TEXTURAS DE MASA PARA EL SECTOR DE QUARKS BAJO EL MODELO ELECTRODÉBIL. Camilo Alejandro Rojas Pacheco Estudiante de Física Codigo:

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1 TEXTURAS DE MASA PARA EL SECTOR DE QUARKS BAJO EL MODELO ELECTRODÉBIL Camilo Alejandro Rojas Pacheco Estudiante de Física Codigo: Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Departamento de Física Bogotá D.C. Junio de 014

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3 TEXTURAS DE MASA PARA EL SECTOR DE QUARKS BAJO EL MODELO ELECTRODÉBIL Camilo Alejandro Rojas Pacheco Estudiante de Física Codigo: Trabajo de Grado para Optar al Titulo de Físico Director Ph.D. Fredy Alexander Ochoa Perez Línea de Investigación Física Teórica de Altas Energías Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Departamento de Física Bogotá D.C. Junio de 014

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5 Dedicatoria Dedico este trabajo a mis padres, por su esfuerzo y orientación, porque es la culminación de una ilusión y un camino que tanto ellos como yo, construimos con amor y dedicación. La pasión y convicción por mi labor es el mayor reflejo que tú mamá, pudiste sembrar en mi y el indudable amor al conocimiento y la gallardía en la búsqueda y desarrollo de mis talentos, es la esencia misma del sendero en el que me acompañas tú, papá. Dedico también este trabajo a la mujer que mas amo, quien llena de alegría cada instante de mi vida, quien le da sonrisas a mis ecuaciones y quien le da color a mis ideas, tú me das el valor y la alegría que necesito cada día. I

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7 Agradecimientos Quiero agradecer al profesor Fredy Ochoa, por su apoyo y orientación en este trabajo, por lo que me ha enseñado y compartido, y por su excelente labor como docente. Agradezco igualmente a aquellos profesores que de una u otra manera han alentado ese amor por la ciencia, en mi formación como físico. A mi hermanito, por ser mi amigo incondicional y el mejor interlocutor con quien compartir mis locas ideas. A mis compañeros, por su amistad, por su ayuda y su compañía. Finalmente doy un agradecimiento enorme a toda mi familia por su amor y apoyo en mi camino como persona, Gracias Abuelita, eres un apoyo incondicional y desmedido, Gracias Tiita, Gracias Glorita. III

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9 Índice general Resumen Introducción IX XI 1. Estructura del Modelo Estándar Modelo Electrodébil Sector Bosónico y Mecanismo de Higgs 5.1. El sector escalar del Modelo Electrodébil Rompimiento Espontáneo de la Simetría RES Expansión del potencial de Higgs con RES El sector vectorial del Modelo Electrodébil Bosones de Gauge en estados débiles Bosones Físicos El Sector Fermiónico El Lagrangiano de Yukawa El Lagrangiano de Dirac Lagrangiano de Dirac en estados débiles Las corrientes electrodébiles; cargadas y neutras Mecanismo Kobayashi Maskawa Reducción de fases en la matriz CKM Parametrización KM Violación CP Invariante de Jarlskog Parametrizaciones de la matriz CKM Parametrización Chau-Keng Estándar Parametrización Wolfenstein Parametrización Fritzsch-Xing V

10 VI ÍNDICE GENERAL 5. Texturas de Masa para los Quarks Texturas tipo Fritzsch Textura de 6 ceros Texturas tipo RRR Texturas de 5 ceros Conclusiones 45 Anexos 45 A. Téminos del Lagrangiano de Dirac en estados débiles 47 B. Reducción de fases en la matriz CKM 49 C. Ansatz de texturas con ceros 51 D. Solución de la ecuación secular en la textura de ceros 53 Referencias 57

11 Índice de cuadros 1.1. Partículas del Modelo Estándar Estados cuánticos de las partículas bajo el ME[19] Posibles subcasos para φ i Texturas tipo RRR Datos experimentales de las masas de los quarks[1, 3, 9], escala de energía M z 43 VII

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13 Resumen En este trabajo se realiza un análisis sobre algunas texturas en la matrices de masa que pueden reproducir satisfactoriamente la matriz de mezcla en el sector de los quarks. En la literatura se ha mostrado que las texturas de Fritzsch con 6 ceros en las matrices de masa son totalmente descartables[16] ya que no se pueden obtener resultados que concuerden con los datos experimentales, mientras que las texturas de 5 ceros de Fritzsch en las matrices de masa no pueden ser descartadas completamente, dado que se obtiene dos parámetros de ajuste que logran tener una gran precisión[1, 3]. Este trabajo se realiza con la intención de obtener un entendimiento sobre la fenomenología detrás de las mezclas de quarks, donde surge el problema de encontrar una estructura de masas que sea compatible con los datos observados experimentalmente. También se pretende agudizar los ajustes sobre la texturas de 5 ceros con la intención de ver la capacidad predictiva del modelo, con las restricciones experimentales, que se tienen actualmente, usando como criterio la precisión del invariante de Jarlskog y la fase de violación CP. Este trabajo esta organizado de la siguiente manera; en el capítulo 1, se muestra los principios conceptuales y analíticos que generan un modelo electrodébil con grupos de simetría SU L U1 Y dentro del marco del Modelo Estándar. En el capítulo y 3 se estudia el sector de Higgs; primero en la parte escalar mostrando como se obtiene el rompimiento espontáneo de la simetría, en lo que sigue se muestra la parte vectorial, donde los bosones físicos adquieren masa. En el capítulo 4 se estudia el sector fermiónico, donde se muestra el desarrollo analítico para obtener los acoples de Yukawa y las corrientes neutras cargadas a partir del Lagrangiano de Dirac. Para la parte final, se enfoca el trabajo en el sector de los quarks sobre la matriz de mezcla. En el capítulo 5, se muestran las distintas parametrizaciones de la matriz Cabibbo- Kobayashi-Maskawa CKM, y también se analiza el problema de la violación CP. Finalmente en el capítulo 6, se hace todo el análisis sobre las texturas de masas para los quarks, haciendo un enfoque particular sobre la textura de 5 ceros. IX

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15 Introducción El Modelo Estándar electrodébil tuvo su inicio con el trabajo de Sheldon Glashow en 1960, en el cual logro unificar la interacción débil y electromagnética en un grupo de simetrías SU U1[30]. Más tarde, en 1967, Steven Weinberg [34] y Abdus Salam [4] incorporaron al modelo, el mecanismo de Higgs[19, 33], mediante el cual se lograba un rompimiento local de la simetría. Con el descubrimiento de la libertad asintótica de los quarks, se incorpora la interacción fuerte, descrita por la Cromodinámica Cuántica QCD, mediante el trabajo de D. Gross, D. Politzer y F. Wilczek en 1970, para finalmente tener una simetría de grupo SU3 C SU L U1 Y, en lo que se conoce hoy como el Modelo Estándar[10]. El sector electrodébil se construye a partir de un Lagrangiano invariante bajo transformaciones locales del grupo SU L U1 Y. Esta simetría prohibe términos de masa para los campos Gauge y los campos espinoriales[5]. Para generar dichos términos se usa el mecanismo de rompimiento espontáneo de la simetría, donde uno de los campos adquiere un valor esperado en el vacío diferente de cero, generando una ruptura local de la simetría del grupo SU L U1 Y al grupo U1 Q,[8] de manera que, tanto fermiones y bosones de Gauge adquieren masa tras el rompimiento de la simetría. El modelo de Glashow, Weinberg y Salam, Modelo Estándar en el sector electrodébil, hasta la fecha ha sido un modelo muy exitoso, por sus aciertos con los resultados experimentales y por su gran alcance predictivo[3, 1]. De una parte explica satisfactoriamente el decaimiento β, ademas predijo la existencia de las corrientes neutras en la dispersión de neutrinos, la existencia del quark Charm y Top; necesarios en la teoría para que haya cancelación de anomalías y la teoría sea renormalizable, el descubrimiento del bosón Z asociado a la interacción débil, el reciente hallazgo del bosón de Higgs[4, 10]; reducto del rompimiento espontáneo de la simetría, entre otros aciertos predictivos. A pesar de estos éxitos, el modelo presenta varias dificultades en el sector de Yukawa, que plantea problemas abiertos en el campo de la física teórica de partículas; como el número total de familias fermiónicas en la naturaleza, la pequeñez de masas de los neutrinos, el origen de la violación de la simetría CP ó el origen de las matrices de mezcla entre los fermiones XI

16 XII Introducción tanto en el sector de los quarks como de leptones[10, 8]. A pesar de que el rompimiento de la simetría puede generar las masas, el modelo no explica, la jerarquía que existe en el espectro de masas en los fermiones; mientras el quark Top tiene una masa estimada de 171 GeV, el quark Bottom tiene una masa alrededor de 0.5 MeV. El rango de masas de los fermiones parece abarcar más de 13 órdenes de magnitud[16]. Por lo tanto el modelo se considera como una teoría efectiva procedente de un marco teórico más fundamental, aún desconocido[1]. Los fenómenos de mezcla entre quarks fue iniciada por Cabibbo en 1963 [17], posteriormente se generalizo a dos generaciones por Glashow, Illiopoulos y Maiani [33] y finalmente a tres generaciones por Kobayashi y Maskawa[18]. Cuyos observables han sido medidos con gran exactitud[16]. Se han propuesto diversos modelos con simetrías que rotan las partículas, introducción de simetrías horizontales, los cuales mediante un rompimiento de la simetría logren generar una jerarquía de masas en los fermiones[16]. En el marco mas allá del Modelo Estándar se han propuesto simetrías que logran obtener menor numero de parámetros en las matrices de masa[8]. Se han propuesto también diversas matrices de masa para reproducir los datos experimentales actuales. Desde un enfoque fenomenológico, se puede analizar si hay una simetría subyacente al proponer una matriz de Yukawa una textura y restringir sus entradas con información experimental, dejando así, el menor numero de parámetros libres, como lo propone Herald Fritzsch[1, 3, 7], y como se desarrolla en el presente trabajo.

17 Capítulo 1 Estructura del Modelo Estándar El modelo estándar, como una teoría física de partículas; describe las interacciones fundamentales conocidas y las partículas elementales que componen toda la materia. Es una teoría cuántica de campos desarrollada entre 1970 y 1973 que es consistente con la mecánica cuántica y la relatividad especial. Aunque ha tenido gran precisión experimental, el modelo no es una teoría completa, dado que no incluye la interacción gravitacional y deja un gran numero de parámetros libres, como las masas fermiónicas[15, 19]. En la naturaleza existen tres generaciones de fermiones con idénticas características, excepto la masa. Cada generación esta formado por dos fermiones f y f, con carga electrica Q f = Q f 1 y las correspondientes antipartículas. Los fermiones están divididos en dos categorías, los quarks y los leptones. Una diferencia que los distingue es que los quarks participan en todas las interacciones fuerte, electromagnética, débil y gravitacional mientras que los leptones no son afectados por la interacción fuerte, que genera los estados de color[15, 19]. Mientras que los bosones, median las interacciones fundamentales. Los bosones Físicos del modelo son; El fotón A que media la interacción electromagnética entre partículas cargadas. Los bosones W +, W y Z 0 median las interacciones débiles de la desintegración radiactiva. Mientras Los ocho gluones G son responsables de las interacción fuertes dentro de los núcleos atómicos[15, 10]. Finalmente existe un bosón con espín 0 que da cuenta de la propiedad masiva de las partículas, el bosón de Higgs h. Este conjunto de partículas se muestra en la tabla 1.1. El Modelo Estándar es una teoría de Gauge, renormalizable que mantiene una simetría de grupo SU3 SU U1. El modelo se compone básicamente de la teoría de la Cromodinámica Cuántica QCD bajo la simetría SU3 sobre el sector de los quarks, donde se presenta la interacción fuerte, Mientras que la simetría SU U1, se asocia a la teoría 1

18 1. Estructura del Modelo Estándar Cuadro 1.1: Partículas del Modelo Estándar Fermiones espín 1 Sector I II III Q Quarks f u c t /3 f d s b 1/3 Leptones f ν e ν µ ν τ 0 f e µ τ -1 Bosones s Q Interacción asociada A γ 1 0 Electromagnética fotón G i 1 0 Fuerte 8 gluones Z Débil W ± 1 ±1 Débil h 0 0 Origen de las masas Higgs electrodébil, donde los quarks tienen estados de doblete con quiralidad izquierda[8, 17]. Éste trabajo se desarrolla todo en el marco del modelo electrodébil Modelo Electrodébil Como se dijo anteriormente, el sector electrodébil tiene una simetría SU L asociada a la quiralidad izquierda de las partículas y una simetría U1 Y asociada a la hipercarga. Este modelo con esta simetría tiene una densidad Lagrangiana, invariante a transformaciones de gauge, que se divide en cuatro términos. L ED = L YM + L Dirac + L Yuk + L Higgs 1.1 donde el primer término esta asociado a la dinámica de los bosones, los cuales se interpretan como campos de Gauge o campos de Yang Mills. Antes de la ruptura de la simetría, se tiene los campos tensoriales de fuerza; B µν para la simetría U1 y W i µν para la simetría SU, asociados a la hipercarga y el isospín débil[19]. donde, L YM = 1 4 B µνb µν WµνW i iµν 1. i=1 B µν = µ B ν ν B µ mientras que, W i µν es la generalización para un grupo no Abeliano; W i µν = µ W i ν ν W i µ + gɛ ijk W j µw k ν

19 1.1. Modelo Electrodébil 3 con ɛ ijk, la constante de estructura del grupo SU, que satisface el álgebra de Lie. El segundo termino, es el Langrangiano de Dirac, que da cuenta de la cinemática de los fermiones este termino se estudia en detalle en la sección 3.; L Dirac = i Q i LiD/ Q i L + l i LiD/ l i L + Ū i RiD/ U i R + D i RiD/ D i R + ē i RiD/ e i R 1.3 donde se ha usado la notación de slash de Feynman A/ def = γ µ A µ, donde γ µ son la matrices de Dirac, mientras el índice i recorre las tres generaciones de fermiones índice de sabor, y donde se define D µ, como una derivada covariante que preserva la invarianza local de Gauge[19]. Para los dobletes de quiralidad izquierda se defíne como; y para los singletes de quiralidad derecha; D µ = µ + ig W µ σ + ig Y B µ 1.4 D µ = µ + ig Y B µ 1.5 donde Y es la hipercarga, g y g son las respectivas constantes de acoplamiento y σ i son las matrices de Pauli; σ 1 = 0 1, σ = i, σ = i Se puede observar que en el Lagrangiano de Dirac se aplica la derivada covariante sobre los campos espinoriales, distinguiendo su quiralidad que se define como; ψ L = 1 1 γ 5 ψ 1.6 ψ R = γ 5 ψ 1.7 donde γ 5 es la matriz gamma 5 γ 5 def = i γ 0 γ 1 γ γ 3. Para obtener la hipercarga, se hace uso de la relación de Gell-Mann-Nishijima 1, que permite relacionar los tres tipos de carga en la teoría electrodébil[19]; la carga eléctrica Q, el isospín débil T 3 y la hipercarga Y ; Q = T 3 + Y 1.8 usando esta relación se puede mostrar como transforma cada fermión en función de sus estados cuánticos, usando dobletes para los fermiones con quiralidad izquierda y singletes para los fermiones con quiralidad derecha, como se muestra en la tabla Otros autores, la definen como Q = T 3 + Y

20 4 1. Estructura del Modelo Estándar Cuadro 1.: Estados cuánticos de las partículas bajo el ME[19] Multipletes SU3 C, SU L, U1 Y I II III Quarks 3,, 1 u c t 6 d s b L L 3, 1, 3 u R c R t R 3, 1, 1 3 d R s R b R Leptones 1,, 1 e µ τ ν e 1, 1, 1 e R µ R τ R L ν µ L ν τ L L El termino de Yukawa, da cuenta de la interacción que genera las masas de los fermiones después de generar la ruptura local de la simetría, como se muestra en la sección 3.1. El Lagrangiano tiene la forma; L Y uk = i,j Yij d Q i LφD j R + Yu Q ij i φu j L R + Ye l ij i φe j L R + h.c. 1.9 Finalmente esta el termino de Higgs que describe la interacción del campo de Higgs φ con el sector bosónico y los términos de autointeracción que generan el rompimiento local de la simetría como se muestra en la siguiente sección.1.1. El Lagrangiano de Higgs es de la forma; L Higgs = D µ φ D µ φ µ φ φ λ φ φ 1.10 En lo que sigue del trabajo se profundiza con más detalle la fenomenología de cada Lagrangiano propuesto en esta sección, en particular se desarrolla todo el mecanismo de Higgs y se hace un enfoque especial en el sector de Yukawa que da cuenta de las masas fermiónicas.

21 Capítulo Sector Bosónico y Mecanismo de Higgs.1. El sector escalar del Modelo Electrodébil En el Modelo Estándar se propone el mecanismo de Higgs, como el proceso mediante el cual tanto bosones y fermiones adquieren masa. Podemos expresar el Lagrangiano asociado a la interacción del campo de Higgs ecuación 1.10 como; donde φ es el doblete escalar de Higgs; L Higgs = D µ φ D µ φ V φ.1 φ + φ = y el segundo termino del Lagrangiano, es el potencial de Higgs, que se propone como; φ 0 V φ = µ φ φ + λ φ φ. teniendo en cuenta que el potencial debe ser un invariante relativista, debe tener invarianza de Gauge frente a la simetría SU X U1 y finalmente, debe poder ser una teoría renormalizable, el potencial de Higgs se propone con un término cuártico. Adicionalmente el primer término esta asociado a la masa del campo escalar y el segundo a la autointeracción del campo, con µ y λ como parámetros Rompimiento Espontáneo de la Simetría RES Un Lagrangiano que es invariante bajo transformaciones locales del grupo SU L U1 Y prohibe términos de masa para los campos de Gauge y los campos espinoriales. Para generar 5

22 6. Sector Bosónico y Mecanismo de Higgs dichos términos se usa el mecanismo de rompimiento espontáneo de la simetría, donde uno de los campos adquiere un valor esperado en el vacío diferente de cero, generando una ruptura de la simetría del grupo SU L U1 Y a un grupo U1 Q. En este caso, tanto fermiones como bosones adquieren masa tras el rompimiento de la simetría. De manera general, podemos considerar el campo escalar como; φ = 1 φ1 + iφ φ 3 + iφ 4 operando explícitamente en la ecuación., se tiene;.3 V φ = µ = µ = µ φ φ1 iφ φ 3 iφ 1 + iφ 4 + λ φ 3 + iφ 4 4 [ φ 1 + φ + φ 3 + φ λ 4] + [ 4 i=1 φ i [ φ1 ] φ iφ φ 3 iφ 1 + iφ 4 φ 3 + iφ 4 [ φ φ + φ 3 + φ 4] ] [ 4 ] + λ φ i.4 4 i=1 Minimizando el potencial obtenemos; V φ i = 0 de manera partícular, se tiene para φ 1 por ejemplo; de forma general se tiene; y V φ i > 0 [ 4 0 = V = µ φ 1 φ 1 + λ 4 i=1 4 0 = φ 1 [µ + λ i=1 φ i φ i ] ] φ 1 [ 4 ] V = φ i µ + λ φ i = 0.5 φ i i=1 de manera que el mínimo del potencial se puede obtener para distintos casos, dado que; V φ i = 0 φ i = 0 4 µ + λ i=1 ambos = 0 φ i condición A = 0 condición B condición C

23 .1. El sector escalar del Modelo Electrodébil 7 caso 1. µ > 0 Si tomamos la condición B, obtenemos; µ + λ 4 φ i = 0 i=1 µ λ considerando que µ > 0, tenemos una sumatoria del cuadrado de números reales igual a un numero menor que cero, lo cual no se puede obtener y obliga a considerar la condición A φ i = 0. Usando el criterio de la segunda derivada hallamos que es un mínimo; V φ i V φ i V φ i φi =min φi =0 φi =0 = 4 i=1 φ i 4 = µ + λ φ i + λφ i.6 i= = µ + λ φ i + λ φ i i=1 = µ como, µ > 0 = es un mínimo! reemplazando en el potencial φ i = 0, obtenemos que el valor del mínimo es V = 0. caso. µ < 0 Para el caso en que µ es menor que cero se puede cumplir la condición A ó B de manera independiente, de manera que tenemos varios subcasos adicionales dependiendo del valor numérico para cada φ i, como se muestra en la tabla.1. caso a. Tomando la condición A φ i = 0, y reemplazando en la ecuación.5, obtenemos claramente que V φ i = 0. Hallando entonces la segunda derivada, con la ecuación.6 obtenemos, V φ = µ i sin embargo en este caso µ < 0, de manera que corresponde a un máximo local.

24 8. Sector Bosónico y Mecanismo de Higgs Cuadro.1: Posibles subcasos para φ i caso a φ i = 0, i 1 caso caso b φ i,j,k = 0, φ l i,j,k 0 i, j, k, l 4 casos caso c φ i,j = 0, φ k i,j 0, i, j, k 6 casos caso d φ i = 0, φ j i 0, i, j 4 casos caso e φ i 0, i casos caso b. Un ejemplo de este caso seria; φ 1,,4 = 0, φ 3 0, en donde podemos hallar el valor de φ 3 = min en el mínimo, tomando la primera derivada. V φ 1,,4 = 0, V = φ 3 µ + λφ 3 = 0 φ 3 φ 3 = µ λ usando la ecuación.6, obtenemos para la segunda derivada;.7 V φ 3 = µ + 3λφ 3 = µ + 3λ µ λ = µ > 0 como µ < 0, se tiene un mínimo, donde el valor numérico esta dado por; V φ min = µ ] [0 µ + λ λ 4 = µ4 λ + λµ4 4λ = µ4 4λ ] [0 µ λ.8 el valor obtenido en el mínimo para los casos c, d, e, es el mismo que el obtenido en la ecuación.8, de manera que se tiene un mínimo degenerado para los casos b, c, d y e, diferente de cero. Esto se puede ver mas claro en la figura.1 donde el mínimo es un conjunto infinito de posibilidades. La autointeracción del campo escalar rompe localmente la simetría del grupo variando la energía del sistema. Aunque se puede tomar cualquiera de los casos, de manera estándar se

25 .1. El sector escalar del Modelo Electrodébil 9 Figura.1: Forma funcional del potencial de Higgs[6] escoge caso b: φ 1,,4 = 0, φ 3 0, para hacer corresponder la interacción del campo de Higgs con la fenomenología del modelo. En resumen; el caso 1, tienen un mínimo en 0, pero no rompe la simetría, mientras que en el caso, se rompe localmente la simetría y se obtiene el valor mínimo del campo de Higgs, que se denomina valor esperado en el vacío; φ 3,min = ν = µ λ.9 Se puede usar una transformación de la forma φ 3 φ 3 = φ 3 h para correr el valor del mínimo y tomando la convención; φ ± = 1/ [φ 1 ± iφ ], φ 4 = φ 0, considerando que es la parte del campo de Higgs que interactúa con los campos bosónicos cargados W +, W y neutro; como se obtiene en la parte cinética del Lagrangiano de Higgs ver sección..1. Finalmente se puede escribir el campo de Higgs como; φ = 1 φ1 + iφ φ + = 1 φ 3 + iφ 4 ν + h + iφ 0.10 Tomando la ecuación.9 y las condiciones del caso b, el valor esperado en el vacío del campo Higgs queda en la forma; φ = 1 0 ν.11

26 10. Sector Bosónico y Mecanismo de Higgs.1.. Expansión del potencial de Higgs con RES Usando la relación µ = λν de la ecuación.9 en el potencial de Higgs, ecuación., se obtiene; V φ = λν φ φ + λ φ φ expandiendo el potencial y reemplazando con la transformación φ 3 = ν + h, se obtiene. V H = λν [ φ 1 + φ + ν + h + φ λ [ 4] + φ φ + ν + h + φ 4] = λν [ φ 1 + φ + ν + h + hν + φ 4] + λ [ φ φ + ν + h + hν + φ 4] = λ [ φ φ 4 + φ 4 4 ν 4 + h 4 + 4h ν ].1 + λ [ h φ 1 + φ + φ hν φ 1 + φ + φ νh 3 ] + λ [ φ 1 φ + φ 1φ 4 + φ φ 4] en la ecuación.1, el término con un factor de ν es el término asociado al bosón de Higgs... El sector vectorial del Modelo Electrodébil..1. Bosones de Gauge en estados débiles En la teoría cuántica de campos, los bosones de Gauge son cuantos quanta asociados al campo de interacción. Por lo cual, el numero de bosones de Gauge es igual al numero de generadores de campo. En electrodinámica cuántica, solo hay un bosón asociado al grupo U1 el Fotón. En cromodinámica cuántica, el grupo más grande es SU3 el cual tiene asociado 8 gluones. En el modelo electrodébil los bosones de Gauge antes del rompimiento de la simetría son los tres bosones W asociados al grupo SUy el bosón B al grupo U1. Retomando el Lagrangiano de Higgs ec..1, ahora nos vamos a enfocar en el primer término asociado a la fenomenología cinética y de interacción con los campos bosónicos; L cinético = D µ φ D µ φ.13 donde φ es el doblete escalar de Higgs; que transforma {1,, 1 } φ y {1,, 1 } φ 1 y D µ es la derivada covariante; 1 Es la notación de estados cuánticos para { SU3, SU, U1 }

27 .. El sector vectorial del Modelo Electrodébil 11 φ + φ = D µ = φ 0, φ = φ φ 0.14 µ + ig W µ σ + ig B µ.15 Tras el rompimiento espontáneo de la simetría RES que se explica en la sección.1.1, obtenemos que el doblete de Higgs queda en la forma; φ = 1 φ + ν + h + iφ 0.16 mientras la derivada covariante, se toma en su forma matricial, tomando la convención de los campos de Gauge cargados W ± ver sección 3..1, ecuaciones 3.17 y 3.17 D µ = D µ = [ µ + ig W 3 µ + ig B µ ig W + µ ig Wµ µ ig W µ 3 + ig B µ [ µ ig W µ 3 ig B µ ig ] W µ + ig Wµ µ + ig W µ 3 ig B µ ] Desarrollando el Lagrangiano cinético de Higgs ecuación.13, se tiene; D µ φ D µ φ = φ 1 ν + h iφ 0 D µ φ + D µ 1 ν + h + iφ 0.19 haciendo el producto matricial de las derivadas usando las matrices.17 y.18, se tiene; D µ A B D µ =.0 C D donde; ig A = µ µ W +µ W ig µ + ig µ ig W 3µ W µ 3 ig µw 3µ ig + ig µ B µ µb µ µ W 3 B µ B µ igig 4 W 3µ B µ igig 4 Bµ W µ 3 A = µ µ + g W +µ Wµ + g 4 W 3µ W µ 3 + g 4 Bµ B µ + gg 4 W 3µ B µ + gg 4 Bµ W µ 3

28 1. Sector Bosónico y Mecanismo de Higgs ig D = µ µ W µ W + ig µ + ig µ ig W 3µ W µ 3 ig µw 3µ ig + ig µ B µ µb µ µ W 3 B µ B µ + igig 4 W 3µ B µ + igig 4 Bµ W µ 3 D = µ µ + g W µ W µ + + g 4 W 3µ W µ 3 + g 4 Bµ B µ gg 4 W 3µ B µ gg 4 Bµ W µ 3 ig B = µ W µ + ig ig µw +µ + ig W 3µ W µ + W µ 3 W +µ igig W +µ B µ igig Bµ W µ + B = gg B µ W + µ ig C = µ Wµ ig ig µw µ + ig W 3µ Wµ W µ 3 W µ igig W µ B µ igig Bµ Wµ C = gg B µ W µ de manera que el cuadrado de la derivada se puede expresar como la suma de matrices; D µ D µ = + g 4 W 3µ W 3 µ + g 4 Bµ B µ+ gg 4 W 3µ B µ+ gg 4 Bµ W 3 µ 0 µ µ + g W +µ W µ 0 gg B µ W + µ gg B µ W µ µ µ + g W µ W + µ g 4 W 3µ W µ 3 + g 4 Bµ B µ gg 4 W 3µ B µ gg 4 Bµ W µ 3 D µ D µ = D 1 + D.1... Bosones Físicos Matrices de masa del sector vectorial Para hallar los términos de masa asociados a los bosones podemos considerar el valor esperado en el vacío del campo escalar de Higgs ecuación φ = 1. ν

29 .. El sector vectorial del Modelo Electrodébil 13 y operando en el término cinético del Lagrangiano de Higgs ec..19, y reemplazando el cuadrado de la derivada covariante ec..1, obtenemos; D µ φ D µ φ = = ν D µ D µ 1 ν 1 0 ν D 1 + D 1 ν.3 dado que los términos de D 1 se pueden expresar como un producto matricial con el campo B µ W 3 µ, operando explícitamente se tiene; D µ φ D µ φ = 0 1 ν 1 B µ g gg 4 W 3µ gg g B µ W 3 + ν µ µ + g W µ W + µ µ 0 B µ g gg W 3µ gg g B µ W 3 obteniendo finalmente que los términos de masa para los bosones de Gauge en el Lagrangiano de Higgs, son; D µ φ D µ φ = ν 1 B µ 4 W 3µ Diagonalización a estados de masa g gg gg g µ B µ W µ 3 + ν µ µ + g W µ W µ ν.4 Diagonalizando la matriz del primer término en la ecuación.4, se tiene; B µ g gg gg g B µ W µ 3 B µ = M bos B µ W µ 3 tal que, W 3µ W 3µ.5 M bos = OM Diag O T partiendo de la ecuación característica se encuentra que los valores propios son; λ 1 = 0, λ = g + g.6 y los vectores propios correspondientes, son; 1 v 1 = N 1 g g, v = N 1 g g

30 14. Sector Bosónico y Mecanismo de Higgs por lo tanto la matriz de transformación es; 1 1 O = N usando las condiciones de ortonormalidad v 1 = 1, v = 1, v 1 v = 0 N 1 = g g g g g g + g, N = g g + g v 1 = 1 g g + g g, v = 1 g g + g g reparametrizando en función de un ángulo, se tiene; cos θ W = g g + g, sin θ W = g g + g.7 donde θ W se conoce como el ángulo de Weinberg, dado por tan θ W = g g, y por lo tanto la matriz de rotación queda; cos θw sin θ O = W.8 sin θ W cos θ W Ahora bien, rotando la base de los bosones, se puede obtener una matriz de masa diagonal. Para obtener finalmente los bosones físicos; B fisicos B fisicos = O B gauge Aµ Z 0 µ = cos θw sin θ W sin θ W cos θ W B µ W µ 3 A µ = B µ cos θ W + W 3 µ sin θ W.9 Z 0 µ = B µ sin θ W + W 3 µ cos θ W.30 donde A µ es el campo asociado a la interacción electromagnética y Z 0 µ es el campo asociado a la interacción débil neutra. Se obtiene de manera análoga con la matriz de rotación transpuesta, los bosones gauge en función de los bosones físicos, obteniendo; B µ = A µ cos θ W Z 0 µ sin θ W.31 W 3 µ = A µ sin θ W + Z 0 µ cos θ W.3

31 .. El sector vectorial del Modelo Electrodébil 15 Reemplazando las ecuaciones.31 y.3 en la ecuación.4, obtenemos que los términos masivos para los bosones por su interacción con el campo escalar de Higgs, es; donde; D µ φ D µ φ masa = ν [ ] 1 4 g + g ZµZ 0 0µ + 0A µ A µ + 0Z µa 0 µ + g W µ W µ + = 1 M ZZ 0 µz 0µ + M W W µ W + µ + 0 A µ A µ.33 M W = gν, M Z = gν cos θ W.34 Finalmente podemos observar como en la interacción entre los bosones y el campo escalar de Higgs; Los campos W µ ± y Zµ 0 han adquirido masa, mientras que el campo electromagnético, el fotón A µ como resultado de la interacción, queda sin masa.

32 16. Sector Bosónico y Mecanismo de Higgs

33 Capítulo 3 El Sector Fermiónico En esta sección se muestra, el mecanismo mediante el cual los fermiones y en particular los quarks adquieren masa, usando el Lagrangiano de Yukawa para obtener las matrices de masa. Tras obtener los estados masivos se desarrolla el Lagrangiano fermiónico para observar la mezcla de sabor en las corrientes cargadas El Lagrangiano de Yukawa El Lagrangiano de Yukawa que es compatible con la simetría del modelo electrodébil SU X U1, se presento en el capitulo 1 en la ecuación 1.9. Haciendo énfasis en el sector de los quarks, tenemos el Lagrangiano de la forma. L Y uk = i,j Y d ij Q i LφD j R + Yu ij Q i L φu j R + h.c. + L Y ukleptones 3.1 donde i, j son los índices de sabor, Y son la constantes de acoplamiento de Yukawa y Q L son los dobletes de quiralidad izquierda. Tomando el campo de Higgs tras el rompimiento espontáneo de la simetría, como se obtuvo en la sección.1.1, tenemos; φ = 1 φ + ν + h + iφ 0 3. φ = iτ φ 3.3 Para hallar los términos de masa podemos considerar el valor esperado en el vacío del campo de Higgs como se mostró en la sección... 17

34 18 3. El Sector Fermiónico φ = 0 1 ν 3.4 operando de manera explícita, obtenemos igualmente un valor esperado para el Lagrangiano de Yukawa en el sector de los quarks, de la forma; L Q Y uk = i,j Y d ij L Q masas = ν i,j [ Ū i L D L i ] [ 0 Ū D ν j R + Yij u i L D i LY d ijd j R + Ū i LY u iju j R + h.c. D L i ν 0 U j R ] + h.c. realizando la suma sobre el primer término se obtiene. L Q masas = ν d 1 L Y d 11d 1 R + d 1 L Y d 1d R + d 1 L Y d 13d 3 R + d L Y d 1d 1 R + d L Y d d R + d + d 3 L Y31d d 1 R + d 3 L Y3d d R + d 3 + ν i Ū L YijU u j R + h.c. L Y d 3d 3 R L Y d 33d 3 R se puede expresar el Lagrangiano como una multiplicación matricial de la forma, masas = ν Y11 d Y1 d Y d 13 d1 L d L d3 L Y 1 d Y d Y3 d Y31 d Y3 d Y33 d + ν ū1 L ū L ū 3 Y11 u Y1 u Y u 13 L Y1 u Y u Y3 u Y31 u Y3 u Y33 u L Q d 1 R d R d 3 R u 1 R u R u 3 R + h.c. de manera que las constantes de acoplamiento de Yukawa representan las matrices de masa. con, L Q masas = D L M d D R + ŪLM u U R + h.c. 3.5 Y d,u 11 Y d,u 1 Y d,u 13 M d,u = ν Y d,u 1 Y d,u Y d,u Y d,u 31 Y d,u 3 Y d,u 33 Claramente esta matriz no es diagonal. Para diagonalizarla, se debe considerar que, en general esta matriz:

35 3.1. El Lagrangiano de Yukawa 19 M es compleja M C M no es unitaria MM 1 M no es normal [ M, M ] 0 M no es hermitica M M dado que cualquier matriz A n n se puede descomponer como el producto de tres matrices. A = UDU 3.7 donde U y U son matrices unitarias y D es una matriz diagonal, de manera que para la matriz de masa se propone; M = SM diag T 3.8 ahora bien, dado que M no es normal, tomamos MM = E y M M = F, donde E = SM diag 1 T TM diag S = SM diag S F = TM diag 1 S SM diag T = TM diag T por lo tanto S T, las cuales son matrices de rotación que generan n valores singulares para la matriz M, en particular, si estos valores no son degenerados y son reales coinciden con los valores propios en el cuadrado de la matriz de masas λ i = DiagM d. de manera que. M diag = S MT 3.9 usualmente, esto se denomina una transformación biunitaria o formalmente una transformación de valor singular, dado que para diagonalizar las matrices de Yukawa se debe rotar la base de los quarks con quiralidad izquierda y por otro lado los de quiralidad derecha, en un grupo con simetría SU. Al aplicar esta transformación sobre las matrices de Yukawa ecuación 3.6, obtenemos; m d 0 0 m u 0 0 M d diag = y M u diag = m s m b 0 m c m t

36 0 3. El Sector Fermiónico en general el cuadrado de las masas no es la multiplicación de dos valores reales, dado que M d puede ser complejo, sin embargo el observable es el cuadrado de las masas, el cual esta como parámetro en la expresión de la sección eficaz, que es un observable experimental. Haciendo la transformación de valor singular eq. 3.9 en el Lagrangiano de masas para el sector de quarks ecuación 3.5, se obtiene. L Q masas = D L IM d ID R + ŪLIM u IU R + h.c. = D L S d S d Md T d T d D R + ŪLS u S u Mu T u T u U R + h.c. reemplazando por la matriz diagonal y asociando las matrices de transformación a los campos fermiónicos, L Q masas = D L S d M d diag T d D R + ŪLS u M u diag T u U R + h.c. = D L S d Md diag T d D R + U L S u Mu diag T u U R + h.c. = D L Md diag D R + U L Mu diag U R + h.c obtenemos finalmente el Lagrangiano de masas en los estados de masa para los quarks eq. 3.11, donde se hizo un cambio de base de la forma; D L = S d D L D L = S d D L 3.1 D R = T d D R D R = T d D R 3.13 U L = S u U L U L = S u U L 3.14 U R = T u U R U R = T u U R El Lagrangiano de Dirac Lagrangiano de Dirac en estados débiles Para obtener los términos que dan cuenta de la interacción entre las partículas fermiónicas y los campos bosónicos, de desarrolla el Lagrangiano de Dirac, que contiene los términos cinéticos sobre los campos espinoriales. El Lagrangiano de Dirac en estados débiles, se propone de la forma 1 : L Dirac = i Q i LiD/ Q i L + l i LiD/ l i L + Ū i RiD/ U i R + D i RiD/ D i R + ē i RiD/ e i R Se omitió el termino con neutrinos derechos ν R, dado que no se ha observado neutrinos con quiralidad derecha

37 3.. El Lagrangiano de Dirac 1 donde el índice i recorre las tres familias fermiónicas índice de sabor, haciendo el desarrollo matrical para el primer término con quiralidad izquierda, obtenemos; Q L id/ Q L = Q L iγ µ D µ Q L = Q L iγ µ µ + ig W µ σ + ig 6 B µ D L [ µ 0 = iγ µ ŪL 0 µ + ig Bµ 0 ] UL 6 = iγ µ ŪL 0 B µ D L D L + ig µ + ig W 3 µ + ig Q L W µ 3 W µ 1 iw µ W µ 1 + iw µ W µ 3 6 B µ ig W + µ ig Wµ µ ig W µ 3 + ig 6 B µ en donde se usa la notación para los campos débiles cargados; UL D L W ± = W 1 iw 3.17 tomando la multiplicación matricial con la derivada covariante de forma explícita, tenemos; Q L id/ Q L = ŪLiγ µ µ + ig W µ 3 + ig 6 B g µ U L ŪL γ µ W µ + D L D L g γ µ W µ U L + D L iγ µ µ ig W 3 µ + ig 6 B µ D L 3.18 En la expresión anterior se puede analizar los términos de interacción fermiónica en el sector de los quarks izquierdos, por ejemplo se observa que la interacción entre quarks tipo up esta mediada por los bosones neutros. El desarrollo explícito para los demás términos, se muestra en el anexo A 3... Las corrientes electrodébiles; cargadas y neutras Retomando el Lagrangiano de Dirac eq sin considerar el sector leptónico, tenemos. L Q = Q L id/ Q L + ŪRiD/ U R + D R id/ D R 3.19 recordando que los estados de quarks tienen sus componentes sobre las tres familias fermiónicas, por ejemplo. u U R = c t R

38 3. El Sector Fermiónico haciendo la multiplicación matricial con la derivada covariante y tomando la notación de suma de Einstein, tenemos L Q = ŪLiγ µ µ + ig W µ 3 + ig 6 B µ U L ŪL g γ µ W µ + D L D L g γ µ W µ U L + D L iγ µ µ ig W 3 µ + ig 6 B µ + ŪRiD/ U R + D R id/ D R Dado que los términos de quiralidad derecha no acoplan con los bosones cargados del sector débil, no contribuyen a las corrientes cargadas y en el cambio de base las rotaciones se anulan, de manera que se enfoca el análisis sobre el término de quiralidad izquierda. Reemplazando los bosones de Gauge por los bosones físicos usando las relaciones.31 y.3, se obtiene. [ L QL = ŪLiγ µ µ + ig Aµ sin θ W + Z 0 ig µ cos θ W + Aµ cos θ W Z 0 ] µ sin θ W U L 6 g ŪL γ µ W µ + D L D g L γ µ Wµ U L [ + D L iγ µ µ ig Aµ sin θ W + Z 0 ig µ cos θ W + Aµ cos θ W Z 0 ] µ sin θ W D L 6 agrupando y reorganizando los términos, se obtiene; [ L QL = ŪLiγ µ µ + ig 4 3 A µ sin θ W + i g + g Z 0 µ 4 cos θ W 1 ] U L 6 [ + D L iγ µ µ ig 3 A µ sin θ W i g + g Z 0 µ cos θ W + 1 ] D L 6 g γ µ W µ + D L D g L γ µ Wµ U L + t.q R. ŪL reemplazando los estados base de los quarks por los estados de masa usando las relaciones 3.1, 3.13, 3.14 y 3.15 y reemplazando igualmente, las relaciones entre el ángulo de Weinberg y las cargas e = g sin θ W, g + g = g/ cos θ W, obtenemos. D L L QL = L K µ [ + Ū LS u iγµ i 3 ea µ + i 1 g Z 0 µ 4 cos θ W 1 ] S 6 cos θ u U L W [ + D LS d iγµ i 1 3 ea µ i 1 g Z 0 µ cos θ W + 1 ] S 6 cos θ d D L W Ū LS g u γ µ W µ + S d D L D LS g d γ µ Wµ S u U L

39 3.. El Lagrangiano de Dirac 3 En la expresión anterior se puede observar como aparece el valor de la carga asociado a los quarks tipo up y tipo down, mediados por el fotón y de igual manera esta la hipercarga en los términos de la interacción débil neutra. El Lagrangiano de Dirac en el sector de los quarks en los estados de masa, incluyendo los términos con quiralidad derecha, se pueden agrupar en 3 términos de la forma: L Q = L K µ + L NC A µ, Z 0 µ + L CC W + µ, W µ 3.0 donde, L K contiene los términos cinéticos, L NC contiene las corrientes neutras y L CC contiene las corrientes cargadas; Corrientes Neutras Tomando el desarrollo explícito para el término L NC, se obtiene; L NC = Ū L L NC = + D L + L NC = + [ [ [ [ iγ µ [ S u 1 S u i 3 ea µ + i 1 6 [ iγ µ Ū L Ū L Ū L Ū L g Z 0 µ 4 cos θ W 1 ] U L cos θ W S d 1 S d i 1 3 ea µ i 1 g Z 0 µ cos θ W + 1 ] D L 6 cos θ W ] e 3 U L + D L e 3 D L γ µ A µ ] 1 g 1 4 cos θ W U 6 cos θ L + D L 1 g 1 + cos θ W D W 6 cos θ L γ µ Zµ 0 W ] e 3 U L + D L e 3 D L γ µ A µ g 1 cos θ + 3 sin θ W U L + D L g 1 W cos θ W + 1 ] 3 sin θ W D L γ µ Zµ 0 en forma matricial usando los dobletes de quiralidad izquierda, tenemos; L NC = Q L + Q L [ τ 3 L NC = ej µ em A µ + eγ µ A µ Q L sin θ W ] g cos θ W γ µ Z 0 µq L g j µ cos θ 3 jµ em sin θ W Zµ W donde, j µ em, jµ 3, son las corrientes neutras; electromagnética y débil, correspondientemente, donde q i es el valor numérico de carga electromagnética, I 3 i es el isospín débil. Tomando los

40 4 3. El Sector Fermiónico términos de quiralidad derecha y usando la matriz γ 5 como proyector de quiralidad ecuaciones 1.6 y 1.7 ; Corrientes Cargadas j µ em = q i Q γ µ Q 3. j µ 3 = I 3 i El término para las corrientes cargadas queda de la forma; Q γ µ 1 ± γ5 Q 3.3 L CC = Ū LS g u γ µ W µ + S d D L D LS g d γ µ Wµ S u U L = g Ū L S u K S d γ µ W µ + D L g D L S d S K u γ µ Wµ U L L CC = g Ū LKγ µ W + µ D L g D L K γ µ W µ U L 3.4 donde K es la matriz de mezcla Cabbibo Kobayashi Maskawa CKM, que da cuenta de las mezclas de sabor entre quarks en el sector débil cargado. Podemos escribir L CC en términos de las corrientes cargadas de la forma: L CC = g j +µ W µ + + j µ W µ donde, j +µ, j µ, son las corrientes electrodébiles cargadas, que se toman como; 3.5 j +µ = Ū LKγ µ D L 3.6 j µ = D LK γ µ U L 3.7 finalmente se puede expresar en forma matricial, usando los dobletes del grupo SU, y tomando los términos de quiralidad derecha y usando los nuevamente los proyectores de quiralidad, obtenemos. j +µ = Q Kτ 1 + iτ γ µ 1 ± γ5 Q 3.8 j µ = Q K τ 1 iτ γ µ 1 ± γ5 Q 3.9

41 Capítulo 4 Mecanismo Kobayashi Maskawa Dado que las matrices de Yukawa ecuación 3.6 no son necesariamente diagonales, los campos espinoriales no son estados propios de la masa ya que los términos de masa; acoplan a una misma familia de quarks de diferente generación. Cuando se pasa a una base donde la matriz de masa de los quarks es diagonal, se obtiene la base para los quarks físicos, las corrientes cargadas ya no son diagonales, y por lo tanto los quarks tipo up y los quarks tipo down de distintas generaciones se mezclan[]. La matriz responsable de la mezcla en los quarks, es la matriz de Cabibbo Kobayashi Maskawa K CKM Reducción de fases en la matriz CKM La matriz de mezcla K CKM debe ser unitaria por definición, aunque no necesariamente hermítica; K = S u S d 4.1 En general K C, dado que las matrices de rotación pueden tener una fase compleja, de manera que se puede descomponer, sin perder generalidad de la forma, K = PRP 4. donde R es una matriz real y P, P son matrices de fase diagonales y unitarias; e iα R 11 R 1 R 13 e iβ K = 0 e iα 0 R 1 R R 3 0 e iβ e iα 3 R 31 R 3 R e iβ 3 5

42 6 4. Mecanismo Kobayashi Maskawa dado que K ij = R ij e iθ ij y θ ij = α i + β j. Como se observa en la expresión anterior, se tiene 9 parámetros reales y 6 parámetros de fase, con un total de 15 parámetros. No todas las fases complejas tienen un significado físico, algunas de ellas se pueden cancelar redefiniendo la base en los campos de quarks excepto para la corrientes cargadas, dado que este cambio no es invariante en la matriz K. En este caso, el Lagrangiano de Dirac es invariante ante rotaciones globales de fase compleja sobre los campos espinoriales y de igual manera con rotaciones locales de fase compleja[8], usando una matriz de fase diagonal P = Diage iδ 1, e iδ, e iδ 3, como se muestra a continuación; R. Global R. Local ψ ψ = e iδ ψ ψ ψ = Pψ L = ψid/ψ L = ψ id/ψ L = ψ id/ψ L = ψe iδ id/e iδ ψ L = ψp id/pψ L = ψ e iδ+iδ id/ψ L = ψ P PiD/ψ L = ψid/ψ L = ψid/ψ L = L L = L estas transformaciones deben mantener invariante los términos de las corrientes neutras y adicionalmente el Lagrangiano de Yukawa, por lo cual los espinores de quiralidad derecha deben transformar con la misma fase que su partícula de quiralidad izquierda de la misma generación. Expandiendo la expresión para la corriente cargada j + ecuación 3.9, se tiene; j µ + = γ µ ŪKD K 11 K 1 K 13 d = γ µ u c t K 1 K K 3 s K 31 K 3 K 33 b = γ µ [ uk11 d + uk 1 s + uk 13 b + ck 1 d + ck s + ck 3 b + tk 31 d + tk 3 s + tk 33 b ] rotando la base de manera local, podemos cancelar 5 fases de las 9 fases de la matriz, dejando 13 parámetros libres. Por ejemplo usando la transformación; U U k = e iδ k U k e iθ u U U = 0 e iθ 1 0 c e iθ 31 t

43 4.1. Reducción de fases en la matriz CKM 7 reemplazando en cada término, obtenemos; j + µ γ 1 µ = ue iθ 11 θ 11 R 11 d + ue iθ 11 K 1 s + ue iθ 11 K 13 b + ce iθ 1 θ 1 R 1 d + ce iθ 1 K s + ce iθ 1 K 3 b + te iθ 31 θ 31 R 31 d + te iθ 31 K 3 s + te iθ 31 K 33 b cancelando las fases y redefiniendo las fases en los demás términos obtenemos, j µ + γµ 1 = ur 11 d + uk 1s + uk 13b + cr 1 d + ck s + ck 3b + tr 31 d + tk 3s + tk 33b tomando β kl = θ kl θ k1, tenemos que la matriz CKM queda de la forma; K K 11 K 1 K 13 R 11 R 1 e iβ 1 R 13 e iβ 13 = K 1 K K 3 = R 1 R e iβ R 3 e iβ K 31 K 3 K 33 R 31 R 3 e iβ 3 R 33 e iβ 33 Finalmente se pueden absorber fases mas, redifiniendo los campos de s y b, con una transformación análoga para los quarks tipo down D D m = e iγm D m, donde γ 1 = 0, γ = β 1, γ 3 = β 13 tenemos, j + µ γ 1 µ = ur 11 d + ur 1 e iβ 1 β 1 s + ur 13 e iβ 13 β 13 b + cr 1 d + ck e iβ 1 s + ck 3e iβ 13 b + tr 31 d + tk 3e iβ 1 s + tk 33e iβ 13 b j µ + γµ 1 = ur 11 d + ur 1 s + ur 13 b + cr 1 d + ck s + ck 3b + tr 31 d + tk 3s + tk 33b tras estas transformaciones, se pudo reducir a un total de 13 parametros libres en la matriz CKM; 9 reales y 4 fases complejas con α ij = β ij β 1j ; Ahora bien, como K es unitaria, se cumple: R 11 R 1 R 13 K = K = R 1 R e iα R 3 e iα R 31 R 3 e iα 3 R 33 e iα 33

44 8 4. Mecanismo Kobayashi Maskawa PR 1 P P R T P = 1 KK = PRR T P = 1 P PRR T P P = P P RR T = 1 R es ortogonal. 4.8 para satisfacer la unitariedad KK = 1 se deben cumplir las siguientes relaciones; K 11 + K 1 + K 13 = K 1 + K + K 3 = K 31 + K 3 + K 33 = K 11 K1 + K 1 K + K 13 K3 = K 1 K11 + K K1 + K 3 K13 = K 11 K31 + K 1 K3 + K 13 K33 = K 31 K11 + K 3 K1 + K 33 K13 = K 1 K31 + K K3 + K 3 K33 = K 31 K1 + K 3 K + K 33 K3 = cumpliendo la unitariedad por la expresión adjunta K K = 1 se tiene; K 11 + K 1 + K 31 = K 1 + K + K 3 = K 13 + K 3 + K 33 = K 11 K 1 + K 1 K + K 31 K 3 = K 1 K 11 + K K 1 + K 3 K 31 = 0 4. K 11 K 13 + K 1 K 3 + K 31 K 33 = K 13 K 11 + K 3 K 1 + K 33 K 31 = K 1 K 13 + K K 3 + K 3 K 33 = K 13 K 1 + K 3 K + K 33 K 3 = sin embargo, solo hay 9 ecuaciones independientes; las 6 ecuaciones unitarias ec,4.9, 4.10, 4.11, 4.18, 4.19, 4.0, y 3 ecuaciones independientes con términos de fase. En resumen se tiene 13 parámetros con 9 ecuaciones, luego es posible obtener distintas parametrizaciones, por ejemplo con tres ángulos y una sola fase, como se muestra en la siguiente sección.

45 4.. Parametrización KM Parametrización KM En la parametrización, propuesta por Kobayashi y Maskawa[18] se usaron tres ángulos; θ 1, θ, θ 3 de la siguiente forma; tomando las ecuaciones 4.9 y 4.18, tenemos; R 11 = cos θ cos θ 1 + R 1 + R 13 = 1 cos θ 1 + R 1 + R 31 = 1 de manera que R 1 + R 13 = sin θ 1, R 1 + R 31 = sin θ 1, por lo tanto podemos introducir otros dos ángulos; R 1 = sin θ 1 cos θ, R 31 = sin θ 1 sin θ 4.8 R 1 = sin θ 1 cos θ 3, R 13 = sin θ 1 sin θ tomando la convención cos θ i = c i, sin θ i = s i, podemos introducir ahora una única fase δ en los demás términos de la matriz, tal que cumpla las demás relaciones de unitariedad, de la forma; R = c 1 c c 3 s s 3 e iδ, R 3 = c 1 c s 3 + s c 3 e iδ 4.30 R 3 = c 1 s c 3 + c s 3 e iδ, R 33 = c 1 s s 3 c c 3 e iδ 4.31 por ejemplo reemplezando en la ecuación 4.1, obtenemos; 0 = R 11 R 1 + R 1 R e iα + R 13 R 3 e iα 3 = c 1 s 1 c s 1 c 3 c 1 c c 3 s s 3 e iδ e iα s 1 s 3 c 1 c s 3 + s c 3 e iδ e iα 3 = c 1 s 1 c s 1 c 1 c c 3e iα + s 1 c 3 s s 3 e iδ e iα s 1 c 1 c s 3e iα 3 s 1 s 3 s c 3 e iδ e iα 3 0 = s 1 c 1 c 1 c 3 e iα s 3e iα 3 + s 1 s s 3 c 3 e iδ e iα e iα como la expresión 4.3, se debe cumplir para cualquier valor de θ 1, θ, θ 3 y δ, podemos tomar θ 1 = π/ c 1 = 0, cancelando el primer término, tenemos entonces; s s 3 c 3 e iδ e iα e iα 3 = 0 e iα e iα 3 = 0 e iα = e iα 3 α = α 3

46 30 4. Mecanismo Kobayashi Maskawa de manera análoga, obtenemos relaciones de igualdad para las demás fases como se muestra en el anexo B, en donde se obtiene que; α = α 3, α 3 = α 33, α α 3 = α 3 α 33 α = α 3, α 3 = α 33, α α 3 = α 3 α 33 α = α 3 = α 3 = α 33 = 0 reemplazando en la ecuación 4.6, obtenemos finalmente que la matriz CKM se puede parametrizar en la forma; c 1 s 1 c 3 s 1 s 3 K KM = s 1 c c 1 c c 3 s s 3 e iδ c 1 c s 3 + s c 3 e iδ 4.33 s 1 s c 1 s c 3 + c s 3 e iδ c 1 s s 3 c c 3 e iδ Hay que notar que la matriz de mezcla propuesta por Kobayashi y Maskawa se puede descomponer como el producto de tres matrices de rotación unitarias y una componente de fase Violación CP c 1 s K KM = 0 c s s 1 c c 3 s 3 0 s c 0 0 e iδ 0 s 3 c 3 K KM = R 3 θ R 1 θ 1, δr 3 θ El sector de quarks del modelo electrodébil con tres familias de fermiones se compone de diez parámetros libres: 6 masas de los quarks M u y M d y 4 parámetros asociados a la matriz de mezcla K CKM por la diagonalización de las matrices de masa. Estas relaciones no estarían subyacentes en un modelo mas fundamental que el modelo estándar[5]. En el modelo estándar, las condiciones para la violación CP 1 se pueden expresar en términos de cualquiera de los parámetros libres. En la parametrización de la matriz de mezcla se pueden absorber todas las fases, excepto una con que da cuenta del proceso de violación CP en la interacción débil. Una forma de observar esta relación, es tomando un conjunto de partículas fermiónicas a y b, y sus correspondientes antipartículas ã y b. Consideremos ahora los procesos; a b y el correspondiente proceso de su antipartícula ã b, con amplitudes de transición dadas por M y M[14]. De 1 La simetría CP se refiere a la simetría C de carga, donde las leyes de la física serian invariantes ante un cambio de carga electromagnética y la simetría P de paridad dejaría invariante las leyes de la física bajo inversiones especulares, o el intercambio de quiralidad, experimentalmente se ha encontrado que estas simetrías se violan en la interacción débil

47 4.3. Violación CP 31 no haber violación CP, estos términos tendrían la misma fase compleja. Si un término de fase e iδ se introduce a partir por la matriz CKM, se obtendría; M = M e iθ+iδ 4.35 M = M e iθ iδ 4.36 dado que las tasas de reacción propuestas son proporcionales a M se tiene una diferencia de fases para las reacciones propuestas; M M = 4 M 1 M sinθ 1 θ sinφ 1 φ 4.37 debido a que las fases son diferentes para los procesos entre partículas y sus correspondientes antipartículas, se viola la simetría CP. Una condición para la violación en términos de las matrices de masa es; ImM uij M dij 0 para i, j = 1,, 3 y i j Invariante de Jarlskog La medida mas apropiada que da cuenta de la violación CP, es el invariante de Jarlskog que se obtiene a partir de la unitariedad de la matriz CKM, que se denota como J, dado que los efectos de la violación CP son proporcionales a este parámetro. El invariante de Jarlskog es independiente de la parametrización usada sobre la matriz CKM[5, 31]. En términos de las componentes de la matriz CKM, éste parámetro se define como; ImK iα K jβ K iβ K jα = J k,γ ε ijk ε αβγ 4.39 donde i, j, k son los subíndices que recorren los quarks tipo up, mientras que los subíndices α, β, γ, recorren los quark tipo down, y ε es el tensor de Levi-Civita. Tomando, i = 1, j =, α =, β = 3, la expresión 4.39, se reduce a; J = ImK 1 K 3 K 13K J = ImK us K cb K ub K cs 4.40 por ejemplo en el caso de la parametrización de Kobayashi Maskawa el invariante queda de la forma; J = s 1s s 3 c 1 c c 3 sin δ 4.41

48 3 4. Mecanismo Kobayashi Maskawa 4.4. Parametrizaciones de la matriz CKM Otras paremetrizaciones que se encuentran en la literatura, adicional a la parametrización de Kobayashi Masakawa, pueden presentar algunas ventajas de calulo numérico o de interpretación conceptual Parametrización Chau-Keng Estándar Otra parametrización importante, es la parametrización estandar, propuesta por Chau Keng[7], que tiene como ventaja que esta parametrizada en los tres angulos de euler de rotación θ 1, θ 3, θ 13 y la fase de violación CP. c 1 c 13 s 1 c 13 s 13 e iδ K est. = s 1 c 3 c 1 s 3 s 13 e iδ c 1 c 3 s 1 s 3 s 13 e iδ s 3 c s 1 s 3 c 1 c 3 s 13 e iδ c 1 s 3 s 1 c 3 s 13 e iδ s 3 c 13 al igual que la parametrización de Kobayashi-Maskawa, la matriz estándar, también se puede descomponer como el producto de matrices de rotación unitarias[9] y una matriz de fase; e iδ 0 0 c 13 0 s 13 e iδ 0 0 c 1 s 1 0 K est. = 0 c 3 s s 1 c s 3 c s 13 0 c K est. = R 3 θ 3 δ, 1, 1R 13 θ 13 δ, 1, 1R 1 θ El invariante de Jarlskog para esta parametrización queda en la forma; J = c 13c 1 c 3 s 1 s 3 s 13 sin δ 4.44 Los valores experimentales dados por el Particle Data Group[6] en esta parametrización, son: θ 1 = 13,04 ± 0,05, θ 13 = 0,01 ± 0, Parametrización Wolfenstein θ 3 =,38 ± 0,06, δ = 1,0 ± 0,08rad 4.46 Otra parametrización propuesta por Wolfenstein, basada en la expansión jerárquica, expresa cada término como una expansión en serie de potencias del parámetro λ[35]. En una primera aproximación hasta el orden λ 3. Tiene como ventaja el calculo experimental de cada parámetro. 1 1 λ λ Aλ 3 ρ iη K Wolf = λ 1 1 λ Aλ + Oλ Aλ 3 1 ρ iη Aλ 1

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