Lección 5. INTEGRALES MÚLTIPLES

Transcripción

1 Mtemátis III (GITI, ) Leión 5. INTEGRALES MÚLTIPLES 1. INTEGRALES OBLES Ls integrles dobles y triples integrles de funiones de dos o tres vribles son un generlizión nturl de ls integrles de funiones de un vrible. L ide subyente es l mism: dd un funión definid sobre un ierto onjunto, primero prtimos este onjunto en trozos pequeños; luego tommos un vlor representtivo de l funión en d uno de los trozos y hllmos l sum ponderd de dihos vlores, o se, l sum de dihos vlores multiplidos por l medid del trozo orrespondiente (su longitud en el so de un vrible, su áre en el so de dos y su volumen en el so de tres); finlmente, hllmos el vlor límite de ess sums ponderds undo los trozos de l prtiión se hen rbitrrimente pequeños. n ejemplo es el álulo de un volumen medinte un proeso de pso l límite en el que en d etp se luln volúmenes de figurs elementles. En est leión definiremos ls integrles múltiples y estudiremos ls ténis pr lulrls: su reduión l álulo de vris integrles de un vrible y los mbios de vribles. Integrl doble. Se R = [, b [, d un retángulo en R 2 y se f: R R un funión ontinu. ividiendo el intervlo [, b en m subintervlos igules y el intervlo [, d en n subintervlos igules, genermos un prtiión P de R en m n subretángulos R ij (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n). Sólido limitdo por z = f(x, y) sobre R y sum de Riemnn (m = 5, n = 9). Ahor elegimos en d subretángulo R ij un punto representtivo (x i, y j ) y, denotndo por áre(r ij ) el áre de R ij, formmos l sum de Riemnn de f on respeto P dd por m i=1 j=1 n f(x i, y j )áre(r ij ). Si f es positiv, el sumndo f(x i, y j )áre(r ij ) es el volumen de un prlelepípedo de bse R ij y ltur z ij = f(x i, y j ), que orresponde un punto de l superfiie de euión z = f(x, y). Así que l sum de Riemnn es un proximión l volumen limitdo por dih superfiie sobre R y l ide es que unto más finemos l prtiión más nos erremos diho volumen. 71

2 72 Mtemátis III (GITI, ) sndo l ontinuidd se prueb que existe un vlor l que tienden ls sums de Riemnn undo el tmño de los subretángulos tiende ero. Este vlor es l integrl doble de f sobre R y se denot por m n f(x, y) da = f(x i, y i )áre(r ij ). ( da se lee diferenil de áre.) R lím m,n i=1 j=1 Sums de Riemnn pr diferentes prtiiones. Cundo f es positiv, l integrl doble de f sobre R es, omo nos indi l intuiión geométri, el volumen del sólido limitdo por l superfiie de euión z = f(x, y) sobre el retángulo R. Integrles iterds. Al igul que on ls integrles de un vrible, plir l definiión pr lulr un integrl doble suele ser imposible. Allí se us l regl de Brrow, vmos ver que el proedimiento quí es reduir un integrl doble dos integrles de un vrible, o se, dos pliiones de l regl de Brrow. Se f: R R un funión ontinu en el retángulo R = [, b [, d. Pr d x [, b podemos onsiderr l funión de l vrible y que se obtiene mnteniendo l x onstnte e integrr dih funión en [, d, es deir, lulr d f(x, y) dy que se llm integrl pril on respeto y. Integrles priles. L integrl d f(x, y) dy depende del vlor de x fijdo, lo que define un funión g(x) = d f(x, y) dy on x [, b. Observemos tmbién que si f es positiv entones este vlor g(x) es, preismente, el áre de l seión que se obtiene l ortr el sólido limitdo por l superfiie de euión z = f(x, y) sobre el retángulo R por el plno prlelo l plno Y Z l ltur x del eje OX. Puede probrse que g es ontinu, lo que nos permite onsiderr su integrl b g(x) dx = b [ d f(x, y) dy dx, llmd integrl iterd, primero on respeto y, después on respeto x, de f en R.

3 5. Integrles múltiples 73 Análogmente, si integrmos on respeto x mnteniendo y onstnte, tenemos b f(x, y) dx, l integrl pril on respeto x. Esto define un funión ontinu h(y) = b f(x, y) dx pr y [, d que nos d, si f es positiv, el áre de l seión que se obtiene l ortr el sólido limitdo por l superfiie de euión z = f(x, y) sobre el retángulo R por el plno prlelo l plno XZ l ltur y del eje OY. Ahor, integrmos h(y) on respeto y pr obtener l integrl iterd, primero on respeto x, después on respeto y: d [ d b h(y) dy = f(x, y) dx dy. Ambs integrles iterds oiniden on l fórmul de álulo de un volumen por seiones prlels que vimos en Mtemátis II, luego mbs deben ser igules l volumen. Teorem de Fubini pr regiones retngulres. Se f: R R un funión ontinu en el retángulo R = [, b [, d. Entones ls dos integrles iterds de f en R oiniden y son igules l integrl doble de f en R, es deir, [ d b [ b d f(x, y) da = f(x, y) dx dy = f(x, y) dy dx. R ebido esto, l integrl doble R f(x, y) da se represent tmbién omo f(x, y) dx dy. R Integrles dobles sobre regiones no retngulres. Supongmos que tenemos un superfiie de euión z = f(x, y) donde f: R es un funión ontinu y positiv uyo dominio es un onjunto otdo del plno que no es un retángulo. Se V el sólido limitdo entre el plno del suelo y l superfiie z = f(x, y) sobre, es deir, V está formdo por todos los puntos (x, y, z) tles que (x, y) y 0 z f(x, y). El sólido V. Cómo lulmos el volumen del sólido V? n ide serí onstruir un retángulo R de mner que esté ontenido en R, extender l funión f definiendo f(x, y) igul ero en los puntos de R que no están en y lulr l integrl doble de f en R. El problem es que f no tiene por qué ser ontinu en R; pudier tener un slto lo lrgo de l pred del sólido V, sobre l fronter del dominio. Existe un teorí que permite onstruir l integrl generl en este so, pero es demsido ompej pr est signtur. Lo que hremos es presentr un proedimiento más restringido, bsdo en l onlusión del teorem de Fubini sobre l iguldd de ls integrles iterds, que nos permitirá definir l integrl doble l menos en los dominios no retngulres más típios que preen en l práti (triángulos, írulos, elipses, et.).

4 74 Mtemátis III (GITI, ) Regiones proyetbles. do un intervlo [, b, sen : [, b R y d: [, b R dos funiones ontinus tles que (x) d(x) pr todo x [, b. Se l región pln limitd entre ls gráfis de ests funiones: = {(x, y) : x [, b, (x) y d(x)}. iremos que este onjunto es un región X-proyetble. Región que es, l vez, X-proyetble e Y -proyetble. Pr reonoer si un región dd es X-proyetble hemos lo siguiente: Proyetmos l región perpendiulrmente sobre el eje OX y el resultdo debe ser un intervlo [, b uyo extremo es l bsis del punto de que esté más l izquierd, es deir, l menor de tods ls bsiss de los puntos de, y uyo extremo b es l bsis del punto de que esté más l dereh, es deir, l myor de tods ls bsiss de los puntos de. Ahor, pr d x tl que < x < b, trzmos l ret vertil que ps por (x, 0). Est ret debe ortr l fronter de únimente en dos puntos uys ordends, nturlmente, dependen del vlor de x que hymos fijdo. En ese so, ls funiones (x) y d(x) vienen dds de l siguiente mner: (x) es l ordend del punto de orte inferior y d(x) es l ordend del punto de orte superior. Análogmente, se die que un región pln es un región Y -proyetble undo puede esribirse omo = {(x, y) : y [, d, (y) x b(y)} pr dos funiones ontinus, b: [, d R tles que (y) b(y) en [, d. El proedimiento pr reonoer si un región es Y -proyetble es nálogo l desrito pr reonoer si es X-proyetble: fijmos y en el interior del intervlo [, d que es l proyeión perpendiulr de sobre el eje OY, entones l ret horizontl que ps por (0, y) debe ortr l fronter de únimente en dos puntos ((y), y) y (b(y), y). Integrl doble sobre un región proyetble. Se un región X-proyetble y se f: R un funión ontinu. L integrl doble de f sobre se define omo [ b d(x) f(x, y) da = f(x, y) dy dx. Si es Y -proyetble, entones l integrl doble de f sobre se define omo [ d b(y) f(x, y) da = f(x, y) dx dy. (x) (y) Teorem de Fubini pr regiones proyetbles. Si es X-proyetble e Y -proyetble l mismo tiempo, entones ls integrles previmente definids oiniden.

5 5. Integrles múltiples 75 Integrles dobles sobre reintos generles. Si es un reinto que se puede desomponer en un número finito de reintos X-proyetbles o Y -proyetbles, l integrl doble de f sobre se define omo l sum de ls integrles dobles de f sobre d uno de los trozos. esomposiión en reintos proyetbles. En todo lo que sigue sumiremos que ls regiones en ls que se integr se pueden desomponer en un número finito de reintos proyetbles; de heho, esto es lo que ourre en ls pliiones. Apliiones geométris. L onstruión heh nos die que si f es un funión positiv, entones el volumen del sólido V limitdo entre l región del plno XY y l superfiie de euión z = f(x, y) viene ddo por l integrl doble de f sobre, vol(v ) = f(x, y) da. En este so, l pliión del teorem de Fubini es, omo puedes omprobr, l fórmul del álulo de volúmenes por seiones prlels que vimos en Mtemátis II. En prtiulr, si f es l funión onstnte e igul 1, el volumen de V oinide (omo número dimensionl) on el áre de, sí que podemos expresr el áre de un reinto plno medinte un integrl doble: áre() = 1 da. Ls propieddes onoids de l integrión de funiones de un vrible psn ls integrles dobles prátimente sin mbios. Propieddes de l integrl doble. Sen f y g dos funiones ontinus en un onjunto otdo R 2. L integrión verifi ls siguientes propieddes: (1) Linelidd: dos α, β R se tiene (αf(x, y) + βg(x, y)) da = α f(x, y) da + β g(x, y) da. (2) Aditividd on respeto l reinto de integrión: Si desomponemos en dos reintos 1 y 2 que no se solpn, entones f(x, y) da = f(x, y) da + f(x, y) da. 1 2 (3) Monotoní: Si f(x, y) g(x, y) en, entones f(x, y) da g(x, y) da. (4) esiguldd del vlor bsoluto: f(x, y) da f(x, y) da. (5) Invrini por mbios de áre ero: El vlor de l integrl no mbi si se modifi f en un onjunto de áre ero (omo un punto, un segmento o un urv regulr).

6 76 Mtemátis III (GITI, ) EJERCICIOS E LA SECCIÓN 1 Ejeriio 1. Clul ls integrles dobles de ls siguientes funiones sobre los retángulos ddos. (1) f(x, y) = xy + x en R = [1, 2 [0, 3. (2) f(x, y) = os(x + y) en R = [0, π/4 [0, π/4. (3) f(x, y) = x 2 y + xe y en R = [1, 3 [0, 1. (4) f(x, y) = x 2 + y 2 + xy + 2x + 1 en R = [0, 1 [0, 1. s lgun de ls págins web que se reomiendn l finl del guión pr dibujr en d so el sólido V uyo volumen viene ddo por l integrl doble orrespondiente. Ejeriio 2. s un integrl doble pr lulr el volumen de los siguientes sólidos. (1) El sólido limitdo entre el plno z = 4 x y y el retángulo R = [0, 1 [0, 2. (2) El sólido limitdo entre el prboloide x 2 + y 2 + z = 9 y el udrdo R = [ 1, 1 [ 1, 1. Ejeriio 3. Clul ls integrles dobles de ls siguientes funiones sobre ls regiones dds. (1) f(x, y) = y + x en el triángulo limitdo por ls rets y = 0, y = 2x y x = 1. (2) f(x, y) = y en l región limitd por ls urvs y = x, y = 0 e y = 2 x. (3) f(x, y) = 2xy en l región limitd por ls urvs y = x 2 e y = x 3. (4) f(x, y) = x y en el triángulo de vérties (0, 0), (1, 1) y (2, 0). Ejeriio 4. tiliz un integrl doble pr hllr el áre de l región omprendid entre ls dos rms de l hipérbol x 2 y 2 = 1, el eje OX y l ret horizontl y = > 0. Ejeriio 5. En los siguientes sos, dibuj l regón sobre l que se integr y pli el teorem de Fubini pr esribir ls integrles intermbindo el orden en el que se integrn ls vribles. L funión f es ulquier funión ontinu, en este ejeriio no se trt de lulr ls integrles, sino de entender ómo psr de X-proyetble Y -proyetble y vievers usndo l geometrí [ 1 2 f(x, y) dy dx, x [ y+2 0 f(x, y) dx dy, 1 1 [ 3+2x x x+2 [ 4 f(x, y) dy y f(x, y) dx dy, dx, [ 2 2x f(x, y) dy dx, x 2 [ log(y) f(x, y) dx dy. 0 Ejeriio 6. ibuj l región del plno en l que se está integrndo y pli el Teorem de Fubini pr, intermbindo el orden de integrión, lulr ls siguientes integrles: [ 1 x e y2 dy dx, [ 1 x sen(x) dx dy, y 2 1 [ πx/2 0 r sen(x) [ π π 2 0 y 2 y dy dx, y os(x 2 ) dx dy.

7 5. Integrles múltiples CAMBIO E VARIABLES EN INTEGRALES OBLES Pr lulr integrles dobles existe, demás del teorem de Fubini, otr herrmient fundmentl que es l téni del mbio de vribles. Reordemos que pr funiones de un vrible, si tenemos un funión ontinu f: [, b R y hemos un mbio de vrible medinte un funión x = x(t) on derivd no nul, entones se verifi l siguiente fórmul b f(x) dx = β α f(x(t)) x (t) dt siendo [α, β el intervlo donde se mueve l t. L ondiión de derivd no nul grntiz que x(t) trnsform [α, β de mner inyetiv en [, b, el intervlo en el que se mueve l x; es deir, pr d vlor de x [, b hy un únio vlor t [α, β tl que x(t) = x. En dos vribles, l fórmul de mbio de vribles estblee un iguldd similr donde el ppel de x (t) lo desempeñ el determinnte jobino del mbio de vribles. Interpretión geométri del determinnte jobino. Hemos visto que si x = x(u, v) e y = y(u, v) es un mbio de vribles de lse C 1, entones el determinnte de l mtriz jobin det ( ) x (x, y) = u (u, v) y u x v y v = x y u v x y v u tú omo ftor de diltión de ls áres pequeñ esl, en el sentido de que si R es l imgen en el plno de ls vribles (x, y) de un retángulo S del ( plno de ls vribles (u, v) que tiene ldos u y v muy pequeños, entones áre(r) (x,y) det (u,v)) áre(s). Pr S muy pequeño, áre(r) ( ) (x,y) det (u,v) áre(s). Teorem del mbio de vrible pr integrles dobles. Se x = x(u, v) e y = y(u, v) un mbio de vribles que trnsform un región S del plno de ls vribles (u, v) en l región R del plno de ls vribles (x, y) de mner inyetiv (o se, pr d punto (x, y) R hy un únio punto (u, v) S que se trnsform en él slvo, quizás, un onjunto de áre ero). Supongmos que el mbio de vribles es de lse C 1 y que su determinnte jobino det ( (x,y) (u,v) en un onjunto de áre ero. Si f es un funión ontinu en R, entones f(x, y) dx dy = f ( x(u, v), y(u, v) ) ( ) (x, y) det du dv, (u, v) R S ) solo se nul donde hemos esrito dx dy y du dv en vez de da pr her énfsis en uáles son ls vribles de integrión en d integrl.

8 78 Mtemátis III (GITI, ) Los mbios de vribles permitirán, en generl, simplifir o bien l funión integrndo o bien el reinto de integrión. Atenión!: un error muy omún es olvidrse de inluir el jobino l plir el mbio de vribles. Reordemos hor los mbios de vribles más importntes en el plno, indindo qué tipo de reintos de integrión están soidos. (1) Cmbios lineles: d un mtriz A invertible, el mbio de vribles ( x y) = A ( u v) tiene determinnte jobino igul det(a). Los mbios lineles de vribles son propidos pr psr de integrr en un prlelogrmo (o en un triángulo) integrr en un retángulo on ldos prlelos los ejes oordendos (o en un triángulo retángulo on tetos prlelos los ejes oordendos). (2) Coordends polres: El mbio polres, x = r os(θ), y = r sen(θ), tiene jobino igul r. Es propido pr psr de integrr en un írulo, un nillo o un setor irulr, integrr en un retángulo. Si el írulo sobre el que hy que integrr tiene entro (, b), se usn ls oordends polres que tienen omo polo diho punto, o se, x = + r os(θ), y = b + r sen(θ). sndo el teorem del mbio de vribles puede deduirse l fórmul del áre limitd [ por un urv dd en oordends polres, r(θ) dθ, vist en Mtemátis II. (3) Coordends elíptis: L prmetrizión hbitul de l elipse x 2 / 2 + y 2 /b 2 = 1 puede utilizrse pr psr de integrr en l región limitd por dih elipse integrr en un retángulo sin más que onsiderr el mbio de vribles x = r os(t), y = br sen(t) on 0 t 2π y 0 r 1, que tiene determinnte jobino igul l produto b r. EJERCICIOS E LA SECCIÓN 2 Ejeriio 1. Se l región limitd por ls rets y = 2x, y = 2x 2, y = x e y = x + 1. Clul xy dx dy hiendo el mbio de vribles u = 2x y v = x y. Ejeriio 2. Se el rombo uyos vérties son los puntos (0, 0), (1, 2), (2, 1) y (3, 3). Clul ls euiones de ls rets sobre ls que se poyn los ldos del rombo y utiliz dihs euiones pr her un mbio de vribles linel deudo que permit lulr l integrl (y 2x) dx dy. Ejeriio 3. Se el prlelogrmo de vérties (0, 0), ( 1, 3), (2, 1) y (1, 4). Hiendo un mbio de vribles linel deudo hll (x2 y) dx dy. Hz los Ejeriios 4 10 plindo el mbio oordends polres. Ejeriio 4. Se el diso unidd x 2 + y 2 1. Clul x2 dx dy. Ejeriio 5. Se el diso x 2 + y 2 4. Clul (x y2 ) dx dy. Ejeriio 6. Se el semiírulo x 2 + y 2 1, y 0. Clul (x2 + y 2 ) dx dy. Ejeriio 7. Se el urto del írulo ddo por x 2 + y 2 9, x, y 0. Clul (x + y) dx dy. Ejeriio 8. Se el írulo de entro (0, 2) y rdio 2. Clul (x2 + y) dx dy. Ejeriio 9. Clul (x2 + y 2 ) dx dy, siendo el nillo 1 x 2 + y 2 4. β α

9 5. Integrles múltiples 79 Ejeriio 10. Se r : [α, β R, un funión ontinu y no negtiv. tiliz el teorem del mbio de vribles pr probr que el áre de l región limitd por l urv r = r(θ) y ls [ semirrets de euiones θ = α y θ = β viene dd por r(θ) dθ. Ejeriio 11. ibuj y hll el áre de l región limitd entre ls hipérbols x 2 y 2 = 1 y y 2 x 2 = 1 y ls rets x + y = 1 y x + y = 4 usndo un mbio de vribles deudo. Ejeriio 12. Clul (x y) dx dy siendo l región elípti x2 + 4y 2 16 ontenid en el udrnte positivo. Ejeriio 13. Se l porión del nillo elíptio 4 4x 2 + y 2 36 que se enuentr en el primer udrnte. ibuj l región y lul xy dx dy. Ejeriio 14. Se l región limitd por l elipse 9(x 1) 2 +(y 4) Clul x dx dy. Ejeriio 15. Se l región limitd en el primer udrnte por ls irunferenis x 2 + y 2 = 2 y x 2 + y 2 = 4 y ls hipérbols x 2 y 2 = 1 y x 2 y 2 = 2. ibuj y, hiendo un mbio de vribles deudo, lul xy(x2 + y 2 ) dx dy. Ejeriio 16. ibuj l región = { (x, y) R 2 : 1 x + y 2, y x, x 2 y 2 1 } y lul su áre hiendo el mbio de vribles u = x 2 y 2, v = x + y. Ejeriio 17. Tommos un vso ilíndrio de rdio r y ltur h lleno de gu y empezmos beber hst que vemos que l líne del fondo oinide on el diámetro del írulo, A qué ltur del vso quedrá el gu restnte undo lo pongmos vertil? (No, no es l urt prte). β α Ejeriio 18. Vemos dos forms de probr que I = e x2 dx = π/2. En primer lugr, 0 pli el teorem de Fubini pr probr l iguldd I 2 = [ e (x2 +y 2) dx dy. Ahor se 0 0 puede proeder de dos mners: (1) tilizndo el mbio oordends polres en l integrl doble. (2) sndo el mbio de vribles x = u, y = uv en l integrl doble. s el vlor luldo de I, plindo el mbio de vrible x = 2σt + µ, pr probr que 1 σ 2π e 1 2( x µ σ ) 2 dt = 1.

10 80 Mtemátis III (GITI, ) 3. INTEGRALES TRIPLES Integrles triples sobre prlelepípedos. Pr definir ls integrles triples en el espio tridimensionl, lo nálogo un retángulo de ldos prlelos los ejes es un prlelepípedo reto uys rs son prlels los plnos oordendos y que viene ddo, prtir de tres intervlos [x 1, x 2, [y 1, y 2 y [z 1, z 2, por los puntos (x, y, z) tles que x 1 x x 2, y 1 y y 2 y z 1 z z 2, lo que se esribe = [x 1, x 2 [y 1, y 2 [z 1, z 2. Prlelepípedo reto. Ahor, si f es un funión ontinu en, l integrl triple de f en, que se denot por f(x, y, z) dx dy dz o bien f(x, y, z) dv (donde dv se lee diferenil de volumen ), se define de mner nálog ls integrles dobles sobre retángulos: ividiendo d intervlo [x 1, x 2, [y 1, y 2, [z 1, z 2 en subintervlos genermos un prtiión de formd por sub-prlelepípedos k. En d uno de los k tommos un punto (x k, y k, z k ) y formmos l sum de Riemnn de f orrespondiente est prtiión f(x k, y k, z k )vol( k ). k L integrl triple f(x, y, z) dv es, entones, el límite de ls sums de Riemnn undo el tmño de estos sub-prlelepípedos tiende ero. L mner práti de lulr l integrl triple de f en es ir lulndo integrles priles on respeto un vrible d vez. Según el orden en el que vymos relizndo ls integrles priles podemos obtener seis integrles iterds distints. Por ejemplo, lo hbitul suele ser integrr prilmente primero on respeto z, después on respeto y y, finlmente, on respeto x, lo que nos drí x2 [ y2 [ z2 f(x, y, z) dz dy dx. x 1 y 1 z 1 El resultdo ruil es que, omo en el so de ls integrles dobles, ulquier que se el orden en que se hgn ls integrles priles, el vlor que se obtiene oinide on l integrl triple de f en definid omo límite de ls sums de Riemnn. Teorem de Fubini pr un prlelepípedo. Si es un prlelepípedo en R 3 entones tods ls integrles iterds de un funión f ontinu en oiniden on el vlor de l integrl triple de f en. En prtiulr, por ejemplo, x2 [ y2 [ z2 f(x, y, z) dv = f(x, y, z) dz dy dx. x 1 y 1 z 1

11 5. Integrles múltiples 81 Integrles triples sobre regiones proyetbles. e form nálog lo heho pr integrles dobles, diremos que un sólido es XY -proyetble undo puede desribirse omo = { (x, y, z) R 3 : (x, y), z 1 (x, y) z z 2 (x, y) } pr iert región del plno XY y ierts funiones ontinus z 1, z 2 : R. En términos geométrios, un sólido XY -proyetble es el omprendido entre ls gráfis, mbs onstruids sobre un mism región del plno XY, de dos funiones: l r inferior del sólido es l superfiie z = z 1 (x, y) y l r superior es l superfiie z = z 2 (x, y). Tmbién puede preer un r lterl uy proyeión es l fronter de. Sólidos XY -proyetbles; el segundo tiene r lterl. L mner práti de reonoer si un sólido ddo es XY -proyetble es hllr su proyeión sobre el plno XY y levntr sobre d punto (x, y) interior de l proyeión un ret vertil. ih ret debe ortr l fronter del sólido únimente en dos puntos, l ltur del orte en l r inferior será z 1 (x, y) y l del orte en l r superior será z 2 (x, y). Si es un sólido XY -proyetble y f: R es ontinu, se define l integrl de f sobre omo [ z2 (x,y) f(x, y, z) dv := f(x, y, z) dz da. z 1 (x,y) Si, demás, es X-proyetble en el plno, entones podemos lulr est integrl triple omo tres integrles iterds plindo el teorem de Fubini l integrl doble sobre l proyeión : [ x2 [ y2 (x) z2 (x,y) f(x, y, z) dv = f(x, y, z) dz dy dx, x 1 y 1 (x) z 1 (x,y) y obtendrímos un fórmul similr si fuer Y -proyetble. Est definiión se trsld de form totlmente nálog sólidos Y Z-proyetbles o XZ-proyetbles. El teorem de Fubini nos die que pr un sólido que se de los tres tipos l vez, ls seis posibles integrles iterds son tods igules l integrl triple de f en. En prtiulr, l igul que un áre pln puede obtenerse omo un integrl doble, un volumen puede obtenerse omo un integrl triple. Si tenemos un sólido en R 3, su volumen es l integrl vol() = 1 dv. Ls propieddes vists pr integrles dobles linelidd, monotoní, ditividd, vlor bsoluto e invrini por mbios de volumen ero tmbién son válids pr integrles triples.

12 82 Mtemátis III (GITI, ) Teorem del mbio de vrible pr integrles triples. Supongmos que el mbio de vribles (x, y, z) = ( x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w) ) trnsform un región del espio de ls vribles (u, v, w) en l región V del espio de ls vribles (x, y, z) de mner inyetiv. Supongmos, demás, que el mbio de vribles es de lse C 1 y su determinnte jobino det ( (x,y,z) (u,v,w) sólo se nul en un onjunto de volumen ero. Si f: V R es un funión ontinu, entones V f(x, y, z) dx dy dz = f ( x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w) ) ( ) (x, y, z) det du dv dw. (u, v, w) ) Reordemos los mbios de tres vribles más hbitules, y vistos en l Leión 4. (1) Cmbios ( lineles: d un mtriz invertible A de orden 3, el mbio de vribles x ) ( u ) y = A v tiene determinnte jobino igul det(a). Los mbios lineles son z w propidos en reintos limitdos por plnos prlelos dos dos. (2) Coordends ilíndris: El mbio oordends ilíndris (r, θ, z) x = r os(θ), y = r sen(θ), z = z, tiene determinnte jobino igul r y es útil pr integrr en sólidos de revoluión. (3) Coordends esféris: El mbio oordends esféris (ρ, θ, ϕ) x = ρ os(θ) sen(ϕ), y = ρ sen(θ) sen(ϕ), z = ρ os(ϕ), tiene determinnte jobino igul ρ 2 sen(ϕ) y result propido undo integrmos en sólidos que tienen simetrí esféri o en onos on vértie en el origen. EJERCICIOS E LA SECCIÓN 3 Ejeriio 1. Clul ls integrles triples de ests funiones sobre los prlelepípedos ddos: (1) f(x, y, z) = x + y + z en = [ 1, 2 [0, 2 [1, 2. (2) f(x, y, z) = xy + 2z en = [0, 1 [1, 3 [ 1, 2. (3) f(x, y, z) = x 2 z en = [1, 4 [ 2, 2 [0, 3. (4) f(x, y, z) = z 2y + 3x 3 en = [0, 1 [0, 1 [0, 1. (5) f(x, y, z) = x os(zx) y sen(zy) en = [0, π/2 [0, π/4 [0, 1. Ejeriio 2. tiliz un integrl triple pr hllr el volumen del tetredro limitdo por los plnos oordendos y el plno x + 2y + 3z = 6. Ejeriio 3. Hll el volumen del sólido del otnte positivo interior z = x 2 + y 2 on z 2. Ejeriio 4. Se V l peonz limitd inferiormente por el ono z 2 = x 2 + y 2 y superiormente por l esfer x 2 + y 2 + z 2 = 9 (omo en l figur de l p. 81). Clul su volumen. Ejeriio 5. Se V el sólido limitdo superiormente por el elipsoide x 2 + 4y 2 + z 2 = 9 e inferiormente por el prboloide z = x 2 + 4y 2 3. Clul z dx dy dz. V

13 5. Integrles múltiples 83 Ejeriio 6. Se V el sólido limitdo superiormente por el prboloide z = 4 x 2 y 2, lterlmente por el ilindro x 2 + y 2 = 1 e inferiormente por el plno z = 0. Clul x 2 dx dy dz. Ejeriio 7. Se V el sólido ddo por V = { (x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 4, x 2 + y 2 1, z y } (se pree l punt de un destornilldor). Clul el volumen de V. Ejeriio 8. tiliz ls propieddes de ls integrles triples pr deduir ls fórmuls de los volúmenes de uerpos de revoluión vists en Mtemátis II. Ejeriio 9. Se el sólido limitdo de l siguiente mner: por debjo, por el ono 4x 2 +4y 2 = z 2 (z 0) y, por enim, por l esfer x 2 + y 2 + z 2 = 2z. Clul l integrl (1 + x) dx dy dz. Ejeriio 10. Se V el sólido definido por ls desigulddes 1 x + y + z 2, 0 x + y 2, 0 x 1. Clul (x + y + z) dx dy dz. V Ejeriio 11. Hll el volumen del sólido limitdo lterlmente por el ilindro 2x 2 + y 2 = 25 y superior e inferiormente por l superfiie esféri x 2 + y 2 + z 2 = 25. Ejeriio 12. Clul el volumen del sólido interior l semiesfer x 2 + y 2 + z 2 = 4 on z 0 e interior l ono de euión z 2 = 4x 2 + 4y 2. Ejeriio 13. Hll el volumen del sólido limitdo en el otnte positivo por el ilindro de euión z 2 + y 2 = 1 entre los plnos x = 0 e y = x. Ejeriio 14. Se el trozo de l esfer unidd interior l ono de euión z 2 = (x 1) 2 + y 2 en el otnte positivo. Clul z x 2 + y 2 dx dy dz. Ejeriio 15. Hll el volumen del sólido V limitdo superiormente por el prboloide de euión z = 5 x 2 y 2, lterlmente por el ilindro x 2 + y 2 = 1 e inferiormente por el plno z = y. Ejeriio 16. Hll el volumen del sólido limitdo superiormente por el prboloide de euión z = 3 4x 2 y 2 e inferiormente por el plno z = 2y. Ejeriio 17. Se l uñ del ilindro sólido x 2 + y 2 1 on 0 z 2 dd en el udrnte positivo por x y. Clul xz dx dy dz. ALGNAS NOTAS HISTÓRICAS. Aunque el proedimiento de integrles iterds y fue usdo por Gottfried W. Leibniz, fue Leonhrd Euler quien dio en 1769 l primer definiión de integrl doble y su álulo medinte integrles iterds, sí omo el primer teorem del mbio de vribles. Ls integrles sobre regiones no retngulres se empleron desde los omienzos del álulo pero su formlizión iniil se debió Gustv irihlet en El desrrollo posterior de l teorí de integrles múltiples desns, esenilmente, en los trbjos de Joseph Louis Lgrnge, Crl F. Guss, Mijíl Ostrogrdski, Crl G. Jobi y Henri Crtn en el siglo xix. A omienzos del siglo xx se plnteó el problem generl de sber uánto mide un región ulquier en el plno, un sólido en el espio tridimensionl o, más generlmente, un uerpo en un espio de dimensión myor. Ls ontribuiones eseniles del mtemátio frnés Henri Lebesgue est uestión en 1902 dieron lugr l potente teorí de integrión de Lebesgue que hoy se us en mtemáti vnzd. El teorem de Fubini se llm sí en honor del mtemátio itlino Guido Fubini que lo probó en 1907 en el mro de est teorí. V

14 84 Mtemátis III (GITI, ) L integrión de Lebesgue se h empledo pr dr fundmentión mtemáti riguros l teorí de l probbilidd y l estdísti mtemáti, logro del mtemátio ruso Andréi Kolmogórov en 1933, l meáni uánti, sistemtizd por el mtemátio húngro Jnos von Neumnn en 1932, y los métodos de álulo plidos los problems de trnsmisiones elétris por el ingeniero inglés Oliver Heviside finles del siglo xix, que fueron justifidos, independientemente, por el mtemátio ruso Serguéi Sobólev, on su teorí de ls funiones generlizds de 1936, y por el mtemátio frnés Lurent Shwrtz on su teorí de ls distribuiones de BIBLIOGRAFÍA G.L. Brdley y K.J. Smith, Cálulo, vol. 2, Cpítulo 13. R.E. Lrson, R.P. Hostetler y B.H. Edwrds, Cálulo, vol. 2, Cpítulo 13. G.B. Thoms, Jr., Cálulo, vris vribles, Cpítulo 15. Págins web de interés: