GUÍAS DE TRABAJO. Matemáticas. Material de trabajo para los estudiantes UNIDAD 8. Preparado por: Héctor Muñoz

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1 GUÍAS DE TRABAJO Material de trabajo para los estudiantes UNIDAD 8 Preparado por: Héctor Muñoz Diseño Gráfico por:

2 Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas. Guía de Trabajo N 1 (TRABAJO INDIVIDUAL) EL VOLUMEN DE UN PRISMA RECTO 1 En años anteriores hemos aprendido a calcular perímetros y áreas de figuras geométricas. Ahora veremos cómo se puede calcular el volumen de un prisma recto. Un prisma recto es un cuerpo geométrico formado por dos polígonos iguales unidos entre sí por rectángulos. Los dos polígonos iguales reciben el nombre de bases. La figura muestra un prisma recto de base triangular. Figura 1 a. Cuáles son las bases en este prisma recto? Cuántas caras rectangulares tiene? Si las bases son rectangulares, entonces el prisma recto estará formado por 6 rectángulos y cualquier par de caras opuestas pueden ser consideradas las bases del prisma. b. El cubo es un prisma recto? Explica tu respuesta. 2 Para encontrar procedimientos de cálculo para el volumen de un prisma recto, empezaremos analizando el caso del cubo. Para determinar el volumen de un cubo habrá que definir una unidad de medida y ver cuántas veces cabe esa unidad de medida en el cubo. Tomaremos como unidad de medida un cubo de 1 cm por arista (figura 2). Esta unidad recibe el nombre de centímetro cúbico (cm 3 ). 1 cm 1 cm 3 Figura 2 Dependiendo del tamaño del cuerpo que se quiere medir, se pueden utilizar otras unidades de volumen, como el metro cúbico (m 3 ) o el milímetro cúbico (mm 3 ). a. Cómo definirías tú el metro cúbico? Y el milímetro cúbico? b. Cuántos centímetros cúbicos caben en un cubo cuya arista mide 2 cm? La figura 3 te puede ayudar. c. De acuerdo con esto, cuánto es el volumen de un cubo cuya arista mide 2 cm? Figura 3 d. Cuánto será el volumen de un cubo cuya arista mide 4 metros? e. Cuánto será el volumen de un cubo cuya arista mide 10 cm? f. Cuánto será el volumen de un cubo cuya arista mide 8 mm? FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 1

3 3 En la figura 4 se muestra un prisma recto que se ha formado en base a pequeños cubos. La arista de cada uno de estos cubos mide 1 cm. a. A qué unidad de volumen corresponde cada uno de estos cubos? Figura 4 El prisma está formado por 4 capas de cubos y cada capa está formada por 3 hileras de cubos. b. Cuántos cubos hay en cada hilera? Cuántos cubos hay en cada capa? Cuántos cubos hay en el prisma en total? c. De acuerdo con esto, cuánto es el volumen del prisma recto? 4 a. La figura muestra un container con sus dimensiones. Cuántos cubos de 1 m por arista caben en este container? Explica tu respuesta. 2 m b. De acuerdo con esto, cuánto es el volumen del container? 2 m 3 m 5 a. Mónica afirma que se podría calcular el volumen de un prisma multiplicando el largo por el ancho y por el alto. Se cumple esto en el caso de los prismas de las actividades anteriores? b. Se cumplirá en el caso de un cubo? 6 a. El recuadro resume una fórmula de cálculo para el volumen de un prisma recto. Qué repesenta cada una de las letras que aparecen en la fórmula? c b. En qué unidades queda expresado el volumen si la longitud de las aristas se mide en metros? Y si se mide en centímetros? Y si se mide en milímetros? a V = a. b. c b 7 a. Cuánto es el volumen de aire que contiene una sala de clases que mide 8,6 metros de largo, 5,5 metros de ancho y 3,2 metros de altura? b. Con cuántos metros cúbicos de agua de llena una piscina de 6 m de largo, 4 metros de ancho y 1,7 metros de profundidad? c. Efectúa las mediciones que sean necesarias y calcula el volumen de uno de tus libros de texto. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 2

4 Guía de Trabajo N 2 (TRABAJO INDIVIDUAL) UNIDADES DE LONGITUD, DE ÁREA Y DE VOLUMEN Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas. 1 Las principales unidades de longitud que se utilizan en la práctica se basan en el metro. Del metro se derivan algunas unidades más pequeñas, de las cuales las más conocidas son el centímetro y el milímetro. Y también se derivan del metro algunas unidades más grandes, como el kilómetro. a. Qué relación hay entre el metro y el centímetro? Y entre el metro y el milímetro? b. Qué relación hay entre el metro y el kilómetro? c. Qué significado atribuyes tú a los prefijos centi, mili y kilo? 2 a. La tabla muestra algunos de los prefijos más usados en el sistema de unidades. Podrías dar ejemplos de unidades en que se utilizan estos prefijos? b. A cuántos gramos equivale 1 kilógramo? c. A cuánto corresponde 1 milisegundo? d. En computación, la unidad de almacenamiento de información más utilizada es el byte (se pronuncia: bait) que equivale aproximadamente a la cantidad de memoria que se necesita para identificar una letra o símbolo en un texto. De acuerdo con esto, a cuántos bytes equivale 1 kilobyte? Y un megabyte? Y un gigabyte? Prefijo Factor Símbolo micro 10-6 μ mili 10-3 m centi 10-2 c kilo 10 3 k mega 10 6 M giga 10 9 G 3 Un metro equivale a 100 centímetros. Pero 1 m 2 no equivale a 100 cm 2, como se muestra acontinuación. Pensemos en un cuadrado de 1 m de lado. Hemos visto que el área de este cuadrado es 1 m 2. Si expresamos la longitud de los lados en centímetros, el área quedará expresada en cm 2. a. Calcula el área del cuadrado en cm 2. 1 m 2 1 m? cm 2 b. De acuerdo con esto, a cuántos cm 2 equivale 1 m 2? c. Utiliza un razonamiento similar para determinar la equivalencia entre 1 cm 2 y 1 mm cm FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 1

5 4 Utilizando un razonamiento similar a los de la actividad anterior, podemos encontrar las relaciones de equivalencia que existen entre las unidades de volumen. Pensemos en un cubo de 1 m de arista. Hemos visto que el volumen de este cubo es 1 m 3. Si expresamos la longitud de la arista en centímetros, el volumen quedará expresado en cm 3. a. Calcula el volumen del cubo en cm 3.? cm cm b. De acuerdo con esto, a cuántos cm 3 equivale 1 m 3? 5 Otra unidad de volumen que se utiliza con mucha frecuencia es el litro. Se simboliza con la letra L mayúscula. El recuadro muestra una relación que permite definir el litro. a. Según el recuadro, a cuántos litros equivale 1 m 3? b. También es frecuente expresar volúmenes en mililitros (ml). Qué relación debe existir entre 1 L y 1 ml? c. De acuerdo con esto, qué relación existe entre 1 ml y 1 cm 3? 1 L = cm 3 d. Haz una tabla con las principales equivalencias entre unidades de volumen. 6 a. Una tina de baño mide 70 cm de ancho y 1,50 m de largo. Cuántos litros de agua se necesitan para que el agua llegue a una altura de 40 cm? b. Un envase de jugo tiene forma de prisma recto. Tiene una base cuadrada de 8 cm de lado y una altura de 16 cm. Según la etiqueta, el envase contiene 1 litro de jugo. Verifica si las medidas indicadas corresponden a un envase de 1 litro. c. Algunas botellas de bebida contienen 750 cm 3. A qué fracción de litro corresponde esa cantidad de bebida? FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 2

6 Guía de Trabajo N 3 (TRABAJO GRUPAL) OTRA INTERPRETACIÓN PARA LA FÓRMULA DEL VOLUMEN DEL PRISMA RECTO Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas. 1 Hemos visto en años anteriores que en el caso del prisma recto de base rectangular, cualquier par de caras opuestas pueden ser consideradas las bases del prisma. En tal caso, las otras 4 caras serían las caras laterales. Llamaremos altura del prisma a la distancia entre las dos bases. En el caso del prisma recto, la altura coincide con la longitud de la arista que no pertenece a las bases. a. Supongamos que en el prisma de la figura 1, consideramos como bases las dos caras horizontales. Cuál sería la altura en ese caso? b. Cuál sería la altura si se considera que las bases son las caras que quedan a la derecha e izquierda del prisma? c a b Figura 1 c. Y si se considera que las bases son las caras que quedan adelante y atrás del prisma? 2 Hemos visto que el volumen del prisma de la figura 1 se calcula mediante el producto: V = a b c a. Si consideramos que las dos caras horizontales son las bases del prisma, qué representa al producto a b? Y qué representa la arista c? b. Nora afirma que el volumen del prisma es igual al producto del área de la base por la altura. Estás de acuerdo con ella? c. Seguirá siendo válido lo que afirma Nora si consideramos que las bases del prisma son las caras que quedan a la izquierda y a la derecha del prisma? d. Y si consideramos que las bases del prisma son las caras que quedan adelante y atrás del prisma? 3 El recuadro de la derecha muestra una nueva fórmula para calcular el volumen de un prisma recto. En esta fórmula, V es el volumen del prisma, B es el área de la base y h es la altura del prisma. V = B h a. Estás de acuerdo con esta fórmula? Explica tu respuesta. b. Es válida esta fórmula para calcular el volumen de un cubo? Y para calcular el volumen de un prisma recto de base cuadrada? FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 1

7 4 a. Supongamos que se quiere que el volumen de un prisma recto quede expresado en m 3. En qué unidades hay que expresar B? En qué unidades hay que expresar h? V = B h b. Supongamos que se quiere que el volumen de un prisma recto quede expresado en cm 3. En qué unidades hay que expresar B? En qué unidades hay que expresar h? 5 La figura muestra un prisma recto de base triangular. La base tiene forma de triángulo rectángulo. a. Cuánto mide el área de la base de este prisma? 3 cm b. Cuánto mide su volumen? 10 cm 5 cm c. Ignacio afirma que con dos prismas rectos iguales al de la figura se puede formar un prisma recto de base rectangular cuyas aristas miden 3 cm, 5 cm y 10 cm. Tiene razón? Explica tu respuesta. d. Cuánto mediría el volumen del prisma recto que propone formar Ignacio? e. Te parece razonable que este nuevo prisma tenga un volumen igual al doble del volumen del prisma de la figura? Explica tu respuesta. 6 La familia Gómez ha comprado un departamento de 42 m 2 de superficie. Todas las habitaciones tienen una altura de 2,2 m. Es posible calcular el volumen total del departamento a partir de estos datos? 7 Jorge ha colocado 3 cubos uno encima del otro formando un prisma recto de base cuadrada. Las aristas del cubo miden 5 cm. a. Cuánto mide el área de la base de este prisma? b. Cuánto mide su altura? c. Cuánto mide su volumen? d. Qué relación hay entre el volumen del prisma y el volumen de cada uno de los cubos que lo forman? e. Calcula el área de la superficie total del cubo y el área de la superficie total del prisma. f. Es el área de la superficie total del cubo el triple del área de la superficie total del prisma? Te parece razonable? FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 2

8 Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas. Guía de Trabajo N 4 (TRABAJO GRUPAL) EL VOLUMEN DEL CILINDRO 1 Entre los distintos cuerpos geométricos que tienen superficies curvas destacan la esfera, el cilindro y el cono. En esta guía centraremos nuestra atención en el cilindro. El cilindro está formado por 2 caras circulares iguales y paralelas entre sí, unidas por una cara curva. Las caras circulares reciben el nombre de bases del cilindro y la cara curva recibe el nombre de manto del cilindro. a. Cuántas aristas tiene el cilindro? (Recuerda que las aristas son las líneas que unen dos caras en un cuerpo geométrico). b. Qué forma tienen las aristas del cilindro? c. Cuáles de los siguientes dibujos representan cilindros? d. En cada uno de los dibujos que representan cilindros, indica cuáles son las bases y cuál es el manto. e. Entre los cuerpos geométricos que tiene tu curso, busca aquellos que son cilindros. Identifica en ellos las bases, el manto y las aristas. f. Qué objetos del entorno tienen forma similar a la forma de un cilindro? 2 Las bases del cilindro son 2 círculos iguales y paralelos entre sí. Si la recta que une sus centros es perpendicular a las bases, entonces decimos que el cilindro es un cilindro recto. Si la recta que une los centros de las bases no es perpendicular a las bases, entonces decimos que el cilindro es un cilindro oblicuo. a. La figura muestra un cilindro recto y un cilindro oblicuo. Cuál de ellos es el cilindro recto? Justifica tu respuesta. b. Cuál es el cilindro oblicuo? Justifica tu respuesta. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 1

9 3 En la guía anterior hemos conocido una fórmula para calcular el volumen de cualquier prisma recto. El recuadro muestra esa fórmula. De acuerdo con ella, para calcular el volumen de un prisma recto basta multiplicar el área de la base por la altura. a. A qué llamamos base en un prisma recto? A qué llamamos altura en un prisma recto? VOLUMEN DE UN PRISMA RECTO V = B h V : volumen del prisma B : área de la base h : altura del prisma b. Qué podemos decir acerca de las unidades en que se miden V, B y h en esta fórmula? 4 Al estudiar el círculo, vimos que esa figura geométrica podría considerarse como una caso límite de polígonos regulares en que se aumenta indefinidamente el número de lados. Utilizando un razonamiento similar, podemos considerar al cilindro como el límite a que va tendiendo un prisma recto si la base es un polígono regular y el número de lados se va aumentando indefinidamente. De acuerdo con esto, podemos calcular el volumen de un cilindro utilizando la misma fórmula que hemos encontrado para el prisma recto. Es decir, para calcular el volumen de un cilindro basta multiplicar el área de la base por la altura. a. Qué forma tienen las bases de un cilindro? Cómo podemos calcular el área de las bases? b. A qué llamarías tú la altura del cilindro? Justifica tu respuesta. c. Qué datos necesitarías para calcular el volumen de un cilindro recto? d. Qué propondrías hacer si te dieran el diámetro y la altura de un cilindro recto y te pidieran que calcularas su volumen? e. En qué unidades queda medido el volumen de un cilindro recto si tanto su radio como su altura están medidas en centímetros? f. Y si el radio y la altura están medidas en metros? 5 Un vaso de forma cilíndrica mide 6 cm de diámetro y tiene una altura de 8 cm. a. Cuánto mide su radio? b. Cuánto mide el área de la base? c. Cuánto mide su volumen? d. En este vaso cabe más o cabe menos de un cuarto litro de agua? Explica tu respuesta. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 2

10 6 Para regar su jardín, la señora Blanca utiliza una manguera de 1,2 cm de diámetro y 15 m de largo. Ella quiere saber cuánta agua puede contener la manguera. a. Podemos considerar la manguera como un cilindro? Explica tu respuesta. b. Cuál sería su base? Cuál seria su altura? c. Cuánto mide el radio de este cilindro? d. Están expresados en la misma unidad el radio y la altura? Qué conviene hacer para que el volumen quede expresado en centímetros cúbicos? e. Con ayuda de una calculadora, calcula el área de la base de la manguera. f. Podrías ahora informarle a la señora Blanca cuánta agua cabe en la manguera? Redondea tu resultado al centímetro cúbico. g. Podrías expresar el volumen en litros? (Recuerda que un litro equivale a centímetros cúbicos). 7 Don Agustín es famoso en su barrio por las empanadas que fabrica. Prepara la masa y el pino, luego divide la masa en porciones con las que forma una capa circular de masa de unos 15 cm de diámetro y 2 mm de espesor. Finalmente, coloca el pino y cierra la masa dándole la típica forma de la empanada. a. Podrías calcular el volumen de masa que tendrá cada empanada de las que fabrica don Agustín? Explica tu respuesta. b. Efectúa los cálculos y redondea el resultado al centímetro cúbico. (Asegúrate de que has utilizado correctamente las unidades de medida). 8 a. Considera dos cilindros rectos que tienen el mismo radio. La altura de uno de ellos es el doble de la altura del otro. El volumen del mayor de ellos es también el doble del volumen del menor? Refuerza tu respuesta con ejemplos concretos. b. Considera ahora dos cilindros rectos que tienen la misma altura. El radio de uno de ellos es el doble del radio del otro. El volumen del mayor de ellos es también el doble del volumen del menor? Refuerza tu respuesta con ejemplos concretos. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 3

11 Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas. Guía de Trabajo N 5 (TRABAJO GRUPAL) EL VOLUMEN DEL CONO 1 La figura de la derecha muestra un cilindro y un cono que tienen la misma base y la misma altura. a. Crees que ambos cuerpos tendrán el mismo volumen? Explica tu respuesta. b. Para calcular el volumen de un cono, podremos utilizar la misma fórmula que hemos utilizado para calcular el volumen de un cilindro? Explica tu respuesta. 2 El recuadro muestra una fórmula para calcular el volumen de un cono. a. Qué semejanzas y qué diferencias ves tú entre esta fórmula y la fórmula que hemos utilizado para calcular el volumen de un cilindro? b. Te parecen razonables las diferencias entre ambas fórmulas? Explica tu respuesta. VOLUMEN DE UN CONO V B h = 3 V : volumen del cono B : área de la base h : altura del cono 3 Con frecuencia se venden helados en cucuruchos con forma de cono. Cuánto helado contendrá uno de estos cucuruchos de 5 cm de diámetro y 15 cm de altura si se llena hasta el borde? 4 La base de un cono tiene un radio de 10 cm. La altura del cono es también de 10 cm. a. Cuánto es el volumen de este cono? b. Según Laura, si se aumentara al doble la altura de este cono sin variar el radio de su base, entonces el volumen del cono aumentaría al doble. Tiene razón? Explica tu respuesta. c. Según Mario, si se aumentara al doble el radio de la base de este cono sin variar su altura entonces el volumen del cono aumentaría al cuádruple. Tiene razón? Explica tu respuesta. b. Según Estela, si se aumentara al doble tanto la altura de este cono como el radio de su base, entonces el volumen del cono se multiplicaría por 8. Tiene razón? Explica tu respuesta. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 1