David Ceballos Hornero Departament de Matemàtica Econòmica, Financera i Actuarial. Universitat de Barcelona

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1 Tme dependence on Fnancal Operaons of Invesmen Davd eballos Hornero Deparamen de Maemàca Econòmca, Fnancera Acuaral. Unversa de Barcelona Dynamc analyss of a Fnancal Operaon of Invesmen (OFI) consss n sudyng Tme dependence on varables ha defne he OFI: quanes (npus and oupus), erms and neres rae. In spe of he sudy of an OFI can be objecve or subjecve, s dynamc analyss can be sysemased by means of a map ha shows dependence wh regards o Tme of an OFI. Wh hs end n vew, we wll consder four ways of Tme dependence: n relaon o quanes (values and locaons), o neres rae (fnancal envronmen), o momen of valuaon (evoluon Term Srucure of Ineres Rae and erms), and o emporal horzon (perod of analyss, fnancal regmes). KEYWORDS: Fnancal Operaon of Invesmen (OFI), Tme, Uncerany.. INTRODUIÓN. Los problemas que neresan en Teoría de Fnanzas se pueden resumr en res: modelzacón y predccón del comporameno de los precos de los acvos fnanceros, valoracón de acvos fnanceros y la seleccón de careras (oma de decsones fnanceras). El esudo de una Operacón Fnancera de Inversón (OFI) se engloba denro de la valoracón de acvos fnanceros, pues ése se concrea en esmar y calcular oda una sere de ndcadores de su renabldad o vabldad fnancera y/o de su valor para un nversor con recursos excedenaros. Una OFI se defne de forma radconal y operava como un conjuno de flujos monearos (capales fnanceros) fuuros (pagos y cobros) dspuesos en dferenes momenos del empo. Esos flujos monearos son a pror nceros en ano que son generalmene esmacones, más o menos objevas, y que al compararlos fnanceramene enden a mosrar un desequlbro a favor de los cobros (OFI renable) o de los pagos (OFI no

2 Tme dependence on Fnancal Operaons of Invesmen renable). La comparacón fnancera consse en la homogenezacón emporal de los dferenes flujos a ravés de una Esrucura Temporal de Tpos de Inerés. En el párrafo aneror se pone de manfeso la relevanca del empo en las OFI, al ser una varable que afeca ano a su defncón como a su operava. Ello oblga a que odo análss de una OFI haya de ser dnámco, es decr, deba consderarse el empo como una varable relevane. Se podría afrmar que el empo dferenca la maemáca fnancera de la general, donde los números son homogéneos emporalmene. El empo aparece en el esudo de una OFI de dos formas posbles. () () omo nsane: nco, fnal, momenos nermedos donde se súan los flujos o capales fnanceros que la caracerzan y el momeno de valoracón o donde se homogenezan odos los capales fnanceros. omo nervalo: dfermeno de los dsnos capales (separacón emporal de cada capal con el orgen de la operacón), plazo de la operacón y oras meddas emporales como el Plazo Fnancero Medo y la funcón Durao. El esudo de una OFI se realza a ravés de res varables: cuanía, po de nerés y dfermeno. Las msmas se ven afecadas en el empo: el paso del empo perme su varacón; y por el empo: no son ndferenes, fnanceramene hablando, al momeno o nsane en que se súan. El análss de esas posbldades emporales en las res varables que defnen una OFI es lo que el auor agrupa en el análss dnámco de una OFI, a saber, el esudo de sus dependencas emporales. Dcho análss dnámco esá parcelado, ya que el msmo esá dversfcado en dferenes aparados como el esudo de renas fnanceras, el cálculo del plazo de reorno, el cálculo de la Durao, el cálculo del Plazo Fnancero Medo, el esudo de la Esrucura Temporal 2

3 Tme dependence on Fnancal Operaons of Invesmen de Tpos de Inerés (ETTI) y de su evolucón, la comparacón de OFI con dferene plazo, ec. Lo que se propone en la presene comuncacón es reunr bajo un msmo epígrafe odo ese análss y clasfcarlo según las res varables que defnen una OFI, lo que se denomna análss dnámco de una OFI. omo se ha comenado ese análss puede planearse desde el paso del empo y desde el cambo de suacón. El auor derva así cuaro dependencas emporales: de la cuanía, del po de nerés, del momeno de valoracón y del horzone emporal. Las dos úlmas dependencas surgen al dvdr el análss respeco el empo en su doble nauraleza de nsane y de nervalo. En ese rabajo se parrá de la ermnología y el modelo del Dr. A. Rodríguez (1994), presenando ncalmene la defncón y descrpcón de una OFI a parr de sus varables y magnudes más sgnfcavas. Luego se desarrollará el aparado de las dependencas emporales a nvel eórco, ano para una modelzacón objeva como subjeva. Se ermnará con una dscusón sobre las posbles defncones de empo que se pueden ulzar en el análss dnámco presenado. 1. LA OPERAIÓN FINANIERA DE INVERSIÓN. Una Operacón Fnancera (OF) 1 es un ene maemáco complejo y bnaro cuyas componenes, denomnadas membros de la operacón, son subconjunos o pares del conjuno fnancero unversal U, comprensvo de odos los elemenos fnanceros prmaros, sean capales (dscreo) o flujos (connuo), ceros o nceros. Formalmene, (M, N), M, N U. Ane una relacón 2 de equvalenca fnancera, en una OF o ben ambos membros son equvalenes M ~ N, o ben no lo son M n N. En el prmer caso se habla de una 1 Vd. Rodríguez Rodríguez, A. (1997), pág Jurídca a efecos práccos. 3

4 Tme dependence on Fnancal Operaons of Invesmen Operacón Fnancera de Fnancacón (OFF) y en el segundo de una Operacón Fnancera de Inversón (OFI). El esudo cenífco o formal de una OFI se puede realzar de forma objeva, es decr, medane una base maemáca, o de forma subjeva o de experenca, a saber, aplcacón de reglas de experenca y de nferenca y las cosumbres. S odos los elemenos perenecenes a M y N son ceros la OF es cera, en oro caso es ncera, correspondendo la ncerdumbre al conocmeno probable, vago, nexaco o aproxmado 3. Esos pos de ncerdumbre epsémca son ex-ane en una OFI al neresar su renabldad y desarrollo fuuros y no la evaluacón de una OF pasada que no apore benefco alguno. S en M y N no parcpan flujos fnanceros la OF es dscrea, sendo en oro caso connua. S ambos membros de la OF, M y N, son conjunos unaros, la OF es elemenal, sendo compleja en oro caso (exsenca de más de un período de análss). Las OF complejas las podemos dvdr en complcadas y caócas. En el prmer caso cuando el mayor número de capales fnanceros sólo apora mayores cálculos, donde los errores de precsón son desprecables. En el segundo caso, pequeños errores en los cálculos pueden llevar a resulados oalmene dspares. De esa manera, una prmera clasfcacón de las OFI 4 según su modelzacón es: 3 Vd. Ramírez Sarró, D. (1994). 4 Se pare del esquema de Rodríguez Rodríguez, A. (1994), pág. 2. 4

5 Tme dependence on Fnancal Operaons of Invesmen elemenal complcada dscrea compleja IERTA caóca complcada connua 1. OBJETIVA caóca probable borrosa INIERTA nexaca aproxmada 2.SUBJETIVA o DE EXPERIENIA Desde la Maemáca Fnancera se prma un esudo maemáco de las OFI y, por ano, una modelzacón objeva de las msmas con ndependenca de quén las lleve a cabo y del conexo. La descrpcón de una OFI se realza a parr de los capales fnanceros que la componen, M y N, y del preco esrco del po de nerés de valoracón,. Un capal fnancero no es más que el par maemáco compueso por la cuanía moneara del capal ( ) y, por ora pare, del dfermeno (T ). Los capales fnanceros en una OFI se clasfcan según supongan una aporacón para el nversor, npu, o un ngreso o cobro, oupu, hacéndose el neo o compensacón de los msmos para cada nsane. El po de nerés de valoracón que se consdera es el preco esrco del dnero, a saber, ln( 1+ I). El po de nerés anual, I, mde el valor emporal del dnero, el cual es posvo por el prncpo de la preferenca por la lqudez 5, supueso de parda en el modelo del Dr. A. Rodríguez (1994). A la hora de analzar una OFI se sneza la nformacón aporada por los capales fnanceros que la consuyen medane su reduccón fnancera, es decr, su reduccón a una OFI elemenal donde los npus neos se snezan en el capal fnancero de su suma fnancera: de cuanía la suma arméca de las cuanías de los npus neos () y de 5 S (, T) ~ (, T ), enonces sgno { } sgno {T - T}. O ane la gualdad de cuanías se prefere el capal fnancero más próxmo en el empo. 5

6 Tme dependence on Fnancal Operaons of Invesmen dfermeno el Dfermeno Medo (DM) de los npus (T). on los oupus se realza la msma reduccón resulando (, T ) como suma fnancera, de al modo que: (, T) n(, T ) para. El DM es el dfermeno que cumple la equvalenca: (, DM ) ~ (, T ) { } 1,... n, que para una OFI cera, dscrea y compleja en un ambene fnancero defndo por una ley esaconara es en el caso de los npus: ln T V, donde es la suma de npus y V su valor acual. El PFM de una OFI se defne como la dferenca enre el DM de los oupus menos el DM de los npus: PFM T T. Una mporane magnud descrpva de una OFI es la Inmovlzacón Fnancera (IF), que no es más que el par compueso por el npu neo agregado y por el PFM de la OFI. Ese par maemáco (, PFM) ndca la cuanía nmovlzada por el nversor por las aporacones que endrá que hacer y el empo promedo de dcha nmovlzacón (PFM). El ose fnancero de la nversón se calcularía a parr de los nereses generados por la nmovlzacón fnancera aneror: F f ( T, T' ). Aunque para el cálculo de la renabldad de la OFI se endría ambén en cuena el oupu neo agregado, defnéndose las asas de renabldad, sobre la nmovlzacón, esrca efecva brua y nea como: ( ' ) ln (brua) y PFM ( ' ) ln ˆ '' PFM ' ln e PFM PFM (nea), que muesran las asas de renabldad nsanánea perodfcada a la undad emporal de cálculo del PFM, sn deduccón ( ) o deducendo ( ˆ ) los coses fnanceros del benefco. 6

7 Tme dependence on Fnancal Operaons of Invesmen Por ano, se puede ermnar ese aparado señalando que las varables que defnen una OFI son úncamene res: la cuanía (npus y oupus), el po de nerés () y el dfermeno, a parr del cual se conocen el plazo de la OF y la ubcacón de los capales fnanceros. Esas res varables dependen del empo () y se pueden esquemazar en las magnudes de oupu agregado ', npu agregado y plazo fnancero medo PFM calculados a un po de nerés, de manera que ane la concdenca de esa rplea de valores las OFI serían consderadas semejanes o ndferenes desde la Maemáca Fnancera. '((), ) ' OFI ((), ) IF PFM PFM((), ) 2. LAS DEPENDENIAS TEMPORALES DE UNA OFI. A parr de la ssemazacón de las OFI en el modelo del Dr. A. Rodríguez, de su defncón, clasfcacón y descrpcón, se puede planear el esudo de sus dependencas emporales, eso es, de cómo se ve afecada en y por el empo al cambar las dsnas varables que nervenen en una OFI: cuanías, po de nerés y dfermenos. Parendo de una OFI compleja y de su reduccón fnancera, (, T) n (, T ) para. A parr de aquí se puede analzar cómo se ve afecada una OFI por la varabldad de sus componenes en y por el empo, lo cual se desarrollará clasfcando los posbles efecos 7

8 Tme dependence on Fnancal Operaons of Invesmen del paso del empo y las varacones de ubcacón emporal en cuaro pos, cada uno de los cuales se ha denomnado dependenca emporal por la nfluenca del empo en los cambos en la descrpcón de la OFI. Esas dependencas emporales se analzarán desde el esudo de la varacón en las magnudes del rendmeno absoluo bruo, R ', de las ( ) ln ' asas esrcas nomnal brua de renabldad sobre la nmovlzacón,, y nea, PFM ln ( ' ) ˆ ' ' 1, y del PFM, PFM [ ln ( ' ) ln ( V' )] PFM V. La jusfcacón es que se consdera que esas cuaro magnudes ofrecen una descrpcón de la OFI basane complea. El esudo objevo de las dependencas emporales de una OFI se realzará prncpalmene a ravés de la magnud del Plazo Fnancero Medo, para cuyo cálculo nervenen las res varables que defnen una OFI: cuanías ( y ), po de nerés () y dfermenos (T y T ). El esudo subjevo o de experenca se realzará prncpalmene a ravés de un caso parcular para dejar paene la especfcdad de esa perspecva para cada caso de esudo, al no planear una meodología absraca general. 2.1 Esudo objevo. La modelzacón objeva de una OFI no es más que el modelo del Dr. A. Rodríguez, por lo que el análss dnámco se cenrará en presenar la varabldad de las cuaro magnudes fnanceras que se consderan represenavas de la descrpcón de la OFI según varían en valor o localzacón las res varables que la defnen. El esudo de los resulados que se obengan no es más que las dependencas emporales de una OFI. A. Dependenca emporal de la cuanía: 8

9 Tme dependence on Fnancal Operaons of Invesmen ómo varían las magnudes de una OFI cuando varía el valor de los npus y oupus que la defnen. El valor de las cuanías puede varar, por ejemplo, por el paso del empo por cambos en las expecavas o esmacones de las msmas. El cambo en la cuanía del capal equvalene T o T afeca úncamene a la dferenca enre los dfermenos de los capales fnanceros equvalenes, que se puede consderar como análogo al efeco sobre el PFM de una reduccón en los capales equvalenes. No ene sendo en las asas de renabldad defndas porque se calculan las msmas a parr de las sumas fnanceras de npu y oupu. (T' T) (T' T) + ' T' T 1 ' T' 1 T > s T < T. Se observa que ane aumenos del capal fnancero equvalene de los oupus se ncremena su dfermeno y la dferenca enre los dfermenos aumenará cuando se ncremene el capal fnancero equvalene de los oupus y dsmnuya el de los npus o en caso de aumenar ambos cuando el segundo capal sea superor al prmero. S se supone que el capal fnancero equvalene ano al npu como al oupu es sempre su suma fnancera, se dferenca enre las varacones de los oupus y de los npus, pueso que las magnudes consderadas son funcones separables en dchas varables, debdo a que en cada nsane hay un npu o un oupu, al suponer la compensacón de capales en cada momeno el modelo del Dr. A. Rodríguez. 1 ln ' ln e ' e T ' T 1 1 e + V T < > s T s T s T > T T < T 9

10 Tme dependence on Fnancal Operaons of Invesmen 1 ln ' + > ' ' ln ' V' e ' e e T ' T 1 1 e ' V' T [ V T ' ] > V [ e V' ] ' T ' < > s T ' < T' s T ' T' s T ' > T' Es decr, el PFM de la OFI aumenará cuando las cuanías que se ncremenen en el caso de los npus esén suadas anes del DM de los npus y en el caso de los oupus cuando el ncremeno se dé con poserordad a su DM. S ambas varacones esán en orden opueso respeco al correspondene DM, ane un aumeno de las cuanías el PFM dsmnurá. Fnalmene, s sólo uno de ellos esá en orden opueso dependerá de los valores acuales, de manera que en OFI renables (V > V) cuena más la varacón del npu que la del oupu ane una msma desvacón absolua respeco a sus correspondenes DM. R R + ' + ' ˆ ˆ + ' > > > s s s ' > 1 1 < + < ' ' T 1 e ' V < ˆ + < ' en OFI renables. en OFI renables. La varacón en el valor de las cuanías afeca de una forma compleja a las magnudes de renabldad. En OFI renables la medda de dcha varabldad vene, sobre odo, dada por el efeco sobre el PFM. ómo varían las magnudes de una OFI según camba la ubcacón emporal de las cuanías. Es decr, se consdera una varacón en la localzacón de las cuanías. La varacón de la ubcacón de las cuanías o su varacón por el empo, de nuevo se puede jusfcar por cambos en las expecavas, esmacones, ec. 1

11 Tme dependence on Fnancal Operaons of Invesmen El cambo de la localzacón ( j ) provoca una varacón de los dfermenos en la msma Tj cuanía: 1. j R Pueso que T j emporal de las cuanías., el rendmeno absoluo bruo no se ve afecado por la ubcacón + < T ' T s con dsno sgno T ' T < 1 ln ( V' ) ' ln V Sempre y cuando las dferencas enre las cuanías que varían del npu y del oupu no sean muy dspares y en OFI renables, el PFM se ncremenará cuando el oupu que varía es poseror al npu que varía. + T ' T ˆ ˆ + T ' T > > s s + > T ' T + > T ' T en OFI renables. en OFI renables y no degeneradas. De nuevo la varabldad de las asas de renabldad esrcas nomnales vene marcada por la varabldad del PFM. B. Dependenca emporal del po de nerés: ómo varía la valoracón de una OFI según camba el po de nerés en funcón del plazo consderado o de la nauraleza de la operacón fnancera que se realza (acualzacón o capalzacón). Exsen dferenes ambenes fnanceros dependendo de la Esrucura Temporal de Tpos de nerés exsene, es decr, de los pos de nerés para cada plazo. S ése es únco esamos ane un ambene fnancero smple. Ese es el caso hasa ahora analzado en ambene de cereza. En expresón: 11

12 Tme dependence on Fnancal Operaons of Invesmen ' V' ln ln V + 2 ' ' e T ' V' e V T DUR PFM Es decr, una varacón al alza del po de nerés ncremenará el PFM de una OFI cuando su Durao, la duracón de la operacón en érmnos de un íulo cupón cero, es superor al PFM, la duracón de la operacón en érmnos de sus sumas fnanceras equvalenes de npu y oupu. Es decr, el PFM como funcón del po de nerés es crecene cuando la Durao es superor al PFM para el po de nerés escogdo, excepo s el po de nerés esrco es negavo, resulando en ese caso la suacón opuesa. Respeco a la renabldad: R ' DUR PFM ln 2 PFM sgno{}. < s la OFI es renable y sgno{dur-pfm} es gual al v ˆ DUR PFM 1 + 1, ya que PFM 2 PFM ˆ 1. El rendmeno absoluo bruo no depende del po de nerés y por eso no se ve afecado por la forma y cambos de la ETTI. En las asas esrcas nomnales, el sgno de la dervada depende de varos facores como el sgno{dur-pfm}, s la OFI es o no degenerada, el sgno{} y s es renable o no. El ambene fnancero camba cuando el po de nerés es dferene para cada plazo: ambene fnancero compueso. En ese caso hay que dsngur cuando la Esrucura Temporal de Tpos de Inerés es escndble (connuo por nerpolacón) de cuando no lo es. Tambén el ambene fnancero se puede dferencar según operacones de acualzacón (descueno) y de capalzacón (nerés): ambene fnancero compleo. Fnalmene, esá el ambene fnancero connuo, cuando el po de nerés varía de forma connua según el plazo. 12

13 Tme dependence on Fnancal Operaons of Invesmen Parendo de las gualdades báscas de la reduccón fnancera: plazo ' (plazo') plazo (plazo) ' e ' y e, sendo plazo T T, plazo T T y PFM T T. La ETTI muesra los pos de nerés para cada plazo, defndo ese úlmo a parr de la dsanca emporal de cada dfermeno con el DM correspondene, ya que los DM son la base de la reduccón fnancera. S el ambene fnancero es compueso no escndble, enonces se enen los sguenes casos: - S la varacón del po de nerés no afeca al escalón de la ETTI aplcado a cada capal fnancero, enonces las dervadas concden con las del ambene fnancero smple. S para alguno de los capales camba la ley fnancera, habrá que añadr los correspondenes efecos en el cambo del cálculo del PFM: ' e ' e plazo ' (plazo') plazo (plazo) + ' e + ' e plazo ' (plazo ') plazo (plazo ) plazo [ e ' (plazo ') 1] plazo (plazo) [ e 1] ' y El efeco es smlar a una reduccón del capal fnancero equvalene. omo se comenó en la dependenca emporal de las cuanías, ese efeco afeca al dfermeno asocado: T' ' T' 1 ' T' y T T 1 T, es decr, que un cambo en el valor o forma del oupu e npu globales varía los Dfermenos Medos correspondenes de una forma drecamene proporconal a dcho cambo. Eso aplcado al caso analzado: R ; τ PFM ; ˆ 1+ ( τ) ( ) PFM ( τ) ( τ) ( τ) 13

14 Tme dependence on Fnancal Operaons of Invesmen T' T D' T' ( τ) ( τ) ( τ) θ D T θ ( ') θ plazo' 1 + [ ] ( ) ' e (plazo ') plazo e ' (plazo ') 1 ' ( θ' ) plazo 1 + [ ] ( ) e (plazo ) plazo (plazo ) e 1 ( ) T' ( ') τ dτ', T' ( ) θ T ( τ) dτ, θ sendo :, DUR D' D y PFM T' T T + ' Nuevamene, una varacón de la ETTI afeca a las magnudes que descrben una OFI prncpalmene a ravés del PFM. - Oro caso es el de ambene fnancero compleo, es decr, cuando se dferenca según el sgno del plazo en operacones de descueno (negavo) y de nerés (posvo). En un régmen fnancero de nerés (I) y de descueno (d) compueso, la relacón enre los msmos es la sguene: ln( 1+ I) ln(1 d); d I. Su relacón con el preco de nerés esrco es: 1 d d 1 En ese caso, consderando separadamene las operacones de descueno en el cálculo del PFM (capales suados con poserordad a T o T dependendo s son oupus o npus) y las operacones de nerés, se ene: R ; τ PFM ; ˆ 1+ ( τ) ( ) PFM ( τ) ( τ) ( τ) D' T' + ( τ) θ D T + θc ( ') θ c [ ] ( ') ( θ ' ) [ ] ( ) ( ) c T' T ' d e ( τ) dτ + ( τ) T' ' e plazo plazo T' > T ' plazo ' plazo ' e dτ e plazo ' plazo ' plazo plazo y ( ) θ c 1 1 θ T T 1 d 1 + ' c ( τ) dτ + ( τ) T T> T dτ 14

15 Tme dependence on Fnancal Operaons of Invesmen Esa suacón se puede ver como un ambene fnancero compueso, pero con un po de nerés posvo para plazos posvos (capalzacón) y negavo para plazos negavos (acualzacón). omo serán dferenes los pos a aplcar, de nuevo hay que ener en cuena que un cambo de los DM del npu o del oupu que camba el sgno de los dfermenos, se analzaría como un ajuse de varacón del capal fnancero equvalene. De nuevo hay que raar separadamene el npu y el oupu a la hora de calcular los plazos. Tambén se puede amplar al ambene fnancero compueso y compleo enendo varos pos de nerés y varas asas de descueno según la duracón de los plazos y suponer en vez de capales dscreos unos connuos, aunque el caso habual son capales dscreos con una mayor o menor frecuenca. - En un ambene fnancero connuo el preco esrco del po de nerés es una funcón connua del plazo. De aquí se derva que el facor fnancero es escndble y la ndferenca del momeno respeco al cual se esablecen los plazos porque los pos mplícos enre plazos oblgan a una ndferenca fnancera de los resulados respeco al susodcho momeno de referenca. ( plazo ) plazo ( τ) dτ; con f (T,T ) e j l T l T j ( T T ) ( τ) l j dτ f ( T, T ) f ( T, T ) j,l, k j k k l. En el caso de una ETTI connua, lo radconal es analzar dos casos: un desplazameno de la ETTI o un cambo de pendene de la msma. La escndbldad del facor fnancero y la connudad del po de nerés provoca que varacones ndvduales afecen a odo un nervalo para manener la escnbldad del facor fnancero. on esos dos casos, más o menos, se recogen odos los posbles en cuano que ésos se pueden explcar como composcón de los dos prmeros. Acualmene ambén se esuda lo que se denomna la chepa o curvaura de la ETTI, que recoge cambos en la forma de la ETTI. 15

16 Tme dependence on Fnancal Operaons of Invesmen El caso de un desplazameno paralelo de la ETTI se modelza: plazo) [ ( τ) + a] plazo ( dτ, añadendo una consane, que será posva o negava dependendo de s el desplazameno es haca arrba o haca abajo, respecvamene. Enonces la ecuacón base camba a: Max T { } c( T' ) e Max T' { } c T e ( ) ( T' T' ) [ ( τ' ) + a] plazo ( T T) [ ( τ) + a] plazo ' d τ dτ' dt' ' dt con plazo' T' T' con plazo T T Se supone que los capales son connuos como generalzacón, aunque es smlar para capales dscreos, con la únca varacón de que la prmera negral sería un sumaoro. Una ETTI connua no se observa en el mercado, donde sólo cozan pos de nerés para unos cuanos plazos conocdos, pero medane dferenes écncas de ajuse como nerpolacón lneal, boosrappng, ulzacón de polnomos, splnes o funcones parsmonosas, se rellenan los espacos. Un desplazameno de la ETTI afeca al cálculo del PFM de la OFI como una varacón del npu y oupu globales a los que se reduce oda OFI cera. R ; τ PFM ; ˆ 1+ ( τ) ( ) PFM ( τ) ( τ) ( τ) T' T' ( τ) ( τ) ( τ) θ 1 θ ( ) Max { T} c T e ( ) 1 ' ( ) plazo ' ( T T) ( τ) dτ Max { T' } c( T' ) e e a ( T T) 2 ( T' T' ) ( τ' ) 1 dt plazo ' dτ' e a ( T' T' ) 2 1 dt' + Un cambo de pendene puede ser descro a ravés de la mulplcacón de la ETTI por un escalar b. En expresón: 16

17 Tme dependence on Fnancal Operaons of Invesmen { } c Max T ' ( T' ) plazo ' ( T' T' ) b ( τ' ) e d τ' Max{ T} dt' ' y c( T ) e Ahora el efeco sobre el PFM de la OFI es: b ( e 1 ) T' T 1 1 ( τ) ( τ) ( τ) ( θ' ) ( θ) plazo ( T T ) b ( τ) d τ dt Un caso parcular de esudo cuando se nvere la pendene de la ETTI porque es el que mayores resgos compora y más que no su nclnacón. Ello se modelzaría cambando de sgno la pendene de la ETTI, es decr, mulplcándola por menos uno y sumando el máxmo de los dfermenos del npu y del oupu (max{t} y max{t }). Generalzando el cambo de pendene a un cambo no oalmene nverso, pero sí de crecmeno a decrecmeno o vceversa, sería el cambo de la ETTI ( plazo ) [ a b ( τ) ] decr, una agregacón de los dos casos anerores. plazo dτ. Es El caso del cambo de la chepa o curvaura de la ETTI se podría nroducr con un cambo de pendene, pero úncamene para ceros plazos, los nermedos. Normalmene se esuda a ravés de spreads o dferencas enre un po de medo plazo (plazo nermedo) y los pos a coro y largo plazo, aunque ambén puede analzarse esudando las varacones en las varables que descrben una ETTI y su evolucón. De esa manera, s la negral que defne la dervada del PFM respeco del preco esrco de nerés se dvde en una sere de sumandos, los sumandos nermedos recogerían la curvaura de la ETTI. De ese modo, la suma de odos esos efecos se podría consderar como una buena aproxmacón a la varacón del PFM ane un cambo de preco esrco del po de nerés en un ambene fnancero dnámco. Se ha supueso una msma esrucura de pos de nerés para el npu y el oupu, aunque hay auores que defenden el uso de dferenes coses del capal según su nauraleza: acvo 17

18 Tme dependence on Fnancal Operaons of Invesmen y pasvo y su dsponbldad: coro o largo plazo, exgble o no, ya que el cose que ene para la empresa o para el nversor es dferene. Pero dado que se esá esudando una OFI absraca, cuyos capales no responden a dferenes operacones fnanceras y económcas, sno que son odas monearas provenenes de las msmas fuenes: los cobros y pagos de un proyeco de nversón, es asumble el supueso de una ETTI gual para npus y oupus.. Dependenca emporal del momeno de valoracón: ómo camba el escenaro de prevsones y magnudes de una OFI según se evalúe desde uno u oro momeno con dferene nformacón y expecavas. El cambo del momeno de valoracón puede cambar la defncón de los dfermenos, lo cual es sgnfcavo en regímenes fnanceros no escndbles como ya se ha vso. Tambén pueden cambar las cuanías esperadas en el fuuro por varacón de las prevsones, lo que ya se explcó en la dependenca emporal de las cuanías. El úlmo efeco sobre la OFI de esa dependenca del nco o del momeno de valoracón se encuenra en la varacón del po de nerés, lo cual se sneza en el esudo de la evolucón de la ETTI o su dnámca 6. La dependenca del nco se hará a ravés de modfcacones de los dfermenos, pos de nerés y cuanías: las varables que descrben una OFI. La varacón de los pos de nerés es un ema basane analzado exsendo varos esudos evoluvos de la ETTI suponendo su dependenca del nco, en ano que la msma camba a lo largo del empo. La evolucón de la ETTI se suele represenar por ecuacones dferencales esocáscas de varacón de los pos de nerés al conado o spo, aunque ambén es posble rabajar con pos a fuuro o forward, para esmar la funcón de descueno y la funcón de un bono cupón cero para cualquer plazo (base de la ETTI). Hay modelos de uno, dos o res facores dependendo de s la ley dnámca esocásca de evolucón es la msma para odos los pos de nerés con ndependenca de su plazo (dea de desplazameno paralelo), s de 6 Vd. Galseo Rodríguez, M. (2). 18

19 Tme dependence on Fnancal Operaons of Invesmen dsngue el largo del coro plazo (dea de cambo de pendene) y s además añade posbles varacones nermedas o de spreads (dea de cambos en la curvaura de la ETTI). Generalmene se rabaja con movmenos brownanos o procesos de Ornsen- γ Uhlenbeck: di β( I, ) d + σ( I, ) dw y di β ( µ I ) d + σ I dw, sendo I el po de nerés efecvo una funcón del plazo (ETTI): (τ) ln[1 + I(τ)], en el caso de un sólo facor. La pare esocásca de la evolucón de la ETTI recoge la ncerdumbre de los cambos fuuros que por cuesones operavas y por ser lo menos arresgado cuando no se ene más nformacón (aplcacón del Teorema enral del Líme), se supone que es un rudo blanco, es decr, una varable aleaora con dsrbucón de probabldad normal. En las anerores dependencas emporales analzadas se ha supueso el caso cero, pero la meodología presenada es aplcable, como se expresó en la nroduccón, al caso de ncerdumbre, sea probable (probabldad, posbldad, creenca), vaga (números borrosos), nexaca o aproxmada. Las fórmulas serían análogas a las deducdas. Lo que realmene varía con el paso del empo es el po de nerés y los plazos. Respeco al po de nerés ya se ha mosrado la varacón del PFM, de lo cual ambén se puede dervar la varacón del reso de magnudes que dependen drecamene de la msma. La varacón del po de nerés esá paramerzada, con lo que la varacón del PFM ambén es calculable. Por ejemplo: S S di di µ d + σ dw µ I d + σ I dw ( τ) ( τ) 2 µ ( 1+ I ) σ + 2 ( 1+ I ) 2 µ I ( 1+ I ) 2 ( 1+ I ) + σ 1+ I σ 2 2 I 2 W ; W σ I I 2 2 ( 1+ I ) σ σ ( ) I I d + dw 2 1+ I 1+ I 2 µ I dpfm d( τ) ( τ) ( τ) 2 ~ N(,1) Se observa la complcacón de la nerpreacón de las varacones, que ene una pare deermnsa que ndca la endenca de evolucón emporal y una pare esocásca, que muesra la mporanca de las desvacones respeco a la endenca. W 19

20 Tme dependence on Fnancal Operaons of Invesmen D. Dependenca emporal del horzone emporal: ómo varían las magnudes de la OFI según cambe el plazo o período de análss: coro o largo plazo. Ane un ncremeno del plazo que aumene el número de capales fnanceros el PFM se verá afecado de la sguene forma: ' + 1 PFM ln + nuevos nuevos ' V' + ln V + 1 % ' % PFM ln ln % V' % V nuevos ' e e nuevos ' La varacón del PFM depende de los porcenajes de varacón de las cuanías acumuladas y de su valor acual. En caso de reduccón del horzone emporal de análss la varacón en el PFM sería análoga, pero de sgno conraro. Por oro lado, el cambo del plazo puede cambar el régmen fnancero a aplcar. Legalmene a coro plazo se ulza el régmen de nerés smple (hasa 376 días) y a largo plazo (más de un año) se ulza el régmen de nerés compueso. La relacón con el preco esrco es: ln ln ( 1 + I) ( 1 + I ) en nerés compueso en nerés smple 1 I 1 + I 1 I 1 + I y En ese caso varacones de las res varables afecan gual en ambos casos, pero enendo en cuena que a gualdad de po de nerés I, el preco esrco es dferene. Un resumen de las cuaro dependencas emporales de una OFI defenddas por el auor se presena en el sguene cuadro: 2

21 Tme dependence on Fnancal Operaons of Invesmen VARIABLES OFI VARIAIÓN EN EL TIEMPO VARIAIÓN POR EL TIEMPO UANTÍA Prevsones cuanías / renas Ubcacón cuanías DEPENDENIA TEMPORAL DE LA UANTÍA TIPO DE INTERÉS DIFERIMIENTO Esrucura Temporal de Tpos de Inerés DEPENDENIA TEMPORAL DEL TIPO DE INTERÉS Dsnos plazos según el momeno de valoracón DEPENDENIA TEMPORAL DEL MOMENTO DE VALORAIÓN Evolucón ETTI DEPENDENIA TEMPORAL DEL MOMENTO DE VALORAIÓN oro o largo plazo y regímenes fnanceros DEPENDENIA TEMPORAL DEL HORIZONTE TEMPORAL 2.2 Ejemplo de modelzacón subjeva. Las reglas de experenca y las de nferenca se basan en el conocmeno adqurdo y la aplcacón del razonameno sobre el msmo 7. Las de experenca descrben de una forma unversal, aunque no son generales, lo observado. Tenen una capacdad explcava débl porque se basan en la síness de las repecones observadas. Esas reglas pueden ser verdaderas o falsas según se fundamenen en un hecho cíclco o que ransoramene se ha repedo en el pasado, pero un cambo en las condcones hace que ya no se repa. En cuano a las reglas de nferenca son prescrpvas, es decr, planean como debería ser la Realdad y no cómo es. Generalmene se basan en la aplcacón de una lógca, es decr, de un razonameno que se consdere váldo. Ahora ben, su aplcacón a la Realdad dependerá del grado de correspondenca enre lo supueso (lo que debería ser) y lo observado (lo que es). En un mundo an complejo e ncero como el fnancero normalmene la aplcacón de dchas reglas no conceden la segurdad absolua porque para las de experenca es normal que camben las suacones y, por ano, ya no sean váldas (no generales). En el segundo caso los supuesos de parda pueden ser muy dsanes de la Realdad y las deduccones y razonamenos realzados no ser aplcables. 7 Vd. Ramírez Sarró, D. (1998). 21

22 Tme dependence on Fnancal Operaons of Invesmen En ese caso no se pueden planear las relacones algebracas porque el modelo no se fundamena en una represenacón maemáca únca de las OFI, sno que en cada caso se planearán unos supuesos dferenes. Se presenará un ejemplo para el caso de un aparcameno prvado de coches 8. Se oman zonas crculares de 2 meros de rado y se cuenan el número de vvendas de cada zona, consderando la necesdad de una plaza de aparcameno por vvenda 9. Se cuena el número de plazas de aparcameno en superfce y en vvendas exsenes y se calcula el défc respeco a la cfra aneror: Défc nº vvendas (Plazas superfce + Plazas vvenda) Se esma que la demanda de aparcamenos de pago será un erco del défc. Oras consderacones son el preco de los aparcamenos nuevos que se esma en un 4% más elevado sobre los coses de consruccón. Fnalmene, el porcenaje de vena de los msmos se esma en la mad al fnalzar la obra y el oro 5% durane el año sguene 1. Pero esa meodología ha de esar de acuerdo con los precos y esándares del mercado, de manera que s los aparcamenos nuevos de referenca (por ejemplo, los de la úlma consruccón de la zona o los de una zona cercana) son más alos que el preco fnal de vena (margen bruo de benefco del 4% más coses) se podría aumenar el preco hasa gualarlo, s los aparcamenos que se oferan son homogéneos. S el preco es nferor, según cual sea el umbral del margen bruo de benefco, o ben se baja el margen o ben se desesma el proyeco por no renable. 8 Meodología habual de rabajo en la evaluacón de la vabldad de ese po de nversones en onsorcos y Socedades de Inversón. 9 Dependendo de las reglas de experenca y de nferenca con que se rabajen el rao necesdad de plazas de aparcameno por vvenda puede varar según la zona analzada, por ejemplo, sendo funcón del nvel de rena. 1 De nuevo, dependendo del conocmeno, las reglas de experenca y de nferenca que se engan y se ulcen el coefcene de demanda, el margen de benefco bruo y el plazo de vena pueden varar según épocas y zonas. 22

23 Tme dependence on Fnancal Operaons of Invesmen La modelzacón maemáca sería: Período / apales Ingresos oses Año ( 7/3) [nv (ps + pv)] cu (1/3) [nv (ps + pv)] cu Año 1 ( 7/3) [nv (ps + pv)] cu Año 2 35 ( 4/3) [nv (ps + pv)] cu nv: nº vvendas; ps: plazas en superfce; pv: plazas vvenda; cu: cose unaro. Para el caso presenado se supone que los aparcamenos se venden 5% al fnal obra y el reso al año sguene, y que los coses se acumulan odos al fnal de la obra. Ello se puede jusfcar porque lo que se analzan son los pagos y cobros monearos que sempre son poserores a los ngresos y gasos realzados y es prácca habual acumularlos odos durane un msmo período del año o del mes. Tambén se supone que el IVA se lquda de forma nmedaa, según se cobra se raslada a Hacenda y que no hay coses de ransaccón, n deduccones de mpuesos a excepcón de las pérddas que se pueden deducr durane los 3 años sguenes. En esa caso las asas de renabldad de una OFI serían: S A [nv (ps + pv)] cu/3 Rendmeno absoluo bruo: 26 A Valor Acual Neo: A [ 3-7 e e -2 ] PFM 1 ln 1 ln ( ) '7 ln '7 e 2 '44 ( '7 ) ln '7 ˆ '44 e PFM ( '7 ) '3 + ' 14 e ln '44 ln '7 e '44 '3 + ' 14 e PFM 2 El esudo subjevo o de experenca, en cada caso endrá su equvalene en el esudo objevo. De ese modo, las dependencas emporales de una OFI se pueden generalzar 23

24 Tme dependence on Fnancal Operaons of Invesmen ambén al esudo subjevo, aunque no la forma algebraca de sus varacones. En el sguene cuadro se resumen dchas dependencas: Dependenca emporal cuanías Aumenos cobros aumenan margen, y aumenos pagos dsmnuyen margen. Varacón de renabldad. Dependenca emporal po de nerés Aumenos de pos de nerés aumenan cargas fnanceras y dsmnuyen margen. Descenso renabldad. Dependenca emporal momeno valoracón Dependenca emporal horzone emporal ambos en las expecavas ambos en la confanza de de cuanías y po de nerés la valoracón realzada. de fnancacón. Mayor confanza a coro plazo. Menor volumen ngresos esperados. En un esudo subjevo, las OFI se descrben por oras magnudes dsnas a las objevas, como son el margen. Generalmene, los creros fnanceros se obvan mponendo márgenes lo sufcenemene grandes como para asegurar una renabldad nea posva con ndependenca de la suacón de los cobros y pagos. 3. TIEMPO OMO VARIAIÓN. Las dependencas emporales se han defndo a parr de las varacones en las varables y magnudes de una OFI provocadas por el paso del empo y el cambo de localzacón. Es decr, se ha ulzado empo como snónmo de varacón. El concepo de empo se relacona con el cambo a ravés de su medda. Esa medda puede basarse en un empo homogéneo (empo físco), gual para odos los nsanes; en un empo dependene de la relevanca de los aconecmenos (empo hsórco); o de un empo que dference los nsanes según alguna caracerísca fnancera (empo fnancero). Todo el análss presenado se ha realzado consderando el Tempo físco, es decr, como s el empo fuese un smple conador que por dferenca numérca daría la dsanca emporal. El nconvenene de ulzar el empo físco es que se reduce odo a la ópca del pasado, es decr, se analzan los aconecmenos o la OFI como s ya hubese ocurrdo. Ora posbldad de análss es rabajar con el Tempo hsórco 11, cuyo paso lo da los 11 Vd. Neo de Alba, U. (1998). 24

25 Tme dependence on Fnancal Operaons of Invesmen momenos mporanes. En ese caso, el análss del pasado ene una correspondenca dreca con el empo físco, no así con el fuuro. La correspondenca sólo se puede deermnar ex-pos porque el paso del empo fuuro no esá deermnado. El Tempo hsórco pasa a dsnas velocdades en funcón de la flucuacón de la sere, de manera que en nervalos de mayor flucuacón pasa más rápdamene. En los msmos se localzan más momenos mporanes. Una úlma opcón de análss emporal es el Tempo fnancero 12 que ene una dmensón fracal y que dferenca cualavamene los momenos con pérddas, de aquéllos en los que hay ganancas y de los de sn pérddas n ganancas sgnfcavas. Eso se puede aplcar, en el caso de una OFI, para momenos ndvduales (npu, oupu o nada) o por nervalos (pérdda acumulada, gananca acumulada, renabldad acumulada cercana a cero), raándose fnanceramene de dferene manera. 4. ONLUSIONES. Una Operacón Fnancera de Inversón (OFI) requere de un análss dnámco para comprenderla porque el empo nfluye en la msma ano por el desarrollo de oda OFI en el empo como por su varabldad en el msmo. Una OFI se defne a parr de res varables: cuanía, po de nerés y plazo, las cuales pueden varar con el paso del empo su valor y por oro lado, las magnudes que descrben la OFI ampoco son ndferenes numércamene a cambos de ubcacón emporal de los valores de las varables. ada varabldad de valor o de poscón de los esados de las res menconadas varables da lugar a una OFI dsna en el sendo de que su descrpcón en érmnos de renabldad y de plazo promedo (PFM) camba. Esa varabldad esá en funcón del empo y analzando esas dependencas emporales se dvde el análss dnámco de una OFI en 12 Vd. eballos Hornero, D. (21). 25

26 Tme dependence on Fnancal Operaons of Invesmen cuaro pos: dependenca emporal de la cuanía, dependenca emporal del po de nerés, dependenca emporal del momeno de valoracón y dependenca emporal del horzone emporal. Los resulados obendos esudando las cuaro dependencas emporales para una OFI defnda desde el modelo del Dr. A. Rodríguez son relavos a unas varacones emporales mínmas, ya que en cuano la OFI sea excesvamene compleja por la dsposcón de sus capales fnanceros y/o las varacones que se esuden sean amplas, las dervadas deducdas y analzadas dejan de ser represenavas. Ese análss dnámco, aunque algebracamene obenga mejores resulados desde un esudo objevo ambén se puede planear para una modelzacón subjeva. Por oro lado, ampoco es necesaro ulzar una defncón físca del empo. 5. BIBLIOGRAFÍA. - eballos Hornero, D. 21. An Approach o Fnancal Tme en Proceedngs 4h Ialan-Spansh onference on Fnancal Mahemacs. Alghero, pp Galseo Rodríguez, M. 2. Dnámca de la Esrucura Temporal de Tpos de Inerés: un modelo de res facores. Tess docoral UB. Barcelona. - Gl Peláez, L Maemáca de las Operacones Fnanceras. 9ª edcón. Madrd. - Neo de Alba, U Hsora del Tempo en Economía. Madrd. - Ramírez Sarró, D A Valuaon of Uncerany n Approxmae Knowledge en Proceedngs Iner. AMSE Symposum, Lyon, pp Ramírez Sarró, D Lle Regla. ol loqus de Vc II, pp Rodríguez Rodríguez, A Maemácas de las Operacones Fnanceras (MOF). Barcelona. - Rodríguez Rodríguez, A Maemáca de la Inversón. Barcelona. - Suárez Suárez, A Decsones ópmas de nversón y fnancacón en la empresa. 18ª edcón. Madrd. 26

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