Estudio de las funciones RACIONALES

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1 Estudio de las funciones RACIONALES 2 o BACH_MAT_CCSS_II Cuaderno de ejercicios MATEMÁTICAS JRM Nombre y apellidos..... Funciones racionales. Página 1

2 RESUMEN DE OBJETIVOS 1. Cálculo de las raíces, los polos y la tabla de signos de una función racional. Discontinuidades. OBJETIVO 1. A partir de la expresión analítica de una función racional calcular sus raíces y sus polos, construir su tabla de signos, y reconocer y clasificar sus puntos de discontinuidad. 2. Estudio de las rectas asíntotas de una función racional. OBJETIVO 2. Estudiar la existencia de asíntotas horizontales, verticales y oblicuas de una función racional polinomios., calculando sus polos y analizando el grado de los 3. Función derivada de una función racional. OBJETIVO 3. Saber calcular la función derivada de una función racional aplicando el criterio de la derivada de un cociente. 4. Estudio de la monotonía y los puntos extremos de una función racional. Cálculo de rectas tangentes. OBJETIVO 4. Saber analizar la monotonía y los puntos extremos de una función racional utilizando la tabla de signos de su primera derivada,, y saber calcular la ecuación de cualquiera de las rectas tangentes de 5. Problemas de representación y optimización de funciones racionales. OBJETIVO 5. Calcular los elementos básicos para la representación de funciones racionales, incluyendo el estudio de sus raíces, polos, signo, asíntotas, monotonía, extremos y rectas tangentes. Funciones racionales. Página 2

3 1. Cálculo de las raíces, los polos y la tabla de signos de una función racional. Discontinuidades. OBJETIVO 1. A partir de la expresión analítica de una función racional calcular sus raíces y sus polos, construir su tabla de signos, y reconocer y clasificar sus puntos de discontinuidad. Raíces y polos una función racional. Discontinuidades. 1. Una función racional se anula cuando se anula el numerador por tanto: Las raíces de son las raíces del numerador 2. Las raíces del denominador se llaman polos de la función racional y no pertenecen al dominio de, es decir, no podemos calcular la imagen de un polo (porque no está definida la división por cero). Las funciones racionales son discontinuas en sus polos (y continuas en todos los demás puntos) 2.1 Si un polo no es raíz, el valor de se aproxima a o a cuando el valor de x se aproxima a y la función presenta en una discontinuidad inevitable. Decimos que la recta es una asíntota vertical de la función 2.2 Si un polo también es raíz (de la misma multiplicidad) entonces no se aproxima ni ni a, se aproxima a un valor concreto y presenta en ese punto una discontinuidad evitable, porque podemos definir la imagen de en ese polo para evitar la discontinuidad. 3. Una función racional cambia de signo solo en sus raíces y polos de multiplicidad impar. Ejemplo Funciones racionales. Página 3

4 Ejercicio 1.1. Considera la siguiente función racional: 1. (0.5 puntos) Calcula sus raíces. 2. (0.5 puntos) Calcula sus polos. 3. (0.5 puntos) Construye la tabla de signos y clasifica sus discontinuidades. 4. (0.5 puntos) Construye una tabla de valores fundamentales. 5. (0.5 puntos) Esboza su gráfica. 1. Raíces de 5. Gráfica de 2. Polos de 3. Tabla de signos de. Clasificación de discontinuidades. 4. Tabla de valores fundamentales de. Funciones racionales. Página 4

5 Ejercicio 1.2. Considera la siguiente función racional: 1. (0.5 puntos) Calcula sus raíces. 2. (0.5 puntos) Calcula sus polos. 3. (0.5 puntos) Construye la tabla de signos y clasifica sus discontinuidades. 4. (0.5 puntos) Construye una tabla de valores fundamentales. 5. (0.5 puntos) Esboza su gráfica. 1. Raíces de 5. Gráfica de 2. Polos de 3. Tabla de signos de. Clasificación de discontinuidades. 4. Tabla de valores fundamentales de. Funciones racionales. Página 5

6 Ejercicio 1.3. Considera la siguiente función racional: 1. (0.5 puntos) Calcula sus raíces. 2. (0.5 puntos) Calcula sus polos. 3. (0.5 puntos) Construye la tabla de signos y clasifica sus discontinuidades. 4. (0.5 puntos) Construye una tabla de valores fundamentales. 5. (0.5 puntos) Esboza su gráfica. 1. Raíces de 5. Gráfica de 2. Polos de 3. Tabla de signos de. Clasificación de discontinuidades. 4. Tabla de valores fundamentales de. Funciones racionales. Página 6

7 Ejercicio 1.4. Considera la siguiente función racional: 1. (0.5 puntos) Calcula sus raíces. 2. (0.5 puntos) Calcula sus polos. 3. (0.5 puntos) Construye la tabla de signos y clasifica sus discontinuidades. 4. (0.5 puntos) Construye una tabla de valores fundamentales. 5. (0.5 puntos) Esboza su gráfica. 1. Raíces de 5. Gráfica de 2. Polos de 3. Tabla de signos de. Clasificación de discontinuidades. 4. Tabla de valores fundamentales de. Funciones racionales. Página 7

8 2. Estudio de las rectas asíntotas de una función racional. OBJETIVO 2. Estudiar la existencia de asíntotas horizontales, verticales y oblicuas de una función racional de los polinomios., calculando sus polos y analizando el grado Asíntotas de una función racional. Clasificación. 1. Asíntotas verticales: Si el valor es un polo de la función racional entonces, la recta vertical a medida que los valores de x crecen se acercan hacia o hacia los valores de se aproximan a cero, es decir, la gráfica de la función se acerca al eje OX Asíntota horizontal en el eje OX: Si en una función racional grado del numerador es menor que el grado del denominador entonces, a medida que los valores de x crecen hacia o hacia los valores de se aproximan a cero, es decir, la gráfica de la función se acerca al eje OX. el 2.2. Asíntota horizontal en la recta : Si en una función racional el grado del numerador y el denominador son iguales entonces, a medida que los valores de x crecen hacia o hacia los valores de se aproximan a la recta horizontal, siendo k el cociente entre los coeficientes de los monomios de mayor grado de los polinomios numerador y denominador Asíntota oblicua en la recta : Si en una función racional el grado del numerador es una unidad mayor que el grado del denominador entonces, a medida que los valores de x crecen hacia o hacia los valores de se aproximan a la recta oblicua, es decir, la gráfica de la función se acerca a la recta Ramas infinitas no asintóticas: Si en una función racional grado del numerador supera en más de una unidad al grado del denominador entonces, a medida que los valores de x crecen hacia o hacia los valores de también crecen o decrecen hacia o hacia sin aproximarse a ninguna recta. el Funciones racionales. Página 8

9 Ejercicio 2.1. Considera la siguiente función racional: 1. (0.5 puntos) Calcula sus raíces, sus polos y su tabla de signos. Clasifica sus discontinuidades. 2. (0.5 puntos) Calcula y representa sus asíntotas verticales. 3. (0.5 puntos) Calcula y representa su asíntota horizontal, su asíntota oblicua o sus ramas infinitas. 1. Raíces, polos y tabla de signos. Discontinuidades. 2. Asíntotas verticales. 3. Asíntota horizontal, asíntota oblicua o ramas infinitas. Funciones racionales. Página 9

10 Ejercicio 2.2. Considera la siguiente función racional: 1. (0.5 puntos) Calcula sus raíces, sus polos y su tabla de signos. Clasifica sus discontinuidades. 2. (0.5 puntos) Calcula y representa sus asíntotas verticales. 3. (0.5 puntos) Calcula y representa su asíntota horizontal, su asíntota oblicua o sus ramas infinitas. 1. Raíces, polos y tabla de signos. Discontinuidades. 2. Asíntotas verticales. 3. Asíntota horizontal, asíntota oblicua o ramas infinitas. Funciones racionales. Página 10

11 Ejercicio 2.3. Considera la siguiente función racional: 1. (0.5 puntos) Calcula sus raíces, sus polos y su tabla de signos. Clasifica sus discontinuidades. 2. (0.5 puntos) Calcula y representa sus asíntotas verticales. 3. (0.5 puntos) Calcula y representa su asíntota horizontal, su asíntota oblicua o sus ramas infinitas. 1. Raíces, polos y tabla de signos. Discontinuidades. 2. Asíntotas verticales. 3. Asíntota horizontal, asíntota oblicua o ramas infinitas. Funciones racionales. Página 11

12 Ejercicio 2.4. Considera la siguiente función racional: 1. (0.5 puntos) Calcula sus raíces, sus polos y su tabla de signos. Clasifica sus discontinuidades. 2. (0.5 puntos) Calcula y representa sus asíntotas verticales. 3. (0.5 puntos) Calcula y representa su asíntota horizontal, su asíntota oblicua o sus ramas infinitas. 1. Raíces, polos y tabla de signos. Discontinuidades. 2. Asíntotas verticales. 3. Asíntota horizontal, asíntota oblicua o ramas infinitas. Funciones racionales. Página 12

13 3. Función derivada de una función racional. OBJETIVO 3. Saber calcular la función derivada de una función racional aplicando el criterio de la derivada de un cociente. Función derivada de una función racional. La función derivada de una función racional es: ( ) Derivada de un cociente: La derivada de un cociente es la derivada del numerador por el denominador sin derivar, menos la derivada del denominador por el numerador sin derivar, dividido por el cuadrado del denominador Ejercicio 3.1. Halla la primera derivada de las siguientes funciones racionales: ) ) ) ) Funciones racionales. Página 13

14 Ejercicio 3.2. Halla la primera derivada de las siguientes funciones racionales: ) ) ) ) ) ) ) Funciones racionales. Página 14

15 4. Estudio de la monotonía y los puntos extremos de una función racional. Cálculo de rectas tangentes. OBJETIVO 4. Saber analizar la monotonía y los puntos extremos de una función racional utilizando la tabla de signos de su primera derivada,, y saber calcular la ecuación de cualquiera de las rectas tangentes de Monotonía y puntos extremos de una función racional. Dada una función racional de su primera derivada, : estudiamos su monotonía y su puntos extremos utilizando la tabla de signos Si es negativa entonces es decreciente. Si es positiva entonces es creciente. Si entonces tiene un punto extremo (máximo o mínimo) Criterio del signo de la segunda derivada para la clasificación de puntos extremos: Si entonces en hay un punto extremo que será: Máximo si Mínimo si Si la segunda derivada es NEGATIVA en una raíz de la primera derivada entonces ese punto es MÁXIMO. Si la segunda derivada es POSITIVA en una raíz de la primera derivada entonces ese punto es MÍNIMO. Funciones racionales. Página 15

16 Ejercicio 4.1. Considera la siguiente función racional: 1. (0.5 puntos) Calcula sus raíces, sus polos y su tabla de signos. Clasifica sus discontinuidades. 2. (0.5 puntos) Calcula y representa sus asíntotas y/o sus ramas infinitas. 3. (0.5 puntos) Estudia su monotonía y sus extremos relativos. 1. Raíces, polos y tabla de signos. Discontinuidades. 2. Asíntotas y ramas infinitas. 3. Monotonía y extremos relativos. Funciones racionales. Página 16

17 Ejercicio 4.2. Considera la siguiente función racional: 1. (0.5 puntos) Calcula sus raíces, sus polos y su tabla de signos. Clasifica sus discontinuidades. 2. (0.5 puntos) Calcula y representa sus asíntotas y/o sus ramas infinitas. 3. (0.5 puntos) Estudia su monotonía y sus extremos relativos. 1. Raíces, polos y tabla de signos. Discontinuidades. 2. Asíntotas y ramas infinitas. 3. Monotonía y extremos relativos. Funciones racionales. Página 17

18 Ejercicio 4.3. Considera la siguiente función racional: 1. (0.5 puntos) Calcula sus raíces, sus polos y su tabla de signos. Clasifica sus discontinuidades. 2. (0.5 puntos) Calcula y representa sus asíntotas y/o sus ramas infinitas. 3. (0.5 puntos) Estudia su monotonía y sus extremos relativos. 1. Raíces, polos y tabla de signos. Discontinuidades. 2. Asíntotas y ramas infinitas. 3. Monotonía y extremos relativos. Funciones racionales. Página 18

19 Ejercicio 4.4. Considera la siguiente función racional: 1. (0.5 puntos) Calcula sus raíces, sus polos y su tabla de signos. Clasifica sus discontinuidades. 2. (0.5 puntos) Calcula y representa sus asíntotas y/o sus ramas infinitas. 3. (0.5 puntos) Estudia su monotonía y sus extremos relativos. 1. Raíces, polos y tabla de signos. Discontinuidades. 2. Asíntotas y ramas infinitas. 3. Monotonía y extremos relativos. Funciones racionales. Página 19

20 Ejercicio 4.5. Considera la siguiente función racional: 1. (0.5 puntos) Calcula sus raíces, sus polos y su tabla de signos. Clasifica sus discontinuidades. 2. (0.5 puntos) Calcula y representa sus asíntotas y/o sus ramas infinitas. 3. (0.5 puntos) Estudia su monotonía y sus extremos relativos. 1. Raíces, polos y tabla de signos. Discontinuidades. 2. Asíntotas y ramas infinitas. 3. Monotonía y extremos relativos. Funciones racionales. Página 20

21 Ejercicio 5.1 A la vista de la gráfica, quién es f(x)? ) ) ) ) Explica porqué: A la vista de la gráfica, calcula: ) A la vista de la gráfica, Resuelve: ) ) ) ) ) ) ) ) ) Construye la tabla de signos de Calcula la expresión analítica de Funciones racionales. Página 21

22 Ejercicio 5.2 A la vista de la gráfica, quién es f(x)? ) ) ) ) Explica porqué: A la vista de la gráfica, calcula: ) A la vista de la gráfica, resuelve o calcula: ) ) ) ) ) ) ) ) ) Completa la siguiente tabla de signos y monotonía Calcula la ecuación explícita de la asíntota oblicua de Funciones racionales. Página 22

23 Ejercicio 5.3 A la vista de la gráfica, quién es f(x)? ) ) ) ) Explica porqué: A la vista de la gráfica, calcula: ) A la vista de la gráfica, resuelve o calcula: ) ) ) ) ) ) ) ) ) Completa la siguiente tabla de signos y monotonía Clasifica todas las discontinuidades de Funciones racionales. Página 23

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