Base Material de Estudio de Mecánica de los Fluidos

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1 1. Descripción del Curso. Código del Curso: Título del curso: Mecánica de los Fluidos Horas: 60 Descripción: Este curso introduce los principios de la Mecánica de los Fluidos. El curso comienza con una introducción de los conceptos básicos de las propiedades de los fluidos. El estudiante identificará los cálculos utilizados para la velocidad, razones de flujo. La Ecuación de Bernoulli será utilizada por el instructor para analizar la ecuación general de la energía y cuantificar las pérdidas de presión en un circuito de tuberías. Los estudiantes podrán reconocer en sus instalaciones los equipos usados ( bombas centrifugas, bombas de desplazamiento positivo, los sellos de dichas bombas, etc ) en un sistema de tuberías con un fluido por su interior. Prerrequisito: 12º grado 2. Tópicos Principales. Horas Teóricas A. Unidades de medida. Conversión B. Propiedades básicas de los fluidos C. Presión. Formas de expresión D. Flotabilidad E. Ecuación de Bernoulli F. Número de Reynold. Pérdida de energía por fricción. TOTAL Prácticas horas 3. Bibliografía Mott, Robert L., Applied Fluid Mechanics, Prentic Hall, 2000, 5th Edition GPSA, Engineering Data Book (SI version, 2 binder set)evaluación Power Engineering Part A Volume One. 4. Evaluación del estudiante Para recibir la nota final del curso el alumno debe desarrollar los ejercicios hechos en clase, así como elaborar los trabajos orientados a realizar fuera del horario de clase. La asistencia a clases debe ser igual o mayor al 80 %. La distribución de esta evaluación será la siguiente: Examen Parcial ( primer día de la segunda semana ). 50% Examen Final ( primer día de la tercera semana ) 50% 1

2 5. Guías del Resultado de Aprendizaje A. Unidades de Medidas. Conversión. Una vez terminada esta Guía los estudiantes serán capaces de aplicar ambos sistemas de unidades, el SI y el Sistema Imperial y su conversión. Objetivos: 1. Definir y aplicar los dos sistemas de medición a las variables como exactitud, precisión, su diferencia y sus fracciones significativas. 2. Evaluar y desarrollar el análisis de regresión lineal ( Interpolación ). 3. Argumentar la importancia de la consistencia de unidades en una ecuación. B. Propiedades Básicas de los Fluidos. Una vez terminada esta Guía los estudiantes serán capaces de interpretar la relación entre las propiedades básicas de los fluidos. Objetivos: 1. Definir los conceptos de densidad, peso específico, gravedad específica y la relación entre estas. 2. Definir el término de compresibilidad en un líquido. 3. Definir el concepto de viscosidad usando las ecuaciones y tablas apropiadas. 4. Describir y diferenciar entre masa, peso, fuerza y su vinculación a las propiedades de un fluido. 5. Diferenciar entre un fluido Newtoniano y uno no Newtoniano. C. Presión. Formas de expresión. Una vez terminada esta Guía los estudiantes serán capaces de identificar la presión en términos manométricos, ó absolutos bajo condiciones hidrostáticas. Objetivos: 6. Definir la relación entre presión absoluta, presión manométrica y presión atmosférica. 7. Describir el funcionamiento de los medidores de presión. 8. Definir la relación entre un cambio en elevación o altura y la presión en un fluido. D. Flotabilidad. Una vez terminada esta Guía los estudiantes serán capaces de analizar los elementos que interactúan cuando un objeto flota en un fluido y como el principio de equilibrio estático hace que el objeto mantenga la estabilidad. 2

3 Objetivos: 1. Definir las fuerzas que actúan sobre un cuerpo cuando flota. 2. Definir las condiciones en las que se debe encontrar un cuerpo para que se mantenga estable cuando se encuentre completamente sumergido en un fluido. 3. Definir las condiciones en las que se debe encontrar un cuerpo para que se mantenga estable cuando flota en un fluido. E. Ecuación de Bernoulli. Una vez terminada esta Guía los estudiantes serán capaces de analizar el flujo de un fluido a través de un conducto y aplicar la ecuación de Bernoulli a un sistema de flujos de fluidos. Objetivos: 1. Definir los valores de flujo volumétrico, de flujo de peso, y de flujo másico. 2. Evaluar los términos mencionados anteriormente usando el Principio y la ecuación de continuidad. 3. Expresar y aplicar el Principio de Conservación de la Energía para desarrollar la ecuación de Bernoulli de acuerdo a las tres formas de energía ( potencial, cinética y de flujo ). 4. Señalar y evaluar la velocidad de fluidos a través de diferentes tuberías. F. Número de Reynold. Pérdida de energía por fricción. Una vez terminada esta Guía los estudiantes serán capaces de analizar y evaluar un sistema de flujo de fluidos, diferenciando entre flujo laminar y turbulento, así como la pérdida de presión debido a la fricción entre el fluido y la tubería. Objetivos: 1. Describir la presencia de la condición de flujo laminar y flujo turbulento. 2. Describir la ecuación que determina la pérdida de energía debido a la fricción en flujo laminar. 3. Describir y aplicar la ecuación de Darcy para la determinación de pérdida de energía debido a la fricción para condiciones de flujo laminar y turbulento. 4. Analizar y evaluar la pérdida de energía en los distintos accesorios de las tuberías. 3

4 INDICE: TOPICOS Introducción A.- Unidades de medida. Conversión. Interpolación Unidades del sistema métrico e inglés Conversiones B.- Propiedades básicas de los fluidos Densidad Peso Específico Compresibilidad Viscosidad Masa, fuerza Fluidos Newtonianos y no newtonianos C.- Presión. Formas de expresión. Presión atmosférica. Presión absoluta. Presión manométrica. Formas de medir la presión D.- Flotabilidad. Estabilidad de cuerpos sumergidos Estabilidad de cuerpos flotando E.- Ecuación de Bernoulli. Ecuación de Continuidad Ecuación General de la Energía Velocidades de flujo recomendados F.- Número de Reynold. Pérdida de energía debido a la fricción Rugosidad PAGINA ,

5 A LOS ESTUDIANTES El objetivo de esta Base Material de Estudio ( BME ) es presentar al estudiante los principios de Mecánica de los Fluidos, la aplicación de esos principios a la práctica. Primeramente se hace énfasis en los sistemas de medición, ya que en la Industria Petrolera Cubana se utilizan ambos sistemas de unidades de medición, posteriormente se enfoca a las propiedades de un fluido, la medición de la presión, densidad, viscosidad y flujo. Se define cuando el flujo es laminar o turbulento. El alcance de esta BME es alentar a los estudiantes a introducirse en el aprendizaje de los principios de Mecánica de los Fluidos, para la comprensión de conceptos, reconocer las unidades en que se miden los parámetros de los productos que manipulan en sus entidades, adquirir la habilidad de reconocer los problemas que se susciten y mejorar su desempeño laboral. Textos de Referencia: Applied Fluid Mechanics 5th edition Robert L. Mott Power Engineering Part A Volume One. CONTENIDO Y OBJETIVOS: A. Unidades de medida. Conversión 1. Definir y aplicar los dos sistemas de medición a variables de longitud, área y volumen, demostrando la diferencia entre exactitud y precisión, y sus fracciones significativas. 2. Evaluar y desarrollar el análisis de regresión lineal ( Interpolación ). 3. Definir mediciones de cantidades físicas como longitud, área, volumen. Diferenciar los términos recorrido y velocidad promedio. 4. Argumentar la importancia de la consistencia de unidades en una ecuación. B. Propiedades básicas de los fluidos. 1. Definir los conceptos de densidad, peso específico, gravedad específica y la relación entre estas. 2. Definir el término de compresibilidad en un líquido. 3. Definir el concepto de viscosidad usando las ecuaciones y tablas apropiadas. 4. Describir y diferenciar entre masa, peso, fuerza y su vinculación a las propiedades de un fluido. 5. Diferenciar entre un fluido Newtoniano y uno no Newtoniano. C. Presión. Formas de expresión. 1. Definir la relación entre presión absoluta, presión manométrica y presión atmosférica. 2. Describir el funcionamiento de los medidores de presión. 3. Definir la relación entre un cambio en elevación o altura y la presión en un fluido. 5

6 D. Flotabilidad 1. Definir las fuerzas que actúan sobre un cuerpo cuando flota. 2. Definir las condiciones en las que se debe encontrar un cuerpo para que se mantenga estable cuando se encuentre completamente sumergido en un fluido. 3. Definir las condiciones en las que se debe encontrar un cuerpo para que se mantenga estable cuando flota en un fluido. E. Ecuación de Bernoulli 1. Definir los valores de flujo volumétrico, de flujo de peso, y de flujo másico. 2. Evaluar los términos mencionados anteriormente usando el Principio y la ecuación de continuidad. 3. Expresar y aplicar el Principio de Conservación de la Energía para desarrollar la ecuación de Bernoulli de acuerdo a las tres formas de energía ( potencial, cinética y de flujo ). 4. Señalar y evaluar la velocidad de fluidos a través de diferentes tuberías. F. Número de Reynold. Pérdida de energía por fricción. 1. Describir la presencia de la condición de flujo laminar y flujo turbulento. 2. Describir la ecuación que determina la pérdida de energía debido a la fricción en flujo laminar. 3. Describir y aplicar la ecuación de Darcy para la determinación de pérdida de energía debido a la fricción para condiciones de flujo laminar y turbulento. 4. Analizar y evaluar la pérdida de energía en los distintos accesorios de las tuberías. INTRODUCCIÓN. Mecánica de los Fluidos es el estudio del comportamiento de los fluidos, estén en reposo ( fluidos estáticos ), ó estén en movimiento ( fluidos dinámicos ). Los fluidos pueden ser líquidos ó gaseosos. Veamos algunas marcadas diferencias entre líquidos y gases: Los líquidos tienden a fluir libremente y toman la forma del recipiente que los contiene, como por ejemplo el agua que Ud envasa en su casa para tomar, toma la forma de la jarra o botella en que lo envasa para enfriarla, y después toma la forma del vaso en que la sirve para tomársela. Los líquidos en un recipiente abierto están expuestos a la atmósfera y mantienen un nivel determinado. Si el recipiente es movido ó golpeado el líquido tiende a derramarse, la cantidad a derramarse dependerá de una propiedad de los líquidos llamada viscosidad que estudiaremos más adelante. 6

7 Los gases tienden a expandirse hasta llenar completamente el recipiente; sus moléculas están en constante movimiento. Ejemplos: vapor de agua, oxigeno, nitrógeno. Si el recipiente que tiene contenido ese gas, es abierto el gas tenderá a seguir expandiéndose y escapará del recipiente. Los líquidos son incompresibles a las presiones con que trabajaremos. Los gases son fácilmente compresibles. Esta asignatura también abarca el comportamiento de los fluidos en las tuberías transportadoras de productos y la energía que tiene el fluido debido a su velocidad y presión. El agua y otros líquidos en la industria tienen muchos usos formando a lo que se le llama sistema formado por muchos componentes, como son: tuberías, accesorios ( válvulas, codos, tees, bomba, recipientes de contención ). Para una mejor comprensión de las propiedades de los fluidos, se requiere conocer bien los conceptos de masa y peso. Masa,- Es la propiedad de un cuerpo ó fluido de la medición de su inercia, ó resistencia a un cambio de movimiento. Se utiliza el símbolo m para masa. También se define como masa, la cantidad de materia que contiene un cuerpo. Peso.- Es la cantidad que un cuerpo pesa, o sea la fuerza con la cual un cuerpo es atraído hacia la Tierra por la gravedad. Se puede afirmar que el peso depende del lugar donde se encuentre el cuerpo. Se utiliza el símbolo w para peso. La relación entre masa, peso y gravedad es: w = m g ( Ley gravitacional de Newton ) Usaremos el valor de la aceleración de la gravedad como 9,81 m / s 2 ( metro por segundo al cuadrado ) en el sistema Métrico Internacional y 32,2 pies / s2 ( pies por segundo al cuadrado )en el sistema Inglés ó Imperial. 7

8 Tópico A.- Unidades de medida. Conversión Objetivos: 1. Definir y aplicar los dos sistemas de medición a variables de longitud, área y volumen, demostrando la diferencia entre exactitud y precisión, y sus fracciones significativas. 2. Evaluar y desarrollar el análisis de regresión lineal ( Interpolación ). 3. Definir mediciones de cantidades físicas como longitud, área, volumen. Diferenciar los términos recorrido y velocidad promedio. 4. Argumentar la importancia de la consistencia de unidades en una ecuación. En cualquier trabajo técnico las unidades en las cuales las propiedades físicas son medidas deben ser declaradas en uno ó en otro Sistema de Unidades. Existen el Sistema Internacional de Unidades ( SI ) ó Sistema Métrico y el Sistema Inglés o Imperial de Unidades. La Industria Petrolera utiliza los dos Sistemas de Unidades por lo que trabajaremos en ambos sistemas y sus conversiones. Identificar las fracciones significativas después del punto (décimas, centésimas) en una cifra. Explicar la confiabilidad de una medición. Cuando es una medición exacta, segura o confiable y cuando es precisa. Una medida es segura o confiable cuando el valor medido coincide con el valor real o aceptado de la cantidad medida. Por ejemplo se tiene un volumen cuya medición real es 23.8 litros, si se hace una medición y se obtiene el valor de 23.7 se puede decir que es segura o confiable, no seria confiable si fuera 22 litros. La precisión se refiere a la estrechez o finura de la medición, o sea la cantidad de dígitos en el valor medido. Por ejemplo una medición de 30,65 milímetros es más precisa que una de 30 milímetros. En ocasiones necesitamos hallar un valor intermedio a dos valores conocidos, por ejemplo en una tabla que me expone las Propiedades del refrigerante Nº 12 a diferentes temperaturas, y en este caso me relaciona la Presión Absoluta en kpa a diferentes temperaturas Temperatura ºC Presión Absoluta en kpa

9 Ejercicio: Se necesita saber la presión absoluta del refrigerante a 10.5ºC. Tengo los valores a 10º y a 11ºC. Cómo hallo ese valor intermedio? A eso se le llama interpolación. Primer Paso: Hallo la diferencia entre los valores de Presión Absoluta a 11 y a 10ºC = , o sea para un grado de temperatura la variación de presión absoluta es de Aplicando la regla de tres. Para 1ºC tengo una diferencia de Para 0,5ºC tendré , o lo que es lo mismo dividir entre dos. Entonces si le sumo ese valor de al valor de la presión absoluta de 10ºC tendré el valor de presión absoluta a 10.5ºC = Ejercicio: El aire a 1000 m de altura tiene una presión de 89,9 KPa y a 2000 m de altura tiene una presión de 79,5 KPa. Calcule el valor de la presión en KPa a 1300 m de altura usando el método de interpolación. A 1000 metros P= 89,9 KPa A 2000 metros P= 79,5 KPa Para una diferencia de 1000 metros de altura ( = 1000 ), hay una diferencia en Presión de 89,9 79,5 KPa, o sea 10,4 KPa. Necesitamos saber la presión a 1300 metros de altura, o sea 300 metros por encima de 1000 metros a cuya altura sabemos la presión del aire, entonces aplicando la regla de tres tenemos: Si para 1000 m tenemos una diferencia de presión de 10,4 KPa 10,4 300 Para 300 m tendremos x por lo que x= 3, Como se que el valor de presión para 1300 metros tiene que ser un valor intermedio entre 89,9 y 79,5 KPa, entonces a 89,9 le resto 3,12 y me dará el valor de presión para 1300 metros de altura, que será 86,78 KPa. Vamos a comprobar, ahora tomando como referencia el valor de presión a la altura de 2000 m Si para 1000 m tenemos una diferencia de presión de 10,4 KPa Para 700 m (diferencia entre 2000 y 1300) x ,4 Aplicando de nuevo la regla de tres tendremos 7, Entonces al valor de presión para 2000 metros que es 79,5 KPa le sumaré el valor hallado de 7,28 y vemos que da 86,78 Kpa, o sea el mismo valor que hallamos anteriormente. 9

10 A continuación relacionaremos las unidades de medición usadas en el Sistema Métrico Longitud Tiempo Masa Fuerza, peso Presión Energía Potencia Volumen Área Flujo Volumétrico Flujo de peso Flujo Másico Peso específico Densidad Temperatura Unidades estándar Metro ( m ) Segundo ( s ) Kilogramo ( Kg ) Newton ( N ) Pascal ( Pa ), ó N/m2 Joule ( J ) ó N m Nm/s ó J/s Metro cúbico ( m3 ) Metro cuadrado ( m2 ) ( m3 / s ) ( N/s) Kg / s N / m3 Kg / m3 Grados Centígrados ( ºC ) Otras unidades utilizadas Milímetro (mm ), Kilómetro ( Km) Hora ( h ), minuto (min ) Gramo ( g ), Kg m / s2 Kilopascal ( kpa ), Bar Kg m2 / s2 Watt ( w ), Kilowatt ( kw ) Litro ( L ) Milímetro cuadrado ( mm2 ) Litro por minuto, ó litro por segundo KiloNewton por segundo ( kn / s ) Kg / h Kg / m2 s2 N s2 / m 4 A continuación relacionaremos las unidades de medición usadas en el Sistema Inglés Longitud Tiempo Masa Fuerza, peso Presión Energía Potencia Volumen Área Flujo Volumétrico Unidades estándar Pies ( ) Ej 5 Segundo ( s ) Libra masa ( lbm ) Libras ( lb ) Lb / pulg2 Lb-pies Caballos de fuerza ( HP ) Pies 3 Pies 2 Pies 3 / s Flujo de peso Flujo Másico Peso específico Densidad Temperatura Lb / s Lbm / s Lb / pies3 Lbm / pies3 Grados Farenheit ( ºF ) Otras unidades utilizadas Pulgadas ( ) pulg Ej: 5, Millas ( mi ) Hora ( h ), minuto (min ) Lb / pies2 Lb-pulg Lb-pies /s Galones ( gal ) Pulg2 Galones por minuto ( gpm ), pies cúbicos por minuto ( pies3 / min ) Lb / min, lb / h Lbm / min, lbm / h 10

11 Debido al uso de mediciones de tan grandes dimensiones físicas, se han añadido prefijos que facilitan la lectura de dimensiones. En el Sistema Internacional ó Métrico se denotan de la siguiente manera: Prefijo Mega Kilo Hecto Deca Deci Centi Mili Micro Símbolo M k h da d C M µ Factor 106 = = = = = = = = Ejemplo: Usando el metro como referencia tendría: Kilómetro = 1000 metros Hectómetro = 100 metros Decámetro = 10 metros. Decímetro = 0,1 metros Centímetro = 0,01 metros Milímetro = 0,001 metros A continuación alguna de las conversiones que más se usarán en esta asignatura y en nuestra industria petrolera: En cuanto a unidades de longitud: 1 pulgada (1 ) = 25,4 milímetros. 1 pie = 12 pulgadas. 1 metro = 3,28 pies. En cuanto a unidades de área: 1 metro cuadrado (1 m2) = 10,76 pies2 En cuanto a unidades de volumen 1 litro = 1 decímetro cúbico (dm3) 1 metro cúbico (m3) = 1000 litros. 1 pie cúbico = 7,48 galones americanos. 11

12 1 barril americano = 42 galones americanos. En cuanto a unidades de masa 1 Kilogramo ( kg ) = 2,20 libras En cuanto a presión 1 lb / pulg2 = 1 p.s.i (libras por pulgadas cuadradas es lo mismo que p.s.i (en inglés pound per square inch), que significa libras por pulgadas cuadradas) 1 kg / cm2 = 14,22 libras / pulgadas2 ( lb / pulg2 ) 1 atmósfera ( atm ) = 14,7 lb / pulg2 1 atm = 760 milímetros de mercurio a 32º Fahrenheit ( 0º Celsius ) 1 atm = 1 kg / cm2 Ejercicio: Convertir 0,723 km a metros Si tenemos que 1 Km = 1000 metros, aplicando la regla de tres tendremos: 1 Km = 1000 metros Multiplicando en cruz sería: 0,723 * 1000 y eso sería igual a 1 * X. Por tanto la respuesta será: X = 0,723 * 1000 / 1 = 723 metros 0,723 Km serán X metros Ejercicio: Convertir 109 mm a centímetros. Si 1 cm = 10 mm X cm serán 109 mm Por tanto X = 109 * 1 / 10 = 10,9 cm Ejercicio: a. Convertir a centímetros: 131 metros. Si un metro=100cm 131 m. 100= cm 12

13 También lo podemos analizar de la siguiente manera: Tomando el metro como el patrón Km (Kilómetro) Hm (Hectómetro) Dm (Decámetro) m ( metro ) dm (Decímetro) cm (Centímetro) mm (Milímetro) De metro hacia arriba se va dividiendo: un lugar por cada medida, o sea un lugar de metro a Decámetro (que es lo mismo que dividir por 10), dos lugares de metro a Hectómetro, y tres lugares de metro a Kilómetro. De metro hacia abajo se va multiplicando: un lugar por cada medida, o sea un lugar de metro a decímetro (que es lo mismo que multiplicar por 10), dos lugares de metro a centímetro, y tres lugares de metro a milímetro. b. Convertir a centímetros 2,7 Km Si tengo Kilómetros a centímetros serían 5 lugares ( de Km a Hm un lugar, de Hm a Dm otro lugar, de Dm a m otro lugar, de metro a dm otro lugar y de dm a cm un quinto lugar. Por tanto sería 2, = , o sea 2,7 Km= cm c. Convertir a centímetros 14 dm De Decímetro a centímetro es un lugar hacia abajo, por tanto tengo que multiplicar 14 por 10, o sea 14 dm= 140 cm d. Convertir a centímetros 25,4 mm De milímetros a centímetros es un lugar hacia arriba, por tanto tengo que dividir por 10, o sea 25,4 mm= 2,54 cm Algo parecido ocurre con gramos, kilogramos, etc e. Convertir a Kilogramos: 450 gramos De gramos a kilogramos irían tres lugares hacia arriba, o sea que se debe dividir ente 1000, por tanto 450 gramos= 0,450 Kg Veamos ahora los conceptos de otras mediciones de cantidades físicas como recorrido, velocidad, distancia y desplazamiento. Recorrido.- Es la distancia que un cuerpo viaja o se traslada en la unidad de tiempo y se mide en metros por segundo. ES una magnitud escalar y es independiente de la dirección. 13

14 Velocidad.- La velocidad es una componente del recorrido. Es una magnitud vectorial y tiene una dirección determinada. Ejemplo: Un vehículo viaja o recorre una distancia total de 300 Km. La travesía implica un tiempo al timón de 6 horas y varias paradas de 2 horas. Cuál sería el recorrido promedio? Aquí no se habla de dirección de ese recorrido, ni de punto de destino, o sea que no se puede representar en un gráfico. Por tanto recorrió 300 Km en 8 horas, o sea 300 / 8 = 37,5 Km / hora. Ejemplo: Un cuerpo se mueve a lo largo del camino mostrado en la figura, en un tiempo de 10 segundos. Determine el recorrido promedio y la velocidad promedio. D N 13 m C 20 m A 8m B 10 m Distancia recorrida por AB BC CD = 10 m + 8 m + 13 m= 31 m Desplazamiento de A a D en la dirección Norte = 20 m Dis tan cia 31 m 3,1 m s tiempo 10 s Desplazamiento 20 m Velocidad promedio 2 m en la dirección Norte s tiempo 10 s Re corrido promedio Ejercicio: Un tren recorre 127 Km desde la ciudad A a la ciudad B. La ciudad B está a 100 Km por el Norte de la ciudad A. Si la velocidad promedio del tren es de 90 Km/ hora rumbo Norte. Qué tiempo le tomará hacer el viaje? 14

15 Es sumamente importante que se tenga claridad a la hora de trabajar las unidades de medición para que siempre estén en un solo sistema. A menudo las ecuaciones son complejas y es extremadamente importante que los resultados sean dimensionalmente correctos. Todos los términos de la ecuación deben estar en el mismo Sistema de Unidades, porque de lo contrario las respuestas tendrán un valor numérico erróneo si las unidades en la ecuación no son consistentes. Como se mencionaba anteriormente existen conversiones con respecto a masa, fuerza longitud, área, volumen, flujo volumétrico, densidad, peso específico, presión, energía, potencia, por ejemplo: 1 Newton ( N ) = 1 Kg m / s2 1 Pascal ( Pa ) = 1 N/m2 1 Joule ( J ) = 1 N m En la tabla de conversiones K.1 tenemos varios factores de conversión de la siguiente forma: Por ejemplo en la primera fila MASS (que en inglés es masa) 2,205 lbm Esto quiere decir que 1 kg= 2,205 libras-masa, entonces el factor de kg conversión entre unidades de kilogramos y libras-masa es 2,205. Si necesito convertir 4,5 kg a libras, hago lo siguiente: mi factor de conversión lo coloco en la manera que a mí me convenga para cancelar los Kg y solo me quede libras-masa. 2,205 lbm así puedo cancelar los kg y multiplico 4,5 por 2,205= 9,92 lbm, o sea que kg si tengo 4,5 kg de carne o vianda, serían igual a 9,92 libras. 4,5 kg Ahora bien si tengo que convertir libras-masa a kilogramos, hago de esta manera: Supongamos que necesito convertir 15 libras a Kilogramos, entonces usando el mismo factor de conversión, tenemos kg 6,80 kg porque colocando de esta forma puedo cancelar las libras y me 2,205lbm quede kilogramos que es lo que necesito, y en este caso dividiendo 15 entre 2,205 obtengo el valor de 6,80 y finalmente puedo decir que 15 libras es equivalente a 6,80 kilogramos. 15 lbm Ejercicio: 15

16 Convertir de metros cúbicos a galones. Convertir 45 metros cúbicos a galones. Primer paso: Identificar el tipo de medición que tengo que convertir. Si veo metros cúbicos puedo asegurar que estamos hablando de volumen. Segundo paso: Busco en mi tabla, la fila donde están los factores de conversión de volumen, y encuentro el factor de conversión específico entre galones y metros cúbicos. Tercer paso: Analizo la forma en que lo coloco para obtener la unidad de medida deseada 264 gal m3 3 Si tengo que convertir 45 m a galones, observo que colocando mi factor de conversión en esa misma posición puedo cancelar los metros cúbicos y me quedan galones, entonces: El factor de conversión entre galones y metros cúbicos es 45 m gal gal o sea que 45 m3= galones. 3 m Pero si hubiera necesitado convertir galones a metros cúbicos, hago lo siguiente: m3 45 m 3 o sea hubiera colocado mi factor de conversión invertido para 264 gal poder cancelar en este caso los galones y obtener mi resultado en metros cúbicos que era lo que necesitaba gal Ejercicio: Convertir psi a Pascales Primer paso: Identifico que tipo de medición. Si veo pascales y psi ( libras por pulgadas cuadradas) se que estoy en presencia de una medición de Presión. Segundo paso: Busco en la tabla la fila que contiene los factores de conversión de presión o en inglés pressure y localizo el factor que involucra Psi ó libras por pulgadas cuadradas y Pascal Tercer paso: Veo en la posición que debo poner mi factor de conversión 6895 Pa lb Veo que colocando mi factor de conversión en la misma posición 2 lb pu lg pu lg 2 que lo tengo en mi tabla, puedo cancelar las libras por pulgadas cuadradas y multiplicando por 6895 obtengo mi resultado en Pascales. Entonces finalmente tengo que psi= Pascales Si me dicen ahora que tengo que ofrecer esa información de presión en Kilopascales (KPa) entonces tendría que dividir por tres lugares para obtenerlos, o sea 16

17 entre 1000 y me quedaría 82740, y mi información sería KPa Ejercicios 1.1 a 1.6 del libro de texto Convertir 1250 mm a metros. Convertir 1600 milimetros cuadrados a metros cuadrados. Convertir 3,65 x 103 milímetros cúbicos a metros cúbicos. Convertir 2,05 metros cuadrados a milímetros cuadrados. Convertir 0,391 metros cúbicos a milímetros cúbicos. Convertir 55 galones a metros cúbicos. Ejercicios para tarea: Convertir una longitud de 25,3 pies a metros. Convertir una distancia de 1,86 millas a metros. Convertir una longitud de 8,65 pulgadas a milímetros. Convertir una distancia de 2580 pies a metros. Convertir un volumen de 480 pies cúbicos a metros cúbicos. Convertir un volumen de7390 centímetros cúbicos a metros cúbicos. Convertir un volumen de 6,35 litros a metros cúbicos. Convertir 6 pies por segundo a metros por segundo. Si tenemos que la tensión superficial del agua a 60ºF es de 5,03 mlb/pie y la tensión superficial a 70ºF es de mlb/pie, halle la tensión superficial a 63ºF 17

18 Tópico B : Propiedades básicas de los fluidos. Objetivos: 1. Definir los conceptos de densidad, peso específico, gravedad específica y la relación entre estas. 2. Definir el término de compresibilidad en un líquido. 3. Definir el concepto de viscosidad usando las ecuaciones y tablas apropiadas. 4. Describir y diferenciar entre masa, peso, fuerza y su vinculación a las propiedades de un fluido. 5. Diferenciar entre un fluido Newtoniano y uno no Newtoniano. El estudio de Mecánica de los Fluidos típicamente trata con un fluido fluyendo continuamente, es por ello que es conveniente asociar la masa y el peso del fluido de un volumen dado de este. Para esto se utiliza el concepto de Densidad. Densidad es la cantidad de masa por unidad de volumen de una sustancia. Para identificar la densidad se usa la letra griega ρ ( rho ) ρ=m/v donde V es el volumen de la sustancia que tiene una masa m. Unidades: Kg / m3 Para una mezcla de líquidos que no presente cambios físico-químicos esenciales y donde el volumen sea igual a la suma de los volúmenes de los componentes, podrá utilizarse con aproximación, la expresión siguiente: 1 mezcla A1 A 2 A n 1 2 n donde A1, A2. An son las fracciones en peso de los componentes de la mezcla y mezcla, 1, 2, n son las densidades de la mezcla y de sus componentes. Para una suspensión: 1 A 1 A 1 1 susp S L Donde: A1 es la fracción en peso de la fase sólida en la suspensión. S y L son las densidades de las fases sólida y líquida. 18

19 Para los gases, la densidad varía bastante con la temperatura y con la presión, por lo que la densidad de cualquier gas para una temperatura T y una presión p gas o To p T po donde: o es la densidad del gas en condiciones normales, o sea a temperatura 273ºK y presión atmosférica po = * 105 Pa ó kpa. o M 22.4 T o= kg 3 m donde: M es la masa molecular del gas en kg/ kmol ( este valor aparece en tablas ). De la expresión anterior puede deducirse que la densidad de los gases aumenta con el aumento de la presión y disminuye con el aumento de la temperatura. En tablas aparecen valores de densidad para distintos gases a To y po Peso específico es la cantidad de peso por unidad de volumen de una sustancia. Para identificar el peso específico se usa la letra griega ( gamma ) = w / V donde V es el volumen de una sustancia que tiene un peso w, y las unidades son N / m3 Gravedad específica es la relación de la densidad de una sustancia con respecto a la densidad del agua a 4º C. ó la relación del peso específico de una sustancia con respecto al peso específico del agua a 4ºC. NOTA: En otras publicaciones o libros se le llama densidad relativa y se toma como referencia la densidad del agua a 15ºC sg = sg = sustancia / agua a 4ºC ρsustancia / ρagua a 4ºC agua a 4ºC = 9.81 kn / m 3 ρagua a 4ºC = 1000 kg / m3 19

20 Para el caso de los gases la gravedad específica se plantea de la siguiente forma: gas sggases aire a 15 C o O sea la relación entre el peso específico del gas en cuestión y el peso específico del aire a 15ºC Los valores de peso específico y densidad de las sustancias se encuentran en tablas. Relación entre densidad y Peso específico. El peso específico es = w / V, si multiplico en el numerador y en el denominador por la aceleración de la gravedad g, tendremos =wg/vg que también sabemos que el peso w = m g por tanto, m = w / g, por lo = m g / V, pero ρ = m / V y quedaría que =ρg Ejercicio: Calcular el peso de un recipiente de combustible, si tiene una masa de 825 kg. Sabemos que w = m g w = 825 kg * 9,81 m / s 2 = 8093 kg m / s2 = 8093 N Ejercicio: Calcular la densidad y el peso específico del combustible teniendo la masa de 825 kg, que tiene un volumen de 0,917 m3 y que el peso es de kn Densidad ρ=m/v Peso específico: = 825 kg / 0,917 m3 = 900 kg / m3 = w / V = kn / 0,917 m3 = 8,83 kn / m3 Ejercicio: Glicerina a 20ºC tiene una gravedad específica de 1,263. Calcule su densidad y su peso específico. sg glicerina por lo que ρ glicerina sg agua 1, kg kg 3 m m agua a 4 º C sg glicerina por lo que γ glicerina sg agua 1,263 9,81 KN 3 12,39 KN 3 m m agua a 4 ºC 20

21 Ejercicio: Una pinta de agua pesa 1,041 libras. Halle su masa. Sabemos que w m g y que despejando 2 1,041 lb w m 0,0323 lb s 0,0323 slugs pie g 32,2 pies s2 2 De aquí se deduce que 1 slug 1 lb s pie Ejercicios para tarea: 1. Un galón de mercurio tiene una masa de 3,51 slugs. Calcule su peso. 2. La gravedad específica del benceno es 0,876. Calcule su peso específico y su densidad en el sistema métrico. 3. Aire a 16ºC y presión atmosférica tiene un peso específico de 12,02 N /m 3. Calcule su densidad. 4. Un cierto lubricante medio tiene un peso específico de 8,860 KN / m3 a 5ºC y 8,483 KN / m3 a 50ºC. Calcular su gravedad específica a ambas temperaturas. Ejercicio para realizar en equipos: Un recipiente cilíndrico de 150 mm de diámetro es llenado a una altura de 100 mm con un combustible que tiene una masa de 1,56 Kg. Calcule su densidad, peso específico y gravedad específica. Compresibilidad de un fluido. Entre las diferencias entre líquido y gas, comentábamos que los gases eran fácilmente compresibles y que los líquidos eran casi incompresibles. Cómo se define la compresibilidad de un fluido? La compresibilidad se refiere al cambio de volumen de una sustancia que está sujeta a un cambio de presión sobre ella. Lo que mide este fenómeno se le denomina módulo volumétrico de elasticidad, ó simplemente módulo volumétrico E. P E= V / V P.- Variación de presión final menos presión inicial V.- Variación de volumen que experimentó la sustancia V.- Volumen inicial de la sustancia antes de aplicar la presión 21

22 Las unidades de este módulo es psi, ó kg/cm2 Como se planteó anteriormente, los líquidos son casi incompresibles por lo que este módulo volumétrico tendrá altos valores porque quiere decir que se necesita mucha presión para cambiarle el volumen. Módulo Volumétrico de Elasticidad E ( psi ) Alcohol etílico Benceno Aceite hidráulico Agua Glicerina Mercurio El módulo volumétrico de elasticidad no es aplicable a gases Ejercicio 1.61 E del libro de texto Un sistema hidráulico opera a 3000 psi. Calcule el cambio en porciento del volumen del aceite hidráulico en el sistema cuando la presión es aumentada de 0 a 3000 psi si el aceite hidráulico es similar al de la tabla anterior. 22

23 Viscosidad La facilidad con la que un fluido se derrama es una indicación de su viscosidad. Es notable que un lubricante corre ó fluye menos cuando está frío, que cuando está caliente, esto quiere decir que la viscosidad es más alta cuando éste está frío. Por tanto se define como viscosidad como la propiedad de un fluido que ofrece resistencia al movimiento relativo de sus moléculas. Este movimiento relativo de las moléculas provoca un esfuerzo de cizallamiento en el fluido. En un fluido como el agua, alcohol, aceite, u otros líquidos comunes la magnitud del esfuerzo a cizallamiento es directamente proporcional al cambio de velocidad entre las diferentes posiciones en el fluido. Esa relación del cambio de velocidad con respecto a la posición y es linear, y se le llama Gradiente de Velocidad ( v / y ), y también se le llama índice de cizallamiento. Al hecho de que el esfuerzo de cizallamiento en el fluido es directamente proporcional al gradiente de velocidad, se puede establecer matemáticamente que: = זּ μ ( v / y ) siendo la constante de proporcionalidad la letra griega μ y llamada viscosidad dinámica Dicho de otra forma se puede decir que la viscosidad de una sustancia depende de la magnitud del esfuerzo al cizallamiento o shear stress. Unidades de la viscosidad dinámica: En sistema métrico: Pa. seg En sistema ingles: lb. seg / pies2 o kg/ m.seg o slug / pies. seg Obsolescencia de la unidad Poise y Centipoise. Se pueden encontrar literatura que denote la viscosidad con estas unidades que fueron parte del sistema métrico denominado cgs derivado de las unidades centímetro, gramo y segundo, pero que ya son obsoletas. 23

24 Viscosidad Cinemática En los cálculos de Mecánica de los Fluidos se relaciona la viscosidad dinámica con la densidad del fluido. A esta relación se le llama Viscosidad Cinemática y se denota con la letra griega Nu Ʋ Ʋ=μ/ρ Unidades: En sistema métrico m2 / seg (área por Segundo) En sistema ingles pies2 / seg (área por Segundo) Relación entre masa, fuerza, aceleración y velocidad En la Introducción se comentó la diferencia entre masa y peso. Se dio la definición de masa. Masa,- Es la propiedad de un cuerpo ó fluido de la medición de su inercia, ó resistencia a un cambio de movimiento. Se utiliza el símbolo m para masa. Otra definición es la cantidad de materia que contiene un cuerpo. Fuerza.- Es definida como cualquier acción sobre un cuerpo que tiende a cambiar su tamaño, su forma, su estado de reposo, ó su estado de movimiento. Velocidad.- Es la proporción ó el índice de cambio de posición de un cuerpo en un tiempo dado. Ejercicio: Si un cuerpo se mueve en el eje horizontal desde una posición a 10 metros a otra posición a los 30 metros en 4 segundos, entonces el cuerpo habrá cambiado su posición en 20 metros en 4 segundos. Cuál fue su velocidad? Velocidad = cambio de posición / tiempo. Velocidad = 20 metros / 4 segundos = 5 metros / segundo. Velocidad = 5 m / s Aceleración.- La aceleración es la proporción de cambio de velocidad en un tiempo dado. 24

25 Ejercicio: Si un cuerpo se está moviendo hacia la derecha a una velocidad de 10 m/s, y 4 segundos más tarde el cuerpo se sigue moviendo hacia la derecha, pero ahora a una velocidad de 30 m/s, entonces habrá tenido un cambio en velocidad de 20 m/s ( 30 m/s 10 m/s ) durante 4 segundos. Cuál ha sido el índice de aceleración? v = 10 m/s tiempo inicial v = 30 m/s tiempo inicial + 4 segundos Aceleración: Cambio en velocidad / tiempo = 20 m/s / 4 seg = 5 m / s2 Relación entre Masa, Fuerza y Aceleración Fuerza = Masa ( Kg ) * Aceleración ( m/ s2 ) = kg m /s2 = Newton Aceleración debida a la gravedad Todo cuerpo dentro del campo de gravedad de la Tierra, tiene una atracción hacia el centro de ésta debido a la gravedad. Los cuerpos que caen en caída libre obtienen una velocidad (debido a la acción de la gravedad) de 9,81 m/s en cada segundo, o sea que la aceleración de la gravedad será de 9,81 m/s2. Fuerza de Gravedad La fuerza de la gravedad de la Tierra actuando sobre una masa de 1 kg será: Fuerza = masa * aceleración = 1 kg * 9,81 m/s2 = 9,81 kg m/ s2 = 9,81 Newton Ejercicio: Calcule la masa de un bidón de aceite que pesa 610 Newtons w m g w 610 N m g 9,8 m 2 s 610 kg m 9,8 m s 2 62,2 kg porque 1N s2 kg m s2 Ejercicio: Calcule el peso de 1 m3 de Kerosene si tiene una masa de 825 kg w m g 825 kg 9,8 m s N Ejercicio: Calcule el peso de una vasija de aceite de castor si tiene una masa de 450 gramos. w m g 0,450 kg 9,8 m s2 4,9 N 25

26 Ejercicios de tarea: Calcular la masa de un galón de aceite si su peso es de 7,8 libras. Calcular la masa de un pie cúbico de gasolina si su peso es de 42 libras. Calcular el peso de un pie cúbico de kerosene, si este tiene una masa de 1,58 slugs. Calcular el peso de un galón de agua si tiene una masa de 0,258 slugs. Asuma que un hombre pesa 160 lbs fuerza. a. Calcule su masa en slugs. b. Calcule su peso en Newtons. c. Calcule su masa en Kgs Diferencia entre un fluido Newtoniano y un fluido no Newtoniano El fluido donde su viscosidad sea solamente una función de la condición del fluido o sea de su temperatura, o sea la magnitud del gradiente de velocidad no influye en la viscosidad, se considera un fluido Newtoniano. LOS LIQUIDOS COMUNES COMO EL AGUA, ACEITES, GASOLINAS, ALCOHOL, KEROSENE, GLICERINA SON LIQUIDOS NEWTONIANOS. Los fluidos que no cumplen con la condición anterior son No Newtonianos. 26

27 Tópico C.- Presión. Formas de expresión. Objetivos: 1. Definir la relación entre presión absoluta, presión manométrica y presión atmosférica. 2. Describir el funcionamiento de los medidores de presión. 3. Definir la relación entre un cambio en elevación o altura y la presión en un fluido. Tenemos que la presión es una fuerza que se ejerce sobre un área. P= F / A Dos importantes principios de la presión son los siguientes: La presión actúa uniformemente en todas direcciones sobre un volumen pequeño de fluido. En un fluido confinado por fronteras sólidas, la presión actuará perpendicularmente sobre esas fronteras. Unidades En sistema métrico: Pascal, Kilopascal (KPa) y Kg / cm2 En sistema ingles: libras / pulgadas2 = psi Veamos ahora las diferentes clasificaciones de presión. Presión Atmosférica es el valor de presión de referencia que se toma. Esta presión atmosférica varía con la altura que se esté analizando con respecto al nivel del mar. Al nivel del mar se tomará como 101 Kilopascal ó 14.7 psia Se denota como Patm Presión Absoluta es aquella presión medida con relación a un perfecto vacío, ó también se puede afirmar que es la suma de la presión manométrica y de la presión atmosférica Pabs = Pmanométrica + Patmosferica Unidades: psia Se denota como Pa Presión Manométrica es aquella que se mide en un manómetro, y que siempre que esté por encima de la presión atmosférica será positiva, y la presión por debajo de la presión atmosférica será vacío. Unidades: Psig Se denota como Pg 27

28 Ejercicio: Exprese una presión manométrica de 155 KPa en presión absoluta. La presión atmosférica local es 98 KPa (absoluta). Pabsoluta Pgage Patmosféric a Pabsoluta 155 KPa 98 KPa 253 KPa Ejercicio: Exprese una presión absoluta de 225 KPa como presión manométrica. La presión atmosférica local es 101 KPa. Pabsoluta Pgage Patmosféric a Y despejando tendremos: Pgage P P 225 KPa 101 KPa 124 KPa absoluta atmosferica Ejercicio: Exprese una presión de 10,9 psia en presión manométrica, si sabemos que la presión atmosférica local es de 15 psi. Pgage P P 10,9 psia 15 psi psig absoluta atmosferica Esto quiere decir que la presión es 4,1 psi por debajo de la presión atmosférica, por tanto es una presión de vacío. Ejercicio: Exprese una presión de 6,2 psig en presión absoluta. La presión dada de -6,2 psi tiene que ser manométrica pues si no me aclaran es que fue debido a una medición. Y como no me dicen nada acerca de la presión atmosférica, pues deduzco que es la normal al nivel del mar, o sea en este sistema de medición (inglés) es 14,7psi, por tanto: Pabsoluta Pgage Patmosféric a Pabsoluta 6, 2 14,7 8,5 psia 28

29 La presión varía con la altura, tanto en elevación como en profundidad. Si cogemos como referencia el nivel del mar, o sea nivel cero, le llamaremos a la diferencia en altura entre dos puntos h. Y la variación de presión se le denominara P, y será calculada por la siguiente ecuación: P = γ. h= ρ. g. h ( ESTA FORMULA SE CUMPLE PARA LIQUIDOS HOMOGENEOS EN REPOSO, y para los gases asumiremos que la presión será uniforme ) Reconocer que: Los puntos al mismo nivel horizontal tienen la misma presión. La variación de presión P es proporcional al peso específico del fluido. La presión disminuye con la altura (caso de los cosmonautas ), y aumenta con la profundidad ( caso de los buzos ). Relación entre Presión y Elevación.Probablemente ud está familiarizado con el hecho de que si se sumerge en una piscina ó en el mar la presión se incrementa, porque se siente en sus oídos. Existen muchas situaciones en las que se necesita saber como varía la presión con la elevación ó altura. Definiremos elevación o altura a la distancia vertical desde un nivel de referencia hasta el punto de interés a analizar, y se le denotará con la letra z, y un cambio en esa elevación entre dos puntos se llamará h. El nivel de referencia se podrá tomar a cualquier nivel y siempre se trata de que no sea un valor negativo. El cambio en presión en un líquido homogéneo en reposo debido a un cambio en elevación puede ser calculado por: p= h donde: p es el cambio de presión ( p2 p1 ) es el peso específico del líquido. h es el cambio en elevación. De esta ecuación salen varias reflexiones: La ecuación es válida solamente para líquidos homogéneos en reposo. Los puntos a una misma altura del nivel horizontal tienen la misma presión. El cambio en presión es directamente proporcional al peso específico del líquido. La presión varía linealmente con el cambio en elevación ó profundidad. Un decremento en elevación causa un incremento en la presión. Un incremento en la elevación causa un decremento en presión. 29

30 Ejercicio: Calcule el cambio de presión en el agua desde la superficie hasta una profundidad de 5 m, si sabemos que el peso específico del agua es 9,81 kn / m 3. p = h = 9,81 kn / m3 * 5m = 49,05 kn / m2 = 49,05 k Pa p = 49,05 kpa Si la superficie del agua está expuesta a la atmósfera, la presión manométrica es 0 en la superficie. Al ir descendiendo, o sea decreciendo elevación, producirá un incremento en la presión, y por tanto a los 5 m de profundidad habrá una presión manométrica de 49,05 kpa. Ejercicio: Calcule el cambio de presión en agua desde la superficie hasta una profundidad de 15 pies. (NOTESE QUE ES EL MISMO PLANTEAMIENTO PERO EN OTRAS UNIDADES) El peso específico del agua en el sistema inglés = 62,4 lb/ pie3 p = h = 62,4 lb/ pie3 * 15 pies = 936 lb / pies2 pero 1 pie2 = 144 pulg2 Por lo que p = 6,5 lb / pulg2 Si la superficie del agua está expuesta a la atmósfera, la presión manométrica es 0 psig en la superficie. Al ir descendiendo, o sea decreciendo elevación, producirá un incremento en la presión, y por tanto a los 15 pies de profundidad habrá una presión manométrica de 6,5 lb / pulg2 Ejercicio: La figura muestra un tanque de aceite, el cual tiene un lado abierto a la atmósfera, y el otro lado sellado y tiene una capa de aire por encima del aceite. El aceite tiene una gravedad específica de 0,90. Calcule la presión manométrica en los puntos A, B, C, D, E, F y la presión de aire en el lado derecho del tanque. 30

31 1,5 m aire F E A 3m B D 3m C Punto A La presión manométrica en el punto A es cero porque ese punto está expuesto a la atmósfera. Pg = 0 Pa Punto B. El cambio en elevación entre los puntos A y B es de 3 metros estando B más bajo que A. Hallemos el peso específico del aceite Sgaceite = Por tanto aceite / aceite = Entonces P A-B = agua a 4ºC Sgaceite * 3 3 agua a 4ºC = 0,90 * 9,81 kn / m = 8,83 kn / m 3 2 aceite * h = 8,83 kn / m * 3m = 26,5 kn / m = 26,5 kpa Si teníamos que la presión en A era 0 entonces PB = 26,5 kpa Punto C. El cambio en elevación entre los puntos A y C es de 6 metros, estando C más bajo que A. P A-C = 3 2 aceite * h = 8,83 kn / m * 6m = 53 kn / m = 53 kpa PC = PA + P A-C = 0 Pa + 53 kpa = 53 kpa PC = 53 kpa 31

32 Punto D Como el punto D está al mismo nivel que el punto B, la presión manométrica en D será la misma presión manométrica que en el punto B PB = PD = 26,5 kpa Punto E.- Como el punto E está al mismo nivel que el punto A, en el habrá la misma presión manométrica que en A, o sea 0 Pa PE = PA = 0 Pa Punto F.- El cambio en elevación entre los puntos A y F es de 1,5 pero estando F más arriba que A ( que es el nivel de referencia ) ( Si hasta ahora de A hacia abajo lo hemos considerado positivo, entonces ahora la distancia de A a F lo tenemos que considerar negativo ) P A-F = 3 2 aceite * ( - h ) = 8,83 kn / m * ( - 1,5 m ) = - 13,2 kn / m = - 13,2 kpa PF = PA + P A-F = 0 Pa + ( - 13,2 kpa ) = - 13,2 kpa PF = - 13,2 kpa O sea quiere decir que en el punto F hay una presión manométrica por debajo de la presión atmosférica. Presión de Aire en el lado derecho del recipiente Puesto que el aire está expuesto a la superficie del aceite donde la presión manométrica es de 13,2 kpa, la presión del aire también será de 13,2 kpa, o sea 13,2 kpa por debajo de la presión atmosférica. Es importante reconocer que la relación entre un cambio en elevación ( h ) en un líquido y el cambio en presión P es: p= h Que además el tamaño ó la forma del recipiente que contiene un líquido, no influye para que la presión en el fondo de ese recipiente sea la misma, siempre y cuando tengan la misma altura. 32

33 Ejercicio: Un tanque de almacenamiento de ácido sulfúrico abierto a la atmósfera tiene 1,5 m de diámetro y 4,0 m de altura. Si el ácido tiene una gravedad específica de 1,80 calcule la presión en el fondo del Tanque. 4m 1,5 m sg 1,80 acido agua acido 9,81 kn P2 P1 acido h 17,65 kn m3 m3 1,80 17,65 kn m3 4m 70,63 kpa La presión en el fondo del tanque es de 70,63 kpa Ejercicio: Para el tanque de la figura halle la altura de agua, si la altura del lubricante es de 6,90 m y el manómetro en el fondo del tanque mide 125,3 kpa 6,90 m Lubricante Sg=0,86 h Agua Pg = 125,3 kpa La presión manométrica en el punto 1 es cero porque al ser un tanque abierto y el lubricante estar expuesto a la atmosfera, solo hay presión atmosférica, pero no manométrica. 33

34 P1g 0 P2 P1 lub ricante h ,86 kn 3 6,90 m m P2 58,20 kn m2 58,20 kpa P3 P2 agua h2 3 Despejando h2 3 h2 3 P P2 125,3 58,20 3 agua 9,81kN kn m 2 6,84 m m3 La altura de agua en el tanque es de 6,84 metros. Ejercicio de tarea: Para el tanque mostrado en la figura, determine la lectura del manómetro de fondo del tanque, si en el tope del tanque hay un manómetro que tiene una lectura de 50 psig y la altura del lubricante contenido en el tanque es de 28,50 pies. aire Pg=50 psig 28,5 Lubricante con sg= 0,95 34

35 Formas de medir la presión. Para medir la presión se utilizan diferentes tipos de dispositivos, Uno de ellos es el manómetro de tubo en U, que utiliza la relación entre un cambio en presión y un cambio en elevación p = h. Uno de los extremos del tubo en U va conectado a la presión que quiere ser medida, y el otro extremo está abierto a la atmósfera. El tubo contiene un líquido, que no se mezcla con el fluido al cual se le va a medir la presión, al cual se le llama fluido manométrico y que puede ser agua, mercurio, o algún tipo de aceite coloreado. Bajo la acción de la presión a ser medida, el fluido manométrico es desplazado de su posición normal. Puesto que el fluido en el manómetro está en reposo, la ecuación P h puede ser usada para expresar los cambios en presión que ocurren en el manómetro. Veamos un procedimiento de aplicación de esta formula para hallar la variación de presión 1. Comience por nombrar con números o letras, puntos convenientes, y trate de comenzar por un punto extremo del sistema manométrico, por ejemplo si el manómetro es abierto comience por este punto donde la presión manométrica es cero. 2. Usando la ecuación P h escriba los cambios de presión que ocurren en el manómetro en los distintos puntos fijados por usted. El término ΔP P2 P1,es igual a la diferencia en presión entre dos puntos cualesquiera, por ejemplo entre los puntos 1 y 2, y el término h es la altura que existe entre esos dos puntos 1 y 2, y de la misma manera se hace con los puntos 2 y 3; 3 y Sea consecuente con el patrón de referencia tomado inicialmente, y coloque los signos algebraicos de acuerdo a ese patrón. Por ejemplo si escogió positivo hacia abajo, cuando suba en la columna líquida el signo debe ser negativo. 4. Sustituya los valores conocidos y halle el valor de la presión en el punto deseado. Existe otro manómetro en U pero en lugar de ser abierto como el anterior, es cerrado y se denomina manómetro diferencial porque indica la diferencia entre dos puntos, no el valor actual de uno de ellos. 35

36 Ejercicio: Dado el manómetro de la figura, calcular la presión en el punto A El único punto donde la presión es conocida es en el lado abierto del manómetro en la superficie del mercurio (punto 1), donde sabemos que la presión manométrica es cero, o sea P1=0. Vamos a hallar ahora la presión en el punto 2 dentro de la columna de mercurio, a 0,25 metros del punto 1. P2 P1 mercurio h1 2 y como P1 0 P2 mercurio h1 2 El término mercurio h1 2 es el cambio en presión entre los puntos 1 y 2 debido al cambio en elevación donde mercurio es el peso específico del fluido manométrico que en este caso es mercurio. El cambio en presión es añadido a la Presión en el punto 1 que va ocurriendo a medida que va descendiendo en el fluido. Ahora a la misma altura que está el punto 2 tenemos al punto 3, y por tanto como no hay cambio de altura entre esos dos puntos, la presión en el punto 3 es la misma que en el punto 2. P3 P2 Le sigue ahora hallar la presión en el punto 4 que está a una altura de 0,25m+0,15m= 0,40 m. Pero si la altura desde el punto 1 al punto 2 la consideramos positiva porque bajaba en el líquido, ahora la altura que va desde el punto 3 al punto 4 sube, entonces esa altura se considerará negativa. Resumiendo se escogió un nivel de referencia positivo hacia abajo. Esto también se puede traducir como que hay una disminución en presión entre los puntos 3 y 4. Por otra parte el líquido manométrico a partir del punto 3 hacia arriba es agua. Por tanto la presión en el punto 4 será P4 P3 h3 4 agua Pero P3 P2 mercurio h1 2 entonces P4 merxurio h1 2 agua h3 4 mercurio sg mercurio agua 13,54 9,81 KN m3 132,8 KN m3 36

37 h1 2 0,25m y h3 4 0,40 m por lo que P4 132 KN m3 0,25m 9,81 KN P4 33,20 KN 3,92 KN 2 29,28 KN 2 29,28 KPa m2 m m misma altura, así que m3 0,40m y P4 PA porque están a la PA 29,28 KPa Ejercicio: Calcule la diferencia de presión entre los puntos A y B en el manómetro diferencial de la figura Este es un manómetro en U, cerrado y que tiene dos tipos de fluidos manométricos: aceite con una gravedad específica sg=0,86 y agua Como es un manómetro cerrado, se puede empezar por el punto A o por el punto B. Comencemos entonces por el punto A, y la presión en ese punto la denominaremos P A. Llamaremos punto 1 al punto de interfase entre los dos fluidos manométricos (aceite y agua). Punto 2, aquel que está dentro del agua y a la misma altura del punto 1. Punto 3 que está en la interfase de los dos fluidos manométricos y a una altura de 29,5 pulgadas del punto 2. Identificaremos punto 4 aquel que está a la misma altura que el punto B, dentro del aceite, y a 4.25 pulgadas a partir del punto 3. Tomaremos como referencia positivo hacia abajo, partiendo del punto A Hallemos la presión en el punto 1 P1 PA aceite ha 1 La altura ha-1 entre los puntos A y 1 será 4,25 +29,50 = 33,75 Por tanto P1 PA aceite 33,75 pu lg Como los puntos 1 y 2 están a la misma altura P1= P2 Hallemos la presión en el punto 3 P3 P2 agua h2 3 El signo menos es debido que vamos subiendo desde 2 a 3. 37

38 Sustituyendo P2 P3 PA aceite 33,75 agua 29,50 Hallemos la presión en el punto 4 P4 P3 aceite h3 4 Sustituyendo P3 y h3-4 y P4 = PB porque ambos puntos 4 y B están a la misma altura y tienen la misma presión. PB PA aceite 33,75 agua 29,50 aceite 4,25 Agrupando PB PA aceite 33,75 4,25 agua 29,50 PB PA aceite 29,5 agua 29,5 PB PA 29,5 aceite agua Esta ecuación me expresa que la diferencia en presión entre los puntos A y B es una función de la diferencia entre los pesos específicos de los dos fluidos. Calculemos ahora el peso específico del aceite, ya que tenemos su gravedad específica, conociendo que el peso específico del agua en el sistema inglés es 62,4 lb/pie3 aceite sg agua 0,86 62,4 lb pie 3 PB PA 29,5 pu lg 53,7 62,4 53,7 lb lb pie 3 1pie 3 pie pu lg3 Resolviendo y cancelando los pies cúbicos, tenemos: PB PA 29,5 8, lb pu lg 2 PB PA 0,15 lb pulg 2 El signo negativo me indica que la presión en A es mayor que la presión en B Otro instrumento para medir la presión atmosférica es el barómetro. La figura 3.14 pagina 60 del Mott muestra uno de los más simples que consiste en un largo tubo cerrado en un extremo, llenado con mercurio y el otro extremo es sumergido en mercurio, que penetra en el tubo haciéndose un equilibrio, y dejando un vacío en el tope del tubo que contiene vapores de mercurio a una presión de 0,17 Pa a 20ºC. 38

39 Podemos decir que: Patm = mercurio * h h Patm Mercurio Como el peso específico del mercurio es constante, un cambio en el valor de la Presión Atmosférica provocará un cambio en la altura de la columna de mercurio. Esta altura es conocida como altura barométrica. Cuando se tiene el valor de esa altura, se multiplica por el peso específico del mercurio y se obtiene el verdadero valor en ese lugar de la presión atmosférica. Otro tipo de medidor de presión, es el manómetro de pozo ( Well type manometer ), Es un tubo al cual se le adjunta una escala para medir la diferencia en presión. En el otro extremo tiene una poceta ó recipiente. Cuando una presión es aplicada a la poceta el nivel baja y el nivel en el líquido sube a un nivel proporcional a las áreas del tubo y de la poceta. La escala es calibrada de acuerdo a la diferencia de niveles. Manómetro de tubo Bourdon La presión que se necesita medir es aplicada al interior de un tubo aplanado, que a su vez está conformado en forma circular ó de espiral. El incremento de presión en el interior del tubo hace que éste se estire una cierta cantidad. El movimiento del tubo está conectado a un elemento que gira y éste a su vez a una aguja que se reflecta y marca en una escala. Estos movimientos del tubo con respecto a la presión son calibrados, de forma que marca cero cuando está abierto a la atmósfera, por lo que este dispositivo lee presión manométrica directamente. 39

40 Tópico D.- Flotabilidad. Objetivos: 1. Definir las fuerzas que actúan sobre un cuerpo cuando flota. 2. Definir las condiciones en las que se debe encontrar un cuerpo para que se mantenga estable cuando se encuentre completamente sumergido en un fluido. 3. Definir las condiciones en las que se debe encontrar un cuerpo para que se mantenga estable cuando flota en un fluido. Flotabilidad.- Es la tendencia de un fluido a ejercer una fuerza de flotación sobre un cuerpo colocado en el fluido. Otro concepto que debemos conocer es la Estabilidad que se refiere a la habilidad de un cuerpo a regresar a su posición original después de haber sido inclinado con respecto a su eje horizontal. Hay objetos que están diseñados para que floten, como los botes, barcos, boyas indicadoras, otros dispositivos están diseñados para que se hundan una distancia como son las campanas de buceo. Otros para que estén en el lecho marino, como puede ser los paquetes de instrumentos de medición de ciertos parámetros técnicos. Y tenemos equipos como los submarinos que están diseñados para navegar a distintas profundidades de acuerdo a la manipulación de su lastre, pero también a flotar en la superficie. Un cuerpo esté flotando, ó sumergido es empujado hacia arriba por una fuerza igual al peso del fluido desplazado. La fuerza de flotación actúa verticalmente hacia arriba directamente en el centroide del volumen desplazado y puede ser definida de acuerdo al Principio de Arquímedes por la formula siguiente: Fb = fluido * Vd siendo Fb la Fuerza de flotación. fluido el peso específico del fluido. Vd el volumen de líquido desplazado por el cuerpo. El análisis de problemas que tratan sobre flotabilidad requiere la aplicación de la ecuación de equilibrio estático en el eje vertical, o sea la sumatoria de fuerzas en ese eje debe ser cero F = 0, asumiendo que el cuerpo está en reposo en el fluido. Procedimiento para resolver problemas de flotabilidad 1. Determine el objetivo a hallar. Si usted desea hallar el valor de la fuerza de empuje del líquido sobre el cuerpo (fuerza de flotación), ó si quiere hallar el peso, el volumen, ó el peso específico del cuerpo. 40

41 2. Dibuje un diagrama de cuerpo libre en el fluido. Muestre todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo en la dirección vertical, incluyendo el peso del cuerpo, la fuerza de flotación y todas las fuerzas externas. Si la dirección de alguna fuerza no es conocida, asuma la dirección más probable de dicha fuerza y muéstrela en el diagrama de cuerpo libre. 3. Escriba la ecuación de equilibrio estático en la dirección vertical F = 0 asumiendo como positivo (+) la dirección hacia arriba. 4. Encuentre el valor de la variable deseada teniendo en cuenta los siguientes conceptos: a. La fuerza de flotación se calcula por la expresión Fb = fluido * Vd b. El peso de un cuerpo sólido es el producto de su volumen total por su peso específico w = V. c. Un cuerpo con un peso específico promedio menor que el del fluido, tiende a flotar, porque w < Fb con el cuerpo sumergido. d. Un cuerpo con un peso específico promedio mayor que el del fluido, tiende a hundirse, porque w > Fb con el cuerpo sumergido. e. La flotabilidad neutral ocurre cuando un cuerpo se mantiene en una posición dada donde quiera si está sumergido en un fluido. Un cuerpo cuyo peso específico promedio sea igual al del fluido será neutralmente flotable. Ejercicio: Un cuerpo de forma cúbica de bronce de 0,50 m de lado y de un peso específico de 86,9 KN/m3. Determine la magnitud y dirección de la fuerza requerida para mantenerlo en equilibrio completamente sumergido a) en agua y b) en mercurio sabiendo que la gravedad específica del mercurio es 13,54. Nivel del líquido Fe Centroide w Fb 41

42 Vamos primeramente a considerar el inciso a o sea el cuerpo sumergido en agua. Debemos asumir que el cubo de bronce por si solo no puede estar en equilibrio, a no ser que actúen sobre el algunas fuerzas externas. Sobre el cuerpo de bronce hemos puesto las distintas fuerzas que sobre el deben actuar. Sobre el centroide del cuerpo está el peso de este y en dirección hacia abajo. Sobre el fondo y en dirección vertical hacia arriba actúan Fb (fuerza de flotación), y Fe que es una fuerza externa que se supone exista para que ese bloque de bronce esté sumergido pero no hundido. Planteemos la ecuación de equilibrio F=0 Fb + Fe w = 0 Si deseamos encontrar el valor de la fuerza externa Fe tendremos que: Fe = w - Fb Para saber el peso del bloque de bronce, sabiendo que cada lado de este mide 0,50 metros y que el peso específico del bronce es 86,9 kn / m3. w= V = 86,9 kn / m3 * ( 0,50 ) 3 = 86,9 kn / m3 * ( 0,125 m 3 ) = 10,86 kn Para calcular Fb, teniendo el peso específico del líquido que en este caso es agua ( 9,81 kn / m3 ) y el volumen desplazado, que es igual al volumen del bloque de cobre ( 0,125 m3 ), tendremos: Fb = 3 fluido * Vd = 9,81 kn / m * 0,125 m 3 = 1,23 kn. Ahora podemos calcular la fuerza externa Fe que es ejercida para mantener sumergido a una altura determinada ese bloque de bronce. Fe = w - Fb = 10,86 kn - 1,23 kn. = 9,63 kn El resultado de la fuerza externa dio positivo, o sea quiere decir que nuestra suposición de que esa fuerza era hacia arriba es cierta, y que hace falta una fuerza de 9,63 KN para mantener ese cubo de bronce en equilibrio sumergido en agua. 42

43 Veamos acerca del inciso b o sea el mismo cuerpo cúbico de bronce, pero ahora sumergido en mercurio. Pueden existir dos posibilidades en cuanto al cuerpo libre del cuerpo cúbico Fe A Fe w B w Fb Fb Mercurio En el caso A el diagrama de equilibrio sería: F y Fe Fb w 0 despejando, Fe w Fb En el caso B el diagrama de equilibrio sería: F y Fb Fe w 0 despejando, Fe Fb w El peso del cubo de bronce lo sabemos del inciso anterior y es 10,86 KN y del inciso anterior sabemos que el volumen desplazado por el cubo es de 0,125 m 3 La fuerza de flotación Fb mercurio Vd sg mercurio 9,81KN Fb 13,54 9,81kN 3 0,125 m 3 m VARIANTE A Fe w Fb 10,86 kn 16,60 kn Fe 5,74 kn 0,125 m 3 m3 Fb 16,60 kn VARIANTE B Fe Fb w 16,60 kn 10,86 kn Fe 5,74 kn Note que el valor numérico de la fuerza externa es el mismo en ambas variantes, pero de signos opuestos. El signo negativo de la variante A nos dice que la dirección asumida fue errónea, por lo tanto se puede afirmar que hace falta una fuerza externa hacia abajo para mantener sumergido y en equilibrio el cuerpo cúbico de bronce Si comparamos el peso específico del bronce que es 86,9 kn/m3 con el peso específico del mercurio que es 132,8 kn/m3 vemos que al ser menor el peso 43

44 específico del cuerpo de bronce que el del mercurio líquido, el cuerpo tenderá a flotar si no se le aplica una fuerza externa hacia abajo para mantenerlo sumergido y en equilibrio Ejercicio: El paquete de instrumentos de medición mostrado en la figura pesa 258 N. Calcule la tensión en el cable, si el paquete es completamente sumergido en agua de mar que tiene un peso específico de 10,05 kn/m3 600 mm Diagrama de equilibrio 300 mm 450 mm w Fb T El volumen del paquete de instrumentos es: V 0,45 m 0,30 m 0,60 m 0,081 m 3 y ese es el volumen que desplaza ese paquete sumergido en el agua de mar. Al plantear la ecuación de equilibrio FY 0 T w Fb 0 despejando T Fb w Por otra parte Fb agua de mar Vd 10,05 kn m 3 0,081m 3 0,81 kn 810 N Ya podemos hallar la tensión del cable que sujeta el paquete de instrumentos T 810 N 258 N 552 N T 552 N Ejercicio de tarea: Un cuerpo de forma cúbica de latón de lado igual a 6, pesa 67 lb. Se quiere mantener este cuerpo en equilibrio bajo el agua atado a una boya de poliespuma. Si la poliespuma pesa 4,5 lb/pie3 Cuál es el mínimo volumen requerido de la boya? 44

45 Poliespuma Latón Estabilidad de cuerpos totalmente sumergidos Un cuerpo es considerado estable en un fluido, si dicho cuerpo es capaz de retornar a su posición original después de haber sido rotado una pequeña cantidad con respecto a su eje horizontal. Es importante para este tipo de cuerpos mantener una orientación específica a pesar de la acción de los vientos, corrientes, ó fuerzas de maniobra. La condición para la estabilidad de cuerpos completamente sumergidos en un fluido es que el centro de gravedad del cuerpo, debe estar por debajo del centro de flotación. El centro de flotación de un cuerpo está en el centroide del volumen de líquido desplazado y es a través de este punto que la fuerza de flotación actúa en la dirección vertical. El peso del cuerpo actúa verticalmente hacia abajo a través del centro de gravedad. Cb ( Centro de Flotación ) Cg ( Centro de gravedad ) Si el cuerpo se inclina ligeramente, pasaría lo siguiente: 45

46 F b w Las fuerzas de flotación Fb y el peso w forman un par de fuerzas que crean un torque o momento, que tiende a rotar o girar el equipo a su posición original, después de haber sido inclinado ligeramente. Estabilidad de cuerpos flotando. La condición para la estabilidad de cuerpos flotando es diferente que para cuerpos totalmente sumergidos. Cuando el cuerpo está en equilibrio y flotando, el centro de gravedad ( cg ) está por encima del centro de flotación ( cb ). Una línea vertical que pasa a través de estos puntos se le llamará eje vertical del cuerpo. Ahora si el cuerpo es inclinado o rotado ligeramente el centro de flotación se desplaza a una nueva posición debido a que cambió la geometría del volumen desplazado. La fuerza de flotación y el peso ahora producen un momento corrector de la posición del cuerpo, que tiende a que el cuerpo vuelva a su posición original, y por lo tanto ese cuerpo es estable. Para establecer la condición de estabilidad de un cuerpo flotando, debemos definir un nuevo término llamado metacentro ( mc ), que está definido como la intersección del eje vertical del cuerpo cuando está en su posición de equilibrio y la línea vertical a través de la cual se encuentra la nueva posición del centro de flotación cuando el cuerpo es inclinado o rotado ligeramente. Un cuerpo flotando es estable si su centro de gravedad está por debajo del metacentro. 46

47 mc mc MB cg cb w cg Cb Fb w Momento corrector de posición Fb Es posible calcular si un cuerpo flotando es estable, calculando la posición de su metacentro. La distancia MB del Metacentro ( mc ) al centro de flotación ( C b ) se halla de la siguiente forma: MB = I / Vd siendo I el último momento de inercia de la sección horizontal de un cuerpo en la superficie de un fluido y Vd es el volumen de fluido desplazado. Si la distancia MB coloca al metacentro por encima del centro de gravedad, el cuerpo es estable. El procedimiento para evaluar la estabilidad de cuerpos flotando: 1. Determinar la posición del cuerpo flotando, usando el principio de flotabilidad. 2. Localizar el centro de flotabilidad ( Cb ) y calcule la distancia en altura llamada ycb desde un nivel de referencia escogido al centro de flotación. Usualmente el fondo del cuerpo es tomado como el eje de nivel de referencia. 3. Localizar el centro de gravedad ( cg ). 4. Determine la forma del área de la superficie del fluido, y halle el menor momento de inercia ( I ) para dicha forma. 5. Calcular el volumen desplazado de líquido ó fluido Vd 6. Calcular MB. 7. Calcular ymc = ycb + MB 8. Si ymc > ycg el cuerpo es estable. 9. Si ymc < ycg el cuerpo es inestable. 47

48 Ejercicio: La figura muestra el casco de un bote plano completamente cargado con un peso de 150 kn. En el gráfico se localiza el centro de gravedad cg. Determine si el bote es estable en agua dulce. Calculemos el calado del bote, o sea la profundidad de sumergido Diagrama de equilibrio X w L= 6 m B= 2,40 m Fb Aplicando la ecuación de equilibrio FY 0 Fb w 0 Fb w El volumen de agua que desplaza ese bote es: Vd B L X 2,40m 6m X 14,40 X 48

49 y Fb agua dulce Vd pero Fb w 150 kn 150 kn 9,81 kn 3 14,40 X m 2 m 150 kn Despejando X X 1,06 m kn 2 9, ,40 m m El haber hallado la altura a la que está sumergido el bote me sirve para localizar el centro de flotación cb que se dijo anteriormente que se ubica en el centroide del volumen desplazado, o sea a la mitad de la altura de 1,06 m, por lo que ycb=0,53 m Por otra parte sabemos que el centro de gravedad se ubica en el centroide del volumen del cuerpo, o sea a la mitad de la altura total del cuerpo que es 1,40 m, por lo que ycg=0,80m Centro de gravedad (cg) Metacentro (mc) 1,40 m MB 1,06 m Centro de flotación (cb) ycb= 0,53 m ymc=0,98 m ycg=0,80m Localicemos el Metacentro para determinar si el bote es estable I y el volumen desplazado es Vd L B X 6m 2,4m 1,06m 15,26 m 3 Vd I.- es el momento de inercia de un rectángulo y de acuerdo a tablas es igual a 3 L B 3 6m 2,4m I 6,91m MB Por tanto MB 6,91 m 4 15,26 m 3 0,45 m Esto hace que la altura del metacentro ymc esté por encima de la altura al centro de gravedad ycg por lo que podemos afirmar que el bote es estable. 49

50 Ejercicio: Una barra cilíndrica de 3 pies de diámetro y 6 pies de altura pesa 1550 libras. Si la barra es colocada en aceite de sg=0,90 con su eje vertical perpendicular a la superficie del líquido será estable? Superficie de líquido Diagrama de equilibrio cg 6 3 w 3 Fb Calculemos el volumen sumergido que en realidad es el volumen desplazado de líquido por esa parte del cuerpo sumergido. Vd D 2 4 sustituyendo el diámetro D 3 Vd 7 Planteando la ecuación de equilibrio FY 0 Fb w 0 Fb w y sabemos que el peso w 1550 lb Por lo que se puede plantear que Fb aceite Vd 1550 lb 1 Y como tenemos la gravedad específica del aceite sg=0,90 podemos calcular el peso específico aceite 0,90 agua a 4 ºC 0,90 62,4 lb 56,16 lb aceite 56,16 lb pie 3 pie 3 pie 3 Sustituyendo en la ecuación (1) 56,16 lb pie lb 1550 lb 3,94 pies lb 2 56, pies pie 50

51 Superficie de líquido Centro de gravedad cg ycb = 3, ,97 3 Centro de flotación cb El centro de flotación cb estará a la mitad de la altura de sumergida la barra cilíndrica, por lo que se ubicará a 1,97 pies de altura. Corresponde ubicar el Metacentro mc cuya distancia MB a partir del centro de flotación se halla por la formula I El momento de inercia I en este caso de un círculo se halla en tablas y tiene el Vd valor de D4/ 64, por lo que cuando se sustituye el diámetro de la barra I= 3,97 pies 4, y por otra parte el Volumen desplazado Vd = 7 = (7)(3,94) pies3= 27,58 pies3 MB Sustituyendo MB 3,97 pies 4 27,58 pies 3 0,14 pies Para hallar la altura del Metacentro (ymc) usamos la formula del punto 7 del Procedimiento descrito en las páginas 40 y 41. ymc = ycb + MB = 1,97 + 0,14 = 2,11 ymc = 2,11 pies 51

52 Superficie de líquido 6 ymc= 2,11 ycb = ycg=3 1,97 3 Como se observa en la figura el Metacentro está por debajo del Centro de gravedad, por lo que la barra no es estable, o sea ymc ycg, eso hace que la barra cilíndrica colocada verticalmente en ese líquido, no es estable. Ejercicio de tarea: La figura muestra una pieza de forma cúbica flotando en un fluido desconocido. Haga una expresión que relacione la distancia X sumergida, el peso específico del fluido y el peso específico del material de la pieza. Todos los lados del cubo tiene una dimensión S Superficie del fluido S X S 52

53 Tópico E. Ecuación de Bernoulli. Objetivos: 1. Definir los valores de flujo volumétrico, de flujo de peso, y de flujo másico. 2. Evaluar los términos mencionados anteriormente usando el Principio y la ecuación de continuidad. 3. Expresar y aplicar el Principio de Conservación de la Energía para desarrollar la ecuación de Bernoulli de acuerdo a las tres formas de energía ( potencial, cinética y de flujo ). 4. Señalar y evaluar la velocidad de fluidos a través de diferentes tuberías. Para entender los principios fundamentales del flujo de fluidos, se debe desarrollar la habilidad de analizar y diseñar sistemas de fluidos para llevar a cabo muchas funciones útiles. Tres importantes parámetros describen el flujo de fluidos: a. El índice o porciento de flujo volumétrico ( Q ).- Volumen de fluido pasando por una sección dada por unidad de tiempo. b. El índice o porciento de flujo de peso ( W ).- Peso de fluido pasando por una sección dada por unidad de tiempo. c. El índice o porciento de flujo másico ( M ).- Masa de fluido pasando por una sección dada por unidad de tiempo. Valor de flujo volumetrico ( Volume Flow Rate ) Es el volumen de un fluido pasando por una sección en la unidad de tiempo. Q = A. v A.- Área de la sección. v.- Velocidad average del fluido Unidades: En el sistema métrico: m3 / seg En el sistema ingles: pies3 / seg Otras unidades usadas son: galones / min, litros / min Por ejemplo si tengo el flujo volumétrico en galones por minuto y quiero llevarlo a metros cúbicos por segundo, se procede de la siguiente forma: 3 gal / min m3 / seg 3 galones x 1 minuto x Litros min 60 seg 1 gaion 3 gal / min x 1 m3 = m3 / seg 1000 Litros = x 10-4 m3 / seg Valor de flujo de peso ( weight flow rate ). Es el peso del fluido pasando por una sección en la unidad de tiempo. 53

54 W= γ.q Unidades: γ.- peso específico del fluido. En el sistema métrico: Newton / seg En el sistema ingles: lb / seg Valor de flujo masico ( mass flow rate ). Es la masa de fluido de una densidad ρ pasando por una sección en la unidad de tiempo. M=ρ.Q Unidades: ρ.- densidad del fluido. Q.- Valor de flujo volumétrico. En el sistema métrico: Kg / seg En el sistema ingles: slugs / seg Ecuación de Continuidad 2 V2 P2 1 v1 Flujo P1 El principio de continuidad para el flujo de fluido en una tubería cerrada requiere que la masa que pasa por un punto sea la misma que pase en todos los otros puntos. O sea M1 = M2 ρ 1. A1.v1 = ρ2. A2. v2 Esta ecuación es valida para relacionar la densidad, el área de sección o de flujo y la velocidad en dos puntos del sistema. Es valida además para líquidos y para gases. Para líquidos incompresibles ρ es una constante, entonces A1.v1 = A2. v2, o sea Q1 = Q2 Esta ecuación representa la ecuación de continuidad aplicada a fluidos en condiciones estacionarios. ESTO AFIRMA QUE EL VALOR DE FLUJO VOLUMETRICO ES EL MISMO EN CUALQUIER SECCIÓN DENTRO DEL SISTEMA DE TUBERIAS. 54

55 Ejercicio: 2 1 En la tubería de la figura, los diámetros interiores de las secciones 1 y 2 son 50 mm y 100 mm respectivamente. Agua a 70ºC está fluyendo a una velocidad promedio de 8 m/s en la sección 1. Calcule: a) Velocidad en la sección 2 b) El flujo volumétrico. c) El flujo en peso. d) El flujo másico. V2 P2 v1 Flujo P1 Como la masa que pasa por la sección 1 es igual a la masa que pasa por la sección 2 es igual, se puede aplicar la igualdad ρ 1. A1.v1 = ρ2. A2. v2 y como es agua que es incompresible ρ1= ρ2 y nos queda que A1.v1= A2. v2 Calculemos las áreas de las secciones 1 y 2 A1 d mm 2 A2 d mm 2 Conociendo v1 y las áreas A1 y A2 podemos despejar y calcular la velocidad en la sección 2 2 m A1 v mm 8 s Esto da respuesta al inciso a) donde v2 2m s A mm 2 la velocidad en la sección 2 es 2 m/s. m m3 Para dar respuesta al inciso b) Q A v 1963 mm 8 0,0157 s s mm 2 El mismo flujo volumétrico que pasa por la sección 1, es el que pasa por la sección 2, o sea Q1=Q2= 0,0157 m3/s. 2 1m2 En el inciso c) nos piden el flujo en peso, que vimos que su formula es: m3 kn porque el peso específico del agua a 70ºC 9,59 3 0,151 kn s s m según tabla A.1 de las propiedades del agua en la página 551 del libro Aplicación de la Mecánica de los Fluidos del autor Robert L. Mott es 9,59 kn/m 3. W Q 0,

56 El valor del flujo másico es lo que nos piden en el inciso d), que se calcula mediante la formula M Q La densidad del agua a 70ºC se encuentra en la misma tabla que se mencionó anteriormente y es igual a 978 kg/m3, por lo que: m3 kg M 0, ,36 kg s s m El flujo másico M= 15,36 kg/s Ejercicio: En una sección de un sistema de distribución de aire a 14,7 psia y 100ºF, la velocidad alcanza un valor promedio de 1200 pies/min y el ducto tiene 12 pulgadas de lado. En otra sección el ducto es circular con un diámetro de 18 pulgadas y la velocidad medida fue de 900 pies/min. A 14,7 psia y 100ºF, la densidad del aire es 2, slugs/pies3 y el peso específico es 7, lb/pies3 Calcule: a) La densidad del aire en la sección circular. b) El flujo en peso de aire en lb/hr V2=900 pies/min Aire a 14,7 psia y 100ºF a una velocidad v 1= 1200 pies/min Como M1=M2 A1 v 1 1 A2 v 2 2 (2) Hallemos las áreas de los dos conductos por donde pasa el aire. A2 A pu lg 2 d pu lg2 Despejando de la ecuación (2) a) 2 A1 v 1 1 A2 v pu lg pies min 2, slugs 254 pu lg2 900 pies pies 3 1, slugs pies 3 min b) El flujo en peso se obtiene de la sección 1 cuadrada donde conozco el peso específico 1 56

57 W Q A1 v pu lg pies 60 min 1 pie 2 lb lb 7, min 1 hr hr 144 pu lg pie Ejercicio: En la figura se muestra un intercambiador de calor tipo tubo en tubo, cuyo tubo externo o envolvente (llamado también shell en inglés) es de 7/8 O.D y el tubo interno es de ½ O.D ambos con 0,049 de espesor de pared. Calcule la relación de flujo volumétrico Q del envolvente con respecto al tubo interno si la velocidad promedio de los fluidos es la misma. El flujo volumétrico del envolvente será el producto del área interior de dicho envolvente por la velocidad del fluido pasando por el envolvente. Qenv Aenv v Para hallar el área interior del tubo del envolvente debo hallar su diámetro interior, ya que me dan como dato el diámetro exterior (Dext) y el espesor (t), pero además restarle el área que ocupa el tubo interno. Tubo interno ½ O.D El área sombreada es el área efectiva por donde fluye el fluido del envolvente Tubo externo 7/8 O.D 57

58 Tubo externo de 7/8 O.D 0,049 7/8-2(0,049 )= 0,77 7/8 = 0,875 Espesor Diámetro interior Diámetro exterior Tubo interno de ½ O.D 0,049 ½ -2(0,049 )=0,402 ½ = 0,5 El valor del área sombreada equivalente al área por donde fluye el fluido del envolvente es: 0,77 2 0,5 2 Aenv 0,474 pu lg 2 0,196 pu lg 2 0,277 pu lg Por tanto el flujo volumétrico por el envolvente será Dejémoslo así en función de la velocidad, ya que me Q env A env v 0,277 v plantean que la velocidad en ambos fluidos es la misma. Ahora hallemos el flujo volumétrico por el interior del tubo interno. Para ello necesito hallar el área por donde fluye el fluido, que involucra al diámetro interior de ese tubo interno. Por la tabla anterior sabemos que ese diámetro interior es 0,40, por lo que: Area tubo int erno 0, ,126 pu lg 2 Q tubo interno Area tubo interno v 0,126 v Entonces la relación entre los flujos volumétricos es: Q env Q tubo interno 0,277 v 2,20 0,126 v Ejercicio de tarea: La figura muestra un intercambiador de calor tubo en tubo. El tubo interior es circular y el exterior es un conducto cuadrado. El fluido que fluye por el tubo interior transfiere calor al fluido que fluye por el conducto cuadrado. Calcule el flujo volumétrico en galones por minutos que produciría una velocidad de 8 pies por segundo en ambos conductos. 58

59 En Física se aprendió que la energía no se crea ni se destruye, sino que se transforma de un tipo a otro. Este planteamiento sirve de base a lo que se le llama el Principio de Conservación de la Energía. Aplicando ese principio de conservación de la energía llegaremos a la ecuación de Bernoulli. 1 2 p v Elemento de Fluido z Nivel de Referencia Consideremos un elemento de fluido dentro del sistema de tuberia, a una altura determinada ( z ) con respecto al nivel de referencia escogido. Ese elemento de fluido tiene un peso (w), una velocidad ( v ). 59

60 En el analisis de los problemas de flujo de los fluidos, se consideran 3 tipos de energias: 1.- Energía Potencial, debida a la elevacion 2.- Energía Cinética, debida a la velocidad PE wz w.- peso del elemento z.- elevacion o altura 2 wv KE 2g donde v.- velocidad del elemento de fluido g.- aceleracion debido a la gravedad. 3.- Energía de Flujo ó Energía Dinámica, debida a la presión del flujo FE wp γ.- peso especifico del fluido p.- Presion sobre el elemento de fluido. Esta energia representa la cantidad de trabajo necesario para mover el elemento de fluido a traves de la seccion de tuberia debido a la presion p. La energia total sobre ese elemento de fluido es llamada E, y ese elemento de fluido al moverse de un punto 1 a un punto 2, y no ganar ni perder energia, tienen la misma energia, por lo que la energía en el punto 1 ( E1), es igual a la energía en el punto 2 (E2 ) y se puede plantear que E1= E2 porque estamos considerando un fluido ideal e incompresible, o sea considerando que no hay fricción entre el fluido y la pared de la tubería. E1 = Energía total del fluido en el punto 1 E1 PE1 KE1 FE1 w 1 v 12 w 1 p1 E1 w 1 z 1 2g 1 E2= Energía total del fluido en el punto 2 w 2 v 22 w 2 p 2 E2 w 2 z2 2g 2 E1 = E2 y como w que es el peso del elemento es igual en el punto 1 que en el punto 2 quedaria: 60

61 z1 v 12 p1 v2 p z g 1 2g 2 ECUACION DE BERNOULLI En este caso z1 = z2 y se eliminarían, pero z es la Carga o Head de Elevación Y el peso específico γ1 = γ2 porque es el mismo fluido en los dos puntos. v2 / 2g.- Carga o Head de Velocidad p / γ.- Carga o Head de Presión La suma de esos tres términos se le llama Carga, Carga de presión hidrodinámica, o Head Total La ecuación de Bernoulli tiene en cuenta los cambios de carga en elevación, carga de velocidad y carga de presión entre dos puntos en un sistema de tuberías donde pasa un fluido, y se asume que no hay pérdida o adición de energía entre esos dos puntos, y que la carga o head total se mantiene constante. Esta ecuación de Bernoulli tiene limitaciones que son: 1. Se asume que el peso específico ( ) es el mismo en dos puntos de la tubería. 2. Que la energía total en el sistema es constante, o sea que no hay pérdida o sustracción de energía. 3. Que no hay transferencia de calor desde o hacia el fluido. 4. Que no hay pérdida de energía debido a la fricción del fluido con la tubería. Cuando el liquido esta expuesto a la presión atmosférica y no estar el líquido confinado por límites sólidos, en esos puntos la presión manométrica es cero. Identificar las siguientes reglas: Cuando el fluido en un punto de referencia esta expuesto a la presión atmosférica, la presión en ese punto es cero, y el término de carga debido a la presión puede ser cancelado de la ecuación de Bernoulli. La carga debido a la velocidad en la superficie de un tanque o reservorio es considerada cero y ese término puede ser cancelado de la ecuación de Bernoulli. Cuando dos puntos de referencia para la ecuación de Bernoulli están dentro de una tubería que tiene el mismo diámetro, la carga debido a la velocidad en ambos lados de la ecuación son iguales y pueden ser canceladas. Cuando dos puntos de referencia para la ecuación de Bernoulli están a la misma altura, los términos de carga debido a altura son iguales y pueden ser cancelados de la ecuación. 61

62 Ejercicio: En la tubería de la figura, agua a 10ºC está fluyendo de la sección 1 a la sección 2. La tubería de la Flujo sección 1 tiene 25 mm de diámetro interior, se obtuvo una d1=25 mm 2m medición de presión de 345 kpa y P2 se midió la velocidad del fluyo, 1 obteniéndose un valor de 3 m/s. La sección 2 que tiene un V1= 3 m/s diámetro interior de 50 mm, está a 2 metros más alta que la P1= 345 kpa sección 1. Asumiendo que no hay pérdida de energía en el sistema. Calcule la presión en la sección 2 d2=50 mm V2 Planteando la ecuación de Bernoulli entre las dos secciones: v 12 P1 v 22 P z1 z2 2 2g 2g v 12 v 22 P2 P1 z2 2g despejando P2 (3) Dejemos planteado la expresión para calcular P2 y usemos la ecuación de continuidad para calcular la velocidad en la sección 2 A1 v 1 A2 v 2 A1 d12 4 v A1 v 1 A2 491 mm mm 3 m s Pero primeramente tenemos que hallar las áreas A2 d mm 2 2 v mm 2 0,75 m s Volviendo a la ecuación (3) 3 m 2 0,75 m v 12 v 22 kn s s P2 P1 z 2 345kPa 9,81 3 m 2 9,81 m 2 2g s 2 2 m 329,6 kpa 62

63 Ejercicio: En la figura se muestra un metro tipo Ventura que transporta agua a 60ºC, la gravedad específica en el manómetro es de 1,25. Calcule la velocidad en la sección A y el flujo volumétrico de agua. No se conoce la velocidad del fluido en ningún punto, y se pide hallar el valor de la velocidad en el punto A. Conocemos la diferencia en altura entre los puntos A y B y los diámetros interiores de las secciones A y B. El manómetro permitirá determinar la diferencia de presión entre los puntos A y B Planteando la ecuación de Bernoulli entre los puntos AyB v A2 PA v B2 P za zb B 2g 2g Reagrupando la ecuación y dejando en el lado derecho las velocidades tenemos: PA PB v B2 v A2 (4) 2g El término (za zb )= -0,46 m Por qué signo menos? Porque el punto B está más alto que el punto A. za zb Como dato sabemos que el líquido manométrico tiene una gravedad específica sg= 1,25, por lo que su peso específico g 1,25 agua 1,25 9,81 kn 3 12,26 kn 3. m m O sea el peso específico del líquido manométrico es de 12,26 kn/m 3 y lo denotaremos como g y el peso específico del fluido que pasa por la tubería se dijo que era agua y lo identificaremos como a. Aplicando lo que aprendimos, que en un manómetro la diferencia en presión entre dos puntos P líquido h siendo h la altura entre esos dos puntos. En el esquema hay una altura (y), entre el punto A y el nivel de líquido manométrico en la rama derecha del manómetro que es desconocida. Comencemos a plantear la variación de presiones a partir del punto A 63

64 PA a y a 1,18 m g 1,18 m a y a 0,46 m PB Note que los términos donde aparece la altura desconocida (y) se cancelan por tener signos contrarios. Agrupando en un lado de la ecuación la diferencia de presión entre los puntos A y B PA PB a 0,46 1,18 g 1,18 a 0,72 m g 1,18 m Dividamos todo por a para hacer una similitud con la ecuación (4) de la página anterior. El peso específico del agua a 60ºC se encuentra en la tabla A1 página 551 del texto Mecánica de los Fluidos de Robert Mott y tiene un valor de 9,65 kn/m 3 PA PB a PA PB a 1,18 m 12,26 g 1,18 m m3 0,72 m 0,72 m 0,78 m a 9,65 kn 3 kn m 0,78 m Volviendo a la ecuación (4) vemos que el lado izquierdo de la ecuación ya está resuelto 0,78 m 0,46 m v B2 v A2 2g (5) En el lado derecho de la ecuación tenemos las velocidades de flujo en los puntos A y B y son desconocidas, pero podemos relacionarlas mediante la ecuación de continuidad. Q AA v A AB v B Poniendo vb en función de va, se puede plantear AA Y las áreas de las secciones A y B se pueden hallar en el AB apéndice J de la página 574 del texto Mecánica de los Fluidos de Robert Mott y tiene los valores para 300 mm de diámetro interior que corresponde a la sección A AA= 7, m2 y para 200 mm de diámetro interior que corresponde a la sección B AB= 3, m2 vb v A 7, ,25 v A v B v A 2 3, pero necesitamos v B2 Por lo que v B2 2,25 v A 5,06 v A2 2 64

65 Entonces el término v B2 v A2 5,06 v A2 v A2 4,06 v A2 Sustituyendo en la ecuación (5) 0,78 m 0,46 m va v B2 v A2 4,06 v A2 2g 2g 2g 0,32 1,24 m s 4,06 Finalmente el flujo volumétrico Q se puede hallar planteando Q AA v A 7, m 2 1,24 3 Q 8, m m m3 8, s s s Ejercicio: En la figura se muestra un sifón que es usado para extraer agua de una piscina. La tubería que conforma el sifón tiene un diámetro interior de 40 mm y termina con una boquilla de 25 mm de diámetro. Asumiendo que no hay pérdida de energía. Calcule el flujo volumétrico Q a través del sifón y la presión en los puntos B,C,D, y E. Planteamos la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y F, porque son dos puntos de los cuales sabemos algunos aspectos: Los puntos A y F están expuestos a la atmósfera, por lo que la presión manométrica PgA= 0, y PgF=0, y como el líquido está en reposo en A, la velocidad es cero, v A=0. Escogiendo el nivel de referencia en A y hacia abajo negativo, za=0 Entonces: 65

66 v A2 PA v F2 P za zf F 2g 2g queda: v F2 0 zf 2g v F 7,67 m Eliminando los términos que se hacen cero la ecuación v F2 zf 2g vf 3m 2 9,81 m s 2 s La velocidad de flujo en F la necesito para hallar el flujo volumétrico del sifón usando la formula: Q AF v F AF df2 Pero necesitamos a su vez hallar el área en el punto F 25 mm mm m2 m 3 m3 Q 491 mm 2 6 7, 67 3, s s 10 mm 2 4 Q 3, m3 s Calculemos la presión en los puntos B al E. Planteando la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y B v A2 PA v B2 P Como vimos anteriormente la velocidad del fluido en A za zb B 2g 2g es cero, también es cero la presión manométrica en A, y como el nivel de referencia está colocado al nivel del punto A, por tanto za es cero y como el punto B está a la misma altura que el punto A, entonces zb=0. Si de esa ecuación despejamos PB. v2 Necesitamos hallar el valor de la velocidad de flujo en el punto PB B 2g B, y para ello aplicaremos la ecuación de continuidad, conociendo que el valor del flujo volumétrico Q hallado se mantiene en todo el sifón. Q En esta ecuación tengo de incógnita el Área de AB la tubería en el punto B. Como dato me dicen que la tubería es de 40 mm de diámetro interior, o sea puedo hallar el área usando la formula d2/4, o en la tabla J1 y J2 de Áreas de círculos, paginas 573 y 574 del libro de Mecánica de los fluidos, o en cualquier otra Q AB v B despejando vb 66

67 tabla de áreas y vemos que para 40 mm de diámetro interior corresponde un área de 1,257*10-3 m2. 3 3, m s 3m Volviendo a la formula calculamos la velocidad en B v B s 1, m 2 Ahora podemos calcular la presión en el punto B 3m 2 v B2 9,81 kn s PB 3 4,50 kpa m m 2 g 2 9, 81 s 2 Qué significa el signo negativo? Significa que la presión en el punto B está por debajo de la presión atmosférica. La ecuación de Bernoulli sirve de base para hallar como varía la velocidad del fluido de acuerdo a la altura de la superficie libre de ese fluido contra la salida. Hallemos ahora la presión en el punto C Planteando de nuevo la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y C tendremos: P v A2 PA v C2 za zc C 2g 2g (6) Ya conocemos que la velocidad en el punto A es cero por lo que el primer término de la ecuación se hace cero. Como el nivel de referencia se colocó a la altura donde ubicamos al punto A, el segundo término de la ecuación za también es cero. Y como la presión manométrica en el punto A es cero, el tercer miembro de la ecuación en su parte izquierda se hace cero. En la parte derecha de la ecuación con respecto al punto C, tenemos como incógnitas la velocidad y la presión, porque zc por el esquema de la figura vemos que tiene un valor de 1,2 metros y con signo positivo, porque cuando escogimos el nivel de referencia a partir del punto A, se escogió con signo negativo hacia abajo. Calculemos la velocidad en el punto C Planteando la ecuación de continuidad tenemos Q AC v C Pero como la tubería tiene el mismo diámetro en los puntos A y C, entonces se puede afirmar que AC=AB=1,257*10-3 m2 67

68 Q Si el flujo volumétrico Q AC se mantiene en todo el sifón y AC=AB, entonces vc = vb = 3 m/s y el término v C2 v B2 0,459 2g 2g Por tanto despejando en la ecuación de continuidad v C Volviendo a la ecuación (6) y despejando la presión en C PC v C2 zc 2g v2 kn kn PC C zc 9,81 3 0,459 1,2 16, ,27 kpa m m 2g Y el signo negativo me dice de nuevo que la presión en el punto C está por debajo de la presión atmosférica. Veamos el valor de la presión en el punto D Como los puntos D y B están a la misma altura, la presión en el punto D es igual a la presión en el punto B. PD = PB = - 4,50 kpa Pasemos a calcular la presión en el punto E Planteando la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y E v A2 P v2 P za A E ze E 2g 2g Y también como anteriormente los términos de la parte izquierda de la ecuación se anulan y despejando el término PE 0 v E2 P ze E 2g PE v E2 ze 2g ze = - 3,0 m de acuerdo al diagrama Como el diámetro de la tubería en los puntos E, B y C la velocidad será la misma en todos m2 v E2 s 2 0,459 m, entonces sustituyendo esos puntos, por lo que el término 0,459 m 2g s2 valores tenemos v2 kn kn PE E ze 9,81 3 0,459 3 m 24,92 2 m m 2g 68

69 Eliminando los dos signos negativos PE 24,92 kn m2 24,92 kpa CONCLUSIONES QUE SE DERIVAN DE ESTE EJERCICIO 1. La velocidad del fluido y por tanto el flujo volumétrico entregado por el sifón dependen de la diferencia en altura entre la superficie libre del fluido y la altura de la boquilla de salida. 2. La presión en el punto B está por debajo de la presión atmosférica aunque esté al mismo nivel que el punto A que está expuesto a la atmósfera Qué pasó? La carga en presión en B disminuyó porque se transformó en carga en velocidad (Note que va= 0 y vb = 3 m/s 3. La velocidad del fluido es la misma en todos los puntos donde la tubería tiene el mismo diámetro cuando se considera un flujo estable. 4. La presión en el punto C es la menor en el sistema porque es el punto de mayor elevación. 5. Las presiones en B y D son iguales porque están a la misma altura y la carga en velocidad en ambos puntos es la misma. 6. La presión en el punto E es la mayor del sistema porque es el punto de menor elevación. Vamos a ver una aplicación de lo anterior en un tanque que tiene cercano a su fondo una boquilla de salida. Planteando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 tenemos: 1 h 2 Z1 + v12 / 2g + P1 / γ = Z2 + v22 / 2g + P2 / γ Pero P1 y P2=0 porque no hay presión manométrica, están expuestos a la atmósfera. v1 es aproximadamente cero porque esta en reposo prácticamente. 69

70 Z1 = Z2 + v22 / 2g y Z1 - Z2 = h, despejando v 2 2gh Esta ecuación es conocida como el Teorema de Torricelli, que expresa que la velocidad de salida de un fluido contenido en un recipiente depende de la diferencia en altura de la superficie libre del líquido y la salida de este liquido del recipiente. Ejercicio: En el tanque mostrado en la figura calcule la velocidad en el punto 3 Si aplicamos el teorema de Torricelli entre los puntos 1 y 2 la velocidad en el punto 2 v 2 2gh Vamos a plantear la ecuación de Bernoulli entre los puntos 2 y 3 en la columna de líquido. v2 P v 22 P Las presiones en los z z3 3 2g 2g puntos 2 y 3 son cero porque están expuestos a la atmósfera y la presión manométrica es cero. Despejando de la ecuación la velocidad del punto 3 v 32 v 22 z2 z3 2g 2g v2 v 32 2g 2 2g h 2g Pero v 22 2gh Por tanto v 3 2gh 2gh 0 v 3 v 22 2gh 70