1 + 3(0, 2) = ( 1, 2) + (0, 6) = ( 1, 4) ) ( = arc cos e 5

Transcripción

1 utoevaluación Página Dados los vectores uc c, m v (0, ), calcula: a) u b) u + v c) u : ( v) uc c, m v (0, ) a) u c m + ( ) b) u + v c c, m + (0, ) (, ) + (0, 6) (, ) c) u : ( v) () (u v ) c 0 +( m ) ( ) ( ) m Determina el valor de k para que los vectores a (, ) b(6, k) ) sean ortogonales. a b ï a b 0 a b (, ) (6, k) 6 + k 0 k Dados los vectores u(, 0) v (, ): a) Calcula pro v u. b) Calcula el ángulo que forman u v. c) Da las coordenadas del vector w (, 6) en la base B (u, v ). v ( u v) a) pro u v v cos a u v u v u \ b) cos ( u, v) u v ( \ u, v) arc cos e o 6 ' '' u v k+ k s c) w ku + s v (, 6) k (, 0) + s (, ) ( k + s, ) s, k s 6 w u + v Determina el valor de para que los puntos (0, ), B (, ) C (, ) ) estén alineados. Para que, B C estén alineados, B BC deben tener la misma dirección, es decir, deben ser proporcionales. B (, ) BC (, ) Halla las coordenadas del vértice D del paralelogramo BCD, donde (, ), B (, ) C (, ). D (, ) El vector DC B en un paralelogramo. B (, ); DC (, ) * D (, )

2 6 Halla en las formas paramétrica e implícita la ecuación de la recta que pasa por P (0, ) es perpendicular a la recta s : +. s : + +. Vector dirección de s : v (, ) Un vector perpendicular a v es u(, ). Buscamos una recta r que pasa por Ecuaciones paramétricas: t * t t+ t + 0 t Ecuación implícita: + 0 P(0, ) tiene como vector dirección a u(, ): 7 Se consideran las rectas r : + 0 s : k + 0. Determina k en cada uno de los siguientes casos: a) r s son paralelas. b) r s se cortan en el punto P (, ). c) r s son perpendiculares. a) r : + 0 s : k + 0 r s son paralelas si sus vectores de dirección u(, ) v (k, ), lo son: v t u (k, ) t (, ) k t t t, k b) Comprobamos que P(, ) es un punto de r 0 Buscamos ahora el valor de k para el que P también pertenece a s : k () + 0 k + 0 k c) Vectores de dirección de las rectas: d r (, ), r d s (, k ) Para que sean perpendiculares, el producto escalar de sus vectores de dirección tiene que ser cero. d r d s (, ) (, k ) + k 0 k Halla la distancia entre las rectas r s. r : + s : t ) t Vectores de dirección de las rectas: d r (, ), d s (, ), luego son paralelas. Sea P és, por ejemplo, P (0, ). r : dist ( r, s ) dist (P, r) ( ) +

3 9 Obtén la epresión analítica del haz de rectas al que pertenecen r : + 0 s : + 0. Halla la recta de ese haz que pasa por P (, ). Epresión analítica del haz: k ( + ) + t ( + ) 0 Como la recta que buscamos ha de pasar por el punto (, ), k ( + ) + t( + ) 0 k k + t 0 Cualquier par de valores de k t que cumplan la igualdad anterior dan lugar a la misma recta. Tomamos, por ejemplo, k t. sí: ( + ) ( + ) es la recta del haz que pasa por el punto (, ). 0 Solo una de estas ecuaciones corresponde a una circunferencia. Justifica cuál es determina su centro su radio: C : C : C : C : r +9 6 Circunferencia de centro O (, ) radio r. C No es una circunferencia porque tiene término en. C : r < 0 No es circunferencia porque r < 0. Escribe la ecuación de una elipse de centro (0, 0) focos en el eje de abscisas, sabiendo que su ecentricidad es igual a / que uno de sus focos es F (, 0). La ecuación debe ser de la forma a + b a b + c F (, 0) ( c, 0) c ec c ec a c a a a 0 F (, 0) ( c, 0) a b + c b a c c Por tanto, la ecuación buscada es: Sin resolver el sistema formado por sus ecuaciones, estudia la posición relativa de la circunferencia de ecuación C : ( ) + ( + ) la recta r : 0. Calculamos la distancia de la recta al centro de la circunferencia, C (, ): dist ( r, C ) ( ( ) 0 + Esta distancia coincide con el radio de la circunferencia. Por tanto, son tangentes. Determina las coordenadas de un vector unitario a (, ) ) sabiendo que forma un ángulo de 60 con el vector u(, 0). a u a u cos 60 a ± Eisten, por tanto, dos soluciones: a e, o a' e, o

4 Sean a (, ) b(, ). Epresa a como suma de dos vectores, uno con la misma dirección que b otro perpendicular a b. Los vectores paralelos a b son de la forma k (, ), k é. Los vectores perpendiculares a b son de la forma s (, ), s é. a (, ) k (, ) + s (, ) k+ k s s s, k k+ s Por tanto, a (, 6) + (, ) Halla el simétrico del punto (0, 0) respecto a la recta r : + 0. Buscamos la ecuación de la recta s que pasa por es perpendicular a r : s : 0 Punto de intersección de r s : M (, ) El punto ' (, ) ) que buscamos es el simétrico de respecto a M: e , o (, ) ' (, ) s (0, 0) '(, ) M (, ) X r 6 Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas r : + 0 s : + forma un ángulo de con la recta r. Hallamos el punto de intersección de r s : Resolviendo el sistema obtenemos el punto P (, ). La pendiente de r es. tg m + m Ha dos soluciones: t : ( ) t' : ( ) m + m m m m m m m

5 7 Halla los puntos de la recta 0 que distan unidades de la recta 0. Los puntos de la recta 0 son de la forma P (, 0), é. r : 0 dist ( P, r ) 0 + Ha dos puntos que cumplen la condición pedida: P(, 0) P' (, 0). En el triángulo BC de la figura, calcula: a) El ortocentro. b) El área del triángulo. X B C a) Ortocentro: R h h B h C, donde h, h B h C son las alturas del triángulo desde C,, respectivamente., B (, ) B(, ) C (, ) Calculamos las ecuaciones de dos de las alturas: h a BC (,0 0) a ( 0, ) h (, ) é h : * * t t+ h : b C (, ) b (, ) t t h B * hb: * B(, ) é h t B t t + h B : 7 0 Calculamos ahora h h B : R h h B c, m b) Área del triángulo BC BC M, donde M h r BC lado BC. h : r BC : h h r BC (, ) M r BC r es la recta que contiene al BC (, 0) BC M (0, ) M Área del triángulo BC 6 u

6 9 Considera el triángulo formado por la bisectriz del primer cuadrante, b, el eje de abscisas la recta r : +. Obtén: a) La mediatriz del lado contenido en la recta r. b) La bisectriz del ángulo que forman r el eje c) La mediana relativa al lado contenido en b. Lado B, eje de abscisas: 0 Lado BC,, bisectriz del primer cuadrante: Lado C,, recta r : + OX. b n C M C m b B M BC 6 7 r X Vértices: + *, 0 (, 0) 0 B C * 0, 0 B (0, 0) 0 * +, C (, ) a) La mediatriz pasa por M C es perpendicular a C (, ) M C (, ) Luego m b : b) Sea X (, ) ) un punto genérico de la bisectriz, entonces cumple: Z ] + ( ) 0 + ] + [ ] + +(+ ) 0 \ La bisectriz del ángulo es b : + ( + ) 0 porque debe tener pendiente negativa como se observa en el dibujo. c) La mediana pasa por M BC. M BC (, ) M BC (, ) Luego n : 6

7 0 Identifica las siguientes cónicas, calcula sus elementos característicos dibújalas: a) 0 b) + 6 c) + 00 d) ( ) ( + ) 6 9 a) 0 6 Es un parábola. Foco F c, 0 m; recta directriz r : Vértice (0, 0) F b) Es una circunferencia. Centro (0, 0) Radio r c) Es una elipse con los focos en el eje. b + + a a ; b ; Focos: F (0, ) F' (0, ) F F' Semieje maor: Semieje menor: Ecentricidad: ec c 09 0, a d) ( ) ( + ) 6 9 Es una hipérbola. Centro: (, ) Semiejes: a ; b, c + c ec c, a Z ] r : ( ) síntotas: [ r' ] : ( ) \ Focos: F (6, ) F' (, ) O X F' F 7

8 Halla la ecuación de la parábola de vértice V(, ( ) directriz r :. Puesto que el vértice tiene que equidistar del foco de la directriz, ha de ser F (, ). Los puntos P (, ) ) de la parábola han de cumplir: dist ( P, F ) dist ( P, d ) ( ) +( + ) + Elevamos al cuadrado ambos miembros: ( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) La ecuación de la parábola es ( + ) ( + ). Dado un segmento B de longitud, halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos P del plano que verifican: P + BP Toma como eje X la recta que contiene al segmento, como eje la mediatriz de B. Tomamos como eje X la recta que contiene al segmento En este caso, será (, 0), B (, 0). Sea P (, ) ) un punto genérico del plano que verifica: P + BP a ( + ) + k +a+ a ( ) + k ( ) + ( + + ) La ecuación pedida es: B, como eje,, la mediantriz de B. B X