Funciones de Varias Variables

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Francisco José Miranda Ponce
hace 6 años
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1 Funciones de Varias Variables Índice de Quetelet o Índice de Masa Corporal El sobrepeso y la obesidad se definen como una acumulación anormal o excesiva de grasa que puede ser perjudicial para la salud. El índice de masa corporal (IMC)-peso en kilogramos dividido por el cuadrado de la talla en metros (kg/m)- es un índice utilizado frecuentemente para clasificar el sobrepeso y la obesidad en adultos. La OMS (organización mundial de la salud) define el sobrepeso como un IMC igual o superior a 5, y la obesidad como un IMC igual o superior a. Tomado de Clasificación del IMC Insuficiencia <.5 Intervalo normal.5-.5 Sobrepeso 5 Preobesidad Obesidad Éste índice es un ejemplo de una función de varias variables que estudiaremos en el presente curso. Una función de varias variables (campo escalar) es una regla que asigna a cada vector en un subconjunto de R n un único número real. Para el ejemplo del IMC: el espacio es R (por lo tanto se trata de una función de dos variables), las variables (independientes) son peso y talla, la regla es P y el IMC corresponde a la variable dependiente. Para hallar el IMC, se debe especificar tanto el peso de la persona como la talla, T el conjunto de todas las posibles combinaciones (parejas, vectores) de peso y talla (que son las variables independientes), en las cuales se podría calcular el IMC se conocen en matemáticas como el dominio de la función y los valores que puedan obtenerse del IMC (variable dependiente) se conocen como el rango de la función. Si asumimos el peso como la primera variable y la talla la segunda, vector o pareja (P, T ), el dominio(considerado de forma general) sería {(P, T ) R : P >, T > }. Este corresponde al primer cuadrante en el plano.

junto con su correspondiente valor asignado del rango.

2 Gráfica de una función de dos variables La gráfica de una función ayuda mucho para conocer el comportamiento de la misma. La gráfica de una función de dos variables se realiza en el espacio R y la superficie que se genera es el conjunto de todos los puntos del dominio junto con su correspondiente valor asignado del rango. Para el caso del IMC la gráfica que se obtiene con ayuda del programa de Matlab es Cuyo código es [x,y]=meshgrid (5:.:,.:.:); z=x./y. ; mesh(x,y,z) otras opciones plot(x,y,z) surf(x,y,z) surfc(x,y,z) xlabel( Peso ) ylabel( Talla ) zlabel( IMC ) title( Índice de Masa Corporal )

3 Curvas de nivel Otra forma de visualizar el comportamiento de una función de dos variables es por medio de las curvas de nivel. Una curva de nivel graficada en R, reúne en una curva, todas las parejas que generan un mismo valor (constante y predeterminado) para la función. Para el ejemplo del IMC es muy probable que varias personas tengan el mismo valor del IMC aunque difieran en sus pesos y tallas. Los valores (peso y talla) de esas personas aparecerían en la misma curva de nivel. Las curvas de nivel del índice de masa corporal se muestran en Matlab y en Geogebra. Curvas de Nivel..6. Talla Peso Cuyo código es [x,y]=meshgrid(5:.:,.:.:); z=x./y. ; contour(x,y,z,5::) %Grafica las curvas de nivel desde 5 al nivel. xlabel( Peso ) ylabel( Talla ) title( Curvas de Nivel )

4 Otra opción es mostrar el nivel sobre cada curva, generada en Matlab.. Curvas de Nivel Talla Peso Cuyo código es [x,y]=meshgrid(:.:9,.5:.:.); z=x./y. ; contour(x,y,z,::, ShowText, on ) % Muestra los niveles xlabel( Peso, FontSize,, FontWeight, bold, Color, b ) ylabel( Talla, FontSize,, FontWeight, bold, Color, r ) title( Curvas de Nivel, FontSize,, FontWeight, bold, Color, black )

5 En Geogebra se puede presentar de la siguiente forma 5

6 6 Ahora se trabajará la función f(x, y) = 6 x y El dominio de esta función es Dom = {(x, y) R : x + y 6}. La gráfica de este dominio es La zona sombreada representa todos las parejas en las cuales sí se puede reemplazar la función, como por ejemplo el punto A. Sin embargo en aquellas parejas que no pertenezan a esta zona si se reemplaza se genera una raíz negativa, como es el caso del punto B. Por lo tanto al dibujar curvas de nivel, éstas sólo pueden estar dentro de este círculo. Si se grafica la curva de nivel,79, esta debe pasar por el punto A.

7 La curva de nivel sólo consta de la pareja (, ). La curva de nivel corresponde al borde del dominio, x + y = 6. 7

8 .. Ejercicios. La cafetería de la universidad Sergio Arboleda vende el tinto a $, el café corriente a $, el café gourmet a $ y el capuchino a $. Escribir la función de ingreso que obtiene la cafetería por la venta de estos productos.. Para una caja rectangular sin tapa, construir la base cuesta $ por centímetro cuadrado y construir los lados cuesta $75 por centímetro cuadrado. Expresar el costo de construcción de la caja en función de las medidas de los lados.. Modelo de filas. La cantidad de tiempo promedio que un cliente espera en una fila para recibir un servicio es W (x, y) = con x > y donde y es el ritmo o tasa x y media de llegadas, expresada como número de clientes por unidad de tiempo, y x es el ritmo o tasa media de servicio, expresada en las mismas unidades.

9 .. EJERCICIOS 9 A. Determinar el dominio y graficarlo. B. Dibujar algunas curvas de nivel. C. Graficar la función.. La temperatura (en grados Celsius) en cualquier punto (x, y) de una placa circular de acero de metros de radio es T (x, y) = 6,75x,75y, donde x y y se miden en metros. Dibujar algunas de las curvas isotermas. 5. El coeficiente de inteligencia de una persona se mide con la función I(m, a) = m a donde a es la edad real de la persona y m es su edad mental. A. Trazar la gráfica de varias curvas de nivel. B. Qué describen estas curvas? C. Trazar la gráfica de la función. 6. Pediatras e investigadores médicos usan a veces la siguiente fórmula empírica S(W, H) =,7W,5 H,75 que relaciona el área de la superficie corporal S medida en m de una persona, con el peso W en kg de la persona y con la estatura H en cm. A. Encuentrar la curva de nivel que pasa por (7, 6). B. Si una persona pesa.7 kg y tiene un área superficial de.6 m, qué estatura se espera que tenga? 7. Para las siguientes funciones hallar su dominio, grafícarlo y graficar la función: A. f(x, y) = x+y 5x y B. f(x, y) = x + y 6 C. f(x, y) = xy D. f(x, y) = x x +y + E. f(x, y) = ln(x + y ) F. f(x, y) = x+y ln(x y+) G. f(x, y) = x y + y. Tigo ofrece un plan a sus usuarios por un valor de $5 que incluye minutos y mensajes de texto, a todo destino. El minuto adicional a cualquier destino tiene un valor de $5 y el mensaje de texto adicional a cualquier destino $. Si un usuario toma este plan, determinar la función de costo del plan. Graficar la curva de nivel para los valores c =, 5, 5, 6.

10 9. A continuación se presenta las curvas de nivel de una función f. Estimelos valores de f(, ), f(, ) y f(, ) donde sea posible. A. 5 Curvas de Nivel y x - -

11 6.. EJERCICIOS B. 5 Curvas de Nivel y x

12 C Curvas de Nivel y x

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