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1 PROBLEMA 1: En una prueba hay preguntas de tipo A que valen 20 puntos c/u y de tipo B que valen 30 puntos c/u. El tiempo para contestar una pregunta de tipo A es 4 minutos y para una del tipo B es 8 minutos. El tiempo máximo permitido para la solución es 96 minutos, y no se puede contestar más de 18 preguntas. Suponiendo que un estudiante sólo contesta respuestas correctas. Cuántas preguntas de cada tipo A deberá resolver para obtener la calificación máxima? PROBLEMA 2: Una empresa fabrica dos modelos de cámaras fotográficas: A y B. El modelo A deja ganancias de $ 50 por unidad y el modelo B de $ 40 por unidad. Para cumplir con la demanda diaria, la empresa debe producir un mínimo de 200 cámaras del modelo A y un mínimo de 120 cámaras del modelo B. Si la producción diaria no debe sobrepasar de 450 cámaras de 450 cámaras fotográficas, cuántas de cada modelo se deben producir para maximizar las ganancias? PROBLEMA 3: Un carpintero fabrica sillas y mesas. Mensualmente puede fabricar como mínimo 20 mesas y como máximo 70 mesas. Se sabe también que el número de sillas fabricadas al mes no es mayor de 60. Si la ganancia por mesa es de S/. 15 y por cada silla S/. 10, y mensualmente puede fabricar a lo más 100 unidades combinadas, Cuántas unidades de cada tipo debe fabricar para maximizar sus ganancias? PROBLEMA 4: Se requiere programar una dieta con dos alimentos S y T. Cada unidad del alimento S contiene 100 calorías y 15 gramos de proteínas. La unidad del alimento T contiene 200 calorías y 10 gramos de proteínas. La dieta requiere como mínimo 1000 calorías y 90 gramos de proteínas diarias. Si el precio de cada unidad de alimento S es S/. 400 y S/. 300 el de cada unidad de alimento T, cuántas unidades de cada alimento debe contener la dieta para minimizar el costo? PROBLEMA 5: U n o s g r andes almacen e s en c argan a u n f ab ri c ante p antalones y c h aq u e tas d ep o rtivas. E l f abricante di s po n e p ara l a c onfecci ó n d e 750 m d e tej id o d e al go dó n y 1000 m d e teji do d e po li é s ter. C ad a p antaló n p r e c i s a 1 m d e algod ó n y 2 m d e p ol i é s ter. P ara c ad a c h aq u e ta s e n e c e s i tan 1. 5 m d e al go dó n y 1 m d e p ol i é s ter. El p r ec i o d e l p antaló n s e fij a e n $ 50 y e l d e l a c h aq u e ta e n $ 40. Q ué n úm e ro d e p antalones y c h aq u e tas d eb e s u m i ni s trar e l f ab ri c ante a los almace ne s p ara q u e e s to s c o n s ig an una venta m áxi m a? PROBLEMA 6: U n a c om p añía f ab r ic a y v e n den d o s m od e lo s d e l ám p ara L 1 y L 2. P ara s u f ab ri c ació n s e n e c e s i ta u n trab ajo m anual d e 20 m i n u to s p ara e l m od e lo L 1 y d e 30 m i n u to s p ara e l L 2 ; y u n trab aj o d e m áq ui n a p a r a L 1 d e 20 m i n u to s y d e 10 minuto s p ara L 2. S e di s po ne p ara el tr ab aj o m anual d e 100 h o r as al m e s y p ara l a m áq u i n a 80 h o r as al m e s. S ab i e nd o q u e el b e n ef i ci o p o r u n i d ad e s d e 15 y 10 d ól ares p ara L 1 y L 2, r e s p e c ti v am e n te, pl anifi c ar l a p ro d uc c ió n p ara ob tener el m áxim o b e ne fi c i o. PROBLEMA 7: U n a emp r e s a d e transp o r tes ti e n e d os ti po s d e c ami o nes, l o s d e l tip o A co n u n e s p aci o r e f ri g e r ad o d e 20 m 3 y un e s p acio n o r e f rig e r ado d e 40 m 3. L o s d el ti po B, co n ig ual c u b i c aj e total, al 50% de refrig e r ado y no r e f ri g er ad o. L a c o n tratan p ara el transpo r te de m 3 d e p ro d ucto q ue n e c e s i ta r ef r ig e r aci ó n y m 3 d e o tro que no l a n e c e s i ta. El co s te po r k il óm etro d e u n c ami ó n del tip o A e s d e $ 30 y e l B d e $ 40. C u ántos c am io nes d e c ad a tipo h a de util i zar p ara q u e el c o s t e to tal s e a mí nim o? PROBLEMA 8: E n u n a g r anja d e po ll o s s e da u n a di e ta, p ara engo rd ar, c o n u n a c om po s i ci ó n mí n ima d e 15 u n i d ad es d e una s u s tancia A y o tras 15 de u n a s u s tancia B. E n el m ercado s ó l o s e e n c u e n tra d o s cl ases de c o mp u e s tos : el tip o X c o n una c o mp os i ci ó n d e u n a u n idad d e A y 5 d e B, y el o tro tipo, Y, co n u n a com po s i ci ó n de c i nc o u n id ad es d e A y una d e B. El p r e ci o d el ti po X e s de 10 dó l ares y d el tipo Y es d e $ 30. Q u é c anti d ad e s s e h an d e c omp r ar de c ad a tip o p ara cubrir l as nece s id ad e s c o n u n c o s te mí n im o? PROBLEMA 9: C o n el c om i e n zo d el c u r so s e v a a l anzar u n as o f ertas de m aterial e s c ol ar. U n os alm acenes q ui e r e n of r ecer 600 c u ad e r n o s, 500 c arp e tas y 400 b ol íg r afos p ara l a o ferta, e m p aq u e tándo lo d e d o s fo rm as di s tintas; e n el p r im er b lo q u e p o nd r á 2 c u ad e r n o s, 1 c arpeta y 2 bo lí grafos; en e l s e g u nd o, p o nd r án 3 c u ad ern o s, 1 c arp e ta y 1 bo lí grafo. L o s precio s d e c ad a p aq u e te s e r án 6. 5 y 7 n uev o s so l es, r e s p e c ti v am e n te. C u ánto s p aq u e tes l e co n v iene po ner d e c ad a tip o p ara ob tener e l m áxi mo b e n e f i ci o? PROBLEMA 10: U n o s g r and e s al m acenes d ese an l iq u id ar 200 c am i s as y 100 p antal o n es d e l a tem po r ad a anterio r. P ara el lo l anzan, d o s o f e r tas, A y B. L a o f e r ta A c o n si s te en un lo te de una c am i s a y u n p antaló n, q u e s e v e n den a $ 30 ; l a o f erta B c o n s i s te e n u n l o te d e tr e s c am i s as y u n p antal ó n, q ue se v e n d e a $ 50. No se d e se a o fr e c e r menos d e 20 l o tes d e l a o f er ta A ni m e no s d e 10 d e l a B. Cuántos l o tes ha de v e n d e r d e c ad a tipo p ara m axi mi zar la g anancia? PROBLEMA 11: S e di s po n e d e 600 g d e u n d e te rm i n ad o f ármaco p ara e l ab or ar p astill as g r and e s y pequeñas. L as g r and es p esan 40 g y l as p eq u e ñ as 30 g. S e n e c e si tan al m eno s tres p astill as g r and e s, y al m e no s e l d ob l e d e p eq u eñas q ue d e l as g r and e s. C ad a p astil l a gran d e prop o r ci o n a un b enefi c io d e S/. 2 y l a p e q ue ñ a de 1 nu e v o so l. C u ántas p astill as s e h an d e e l ab o r ar d e c ad a c l as e p ara q u e el b enefic i o s ea m áxim o? PROBLEMA 12: U n a e s c ue l a p r ep ara u n a e x c ur s i ó n p ar a 400 alumno s. L a e m presa de transp o r te tiene 8 autobuses d e 40 p l azas y 10 d e 50 pl azas, p er o só lo dis p o n e d e 9 co n d ucto r es. El al q u il e r d e u n autocar grande c u e s ta S/. 800 y el d e uno p e q u e ño S/ 600. C alc u l ar c u án tos autobuse s d e c ad a tipo h ay q ue u ti li zar p ara q u e la e x c u r si ó n r e sulte lo m ás e c o n óm i c a p os ib l e p ara l a escu e l a.

2 PROBLEMA 5 Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas. El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y 1000 m de tejido de poliéster. Cada pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de poliéster. Para cada chaqueta se necesitan 1.5 m de algodón y 1 m de poliéster. El precio del pantalón se fija en 50 $ y el de la chaqueta en 40 $. Qué número de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que estos consigan una venta máxima? 1 Elección de las incógnitas. x = número de pantalones y = número de chaquetas 2 Función objetivo f(x,y)= 50x + 40y 3 Restricciones Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla: pantalones chaquetas disponible algodón 1 1,5 750 poliéster x + 1.5y 750 2x+3y x + y 1000 Como el número de pantalones y chaquetas son números naturales, tendremos dos restricciones más: x 0 y 0 4 Hallar el conjunto de soluciones factibles Tenemos que representar gráficamente las restricciones. Al ser x 0 e y 0, trabajaremos en el primer cuadrante. Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes.

3 Resolvemos gráficamente la inecuación: 2x + 3y 1500, para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el (0,0) Como entonces el punto (0,0) se encuentra en el semiplano donde se cumple la desigualdad. De modo análogo resolvemos 2x + y La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles.

4 5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles. La solución óptima, si es única, se encuentra en un vértice del recinto. estos son las soluciones a los sistemas: 2x + 3y = 1500; x = 0 (0, 500) 2x + y = 1000; y = 0 (500, 0) 2x + 3y =1500; 2x + y = 1000 (375, 250) 6 Calcular el valor de la función objetivo En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices. f(x, y) = 50x + 40y f(0, 500) = = $ f(500, 0) = = $ f(375, 250) = = $ Máximo RESPUESTA: La solución óptima es fabricar 375 pantalones y 250 chaquetas para obtener un beneficio de $.

5 PROBLEMA 6 Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L 1 y L 2. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L 1 y de 30 minutos para el L 2; y un trabajo de máquina para L 1 20 m y de 10 minutos para L 2. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L 1 y L 2, respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio. 1 Elección de las incógnitas. x = nº de lámparas L 1 y = nº de lámparas L 2 2 Función objetivo f(x, y) = 15x + 10y 3 Restricciones Pasamos los tiempos a horas 20 min = 1/3 h 30 min = 1/2 h 10 min = 1/6 h Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla: L1 L2 Tiempo Manual 1/3 1/2 100 Máquina 1/3 1/6 80 1/3x + 1/2y 100 1/3x + 1/6y 80 Como el número de lámparas son números naturales, tendremos dos restricciones más: x 0 y 0

6 4 Hallar el conjunto de soluciones factibles Tenemos que representar gráficamente las restricciones. Al ser x 0 e y 0, trabajaremos en el primer cuadrante. Representamos las rectas, a partir de sus puntos de corte con los ejes. Resolvemos gráficamente la inecuación: 1/3 x + 1/2 y 100; para ello tomamos un punto del plano, por ejemplo el (0,0). 1/ / / / La zona de intersección de las soluciones de las inecuaciones sería la solución al sistema de inecuaciones, que constituye el conjunto de las soluciones factibles. 5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de la s soluciones factibles. La solución óptima si es única se encuentra en un vértice del recinto. estos son las soluciones a los sistemas: 1/3x + 1/2y = 100; x = 0 (0, 200) 1/3x + 1/6y = 80; y = 0(240, 0) 1/3x + 1/2y = 100; 1/3x + 1/6y = 80(210, 60)

7 6 Calcular el valor de la función objetivo En la función objetivo sustituimos cada uno de los vértices. f(x, y) = 15x + 10y f(0, 200) = = $ f(240, 0 ) = = $ f(210, 60) = = $ Máximo RESPUESTA: La solución óptima es fabricar 210 del modelo L 1 y 60 del modelo L 1 para obtener un beneficio de $.

8 PROBLEMA 7 Una empresa de transportes tiene dos tipos de camiones, los del tipo A con un espacio refrigerado de 20 m 3 y un espacio no refrigerado de 40 m 3. Los del tipo B, con igual cubicaje total, al 50% de refrigerado y no refrigerado. La contratan para el transporte de m 3 de producto que necesita refrigeración y m 3 de otro que no la necesita. El coste por kilómetro de un camión del tipo A es de 30 $ y el B de 40 $. Cuántos camiones de cada tipo ha de utilizar para que el coste total sea mínimo? 1 Elección de las incógnitas. x = camiones de tipo A y = camiones de tipo B 2 Función objetivo f(x,y) = 30x + 40y 3 Restricciones A B Total Refrigerado No refrigerado x + 30y x + 30y x 0 y 0 4 Hallar el conjunto de soluciones factibles

9 5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles. 6 Calcular el valor de la función objetivo : f(x,y) = 30x + 40y f(0, 400/3) = /3 = f(150, 0) = = Como x e y han de ser números naturales redondeamos el valor de y. f(50, 67) = = 4180 Mínimo RESPUESTA: El coste mínimo son $ para A = 50 yz B = 67.

10 PROBLEMA 8 En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado sólo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo X con una composición de una unidad de A y 5 de B, y el otro tipo, Y, con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 10 euros y del tipo Y es de 30 $. Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo? 1 Elección de las incógnitas. x = X y = Y 2 Función objetivo f(x,y) = 10x + 30y 3 Restricciones X Y Mínimo A B x + 5y 15 5x + y 15 x 0 y 0 4 Hallar el conjunto de soluciones factibles

11 5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles. 6 Calcular el valor de la función objetivo : f(x,y) = 10x + 30y f(0, 15) = = 450 f(15, 0) = = 150 f(5/2, 5/2) = 10 5/ /2 = 100 Mínimo RESPUESTA: El coste mínimo son 100 $ para X = 5/2 e Y = 5/2.

12 PROBLEMA 9 Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de material escolar. Unos almacenes quieren ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para la oferta, empaquetándolo de dos formas distintas; en el primer bloque pondrá 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos; en el segundo, pondrán 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. Los precios de cada paquete serán 6.5 y 7 $, respectivamente. Cuántos paquetes le conviene poner de cada tipo para obtener el máximo beneficio? 1 Elección de las incógnitas. x = P 1 y = P 2 2 Función objetivo f(x, y) = 6.5x + 7y 3 Restricciones P1 P2 Disponibles Cuadernos Carpetas Bolígrafos x + 3y 600 x + y 500 2x + y 400 x 0 y 0 4 Hallar el conjunto de soluciones factibles

13 5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles. 6 Calcular el valor de la función objetivo : f(x, y) = 6.5x + 7y f(x,y) = = 1300 $ f(x,y)= = $ f(x,y)= = $ Máximo RESPUESTA: La solución óptima son 150 P 1 y 100 P 2 con la que se obtienen $

14 PROBLEMA 10 Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello lanzan, dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantalón, que se venden a 30 $; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantalón, que se vende a 50 $. No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B. Cuántos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar la ganancia? 1 Elección de las incógnitas. x = nº de lotes de A y = nº de lotes de B 2 Función objetivo f(x, y) = 30x + 50y 3 Restricciones A B Mínimo Camisas Pantalones x + 3y 200 x + y 100 x 20 y 10 4 Hallar el conjunto de soluciones factibles

15 5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles. 6 Calcular el valor de la función objetivo : f(x, y) = 30x + 50y f(x, y) = = 1100 $ f(x, y) = = 3200 $ f(x, y) = = 3600 $ f(x, y) = = 4000 $ Máximo RESPUESTA: Con 50 lotes de cada tipo se obtiene una ganancia máxima de 4000 $.

16 PROBLEMA 11 Se dispone de 600 g de un determinado fármaco pa ra elaborar pastillas grandes y pequeñas. Las grandes pesan 40 g y las pequeñas 30 g. Se necesitan al menos tres pastillas grandes, y al menos el doble de pequeñas que de las grandes. Cada pastilla grande proporciona un beneficio de 2 $ y la pequeña de 1 $. Cuántas pastillas se han de elaborar de cada clase para que el beneficio sea máximo? 1 Elección de las incógnitas. x = Pastillas grandes y = Pastillas pequeñas 2 Función objetivo f(x, y) = 2x + y 3 Restricciones 40x + 30y 600 x 3 y 2x x 0 y 0 4 Hallar el conjunto de soluciones factibles

17 5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles. 6 Calcular el valor de la función objetivo : f(x, y) = 2x + y f(x, y) = = 22 $ f(x, y) = = 12 $ f(x, y) = = 24 $ Máximo RESPUESTA: El máximo beneficio es de 24 $, y se obtiene fabricando 6 pastillas grandes y 12 pequeñas.

18 PROBLEMA 12 Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 autobuses de 40 plazas y 10 de 50 pla zas, pero sólo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 800 $ y el de uno pequeño 600 $. Calcular cuántos autobuses de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo más económica posible para la escuela. 1 Elección de las incógnitas. x = autobuses pequeños y = autobuses grandes 2 Función objetivo f(x, y) = 600x + 800y 3 Restricciones 40x + 50y 400 x + y 9 x 0 y 0 4 Hallar el conjunto de soluciones factibles

19 5 Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de las soluciones factibles. 6 Calcular el valor de la función objetivo : f(x, y) = 600x + 800y f(0, 8) = = $ f(0, 9) = = $ f(5, 4) = = $ Mínimo RESPUESTA: El coste mínimo es de $, y se consigue 4 autobuses grandes y 5 pequeños

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