Lección 8: Exponen tes y notación exponencial
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- Francisco José Naranjo Henríquez
- hace 6 años
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1 GUÍA DE MATEMÁTICAS II Lección 8: Exponen tes y notación exponencial En matemáticas es común que se trate de simplificar la notación, al mismo tiempo que se generalizan los conceptos. Por ejemplo, hemos visto que la suma repetida de un sumando puede escribirse, más brevemente, como un producto: = 9 33 Si bien ésta es una manera de interpretar la multiplicación, como una suma abreviada, al generalizar la idea a la multiplicación de otra clase de números como los racionales, la multiplicación ya no es precisamente una suma abreviada. Por ejemplo, los productos: ó no tienen ya el sentido de sumas abreviadas. Sin embargo, resulta de mucha utilidad poder multiplicar números racionales entre sí. El tema de esta lección es un concepto que en un principio puede considerarse como una manera de abreviar otra operación. Para introducirlo, consideremos el producto: que es la multiplicación repetida, siete veces, de
2 LECCIÓN 8 Una manera de expresar esta multiplicación de manera abreviada es la siguiente: Esto es, se escribe el factor que se repite, en este caso 495, y arriba, con un número más pequeño, se le pone las veces que lo estamos multiplicando. En general, podemos escribir cualquier producto de un mismo factor repetido las veces que queramos, de esta manera. Por ejemplo, si tenemos el producto: lo podemos escribir simplificadamente como En la expresión anterior, al número 6, o sea, el que se va a multiplicar repetidamente, se le llama base, mientras que al número de veces que se repite 6 como factor, es decir a 15, se le llama exponente. Veamos un par de ejemplos más de esta notación: = = Escriba en forma de multiplicación de factor repetido las siguientes expresiones: a) b) c) 2 25 d) e) f)
3 GUÍA DE MATEMÁTICAS II Escriba de manera abreviada, usando base y exponente, las operaciones necesarias: a) b) c) d) Encuentre el valor de las siguientes expresiones realizando los productos necesarios. a) 13 4 b) 10 6 c) d) e) 28 f) Uso de los exponentes Una de las aplicaciones de los exponentes es cuando requerimos escribir números muy grandes. Existen sucesos en nuestro mundo en los que aparecen cantidades enormes. Por ejemplo, en la siguiente tabla aparecen las distancias aproximadas de los diferentes planetas al Sol. 90
4 LECCIÓN 8 PLANETAS DISTANCIA APROXIMADA AL SOL EN KILÓMETROS Mercurio Venus Tierra Marte Júpiter Saturno Urano Neptuno Plutón
5 GUÍA DE MATEMÁTICAS II 92 Estas distancias son muy grandes, tienen muchos ceros y puede ser incómodo trabajar con ellas. Por ejemplo, si nos interesara saber cuál es la distancia entre Mercurio y La Tierra, necesitamos restar menos Aunque, sí podemos efectuar este cálculo directamente, es posible que podamos trabajar con estas magnitudes de una manera más eficiente. Para ello se pueden utilizar los exponentes. Primero observemos lo siguiente: = 100. De acuerdo a lo que vimos en la lección anterior 10 2 = 100. También = 1000, de manera que 10 3 = Observe que al usar base 10, el exponente indica el número de ceros que se aumentan al 1. Por ejemplo: 10 2 = 100; 10 3 = 1000; 10 4 = ; 10 5 = ; 10 6 = Consideremos la distancia de Mercurio al Sol: kilómetros, es decir, 58 millones de kilómetros. Podemos escribir este número de la siguiente manera: Esto es, hemos escrito 58 por un millón pero es, a su vez igual a Por lo tanto: = = De la misma manera la distancia de la Tierra al Sol es = La pregunta original era, cuál es la distancia de Mercurio a la Tierra? Como sabemos las distancias de ambos al Sol,
6 LECCIÓN 8 al tomar la diferencia sabremos la distancia entre ellos. Debemos restar a : Pero esta resta se puede expresar usando exponentes así: ( ) - ( ) Usando la propiedad distributiva del producto respecto a la resta, como 10 6 aparece en ambos términos, podemos escribir: ( ) - ( ) = (150-58) 10 6 Y realizando la resta tenemos: (150-58) 10 6 = De modo que la distancia entre la Tierra y Mercurio es de km o lo que es lo mismo de kilómetros, es decir, 92 millones de kilómetros. Observe que es procedimiento que acabamos de efectuar es equivalente a decir: como necesitamos restar 150 millones menos 58 millones, restamos 150 menos 58 y el resultado está en millones. Hemos podido realizar esto porque tanto la distancia de Mercurio al Sol como la distancia de la Tierra al Sol está en millones de kilómetros. También podemos preguntarnos si la suma de las distancias del Sol a la Tierra y del Sol a Marte es mayor que la distancia del Sol a Júpiter. Para obtener la suma de las distancias que se pide necesitamos resolver:
7 GUÍA DE MATEMÁTICAS II Usando notación exponencial y la propiedad distributiva del producto respecto a la suma, obtenemos: ( ) + ( ) = ( ) 10 6 Y haciendo la suma resulta que el resultado requerido es kilómetros. Esta distancia es menor que la distancia del Sol a Júpiter, que es kilómetros. Escriba las siguientes cantidades usando notación exponencial: a) b) c) d) e) Escriba las siguientes cantidades usando notación desarrollada: a) b) c) d) e)
8 LECCIÓN 8 Notación científica Como ya hemos estudiado números racionales y la notación exponencial, podemos combinar estas nociones para aprender una notación que se usa mucho en las ciencias físicas y naturales. Nos referimos a la notación científica, que también es usada por las calculadoras de bolsillo. La idea es exactamente la misma que en el caso que vimos en el apartado anterior, sólo que en lugar de separar los números en un entero y una potencia de 10, los vamos a separar en un racional y una potencia de 10. El racional que usemos tendrá una sola cifra distinta de cero en el lugar de las unidades. Por ejemplo, la distancia de Venus al Sol es de Esto puede escribirse como Pero también es fácil verificar que: = 108 y como 100 es 102, podemos escribir: 108 = Así, la distancia de Venus al Sol, que es , se puede escribir también como sigue: ( ) Pero por la asociatividad esto es: 1.08 ( ) Podemos ahora, desarrollar las potencias de 10 y realizar la multiplicación: 1.08 ( ) = 1.08 ( ) =
9 GUÍA DE MATEMÁTICAS II Y si usamos de nuevo notación exponencial obtenemos: = = Como se puede ver, el exponente de 10 dice cuántos lugares se debe recorrer el punto decimal para obtener el número en notación desarrollada. Si a 1.08 le recorremos el punto 8 lugares a la derecha obtenemos : = = La notación científica también se utiliza cuando queremos expresar cantidades muy pequeñas. Por ejemplo, consideremos el número Ya sabemos que = 1 = Para indicar que 107 es denominador se utiliza un exponente negativo. Esto es, = 10-7 De este modo, podemos escribir y leer cantidades pequeñas con una notación sencilla. Por ejemplo, = 2 = 2 = Puede observarse que cuando el exponente de 10 es positivo generalmente no se escribe el signo. También se puede ver que, así como un exponente positivo indica cuantos lugares hay que correr el punto decimal hacia la derecha, cuando es negativo indica los lugares que debe recorrerse el punto decimal a la izquierda. Por ejemplo: = =
10 LECCIÓN 8 Finalizaremos esta lección dando algunos datos curiosos: distancia a la Tierra de las estrellas más lejanas descubiertas hasta ahora: km. número de estrellas en la Vía Láctea: cantidad de moléculas en una gota de agua: tamaño de un virus: 10-5 cm. tamaño de un átomo de hidrógeno: m. masa de un átomo de hidrógeno: kg. masa de un electrón: kg. Escriba las siguientes cantidades usando notación científica: a) e) b) f) c) g) d) h) Escriba las siguientes cantidades usando notación desarrollada: a) d) g) b) e) h) c) f)
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