Tema 4: Integración de funciones de varias variables

Transcripción

1 Departamento de Matemáticas. Universidad de Jaén. Análisis Matemático II. Curso Tema 4: Integración de funciones de varias variables 1. Evaluar las siguientes integrales iteradas e) f ) g) x x y y 2 2y y 2 3y 2 6y π/2 sen(θ) π/4 cos(θ) (x 2 y 2 )dydx 2ye x dydx 64 x3 dydx (1 + 2x 2 + 2y 2 )dxdy 3ydxdy rθdrdθ 3r 2 sen(θ)drdθ 2. Utilizar una integral doble para calcular el área de la región limitada por las gráficas de las ecuaciones. y = x 3/2, y = 2x. xy = 9, y = x, y =, x = 9. y = x, y = 2x, x = Dibujar la región R de integración y cambiar el orden de integración x 2 2 e x y f(x, y)dxdy 1 π/2 cos(x) π/2 f(x, y)dydx f(x, y)dydx f(x, y)dydx

2 4. Dibujar la región R cuya área está dada por la integral iterada. Después cambiar el orden de integración y comprobar que ambas integrales coinciden. 2 4 dxdy x y x 2 dydx x dydx dxdy 5. Evaluar las siguientes integrales iteradas (observar que es necesario cambiar el orden de integración). 2 2 x 1 1 y 2 4 e y2 dydx sen(x 2 )dxdy y 2 x sen(x)dxdy 6. La siguiente igualdad es verdadera o falsa? Justifica tu respuesta. 1 x f(x, y)dydx = 1 y f(x, y)dxdy. 7. Hallar el valor promedio de f(x, y) en la región R donde Valor promedio = 1 f(x, y)da, A donde A es el área de R. f(x, y) = x, R es el rectángulo con vértices (, ), (4, ), (4, 2), (, 2). f(x, y) = xy, R es el rectángulo con vértices (, ), (4, ), (4, 2), (, 2). f(x, y) = x 2 + y 2, R es el rectángulo con vértices (, ), (2, ), (2, 2), (, 2). f(x, y) = e x+y, R es el triángulo con vértices (, ), (, 1), (1, 1). 8. Las siguientes integrales iteradas representan la solución del mismo problema Cuál de las integrales iteradas es más fácil de evaluar? 4 2 sen(y 2 )dydx = x/2 R 2 2y sen(y 2 )dxdy.

3 9. Hallar el volumen del sólido que se encuentra en el primer octante, acotado por los planos coordenados y el plano donde a, b, c >. x a + y b + z c = 1, 1. (Mathematic Calcular el volumen del sólido limitado por las gráficas de las ecuaciones: z = 9 x 2 y 2, z =. x 2 = 9 y, z 2 = 9 y, primer octante. z = 1 1+x 2 +y 2, z =, y =, y =.5x + 1. z = ln(1 + x + y), z =, y =, x =, x = 4 y. 11. Calcular las siguientes integrales pasando a coordenadas polares: a a 2 x x dydx 8 y 2 x2 + y 2 dxdy y 4y y 2 x 2 dxdy y 2 2x x 2 xy dydx 12. Utilizar coordenadas polares para evaluar la integral doble f(x, y) da. R f(x, y) = x + y, R : x 2 + y 2 4, x, y. f(x, y) = e (x2 +y 2 )/2, R : x 2 + y 2 25, x. f(x, y) = arctan(y/x), R : 1 x 2 + y 2 4, y x. f(x, y) = 9 x 2 y 2, R : x 2 + y 2 9, x, y. 13. Usar una integral doble en coordenadas polares para hallar el volumen de una esfera de radio a. 14. Hallar el valor de k para que R 2 f(x, y)da = 1 donde f(x, y) = 15. Evaluar las siguientes integrales: { ke (x 2 +y 2), x, y,, en otro caso.

4 e) y/3 4 e 2 1/(xz) 1 1 π/2 y/2 1/y 1 (x + y + z) dxdydz x 2 y 2 z 2 dxdydz y 2 9x 2 z dzdxdy ln(z) dydzdx sen(y) dzdxdy 16. Plantear una integral triple para calcular el volumen de los siguientes sólidos: El sólido acotado por z = 9 x 2, z =, x =, y = 2x. El sólido acotado por el paraboloide z = 9 x 2 y 2 y el plano z =. El sólido que es el interior común bajo la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 8 y sobre el paraboloide z = (x 2 + y 2 )/ Dibujar el sólido cuyo volumen está dado por la integral iterada y reescribir la integral utilizando el orden de integración indicado: 3 9 x 2 6 x y 2 4 2x dzdydx. Reescribir utilizando el orden dzdxdy. y 2 4x 2 dzdydx. Reescribir utilizando el orden dxdydz. 18. Hallar la región sólida Q donde la integral triple (1 x 2 y 2 z 2 )dv alcanza su valor máximo. Cuál es ese valor máximo? 19. Encontrar el valor de a para que cumpla la igualdad Q 1 3 a y 2 4 x y 2 a dzdxdy = Determinar el valor de b de manera que el volumen del elipsoide sea de 16π. x 2 + y2 b 2 + z2 9 = 1

5 21. Convertir la integral de coordenadas rectangulares a coordenadas cilíndricas y a coordenadas esféricas. Evaluar la que resulte más sencilla. 2 4 x x x x 2 x dzdydx. x 2 +y 2 16 x 2 y 2 x2 + y 2 dzdydx. 1 x 2 y 2 x2 + y 2 + z 2 dzdydx. 22. Utilizar coordenadas cilíndricas para hallar el volumen de los siguientes sólidos: Sólido interior a x 2 + y 2 + z 2 = a 2 y (x a/2) 2 + y 2 = (a/2) 2. Sólido interior a x 2 + y 2 + z 2 = 16 y exterior a z = x 2 + y 2. Sólido limitado por las gráficas de la esfera r 2 + z 2 = a 2 y del cilindro r = a cos(θ). Sólido interior a la esfera x 2 +y 2 +z 2 = 4 y sobre la hoja del cono z 2 = x 2 +y Describir la superficie cuya ecuación es coordenada=constante en el sistema de coordenadas cilíndricas y esféricas. 24. (Mathematic Hallar el volumen de la hiperesfera de cuatro dimensiones x 2 + y 2 + z 2 + w 2 = a 2 evaluando 16 a a 2 x 2 a x 2 y 2 a x 2 y 2 z 2 dwdzdydx. 25. Considerar el sólido acotado inferiormente por el plano z = 2 y superiormente por la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 8. Hallar el volumen del sólido usando coordenadas cilíndricas. Hallar el volumen del sólido usando coordenadas esféricas. 26. Utilizar coordenadas esféricas para hallar la masa de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = a 2 de densidad: La densidad en cada punto es proporcional a la distancia entre el punto y el origen. La densidad en cada punto es proporcional a la distancia del punto al eje z. 27. Utilizar coordenadas esféricas para calcular el volumen del sólido: (Mathematic El toro dado por ρ = 4 sen(φ).

6 El sólido comprendido entre las esferas x 2 + y 2 + z 2 = a 2 y x 2 + y 2 + z 2 = b 2, b > a, e interior al cono z 2 = x 2 + y Utilizar las coordenadas esféricas para mostrar que x2 + y 2 + z 2 e (x2 +y 2 +z 2) dxdydz = 2π.