Elementos de la geometría plana

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1 Elementos de la geometía plana

2 Elementos de la geometía plana El punto Los elementos básicos de la geometía plana El punto es el elemento mínimo del plano. Los otos elementos geométicos están fomados po puntos. Habitualmente, el punto se designa con una leta mayúscula.. El segmento La ecta Un segmento ente dos puntos y es la línea más cota que une y. Se denomina segmento. y son los extemos del segmento... El punto medio de un segmento es el punto del segmento que se encuenta a la misma distancia de sus dos extemos. Al extende un segmento po sus extemos sin límite, se obtiene una ecta. Habitualmente, una ecta se designa con una leta minúscula. El ángulo Un ángulo es la abetua ente dos segmentos unidos po un extemo. Un ángulo se designa, habitualmente, con el nombe del extemo en el que se foma, coonado po el símbolo ^. R incipales ángulos El ángulo nulo, que mide 0º. El ángulo ecto, que mide 90º. El ángulo plano, que mide 180º. El ángulo completo, que mide 360º. Tipos pincipales de ángulos El ángulo agudo, meno que 90º. El ángulo obtuso, mayo que 90º. El ángulo convexo, meno que 180º. El ángulo cóncavo, mayo que 180º. Dos ángulos complementaios suman 90º. Dos ángulos suplementaios suman 180º. Intesección de ectas La posición de dos ectas Dos ectas se intesecan o cotan si tienen algún punto en común. Este punto se denomina punto de intesección. t Rectas paalelas s Dos ectas son paalelas si nunca se cotan, es deci, siempe se mantienen a la misma distancia.

3 Definiciones Los ángulos ente ectas que se cotan Ente dos ectas que se cotan se foman cuato ángulos. α β δ γ Ángulos y ectas paalelas Los ángulos opuestos po el vétice son iguales, y los ángulos contiguos son suplementaios. Dos ectas son pependiculaes si uno de los ángulos que foman ente ellas es ecto (de 90º). s t Si y s son paalelas, entonces = La mediatiz y la bisectiz La mediatiz de un segmento es la ecta pependicula al segmento que pasa po su punto medio. S La bisectiz de un ángulo es la ecta que lo divide en dos pates iguales. R La epesentación de los puntos del plano Sistema de epesentación catesiano Eje Y o de odenadas Eje X o de abscisas oigen de coodenadas Repesentación de un punto, expesado como un pa odenado (x,y) Se epesenta el punto, que es igual al pa odenado (4,2). y 3 2 (4,2) x

4 La geometía en la histoia La geometía es una de las disciplinas matemáticas más antiguas, desaollada con gan intensidad po los giegos antiguos (Euclides, Aquímedes, Apolonio de ega, etc.). En todo caso, algunos histoiadoes decían que cabe busca su oigen en Egipto: las cecidas peiódicas del Nilo deshacían los límites de los campos de cultivo instalados a su paso. Este hecho anual favoeció el estudio de la foma y el tamaño de estos teenos paa pode epoducilos una vez finalizada la cecida del ío. Aunque no es pobable que este sea el vedadeo oigen de la geometía, muesta claamente el objeto de estudio de la geometía: la foma y el tamaño de los objetos. Esta disciplina es muy útil, apate de la agicultua, en el estudio del univeso, en la aquitectua, en el diseño industial, etc. En todo caso, en este capítulo nos centaemos en el estudio de la geometía plana, es deci, la que se ocupa de los objetos situados sobe un plano (que debeemos imagina como un inmenso papel, de gan extensión). En la ilustación puede vese un fagmento de un ollo más gande de papio de los pimeos años de la ea actual. Fue sacado a la luz ente , ente pilas de despedicios de la ciudad antigua de Oxiinco, ceca de la actual aldea de Behnesa (a unos 150 km de distancia del Caio, ío aiba) po la expedición de B.. Genfell y A. S. Hunt de la Univesidad de Oxfod (ahoa está guadado en la Univesidad de ensilvania). Oxiinco ea en aquella época un poblado de colonos giegos, un emanente de la conquista del 330 d. de C. de Alejando Magno. Se cee que Euclides mismo vivió y enseñó en Alejandía alededo de 300 a. C. El fagmento contiene el enunciado, en giego, de la oposición 5 del libo II de los Elementos de Euclides. No hay esto de la demostación de esta poposición. Las palabas no están sepaadas unas de otas, páctica nomal en los manuscitos giegos del peíodo. Su taducción diía así: "Si una línea ecta se cota en dos segmentos iguales y dos segmentos desiguales, entonces el ectángulo fomado po los segmentos desiguales más el cuadado de lado igual a la distancia ente los puntos, es igual al cuadado de lado la mitad de toda la línea". Dicho de ota manea, puede se intepetado en téminos algebaicos de la siguiente foma: ab + (a b) 2 /4 = (a + b) 2 /4

5 Cuáles son los elementos básicos del plano? Los elementos básicos del plano son los puntos, los segmentos y los ángulos. El elemento mínimo del plano es el punto. Un segmento es la línea más cota ente dos puntos. Finalmente, un ángulo es la abetua que se foma ente dos segmentos que coinciden en un punto. El elemento mínimo del plano es el punto. uede imaginase como la maca que deja un lápiz al impacta sobe un papel sólo con la punta. El plano está lleno de puntos y cualquie objeto plano está fomado po un gupo de estos puntos. aa difeencia un punto de oto, éstos suelen denominase con letas mayúsculas. o ejemplo, la siguiente ilustación contiene los puntos A y B:. A. B El punto medio ente dos puntos y es aquel que se encuenta a la misma distancia de que de. o ejemplo, S es el punto medio de y... S. Un segmento ente dos puntos, y, es la línea más cota que se inicia en y temina en. En esta ilustación, sólo la línea de la deecha es un segmento. Los puntos que deteminan el segmento se denominan extemos. Tal como puede obsevase en la imagen, deben macase tanto la línea, como sus extemos paa epesenta coectamente un segmento. A veces, paa simplifica, no se macan los extemos si queda suficientemente clao que se tata de un segmento (poque se encuentan las letas de los puntos).... aa distingui un segmento de oto, se suele nombalos: el segmento de extemos y se denomina segmento. La distancia ente y es la longitud del segmento. Un ángulo se foma a pati de dos segmentos que tienen un extemo común. Este extemo se suele denomina vétice. La amplitud de un ángulo es la abetua que se poduce ente estos dos segmentos. Nomalmente, a la amplitud de un ángulo se le denomina simplemente ángulo. Una de las fomas de indica un ángulo consiste en usa la misma leta que el punto donde se foma, coonada con el signo ^. o ejemplo: R El ángulo se foma alededo del punto y, po ello, se le denomina. A veces, los ángulos se denominan con letas del alfabeto giego: α, βγ,... También es posible denominalos con una expesión fomada po las letas de los 3 puntos que foman el ángulo, coonados po ^. o ejemplo, el ángulo anteio también podía denominase R. 1 1

6 Cómo se miden los elementos básicos del plano? El Sistema Intenacional de Unidades utiliza el meto (m) como unidad de medida de la distancia y el adián (ad) como unidad de medida de los ángulos planos. En cualquie caso, está muy extendido el uso del gado sexagesimal en la medida de los ángulos, de oigen muy antiguo. El Sistema Intenacional de Unidades es el nombe adoptado po la XI Confeencia Geneal de esas y Medidas (celebada en aís en 1960) paa un sistema univesal, unificado y coheente de unidades de medida, basado en el sistema mks (meto kilogamo segundo). Este sistema se conoce como SI, iniciales de Sistema Intenacional. En la Confeencia de 1960 se definieon los patones paa seis unidades básicas o fundamentales (meto, kilogamo, segundo, gado, ampeio y la candela) y dos unidades suplementaias (adián y esteeoadián); en 1971 se añadió una séptima unidad fundamental, el mol. Las dos unidades suplementaias se supimieon como una clase independiente dento del Sistema Intenacional en la XX Confeencia Geneal de esas y Medidas (1995); estas dos unidades quedaon incopoadas al SI como unidades deivadas sin dimensiones. Los símbolos de estas unidades son los mismos en todos los idiomas. El Sistema Intenacional de Medidas establece el meto como unidad de medida de la longitud. El símbolo que la epesenta es una m. El sistema de unidades del meto y sus equivalencias es el siguiente: Unidades Símbolo Equivale a Equivale a kilómeto km 1000 m 10 3 m hectómeto hm 100 m 10 2 m decámeto dam 10 m 10 1 m meto m 1 m 10 0 m decímeto dm 0,1 m 10 1 m centímeto cm 0,01 m 10 2 m milímeto mm 0,001 m 10 3 m Así pues, el kilómeto, el hectómeto y el decámeto son múltiplos del meto, mientas que el decímeto, el centímeto y el milímeto son submúltiplos del meto. La tabla podía extendese más, con más múltiplos y submúltiplos del meto. Los ángulos se miden, tadicionalmente, en gados (denominados gados sexagesimales), que se indican con º, y su medida puede i de 0º a 360º. Ahoa bien, los ángulos también pueden expesase en adianes (ad) teniendo en cuenta esta equivalencia: 2π ad = 360º es deci, 1 ad = 180/π gados 57,3º. o lo tanto, paa tansfoma gados sexagesimales en adianes debe dividise ente 180/π; en cambio, paa tansfoma adianes en gados sexagesimales, debe multiplicase po 180/π. o ejemplo 180 multiplicando po π 3 ad 171,9 180 dividiendo ente π Algunos de los ángulos más comunes son: El ángulo nulo, que mide 0º o 0 ad. El ángulo A ˆ = 0º El ángulo ecto, que mide 90º o π/2 ad. El ángulo ˆ = 90º. El ángulo plano, que mide 180º o π ad. El ángulo T ˆ = 180º. El ángulo completo, que mide 360º o 2π ad. El ángulo N ˆ = 360º. o 0º B R 90º C A S 180º M 360º K T N L 2 2

7 La pincipal clasificación ente ángulos, basada en la compaación con el ángulo ecto y el ángulo plano, distingue: Ángulos agudos: cualquie ángulo meno que el ángulo ecto. o ejemplo, ˆ 39º = es un ángulo agudo. Ángulos obtusos: cualquie ángulo mayo que el ángulo ecto. o ejemplo, ˆ 120º K = es un ángulo obtuso. Ángulos convexos: cualquie ángulo meno que el ángulo plano. o ejemplo, ˆ 65º S = es un ángulo convexo. Ángulos cóncavos: cualquie ángulo mayo que el ángulo plano. o ejemplo, el ángulo ˆ 245º F = es un ángulo cóncavo. R N ˆK T I ˆ K L S Ŝ U ˆF F J Existen también elaciones ente dos ángulos que pemiten clasificalos en: Complementaios: si la suma de los ángulos es igual a un ángulo ecto, es deci, 90º. o ejemplo, 42º es el ángulo complementaio de 48º, ya que 42º + 48º = 90º. Suplementaios: si la suma de los ángulos es igual a un ángulo plano, es deci, 180º. o ejemplo, 49º es el ángulo suplementaio de 131º, ya que 49º + 131º = 180º. ué es una ecta y cuál es su elación con los otos elementos básicos? Oto de los elementos esenciales que podemos enconta en el plano es la ecta. Una ecta puede imaginase como una polongación sin fin de un segmento, po ambos extemos. En el caso en el que sólo se polongue uno de sus extemos, se denomina semiecta. Dos ectas del plano pueden o bien se paalelas, o bien cotase o intesecase en un único punto. En este caso, ente ambas ectas se foman 4 ángulos. Al continua indefinidamente un segmento po ambos extemos, siguiendo la misma línea, se obtiene una ecta. uede imaginase una ecta, pues, como un segmento ilimitado y, po ello, sin extemos. Nomalmente, una ecta se designa con una leta minúscula, en geneal, una consonante. La epesentación de una ecta nunca puede ealizase de foma completa poque debeíamos sali de los límites del papel en el que se epesenta. o ello, su epesentación es muy simila a la de un segmento, con dos salvedades: no se macan extemos y se le denomina con una sola leta, genealmente minúscula. Así, po ejemplo, esta podía se la ecta : 3 3

8 Una semiecta, a difeencia de una ecta, sólo se extiende ilimitadamente po un extemo, mientas que po el oto tiene como extemo un punto. o ejemplo, esta ilustación podía epesenta una semiecta: Dos ectas situadas en el plano pueden o bien cotase o intesecase, o bien se paalelas. Las ectas paalelas son aquellas que nunca se cotan, ni tan siquiea fuea del áea epesentada. o ejemplo, y s son ectas paalelas: s Es evidente que si dos ectas son paalelas, y una de ellas es paalela a una tecea, la ota ecta también debe se paalela a esta tecea. De la misma manea, si una ecta cota a una ecta, también debe cota a todas las ectas que son paalelas a ésta (aunque lo haga fuea del áea del dibujo). Dos ectas pueden cotase (o intesecase) en un punto, llamado punto de intesección. o ejemplo, el punto de la ilustación petenece tanto a la ecta como a la ecta s; po lo tanto, y s se cotan en el punto. s Cabe destaca que, a veces, dos ectas pueden cotase fuea del áea dibujada; aun así, debe decise que se cotan. o ejemplo, las ectas y t se cotan fuea del áea dibujada: t Ente dos ectas que se cotan se foman cuato ángulos. α β δ γ 4 4

9 Se dice que los ángulos α y γ son opuestos po el vétice; de la misma manea, los ángulos β y δ son opuestos po el vétice. En cambio, se dice que los ángulos α y β son contiguos; de la misma manea, α y δ son contiguos, β y γ son contiguos, γ y δ son contiguos. Estos ángulos tienen estas popiedades, fáciles de obseva: Dos ángulos opuestos po el vétice son iguales. Es deci, α = γ, y β = δ. Dos ángulos contiguos son suplementaios, es deci, suman 180º. o lo tanto, α + β = 180º, α + δ = 180º, β + γ = 180º, γ + δ = 180º. Estas dos popiedades nos aseguan que conociendo uno sólo de los ángulos de la intesección de dos ectas, podemos conoce los otos tes de manea inmediata. Ente las ectas que se cotan, meecen un comentaio especial las que foman un ángulo ecto; dos ectas que cumplan esta popiedad se denominan pependiculaes. o ejemplo, estas ectas son pependiculaes: 90º Nomalmente, el ángulo ecto ente dos ectas suele indicase con un pequeño cuadado levantado sobe la intesección de las ectas, tal como puede obsevase en la imagen. También puede obsevase fácilmente que si uno de los ángulos ente las dos ectas es de 90º, todos ellos deben se de 90º: el opuesto debe se de 90º; los dos contiguos al ángulo ecto también deben se de 90º, ya que sólo este ángulo, sumado al ecto, esulta 180º. Si dos ectas, y s, son paalelas y ota ecta, t, las cota a ambas, los ángulos fomados ente y t son los mismos que los fomados ente s y t. uede compobase obsevando esta ilustación que ˆ = ˆ. s t ué es la mediatiz de un segmento y cómo se constuye? La mediatiz de un segmento es la ecta que pasa po el punto medio de dicho segmento y es pependicula al segmento. aa taza la mediatiz de un segmento tan sólo es necesaio utiliza una egla y un compás. La mediatiz de un segmento es la ecta pependicula a este segmento que pasa po su punto medio. o ejemplo, la ecta es la mediatiz del segmento, ya que pasa po S, que es el punto medio ente y, y es pependicula al segmento. S 5 5

10 aa dibuja la mediatiz de un segmento, AB, utilizando La egla y el compás únicamente una egla y un compás, se deben segui estos Desde muy antiguo, los dos instumentos básicos paa pasos: la constucción de figuas geométicas en el plano son 1. Fija la anchua del compás, meno que la longitud de la egla y el compás: la egla pemite dibuja ectas, mientas que el compás pemite uni puntos que se AB, peo mayo que la mitad de la longitud de AB. encuentan a una misma distancia de uno dado (sobe 2. Fija la punta del compás en el punto A y dibuja una el cual se apoya una de las patas del compás), es deci, cicunfeencia. una cicunfeencia. En la antigua Gecia se pensaba que las figuas más 3. Fija la punta del compás en el punto B y dibuja una elegantes y dignas de estudio ean las que podían cicunfeencia. epesentase sólo con estos instumentos poque los dibujos esultantes se consideaban pefectos: la ecta 4. Taza la ecta que une los puntos que cotan ambas y la cicunfeencia. Ahoa bien, no po ello dejaon de cicunfeencias. Esta ecta es la mediatiz del tabaja con otos instumentos paa ealiza sus segmento. constucciones geométicas, aunque su objetivo ea pode ealizalos con egla y compás. De hecho, existen tes famosos poblemas que tataon de esolve con egla y compás, sin ningún éxito: La tisección de ángulos, es deci la división de un ángulo en tes pates. La cuadatua del cículo, es deci, la constucción de un cuadado que tuviese la misma áea que un cículo dado. La duplicación del cubo, es deci, la constucción de un cubo que tuviea el áea igual al doble de uno dado. ué es la bisectiz de un ángulo y cómo se constuye? La bisectiz de un ángulo es la ecta que lo divide po la mitad. aa constui la bisectiz de un ángulo tan sólo es necesaio usa la egla y el compás. La bisectiz de un ángulo es la ecta que lo divide en dos iguales. o ejemplo, en la figua, la ecta es la bisectiz del ángulo O ˆ : O aa constui la bisectiz de un ángulo Ô, utilizando solamente egla y compás, se deben segui estos pasos: 1. Fija la amplitud del compás en apoximadamente la mitad de uno de los segmentos. 2. Fija la punta del compás sobe el extemo O. 3. Maca las intesecciones de la cicunfeencia con los segmentos con las letas y. 4. Fija el compás sobe y dibuja la pate de la cicunfeencia que se encuenta en el inteio del ángulo. Haz lo mismo sobe. 5. Maca la intesección con la leta A. ˆ 6 6

11 6. Dibuja la ecta que pasa po O y po A. Esta ecta es la bisectiz del ángulo Ô. Cómo se epesentan los puntos del plano utilizando un sistema de epesentación catesiano? Los puntos del plano, y cualquie oto elemento constuido a pati de éstos, pueden manipulase de manea óptima utilizando un sistema de epesentación catesiano. Cualquie punto queda efeenciado a este sistema de dos ejes, uno de abscisas o eje X, y oto de odenadas o eje Y. De esta manea, un punto puede designase con un pa odenado, (x,y), cuya pimea coodenada coesponde al eje X, y la segunda, al eje Y. aa pode manipula de modo óptimo los puntos del plano, o cualquie oto objeto del plano, es útil utiliza un sistema de epesentación catesiano, que tiene estas caacteísticas: está fomado po dos ectas pependiculaes, cada una de ellas epesentando la ecta eal, denominadas ejes de coodenadas catesianas. La ecta hoizontal se denomina eje de abscisas, o eje X, y la ecta vetical, eje de odenadas o eje Y. No es necesaio que las unidades macadas en ambos ejes sean las mismas. Nomalmente, la intesección de ambas ectas se coesponde con el punto 0 de cada una de ellas. Este punto se denomina oigen de coodenadas. Eje Y Eje X oigen de coodenadas aa expesa un punto del plano con la ayuda de los ejes de coodenadas, o punto coodenado, se puede segui este pocedimiento: (1) Se taza una paalela al eje de odenadas que pase po el punto, y se cota con el eje de abscisas; el númeo esultante es la coodenada del eje de abscisas, o coodenada x. (2) Se taza una paalela al eje de abscisas que pase po el punto, y se cota con el eje de odenadas; el númeo esultante es la coodenada del eje de odenadas, o coodenada y. (3) El punto se expesa en foma de pa odenado, es deci, como un pa de númeos enceados ente paéntesis y sepaados po una coma: el pime númeo es la coodenada x, el segundo númeo es la coodenada y. En el ejemplo siguiente, se epesenta el punto, que es igual al pa odenado (4,2). y 3 2 (4,2) x Es evidente que el oigen de coodenadas es el punto (0,0). El plano así coodenado se denomina, también, plano catesiano. 7 7

12 8 8

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