TALLER II Profesores: H. Fabian Ramirez y S. Carolina García MATRICES Y ESPACIOS VECTORIALES

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "TALLER II Profesores: H. Fabian Ramirez y S. Carolina García MATRICES Y ESPACIOS VECTORIALES"

Transcripción

1 UNIVERSIDAD NACIONAL Facultad de Ciencias Departamento de Matemáticas TALLER II Profesores: H. Fabian Ramirez y S. Carolina García MATRICES Y ESPACIOS VECTORIALES OBSERVACIÓN: N.A significa Ninguna de las Anteriores. 2. Sean A = 2, B = 2 2, C = 3 2 Simplifique y calcule X = 4A (AB C +AC)(2B C) 2 Encuentre Y tal que AY = Dadas las matrices A, B, C y D, identifique las expresiones matriciales que están bien definidas y calcúlelas. ( ) ( ) 3 5 ( ) 2 /3 2 A = B = C = D = a) 2(A B)+3A+2B b) 3(A+B C) 2D c) 2(ACB + DCB) d) 3[ 5(A+2B D)] 2[ 2 (A+2B D)] e) A T B +A T D +C T D f) (A T D) C g) Calcule la componente (,2) de BC, la segunda fila de BC y la tercera columna de BC. 3. Dadas las matrices invertibles A y B y el vector b A = 2 / B = /2 b = ) b ( calcule [AB +3A] T 2 BT A T 4. Sean A = 2, determine si tiene inversa. En caso afirmativo, exprese la matriz A como un producto de matrices elementales. 5. Demuestre a) Si A es invertible y AB = AC, entonces B = C. b) AA T es una matriz simétrica para cualquier matriz A. c) Si la matriz A es invertible y AB = O, entonces B = O. 6. Las siguientes proposiciones son FALSAS justifique el POR QUÉ. a) Si las columnas de una matriz forman un conjunto de vectores l.i., la matriz es invertible. b) La suma de dos matrices invertibles es una matriz invertible.

2 c) Si la solución de un sistema de ecuaciones lineales homogéneo es única, la matriz de coeficientes del sistema es invertible. d) Si la suma de dos matrices es invertible, cada una de las matrices es invertible. e) El producto de dos matrices cuadradas siempre es invertible. f) Si el sistema Ax = b tiene solución única, la matriz A es invertible. g) Para concluir que una matriz es invertible, es necesario calcular su inversa. h) Si la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales es invertible, el sistema tiene solucion única. i) Si el producto de dos matrices es invertible, cada una de las matrices es invertible. 7. Las siguientes proposiciones son VERDADERAS justifique el POR QUÉ. a) Cualquier múltiplo diferente de cero de una matriz invertible es invertible. b) Si una matriz es invertible, cualquier forma escalonada equivalente también es invertible. c) Si la forma escalonada equivalente de una matriz es invertible, la matriz también es invertible. d) Si la matriz A es invertible, el sistema Ax = b tiene solución única. e) Si la suma de las columnas de una matriz es igual al vector, la matriz no es invertible. f) Si el sistema Ax = b tiene infinitas soluciones, la matriz A no es invertible. g) Si el sistema Ax = b tiene solución única y A es cuadrada, la matriz A es invertible. 2

3 h) Si la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales es invertible, el sistema es inconsistente. DEF: Decimos que una matriz A es idempotente, si y sólo si, A 2 = A y decimos que una matriz A es nilpotente, si y solo si, existe un k N tal que A k = O. 8. Demuestre porque son VERDADERAS las siguientes proposiciones a) Ninguna matriz nilpotente es invertible. b) La matriz idéntica es una matriz idempotente. c) Una matriz triangular con los elementos de la diagonal iguales a cero es una matriz nilpotente. d) Si A 4 = O, la matriz A es nilpotente. e) Si A 4 = O, la matriz A 2 es nilpotente. f) Si A 4 = A 2, la matriz A 2 es idempotente. g) Si A es idempotente, A 2 también es idempotente. 9. Demuestre porque son FALSAS las siguientes proposiciones a) Toda matriz idempotente es invertible. b) Si A 4 = A 2, la matriz A es idempotente. DEF: Decimos que una matriz A cuadrada es ortogonal, si y solo si, las columnas de A son vectores unitarios y ortogonales entre si.. Demuestre porque son VERDADERAS las siguientes proposiciones a) Si A es una matriz ortogonal, entonces A T A = I. b) Toda matriz ortogonal es invertible. c) Si A es una matriz ortogonal, entonces AA T = I. d) Si A es una matriz ortogonal, entonces A T también es ortogonal. 3

4 e) La matriz idéntica es ortogonal. f) La inversa de una matriz ortogonal es su transpuesta. g) Si A es una matriz ortogonal, la solución del sistema de ecuaciones lineales Ax = b es x = A T b.. Demuestre que si A es una matriz simétrica e invertible, entonces A es simétrica. 2. Sea una matriz n n tal que A 4 = O. Verifique que (I A) = I +A+A 2 +A Pruebe que: Si A k = O, para algún k Z y AB = B, entonces B = O. 4. Sean A y B dos matrices cuadradas simétricas de orden n. Pruebe que: AB es simétrica si y sólo si A y B conmutan 2 5. Sea 2, factorizarla en LU Para cualquier matriz m n. Muestre que A T A y AA T están siempre definidas y además son simétricas 7. Si A es invertible, pruebe que A T es invertible y además (A T ) = (A ) T Si p(t) = t 3 6t 2 5t 2 y A = 5 4, se verifica que p(a) = A 3 6A 2 5A 2I es igual a la matriz nula? 9. Pruebe que si A es idempotente entonces (AB ABA) 2 = O para todo B. 2. Simplifique la expresión: 3 B(B A T C +B C)( 6 AT C) 2. Pruebe que si la matriz A n n satisface A 2 2A+I = O, entonces A es invertible. Halle A. a 22. Halle los valores de a para los cuales se tiene que tr(a) = si A = a a a a 23. Al escalonar la matriz A, se aplicaron las operaciones elementales F F F 2, F 3 +F 2 F 3, y se obtuvo 2 4 la matriz a) Calcule la factorización LU de la matriz A. b) Resuelva Ax = b para b T = ( 6). c) Resuelva Az = d para d = 3x. d) Resuelva A T y = c para c T = (2 3). e) Existe det A? 24. Si A y B son matrices 5 5 tales que deta = 3 y detb = /2, calcule, de ser posible, a) det(a ). b) det(2b). c) det(ab). d) det(a+b). e) det(a 2 ). f) det(a T ). g) det[(3a) ]. h) det[adj(a)]. i) det[(2b) A(Adj(A))B 2 ] 25. Al escalonar la matriz A, se aplicaron las operaciones elementales F 2 + 2F F 2, F F F 3 y F 3 + F 2 F 3 y se obtuvo la matriz 6 7/ a) Calcule det A. b) Existe A? c) Calcule la factorización LU de A. d) Calcule detadj(a). 4

5 26. Demuestre que 27. Simplifique ( ) n λ = λ ( ) λ n nλ n λ n para todo n natural. [ ( ) 2 A 2B(2B) +(A+B)(A +B ) + 2 BT (A ) T ] T 2 A(BA ) = 28. Por qué son FALSAS las siguientes proposiciones a) Una matriz ortogonal simétrica es una matriz idempotente. b) El determinante de 3A es 3 veces el determinante de A. c) Si el determinante de la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales es cero, el sistema es inconsistente. d) Si el determinante del producto de dos matrices es cero, una de las matrices es cero. e) Toda matriz es el producto de matrices elementales. f) Si dos matrices tienen dos filas iguales, sus determinantes también son iguales. g) Al pre-multiplicar una matriz por una matriz elemental, el determinante de la matriz no cambia. h) Si el determinante del producto de dos matrices es cero, el determinante de una de las matrices es cero. i) Si la solución de un sistema de ecuaciones lineales homogéneo cuadrado es única, el determinante de la matriz de coeficientes del sistema puede ser cero. j) La factorización LU de una matriz requiere más operaciones que el uso de la eliminación de Gauss para escalonar la matriz. k) Si una matriz es invertible, siempre es posible calcular su factorización LU. l) Toda matriz cuadrada A O es el producto de matrices elementales. 5

6 29. Porque son VERDADERAS las siguientes proposiciones a) Si las columnas de una matriz cuadrada son l.i., el determinante de la matriz es diferente de cero. b) Si la matriz A es invertible, la matriz A 4 también es invertible. c) Si la matriz A es invertible, su matriz adjunta también es invertible. d) Si la suma de las columnas de una matriz es igual al vector, su determinante es cero. e) Si el determinante de una matriz es cero, una columna es combinación lineal de las otras. f) Toda matriz elemental es invertible. 3. Para cada una de las siguientes afirmaciones, dé una demostración o en su lugar un contraejemplo. a) Si A y B son ortogonales entonces, A+B es ortogonal. b) Si A y B son ortogonales entonces, AB es ortogonal. c) Si A y AB son ortogonales entonces B es ortogonal. d) Si A es ortogonal entonces A tambien es ortogonal. 3. Al escalonar la matriz A, se aplicaron las operaciones elementales F F 3, F 2 +2F F 2, F F F 3, F 2 F 2 y F 3 + F 2 F 3 y se obtuvo la matriz 6 7/ a) Calcule det A. b) Existe A? c) Calcule el detu d) Existe factorización LU de A. e) Calcule det Adj(A). 32. Demuestre que si A no es invertible, entonces Adj(A) tampoco es invertible. 33. Calcular la inversa, siempre que exista, de las matrices: Ayuda: Recuerden a su amigo Jordan A = 4 5 6, B = 2 2 2, C =,D =, E = Es posible expresar la matriz A = como un producto de matrices elementales?. 6

7 35. Encuentre la inversa del producto c 36. Calcular los determinantes de las siguientes matrices: A = [ Si A = 38. Si 39. Si B = ],B = a a 2 a 3 b b 2 b 3 c c 2 c 3 a a 2 a 3 b b 2 b 3 c c 2 c 3 a 3 a 2 a b 3 b 2 b c 3 c 2 c ,C = b 2,D = a = 4, calcule los determinantes de las matrices a a 2 a 3, C = b b 2 b 3, y D = 2c 2c 2 2c 3 y deta = 5 a a 2 a 3 b b 2 b 3 c 2a c 2 2a 2 c 3 2a 3 a b c d e f g h i =, calcule 3,E = a a 2 a 3 b +4c b 2 +4c 2 b 3 +4c 3 c c 2 c , calcule, de ser posible, el determinante de las siguientes matrices d e f 3a 3b 3c g h i,, a a 3 5a a 2 b b 3 5b b 2 c c 3 5c c 2 4a 7d 4b 7e 4c 7f g h i d e f 4. Sean A = 4, B = 2, C = 3 donde A,B,C son matrices 3 3. Determine adja (A BC T) (AB + T C ). a a 2 a 3 b b 2 b 3 3c 2a 3c 2 2a 2 3c 3 2a Use propiedades de determinantes para probar que a+b a a a a a+b a a a a a+b a a a a a+b = b 3 (4a+b) +a b c d e a +b c d e a b +c d e a b c +d e a b c d +e = +a+b+c+d+e 42. Demuestre que si A y B son matrices n n, tales que A = P BP entonces a) det(a) = det(b) b) det(b λi) = det(a λi) 43. PREGUNTAS a) Es cierto en general que A+B = A + B? b) Qué valores puede tener A si A es idempotente? c) Por qué el determinante de una matriz triangular es igual al producto de sus elementos de la diagonal principal? 7

8 d) Si deta = implica que A = O e) Sean A y B matrices n n, si AB es invertible, será BA invertible? f) Qué le pasa al determinante de una matriz si se multiplica la matriz por una constante α. g) Sean A y P matrices n n, supóngase que P es invertible y A no lo es, es posible calcular P AP? h) Dado el sistema Ax = y A = podemos decir que el sistema tiene infinitas soluciones? i) Sea el sistema Ax = b, b y A = podemos decir que el sistema tiene infinitas soluciones? α α α+ j) Para qué valores de α la matriz A = 2 3 no tiene inversa. 2 α α+3 α+7 a a 2 a Si b b 2 b 3 = 3, calcule los determinantes de las siguientes matrices c c 2 c Evaluar a +2b 3c a 2 +2b 2 3c 2 a 3 +2b 3 3c 3 b b 2 b 3 c c 2 c 3 (a) λ 2 λ 2 2 λ 3, a 3a 2 a 3 b 3b 2 b 3 2c 6c 2 2c 3, (b) λi 3 A, donde A = 46. Muestre que si A y B son matrices tales que AB = entonces A = o B =. a 2 a 47. Muestre que b 2 b c 2 c = (b a)(c a)(b c) Sea A = a) Determine adja. a a 2 a 3 c c 2 c 3 b +4c b 2 +4c 2 b 3 +4c 3 2 b) Calcule A. c) Verifique que A(adjA) = (adja)a = A I Determine todos los valores λ para los cuales (a) λ 4 λ 4 =. (b) λi 3 A =, donde A = 5. Muestre que si A, B y C son matrices tales que AB = AC y A entonces B = C

9 5. Muestre que si A es no singular, entonces adja es no singular y 52. Si A es una matriz 3 3 tal que A = 2. Calcular: (adja) = A A = adj(a ). (a) 3A. (b) 3A. (c) (3A) Para qué valores de a ocurre que 3 a + a 3a 2 a 2 = 4? 54. Responder Verdadero o Falso, justificando cada respuesta. a) det(aa T ) = det(a 2 ). b) det( A) = det(a). c) Si A T = A, entonces det(a) =. d) Si det(a) = 4, entonces el sistema Ax = tiene sólo la solución trivial. e) Si det(a) =, entonces det(adja) =. f) Si A,B y P son matrices tales que P es no singular (invertible) y B = PAP entonces det(a) coincide con det(b). g) Si A 4 = I n, entonces det(a) =. h) Si A 2 = A y A I n entonces det(a) =. 55. Al escalonar la matriz aumentada del sistema Ax = b aplicando las siguientes 4 operaciones elementales, en este orden: F 2 5F F 2, F 3 3F F 3, F 3 F 2 y F 4 +2F 3 F 4, se obtuvo (U c) = 3 7 λ λ 2 λ λ a) Para qué valores de λ el sistema original es inconsistente: λ = b) Para qué valores de λ el sistema original tiene infinitas soluciones: λ = c) Para qué valores de λ el sistema original tiene solución única: λ = d) Para λ =, detu = e) Para λ = 2, deta = f) Para λ =, el rango de [A b] es g) Para λ =, la dimensión del espacio nulo de A es: 9

10 { h) Para λ =, una base B del espacio columna de [A b] es: B = i) Para λ =, un vector v del espacio nulo de A diferente del vector cero es: v = j) Para λ =, las columnas de A son linealmente independientes? SI NO k) Para λ = 2, las columnas de A generan a R 4? SI NO 56. Si A, B y C son matrices invertibles de igual tamaño, entonces ( BA T C +BC) T ( 6 CT AB T ) = 57. Sean A = [a a 2 a 3 a 4 ] y b tales que una forma escalonada de la matriz aumentada del sistema Ax = b es 4 [U c] = β β 2 α 2 α 3α Si β = y α =, de un conjunto generador de Gen{a, a 2, a 3, a 4 con menos elementos. Si β = 2 y α = 3, dar el espacio columna de la matriz A. Si β = 3 y α = 2, dar el espacio nulo de la matriz A. 58. Sea A una matriz tal que deta =. Al escalonar la matriz A, se aplicaron en su respectivo orden las operaciones elementales 2 F F, F 3 2F 2 F 3, F 4 +F 2 F 4, F 3 F 4 y F 4 F 3 F 4. El determinante de la matriz que resulta de aplicar dichas operaciones elementales a la matriz A es: a. 2 b. 2 c. d. e. 5 f Sean A y B matrices de orden n que conmutan y tal que (B A) existe. Si la matriz X satisface la ecuación (A+X)B (B +X)A = B 2 A 2, entonces X es igual a: a. B A b. A B c. B +A d. B 2 A 2 e. N.A x x 2 6. Sea A = y y 2. Para qué valor de x,y y z, A existe? z z 2 a. x = y = z b. x y z c. x = y z 6. Considere la matriz Q = al vector: a. b c. d. x y z x e. N.A y el vector c = d. 3. La combinación lineal Q c es igual e. 62. Indique por qué si A es una matriz cuadrada tal que en cada fila y en cada columna uno y sólo un elemento es distinto de cero, entonces A es una matriz invertible. 63. Sean A, B y X matrices simétricas de orden 3 3 tales que det(2a + I) = 9 (ABXA, detb = 3. Si + ) T ( ) 3A 2 BT A T = 3B X, entonces detx es:

11 a. b. c. 6 d. 2/9 e. N.A 64. Sea A = α 2 5 α 3. Para qué valor de α, A existe? α a. α = 3 b. α = ±2 c. α = 5 d. α = e. N.A El elemento (2,) de la matriz inversa de A = /3 5 3 es: 2,7 2 a. 6 b. /6 c. /6 d. 6 e. N.A 66. Sean u,v y w vectores de un espacio vectorial V. Pruebe que { u,v,w es un conjunto linealmente independiente si y sólo si { u v,v w,u+w es un conjunto linealmente independiente. 67. De las siguientes afirmaciones, señale DOS VERDADERAS. a) Si { v,v 2,v 3,v 4 es un conjunto de vectores l.d, entonces { v,v 2,v 3 es un conjunto de vectores l.d. b) Si { v,v 2,v 3 es un conjunto de vectores l.i, entonces { v,v 2,v 3,v 4 es un conjunto de vectores l.i. c) Si Gen { v 2,v 3,v 4 = Gen { v,v 2,v 3,v 4, entonces { v,v 2,v 3,v 4 es un conjunto de vectores l.d. d) Si Gen { v 2,v 3,v 4 = Gen { v,v 2,v 3,v 4, entonces { v2,v 3,v 4 es un conjunto de vectores l.i. e) Si { { v,v 2,v 3 es un conjunto de vectores l.i, entonces v v 2,v 2 v 3,v +v 3 es un conjunto de vectores l.i Considere la matriz U = Resuelva el sistema U x = b, donde b = (b b 2 b 3 b 4 ) T. 69. Al escalonar la matriz A, se aplicaron las operaciones elementales 2F F, F 3 2F 2 F 3, F 4 +F 2 F 4, 2 F 3 F 4 y F 4 F 3 F 4, y se obtuvo la matriz El determinante de A es: a. 2 b. 2 c. d. e. 5 f. 5 El determinante de la matriz adjunta de A, det(adja), es 2 7. El elemento (3,) de la matriz inversa de A = 2 es: a. b. c. d. 2 e. N.A 7. De las siguientes afirmaciones, señale DOS VERDADERAS. a) Las coordenadas de un vector de un plano en R 5, en una base del plano, es un vector de R 2. b) Las coordenadas de un vector de un plano en R 5, en una base de R 5, es un vector de R 2. c) Un conjunto de 5 vectores de un hiperplano en R 5 que pasa por el origen puede ser l.i. d) Si ν(a) = y A es una matriz 7 4, el sistema de ecuaciones lineales Ax = b tiene solución única para todo vector b. e) Si ρ(a) = 5 y A es una matriz 5 9, el sistema de ecuaciones lineales Ax = b tiene infinitas soluciones para todo vector b Considere la matriz Q = π y el vector c =. La combinacion lineal Q c es igual al 2 2 vector:

12 a. b. c. d. e. N.A 73. Al escalonar una matriz A de orden n, se aplicaron en su respectivo orden las operaciones elementales 2F F, F 3 2F 2 F 3, F 4 +F 2 F 4, F 3 F 4 y F 4 F 3 F 4, y se obtuvo una matriz U de la forma U = 2I n. El determinante de A es: a. 2 n b. 2 n c. 2 n d. 2 n e. ( 2) n f. N.A El determinante de la matriz adjunta de A es: a. (2 n ) n b. (2 n ) n c. ( 2 n ) n d. ( 2 n ) n e. N.A 74. Sea H = { a +a x+a 2 x 2 +a 3 x 3 P 3 : a 2a = un subespacio vectorial de P 3. La dimensión de H es: a. b. 2 c. 3 d. 4 e. N.A Considere la matriz A = Un vector del espacio nulo de la matriz A es: a. b. c. d. e. N.A 76. Regla de Cramer Dado un sistema de ecuaciones lineales Ax = b de tamaño n n, donde A es invertible. Demuestre que las componentes x i de la solución x T = (x,x 2,...,x n ) satisfacen x i = deta i deta donde A i es la matriz que se obtiene de A reemplazando la columna i por el vector b. 77. Resolver el sistema dado por la regla de Cramer, siempre que sea posible. x+y +z 2w = 4 2y +z +3w = 4 (a) = 2x+y z +2w = 5 x y +w = 4 2x+3y +7z = 2 (b) = 2x 4z = x+2y +4z = w w 2 w 3 {{{{{{ 78. Sea B = y B = {( ) T,( 3 ) T,(2 ) T bases de R 3. Encuentre la matriz cambio de base de B y B y use esto para calcular [u] B donde u = 2w +w 2 2w Sea H = { p(x) = a + a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 : p() = un subconjunto de P 3. Compruebe que H es un subespacio vectorial de P 3 con las operaciones de suma y producto por escalar definidas en P 3. Además, determine una base B y la dimensión para H. 8. Si V = P 2 es el espacio de todos los polinomios de grado menor o igual a 2, { a) Es H = p(x) = a+bx+cx 2 P 2 : a = 2 un subespacio vectorial de P 2? 2

13 b) Es verdad que si B es un conjunto de 3 polinomios, entonces B genera a P 2? c) Es verdad que cualquier subconjunto de V con 2 o menos polinomios es linealmente independiente? d) Es verdad que si B genera a P 2, entonces el número mínimo de elementos de B es 3? 8. Al escalonar una matriz A, se aplicaron en su respectivo orden las operaciones elementales F 2 + F F 2, F 3 +F 2 F 3 y se obtuvo la matriz 2 5 U = 7. 2 Encuentre la factorización LU de la matriz A. Resuelva el sistema Ax = b, donde b = (6 9) T. a b 82. Sea A = a 2 b 2. Utilice las propiedades de los determinantes para hallar el determinante de la a 3 b 3 matriz A. 83. Considere la matriz A del punto anterior. Si A es invertible, encontrar el elemento (2,) de la matriz A. 84. Sea A una matriz tal que det U = 5. Al escalonar la matriz A, se aplicaron en su respectivo orden las operaciones elementales 3 F F, F 3 4F 2 F 3, F 4 + F 2 F 4, F 3 F 4 y F 4 3F 3 F 4. El determinante de la matriz A es: a. 5 b. 5 c. 5 3 d. 5 3 e. 5 f Sea H = { p(x) = a +a x+a 2 x 2 +a 3 x 3 P 3 : a = a = a 3. Muestre que H es un subespacio de P3 y calcule su dimensión. 86. Considere el hiperplano H = { (x y z w) T : x z +w = R 4. Encuentre una base ortonormal del hiperplano H. Encuentre la proyección ortogonal del vector v = ( 2) T sobre H. 87. Determine si los siguientes conjuntos, con las operaciones indicadas, son espacios vectoriales (reales). Para aquellos que no sean espacios vectoriales, enumerar los axiomas que no se cumplen. a) El conjunto de los números complejos con la suma (a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i y el producto por escalar (a+bi) = (λa)+(λb)i. b) El conjunto de los números reales positivos (R + ) con las operaciones x y = xy y λ x = x λ c) El conjunto de vectores de R 2 con la suma y producto escalar definidos como sigue ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a a2 a +a = 2 a λa λ = b b 2 b +b 2 d) En R 2 con la suma y producto por escalar definidos respectivamente por: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x2 x +x = 2 + x λ+λx λ = y +y 2 + y λ+λy y y 2 b b 3

14 e) En R 2 con la suma y producto por escalar definidos respectivamente por: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x2 x +x = 2 x λx λ = y +y 2 + y λ+λy y y Determine si los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales (reales). Identifique el espacio vectorial al que pertenecen. a) W = {A M n n : det(a) = b) El conjunto de matrices simétricas 8 8. c) El conjunto de puntos del segundo cuadrante del plano cartesiano. d) W = { A M 2 2 : A 2 = A e) W = {A M n n : tr(a) = f) El conjunto de polinomios de grado 3. g) W = { (x y z) T : 2x y +5z =,x,y,z R h) El conjunto de puntos de la recta que pasa por P = ( 2 3) T y Q = (5 ) T. i) El conjunto de puntos del plano que pasa por P = ( 2 3 ) T, Q = (5 2) T y R = (3 4 7 ) T j) W = {x R n : Ax =,A n m una matriz k) El conjunto de números racionales. l) W = {p(x) P 4 : p() = m) W = { A M n n : A T = A 4

15 n) El conjunto de matrices triangulares superiores 3 3 ñ) El conjunto de funciones de R en R, derivables. o) {3n : n N p) {x : x R,x > q) El conjunto de polinomios de grado menor o igual a 4, tales que evaluados en cero dan. 89. Demuestre que W = { a+bx+cx 2 : a b+c = es un subespacio real de P 2 (x) ( ) Determine si la matriz A = es un combinación lineal de las matrices 9 3 ( ) 4 ( ) Demuestre que el polinomio p(x) = 2x 2 +2x+6 pertenece al subespacio W = Gen{x 2 +,2x,3. Se puede concluir que el conjunto {x 2 +,2x,3, 2x 2 +2x+6 es l.d 92. Es W = { ax 3 +bx 2 +cx+d : a = b, c = b+2d un subespacio vectorial de P 3 (x)?. En caso afirmativo halle una base y la dimensión de W. 93. Para qué valores de x y y el vector (2 x 3 y) T Gen { (2 3 5) T,( 2 3) T 94. Para qué valores de a los siguientes vectores forman una base de R 3, { (a 2 ) T,( a 2) T,( ) T 95. Sean W = {q(x) P 4 : q() = y U = {p(x) P 4 : p() = dos subespacios de P 4. Halle U W, una base de U W y la dimensión U W x 96. Sean W = Gen 2, y U = y R 3 : x 2y +z = dos subespacios de R3. Halle U W, 2 z una base de U W y la dimensión U W Dada la matriz A = 4 3, halle una base y la dimensión del espacio fila de A, denotado por F A, 6 5 del espacio columna de A, denotado por C A y del espacio nulo de A, denotado por N A. 98. PREGUNTAS: a) Sea V un espacio vectorial y W V. Si V / W. se puede conluir que W no es un subespacio vectorial de V.? Aplique su conlusión a W = {f : [,] R : f() = f() = 4? b) El polinomio P(x) = 2x 2 3x+ pertenece al subespacio W = { c+bx+ax 2 : a+2b =?. c) Se puede conluir de manera inmediata que los siguientes vectores son l.d.? 3 8 2, 4,, 5 3 5

16 2 d) Cuales de los siguientes conjuntos 2,,, 2 son una base del subespacio 2 x W = y : 3x y 2z =?. z e) Es el conjunto { ( ) T,( ) T,( ) T una base ortogonal de R 3? f) Es el conjunto { x 2 +2x,x+,5x 2 +x linealmente independiente? g) Es 3 la dimensión de W = { 3x 2 x, 5x,x 6x 2? h) Si {v,v 2 es l.i. y si u es un elemento tal que u / Gen{v,v 2, entonces se puede concluir que {v,v 2,u es l.i?. Dé una interpretación geométrica en R 3. 2 i) Sean B =,, y B 2 =, 2, bases ordenadas de R3. Si ( 3 ) T son los coordenadas de un vector v R 3 en la base B, Se puede afirmar que ( )T son los coordenadas de v en la base B 2? A qué es igual v? j) Si W = { A M 2 2 (R) : A = A T es un subespacio vectorial de M 2 2 (R), es dimw = 2? 99. Encuentre el vector de coordenadas de u con respecto a la base B del espacio V, es decir, [u] B 3 5 a) Para V = R 3 B = 2, 2,, u = 3 2 b) Para V = P 2 B = { t 2 +t,t,t+, u = 3t 2 t+2 {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 c) Para V = M 2 2, B =,,, u = 4 2. Determine una base y la dimensión de los subespacios W dados: a) W = { (x y z) T : 3x 5y +2z = b) W = { ax 2 +bx+c : c = 2a 3b { ( ) c) W = X M 2 2 : X = X d) W = { (x 2 +x+)p(x) : p(x) P 2 ( ). Sea V = R 3. Cúales de los siguientes subconjuntos de R 3 son subespacios de R 3? { a) W = (x y z) T : (x 2 +y 2 +z 2 ) 2 = b) W = { (x y z) T : y c) W = { (x y z) T : 3x 2y = d) W = { (x y z) T : x+y z = 2 6

17 2. Sea V el espacio de todas las funciones de R en R y sea W V. Determine si W es un subespacio de V. a) W = {f : f(7) = f() b) W = {f : f(x) = f( x) c) W = {f : f(x) d) W = {polinomios de grado 3 con coeficientes enteros e) W = {f : f() = +f(2) 3. Determinar si los siguientes conjuntos son subespacios del espacio vectorial de las matrices 2 2, M 2 2 a) W = { A M 2 2 : A = A T {( ) a b b) W = : a = d c d c) W = {A M 2 2 : A = 4. Para qué valores de λ el vector v T = ( 2 λ) T es una combinación de los vectores (3 2) T y (2 5) T? 5. Halle las condiciones sobre a,b y c tales que (a,b,c) pertenezca al subespacio generado por u = (2,,),u 2 = (,,2) y u 3 = (,3, 4). u T,u T 2,u T 3 genera a R 3? Por qué? 6. Sea W = { a +a x+a 2 x 2 : 4a 2 +a +a = a) Pruebe que W es un subespacio de P 2 (x). b) Halle una base y la dimensión de W. c) Verifique que f(x) = x 2 5x+ esta en W y halle las coordenadas de f respecto a la base hallada en el item (b) 7. SeaB = {v,v 2,v 3 unabasedelespaciovectorialv.siu = v +v 2 +3v 3,u 2 = 2v 2 +v 3 yu 3 = v +v 2 +2v 3. Podemos concluir que {u,u 2,u 3 es una base de V.? 2 8. Sean W = Gen, 2 y S = Gen, dos subespacios de R3 3 2 a) Halle una base y la dimensión de S y de W, b) Halle S W y luego su base y su dimensión 9. Demuestre que los polinomios ( t) 3,( t) 2,( t) y generan a P 3 (t).. Cuáles de las siguientes matrices tienen el mismo espacio fila. Sea V = ( ) 2 ( ) { f : f tiene derivada de todo orden. Muestre que {f,g,h V es l.i, donde a) f(t) = e 2t, g(t) = t 2, h(t) = t b) f(t) = e 2t, g(t) = sint, h(t) = t {( ) a b 2. Si W = : b = c, a = 3d, halle una base y dimw c d 3. Mostrarque{e x,e 2x,e 3x,e 4x eslinealmenteindependiente Sepuedeafirmarlomismodelconjunto{,x,xe x? 4. Demuestre que la intersección de subespacios es un subespacio, pero la unión de subespacios no. 5. W = {A M 3 2 : a = a 22, a 2 = 2a 3, a 2 = 3a 32 un subespacio de M 3 2. Encuentre una base y la dimensión de W. Extienda esta base a una base de M Sean B = {+x, x,x 2 y B bases del espacio vectorial P 2. Si la matriz de transición P B B de B a B es 2 P B B = 2 2, entonces B = {,, Sea W = {(x y z w) T : x 2y +z w = un subespacio de R 4. Encuentre una base ortonormal de W. Exprese v = (2) T W como combinación lineal de la base ortonormal hallada. ( ) ( ) ( ) Sea V el espacio vectorial de las matrices simétricas 2 2. Verifique,, es una

18 ( ) 4 base de V. Halle las coordenadas de la matriz B = relativas a esta base Encuentre una base ortonormal en R 4 que incluya los vectores v = ( )T y v = ( 2 2 ) T { 2. Demuestre que los polinomios 2x 3 +x 2 x+, x 3 +2x 2 +5x, 4x 2 +5x 8, x 3 +2x 2 x+ son l.i. 2. Geométricamente, cuales son los subespacios de R 2? de R 3? de R 4? (En R n, para n 5, existen otros subespacios distintos a los de R 4?) 22. En cada caso, determine si el vector v es combinación lineal del conjunto de vectores S y en caso de serlo, encuentre los coeficientes de la combinación lineal, diga además si la combinación es única. Adicionalmente, halle el conjunto generado por S. Existe un conjunto de vectores con menor número de ellos que genere el mismo conjunto? a) S = 4, 3, 2 v = { b) S = x+x 2,2+x 2, +2x, v = 3 2x+2x 2. c) S = { x+x 2 x 3,2+x 2,3+x+x 2 +x 3, v = 3 2x+2x 2 x 3. {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d) S =,,, v = Verifique que para todo trio de vectores u, v y w de un espacio vectorial V, a) Gen{u,v,w = Gen{u,u+v,u+w. b) Si {u,v,w es l.i., entonces {u v,v w,u+w también es l.i. 24. Encuentre un conjunto generador, un conjunto l.d. y un conjunto l.i. de cada uno de los siguientes espacios vectoriales. a) C = { a+bi : a,b R,i =. b) El hiperplano H : 3x 2y +w = de R 4. { 2 7 c) N A = x R 3 : Ax =, A = d) S = Gen { 3x 2x 2, 2+x, 4+x 2x 2 e) S = { A M 3 3 : A = A T f) S = { A = (a ij ) 3 3 : a ij =,i j 25. Encuentre el subespacio más pequeño que contiene cada uno de los conjuntos de vectores dados. 2 a),,, 2, 2 3 b) {3x 2x 2,2+x,2x+2x 2,x 3, 2x 2x 2 +2x 3 {( ) ( ) ( ) ( ) c),,, Demuestre que si B = {v,v 2,...,v k es una base del espacio vectorial V y A es la matriz [v v 2...v k ], entonces las columnas de A T A forman un conjunto l.i. y por tanto la matriz A T A es invertible. 27. Determine POR QUÉ las siguientes afirmaciones son FALSAS a) Si el determinante de una matriz 5 5 es 3, la matriz tiene máximo 3 columnas l.i. b) Si {u,u 2,u 3,u 4 es un conjunto de vectores l.d., {u,u 2,u 3 también es un conjunto de vectores l.d. 8

19 c) Si {u,u 2,u 3,u 4 es un conjunto l.i., {u,u 2,u 3,u 4,u 5 también es un conjunto l.i. d) La unión de dos subespacios vectoriales es un subespacio vectorial. e) Si Gen{u,u 2,u 3,u 4 = Gen{u,u 2,u 4, entonces {u,u 3,u 4 es l.i. f) El conjunto de puntos dentro de un circulo alrededor del origen de radio es un subespacio de R 2. g) El conjunto de matrices triangulares inferiores 5 5 con unos en la diagonal es un subespacio de M 5 5. h) El conjunto de matrices elementales es un subespacio de M. i) El conjunto de polinomios de grado menor o igual a 5, con coeficientes enteros, es un subespacio de P 5. j) El conjunto de polinomios de grado igual a 3, es un subespacio de P Determine POR QUÉ las siguientes afirmaciones son VERDADERAS a) Si {u,u 2,u 3,u 4 es un conjunto de vectores l.i., {u,u 2,u 3 también es un conjunto de vectores l.i. b) Si {u,u 2,u 3,u 4 es un conjunto l.d., {u,u 2,u 3,u 4,u 5 también es un conjunto l.d. c) Un subconjunto finito diferente de { no puede ser un subespacio vectorial. d) La intersección de dos subespacios vectoriales es un subespacio vectorial. e) Si Gen{u,u 2,u 3,u 4 = Gen{u,u 3,u 4, entonces {u,u 2,u 3,u 4 es l.d. f) El conjunto de matrices antisimétricas 3 3 (A = A T ) es un subespacio de M 3 3 g) El conjunto de matrices escalares 4 4 es un subespacio de M En cada caso, determine si el conjunto B forma una base del espacio vectorial V a) 3, 3 v = R3 b), 3, v = R3 9

20 2 2 5 c), 3, 3, 5 5 d) B = { +x, x,x 2, V = P 2. v = R3 e) B = { +x,x 2, x 3, V = P 3. f) B = {,+x 2, V = { a +a x+a 2 x 2 : a =. g) B = { +x,x 2, V = { a +a x+a 2 x 2 : a =. 3. Encuentre una base del espacio vectorial dado y determine su dimensión. a) H = {(x y z w) T : x+y +z +w =. {( ) a b b) W = : a,b R b a { c) K = a +a x+a 2 x 2 +a 3 x 3 P 3 : a 2a 2 =. 3. A partir del conjunto S, construya una base del espacio vectorial H que contenga o esté contenida en S. a) S = { ( 2 3 4) T,( 3 5 7) T,( 2 4 6) T H = R 4. b) S = { x 2,+x, H = P 2. c) S = { x 2,+x, x 3,+x 3,x 2 +x 3, H = P 3. d) S = { ( ) T,( 2 3 6) T, H = { (x y z w) T : x+y +z +w =. 32. Sea B = {( 2 ) T,( 5) T,( ) T una base de R 3. Observe que, después de resolver tres sistemas de ecuaciones lineales, encontramos que = = = a) Determine la matriz de transición de la base B a la base usual de R 3. b) Determine la matriz de transición de la base usual de R 3 a la base B. c) Calcule el vector de coordenadas en la base B del vector v = ( 2 3) T. Es necesaria una matriz de transición para hacer el cálculo?. Justifique la respuesta. d) Calcule el vector u sabiendo que [u] B = ( 2 3) T. 33. Justifique que B y B son bases de V, calcule el vector u cuyas coordenadas en una de las dos bases se dan y calcule las coordenadas del vector u en la otra base. 2 2 a) V = R 3 B = 2,, B =,, [u] B = 5 2 {( ) ( ) ( ) ( ) B =,,, b) V = M 2 2 {( ) ( ) ( ) ( ) [u] B = 2 B =,,, c) V = P 2 B = { 2 x, x 2,+x B = { +x,2 x, x 2 3 [u] B = 2 d) V = P 3 B = {,x,x 2,x 3 B = { +x,x+x 2,x 2 +x 3, x 3 [u] B = x e) V = y : x+y +z = B =, B =, 2, [u] B = z ( ) 34. Sean B y B dos bases de R 3, y W un conjunto de vectores de R 3 y A la matriz de transición de la base B a la base B, donde 2 2 W = 2,, A = a) Calcule la base B sabiendo que B = W b) Calcule la base B, sabiendo que B = W. 2

21 35. Calcule el rango y la nulidad para cada una de las matrices dadas. ( ) Verifique si los siguientes conjuntos son ortogonales y si son ortonormales a) S =,, c) S =,, {( ) ) 2 b) S = 2,( 2 2 d) S = 3 2 2, 37. Calcule la proyección de u en el subespacio H y la componente de u c ortogonal a H. 2 x a) u = H = Gen, c) u = 2 2 H = Gen y z : 2x y +w = w x b) u = H = Gen y : x+y +z = z 38. Dadas B = {, x, x 2 y B = {2 3x, x,x 2 + dos bases de P 2, si [u] B = ( 3 ) T, seleccione una afirmación VERDADERA. a) u = 9 5x+x 2. b) [u] B = 5+9x+x 2. c) [u] B = ( 9 5) T. d) [u] B = ( 9 5) T. e) [u] B = ( 5 9 ) T. 39. Señale entre las siguientes afirmaciones, una FALSA. a) Las coordenadas de un vector de un plano en R 5, respecto a una base del plano, es un vector de R 2. b) Si [u] B R 5, entonces dim(genb) = 5. c) La dimensión del espacio de las matrices diagonales 2x2 es 4. d) Si S = {u,u 2,u 3,u 4 es un conjunto ortonormal del espacio vectorial V, entonces dimv 4 e) La dimensión de un hiperplano en R 5 es La dimensión de H = gen {, x, x 2, x 3, +2x+3x 2 +4x 3 es: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) N.A. 4. De las siguientes afirmaciones, señale UNA VERDADERA. a) Si {v,v 2,v 3,v 4 es un conjunto de vectores l.d., entonces {v,v 2,v 3 también es un conjunto de vectores l.d. b) Si Gen{v 2,v 3,v 4 = Gen{v,v 2,v 3,v 4, entonces {v 2,v 3,v 4 es un conjunto de vectores l.d. c) Si Gen{v 2,v 3,v 4 = Gen{v,v 2,v 3,v 4, entonces {v,v 2,v 3,v 4 es un conjunto de vectores l.i. d) Si {v,v 2,v 3 es un conjunto de vectores l.i., entonces {v,v 2,v 3,v 4 también es un conjunto de vectores l.i. e) N.A. 42. Sea H = { p(x) = a + a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 : p() = un subconjunto de P 3. Compruebe que H es un subespacio vectorial de P 3 con las operaciones de suma y producto por escalar definidas en P 3. Además, determine una base B y la dimensión para H. 43. Determine POR QUÉ las siguientes afirmaciones son FALSAS a) Si el rango de una matriz A M 7 9 es 7, su nulidad es cero 3 3 2

22 b) Si el rango de una matriz A M 7 9 es 9, el sistema Ax = b tiene solución única. c) La dimensión del espacio de los polinomios de grado menor o igual a 4, que evaluados en es, es 3. d) La dimensión de Gen{u,u 2,u 3,u 4 es 4. e) Las coordenadas de una matriz 3 5 en una base de M 3 5 es un vector de R 8. f) Las coordenadas de un vector de un hiperplano en R 5 en una base de R 5 es un vector de R 4. g) Un conjunto de 5 matrices 3 2 puede generar a M 3 2 h) Cualquier conjunto de 5 polinomios de grado menor o igual 3 genera a P 3. i) Un conjunto de 5 vectores de un hiperplano en R 5 que pasa por el origen puede ser l.i. j) Cualquier conjunto de 5 matrices diagonales 6 6 es l.i.. k) Si S = {p,q,r,t P 3, S puede ser un conjunto ortogonal. l) Para calcular la proyección ortogonal de un vector en un subespacio, se requiere una base ortogonal del subespacio. m) La proyección ortogonal de un vector sobre un subespacio es ortogonal al subespacio. n) Si η(a) = y A es una matriz 7 4, el sistema de ecuaciones lineales Ax = b tiene solución única para todo vector b. ñ) Si el rango de una matriz 5 8 es 5, la nulidad de su transpuesta es 3. 22

23 o) Una base del espacio columna de una matriz es la conformada por las columnas pivotales de una matriz escalonada equivalente. 44. Determine POR QUÉ las siguientes afirmaciones son VERDADERAS a) Si el rango de una matriz A M 7 9 es 7, el sistema Ax = b tiene infinitas soluciones. b) Si el rango de una matriz A M 8 es 7, el sistema Ax = b puede no tener solución. c) Si la nulidad de una matriz A M 7 9 es 7 su rango es 2. d) Si la nulidad de una matriz A M 9 9 es A es una matriz invertible. e) Si la nulidad de una matriz A M 27 es 2 A el sistema Ax = no tiene solución única. f) Si la nulidad de una matriz A M 8 7 es 3, el sistema Ax = b es incosistente o tiene infinitas soluciones. g) Si [u] B R 5, entonces dim(genb) = 5. h) Dadas P y Q, las matrices de transición de B a B y de B a B, respectivamente, la ecuación P[u] B = Q[u] B permite calcular las coordenadas del vector u en una base, conociendo las coordenadas del vector u en la otra base. i) La dimensión del espacio de las matrices diagonales 4 4 es 4. j) La dimensión de un hiperplano en R 5 es 4. k) La dimensión de Gen{u,u 2,u 3,u 4, cuando {u,u 2,u 3,u 4 es l.i., es 4. l) Las coordenadas de un vector de un plano en R 5 en una base del plano es un vector de R 2. m) Si S = {A,B,C,D V es un conjunto ortonormal, entonces dimv 4. 23

24 n) Es posible encontrar un conjunto ortogonal de 3 vectores de un hiperplano en R 6. ñ) La suma de la proyección ortogonal de un vector en un subespacio con la componente del vector ortogonal al subespacio es el vector. o) Una matriz A de tamaño 4 7 no puede tener una nulidad igual a cero. p) El rango de una matriz 5 8 no puede ser 6. q) Una base del espacio fila de una matriz es la conformada por las filas que tienen pivotes en una matriz escalonada equivalente. r) La dimensión del espacio fila de una matriz es igual al rango de la matriz. s) Si ρ(a) = 5 y A es una matriz 5 9, el sistema de ecuaciones lineales Ax = b tiene infinitas soluciones para todo vector b. 45. Al escalonar la matriz A, se aplicaron las operaciones elementales F 2 F F 2, F 3 +2F F 3 y F 3 +3F 2 F 3 y se obtuvo la matriz U = 2 2, determine: 3 Si A es invertible. Resolver el sistema Ax = Halle una matriz L tal que A = LU 46. Dados los vectores u = ( 2 3) T, v = ( 2 4 6) T, w = ( 3 5 ) T y el subespacio H = Gen{u,v, entre las siguientes afirmaciones, seleccione una que sea VERDADERA. La proyección de u sobre H es v. La proyección de u sobre H es igual a la proyección de v sobre H. La proyección de w sobre H es. La proyección de u sobre H es. 47. Sean B = {x, +x 2, 2 3x y B = {2 3x, x,x 2 + bases de P 2. Si [u] B = ( 2 5 ) T, seleccione una afirmación VERDADERA. a) u = 2+5x. b) [u] B = 7 2x+5x 2. c) [u] B = ( 2 5) T. d) [u] B = (7 2 5) T. e) N.A 48. Sean B = {+x, x,x 2 y B bases del espacio vectorial P 2. Si la matriz de transición P B B de B a B es 2 P B B = 2 3, entonces B = {,,. 3 24

25 49. SeanB = { ( ) (, ) (, ) (, ) yb = { ( bases del espacio vectorial M 2x2 (R). La matriz de transición P BB de B a B es: P BB = ) (, ) (, ) (, ) 5. A partir del conjunto S = { x 2,+x, construya una base B del espacio vectorial P 2 que contenga o este contenida en S. 5. De los siguientes conjuntos H, señale UNO que sea espacio vectorial (real), con las operaciones de suma y producto por escalar definidas en R n, entre polinomios y entre matrices. {( ) a a (a) H = {p(x) = a +a x+a 2 x 2 +a 3 x 3 : p() = (b) H = : a R 2a 5 (c) H = Hiperplano de R 5 cuya ecuación es x+y +z +w 3 = (d) H = {ax 2 +bx+c P 2 : c+b = (e) N.A 52. Sea B = {v, v 2, v 3 una base del espacio vectorial V y B = {u, u 2, u 3 un subconjunto ortonormal de V. Entre las siguientes afirmaciones, señale una FALSA. (a) [u ] B = ( ) T. (b) Si A = [u u 2 u 3 ], entonces A T A = I. (c) Si W es un subespacio de V, entonces dimw 3. (d) {u 2, u 3 puede ser un conjunto l.d. 53. Señale entre las siguientes afirmaciones, una FALSA. a) Las coordenadas de un vector de un plano en R 5, respecto a una base del plano, es un vector de R 2. b) Si [u] B R 5, entonces dim(genb) = 5. c) Si S = {u,u 2,u 3,u 4 es un conjunto ortonormal del espacio vectorial V, entonces dimv 4. d) El rango de una matriz 5 8 puede ser 6. e) Para calcular la proyección ortogonal de un vector en un subespacio, NO se requiere de una base ortogonal del subespacio. 54. Sean B = {, + x y B bases del espacio vectorial P. Si la matriz de transición P BB ( ) de B a B es /3 P BB =, entonces B = {,. 55. Sean B = {x, +x 2, 2 3x y B = {2 3x, x,x 2 + bases de P 2. Sea p(x) = 3 2x+2x 2. Dar las coordenadas de p(x) en la base B y B. Si [p(x)] B = ( 2 5 ) T, encontrar el polinomio p(x). Hallar la matriz de transición de la base B a la base B. x 56. Para H = y R : x 2y +2z = z Demuestre que es un subespacio vectorial de R 3. Halle una base B y la dimensión de H. Determine si v = ( 6 2 5) T H, en caso afirmativo escriba v como combinación lineal de los elementos de la base B. 57. Si det(a) = 3 5 y AB = O, entonces B = αx+y +z = 58. Para qué valores de α el sistema tiene solución única x+αy +z = x+y +αz = 59. A 5 5 es antisimétrica entonces det(a) = a b c 4u 2a p 6. Si p q r u v w = 3 y si W = 4v 2b q entonces : det(3w ) = 4w 2c r 6. Si A y B son matrices 3 3 tal que 2A = 6 y A T (2B) = 8 entonces A 3 B T = 62. Sea A M n n (R) y suponga que det(a). Calcule Adj ( Adj(A) ) en términos de A. 25

26 4 63. Encuentre una matriz A tal que adj(a) = 4 6 es A única? Diga si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas (Justifique). {( ) ( ) a) Sean B =, y B 2 = {v,v 2 bases de R 2. Si la matriz de transición P BB = ( ) ( ) 2 v = y v 2 =. b) Si B = {x+,x 2 y B = {x 5,x 2 son bases de P y v P es tal que [v] B = ( ) 2 [v] B = c) Si A es 4 4 y ρ(a) = 4, entonces Ax = b tiene exactamente 4 soluciones. { ( ) x 65. Determine si H = : x R es un subespacio x 66. Determine si K =,, es un subespacio de R3. ( ) 2, entonces ( ) entonces Determine si B = { x 2 +x+,x 2,x+2 es una base de P Determine si Gen,, = Gen, Sea 2, una base ordenada del subespacio vectorial H de R3 y sea [u] B = 3 u = ( ), entonces 26

Matrices. Operaciones con matrices.

Matrices. Operaciones con matrices. Matrices. Operaciones con matrices. Ejercicio. Dadas las matrices ( ) ( ) 4 A = B = ( ) C = D = 4 5 ( ) 4 E = F = seleccione las que se pueden sumar y súmelas. Ejercicio. Dadas las matrices ( ) ( ) A =

Más detalles

TALLER III Profesor: H. Fabian Ramirez TRANSFORMACIONES LINEALES Y VECTORES PROPIOS. 0 0 λ λ 2 λ λ

TALLER III Profesor: H. Fabian Ramirez TRANSFORMACIONES LINEALES Y VECTORES PROPIOS. 0 0 λ λ 2 λ λ UNIVERSIDAD NACIONAL Facultad de Ciencias Departamento de Matemáticas TALLER III Profesor: H. Fabian Ramire TRANSFORMACIONES LINEALES Y VECTORES PROPIOS OBSERVACIÓN: N.A significa Ninguna de las Anteriores..

Más detalles

Espacios Vectoriales

Espacios Vectoriales Espacios y subespacios vectoriales Espacios Vectoriales 1. Demuestre que con la suma y multiplicación habituales es un espacio vectorial real.. Considere el conjunto C de los números complejos con la suma

Más detalles

Escuela de Matemáticas

Escuela de Matemáticas Escuela de Matemáticas Universidad de Costa Rica MA-004: Álgebra Lineal Prácticas Sistemas de ecuaciones lineales, Matrices Determinantes MSc Marco Gutiérrez Montenegro 07 Sistemas de ecuaciones lineales

Más detalles

ESPACIOS Y SUBESPACIOS VECTORIALES

ESPACIOS Y SUBESPACIOS VECTORIALES ESPACIOS Y SUBESPACIOS VECTORIALES. ESPACIO VECTORIAL REAL Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos llamados vectores, junto con dos operaciones, llamadas suma y multiplicación por un escalar

Más detalles

Clase de Álgebra Lineal

Clase de Álgebra Lineal Clase de Álgebra Lineal M.Sc. Carlos Mario De Oro Facultad de Ciencias Básicas Departamento de matemáticas 04.2017 Page 1 Espacios vectoriales Definicion. Espacio Vectorial (E.V.) Un V espacio vectorial

Más detalles

Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES

Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES Ejercicio 1: Determine si los siguientes conjuntos con las operaciones definidas en cada caso son o no espacios vectoriales. Para aquellos que no lo sean, indique

Más detalles

Álgebra y Álgebra II - Segundo Cuatrimestre 2017 Práctico 4 - Espacios Vectoriales

Álgebra y Álgebra II - Segundo Cuatrimestre 2017 Práctico 4 - Espacios Vectoriales Álgebra y Álgebra II - Segundo Cuatrimestre 2017 Práctico 4 - Espacios Vectoriales (1) Sea n N. Mostrar que el conjunto de polinomios sobre R de grado menor que n es un subespacio vectorial de R[x]. Este

Más detalles

Matemáticas II. Prácticas: Matrices y Determinantes ; C = 1 3 5

Matemáticas II. Prácticas: Matrices y Determinantes ; C = 1 3 5 Matemáticas II Prácticas: Matrices y Determinantes. Sean las matrices cuadradas siguientes: 4 5 6 B = 9 8 7 6 5 4 C = 5 7 9 0 7 8 9 Se pide calcular: a A B + C. b A AB + AC. c A B AB + ACB.. Sean las matrices:

Más detalles

Ejercicios de Álgebra Lineal Parcial 1

Ejercicios de Álgebra Lineal Parcial 1 Ejercicios de Álgebra Lineal Parcial 1 1. Ejercicios de respuesta corta ( ) 3 1 a) Si A = encuentre la entrada c 6 2 12 de la matriz A 2 { x 3y = 1 b) Si para k R el sistema tiene solución única, verique

Más detalles

Tema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones.

Tema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones. Tema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones. Álgebra Lineal Escuela Politécnica Superior Universidad de Málaga Emilio Muñoz-Velasco (Basado en los apuntes de Jesús Medina e Inmaculada Fortes)

Más detalles

EJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 1 ESPACIOS VECTORIALES

EJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 1 ESPACIOS VECTORIALES EJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA ESPACIOS VECTORIALES MATRICES. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Matrices ) Dada la matriz M=, prueba que n n M M, n. ) Demuestra la siguiente implicación: Si I A I AA A

Más detalles

Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES

Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES Ejercicio 1: Determine si los siguientes conjuntos con las operaciones definidas en cada caso son o no espacios vectoriales. Para aquellos que no lo sean, indique

Más detalles

Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES. Ejercicio 1:

Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES. Ejercicio 1: 6 Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES Ejercicio : Determine si los siguientes conjuntos con las operaciones definidas en cada caso son o no espacios vectoriales. Para aquellos que no lo sean, indique

Más detalles

TALLER I Profesor: H. Fabian Ramirez SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y VECTORES EN R n

TALLER I Profesor: H. Fabian Ramirez SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y VECTORES EN R n UNIVERSIDAD NACIONAL Facultad de Ciencias Departamento de Matemáticas TALLER I Profesor: H. Fabian Ramirez SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y VECTORES EN R n OBSERVACIÓN: N.A significa Ninguna de las Anteriores.

Más detalles

EJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 1 ESPACIOS VECTORIALES

EJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 1 ESPACIOS VECTORIALES EJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA ESPACIOS VECTORIALES Formas reducidas y escalonada de una matriz SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ) Encuentre una sucesión de matrices elementales E, E,..., E k tal que

Más detalles

Tema 1: Matrices. Sistemas de ecuaciones. Determinantes

Tema 1: Matrices. Sistemas de ecuaciones. Determinantes Tema 1: Matrices. Sistemas de ecuaciones. Determinantes José M. Salazar Octubre de 2016 Tema 1: Matrices. Sistemas de ecuaciones. Determinantes Lección 1. Matrices. Sistemas de ecuaciones. Determinantes

Más detalles

Es decir, det A = producto de diagonal principal producto de diagonal secundaria. Determinante de una matriz cuadrada de orden 3

Es decir, det A = producto de diagonal principal producto de diagonal secundaria. Determinante de una matriz cuadrada de orden 3 1.- DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA Determinante de una matriz cuadrada de orden 1 Dada una matriz cuadrada de orden 1, A = (a), se define det A = det (a) = a Determinante de una matriz cuadrada de

Más detalles

102 EJERCICIOS DE ALGEBRA LINEAL por Francisco Rivero Mendoza Ph.D.

102 EJERCICIOS DE ALGEBRA LINEAL por Francisco Rivero Mendoza Ph.D. 102 EJERCICIOS DE ALGEBRA LINEAL por Francisco Rivero Mendoza Ph.D. Tema 1. Espacios Vectoriales. 1. Dar la definición de cuerpo. Dar tres ejemplos de cuerpos. Dar un ejemplo de un cuerpo finito 2. Defina

Más detalles

Espacios Vectoriales www.math.com.mx

Espacios Vectoriales www.math.com.mx Espacios Vectoriales Definiciones básicas de Espacios Vectoriales www.math.com.mx José de Jesús Angel Angel jjaa@math.com.mx MathCon c 007-009 Contenido. Espacios Vectoriales.. Idea Básica de Espacio Vectorial.................................

Más detalles

Algebra Lineal * Working draft: México, D.F., a 17 de noviembre de 2010.

Algebra Lineal * Working draft: México, D.F., a 17 de noviembre de 2010. Algebra Lineal * José de Jesús Ángel Ángel jjaa@mathcommx Working draft: México, DF, a 17 de noviembre de 2010 Un resumen de los principales temas tratados en un curso de Álgebra Lineal Contenido 1 Sistemas

Más detalles

Grado en Ciencias Ambientales. Matemáticas. Curso 10/11.

Grado en Ciencias Ambientales. Matemáticas. Curso 10/11. Grado en Ciencias Ambientales. Matemáticas. Curso 0/. Problemas Tema 2. Matrices y Determinantes. Matrices.. Determinar dos matrices cuadradas de orden 2, X e Y tales que: 2 2X 5Y = 2 ; X + 2Y = 4.2. Calcular

Más detalles

520142: ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL

520142: ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL 520142: ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL Segundo Semestre 2008, Universidad de Concepción CAPITULO 10: Espacios Vectoriales DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas 1 Definición

Más detalles

ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES

ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES Departamento de Matemática Aplicada II E.E.I. ÁLGEBRA Y ESTADÍSTICA Boletín n o (010-011 ESPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES 1. En el espacio vectorial ordinario R 4 estudiar cuáles de los siguientes

Más detalles

PRACTICA: MATRICES Y DETERMINANTES A = B = C =

PRACTICA: MATRICES Y DETERMINANTES A = B = C = PRACTICA: MATRICES Y DETERMINANTES 1. Sean las matrices cuadradas siguientes A = 1 2 3 B = 9 8 7 C = 1 3 5 4 5 6 6 5 4 7 9 0 7 8 9 3 2 1-3 -2-1 Se pide calcular: a. 2A -3B + C 2A = 2(1) 2 (2) 3(2) 2 4

Más detalles

1. Espacios Vectoriales Reales.

1. Espacios Vectoriales Reales. . Espacios Vectoriales Reales. El Álgebra Lineal es una rama de la Matemática que trata las propiedades comunes de todos los sistemas algebráicos donde tiene sentido las combinaciones lineales y sus consecuencias.

Más detalles

3. Determinantes. Propiedades. Depto. de Álgebra, curso

3. Determinantes. Propiedades. Depto. de Álgebra, curso Depto de Álgebra curso 06-07 3 Determinantes Propiedades Ejercicio 3 Use la definición para calcular el valor del determinante de cada una de las siguientes matrices: 3 0 0 α A = 5 4 0 A = 6 A 3 = 0 β

Más detalles

solucionario matemáticas II

solucionario matemáticas II solucionario matemáticas II UNIDADES 8-4 bachillerato 8 Determinantes 4 9 Sistemas de ecuaciones lineales 46 Fin bloque II 0 Vectores 8 Rectas planos en el espacio 68 Propiedades métricas 08 Fin bloque

Más detalles

MATRICES,DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

MATRICES,DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Departamento de Matemática Aplicada II EEI ÁLGEBRA Y ESTADÍSTICA Boletín n o 1 (2010-2011 MATRICES,DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1 Sean A, B, C, D y E matrices de tamaño 4 5, 4 5, 5 2,

Más detalles

EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD DE ÁLGEBRA

EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD DE ÁLGEBRA EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD DE ÁLGEBRA 2003 (4) Ejercicio 1. Considera los vectores u = (1,1,1), v = (2,2,a) y w = (2,0,0), (a) [1'25 puntos] Halla los valores de a para que los vectores u, v y w sean linealmente

Más detalles

ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL

ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL 520142 ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL Primer Semestre, Universidad de Concepción CAPITULO 7. MATRICES DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas 1 Definición: Matriz Sean

Más detalles

5.1 Matrices y operaciones DA DB DC. (i) (ii) (iii) 5 CAPÍTULO CINCO Ejercicios propuestos

5.1 Matrices y operaciones DA DB DC. (i) (ii) (iii) 5 CAPÍTULO CINCO Ejercicios propuestos 5 CAPÍTULO CINCO Ejercicios propuestos 5.1 Matrices y operaciones 1. Si A y B son dos matrices cuadradas cualesquiera, entonces: a) Verdadero b) Falso 2. Dada la ecuación matricial, hallar X. 3. a) Determine

Más detalles

Definición (matriz): Definición (dimensión de una matriz): Si una matriz tiene m renglones y n columnas se dice que es de dimensión m n.

Definición (matriz): Definición (dimensión de una matriz): Si una matriz tiene m renglones y n columnas se dice que es de dimensión m n. Índice general 1. Álgebra de Matrices 1 1.1. Conceptos Fundamentales............................ 1 1.1.1. Vectores y Matrices........................... 1 1.1.2. Transpuesta................................

Más detalles

Matrices, determinantes y sistemas lineales

Matrices, determinantes y sistemas lineales UNIVERSIDAD DE MURCIA Departamento de Matemáticas Óptica y Optometría Relación de Problemas n o 3 Curso 005-006 Matrices, determinantes y sistemas lineales 54. Dadas las matrices A y B siguientes, calcule

Más detalles

ÁLGEBRA LINEAL E.T.S. DE INGENIERÍA INFORMÁTICA INGENIERÍAS TÉCNICAS EN INFORMÁTICA DE SISTEMAS Y GESTIÓN BOLETÍN DE PROBLEMAS DE

ÁLGEBRA LINEAL E.T.S. DE INGENIERÍA INFORMÁTICA INGENIERÍAS TÉCNICAS EN INFORMÁTICA DE SISTEMAS Y GESTIÓN BOLETÍN DE PROBLEMAS DE E.T.S. DE INGENIERÍA INFORMÁTICA BOLETÍN DE PROBLEMAS DE ÁLGEBRA LINEAL para las titulaciones de INGENIERÍAS TÉCNICAS EN INFORMÁTICA DE SISTEMAS Y GESTIÓN 1. Matrices y determinantes Ejercicio 1.1 Demostrar

Más detalles

Ejercicios tipo test de las lecciones 1 y El vector e = ( 1, 0, λ) está en el plano generado por los vectores u = (1, 2, 1) y

Ejercicios tipo test de las lecciones 1 y El vector e = ( 1, 0, λ) está en el plano generado por los vectores u = (1, 2, 1) y Álgebra lineal y Geometría I Gloria Serrano Sotelo Departamento de MATEMÁTICAS Ejercicios tipo test de las lecciones 1 y 2. 1. El vector e = ( 1, 0, λ) está en el plano generado por los vectores u = (1,

Más detalles

EJERCICIOS DE MATRICES, DETERMINANTES Y PROBLEMAS. 1. (2001) De las matrices,,,

EJERCICIOS DE MATRICES, DETERMINANTES Y PROBLEMAS. 1. (2001) De las matrices,,, EJERCICIOS DE MATRICES, DETERMINANTES Y PROBLEMAS SELECTIVIDAD 1. (2001) De las matrices,,, determina cuáles tienen inversa y en los casos en que exista, calcula el determinante de dichas matrices. 2.

Más detalles

Ejercicio 1: Proponga al menos 3 conjuntos y las operaciones adecuadas de modo que sean espacios vectoriales.

Ejercicio 1: Proponga al menos 3 conjuntos y las operaciones adecuadas de modo que sean espacios vectoriales. Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES Ejercicio 1: Proponga al menos 3 conjuntos y las operaciones adecuadas de modo que sean espacios vectoriales. Ejercicio 2: Determine si los siguientes conjuntos

Más detalles

TRANSFORMACIONES LINEALES 1. TRANSFORMACIONES NÚCLEO E IMAGEN

TRANSFORMACIONES LINEALES 1. TRANSFORMACIONES NÚCLEO E IMAGEN RANSFORMACIONES LINEALES 1 RANSFORMACIONES NÚCLEO E IMAGEN DEFINICION : Sean V W espacios vectoriales Una transformación lineal de V en W es una función que asigna a cada vector v V un único vector v W

Más detalles

Más ejercicios y soluciones en fisicaymat.wordpress.com MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES

Más ejercicios y soluciones en fisicaymat.wordpress.com MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES - Considere el sistema 3 5 7 0 3 3 6 0 3 4 6 0 a) Estudie para qué valores del número real a, la única solución del sistema es la nula. b) Resuélvalo, si

Más detalles

Matrices, determinantes y sistemas lineales

Matrices, determinantes y sistemas lineales UNIVERSIDAD DE MURCIA Departamento de Matemáticas Óptica y Optometría Relación de Problemas n o 5 Curso 006-007 Matrices, determinantes y sistemas lineales 8. Dadas las matrices A y B siguientes, calcule

Más detalles

UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR MA1116 abril-julio de 2009 Departamento de Matemáticas Puras y Aplicadas. Ejercicios sugeridos para :

UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR MA1116 abril-julio de 2009 Departamento de Matemáticas Puras y Aplicadas. Ejercicios sugeridos para : II / 7 UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR MA6 abril-julio de 29 Ejercicios sugeridos para : los temas de las clases del 28 y de abril de 29. Temas : Métodos de Gauss y Gauss-Jordan. Sistemas homogéneos y no homogéneos.

Más detalles

UNIVERSIDAD DE CONCEPCION FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA

UNIVERSIDAD DE CONCEPCION FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA AL GEBRA III UNIVERSIDAD DE CONCEPCION FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA ALGEBRA III DEFINICION : Sea L : V V un operador lineal sobre el espacio vectorial

Más detalles

FAC. INGENIERÍA ÁLGEBRA UNCuyo

FAC. INGENIERÍA ÁLGEBRA UNCuyo TRABAJO PRÁCTICO Nº 1: LÓGICA - PARTE A Ejercicio 1: Confeccione la tabla de verdad de las siguientes proposiciones compuestas y diga si son tautologías, contradicciones o contingencias. a) p (p q) p b)

Más detalles

Matrices, determinantes y sistemas lineales

Matrices, determinantes y sistemas lineales UNIVERSIDAD DE MURCIA Departamento de Matemáticas Óptica y Optometría Relación de Problemas n o 7 Curso 008-009 Matrices, determinantes y sistemas lineales 0. Dadas las matrices A y B siguientes, calcule

Más detalles

Vectores y Matrices. Tema 3: Repaso de Álgebra Lineal Parte I. Contenidos

Vectores y Matrices. Tema 3: Repaso de Álgebra Lineal Parte I. Contenidos Tema 3: Repaso de Álgebra Lineal Parte I Virginia Mazzone Contenidos Vectores y Matrices Bases y Ortonormailizaciòn Norma de Vectores Ecuaciones Lineales Algenraicas Ejercicios Vectores y Matrices Los

Más detalles

ACTIVIDADES SELECTIVIDAD MATRICES

ACTIVIDADES SELECTIVIDAD MATRICES ACTIVIDADES SELECTIVIDAD MATRICES Ejercicio 1 Para qué valores de m tiene solución la ecuación matricial? (b) Resuelve la ecuación matricial dada para. Ejercicio 2 Siendo I la matriz identidad de orden

Más detalles

Práctica 2. Producto interno

Práctica 2. Producto interno Práctica 2. Producto interno 1. (a) Encontrar las condiciones que deben cumplir los coeficientes a 11, a 12, a 21 y a 22 para que la expresión defina un producto interno en R 2. (u, v) = a 11 u 1 v 1 +

Más detalles

Álgebra Lineal Grupo A Curso 2011/12. Espacios vectoriales. Bases...

Álgebra Lineal Grupo A Curso 2011/12. Espacios vectoriales. Bases... Álgebra Lineal Grupo A Curso 2011/12 Espacios vectoriales. Bases 61) Dados los vectores v 1,v 2,...,v n linealmente independientes, probar que también lo son los vectores u 1 = v 1 u 2 = v 1 + v 2... u

Más detalles

Valores y Vectores Propios

Valores y Vectores Propios Valores y Vectores Propios Iván Huerta Facultad de Matemáticas Pontificia Universidad Católica de Chile ihuerta@mat.puc.cl Segundo Semestre, 1999 Definición Valores y Vectores Propios Valores y Vectores

Más detalles

11.SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DEFINICIÓN DE ECUACIÓN LINEAL DEFINICIÓN DE SISTEMA LINEAL Y CONJUNTO SOLUCIÓN

11.SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DEFINICIÓN DE ECUACIÓN LINEAL DEFINICIÓN DE SISTEMA LINEAL Y CONJUNTO SOLUCIÓN ÍNDICE 11SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 219 111 DEFINICIÓN DE ECUACIÓN LINEAL 219 112 DEFINICIÓN DE SISTEMA LINEAL Y CONJUNTO SOLUCIÓN 220 113 EQUIVALENCIA Y COMPATIBILIDAD 220 11 REPRESENTACIÓN MATRICIAL

Más detalles

TEMA V. Espacios vectoriales

TEMA V. Espacios vectoriales TEMA V. Espacios vectoriales 1 1. Demostrar que cada uno de los siguientes conjuntos tiene estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo de los reales: a El conjunto (R 2, +,, R. b El conjunto (R 3,

Más detalles

Bases y dimensión. Problemas teóricos. En todos los problemas se supone que V es un espacio vectorial sobre un campo F. p=1

Bases y dimensión. Problemas teóricos. En todos los problemas se supone que V es un espacio vectorial sobre un campo F. p=1 Bases y dimensión Problemas teóricos Bases de un espacio vectorial En todos los problemas se supone que V es un espacio vectorial sobre un campo F. Definición de base. Sean b 1,..., b n V. Se dice que

Más detalles

Matrices, determinantes y sistemas lineales

Matrices, determinantes y sistemas lineales Grado en Óptica y Optometría Curso 00-0 Hoja de ejercicios n o Matrices, determinantes y sistemas lineales 0. Dadas las matrices A y B siguientes, calcule A + B, A B, AB, BA, AA, BB. 0 0 A = 3 0 0 B =

Más detalles

Lista de problemas de álgebra, 2016

Lista de problemas de álgebra, 2016 Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Física y Matemáticas Posgrado en Ciencias Físicomatemáticas Línea de Matemáticas Lista de problemas de álgebra 2016 Egor Maximenko: En mi opinión cualquier

Más detalles

Espacios vectoriales reales.

Espacios vectoriales reales. Tema 3 Espacios vectoriales reales. 3.1 Espacios vectoriales. Definición 3.1 Un espacio vectorial real V es un conjunto de elementos denominados vectores, junto con dos operaciones, una que recibe el nombre

Más detalles

Matrices 3. Matrices. Verónica Briceño V. agosto 2012

Matrices 3. Matrices. Verónica Briceño V. agosto 2012 3 agosto 2012 En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Matriz Inversa En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Matriz Inversa Determinante En esta Presentación... En esta Presentación

Más detalles

Intente deducir una forma general para describir todas las matrices cuadradas de orden 4 que conmutan con la matriz ( d = ~

Intente deducir una forma general para describir todas las matrices cuadradas de orden 4 que conmutan con la matriz ( d = ~ 47 EJERCICIO 2.4 Dada la matriz A = O : calcular A2. A 3. A 4. Se le ocurre alguna fórmula general O O : para AO, n E N? EJERCICIO 2.5 Intente deducir una forma general para describir todas las matrices

Más detalles

A-PDF Page Cut DEMO: Purchase from to remove the watermark Ejercicios resueltos 29

A-PDF Page Cut DEMO: Purchase from  to remove the watermark Ejercicios resueltos 29 wwwapuntesdematesweeblycom A-PDF Page Cut DEMO: Purchase from wwwa-pdfcom to remove the watermark Ejercicios resueltos 29 Qué coste conlleva el cálculo de la inversa de una matriz A R n n? Calculando A

Más detalles

Espacios Vectoriales

Espacios Vectoriales Espacios Vectoriales Espacios Vectoriales Verónica Briceño V. noviembre 2013 Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 1 / 47 En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Espacios

Más detalles

Tema 1. Espacios Vectoriales Definición de Espacio Vectorial

Tema 1. Espacios Vectoriales Definición de Espacio Vectorial Tema 1 Espacios Vectoriales. 1.1. Definición de Espacio Vectorial Notas 1.1.1. Denotaremos por N, Z, Q, R, C, a los conjuntos de los números Naturales, Enteros, Racionales, Reales y Complejos, respectivamente.

Más detalles

Problemas de exámenes de Aplicaciones Lineales y Matrices

Problemas de exámenes de Aplicaciones Lineales y Matrices 1 Problemas de exámenes de Aplicaciones Lineales y Matrices 1. Consideramos f End(R n ), que tiene matriz A respecto la base canónica. Cuál de las siguientes afirmaciones es incorrecta? a) Si v es un vector

Más detalles

Matrices y determinantes (Curso )

Matrices y determinantes (Curso ) ÁLGEBRA Práctica 3 Matrices y determinantes (Curso 2008 2009) 1. En el conjunto de las matrices n n de elementos reales, demostrar que el producto de matrices triangulares inferiores es otra matriz triangular

Más detalles

TERCER EXAMEN PARCIAL ALGEBRA LINEAL I 23 DE MAYO DE 2014 (CON SOLUCIONES)

TERCER EXAMEN PARCIAL ALGEBRA LINEAL I 23 DE MAYO DE 2014 (CON SOLUCIONES) TERCER EXAMEN PARCIAL ALGEBRA LINEAL I 23 DE MAYO DE 2014 (CON SOLUCIONES) Instrucciones: Resolver los 5 problemas justificando todas sus afirmaciones y presentando todos sus cálculos. 1. Sea F un campo.

Más detalles

UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR MA1116 abril-julio de 2009 Departamento de Matemáticas Puras y Aplicadas. Ejercicios sugeridos para :

UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR MA1116 abril-julio de 2009 Departamento de Matemáticas Puras y Aplicadas. Ejercicios sugeridos para : UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR MA6 abril-julio de 29 I / Ejercicios sugeridos para : los temas de las clases del 2 y 23 de abril de 29. Tema : Matrices. Operaciones con matrices. Ejemplos. Operaciones elementales

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES. Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, x 1, x 2,, x n es un conjunto de m igualdades de la forma:

SISTEMAS DE ECUACIONES. Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, x 1, x 2,, x n es un conjunto de m igualdades de la forma: TEMA Sistemas de ecuaciones SISTEMAS DE ECUACIONES. DEFINICIÓN SISTEMAS DE ECUACIONES Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas,,,, n es un conjunto de m igualdades de la forma: a a an n b a

Más detalles

Guía de Matrices 2i, para i = j

Guía de Matrices 2i, para i = j Wilson Herrera Guía de Matrices { i, para i = j. Escribir la matriz [a ij ] x si a ij = j, para i j. 0, para i < j. Escribir la matriz [a ij ] x si a ij =, para i = j, para i > j.. Escribir la matriz [i

Más detalles

Ba s e, d i M e n s i ó n y Mat r i z

Ba s e, d i M e n s i ó n y Mat r i z Unidad 4 Ba s e, d i M e n s i ó n y Mat r i z de transición Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno: Conocerá la deinición de base de un espacio vectorial Identiicará bases canónicas para algunos

Más detalles

ÁLGEBRA LINEAL I Algunas soluciones a la Práctica 3

ÁLGEBRA LINEAL I Algunas soluciones a la Práctica 3 ÁLGEBRA LINEAL I Algunas soluciones a la Práctica 3 Matrices y determinantes (Curso 2011 2012) 2. Sea A una matriz diagonal n n y supongamos que todos los elementos de su diagonal son distintos entre sí.

Más detalles

ALGEBRA LINEAL - Práctica N 2 - Segundo cuatrimestre de 2017 Matrices y coordenadas

ALGEBRA LINEAL - Práctica N 2 - Segundo cuatrimestre de 2017 Matrices y coordenadas Departamento de Matemática - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - UBA 1 ALGEBRA LINEAL - Práctica N 2 - Segundo cuatrimestre de 2017 Matrices y coordenadas Ejercicio 1 Sean m n y r N i) Probar que

Más detalles

APÉNDICE A. Algebra matricial

APÉNDICE A. Algebra matricial APÉNDICE A Algebra matricial El estudio de la econometría requiere cierta familiaridad con el álgebra matricial. La teoría de matrices simplifica la descripción, desarrollo y aplicación de los métodos

Más detalles

2 Espacios vectoriales

2 Espacios vectoriales Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM 1 2 Espacios vectoriales 2.1 Espacio vectorial Un espacio vectorial sobre un cuerpo K (en general R o C) es un conjunto V sobre el que hay

Más detalles

Aplicaciones Lineales. Diagonalización de matrices.

Aplicaciones Lineales. Diagonalización de matrices. Tema 2 Aplicaciones Lineales. Diagonalización de matrices. 2.1. Definiciones y propiedades Nota 2.1.1. En este tema trabajaremos con los Espacios Vectoriales R n y R m definidos sobre el cuerpo R. Definición

Más detalles

MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES

MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES Definición Una matriz real de orden m n es una tabla ordenada de m n números reales a 11 a 12 a 1n a A = 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn en la cual las líneas horizontales

Más detalles

1. Espacio vectorial. Subespacios vectoriales

1. Espacio vectorial. Subespacios vectoriales Álgebra lineal y Geometría I Gloria Serrano Sotelo Departamento de MATEMÁTICAS Sea k un cuerpo. 1. Espacio vectorial. Subespacios vectoriales Definición 1.1. Un k-espacio vectorial o espacio vectorial

Más detalles

Vectores y Valores Propios

Vectores y Valores Propios Capítulo 11 Vectores y Valores Propios Las ideas de vector y valor propio constituyen conceptos centrales del álgebra lineal y resultan una valiosa herramienta en la solución de numerosos problemas de

Más detalles

VALORES Y VECTORES PROPIOS

VALORES Y VECTORES PROPIOS VALORES Y VECTORES PROPIOS En diversos campos de la ingeniería y las matemáticas surge el problema de calcular los valores escalares λ y los vectores x 0 tales que para la matriz cuadrada A se cumple Ax

Más detalles

Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales

Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales David Ariza-Ruiz 10 de octubre de 2012 1 Matrices Una matriz es una tabla numérica rectangular de m filas y n columnas dispuesta de la siguiente

Más detalles

Matrices y Sistemas Lineales

Matrices y Sistemas Lineales Matrices y Sistemas Lineales Álvarez S, Caballero MV y Sánchez M a M salvarez@umes, mvictori@umes, marvega@umes 1 ÍNDICE Matemáticas Cero Índice 1 Definiciones 3 11 Matrices 3 12 Sistemas lineales 5 2

Más detalles

Determina si existe, la matriz X que verifica. propiedades que utilices, los siguientes determinantes:

Determina si existe, la matriz X que verifica. propiedades que utilices, los siguientes determinantes: 1. Considera las matrices A=( ) ( ). Determina si existe, la matriz X que verifica.sol ( ) 2. Se sabe que ( ).Calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes determinantes: a) SOL. a) 24

Más detalles

3. ÁLGEBRA LINEAL // 3.1. SISTEMAS DE

3. ÁLGEBRA LINEAL // 3.1. SISTEMAS DE 3. ÁLGEBRA LINEAL // 3.1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES COMPLEMENTOS PARA LA FORMACIÓN DISCIPLINAR EN MATEMÁTICAS Curso 2011-2012 3.1.1. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Método

Más detalles

Tema 1. 1 Álgebra lineal. Aurea Grané Departamento de Estadística Universidad Carlos III de Madrid. 1.1 Vectores de R n. 1. Vectores. 2.

Tema 1. 1 Álgebra lineal. Aurea Grané Departamento de Estadística Universidad Carlos III de Madrid. 1.1 Vectores de R n. 1. Vectores. 2. Aurea Grané. Máster en Estadística. Universidade Pedagógica. 1 Aurea Grané. Máster en Estadística. Universidade Pedagógica. 2 Tema 1 Álgebra lineal 1. Vectores 2. Matrices 1 Álgebra lineal Aurea Grané

Más detalles

Práctica 1. Espacios vectoriales

Práctica 1. Espacios vectoriales Práctica 1. Espacios vectoriales 1. Demuestre que R n (C n ) es un espacio vectorial sobre R (C) con la suma y el producto por un escalar usuales. Es C n un R-espacio vectorial con la suma y el producto

Más detalles

TEMA 7. Matrices y determinantes.

TEMA 7. Matrices y determinantes. TEMA 7 Matrices y determinantes. 1. Matrices. Generalidades Definición 1 Sea E un conjunto cualquiera, m, n IN. Definimos matriz de orden m n sobre E a una expresión de la forma: a 11 a 12... a 1n a 21

Más detalles

MATEMÁTICAS I, Grado en Ingeniería Eléctrica, Electrónica Industrial y Mecánica.

MATEMÁTICAS I, Grado en Ingeniería Eléctrica, Electrónica Industrial y Mecánica. MATEMÁTICAS I, Grado en Ingeniería Eléctrica, Electrónica Industrial y Mecánica. Departamento de Matemática Aplicada II. Escuela Politécnica Superior de Sevilla Curso - Boletín n o. Sistemas de ecuaciones

Más detalles

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Opción A Ejercicio 1.- Sea f : R R definida por f(x) = x 3 +ax 2 +bx+c. a) [1 75 puntos] Halla a,b y c para que la gráfica de f tenga un punto de inflexión de abscisa x = 1 2 y que la recta tangente en

Más detalles

Preparaduría V. 1.- Sea A una matriz diagonal n n cuyo polinomio característico es

Preparaduría V. 1.- Sea A una matriz diagonal n n cuyo polinomio característico es Preparaduría V 1.- Sea A una matriz diagonal n n cuyo polinomio característico es (x c 1 ) d1 (x c 2 ) d2... (x c k ) d k donde los c 1,..., c k son distintos dos a dos. Sea V el espacio de matrices n

Más detalles

es el lugar geométrico de los puntos p tales que ; R (1)

es el lugar geométrico de los puntos p tales que ; R (1) LA RECTA DEL PLANO ECUACIÓN VECTORIAL Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS La recta en el plano como lugar geométrico Dados un punto p un vector no nulo u, la recta T paralela a u que pasa por p es el lugar geométrico

Más detalles

ÁLGEBRA LINEAL I Algunas soluciones a la Práctica 3

ÁLGEBRA LINEAL I Algunas soluciones a la Práctica 3 ÁLGEBRA LINEAL I Algunas soluciones a la Práctica 3 Matrices y determinantes (Curso 010 011). Sea A una matriz diagonal n n y supongamos que todos los elementos de su diagonal son distintos entre sí. Demostrar

Más detalles

Matrices, Determinantes y Sistemas Lineales.

Matrices, Determinantes y Sistemas Lineales. 12 de octubre de 2014 Matrices Una matriz A m n es una colección de números ordenados en filas y columnas a 11 a 12 a 1n f 1 a 21 a 22 a 2n f 2....... a m1 a m2 a mn f m c 1 c 2 c n Decimos que la dimensión

Más detalles

Algebra lineal Matrices

Algebra lineal Matrices Algebra lineal Matrices Una matriz A un arreglo rectangular de números dispuestos en m renglones (filas) y n columnas. Fila 1 La componente o elemento ij de A, denotado por es el número que aparece en

Más detalles

ÁLGEBRA LINEAL I NOTAS DE CLASE UNIDAD 2

ÁLGEBRA LINEAL I NOTAS DE CLASE UNIDAD 2 ÁLGEBRA LINEAL I NOTAS DE CLASE UNIDAD 2 Abstract Estas notas conciernen al álgebra de matrices y serán actualizadas conforme el material se cubre Las notas no son substituto de la clase pues solo contienen

Más detalles

ALN. Repaso matrices. In. Co. Facultad de Ingeniería Universidad de la República

ALN. Repaso matrices. In. Co. Facultad de Ingeniería Universidad de la República ALN Repaso matrices In. Co. Facultad de Ingeniería Universidad de la República Definiciones básicas - Vectores Definiciones básicas - Vectores Construcciones Producto interno: ( x, y n i x y i i ' α Producto

Más detalles

Tema 3: Espacios vectoriales

Tema 3: Espacios vectoriales Tema 3: Espacios vectoriales K denotará un cuerpo. Definición. Se dice que un conjunto no vacio V es un espacio vectorial sobre K o que es un K-espacio vectorial si: 1. En V está definida una operación

Más detalles

Matrices y Sistemas Lineales

Matrices y Sistemas Lineales Matrices y Sistemas Lineales Álvarez S, Caballero MV y Sánchez M a M salvarez@umes, mvictori@umes, marvega@umes Índice 1 Definiciones 3 11 Matrices 3 12 Sistemas lineales 6 2 Herramientas 8 21 Operaciones

Más detalles

Matrices y Sistemas de Ecuaciones lineales

Matrices y Sistemas de Ecuaciones lineales Matrices y Sistemas de Ecuaciones lineales Llamaremos M m n (K) al conjunto de las matrices A = (a ij ) (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n) donde los elementos a ij pertenecen a un cuerpo K. Las matrices,

Más detalles

Tema 2: Espacios Vectoriales

Tema 2: Espacios Vectoriales Tema 2: Espacios Vectoriales José M. Salazar Octubre de 2016 Tema 2: Espacios Vectoriales Lección 2. Espacios vectoriales. Subespacios vectoriales. Bases. Lección 3. Coordenadas respecto de una base. Ecuaciones.

Más detalles

ÁLGEBRA LINEAL I Práctica 5

ÁLGEBRA LINEAL I Práctica 5 ÁLGEBRA LINEAL I Práctica 5 Espacios vectoriales (Curso 2014 2015) 1. En el espacio vectorial real IR 2 consideramos los siguientes subconjuntos: (a) A = {(x y) IR 2 x 2 + y 2 = 1}. (b) B = {(x y) IR 2

Más detalles

Departamento de Ingeniería Matemática - Universidad de Chile

Departamento de Ingeniería Matemática - Universidad de Chile Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Álgebra Lineal 08-2 SEMANA 7: ESPACIOS VECTORIALES 3.5. Generadores de un espacio vectorial Sea V un espacio vectorial

Más detalles

MATRICES. Se simboliza tal matriz por y se le llamará una matriz x o matriz de orden x (que se lee por ).

MATRICES. Se simboliza tal matriz por y se le llamará una matriz x o matriz de orden x (que se lee por ). 1 MATRICES 1 Una matriz es una disposición rectangular de números (Reales); la forma general de una matriz con filas y columnas es Se simboliza tal matriz por y se le llamará una matriz x o matriz de orden

Más detalles