El Teorema de Arzela-Ascoli Rodrigo Vargas

Transcripción

1 El Teorem de Arzel-Ascoli Rodrigo Vrgs Definición 1. Sen M, N espcios métricos y E un conjunto de plicciones f : M N. El conjunto E se dice equicontinuo en el punto M cundo, pr todo ε > eiste δ > tl que d(, ) < δ implique d(f(), f()) < ε, pr cd f E. Si E es equicontinu en todo punto de M diremos que E es equicontinu en M. Teorem 1 (Arzel-Ascoli). Sen M, N espcio métricos, con M compcto y N completo. Se E C(M, N). A fin de que E se compcto en C(M, N) es necesrio y suficiente que: (i) E se equicontinuo (ii) Pr cd M, {f() f E} es compcto en N. Teorem (Arzel-Ascoli). Sen M, N espcio métricos, con M seprble y N completo. Se E C(M, N) un fmili equicontinu y pr cd M, {f() f E} es compcto en N. Entonces, tod suceción (f n ) E tiene un subsucesión (f nk ) que converge puntulmente f C(M, N) y l convergenci es uniforme en cd compcto de M. Ejercicios 1. Se (f n ) C[, 1] un sucesión tl que f n() 1, n N y f n ()d =. Pruebe que l sucesión tiene un subsucesión que converge uniformemente en [, 1].. Se g n : [, 1] R un sucesión de funciones diferencibles tl que g n () = g n() = pr todo n N y que g n () 1, n N, [, 1]. 1

2 Pruebe que eiste un subsucesión de {g n } que converge uniformemente en [, 1]. 3. Se K : [, 1] [, 1] R continu. Se F l fmili de funciones f : [, 1] R de l form f() = g(y)k(, y)dy con g : [, 1] R continu que stisfce g() 1 pr todo [, 1]. Pruebe que l fmili es equicontinu. 4. Se g n : [, 1] R un sucesión de funciones Riemnn integrbles tl que g n () 1 pr todo n,. Definimos G n () = g n (t)dt. Pruebe que un subsucesión de {G n } converge uniformemente. 5. Se (f n ) C[, 1] un sucesión tl que (f n (y)) dy 5 pr todo n. Definimos g n : [, 1] R por g n () = + yfn (y)dy. (i) Hllr un constnte K tl que g n () K pr todo n. (ii) Pruebe que un subsucesión de l sucesión {g n } converge uniformemente. 6. Demuestre que el conjunto L de funciones f C[, b] tles que eiste K > tl que f() f(y) K y,, y [, b] y f() = es un conjunto compcto de C[, b].

3 7. Se 1 p y se M un constnte positiv. Demuestre que el conjunto H = {f C[, 1] f p M} es equicontinuo cundo 1 < p y no es equicontinuo cundo p = 1. Recuerde nlizr el cso p = por seprdo. 8. Se M un subconjunto cotdo de C([, b]) y H = {F C([, b]) F () = Demuestre qie H es compcto. 9. Consideremos T : C([, b]) C([, b]) definid por (T f)(t) = t f(t)dt, f M}. f(s)ds. Si (f n ) es un sucesión cotd en C([, b]), demuestre que (T f n ) tiene un subsuseción convergente en C([, b]). Es (T f n ) un conjunto compcto? 1. Se α (, 1] y se C α [, 1] := {f : [, 1] R f() f(y) sup < }.,y [,1] y α y () Muestre que si f C α [, 1] entonces f C[, 1] y defin l norm f α = f + f() f(y) sup, donde f = sup f().,y [,1] y α [,1] y Demuestre que el espcio normdo (C α [, 1], α ) es completo. (b) Demuestre que el conjunto es compcto en C[, 1]. {f C α [, 1] f α 1} 3

4 11. Se α (, 1] y considere el espcio de Bnch (C α [, 1], α ) donde C α [, 1] := {f : [, 1] R f α = f + f() f(y) sup < }.,y [,1] y α y f() f(y) sup, y f = sup f().,y [,1] y α [,1] y Se < α < β < 1 y se f C β [, 1]. Demuestre que pr todo η > se tiene que f() f(y) sup,y [,1] y y α < m{ sup,y [,1] y f() f(y) y β η β α, f η α }, y pruebe que el conjunto {f C β [, 1] f β 1} es compcto en C α [, 1]. 4

5 1. Se (f n ) C[, 1] un sucesión tl que f n() 1, n N y f n ()d =. Pruebe que l sucesión tiene un subsucesión que converge uniformemente en [, 1]. Solución: Por el Teorem de Arzel-Ascoli es suficiente probr que l sucesión {f n } es equicontinu y uniformemente cotd. Equicontinuidd. Pr todo, y [, 1] con < y < 1 tenemos que y f n () f n (y) = f n (t)dt t 1 dt = y. L función F () = es continu en [, 1] luego es uniformemente continu. Luego, ddo ε > eiste δ > tl que si y < δ entonces F () F (y) < ε. Lo que implic l equicontinuidd de l sucesión de funciones. Acotmiento Uniforme. Como f n ()d = entonces l función f n no puede ser simpre positiv o siempre negtiv entonces eiste [, 1] tl que f n ( ) = y usndo l estimción nterior obtenemos f n (), [, 1].. Se g n : [, 1] R un sucesión de funciones diferencibles tl que g n () = g n() = pr todo n N y que g n() 1, n N, [, 1]. Pruebe que eiste un subsucesión de {g n } que converge uniformemente en [, 1]. Solución: Tenemos que eiste ξ [, 1] tl que g n () = g n () + g n () + 1 g n (ξ) = 1 g n (ξ) entonces g n () 1, [, 1]. 5

6 Además, g n () = g n () g n () = g (t)dt 1 Por lo tnto, por el Teorem del Vlor Medio, pr todo, y [, 1], eiste c (, y) tl que g n () g n (y) = g n (c) y y. L sucesión {g n } es equicontinu y uniformemente cotd, luego por el Teorem de Arzel-Ascoli tiene un subsucesión uniformemente convergente. 3. Se K : [, 1] [, 1] R continu. Se F l fmili de funciones f : [, 1] R de l form f() = g(y)k(, y)dy con g : [, 1] R continu que stisfce g() 1 pr todo [, 1]. Pruebe que l fmili es equicontinu. Solución: Como K es continu en [, 1] [, 1] que es compcto entonces K es uniformemente continu, entonces ddo ε > eiste δ > tl que pr culquier (, y), (z, w) [, 1] [, 1] si (, y) (z, w) < δ implic que K(, y) K(z, w) < ε. Entonces, si z < δ se tiene que f() f(z) = g(y)(k(, y) K(z, y))dy y l fmili F es equicontinu. g(y) K(, y) K(z, y) dy K(, y) K(z, y) < ε 4. Se g n : [, 1] R un sucesión de funciones Riemnn integrbles tl que g n () 1 pr todo n,. Definimos G n () = 6 g n (t)dt.

7 Pruebe que un subsucesión de {G n } converge uniformemente. Solución: Pr todo, y [, 1] con y < se tiene que G n () G n (y) = g n (t)dt g n (t) dt y. lo que implic l equicontinu de l sucesión {G n }. Además G n () g n (t) dt 1. Por el Teorem de Arzel-Ascoli eiste un subsucesión de {G n } que converge uniformemente. 5. Se (f n ) C[, 1] un sucesión tl que (f n (y)) dy 5 pr todo n. Definimos g n : [, 1] R por g n () = + yfn (y)dy. (i) Hllr un constnte K tl que g n () K pr todo n. (ii) Pruebe que un subsucesión de l sucesión {g n } converge uniformemente. Solución: (i) Por l desiguldd de Cuchy-Schwrz se tiene que g n () + y fn (y) dy ( ) 1 ( 1 ) 1 ( + y)dy (f n (y)) dy 5 ( + 1 ) 1 5 ( 3 ) 1 = 15 = K 7

8 (ii) Se tiene que pr todo, z [, 1] g n () g n (z) f n (y) + y z + y dy ( ) 1 ( (f n (y)) 1 dy ( 5 + y z + y dy + y ) 1 z + y dy Ahor bien, l función h() = + con constnte es continu en [, 1] luego es uniformemente continu entonces ddo ε > eiste δ > tl que pr todo, z [, 1] si z < δ entonces + y z + y < ɛ. Se concluye entonces que ) 1 g n () g n (z) 5ε y l sucesión (g n ) es equicontinu, por el Teorem de Arzel-Ascoli eiste un subsucesión de (g n ) que converge uniformemente. 6. Se (f n ) C[, 1] un sucesión tl que (f n () f m ()) d n, m. Se K : [, 1] [, 1] R continu. Definimos g n : [, 1] R por g n () = K(, y)f n (y)dy. Pruebe que l suceseón (g n ) converge uniformemente. 7. Demuestre que el conjunto L de funciones f C[, b] tles que eiste K > tl que f() f(y) K y,, y [, b] y f() = es un conjunto compcto de C[, b]. 8

9 Solución: Por el Teorem de Arzel-Ascoli bst prob que el conjunto es equicontinuo, uniformemente cotdo y cerrdo. Acotmiento Uniforme. Pr todo f L y [, b] se tiene que f() = f() f() K K(b ). Equicontinuidd. Ddo ε > eiste δ = ε/k > tl que si y < δ entonces f() f(y) K y < K δ = K ε K = ε pr todo f L. Cerrdo. Se (f n ) L un sucesión tl que f n f. Bst probr que f L. En efecto, ddo ε > eiste n N tl que f n f < ε pr todo n > n. Luego f n converge uniformemente f. Como l sucesión f n es continu entonces f lo es y demás f() f(y) = lim n f n () f n (y) lim n K y = K y. Luego f L. 8. Se 1 p y se M un constnte positiv. Demuestre que el conjunto H = {f C[, 1] f p M} es equicontinuo cundo 1 < p y no es equicontinuo cundo p = 1. Recuerde nlizr el cso p = por seprdo. Solución: i) Pr p = 1 bst observr que l fmili H = {f n n N} donde f n : [, 1] R están definids por f n () = n, stisfcen que f n 1 = nn 1 d = 1, pr todo n N. Sin embrgo, dich fmili no es equicontinu. En efecto, (f n ) n N es un fmili equicontinu y converge puntulmente f entonces f es continu. Sin embrgo, en este cso l función f l converge puntulmente l sucesión f n es f() = que no es continu en 1. { si < 1 1 si = 1 9

10 ii) Cundo p =, tenemos que pr cd ε >, si y < δ entonces por el Teorem del Vlor Medio tenemos que, pr lgún t (, y) f() f(y) = f (t) y f y M y < δm, luego eligiendo < δ εm, tenemos que f() f(y) < ε pr tod f H. Luego, G es equicontinu en este cso. iii) Cundo 1 < p < bst plicr l desiguldd de Hölder, es decir, si u p y v q son finits y 1/p + 1/q = 1 con q < 1, entonces b uv u p v q. En efecto, si y < δ entonces plicndo el Teorem Fundmentl del Cálculo obtenemos que f() f(y) = f (t)dt f (t) dt f p y 1/q Mδ 1/q. Luego eligiendo δ = (ε/m) q, tenemos que f() f(y) < ε pr todo f H, como querimos probr. 9. Se M un subconjunto cotdo de C([, b]) y H = {F C([, b]) F () = Demuestre qie H es compcto. f(t)dt, f M}. Solución: Probremos que H es reltivmente compcto, del Teorem de Arzel-Ascoli, bst demostrr que H es equicontinuo y H() es reltivmente compcto pr cd [, b]. Como H() R, pr demostrr que H() es reltivmente compcto, bst ver que es cotdo. En efecto, tenemos que H() = {F () F H} y tenemos que F () = f(t)dt f (b ) C(b ), pr tod F H, donde C es un constnte positiv tl que f C pr cd f M (l cul eiste y que M es cotdo en C[, b]). Ahor pr ver que H es equicontinuo bst observr que F () F (y) = f(t)dt f(t) dt C y, 1

11 pr todo F H. Luego, pr cd ε >= eiste δ = ε/c tl que si y < δ entonces de l desiguldd nterior F () F (y) < ε pr todo F H. 1. Consideremos T : C([, b]) C([, b]) definid por (T f)(t) = t f(s)ds. Si (f n ) es un sucesión cotd en C([, b]), demuestre que (T f n ) tiene un subsuseción convergente en C([, b]). Es (T f n ) un conjunto compcto? Solución: Este problem es similr l problem nterior. Acotmiento Uniforme. Sbemos que eiste C > tl que f n C entonces pr cd n N se tiene que t (T f n )(t) = f n (s)ds f n (b ) C(b ), Equicontinuidd. Pr cd n N bst observr que r r (T f n )(t) (T f n )(r) = f n (s)ds f n (t) dt C t r, t y (f n ) es equicontinu. Por el Teorem de Arzel-Ascoli (f n ) posee un subsucesión (f nk ) convergente en C[, b]. Ahor bien, en generl (T f n ) no es compcto, pues por ejemplo, f n (t) = t n es un sucesión cotd de C[, 1]. En este cso, (T f n ) = {F n C[, 1] F n (t) = t n+1 /(n + 1), n N} y l sucesión converge uniformemente l función F y F / (T f n ), por lo que (T f n ) no es compcto. t 11