Fórmula de Stieffel BINOMIO DE NEWTON POTENCIAS DE UN BINOMIO) Los úmeros combiatorios, además de estar viculados al cálculo combiacioes, aparece e u problema muy distito. Las potecias de u biomio (a+b) Observa estas expresioes: (a+b) 1 a+b (a+b) a + ab + a (a+b) 3 a a b + 3 a b 3 + b (a+b) a + a 3 b + 6 a b + a b 3 + b Hemos copiado e el triágulo del cetro los coeficietes que ha ido saliedo e los desarrollos de la izquierda. Curiosamete los valores coicide co los del triágulo de la derecha, costituido por los úmeros combiatorios.

10 Las flechas os hace ver claramete que cada uo de ellos es la suma de los dos que le precede. Para compreder esto, pesemos e la potecia (a+b) 5. Se trata de efectuar el producto: (a+b) (a+b) (a+b) (a+b) (a+b) La preguta es qué coeficiete llevará el térmio e a 3 b? Equivale a de cuátas maeras puede elegirse tres letras a y dos b de esos cico parétesis? Ua posible forma es, por ejemplo, tomar las a de los parétesis 1º, º y 3º. Otra distita, tomarlas de los parétesis 1º,º y º, etc. Como verás, hay tatas posibilidades como combiacioes de 5 elemetos (los parétesis) tomados de 3 e 3, 5 o sea 3 5 o lo que es lo mismo que equivale a elegir las dos letras b e lugar de las tres letras a. Esto es válido para cualquier potecia (a+b), así que se tiee la siguiete fórmula de Newto para el desarrollo del biomio: (a+b) = a b + a -1 b 1 + a - b a 1 b -1 + a b ANÁLISIS COMBINATORIO: Práctica 1- Verificar las igualdades: a) 8! 7! = 7. 7! b) 6! 1 3!.!.5 = 5 c) 3! +! = 5 3! + 1!! d) 5! + 3!! = 17. 3! e) 6! 5!! = (!) f) ( ) = (-1)! - Expresar como operació etre factoriales de u úmero: a) = b) = c) d) 3!. 5!. 7! = 3!..5.6 e) = 3! 3- Calcular. V 6, V 9,5 V, V 7,6 V 3, P P 3 C 9, C 7,3 C 9,8 - Calcular los siguietes º combiatorios:

11 5- Calcular de modo tal que se verifique cada ua de las siguietes igualdades: a) 7 = b) 1 = 5 c) = 16 d) 18 = 9 e) 33 = Idicar los complemetarios de los siguietes úmeros combiados: a) b) c) d) e) Resolver las siguietes ecuacioes: x! ( x + )! a) 7 =. ( x 5)! 5!( x 3)! b) 15! 1! = 3. (18 x)! (16 x)! x! 15(7 x)! (1 x)! 1(15 x)! c) = x x d) = 3!( x 3)! (8 x)! 6! 8! 7 7 e) = x x x +1 f) A,3 = 3 A, g) A, + 5 = A, h) 7 A,3 = 6A +1,3 i) C x+1,x-3 = 7 C x-1,x- j) C, = 3 Aplicar la fórmula de Stieffel k) C x, - C x-1, = A x-1, l) C C = C x x x 1 x 1 x ll) + = 33 m) + + = x (x-) 3 x x 1 x 1 l) + = 7 x x 5 8- Calcular las siguietes expresioes: P5. V6,3 C1,6. V a) b) C P 8, 8 5, c) P 7. V C 9,5 7, Resuelve si desarrollar: = 5 + x x 1- Biomio de Newto Desarrollar: a) (-a b ) 6 = b) 1 x c) x 3 + y x 5 11)a) E el desarrollo de (x + x ) ecuetra el térmio e el que el expoete de x sea8

12 11 1 b) E el desarrollo de x x + calcula el térmio que o tiee x. x c) Calcula el térmio quito e ( x y ) 1 d) Qué termio cotiee x -6 e el desarrollo de: e) Hallar el térmio 8 del desarrollo de (x y xy -3 ) 8 f) Hallar el T 5 del desarrollo de ( x ) 7. x y 3y x g) Si T 5 e el desarrollo de (x - 1 ), cotiee x, hallar. h) Si T = 8 m 15 m e el desarrollo de m, hallar x. i) Determiar el coeficiete del térmio que cotiee x 3 y e el desarrollo de (x 3y)7. 1)Problemas: 1.1 De cuátos modos diferetes se puede dispoes los 7 colores del arco iris? 1. De cuátas formas distitas se puede ordear 1 libros e u estate? 1.3 Dados 9 putos diferetes e u plao, Cuátos segmetos diferetes que tega de esos putos por extremos se puede determiar? y cuátos vectores? 1. Cuátos úmeros pares de 5 cifras puede formarse co las cifras 1,3,,5,9? 1.5 Co médicos cuátas guardias diferetes de médicos cada ua puede formarse? 1.6 Cuátas señales diferetes se puede hacer co 5 baderas de colores distitos sabiedo que las señales puede hacerse izado cualquier úmero de esas baderas, ua debajo de otra? 1.7 De cuátas formas diferetes puede setarse 1 persoas e ua mesa? 1.8 Cuátos triágulos puede determiarse que tega por vértices, tres de los vértices de u heptágoo? 1.9 E cada ua de las seccioes de ua tieda hay ua vacate de vededor. Se preseta postulates. E cuátas formas diferetes puede llevarse dichas vacates? 1.1 Si se tiee 7 cajas de distitos colores, ua de las cuales es blaca, se desea saber de cuátas formas diferetes se puede dispoer e ua fila dichas cajas de modo que la baca quede siempre e el medio? 1.11 De cuátas formas puede repartirse 1 libros diferetes etre alumos? 1.1 Los empleados de ua oficia debe distribuirse por igual e turos, de cuátas formas distitas puede itegrarse dichos turos? 1.13 Cuátos úmeros de 6 cifras se puede formar co las cifras,1,,3,,5,6,7, 8 y 9 si que figure repetidas y excluyedo los que comieza co? 1.1 Etre 1 igeieros y 8 abogados debe elegirse ua comisió de 5 miembros itegrada por 3 igeieros y abogados. Cuátas comisioes distitas puede resultar? 1.15 Se tiee e sedos volúmees: 9 obras e castellaos, 7 obras e iglés y 5 obras e fracés.se quiere regalar 6 de estos libros etre los que figure 3 e castellao, e iglés y 1 e fracés. De cuátas formas puede dispoerse el cojuto que se regala? 1.16 Escritos e orde creciete todos los úmeros de 5 cifras que se puede formar co las permutacioes de las cifras 1,,3, y 5 Qué lugar ocupa el úmero 315? 1.17 Cuátos úmeros hay de tres cifras? Cosideramos que y 7 so de tres cifras. x 9

13 Cuátos de ellos tiee sus tres cifras distitas? Cuátos úmeros hay de tres cifras cuya primera cifra sea distita de? 1.18 Cuátos mesajes de 6 letras puede formar co las letras de la palabra MURCIÉLAGO si repetir igua? Y permitiedo repeticioes? 1.19 Determiar de cuatas maeras diferetes puede respoder u estudiate u cuestioario de 1 pregutas del tipo Verdadero-Falso. 1. De cuátas maeras diferetes puede otorgarse dos premios distitos etre 1 cadidatos e cada uo de los siguietes casos: a- Ambos premios o puede ser otorgados al mismo cadidato. b- Cualquiera puede recibir los dos premios. 1.1 Cuátos colores distitos se puede obteer mezclado o o, (e caso de mezclar se etiede por partes iguales) pituras de 6 colores diferetes? 1. Doce autos participa e ua carrera: a- De cuátas maeras diferetes puede llegar los doce autos a la meta? Se supoe que o hay llegadas simultáeas. b- Si se premia sólo a los que llega e 1º, º o 3º lugar. De cuátas formas diferetes puede otorgarse los premios de acuerdo al orde de llegada? 1.3 Ecotrar ua fórmula que permita calcular el úmero de diagoales de u polígoo. 1. a- Cuál es el polígoo que tiee igual úmero de lados que de diagoales? b- La diferecia etre el úmero de diagoales de dos polígoos es 13 y la diferecia etre el úmero de sus lados es. Cuáles so esos polígoos? 1.5 Co los úmeros 1,,3,,5,6, y 7 determiar: a- Cuátos úmeros de dos cifras se puede formar b- Cuátos úmeros de cifras se puede formar que empiece co úmero impar? c- Cuátos úmeros de cifras que empiece y termie co úmero impar? 1.6 Se laza al aire ua moeda cuatro veces y se registra el resultado de cada lazamieto. Cuátas sucesioes diferetes de cara y cruz so posibles? 1.7 E u experimeto psicológico ua persoa debe acomodar e hilera u cuadrado, u triágulo, u petágoo y u círculo. De cuátas maeras distitas los puede acomodar? 1.8 U meú de opcioes icluye ua sopa, u plato pricipal, u postre y ua bebida. Supoga que u cliete puede hacer su elecció etre sopas distitas, 5 platos pricipales, 3 postres y bebidas. Cuátos meús diferetes podría elegir? 1.9 Dadas las letras A,B,C,D,E,F, determiar la catidad de arreglos de orde que puede formarse, si o se puede repetir letras, e cada uo de los siguietes casos: a) comieza co la letra B b) o cotiee la letra A c) cotiee la letra A 1.3 U profesor tiee libros distitos de Matemática, 3 libros distitos de Computació y libros distitos de Física: a) De cuátas maeras distitas puede colocar todos los libros e u estate? b) De cuátas maeras distitas los puede colocar, si los libros de Matemática debe estar jutos? 1.31 Se debe seleccioar u comité de 1 persoas de u total de 1 hombres y 1 mujeres.

14 Determiar de cuátas maeras posibles se puede realizar la selecció e cada uo de los siguietes casos: a) o hay restriccioes e cuáto al úmero de hombres y de mujeres e el comité. b) debe haber exactamete 6 hombres y 6 mujeres. c) debe haber a lo sumo 8 hombres d) debe haber por lo meos mujeres. 1.3 U estudiate tiee que seleccioar 7 pregutas, para cotestar, de u cuestioario que costa de 1 pregutas. Determiar de cuatas maeras posibles se puede realizar la selecció e cada uo de los siguietes casos: a) el profesor o le impoe igua restricció b) el profesor le idica que e su selecció debe icluir ecesariamete la 1º y la última preguta. c) el profesor le idica que 3 pregutas debe ser seleccioadas de las 5 primeras y pregutas de las 5 últimas E el campeoato de ajedrez de ua escuela se disputaro 5 partidas. Cada jugador compitió cotra cada uo de los demás ua sola vez. Cuátos alumos participaro? 1.3 E u soporte hay 6 bicicletas, todas de distitos colores. De cuátas maeras se puede ordear si la azul y la blaca debe permaecer jutas? 1.35 Cuátas matrículas (chapas) distitas de automóviles puede fabricarse si debe costar de tres letras seguidas de tres dígitos (cosiderar 7 letras) e cada uo de los siguietes casos? a) o se puede repetir letras. b) o se puede repetir dígitos. c) o se puede repetir letras i dígitos d) se puede repetir letras y dígitos e) se puede repetir tato letras como dígitos pero las letras debe ser sólo vocales y los dígitos debe ser impares Se quiere setar 5 hombres y mujeres e ua fila de modo que las mujeres ocupe los sitios pares. De cuátas formas puede setarse? 1.37 De u total de 5 matemáticos y 7 físicos se forma u comité de matemáticos y 3 físicos. De cuátas formas puede formarse, si: a) puede perteecer a él cualquier matemático y físico b) u físico determiado debe perteecer al comité c) dos matemáticos determiados o puede estar e el comité Cuátas palabras distitas se puede formar co las ocho letras de la palabra TENERIFE? Co las fichas de u juego de damas (1 blacas y 1 egras), puesta ua sobre otra, Cuátas torres de coloridos diferetes se puede formar? 1.- De cuátas formas distitas puedo ordear e u estate 3 libros iguales de matemática, libros iguales de física y 5 libros distitos de legua?