Calcular el área del paralelogramo si las diagonales son los vectores 2U V

Transcripción

1 x + y z 3 1. Hallar la disancia d de la reca L: = = al plano π que coniene al riángulo de vérices A(, 1, 4), (1,, -8) y C(, -3, 4) Ax + y + Cz + D Aplicando la disancia de un puno a un plano: d = donde AC,,, D perenecen al plano y A + + C el puno P( x, y, z) perenece a la reca. N = A A = 1,1, 1, =, 4, ( ) ( ) i j k N = = 48,4,6 4 ( ) Para hallar la ecuación del plano uilizamos la ecuación puno normal, donde enemos el vecor N y el puno A: 48( x ) + 4( y 1) + 6( z 4) = 8x 4y z 8 = Hallando la disancia de ese plano al puno de la reca P(,,3) : 8( ) 4() 1(3) d = = d = 8 + ( 4) + ( 1) 9 3. Calcular el área del paralelogramo si las diagonales son los vecores U V y 4U 5V donde U y V son vecores uniarios que forman un ángulo de 45º. Como se observa en la figura para hallar el área del paralelogramo uilizando sus diagonales aplicamos: 1 A = ( U V ) ( 4 U 5 V ) 1 A = 8 U U 1 U V 4 V U + 5 V V 1 1 A = 6V U = 6V U = 3U V sinα = 3(1)(1) sin 45º A = x = + 1/ 3. Represenar la curva (graficar) que esa dada paraméricamene. C:, 4 4; y = 1/ 1 1/ ( x) ( 1/ x = + + ) x = + = + C: y = 1 1/ ( y) ( 1 1/ ) 1 = y = + Resando ambas expresiones: x y = 4 es una hipérbola. Su grafica será. 3 jny_hc@homail.com 1

2 x = sin 4. Hallar el vecor angene uniario de la curva. C: y = 1 cos, R, en = π. z = x = sin C: y = 1 cos C = ( sin, cos, ) z = C' ( 1 cos, sin, 1) El vecor angene uniario será: T = = en el puno = π C' ( 1 cos ) + ( sin) + ( 1) C' ( 1 cos π, sin π, 1) T( π) = = T( π) = 1 C' 1 cosπ + sinπ + 1 ( π) 5. Si AC,, son vecores que perenecen a 3 ( ) ( ) ( ) ( ) A + + C A C = A C R, demosrar que ( ) ( ) ( ) 3 ( A + + C) ( A ) ( C) = 3A C ( A + + C) ( A ) ( C) = ( A + + C) ( A A C + C) ( A + + C) ( A A C + C) = AA AA C + A C + A A C + C + CA CA C + C C Si dos vecores se repien en un riple produco escalar enonces ese es cero escalar: A + + C A C = A C A C + C A ( ) ( ) ( ) Aplicando la propiedad de roación en el riple produco escalar enemos: ( A + + C ) ( A ) ( C) = A C A C + CA = A C + C A + C A = A C + A C + A C A + + C A ( C) = 3A C ( ) ( ) 6. Deerminar el valor de k de modo que los cuaro punos A(1,,-1); (,1,5); C(-1,,1) y D(k,1,3) esén siuados en mismo plano. Primero hallamos la ecuación del plano que conforman los puno A,, y C i j k A = ( 1, 1,6) N = A N = = (, 1, ) = (,,) Hallamos la ecuación del plano con la normal y el puno A. ( x 1) 1( y ) ( z + 1) =, x + 5y + z 1 = Reemplazamos el puno D en la ecuación del plano, para cumplir con la condición de que los cuaro punos esán en un mismo plano. x + 5y + z 1 =, D( k,1,3) k + 5(1) = k = jny_hc@homail.com

3 7. Hallar la ecuación de la esfera que es concénrica a la esfera S : x y z x y 4z = y angene al plano x + y = 1. Hallando el cenro de S : x y z x y 4z =, como es concénrica endrán el mismo cenro; S 1 : x + y + z x y 4 z + =,( x 1) + ( y 1) + ( z ) = El cenro de la esfera concénrica es: C (1,1,). Para hallar el radio aplicamos disancia de un puno al plano, donde el puno es el cenro de la esfera y el plano es el plano angene: Ax + y + Cz + D P(1,1, ) 1(1) + 1(1) + () 1 1 d = r = r = = : x y 1 A + + C π + = La ecuación de la esfera concénrica es: Sc:( x 1) + ( y 1) + ( z ) = Hallar la longiud de la curva cuya ecuación es: x =, y =, z = ; además del vecor angene uniario 3 en =1. La formula de la longiud de curva es: ' dx dy dz l = f( ) = d d d d l = ( 1 ) + ( ), 1 ( 1) + dl = + + d = d l + = + = 3 3 1,, f( )' El vecor angene uniario en el puno es: T = = en el puno = 1; f( ) ' (1) + + ( ) (1) 1,, (1) f(1) ' 1 T (1) = = T (1) = f (1)' (1) (1) + + ((1) ) 9. Hallar el área del riángulo formado por los vérices A(1,-,3); (3,1,) y C(,3,-1). El área de ese riangulo viene conformado por: i j k A A = (, 3 1) A = A = 3 1 = 7, 7, 7 = ( 1, 5, 4) ( ) A = A = u 4 jny_hc@homail.com 3 ( ) (,, )

4 1. En un rapecio recangular ACD las diagonales son muuamene perpendiculares y la razón enre las longiudes de C las recas es AD = λ hallar la razón enre la longiud de las diagonales. C Si AD = λ, como observamos en la grafica enonces se cumplec = λad por paralelismo de vecores. La grafica se puede represenar de la siguiene manera, donde se puede observar que las diagonales esán en función de: = m + (1 m) D = nd + (1 n) D Según la gráfica se puede observar que A es perpendicular a AD, por lo que su produco escalar será cero. A AD = Por suma de vecores hallamos m y n en función de λ : AD = D + A = λad + A A = nd + (1 m ) = λ D + A + nd + (1 m) = λ D nd + (1 m) + nd + (1 m) = λd λnd + λ(1 m) nd + (1 m) = ( λ λn n) D + (1 m)(1 + λ) D + = ( λ λn n) D + (1 m)(1 + λ) ( ) ( ) ( ) ( ) λ = λ λn n n = 1+ λ λ 1 = (1 m)(1 + λ) m = 1+ λ AD = (1 n) D + (1 m) AAD = ( nd + (1 m) ) ( (1 n) D + (1 m) ) = A = nd + (1 m) n(1 n) DD + (1 m)(1 n) D + n(1 m) D + (1 m) = Como los vecores D, son orogonales enonces su produco escalar es cero y ambién debemos recordar que XX = X donde 3 X es un vecor que perenece a R. n(1 n) n(1 n) D + (1 m) = = D (1 m) Reemplazando los valores para m y n enemos: λ λ (1 ) = 1+ λ 1+ λ = λ D λ (1 ) D 1 + λ jny_hc@homail.com 4

5 1 11. Hallar el dominio de la función vecorial f() =, 1,ln( + 1). 4 Aplicando las soluciones conocidas en calculo I Para la primera = ± (eviar la división enre cero). Para la segunda 1 ], 1] [1, [ (eviar la raíz cuadrada de un número negaivo). Para la ercera + 1 > > 1 (eviar el logarimo de canidades negaivas). El dominio de la función pedida se da por la inersección de las res resricciones aneriores, resulado final: Df = [1, [ { } 1. Hallar la ecuación de la reca angene a la curva C definida por: f() =,, 3 en el puno P (,,) Para hallar el valor de se debe hacer la siguiene igualación,, P(,,) 3 = de donde se deduce el valor único de es = 1. Para hallar el vecor angene a la curva, derivamos la función respeco de y luego evaluamos el valor de f() =,, 1,1,1 f'(),, f'(1) 3 = = 3 4 = ( 1,, 3) f '(1) = 1,, 3 y el puno P (,,). Para hallar la ecuación de la reca angene uilizamos el vecor angene ( ) x = r l: y = r z = 3r 13. Probar que las curvas en el espacio R3 definidas por ( f() = + 1,, 1) y g() = ( r,3r, r ) puno: hallar el ángulo que forman las curvas en ese puno. jny_hc@homail.com 5 se coran en un Para comprobar que dos curvas se coran en un puno, deben exisir escalares y r que verifique: + 1 = r f() = ( + 1,, 1 ) = g() = ( r,3r, r ) = 3r = 1 r = 1 1 = r f'() = ( 1,, ) f'(1) = ( 1,, ) Hallamos los vecores angenes para cada curva, evaluado en sus respecivos escalares: g'() = 4 r,3, r g'(1) = 4,3, En consecuencia el ángulo enre las curvas será el ángulo enre los vecores angenes: f'(1) g'(1) ( 1,, ) ( 4,3,) cosα = = cosα = α = arcos f'(1) g'(1) ( ) ( )

6 Hallar la longiud de la aseroide definida por ( ) b La formula de la longiud de curva es la siguiene l = f'() d Derivando la función respeco de : f'() = ( 3 a.cos ( sin ),3 a.sin cos ) Aplicando el modulo: ( ) ( ) π f() = a.cos, a.sin [, π], para [, ]. a f'() = 3 a.sincos + 3 a.sin cos = 3 a.sincos cos + sin = 3 a.sincos Aplicando la inegral para hallar la longiud: π π π π sin cos 3 3 a a l = 3 a.sincosd = 3a sincosd = 3a d = 3a = ( cosπ cos ) l = [ u] Para la hélice circular del espacio R3 definida por f() = ( a.cos, a.sin b, ); ab, >, hallar en cualquier puno P: a) la curvaura, b) el radio de curvaura, c) la orsión. Se calculan las derivadas: f'() = ( a.sin, a.cos. b), f''() = ( a.cos, a.sin,), f'''() = ( a.sin, a.cos,) f'() f''() a) k = curvaura = ; 3 f'() 3 3/ f'() = ( a + b ) 3 3/ ( ) f'() f''() = a.sin a.cos b = ( ab.sin, abcos, a ) f'() f''() = ab.sin + ( ab.cos ) + a f'() f''() = a a + b i j k acos a.sin f'() f''() a a + b a k = = k = f'() ( a + b ) a + b 1 a + b b) ρ = radio_ de_ la_ curvaura = ρ = k a f'() f''() f'''() b c) τ = orsión =, efecuando operaciones enemos: τ = f'() f''() a + b 4 jny_hc@homail.com 6

7 FORMULARIO VECTORES Y GEOMETRÍA SÓLIDA MAT-1 Vecores propiedades algebraicas, escalares, vecoriales y producos riples, Si a A,, C son vecores en son escalares. A + = + A A + ( + C) = ( A + ) + C A + = AsA, = ( sa, sa1, sa) Las propiedades algebraicas que presenan los vecores son las siguienes: s( A + ) = sa + s ( s + ) A = sa + A 1* A = A Produco escalar y produco vecorial si: A = ( a, a1, a) ( b, b1, b) = ab + ab ab i j k A = ( a, a1, a) = ( b, b1, b) AX = a a1 a b b1 b 3 R y s, Las propiedades del produco escalar son las siguienes: A = A A( + C) = A + AA = A A = Acosθ A = (si los vecores son orogonales) A = A (si los vecores son paralelos) Las propiedades del produco vecorial son las siguienes: AX = XA AX( + C) = AX + AXC A XA = AX = Asinθ A X = (si los vecores son paralelos) AX = A (si los vecores son orogonales) Triple produco escalar: AXC = CAX = CXA Triple produco vecorial: AX( XC) = ( ) ( A) C Proyección orogonal: A Pr oy A Punos de división si P x, y, z) P( x, y, ) : 1( z A Pr oy A = x = x1 + xr, y = r + 1 y1 + yr, z = r + 1 z1 + zr r jny_hc@homail.com 7

8 1 Área de un paralelogramoarea = AX Área de un riangulo: Area = AX Volumen de un paralelepípedo: 1 Volumen = AXC Volumen de un eraedro: Volumen = AXC 6 GEOMETRÍA ANALÍTICA SÓLIDA: EL PLANO: Ecuación general del plano: Ax + y + Cz + D = Ecuación puno normal: A x x ) + ( y y ) + C( z z ) ( = Disancia de un puno a un plano: Ax + y + Cz + d ( P Pe)N d d = = Donde P ( x, y, z) es A + + C N el puno, N y P e perenecen al plano π. LA RECTA: x = x + a1 Ecuación paramérica de la reca: L: y = y + a z = z + a3 Ecuación vecorial de la reca: l P + a = x x y y z z Ecuación caresiana de la reca: = = a1 a a3 ( P P axb Disancia enre dos recas alabeadas: d ) 1 ( ) = Donde P 1 a " l 1 " y P b " l ". axb ( Pe P Xa Disancia de un puno a una reca: d = ) Donde P e es el puno y P a " l". a LA ESFERA: Ecuación general de la esfera: Ax + y + Cz + Gx + Hy + Iz + K = La disancia de un puno cualquiera P( x, y, z) de la esfera con el cenro C( hk,, j ) y de radior, enonces enemos: ( x h) + ( y k) + ( z j) = R jny_hc@homail.com 8