7Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 159

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1 7Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 159 Pág. 1 S istemas de ecuaciones. Resolución gráfica + y = 1 Representa estas ecuaciones: y = 1 a) Escribe las coordenadas del punto de corte. b)escribe la solución del sistema que forman ambas ecuaciones. y = y= 1 X 0 4 Y X 0 4 Y 1 1 y = 1 y = a) Punto de corte: (, 1). b) Solución del sistema: =, y = 1. Repite el ejercicio anterior para estas ecuaciones: y = y = 1 4 y = +4y = 1 X Y 0 4 X Y 4 1 y = 1 y = 4 a) Punto de corte: (4, ). b) Solución del sistema: = 4, y =.

2 7Soluciones a los ejercicios y problemas Resuelve gráficamente. + y = 1 y = 4 a) b) y = 5 y = Pág. a) y = 1 y = +5 X Y X Y y = y = 1 Solución del sistema: = 1, y =. b) y = 4 y = + X 4 0 Y 4 1 X 4 0 Y 9 9 y = + 4 y = Solución del sistema: =, y =.

3 7Soluciones a los ejercicios y problemas 4 Observa el gráfico y responde. Pág. + y = 10 y + 15 = 0 y + 1 = 0 y = a) Escribe un sistema cuya solución sea =, y = 4. b)escribe un sistema cuya solución sea = 0, y = 5. c) Escribe un sistema sin solución. +y = 10 + y = 10 y + 15 = 0 a) b) c) y = y + 15 = 0 y + 1 = 0 S istemas de ecuaciones. Resolución algebraica 5 Resuelve por sustitución despejando la incógnita más adecuada. +y = y = 7 a) b) 5 y = y = 1 +4y = 1 5 y = 5 c) d) y = 7 4 y = y = 5 a) = 1; y = + (5 ) = = 7 + y b) y = 1; = 5 (7 + y) y = 1 = 1 4y c) y = 1; = (1 4y) y = 7 y 5 = 5 d) y = 5; = y 5 4 y = 5

4 7Soluciones a los ejercicios y problemas 6 Resuelve por igualación. y = 5 + y 7 = 0 a) b) y = 5 1 y + = 0 Pág. 4 y = 5 +y = 1 c) d) +5y = y = 0 a) 5 = 5 1 = ; y = 11 b) = 7 y = y 7 y = y y = 5; = c) = + y 10 5y = 10 5y + y = y = 1; = d) y = 7 y = 1 5 = 7 = ; y = 7 7 Resuelve por reducción. + y = 6 a) 5 y = 1 +4y = 1 b) y = 11 +y = c) 4 y = 5y = 9 d) y = 5 a) + y = 6 b) +4y = 1 5 y = 1 + y = 11 7 = 7 = 1 5y = 10 y = 1 + y = 6 y = ( ) = 1 = c) + y = d) 6 10y = 1 1 y = y = = 14 = 1 y = y = 1 + y = y = 6 10 ( ) = 1 =

5 7Soluciones a los ejercicios y problemas Resuelve por el método que te parezca más adecuado. y = + + y = 4 +y = 5 a) b) c) y = y = 1 y = 5 y = 1 6 y = 0 7 5y = 10 d) e) f) 5 +y = 9 5y = 1 y = 5 Pág. 5 a) Sustitución: b) Reducción: ( + 10) = + = 4 + y = 1 y = ( 4) + 10 y = y = 4 = + y = 1 y = 7 c) Sustitución: d) Reducción: = 5 y 6 y = ( 5 y) y = 5 y = 5 + y = 9 = 5 ( ) = 1 11 = 11 = y = 9 y = e) Reducción: f) Igualación: 6 y = y = 4 y = 4 y = 6 ( ) = 0 = 1 9 Resuelto en el libro de teto y = y = y 5 y = 5 y 5 7 = = = 5 7 PÁGINA Resuelve los siguientes sistemas: 5( + 1) = 4( y) 1 ( + y) + = 4( +1) a) b) y +5 6( ) + y = (y 1) + = 4 y 5 = 0 c) y + = y 4 + y = 4 = + y = = 1 y = a) b) c) = 6 6 y = 1 y = 1 y = 10 y = 4 y = 0 y =

6 7Soluciones a los ejercicios y problemas P roblemas para resolver con sistemas de ecuaciones Pág La suma de dos números es 57, y su diferencia, 9. Cuáles son esos números? + y = 57 = y = 9 y = 4 Los números son y 4. 1 Calcula dos números sabiendo que su diferencia es 16 y que el doble del menor sobrepasa en cinco unidades al mayor. y = 16 = 7 y = +5 y = 1 Los números son 7 y 1. 1 Calcula dos números sabiendo que: El primero sobrepasa en 4 unidades a la mitad del segundo. El segundo sobrepasa en 7 unidades a la mitad del primero. y = +4 y = +7 = 10 y = 1 Los números son 10 y La suma de dos números es 7, y al cuádruplo del menor le faltan dos unidades para alcanzar al triple del mayor. Cuáles son esos números? + y = 7 = = y y = 4 Los números son 1 y Entre Alejandro y Palmira llevan 15 euros. Si él le diera a ella 1,50, ella tendría el doble. Cuánto lleva cada uno? Alejandro Palmira y + y = 15 = 6,5 ( 1,5) = y + 1,5 y =,5 Alejandro tiene 6,50, y Palmira,,50.

7 7Soluciones a los ejercicios y problemas 16 Un ciclista sube un puerto y, después, desciende por el mismo camino. Sabiendo que en la subida ha tardado minutos más que en la bajada y que la duración total del paseo ha sido de 7 minutos, cuánto ha tardado en subir? Y en bajar? Tiempo de subida Tiempo de bajada y + y = 7 = 55 = + y y = La subida ha durado 55 minutos, y la bajada, minutos. Pág En cierta cafetería, por dos cafés y un refresco nos cobraron el otro día,70. Hoy hemos tomado un café y tres refrescos y nos han cobrado 4,10. Cuánto cuesta un café? Y un refresco? Coste del café Coste del refresco y + y =,70 = 0,0 + y = 4,10 y = 1,10 Un café cuesta 0,0, y un refresco, 1,10. 1 Un puesto ambulante vende los melones y las sandías a un tanto fijo la unidad. Andrea se lleva 5 melones y sandías, que le cuestan 1. Julián paga 1 por melones y cuatro sandías. Cuánto cuesta un melón? Y una sandía? Coste de un melón Coste de una sandía y 5 + y = 1 = + 4y = 1 y = 1,5 Un melón cuesta y una sandía 1,5. 19 Un fabricante de jabones envasa 550 kg de detergente en 00 paquetes, unos de kg y otros de 5 kg. Cuántos envases de cada clase utiliza? Envases de kg Envases de 5 kg y + y = 00 = y = 550 y = 50 Utiliza 150 envases de kg y 50 envases de 5 kg.

8 7Soluciones a los ejercicios y problemas 0 Una tienda de artículos para el hogar pone a la venta 100 juegos de cama a 70 el juego. Cuando lleva vendida una buena parte, los rebaja a 50, continuando la venta hasta que se agotan. La recaudación total ha sido de Cuántos juegos ha vendido sin rebajar y cuántos rebajados? Juegos sin rebaja Juegos con rebaja y + y = 100 = y = y = 0 Ha vendido 0 juegos de cama sin rebaja y 0 con rebaja. Pág. 1 Un frutero pone a la venta 0 kg de cerezas. Al cabo de unos días ha vendido la mayor parte, pero considera que la mercancía restante no está en buenas condiciones y la retira. Sabiendo que por cada kilo vendido ha ganado 1, que por cada kilo retirado ha perdido y que la ganancia ha sido de 56, cuántos kilos ha vendido y cuántos ha retirado? Kilos vendidos Kilos retirados y + y = 0 = 7 y = 56 y = Ha vendido 7 kilos y ha retirado. En el zoo, entre búfalos y avestruces hay 1 cabezas y 4 patas. Cuántos búfalos son? Y avestruces? Búfalos Patas de búfalo 4 Búfalos Avestruces y + y = 1 = y = 4 y = 7 Hay 5 búfalos y 7 avestruces. Avestruces y Patas de avestruz y PÁGINA 161 En una granja, entre gallinas y conejos se cuentan 17 cabezas y patas. Cuántas gallinas y cuántos conejos hay en la granja? Gallinas Conejos y + y = 17 = 5 + 4y = y = 4 Hay 5 gallinas y 4 conejos.

9 7Soluciones a los ejercicios y problemas 4 Rosendo tiene en el bolsillo 1 monedas, unas de 0 céntimos y otras de 50 céntimos. Si en total tiene,0 euros, cuántas monedas de cada tipo lleva? Monedas de 0 céntimos Monedas de 50 céntimos y + y = 1 = y = 0 y = Tiene 9 monedas de 0 céntimos y monedas de 50 céntimos. Pág. 9 5 Cristina tiene el triple de edad que su prima María, pero dentro de diez años solo tendrá el doble. Cuál es la edad de cada una? = y = = (y + 10) y = 10 Cristina tiene 0 años, y María, 10 años. HOY DENTRO DE 10 AÑOS CRISTINA +10 MARÍA y y El doble de la edad de Javier coincide con la mitad de la edad de su padre. Dentro de cinco años, la edad del padre será tres veces la de Javier. Cuántos años tiene hoy cada uno? EDAD HOY EDAD DENTRO DE 5 AÑOS JAVIER +5 EL PADRE y y + 5 y = ( + 5) = y +5 = 10 y = 40 Javier tiene 10 años, y su padre, La base de un rectángulo es cm más larga que la altura, y el perímetro mide 4 cm. Calcula las dimensiones del rectángulo. y y = = 14,5 + y + + y = 4 y = 6,5 El rectángulo mide 14,5 cm Ò 6,5 cm. Diferencia entre los lados: y = Perímetro: + y + + y = 4

10 7Soluciones a los ejercicios y problemas Para cercar una parcela rectangular, 5 metros más larga que ancha, se han necesitado 10 metros de alambrada. Calcula las dimensiones de la parcela. = y + 5 +y = 10 = 65 y = 40 y y Pág. 10 La parcela tiene unas dimensiones de 65 m de largo Ò 40 m de ancho. 9 Un concurso televisivo está dotado de un premio de 000 para repartir entre dos concursantes. El reparto se hará en partes proporcionales al número de pruebas superadas. Tras la realización de estas, resulta que el primer concursante ha superado cinco pruebas, y el segundo, siete. Cuánto corresponde a cada uno? El primer concursante se lleva El segundo concursante se lleva y Entre los dos se llevan + y El premio conseguido es proporcional al número de pruebas superadas /5 = y/7 + y = 000 y = 5 7 = 1 50 y = El primer concursante se lleva 1 50,y el segundo, Qué cantidades de aceite, uno puro de oliva, a /litro, y otro de orujo, a /litro, hay que emplear para conseguir 600 litros de mezcla a,40 /litro? Aceite de oliva litros Aceite de orujo y litros + y = 600 = 40 +y = 600,40 y = 60 Hay que emplear 40 litros de aceite de oliva y 60 litros de aceite de orujo. 1 Un ciclista sale de paseo y recorre un tramo de carretera, cuesta arriba, a km/h. Después, sigue llaneando, a 0 km/h, hasta que llega a su destino. Si el paseo ha durado h, y la velocidad media resultante ha sido de 16 km/h, cuánto tiempo ha invertido en cada tramo? Tiempo de subida Tiempo en llano y Tiempo total h Distancia en subida Distancia en llano 0y Distancia total 16 = 4 km + 0y = 4 = 1 + y = y = Ha subido durante una hora y ha llaneado durante dos horas.

11 7Soluciones a los ejercicios y problemas Dos ciudades, A y B, distan 70 km. En cierto momento, un coche parte de A hacia B a 110 km/h, y, a la vez, sale de B hacia A un camión a 70 km/h. Qué distancia recorre cada uno hasta que se encuentran? La suma de las distancias es 70 + y = 70 Los tiempos invertidos por el coche y el camión, hasta el encuentro, son iguales /110 = y/70 Pág y = 70 y = = 165 y = 105 El coche recorre 165 km, y el camión, 105 km. Un camión parte de cierta población a 90 km/h. Diez minutos después, sale un coche a 110 km/h. Calcula el tiempo (t) que tarda en alcanzarle y la distancia recorrida desde el punto de partida. = 110 t 1 = 90 ( ) t + 6 distancia = velocidad tiempo Le alcanza en tres cuartos de hora, tras recorrer,5 km. 4 Un peatón sale de A hacia B caminando a una velocidad de 4 km/h. Simultáneamente, sale de B hacia A un ciclista a 17 km/h. Si la distancia entre A y B es de 7 km, cuánto tardarán en encontrarse y a qué distancia de A lo hacen? Distancia desde A del peatón Distancia desde A del ciclista 7 Tiempo t = t 4 7 = t 17 Tardan 1 1 t = 4 = h = 0 min en encontrarse. El encuentro se produce a DISTANCIA VELOCIDAD TIEMPO COCHE 110 t CAMIÓN 70 t + 10/60 t = 4 =,5 4 km 1 km m del punto de partida, A, del peatón.

12 7Soluciones a los ejercicios y problemas 5 Cuánto cuesta el frasco de zumo? Y el tarro de mermelada? Y la caja de galletas? Pág. 1 Z + M = Z + G = 4 M + G = 5 Z + M = Z + G = 4 M + G = 5 Z = M ( M)+G = 4 M + G = 5 G M = 1 G + M = 5 G = M = Z = 1 El zumo cuesta 1, el tarro de mermelada,, y la caja de galletas,.

13 7Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 14 Pág. 1 En esta unidad vas a trabajar con ecuaciones de dos incógnitas. Varias de esas ecuaciones forman un sistema. Los sistemas de ecuaciones te servirán, también, para resolver problemas. AÑOS ESTAMOS HECHOS UNOS CHAVALES. ENTRE LOS DOS, 150 AÑOS. y AÑOS SÍ, RAIMUNDO, PERO YO SIGO SIENDO 6 AÑOS MÁS JOVEN QUE TÚ. + y = 150 y = 6 10 kg + = 10 + = 1 1 kg a b a + b = 10 a + b = 1 1 a) Calcula la edad de cada uno de los personajes que charlan en el parque. b) Qué valores de e y cumplen simultáneamente estas dos igualdades?: + y = 150 y = 6 a) Edad del abuelo: 7 años. Edad de la abuela: 7 años. b) = 7; y = 7

14 7Soluciones a las actividades de cada epígrafe a) Observa las balanzas. Cuánto pesa la esfera? Y la pirámide? b) Qué valores deben tomar a y b para que estas igualdades sean ciertas?: Pág. a + b = 10 a + b = 1 a) La esfera pesa kg, y la pirámide, 6 kg. b) a = ; b = 6 PÁGINA 149 ANTES DE COMENZAR, RECUERDA 1 Dados M = + y y N = y, calcula. a) M + N y M N b)m y N c) M + N y M N a) M + N = y; M N = +y b) M = 4 + y; N = 4y c) M + N = 5 + y; M N = 5y Calcula el valor numérico de las epresiones siguientes: a) 4 5, para = 1 b) + 1, para = 1 6 c) +5, para = d) 4, para = 6 a) = 1 b) = 6 c) + 5 = 1 d) 4 = 1 6 Suprime denominadores. a) y = b) a b = a) 1 y = 1 ( 6 y = 9 ) 4 b) 0 a b ) = 0 c ( 6a 5b = c c 5

15 7Soluciones a las actividades de cada epígrafe 4 Despeja en cada una de las igualdades siguientes: a) + 5y = 6 b) y = c) y = + y a) = 6 5y b) = c) = 9 + y 6 4 Pág. PÁGINA Averigua cuáles de los siguientes pares de valores son soluciones de esta ecuación: 4y = = 4 = = 0 a) b) c) y = 1 y = y = = 1 = 4 = d) e) f) y = 1 y = 5 y = 1/4 Son soluciones de la ecuación: a) = c) 0 4 ( ) = e) ( 4) 4 ( 5) = f) 4 1 = 4 Busca tres soluciones diferentes de esta ecuación: y = 5 Por ejemplo: X Y Completa la tabla con soluciones de esta ecuación: + y = 1 X Y X Y

16 7Soluciones a las actividades de cada epígrafe 4 Reduce a la forma general las siguientes ecuaciones: a) 5 = y b)y = +1 c) = ( + y) d) y = 1 5 a) y = 5 b) y = 1 c) +y = d) 5y = Pág. 4 PÁGINA Para cada ecuación, completa la tabla siguiente y represéntala: a) y = 0 y = X b) y = y = Y a) b) X X Y Y Representa gráficamente. a) y = 1 b) + y = 1 c) y = + d)y = 1 e) +y = f) y = 0 a) y = 1 X 0 Y 5 1

17 7Soluciones a las actividades de cada epígrafe b) y = 1 Pág. 5 X 0 Y 5 1 c) y = + X 0 Y 4 d) y = 1 X 0 Y 1 0 e) y = X 0 Y 1 0 f) y = X 0 Y 1 1

18 7Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 15 Pág. 6 1 Representa gráficamente y escribe la solución. + y = 4 y = + / a) b) y = y = 4 / a) y = 4 X Y y = 4 X y = Y Solución: = ; y = 1 X 0 4 b) y = + Y 1 4 y = y = 4 y = 4 X 0 4 Y 5 4 y = + Solución: = ; y = Resuelve gráficamente. y = y 6 = 0 a) b) + y = 0 + y + = 0 a) y = y = X Y X Y y = Solución: = 1; y = y = b) y = 6 X 0 Y y = y = X 0 Y 6 y = Solución: = 0; y =

19 7Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 15 Pág. 7 1 Resuelve por sustitución y comprueba que obtienes las soluciones que se adjuntan abajo. y = = y a) b) y = +y = 10 y = +1 y = 5 c) d) y = 7 4 y = 9 SOLUCIONES a) = b) = 4 c) = 9 d) = y = y = y = 10 y = 1 a) y y = y = ; = b) y +y = 10 y = ; = 4 c) ( + 1) = 7 = 9 y = = 10 d) 4 ( 5) = 9 = y = 5 = 1 Resuelve por sustitución y comprueba las soluciones que se ofrecen. +y = 11 y = 1 a) b) y = 5 5 y = 0 +y = 1 y = c) d) +y = 4 7 y = 5 SOLUCIONES a) = b) = c) = 5 d) = 1 y = 4 y = 5 y = y = 4 a) = 11 y (11 y) y = 5 y = 4 = 11 4 = b) y = 1 5 ( 1) = 0 = y = 1 y = 5 c) = 1 y (1 y)+y = 4 y = = 1 ( ) = 5 d) = + y 7 ( + y) y = 5 y = 4 = + ( 4) = 1

20 7Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 154 Pág. Resuelve por igualación y comprueba que obtienes las soluciones que se adjuntan. = y y = a) b) = y 10 y = y = + y + 6 = 0 c) d) y = 5 y + 1 = 0 SOLUCIONES a) = 5 b) = c) = 5 d) = 1 y = 5 y = 6 y = 1 y = 4 a) y = y 10 y = 5; = 5 b) = 5 4 = y = y = 6 c) = y = +y y = + y y = 1 = ( 1) = 5 d) y = 6 y = = = 1 y = 5 ( 1) + 1 = 4 4 Resuelve por igualación y comprueba las soluciones que se ofrecen. y = 10 y = 1 a) b) +y = 7 y = y = 0 y = c) d) + y = 1 4 y = 7 SOLUCIONES a) = 4 b) = 1 c) = d)sin solución. y = 1 y = y = 5 a) b) = 1 + y 4 + y = c) 10 + y = = 7 y 5 y = y = 1 d) y = 4 7 y = 10 + y = 7 y y = 1 = 7 1 = y 1 + y = y = = 1 = 1 5 = 1 = y = 1 ( ) = 5 = 4 7 Sin solución.

21 7Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 155 Pág. 9 5 Resuelve por reducción sumando o restando directamente las ecuaciones. +y = y = 17 a) b) y = y = a) = = 4 b) y = 9 y = 6y = 6 y = = = 1 6 Resuelve por reducción siguiendo las instrucciones. 4 + y = 1 a) (Multiplica la 1. a ecuación por +). y = 10 + y = 7 b) 5y = 1 a) 1 + y = y = 10 (Multiplica la 1. a ecuación por +5, y la. a, por +). 1 = 1 = 1; y = y = b) y = y = 19 = = ; y = 5 y = 1 7 Resuelve por el método de reducción y comprueba las soluciones. +y = +y = 1 a) b) y = 4 5y = 9 5 +y = 1 +7y = c) d) +y = 7 5 y = 1 SOLUCIONES a) = b) = 1 c) = d) = y = y = 1 y = 1 y = a) +y = b) 4 6y = 6 y = y = 9 7 = 14 = 11y = 11 y = 1 + y = y = = 9 = 1 c) y = 4 d) 6 + 1y = 4 9 6y = 1 = 5 1y = y = 4 y = 1 41 = 1 = 6 + 1y = 4 y =

22 7Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 156 Pág En una clase hay 9 alumnos y alumnas, pero el número de chicas supera en tres al de chicos. Cuántos alumnos y cuántas alumnas hay en la clase? CHICOS CHICAS y CHICOS + CHICAS = 9 CHICAS = CHICOS + + y = 9 y = + = 1 y = 16 En la clase hay 1 chicos y 16 chicas. La suma de dos números es 1, y el triple del menor supera en una unidad al doble del mayor. Cuáles son esos números? N. MENOR N. MAYOR y MENOR + MAYOR = 1 TRIPLE DEL MENOR = DOBLE DEL MAYOR y = 1 = y +1 = 5 y = 7 Los números son 5 y 7. PÁGINA 157 He comprado tres bolígrafos y un rotulador por 6. Mi amiga Rosa ha pagado 9,5 por dos bolígrafos y tres rotuladores. Cuánto cuesta un bolígrafo? Y un rotulador? 6 9,5 + y = 6 + y = 9,5 = 1,5 y =,5 Un bolígrafo cuesta 1,5, y un rotulador,,5.

23 7Soluciones a las actividades de cada epígrafe 4 En la frutería, un cliente ha pagado,90 por un kilo de naranjas y dos de manzanas. Otro cliente ha pedido tres kilos de naranjas y uno de manzanas, y ha pagado 5,70. Cuánto cuesta un kilo de naranjas? Y uno de manzanas? Pág y 1y,90 5,70 +y =,9 + y = 5,70 = 1,5 y = 1, Un kilo de naranjas cuesta 1,5, y uno de manzanas, 1,. PÁGINA 15 5 Qué cantidades de café, uno de calidad superior, a 1 /kg, y otro de calidad inferior, a /kg, hay que utilizar para conseguir 0 kg de mezcla que resulte a 10 /kg? CANTIDAD (kg) PRECIO ( /kg) COSTE ( ) CAFÉ SUPERIOR 1 1 CAFÉ INFERIOR y y MEZCLA y = 0 1 +y = 00 = 1 y = 1 Se necesitan 1 kg del café de calidad superior y 1 kg del de calidad inferior. 6 Qué cantidades de oro, a /gramo, y de plata, a 1,7 /gramo, se necesitan para obtener 1 kg de aleación que resulte a 4, /gramo? CANTIDAD (g) PRECIO ( /g) COSTE ( ) ORO PLATA y 1,7 1,7y ALEACIÓN , y = ,7y = 4 0 = 400 y = 600 Se necesitan 400 g de oro y 600 g de plata.