NÚMEROS REALES UNIDAD 1. Página 28. Número áureo a) Demuestra que los triángulos BED y BCF son semejantes. Recordamos los ángulos de un pentágono: 1º.

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1 UNIDAD NÚMEROS REALES Página 8 Número áureo a) Demuestra que los triángulos BED y BCF son semejantes. Recordamos los ángulos de un pentágono: A E B F D C º. β β α β α 7 ; β ; β 08 º. 08 γ γ B E γ γ C γ D º. B ^ B 08 E B D ^ E ^D 80 7 γ Sabíamos que γ. El triángulo BEC es idéntico al BED: F C ^ C ^E ^D 7 ^F 7 Luego los dos triángulos tienen sus ángulos iguales son semejantes. Unidad. Números reales

2 b) Llamando l BE BD EC y tomando como unidad el lado del pentágono, BC BF ED EF, a partir de la semejanza anterior has de llegar a la siguiente ecuación: l E l Despejando l obtendrás su valor. BD ED Por ser semejantes (apartado a)), es decir: l BC FC. l Despejamos l: l (l ) l ± + ± l 0 l Como l es una longitud, la solución válida es la positiva: + l. Este es el número áureo, Φ. A B F D C Página 9 Rectángulo áureo A M B D N C El rectángulo adjunto tiene la peculiaridad de que si le suprimimos un cuadrado, el rectángulo que queda, MBCN, es semejante al rectángulo inicial ABCD. Comprueba que, efectivamente, en tal caso, el rectángulo es áureo, es decir: AB AD Φ (número de oro) Tomamos como unidad el lado pequeño del rectángulo: AD BC, y llamamos MB NC. Así: A M B D N C Al ser semejantes los rectángulos, tenemos que: + Despejamos : ( + ) + 0 ± + ± Unidad. Números reales

3 Como es una longitud, la solución válida es la positiva: + Hallamos la razón entre los lados del rectángulo: AB Φ AD Obtenemos el número de oro. Página. Representa los siguientes conjuntos numéricos: a) (, ) b) [, + ) c) {/ < } d) [, ) U (, 7] e) (, 0) U (, + ) f) (, ) U (, + ) a) 0 b) 0 c) 0 d) 0 7 e) 0 f) 0 Página. Halla: a) b) π c) d) 0 e) π a) b) π c) d) 0 e) π. Averigua para qué valores de se cumplen las siguientes relaciones: a) ; b) ; c) ; d) ; e) > a) y b) ; [, ] c) y d) ; [, ] e) < ó > ; (, ) U (, + ) Página. Simplifica: 9 8 a) 8 ; b) y 0 ; c) (c ) ; d) 8 ; e) ; f) 8 a) b) y c) c c c d) e) 9 f ) 8 Unidad. Números reales

4 . Reduce a índice común: a) y ; b) y a) y ; 9 79 y 8 b) a y a 8 a 7 a. Simplifica: a) ( ) 8 b) k 8 ( ) 0 c) a) ( ) 8 k b) c) k 0 Página 8. Reduce: a) b) 9 c) a) 8 b) 8 c) Simplifica: a) b) a b c) a d) a b a a) b) a b a b a b c) a d) a b c a a a a a b c b c c a b c a b c a b c. Reduce: a) b) 9 c) d) 79 a) b) 8 c) d) 7. Suma y simplifica: a) + + b) 9 + c) d) 0a 8a a) 0 b) + 7 c) d) a a a a a Unidad. Números reales

5 Página 7 8. Racionaliza denominadores y simplifica cuando puedas: + y a) b) c) + + y a a + y d) e) f) y + g) + + h) + + y + y a) ( + ) ( ) ( + y) ( y ) ( + y) ( y ) b) ( + y ) ( y ) y y + y y y y (a ) ( a + ) (a ) ( a + ) c) a + ( a ) ( a + ) (a ) ( + y) ( + y) d) ( y ) ( y ) + y + y y + + e) ( ) ( + ) + 7 ( + ) f ) g) y + y h) y y Página 8. Epresa con un número razonable de cifras significativas las siguientes cantidades: Visitantes anuales a cierta eposición: 89 personas. Asistentes a una manifestación ecológica: personas. Bacterias en dm de cierto preparado: 0 0 bacterias. Unidad. Números reales

6 Número de gotas de agua que hay en una piscina: gotas. Número de granos en un saco de arena de 0 kg: 97 8 granos. Por ejemplo: (I) personas. (II) 000 personas. (III) 0 millones de bacterias. (IV) millones de gotas. (V) millones de granos. Página 9. Da una cota del error absoluto y otra del error relativo en las cantidades que has epresado en el ejercicio de la página anterior. Por ejemplo: (I) e. a. < 0 000; e. r. < ; (II) e. a. < 00; e. r. < 0 0 (III) e. a. < ; e. r. < (IV) e. a. < 00 millones; e. r. < 0 (V) e. a. < ; e. r. < 0 80 Página. Opera con la calculadora: a) (,87 0,9 0 9 ) : (,9 0 ) b) 8, , 0 0, 0 9 a),87 P *,9 P 9 ± /,9 P ± { \ \ «} Es decir:,8 0 b) 8,9 P 0 ± + 7, P 0 ± -, P 9 ± { «Ò} Es decir:,7 0 0 Página. Halla: a) log b) log 0, c) log d) log 0 0,0 e) log f) log 7 9 a) log b) log c) log 0 0 d) log 0 0 e) log f ) log 7 7 Unidad. Números reales

7 Página. Aplica la propiedad 7 para obtener los siguientes logaritmos con la ayuda de la calculadora: a) log 00 b) log 00 c) log d) log 00 0 En cada caso, comprueba el resultado utilizando la potenciación. log 00 a) 0,; 0, log b) log log,9;,9 00 log 00 c),; 00, log 0 00 d) log 00 log 00 0,80; 00 0,80 0 Página 7 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Números racionales e irracionales Epresa como fracción cada ) decimal ) y opera: 0,, 0, ) +, ) ) Recuerda que, ; 0, ,78 ) Demuestra que el producto,09 ),9 ) es un decimal eacto. Comprueba, pasando a fracción, que los dos factores son decimales eactos.,0 ) ,, ) 9 9, 90 90,0 ) 9, ) ,,,7, ) Calcula: a), 7 ) b) a), ) b) 0, ) 9 9 Indica cuál, de cada par de números, es mayor: 0 ) a) y b) 0, y 0, ) c), 89 ) 99 y d),098 y, a) b) 0, ) c), 89 ) d),098 Unidad. Números reales 7

8 Observa cómo hemos representado algunos números irracionales: A C E G B 0 D F H En el triángulo OAB, OB, AB y OA +. Por tanto, el punto D representa a. Qué números representan los puntos F y H? Justifica tu respuesta. F representa, pues OF OC OD + DC ( ) + H representa, pues OH OG ( ) + Cuáles son los números racionales a, b, c, d representados en este gráfico? a 7 b 7 c 7 d 7 d m 0 m m es un segmento cualquiera a b c m m m m m m Potencias 7 Halla sin calculadora: ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) Simplifica, utilizando las propiedades de las potencias: 9 8 a) b) c) d) 9 0 Mira, en EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS, el nº a). a) b) c) 8 c d) 7 a c a c 8 a b b b 8 a b c 7 a b c Unidad. Números reales

9 9 Epresa los siguientes radicales mediante potencias de eponente fraccionario y simplifica: a) a a b) c) a a) a / a / a 9/0 0 a 9 / b) / / c) a / a 0 Resuelve, sin utilizar la calculadora: a) b) c) d) 0, e) 8 f) 0,00 a) b) 7 7 c) d) 0, e) f ) 0, 0, Epresa como una potencia de base : a) b) ( ) / c) ( ) a) / b) ( ) / c) /8 / 8 Calcula utilizando potencias de base, y : a) ( ) b) ( ) ( ) 9 8 ( ) c) ( 8) ( 9) d) 0 ( 0) 0 a) ( ) 9 8 b) 9 ( ) c) ( ) ( ) 9 ( ) 8 d) 00 8 Unidad. Números reales 9

10 Epresa en forma de potencia, efectúa las operaciones y simplifica: a) a a a a b) / a a) / a a 7/ a a / 7 b) ( ) / ( ) / ( ) / / / 0 Justifica las igualdades que son verdaderas. Escribe el resultado correcto en las falsas: a b a b 7 a) b) ( ) ( ) 8 c) d) ( ) ( ) 80 9 a a) Falsa. b a b a b 7 b) Verdadera. ( ) ( ) ( ) c) Verdadera. (/ /) (/ + /) (/ ) (/ ) / / (/ /) + 8 ( ) 8 9 d) Verdadera. ( ) ( ) Demuestra, utilizando potencias, que: a) (0,) / b) (0,) / 000 a) (0,) / ( ) / ( ) / ( ) / 00 b) (0,) / ( ) / ( ) / ( ) / ( ) / 8 Unidad. Números reales 0

11 Página 8 Radicales Introduce los factores dentro de cada raíz: a) b) c) d) e) 9 f) a) b) c) d) e) f ) Saca de la raíz el factor que puedas: a) b) 8 c) 000 d) 8a e) f ) + a b 9 a a g) h) a + i) + a 9 a) b) 8 c) 0 0 d) a a a a e) f ) a b b g) h) (a + ) a + a a i) a 9 a 8 Simplifica: 8 a) b) c) + 9 0,07 0,00 Unidad. Números reales

12 7 a) ( / / ) ( ( ) ) b) ( /8 / ) ( ( ) ) c) ( ) / ( ) / 9 Simplifica los siguientes radicales: a) b) 7 c) 08 d) e) 8 y f) : 8 a) b) / / c) d) y y y y e) f ) 8 : : 0 Reduce a índice común y ordena de menor a mayor: a),, b), c), 0 d) 7, 9, 00 a), 8, ; < b), ; < 0 c) 7 77, ; < 0 0 d) 7 8,, 0 000; 9 < 00 < 7 Unidad. Números reales

13 Realiza la operación y simplifica si es posible: a) 7 b) c) d) ( ) e) ( ) f) : a) b) 8 9 c) 8 d) ( ) 8 e) ( ) f ) : : Efectúa y simplifica, si es posible: a) b) a a a c) ( ) d) : 8 En b) y c) puedes epresar los radicales como potencias de bases a y, respectivamente. a) 08 b) a a a a c) ( ) ( ) 9 d) : : Epresa con solo una raíz: a) b) c) ( ) : a) b) 7 8 c) 0 a a 0 a a 0 a a 0 8 a Unidad. Números reales a a

14 Racionaliza los denominadores y simplifica: a) b) c) 8 d) e) a) b) ( ) c) ( ) 9 ( ) d) e) Calcula y simplifica: a) b) + c) + d) ( + )( ) a) b) c) + + d) Simplifica al máimo las siguientes epresiones: a) 0 + b) a c) 7 8a a + Unidad. Números reales

15 a) b) c) 7 + a + a ( 0 a a a a a a ) a 7 Efectúa y simplifica: a) ( + ) ( ) b) ( + ) c) ( )( + ) d) ( ) e) ( ) ( + ) a) ( + + ) ( + + ) b) c) d) e) ( ) 8 Racionaliza y simplifica: + a) b) c) 8 ( ) d) e) f) ( ) a) ( ) + + ( + ) + b) + ( + ) c) ( ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) d) ( + ) + ( ) ( + ) Unidad. Números reales

16 ( ) ( + ) ( ) e) 0 9 ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) f ) Racionaliza y efectúa: a) 7 b) + 7+ ( + ) ( ) ( ) ( + ) + + a) + ( 7 ) ( 7 + ) ( ) ( 7 7 ) b) ( 7 + ) ( 7 ) 7 7 ( ) 0 Opera y simplifica: Página 9 Notación científica Efectúa y da el resultado en notación científica con tres cifras significativas: a) b) (, 0 + 7,0 0 ) 8, 0 8, 0 (, )(, 0 + 8) 9, 0 c), 0, , 0 0 a), 0 b),8 0 c), 0 Unidad. Números reales

17 Ordena de mayor a menor los números de cada apartado. Para ello, pasa a notación científica los que no lo estén: a),7 0 ; 8,7 0 ; 0 b),9 0 9 ; 0,0 0 7 ; a) 8,7 0 >, 0 >,7 0 b) 0 9 > 0 9 >,9 0 9 Efectúa: ,8 0 Epresa en notación científica y calcula: ( 0 ) ( 0 ) 0 7, 0 7 ( 0 ) , ,000 Considera los números: A, 0 7 ; B,8 0 y C,0 0. Calcula B + C. A 0,0079 7,9 0 Si A, 0 ; B, 0 ; C,8 0 y D, 0, calcula ( + C ) D ,,799 0 A B Aproimación y error 7 Redondea a las centésimas: a) 8,7 b) 0,077 c),07 a) 8,7 b) 0,08 c),0 8 Epresa con tres cifras significativas: a) 98,7 b),9 c) 79 a) 99 b),9 c) Di una cota del error absoluto y una cota del error relativo que se ha cometido al redondear cada número en los dos ejercicios anteriores. En el ejercicio 7: a) e. a. 0,00; e. r. 0,0000 b) e. a. 0,00; e. r. 0,0 c) e. a. 0,007; e. r. 0,0007 Unidad. Números reales 7

18 En el ejercicio 8: a) e. a. 0,8; e. r. 0,000 b) e. a. 0,00; e. r. 0,00 c) e. a. ; e. r. 0,00 0 Aproima estos números de forma que la cota del error absoluto sea la indicada en cada caso: a) 7,08; ε 0,00 b) 7,8; ε c) 7,8; ε 0, d) 9,; ε 00 Da, en cada caso, una cota del error relativo. a) 7,08; ε r < 0,000 b) 8; ε r < 0,00 c) 7,9; ε r < 0,000 d) 00; ε r < 0,008 Los tiempos de utilización de una red de comunicaciones se redondean por eceso a cuartos de hora. Aproima de esta forma los siguientes tiempos: 9 min; 80 min; 7 min. / de hora, una hora y media y horas, respectivamente. Al medir la longitud de una calle, obtuvimos 00 m, con un error absoluto menor que m. Al medir la altura de una habitación, obtuvimos,80 m, con un error absoluto menor que cm. Qué medida se hizo con más precisión? Calculamos la cota del error relativo, tomando como valor real el obtenido al medir, que es una aproimación. La medida más precisa será la que tenga más pequeña la cota del error relativo. Longitud de la calle error relativo < 0,00 00 (error absoluto < m) 0,0 Altura de la habitación error relativo < 0,007,80 0,0 (error absoluto < 0,0 m) Por tanto, la medida de la calle se hizo con más precisión. Intervalos Epresa como desigualdad y como intervalo y represéntalos: a) es menor que. b) es menor o igual que. c) está comprendido entre y. d) está entre y 0, ambos incluidos. Unidad. Números reales 8

19 a) < ; (, ) b) ; [, + ) c) < < ; (, ) d) 0; [, 0] Representa gráficamente y epresa como intervalos estas desigualdades: a) b) < c) d) < / e) < <, f ) a) [, ] b) (, + ) 0 c) [, + ) d) [, 0 ) 0 / e) (;,) f ) [, + ), 0 Escribe la desigualdad que verifica todo número que pertenece a estos intervalos: a) [, 7] b) [, + ) c) (, 0) d) (, 0] e) [/, ) f) (, + ) a) 7 b) c) < 0 d) < 0 e) < f ) < < + Epresa como intervalo la parte común de cada pareja de intervalos (A I B) e (I I J): a) A [, ]; B [0, ] b) I [, ); J (0, 0) a) [0, ] b) [, 0) 7 Escribe en forma de intervalos los números que verifican estas desigualdades: a) < y b) > 0 y < c) y > d) < y Represéntalos gráficamente, y si son dos intervalos separados, como en a), escribe: (, )U [, + ) a) (, ) U [, ) b) (0, ) c) (, ] U (, ) d) [, ) Unidad. Números reales 9

20 Página 0 8 Comprueba cuáles de los números 7; ; ; 0; ;,; ; 7,; cumplen la desigualdad. Epresa en forma de intervalos los números que verifican. Cumplen la desigualdad: ;, y Todos los números del intervalo [, ]. 9 Averigua qué valores de cumplen: a) b) 7 c) + a) 7 y b) ; [, ] c) 9 y ; (, 9) U [, ) 0 Escribe, mediante intervalos, los valores que puede tener para que se pueda calcular la raíz en cada caso: a) b) c) d) e) f) a) 0 ; [, + ) b) 0 ; [, + ) c) 0 0; (, 0] d) 0 ; (, ] e) 0 ; (, ] f ) ; [, + ) + Logaritmos Calcula, utilizando la definición de logaritmo: a) log + log log 9 log b) log + log log 7 a) b) 0 8 Unidad. Números reales 0

21 Calcula la base de estos logaritmos: a) log b) log 9 a) ; b) ; 9 Calcula el valor de en estas igualdades: a) log b) log c) 7 d) a) log,9 b) log ; 0 log log c),8 d) 0,8 log 7 log Halla con la calculadora y comprueba el resultado con la potenciación. a) log 8 b) log, 0 c) log 7, 0 d) log,9 e) log,9 f) log 0,0 a),08 b), c), d), e) 0, f),88 Halla el valor de en estas epresiones aplicando las propiedades de los logaritmos: a) log log 7 + log b) log log log 9 c) log log d) log log + log log e) log log log Logaritmo de un producto: log log (7 ). a) log log (7 ) 7 b) log log 9 9 c) log log d) log log e) log log log log log log log log Unidad. Números reales

22 Halla el valor de que verifica estas igualdades: a) 0,00 b) 0,8 7 c), d) 0, 0,00 log 0,00 log 7 a),8 b) log log 0,8,70 log log 0,00 c),8 d) log, log 0, 7,97 7 Calcula para que se cumpla: a),7 9 b) log 7 0, c) + 7 a) log,7 log 9,7 log log 9 log log 9,7 0,7 0 0,7,98 7 0, b) 7 0, 0,88 c) log + log 7 ( + ) log log 7 + log 7,8 log log 7 log 8 Si log k, escribe en función de : a) log k k b) log 00 c) log 0k a) log k b) log k log 00 c) log 0k ( + ) log (/a) + log a 9 Comprueba que (siendo a ). log a log a + / log a / log a log a log a Ha de ser a para que log a 0 y podamos simplificar. Problemas aritméticos 0 Una parcela de m de ancho y 70 m de largo cuesta 8 0. Cuánto costará otra parcela de terreno de igual calidad de 0 0 m? Calcula cuánto cuesta un metro cuadrado. Unidad. Números reales

23 Hallamos primero el precio del metro cuadrado: 70 0 m tiene la primera parcela 8 0 : 0 9 cuesta m La segunda parcela tiene como superficie: m Por tanto, costará: Tres informáticos, trabajando 8 horas diarias, hacen un trabajo en días. Cuánto tardarán en hacer ese mismo trabajo informáticos en jornada de 9 horas? Cuántas horas lleva hacer todo el trabajo? 8 0 horas lleva hacer todo el trabajo. Trabajando 9 horas diarias, se tardará: 0 : 8 días. Tres empresas invierten, y millones de euros, respectivamente, en un negocio que produce, al cabo de un año, de beneficio. Cómo se repartirán estos beneficios? Cuántos millones se han invertido en total? Qué beneficio corresponde a cada millón invertido? En total se han invertido millones de euros. El beneficio que le corresponde a cada millón invertido será: : Por tanto, se repartiría así: Primera empresa Segunda empresa Tercera empresa Tres socios aportan, y millones, respectivamente, para montar un negocio con la idea de mantenerlo abierto las horas del día. Para compensar las diferencias en la inversión, deciden distribuir las horas de trabajo en relación inversa al dinero aportado. Cuántas horas diarias debe atender el negocio cada uno? Primer socio aporta millones trabajará horas Segundo socio aporta millones trabajará y horas Tercer socio aporta millones trabajará z horas Como el tercero aporta el triple que el primero, trabajará la tercera parte: z z Como el tercero aporta el doble que el segundo, trabajará la mitad: z y y z Unidad. Números reales

24 Además: + y + z z + z + z z z, y 8, El primero trabajará horas, el segundo 8 horas y el tercero horas. Dos poblaciones A y B distan 0 km. A la misma hora sale un autobús de A hacia B a una velocidad de 80 km/h y un turismo de B hacia A a 0 km/h. Cuándo se cruzarán? Se aproiman a km/h. Cuánto tardarán en recorrer los 0 km a esa velocidad? Si se aproiman a km/h, en recorrer 0 km tardarán: 0 t,7 horas hora y minutos 00 Página Un automóvil tarda horas en ir de A a B y otro tarda horas en ir de B a A. Calcula el tiempo que tardarán en encontrarse si salen simultáneamente cada uno de su ciudad. Qué fracción de la distancia AB recorre cada uno en una hora? Y entre los dos? El primero recorre / del camino en hora. El segundo recorre / del camino en hora. 8 Entre los dos recorren: + del camino en hora. Tardarán h h ' 0" en encontrarse. 8 CUESTIONES TEÓRICAS Eplica si estas frases son verdaderas o falsas: a) Todo número entero es racional. b) Hay números irracionales que son enteros. c) Todo número irracional es real. d) Algunos números enteros son naturales. e) Hay números decimales que no pueden ser epresados como una fracción. f) Todos los números decimales son racionales. g) Entre dos números enteros hay siempre otro número entero. h) Entre dos números racionales siempre hay infinitos números racionales. i) Entre dos números racionales hay infinitos números irracionales. j) Los números racionales llenan la recta. a) V b) F c) V d) V e) V f ) F g) F h) V i) V j) F Unidad. Números reales

25 7 Si Á, eplica si es verdadera o falsa cada una de estas afirmaciones: a) es siempre positivo o nulo. b) es siempre positivo o nulo. c) solo eiste si 0. d) es negativo si lo es. e) es siempre negativo. a) V b) F c) F d) V e) F (puede ser nulo) 8 Es posible que una potencia de eponente negativo sea igual a un número entero? Acláralo con ejemplos. Sí. Por ejemplo: ( ) 9 Compara el cuadrado de con el de +. Cómo varía el cuadrado de un número cuando a ese número le añadimos una unidad? ( + ) + + () Varía en + 70 Cómo varía el cuadrado de un número cuando a ese número lo multiplicamos por? Y si lo dividimos entre? () 9 Se multiplica por 9 ( ) Se divide entre 7 Cuál es el menor número real perteneciente al intervalo [, )? Y el mayor? Escribe un intervalo de la recta real que no tenga ni primer elemento ni último. El menor es. No hay mayor. Cualquier intervalo abierto no tiene ni primer ni último elemento. 7 Si N y >, ordena estos números: + < < < < Ordena de menor a mayor los números a, a, /a y a en estos dos casos: ) Si a > ) Si 0 < a < ) < a < a < a ) a < a < a < a a Unidad. Números reales

26 PARA PENSAR UN POCO MÁS 7 Los tamaños estándar de papel se denominan A0, A, A, A, A, A Cada uno de ellos es la mitad del anterior y semejante a él. I Teniendo en cuenta lo anterior y sabiendo que la superficie de A0 es m, calcula las dimensiones de una hoja A (que es la de uso más frecuente) redondeando hasta los milímetros. Comprueba el resultado midiendo una hoja A que tengas a mano. A0 A A A A A II Demuesta que cualquiera de las hojas anteriores cumple lo siguiente: Si le añadimos un cuadrado, el rectángulo que se obtiene MNPQ tiene la peculiaridad de que al suprimirle dos cuadrados da lugar a otro rectángulo MRSQ semejante a él (MNPQ semejante a MRSQ). M Q A N P M Q R S I) y/ A0 A y La superficie de A0 es m, es decir: y m y Por la semejanza entre A0 y A, tenemos que: y y y y/ ( ), y Unidad. Números reales

27 Las dimensiones de A0 son: largo m, ancho m A0 y/ A / y/ A / Las dimensiones de A serán: largo 0,97 m 9,7 cm 97 mm ancho 0,0 m cm 0 mm y II) y M R N Q S P y La razón entre los lados del rectángulo (A0, A, ) es: ( ) (es la misma en A0, A, pues todos ellos son semejantes). La razón entre los lados del rectángulo MNPQ es: y / y + y/ + / + + / Queremos probar que MRQS es semejante a MNPQ; para ello bastará ver que: MQ MR + Veámoslo: / + + y y/ / ( ) ( + ) + Como queríamos probar. Unidad. Números reales 7

28 7 Para numerar las páginas de un libro un tipógrafo ha empleado 99 dígitos. Cuántas páginas tiene el libro? (El 0, el, el son dígitos. El número se escribe con tres dígitos). Las 9 primeras páginas 9 dígitos De la 0 a la dígitos De la 00 a la dígitos Llevamos: dígitos Nos faltan: dígitos, que pertenecen a números de cuatro cifras. Luego: 0 : páginas más. Así: páginas tiene el libro. Unidad. Números reales 8