h 7 6,37 10 Si cae sobre la Tierra, la diferencia de energías potenciales se convierte en energía cinética: P SUP

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1 Graitatorio U ND. Un meteorito de kg colisiona con otro, a una altura sobre la superficie terrestre de eces el radio de la ierra, y pierde toda su energía cinética. a) Cuánto pesa el meteorito en ese punto y cuál es su energía mecánica tras la colisión? b) Si cae a la ierra, con qué elocidad llega a la superficie terrestre. esa altura, la graedad es: 5,8 4 g G G,7,m s ( h) (7 ) (7,37 ) y el peso mg N y la energía total es igual a la potencial: m 5,8 E G,7 8,5 J 4 h 7,37 Si cae sobre la ierra, la diferencia de energías potenciales se conierte en energía cinética: 5,8 E G,7, J 4 SU,37 E E 5,35 J 358,m s C ND. Dos masas m = kg y m = 5 kg están situadas en los puntos (,) y (,) respectiamente. a) Dibujar y calcular el campo graitatorio en el punto (,) y en el punto (,). b) Calcular el trabajo necesario para desplazar una partícula de, kg desde el punto al. y a) El campo graitatorio es: 5 en el punto, g G i G j y en el punto, g G i G 5 j o bien, x g,57 N kg g 3,35 N kg, formando un ángulo de 3º con la parte negatia del eje X, formando un ángulo de 84,º con el eje X b) Necesitamos saber el potencial graitatorio en cada punto: 5 V G G 3, J kg 5 V G G 4, J kg W m VI(V V ) J ND 3. Un satélite artificial de 5 kg gira alrededor de la una en una órbita circular situada a km sobre la superficie lunar y tarda horas en dar una uelta completa. Calcular: a) la masa de la una. b) la energía potencial del satélite cuando se encuentra en órbita. Dato: = 74 km a) a fuerza una-satélite es la centrípeta y el radio de la órbita es h m 4 G m G G S S 4 4 (,8 ) G,7 ( 3) 3 3 7,34 kg b) m 7,34 5 E G,7,3 J,8 Fco Jaier Corral 5-

2 Graitatorio U ND 4. Suponer que un cuerpo se deja caer desde la misma altura sobre la superficie de la ierra y de la una. Calcular: a) la relación entre los tiempos de caída. b) la altura que alcanza un cuerpo lanzado erticalmente en la una con una elocidad de 4 ms - Datos: =8 =(/3) g= m s a) a relación entre graedades es: g 8,5 g,3m s g 3 En caída libre y sin elocidad inicial, h gt t,45 h t g g t g b) cuando se para g t t 4,54 s F y el espacio recorrido en ese tiempo es h t g t 4 4,54,3 4,54 4,8m ND 5. Suponiendo que la órbita de la ierra alrededor del Sol es circular de radio,5 m. a) Calcular razonadamente la elocidad de la ierra y la masa del Sol. b) Si el radio orbital disminuyera en un %, cuáles serían el periodo de reolución y la elocidad orbital de la ierra? a elocidad en la órbita es, ,8m s a fuerza de atracción es la centrípeta: (,5 ) F F G, kg 3 3 S 3 C S G,7 (35 84) Si el radio disminuye, utilizando la última expresión: (,8,5 ) S, s 3 G GS,7, y la nuea elocidad orbital sería,8,5 333,m s 7, ND. Un satélite de kg en una órbita alrededor de la ierra tiene una energía cinética de 5,3 J. Calcular: a) el radio de la órbita y la energía mecánica del satélite. b) la elocidad de escape del satélite desde su posición orbital. EC 5,3 a elocidad del satélite es 78,m s y como su elocidad orbital es: m G G,7 5,8 4 7,53 m 78, a energía total es 4 5,8 E EC E 5,3,7 5, J 7,53 a elocidad de escape desde esa órbita es G,7 5,8,7 m s 4 ESC 7,53 Fco Jaier Corral 5-

3 Graitatorio U ND 7. Se lanza un cohete de kg desde el niel del mar hasta una altura de km sobre la superficie de la ierra. Calcular: a) Cuánto ha aumentado la energía potencial graitatoria del cohete. b) Qué energía adicional habría que suministrar al cohete para que escapara a la acción del campo graitatorio terrestre desde esa altura. Calculamos la energía potencial en la superficie y en ese punto: m 5,8 E G,7 3,7 J 4,37 4 F m 5,8 F h 7,57 E G,7 3, J E E E J a energía que hay que comunicarle es la cinética correspondiente a la elocidad de escape desde esa altura: 4 G,7 5,8 ESC C ESC h 7,57 5,5m s E m 3, J ND 8. El planeta Júpiter tiene arios satélites. El más próximo es Io, que gira en una órbita de radio 4 km con un periodo de,53 5 s, y el siguiente satélite es Europa, que gira a 7 km del centro de Júpiter. Calcular: a) la masa de Júpiter y el periodo de rotación de Europa. b) la elocidad de escape de Júpiter. Dato: J = 75 km a) Si aplicamos la tercera ley de Kepler: 7 (,53 ) 3,5 s Io Europa Europa Europa Io 3 3 Io Europa Io Con los datos de Io, la fuerza de atracción Júpiter-Io es la fuerza centrípeta: b) a elocidad de escape es: 4 G G G J Io Io J J Io Io Io Io Io Io Io Io Io 4 4 (4, ) Io 7 J,8 kg 5 G Io,7 (,53 ) G,7,8 543,54 m s 7 J ESC 7 J 7,5 CY. a distancia una ierra es 3,84 8 m, y la distancia ierra Sol es 4 8 m. a una tiene una masa 7,35 kg y el Sol, 3 kg. Considere las órbitas circulares y los astros puntuales. a) Comparando la elocidad lineal de los astros en sus órbitas respectias, determine cuántas eces más rápido se desplaza la ierra alrededor del Sol que la una alrededor de la ierra. b) En el alineamiento durante un eclipse de Sol, calcule la fuerza neta que experimenta la una debido a la acción graitatoria del Sol y de la ierra. Indique el sentido (signo) de dicha fuerza. a) para cualquier astro que gira alrededor de otro G: Fco Jaier Corral 5-

4 Graitatorio U b) G G, 3 S 8 3 G G G IE G 5,8 8 G, 3,84 F G 854, 5,8 4 3,84 d-s d - Sol una ierra Eclipse de Sol, 7,35 F G,7 4,38 N 3 S S 8 S (4, ) 5,8 7,35 F G,7, N 4 8 (3,84 ) a fuerza neta es F,3 N en el sentido una-sol CY. Sabiendo que la distancia media Sol Júpiter es 5, eces mayor que la distancia media Sol ierra, y suponiendo órbitas circulares: a) Calcule el periodo de Júpiter considerando que el periodo de la ierra es año. b) Qué ángulo recorre Júpiter en su órbita mientras la ierra da una uelta al Sol? partir de la tercera ley de Kepler, 3 J J J (5,),8 años 3 J y el ángulo recorrido en un año es 3º 3,35º,8 CY 3. Un satélite artificial de 5 kg se encuentra en una órbita circular alrededor de la ierra a una altura de 5 km. Si queremos transferirlo a una nuea órbita en la que su periodo de reolución sea tres eces mayor: a) Calcule la altura de esta nuea órbita y su elocidad lineal. b) btenga la energía necesaria para realizar la transferencia entre ambas órbitas. a) la elocidad del satélite en la órbita inicial es 4 G,7 5,8 7,7 m s 3,37 5 y el periodo 3 (,37 5 ) 55, s 7,7 partir de la tercera de Kepler calculamos el radio de la órbita nuea (,37 5 ) 4, m h 7, m en la que la elocidad lineal es G,7 5,8 583,m s 4, 4 b) la energía para pasar de una órbita a otra es m 5,8 5 E G,7 7, J 4,87 4 m 5,8 5 4, E G,7 3,4 J E E E 3,77 J Fco Jaier Corral 5-

5 Graitatorio U CY 4. a masa de arte, su radio y el radio de su órbita alrededor del Sol, referidos a las magnitudes de la ierra, son, respectiamente:,7,,53 y,54. Calcule: a) la duración de un año marciano (periodo de rotación alrededor del Sol) b) el alor de la graedad y la elocidad de escape en la superficie de arte. os datos son,7,53,54 a) Kepler3: 3 (,54),88años b),7,7 g G G g 3,7m s (,53 ),53 G G,7 ESC,45 ESC 433m s,53 CY 5. Dos masas puntuales, m =5 kg y m = kg, se encuentran situadas en el plano XY en los puntos de coordenadas (,) y (,7) respectiamente. Sabiendo que todas las coordenadas están expresadas en metros, calcule: a) a intensidad del campo graitatorio debido a las dos masas en el punto (4,4). b) El trabajo necesario para trasladar una masa de kg situada en el punto (,4) hasta el punto (4,4), en presencia de las otras dos masas, indicando el signo del trabajo calculado. g m 5 g G,7,33 Nkg 5 5 r5 3 4 m g G,7, Nkg r 3 4 as dos forman un ángulo de 3,87º (tg=,75) con la horizontal, luego g 5 g g cos3,87º g cos3,87º 3, Nkg x 5 y 5 g g sen3,87º g sen3,87º 7,8 Nkg g 3, i 7,8 j ambién podíamos haber dicho que g (3,) (,78) 3,8 Nkg, que forma un ángulo de 7,8 arctg 4,4º con la parte negatia del eje de las X. 3, El trabajo es la diferencia de energía potencial entre los dos puntos: W E(4,4) E(,4) G G G G 3G 5G G,33 J CY. a lanzadera espacial Columbia giraba en una órbita circular a 5 km de altura sobre la superficie terrestre. ara reparar el telescopio espacial Hubble, se desplazó hasta una nuea órbita circular situada a km de altura sobre la ierra. Sabiendo que la masa del Columbia era 75 kg, calcule: a) El periodo y la elocidad orbital iniciales de la lanzadera Columbia. b) a energía necesaria para situarla en la órbita donde está el Hubble. a) a elocidad de un satélite en órbita es: Fco Jaier Corral 5-

6 Graitatorio U y el periodo orbital: G,7 5,8 4 3, (,37 5 ) 77,m s 5538, s h3m7 s 77, b) a energía para pasar de una órbita a la otra es la diferencia de energías totales: m 5,8 75 E G,7, J h, m 5, h,37 E G,7,4 J E E E, J CY 7. En el caso del campo graitatorio creado por un planeta, demuestre que: a) la elocidad de escape de un cuerpo es independiente de su masa. b) para un cuerpo en órbita circular la E E CINEIC ENCI a) a deducción más fácil es por energías. En la superficie del planeta y en el infinito la energía total es la misma. En el infinito la energía potencial es cero y si el cuerpo se para la energía cinética también se anula. m planeta E E E m G m G infinito E C m G que no depende de la masa del cuerpo que se lanza. b) a energía potencial a una altura h es m E G h para un satélite que está en órbita a una altura h, la fuerza de atracción es la centrípeta: m G G G m E m m E ( h) h h h C VI. Calcula la distancia ierra-una sabiendo que la una tarda 8 días en realizar su órbita circular en torno a la ierra. Datos: g =,8 m s - ; = 37 km g,8 (,37 ) 4 enemos que calcular es la masa de la ierra: g G 5, kg G,7 y después recordar la tercera ley de Kepler: 4 G,7 5, (8 84) 4 8 G 3 3 3,8 m 4 4 VI. Un cohete de masa 5 kg despega de la superficie terrestre con una elocidad de km/s. a) Calcular su energía mecánica total, considerando que la energía potencial es nula a distancias muy largas. Fco Jaier Corral 5-

7 Graitatorio U b) azona si el cohete será capaz de escapar a la atracción graitatoria terrestre y, en caso afirmatio, calcula la elocidad del cohete cuando se encuentre muy alejado de la ierra. Datos: g =,8 m s - ; = 37 km a energía total cuando despega del suelo es: m 5,8 5 E E E m G 5,7,87 J 4 C,37 a elocidad inicial es superior a la elocidad de escape y sale de la atracción terrestre. a energía necesaria es: G,7 5,8 E m 5 3,3 J 4 ESC ESC ESC,37 y la energía inicial es y la energía cinética en el infinito es la diferencia: E 5 () J E EC E EESC,87 J 577,m s m C VI 3. Hay un punto entre la ierra y la una en el que la fuerza graitatoria total de ambos cuerpos se anula. Sabiendo que la distancia entre los centros de ambos cuerpos es de 384 km, calcular: a) a qué distancia se encuentra ese punto del centro de la ierra? b) cuánto ale el potencial graitatorio en ese punto? as fuerzas de atracción son iguales y 8 x D-x m m x F F G G x 345km x (Dx) 384 x El potencial graitatorio es el debido a las dos masas, ierra y una:,3 V V V G G,7 5,8,8 J kg x D x 345, 38,4 4 VI 4. Se le quiere plantear a la gencia Espacial Europea el enío de tres naes a arte para hacer de satélites marte-estacionarios. Calcular: a) qué tipo de órbita tendrían los satélites b) la altura sobre la superficie de arte a la que se encontrarían. Datos: =,4 3 kg =radio de arte 3388 km período de rotación de arte 4h37m3s os satélites tendrán órbita ecuatorial, estarán a º para cubrir toda la superficie marciana y tendrán la misma elocidad angular que el planeta. El periodo de los satélites es 8843 s. Si igualamos la fuerza de atracción con la centrípeta: 4 G,7,4 (8843) 3 G 3 3,4 m 4 4 y restando el radio de arte nos queda que la altura del satélite es 7,3 m Fco Jaier Corral 5-

8 Graitatorio U VI 5. a ierra da la uelta al Sol exactamente en año y el radio medio de su órbita es de 4,5 millones de kilómetros. Saturno tiene una órbita aproximadamente circular a una distancia,54 eces mayor del Sol que la terrestre. Determine: a) la masa del Sol b) la relación entre el período de reolución de Saturno alrededor del Sol y el de la ierra. Igualando las fuerzas que actúan sobre la ierra: (4,5 ) 3 3 S 3 G S,8 kg G,7 (35 84) y aplicando la tercera ley de Kepler: S S S 3 S 3,54,47 VI. Determine la elocidad de escape de un objeto de kg de masa en la una, la cual (casi esférica) posee una masa de 7,3 kg y un radio de 74 km. Si deseamos la elocidad de escape de un objeto de kg, cómo se modifica el resultado anterior? a elocidad de escape es: G,7 7,3 375,4 m s ESC,74 a masa del objeto no influye en el alor de la elocidad de escape. VI 7. Un agujero negro es un objeto tan masio que tiene una elocidad de escape igual a la elocidad de la luz en el acío. a graitación uniersal de Newton proporciona un alor correcto para el radio del agujero negro (denominado radio de Schwarzschild). Determine ese radio para un agujero negro con una masa: a) eces la del Sol b) con una masa de kg. Dato: S =,x 3 kg. a elocidad de escape es G G,7 m 3 m, kg 44,m 8 7 (3 ) m kg,48 m VI 8. Considera un satélite artificial que describe dos ueltas alrededor de la ierra cada 4 h en una órbita circular. a) Calcula la altura a la que se encuentra sobre la superficie terrestre. b) Determina la elocidad del satélite. Datos: =5,8 4 kg =37 km. El periodo del satélite es de h= 43 s. Igualando las fuerzas que actúan sobre el satélite: 4 G,7 5,8 (43) 4 G 3 3, m 4 4 y si le quitamos el radio terrestre, nos queda que la altura es h,5 m Fco Jaier Corral 5-

9 Graitatorio U la elocidad que tiene el satélite en su órbita es G,7 5,8 4, 387,88m s Z. Io es un satélite de Júpiter cuya masa es 8, kg y su radio,8 m. El radio de la órbita, supuesta circular, en torno a Júpiter es 4, 8 m. a) Cuál es el periodo de rotación de Io en torno a Júpiter? b) Determina la elocidad y la aceleración de Io en su órbita, (modulo y dirección). Datos: J =, 7 kg; J =, 7 m 7 J m G J,7, ara cualquier satélite F FC G m 737,m s 8 4, la aceleración del satélite en su órbita es la centrípeta: a C 8 737,,78m s 4, y el tiempo que tarda en dar una uelta alrededor del planeta es: 4, 8 5,8 s 4hm 737, Z. El satélite Gioe-B tiene una masa de 5 kg y su órbita, supuesta circular, se encuentra a una distancia de,3 4 km de la superficie terrestre. Calcula: a) Energías potencial y cinética del satélite en su órbita. b) eriodo orbital y módulo del momento angular respecto al centro de la ierra. c) Energía mínima necesaria para ponerlo en dicha órbita y elocidad de escape de la misma. a) as energías son: m 5,8 5 E G,7 3, J 4 4,37,34 G m EC m m G E,5 J b) la elocidad que tiene el satélite en la órbita es: G,7 5,8,37, ,8m s 4 4 (,37,34 ) y el tiempo que necesita para dar una uelta es 585, s h4 m s 788,8 El momento angular es rm (,37,34 ) 5 788,8,5 kg m s 4 3 c) la energía necesaria para ponerlo en órbita es la diferencia de energías totales: m m E EFIN EINI G G G m FIN INI INI FIN 4,7 5,8 5 5,8 J,37,33 Fco Jaier Corral 5-

10 Graitatorio U y la elocidad de escape G,7 5,8,37,34 4 7,m s 4 Z 3. a aceleración de la graedad en la superficie de un planeta esférico de 3 km de radio es, m s -. Calcular la elocidad de escape desde la superficie del planeta. qué altura h sobre la superficie del planeta deberá orbitar un satélite que describa una órbita circular en 4 horas? De la expresión de la graedad sacamos la masa del planeta: G g, (3, ) g,5 kg 3 G,7 a elocidad de escape es 3 G,7,5,7 m s 3, partir de la tercera ley de Kepler: 4 G,7, G 3 3, m 4 4 luego la altura a la que orbita el satélite es,7 km. Z 4. a) Definir el momento angular de una partícula. Justifique su teorema de conseración. b) Un satélite de kg describe una órbita circular de radio =,4 7 m alrededor de la ierra. Calcule la elocidad orbital del satélite y su momento angular respecto del centro de la ierra. c) Determine el trabajo que deben realizar los motores del satélite para pasar a otra órbita circular de radio,. a) El momento angular de una partícula de masa m que se muee respecto al punto se define como el momento del momento lineal r m. Si deriamos esa expresión con respecto al tiempo tenemos el principio de conseración: d d r m dr m r m d m r F r F dt dt dt dt m es el producto ectorial de dos ectores paralelos. b) la elocidad del satélite en su órbita es 4 G,7 5,8 455,m s 7,4 y el momento angular será 7 3 rm,4 455,,75 kgm s c) para pasar de una órbita a otra el trabajo es igual a la diferencia de energías potenciales: m m 4 W E F E G G G m,7 5,8 7 7 F F,4,,4, J Z 5. El Sputnik, primer satélite artificial puesto en órbita con éxito (57), describía una órbita elíptica con el centro de la ierra en uno de sus focos. El punto más alejado de la órbita (apogeo) y el más cercano (perigeo) se situaban a las distancias h =4 km y h =7 km de la superficie terrestre. Fco Jaier Corral 5-

11 Graitatorio U Determine, para cada una de las magnitudes del Sputnik dadas a continuación, el cociente entre su alor en el apogeo y su alor en el perigeo: momento angular respecto del centro de la ierra, energía cinética y energía potencial graitatoria. El radio de la ierra es 37 km y los radios extremos de la órbita son: r km r km hora amos con las relaciones. El momento angular es el mismo en todas las posiciones de la órbita r m 73, r m 57 G m C C m m m E E r r,84, E E r G r Z. El satélite stra C, empleado para emitir señales de teleisión, es un satélite en órbita circular geoestacionaria. Calcular: a) la altura a la que orbita y la elocidad con que se muee. b) la energía necesaria para ponerlo en órbita. Datos: =,37 m =5,8 4 kg S = kg. ara el satélite m 4 G F F G m G 4,5 m 3 C 4 a altura a la que está girando es h 4,5,37 35,88 m y se muee con una elocidad G,7 5,8 4 4,5 37,m s ara ponerlo en órbita hay que subirlo y comunicarle la elocidad para que se mantenga en la órbita E WSUBI E C E FIN E INI E C G Z 7. a luz solar tarda 8,3 minutos en llegar a la ierra y, minutos en llegar a Venus. Suponiendo que las órbitas que describen ambos planetas alrededor del Sol son circulares, determine: a) El periodo orbital de Venus en torno al Sol. b) a elocidad con la que se desplaza Venus en su órbita. Sabemos el periodo terrestre y amos a expresar las distancias en minutos luz. plicamos la tercera ley de Kepler:,85año año, 3 3 8,3, 8,3 a elocidad orbital es 8, ,m s, Fco Jaier Corral 5-

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