Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. 2º Bachillerato FOTOCOPIABLE

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. 2º Bachillerato FOTOCOPIABLE"

Transcripción

1 Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. º Bchillerto FOTOCOPIBLE LirosMreVerde.tk utores: Letici Goále Pscul Álvro Vldés Meéde ÍNDICE. Mtrices. Determites 8. Sistems lieles. Progrmció liel 9. Límites cotiuidd 7. Derivds Itegrles 8. Proilidd 9. Estimció. Itervlos de cofi TOTL: 8 I.S.B.N. - : I.S.B.N. - :

2 CPÍTULO : MTRICES. CONCEPTO DE MTRIZ ctividd de itroducció E el IES Virge de Covdog de El Etrego se está desrrolldo u ctividd solidri de recogid de juguetes. Se h reprtido ls tres por cursos, de modo que los lumos lums de º de ESO recoge juguetes trdicioles, los de º de ESO juegos de mes los de º de ESO juegos electróicos. Durte l primer sem se recogiero juguetes e º de ESO, e º e º; l segud sem los estudites trjero 8 juguetes e primero, 8 e segudo 7 e tercero. Los profesores ecrgdos, stisfechos por el resultdo de l ctividd, decidiero recompesr los iños iñs ofreciédoles crmelos por cd juguete trdiciol, moreitos por cd juego de mes u picho por cd juego electróico. Cudo se eter el resto de grupos del istituto (º de ESO, º º de Bchiller), decide prticipr, l sem siguiete tre 8 juguetes trdicioles, juegos de mes electróicos. El Equipo Directivo, mu orgulloso de l implicció de todos los estudites, decide duplicr los premios. Cuátos juguetes de cd tipo se recogiero? Cuátos pichos, crmelos moreitos dee comprr como premio? Si los crmelos cuest u cétimo, los moreitos cétimos los pichos 7 cétimos, cuáto les costrá los profesores recompesr sus lumos? Sugereci: Orgi l iformció e form de tls. Colect Juguetes trdicioles Juegos de mes Juegos electróicos ª sem ª sem ª sem Premios Juguetes trdicioles Juegos de mes Juegos electróicos Crmelos Moreitos Pichos Precio por uidd Coste totl Crmelos Moreitos Pichos li: Hrís sido resolver el prolem si usr ls tls? Te h precido más fácil co l iformció orded? Cooces lgu situció de l vid cotidi similr l prolem pltedo? Busc otros ejemplos dode l iformció tuld es fudmetl pr eteder mejor qué está ocurriedo... Defiició Ls mtrices so u de ls herrmiets más usds detro del Álger Liel está socids u cojuto de dtos uméricos ordedos. Ecotrmos ls mtrices e muchs ciecis: Sociologí, Ecoomí, Demogrfí, Físic, Biologí L ide ituitiv de mtri es mu secill, pudiédose defiir u mtri como u tl de úmeros ordedos, úmeros que puede proveir de eperimetos, ecuests, álisis ecoómicos, etc. Por tto: Se llm mtri de orde m u cojuto de úmeros reles dispuestos e m fils e colums, de l form: m m m Ls mtrices se represet por letrs músculs, B, C, Los elemetos de l mtri (los úmeros) se represet e geerl por ij, dode los suídices (i, j) os d l posició que ocup el térmio: i,,..., m fil j,,..., colum sí, el térmio es el elemeto que está e l primer fil e l tercer colum. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. º Bchillerto. Cpítulo : Mtrices utor: Letici Goále Pscul LirosMreVerde.tk Revisores: Álvro Vldés Jvier Rodrigo

3 .. Dimesió de u mtri El úmero de fils (m) el úmero de colums () os d l dimesió de l mtri m. Ejemplo: es u mtri de dimesió. 9.. Iguldd de mtrices Dos mtrices so igules si tiee l mism dimesió si los térmios que ocup l mism posició so igules: Ejemplo: Si 9 B =, =, =, = = 9. ; B B ; ij ij ;, pr que B dee cumplirse que: ctividdes resuelts Idic l dimesió de ls siguietes mtrices: ; B ; C ; D 7 9 L mtri es de dimesió porque tiee dos fils tres colums. L mtri B es de dimesió porque tiee u fil cutro colums. L mtri C es de dimesió porque tiee tres fils u colum. L mtri D es de dimesió porque tiee tres fils tres colums. Determi los vlores de, c pr que ls mtrices B se igules ; B Pr que dos mtrices se igules dee teer l mism dimesió, requisito que cumple B. demás, h de ser igules los térmios que ocup l mism posició. Por tto dee ser =, =, =, =. ctividdes propuests. Utili mtrices pr represetr l iformció siguiete: U gricultor cultiv lechugs, rjs meloes. Durte el ño h recogido mil lechugs, kilos de rjs meloes. E los ños teriores su producció h sido de, respectivmete. Por cd lechug recie u cétimo, por cd kilo de rjs cétimos por cd meló cétimos. Escrie l mtri de sus gcis del ño.. li los siguietes elemetos de tu etoro determi si so mtrices o o:. U cledrio.. L clsificció de l Lig de fútol (o culquier otro deporte). c. El disco duro de u ordedor. d. U rmrio dode se gurd u colecció de cops. e. Los lieles de u supermercdo. f. U ptll de televisió. g. El oleto de l Loterí Primitiv, de l Quiiel del Euromilló. h. Los uoes de u vivied. i. Los pupitres de u clse.. Propó otros elemetos de tu etoro que se mtrices o pued represetrse medite mtrices.. TIPOS DE MTRICES Si el úmero de fils es distito del úmero de colums m l mtri se llm rectgulr. Detro de ls mtrices rectgulres teemos los siguietes tipos: Mtri fil: Es quell que sólo tiee u fil. Ejemplo: es u mtri fil. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. º Bchillerto. Cpítulo : Mtrices utor: Letici Goále Pscul Revisores: Álvro Vldés Jvier Rodrigo

4 Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. º Bchillerto. Cpítulo : Mtrices utor: Letici Goále Pscul Revisores: Álvro Vldés Jvier Rodrigo Mtri colum: Es l que sólo tiee u colum. Ejemplo: es u mtri colum. Si el úmero de fils es igul l úmero de colums (m = ) se hl de u mtri cudrd. Detro de ls mtrices cudrds es importte destcr que los elemetos ij e que los dos suídices so igules form l digol pricipl, los elemetos e que j i (dode es el orde de l mtri) form l digol secudri. E el cojuto M de ls mtrices cudrds de orde, ce destcr los siguietes tipos de mtrices: Mtri trigulr: Es quell mtri e l que los elemetos situdos por ecim o por dejo de l digol pricipl so ulos. Ejemplos: Mtri Trigulr. Iferior Mtri. Trigulr. Superior Mtri Digol: Es quell mtri e l que los elemetos que o está e l digol pricipl so ulos: j i ij si Ejemplos: Mtri Esclr: Es quell mtri digol e l que los elemetos de l digol pricipl so todos igules. Ejemplo: Mtri Uidd (Idetidd): Es l mtri esclr e l que los elemetos o ulos so igules. Se represet por I. Ejemplo: I E ocsioes se ñde u suídice que idic l dimesió de l mtri. Mtri Nul: Es quell e l que todos sus elemetos so cero. Ejemplo: Mtri ul de tmño. ctividdes resuelts Clsific ls mtrices siguietes: ) = ; ) B = ; c) C = ; d) D = ; e) E = 7 L mtri es rectgulr de dimesió. L mtri B es u mtri cudrd de dimesió o simplemete. L C es cudrd de dimesió. L mtri D es u mtri cudrd de dimesió, es l mtri ul de dich dimesió. L mtri E es u mtri fil de dimesió. digol secudri digol pricipl

5 . OPERCIONES CON MTRICES ctividd de itroducció L siguiete tl muestr los resultdos de l Lig de fútol espñol / cudo cd equipo jueg como locl como visitte: E cs Fuer Totl Equipo PJ G E P PJ G E P PJ G E P F.C. Brcelo 9 9 Rel Mdrid 9 9 tlético C. Mdrid Vleci C.F Sevill C.F Villrrel C.F. 9 9 thletic C. Bilo R.C. Celt de Vigo C.D. Málg R.C.D. Espol Ro Vlleco R. Sociedd Elche C.F Levte C.F Getfe C.F R.C. Deportivo Grd C.F. 9 9 S.D. Eir 9 9 U.D. lmerí Córdo C.F. 9 9 Complet l tl de l derech, fijádote priciplmete e: o Qué deerís her hecho e cso de que los equipos huier estdo ordedos de diferete form e ms tls. o Cómo eliges trjr co los úmeros por qué. o Qué dimesioes tiee ls tls co los dtos E cs / Fuer l que otiees. o Cómo hrís resuelto el prolem iverso: ddos los resultdos totles los oteidos E cs, determir los resultdos de los equipos cudo jugro como Visittes. El sistem de putució de l Lig d putos por jugr u prtido, putos por victori, puto por empte putos por derrot. o Escrie u mtri que represete estos dtos sore l putució o Utili dich iformció pr determir los putos logrdos por cd equipo cudo jueg como locl, como visitte e totl. o Oserv ls dimesioes de ls tls de prtid de l mtri de putució, e itet relciorls co ls tls de Putos que cs de oteer... Sum Dds dos mtrices B de dimesió m, se defie l sum de mtrices ( + B) como quell mtri cuos elemetos so l sum de los elemetos que ocup l mism posició: C B cij ij ij B C B 7 Ejemplo: B B L sum de mtrices es u cosecueci de l sum de úmeros reles, por lo que ls propieddes de l sum de mtrices Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. º Bchillerto. Cpítulo : Mtrices utor: Letici Goále Pscul Revisores: Álvro Vldés Jvier Rodrigo

6 será ls misms que ls de l sum de úmeros reles: - Propiedd socitiv. - Elemeto eutro (l mtri ul). - Elemeto opuesto ( ): + ( ) = - Propiedd Comuttiv: + B = B +.. Producto de u úmero (esclr) por u mtri El producto de u úmero rel k por u mtri = ( ij ) es otr mtri de l mism dimesió cuos elemetos so los productos de los elemetos de l mtri por el úmero k: k k ij k ij k k k k k k k k k k Ejemplo: Dd l mtri, el producto de l mtri por es:. El producto de u úmero por u mtri tiee ls siguietes propieddes: - Propiedd Distriutiv respecto de l sum de mtrices. k ( B) k k B - Propiedd Distriutiv respecto de l sum de úmeros: ( k l) k l - Propiedd socitiv mit: k ( l ) ( k l) - El cojuto de mtrices M m respecto de ls opercioes sum de mtrices producto por u úmero rel (M m,+, k) tiee estructur de espcio vectoril... Producto de mtrices El producto de mtrices o es u operció t secill como l sum de mtrices o el producto de u mtri por u úmero rel, que o ecesit de grdes codicioes. Pr poder multiplicr dos mtrices, sus dimesioes dee cumplir us codicioes. Se ls mtrices B de dimesioes m p (es decir, el úmero de colums de l mtri es igul l úmero de m cuos elemetos B, e ese orde, como u mtri C de dimesioes p fils de l mtri B). Se defie el producto so de l form: ij C B ij ij c ij cij ik kj B ij k Es decir, el elemeto c se otiee multiplicdo esclrmete los elemetos de l primer fil de l mtri por los elemetos de l primer colum de l mtri B, sí sucesivmete. Ejemplo: Vemos u producto de mtrices desrrolldo pso pso: 8 B B 7 Dimesió El úmero de colums de es igul l úmero de fils de B, por lo tto se puede multiplicr e ese orde. L mtri producto tiee tts fils como tts colums como B. Que el producto B esté defiido o implic que lo esté el producto B. Ejemplo: Dds ls mtrices B defiido B B o defiido Pr que esté defiidos mos productos tiee que cumplirse que si l dimesió de l mtri es B mm l mtri B dee ser m, siedo ls dimesioes de ls mtrices producto: B De quí se coclue que el producto de mtrices NO TIENE L PROPIEDD CONMUTTIV. Si ls mtrices so cudrds de orde, el producto de mtrices tiee ls siguietes propieddes: - Propiedd socitiv: ( BC) ( B) C - Elemeto eutro (I): I I - Propiedd distriutiv respecto de l sum de mtrices: ( B C) B C m, l dimesió de Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. º Bchillerto. Cpítulo : Mtrices utor: Letici Goále Pscul Revisores: Álvro Vldés Jvier Rodrigo

7 Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. º Bchillerto. Cpítulo : Mtrices utor: Letici Goále Pscul Revisores: Álvro Vldés Jvier Rodrigo 7.. Mtri ivers Etre ls propieddes de ls mtrices o se h omrdo l eisteci del elemeto simétrico o elemeto iverso, que o eiste dich propiedd. Si emrgo, h mtrices cudrds pr ls cules eiste otr mtri que multiplicd por ells os d l mtri uidd (elemeto eutro). Defiició Si dd u mtri cudrd eiste otr mtri B, tmié cudrd, que multiplicd por l mtri os d l mtri uidd, se dice que l mtri es u mtri regulr o iversile l mtri B se le llm mtri ivers de se represet por : I Si u mtri cudrd o tiee mtri ivers, se dice que l mtri es sigulr. L mtri ivers verific ls siguietes propieddes: - L ivers de l mtri ivers es l mtri origil: - L ivers del producto de dos mtrices es el producto de ls iverss de ls mtrices cmido su orde: B B - L ivers de l trspuest de u mtri es igul l trspuest de l mtri ivers: t t Pr hllr u mtri ivers dispodremos de vrios métodos distitos. E este tem veremos dos: Resolver u sistem de ecucioes El método de Guss Jord Ejemplo: Se. Hll l mtri ivers medite u sistem de ecucioes. Pltemos l mtri d c hllmos el producto: d c d c Dee verificrse que = I, por tto: d c d c I Resolviedo pr,, c d: d c Este método se complic si h muchos térmios o ulos cuto mor es l dimesió de l mtri. Ejemplo: Se, hll l mtri ivers medite u sistem de ecucioes. De uevo, pltemos l mtri d c hllmos el producto: d c d c d c Dee verificrse que = I, por tto: d c d c d c d c I Resolviedo pr,, c d: d d d d c c c c F F F F Como hemos visto, este método result lorioso ( sólo lo hemos utilido co mtrices de orde ). demás, deemos teer e cuet que o siempre eiste mtri ivers, por lo que podrímos her estdo trjdo e lde.

8 Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. º Bchillerto. Cpítulo : Mtrices utor: Letici Goále Pscul Revisores: Álvro Vldés Jvier Rodrigo 8 Método de Guss Jord El método de Guss-Jord pr hllr l mtri ivers cosiste e covertir l mtri iicil e l mtri idetidd, utilido trsformcioes elemetles. Llmmos trsformcioes elemetles : - Itercmir el orde de l fil i por l fil j. Lo escriimos como j i F F - Sustituir l fil i por el resultdo de multiplicr o dividir todos sus elemetos por u úmero. Lo escriimos como i i F F - Sustituir l fil i o l fil j por l sum de ms, multiplicds por úmeros o ulos. Lo escriimos como j i i F F F mplimos l mtri escriiedo l mtri idetidd juto l origil, plicmos ls trsformcioes elemetles de modo que l mtri iicil se trsforme e l mtri idetidd. ctividdes resuelts Clcul co el método de Guss Jord l ivers de l mtri Escriimos l mtri idetidd juto l mtri : Y vmos relido trsformcioes elemetles l iquierd, uscdo covertirl e l mtri idetidd: F F F F Por tto: Comprdo este método co el terior, podemos ver que es mucho más simple rápido. Hll l mtri ivers de co el método de Guss Jord. F F F F F F F F Por tto, teemos que: Hll l mtri ivers de Escriimos l mtri idetidd juto l mtri opermos como se eplicó tes: 9 F F F F F F F F F F F F F F F F 9 9 F F F F F F Por tto, l mtri ivers qued: 9

9 Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. º Bchillerto. Cpítulo : Mtrices utor: Letici Goále Pscul Revisores: Álvro Vldés Jvier Rodrigo 9.. Mtri trspuest Dd u mtri de dimesioes m, se llm mtri trspuest de se represet por t, l mtri que se otiee l cmir ls fils de por sus colums, por lo que l mtri t será de dimesió m. Ejemplo: t U mtri cudrd se dice que es simétric cudo coicide co su trspuest: t. Pr que u mtri se simétric los elemetos simétricos respecto de l digol pricipl dee ser igules. Ejemplo: t Si u mtri cudrd es igul l opuest de su trspuest, t, se dice que es tisimétric. Pr que u mtri se tisimétric dee cumplirse que los elemetos simétricos respecto de l digol pricipl se opuestos, los elemetos de l digol pricipl ulos. Ejemplo: t Co ls mtrices trspuests se cumple ls siguietes propieddes: - L trspuest de u sum de mtrices es igul l sum de ls mtrices trspuest: t t t B B ) ( - L trspuest de u producto de mtrices es igul l producto e orde iverso de ls mtrices trspuests: t t t B B ) ( ctividd resuelt Pr ls mtrices: D, reli el producto t t D. El primer pso cosiste e trspoer ls mtrices: t t t t D Es decir: 7 ) ( ) ( t t D Y podemos compror l propiedd terior: 7 ) ( ) ( D Por tto: t t t D D 7.. Rgo de u mtri Se llm rgo de u mtri l úmero de fils o colums de l mtri que so lielmete idepedietes, es decir, que o puede oteerse prtir de ls demás fils o colums de l mism mtri. ctividd resuelt Determi el rgo de ls mtrices: 7 B L tercer fil de se otuvo sumdo ls dos primers fils. Ests dos primers fils so idepedietes, por lo que el rgo de es. L tercer fil de B se otuvo restdo l segud fil l dole de l primer. El rgo de B es. Pr hllr el rgo de u mtri se puede usr ls trsformcioes elemetles pr itetr hcer el máimo úmero posile de ceros, itetdo trigulr l mtri (método de Guss); si emrgo, será más fácil hllr el rgo usdo determites, como veremos e el cpítulo siguiete.

10 Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. º Bchillerto. Cpítulo : Mtrices utor: Letici Goále Pscul Revisores: Álvro Vldés Jvier Rodrigo ctividdes resuelts Clcul el rgo de l siguiete mtri segú los vlores del prámetro : Solució El rgo de est mtri será como máimo pues es u mtri de dimesió. Vmos relido trsformcioes elemetles hst covertirl e u mtri trigulr. Itercmimos fils pr teer u e l posició. F F hor trtmos de coseguir ceros, pr lo que l segud fil le restmos l primer fil multiplicd por ( ): ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( F F Vemos que si ( + = ) l segud fil es ul, por lo que su rgo serí. Por tto: + = = De quí: ) rg( ) rg( E u pís, eiste tres eropuertos itercioles (, ); e otro pís B eiste (B, B, B B ); e u tercer pís C eiste dos ( C C ). Desde el eropuerto sle vuelos co destio B, B, C dos vuelos co destio B. Desde el eropuerto sle vuelos co destio B, B dos vuelos co destio B. Desde el eropuerto sólo sle u vuelo co destio B. Desde cd eropuerto del pís B, sle dos vuelos cd uo de los eropuertos del pís C. Se pide, epresr medite mtrices: ) Los vuelos del pís l B. ) Los vuelos del pís B l C. c) Los vuelos del pís l C, ecesite o o efectur trsordo e el pís B. Solució El esquem de los vuelos es: ) Represetmos los vuelos desde (fils) hst B (colums) ) Represetmos los vuelos desde B (fils) hst C (colums) X c) Represetmos los vuelos directos desde (fils) hst C (colums): Los vuelos desde hst C co o si trsordo será: X X X X X B B B B C C

11 Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. º Bchillerto. Cpítulo : Mtrices utor: Letici Goále Pscul Revisores: Álvro Vldés Jvier Rodrigo ctividdes propuests. Escrie tres mtrices fil.. Escrie tres mtrices colum.. Escrie tres mtrices cudrds de dimesió, respectivmete. 7. Escrie l mtri uidd de dimesió,. 8. Escrie l mtri ul de dimesió,. 9. Dds ls mtrices 7 9, B 7 C clcul: ) + B ) + B C. Pr ls mtrices 7 9 B clcul B B. Es el producto comuttivo?. Dds ls mtrices 7 9 B clcul t B.. Clcul ls mtrices iverss, si eiste, de ls siguietes mtrices: 7 9, B, C, D. Resuelve l ecució mtricil M X + N = P siedo: 7 9 M, N, P. Clcul el rgo de ls siguietes mtrices: 9, B, C, D EJERCICIOS Y PROBLEMS.. - Dds ls mtrices, clcul: ) + B) B Cc) + B C. - Pr ls mtrices clcul B B. Es el producto comuttivo?. - Clcul los productos posiles etre ls mtrices,..- Dds ls mtrices clcul t B..- Pr ls mtrices,, reli ls siguietes opercioes si es posile: ) + B ) B c) B d) D e) B C f) C D g) t C. - Es posile que pr dos mtrices B o cudrds pued eistir B B? 7. - ) Clcul 97 pr l mtri ) Ecuetr los vlores de pr que l mtri comute co l mtri. B C B B C B B C D

12 Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. º Bchillerto. Cpítulo : Mtrices utor: Letici Goále Pscul Revisores: Álvro Vldés Jvier Rodrigo 8. - Clcul, pr N, siedo ls siguietes mtrices: ) ) c) 9. Se dice que dos mtrices B comut si B = B. Dd l mtri hll ls mtrices B que comute co.. - Ecuetr tods ls mtrices, del orde correspodiete, que comute co ls mtrices:. - Se ls mtrices m E m D C B m,,,,. Clcul cd uo de los productos B, D E, E B, C E..- Se B dos mtrices de orde, e ls que,, deot vlores uméricos descoocidos. ) Determi, rodmete, los vlores de,, R de mer que = B. ) Es posile el cálculo de B? Ro l respuest..- Se l mtri clcul, si eiste, ls siguietes mtrices: ) U mtri X, tl que X. ) U mtri Y tl que Y. - Clcul ls mtrices iverss, si eiste, de ls siguietes mtrices: ) ) c) d).- Dds ls mtrices clcul..- Dd l mtri. ) Hll l mtri ivers de. ) Comprue que - = - = I. c) Hll u mtri X tl que X = B, siedo B 7.- Clcul l mtri ivers de 8. - Dds ls mtrices oté, si procede, (B ) Se ls mtrices B ) Clcul l mtri ivers de B ) Hll el producto de l ivers de B por l ivers de. Qué relció eiste etre l mtri del prtdo terior est mtri? Justific l respuest. 8 B t (B) ) ( B B

13 Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. º Bchillerto. Cpítulo : Mtrices utor: Letici Goále Pscul Revisores: Álvro Vldés Jvier Rodrigo. Se comprue que t = clcul ( t )..- Se ls mtrices:,. ) Hll C D. ) Clcul l mtri ivers de C D. c) Comprue si (C D) es igul C D o es igul D C..- Resuelve l ecució mtricil M X + N = P siedo,. - Se ls mtrices,. ) Clcul ( B + I). ) Determi l mtri X pr que X = + I. - Se ls mtrices, C B. Resuelve l ecució X B X C = C. - Clcul el rgo de ls siguietes mtrices: ) ) c). - Clcul el rgo de ls siguietes mtrices segú los vlores del prámetro : ) ) 7.- Determi ls mtrices B que so solucioes del siguiete sistem: B B 8. - Oteer ls mtrices X e Y que verifique los siguietes sistems mtriciles. ) ) c) 9. - Utilido ls opercioes elemetles por fils, oté mtrices trigulres equivletes ls siguietes mtrices: ) ) c) d) C D M N P B Y X Y X Y X Y X Y X Y X

14 . - E u cdemi de idioms se imprte iglés lemá e cutro iveles dos modliddes: grupos reducidos grupos ormles. L mtri 8 epres el úmero de persos, segú el tipo de grupo, dode l primer colum correspode los cursos de iglés, l segud los de lemá ls fils, los iveles primero, segudo, tercero curto respectivmete. Ls colums de l mtri,,,,7 B reflej el tto por uo de,8,7,, estudites (comú pr mos idioms) que sigue curso reducido (primer fil) curso orml (segud fil) pr cd uo de los iveles. ) Oteer l mtri que proporcio el úmero de estudites por modlidd e idiom. ) Siedo que l cdemi cor euros por perso e grupos reducidos euros por perso e grupo orml, hllr l ctidd que otiee l cdemi e cd uo de los idioms.. - Tres escritores preset u editor, l cr l eciclopedi, l miut que se recoge e l tl djut: Hors de trjo Coferecis dds Vijes Escritor Escritor B 8 8 Escritor C El editor pg l hor de trjo 7 euros, l cofereci euros el vije euros. Si sólo pies pgr, respectivmete, el %, el % el % de lo que correspoderí cd escritor, qué gsto tedrí el editor?. - U fáric produce dos modelos de lvdors, B, e tres termicioes: N, L S. Produce del modelo : uiddes e l termició N, uiddes e l termició L uiddes e l termició S. Produce del modelo B: uiddes e l termició N, e l L e l S. L termició N llev hors de tller hor de dmiistrció. L termició L llev hors de tller, hors de dmiistrció. L termició S llev hors de tller, hors de dmiistrció. ) Represet l iformció e dos mtrices. ) Hll u mtri que eprese ls hors de tller de dmiistrció empleds pr cd uo de los modelos.. - Se B dos mtrices de igul orde, u úmero. Se se que ( + B) = + B. Justific el resultdo.. - Se B dos mtrices cudrds de igul tmño. Si B so simétrics, li si, etoces, tmié lo es su producto B. Si l respuest es firmtiv, justifíquese; e cso cotrrio, dese u cotrejemplo que lo cofirme. r. - Se l mtri M, siedo r s dos úmeros reles tles que r s. Clcul M, M, M M k pr k N. s. - Se el cojuto de mtrices defiido por: M ;, R ) Comprue que, B M, tmié + B M B M ) Ecuetr tods ls mtrices C M, tles que C = C Se dice que u mtri cudrd es ortogol si se verific que t = I dode t es l mtri trspuest de e I es l mtri idetidd. Si B so dos mtrices ortogoles de igul tmño, li si B es u mtri ortogol. 8. Cosider ls mtrices, B C defiids como: ij i j, i, j,, i j, i,; j,, c i j, i,,;, j, B ij C ij ) Costrue ls tres mtrices. ) Hll ls trspuests t, B t C t determi cuál (o cuáles) de ls mtrices es simétric. c) li cuáles de los productos, B, C, B, B B, B C, C, C B o C C puede relirse. d) Determi el rgo de ls tres mtrices, B C. 9. Dd l mtri: M e l que se verific + + =. ) Clcul M. ) Clcul P = M + I. c) Comprue que P = P. d) Comprue que P M = M P = O. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. º Bchillerto. Cpítulo : Mtrices utor: Letici Goále Pscul Revisores: Álvro Vldés Jvier Rodrigo

15 RESUMEN Defiició de mtri Tl de úmeros ordedos 7 Dimesió de u mtri El úmero de fils (m) el úmero de colums () L dimesió de l mtri terior es. Iguldd de mtrices Dos mtrices so igules si tiee l mism dimesió si los térmios que ocup l mism posició so igules = B ij = ij i,j Tipos de mtrices Sum de mtrices Producto de u rel por u mtri Producto de mtrices Mtri fil: Mtri colum: Mtri trigulr de dimesió : 7 Mtri digol: Mtri esclr: Mtri uidd: Se sum los elemetos que ocup l mism posició: C Bcij ij ij Es otr mtri de elemetos los de l mtri multiplicdos por el úmero: k k ij k ij ij C B ij ij cij cij ik kj B ij k 7 Mtri ivers I / / / / Mtri trspuest Se otiee cmido fils por colums. t Rgo de u mtri Número de fils o colums de l mtri que so lielmete idepedietes, es decir, que o puede oteerse prtir de ls demás fils o colums de l mism mtri. UTOEVLUCIÓN El rgo de l mtri es. Dds ls mtrices ; B 7.- L dimesió de l mtri es: ) ) c) d).- L mtri es: ) u mtri fil ) cudrd c) trspuest d) rectgulr.- L sum de ls mtrices B es: ) B 7 ) B 9 ) B d ) B 9.- El producto es: ) 7 ) 9 9 ) 9 d ) B.- Idic qué firmció es ciert ) Ls mtrices B se puede multiplicr ) Ls mtrices B o se puede multiplicr c) ms tiee mtri ivers d) Sus mtrices trspuests so igules Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. º Bchillerto. Cpítulo : Mtrices utor: Letici Goále Pscul Revisores: Álvro Vldés Jvier Rodrigo

16 Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. º Bchillerto. Cpítulo : Mtrices utor: Letici Goále Pscul Revisores: Álvro Vldés Jvier Rodrigo Dds ls mtrices ; ; ; F E D C.- L mtri idetidd es l mtri: ) C; ) D; c) E; d) F. 7.- El producto de ls mtrices E F es: 8 ) EF 8 ) EF 9 8 ) EF c ) EF d 8.- L mtri ivers de l mtri F es: ) F ) F ) F c ) F d 9.- L mtri trspuest de l mtri F es: ) t F ) t F ) t F c ) t F d.- El rgo de l mtri C es: ) ) c) d) o tiee pédice: Prolems de mtrices e ls P...U. () Se l mtri. ) Comprue que verific I = O, co I l mtri idetidd O l ul. ) Clcul. c) Bsádote e los prtdos teriores si recurrir l cálculo de iverss, hll l mtri X que verific l iguldd X + I = () ) Defie rgo de u mtri. ) U mtri de fils colums tiee rgo. Cómo vrí el rgo si quitmos u colum? Si suprimimos u fil u colum, podemos segurr que el rgo de l mtri resultte vldrá dos? () Se u mtri (m ) ) Eiste u mtri B tl que B se u mtri fil? Si eiste, qué orde tiee? ) Se puede ecotrr u mtri B tl que B se u mtri fil? Si eiste, qué orde tiee? c) Busc u mtri B tl que B = ( ) siedo () Dd l mtri el vector X, se pide oteer rodmete: ) El vector X tl que X = X. ) Todos los vectores X tles que X = X. c) Todos los vectores X tles que X = X. () Se I ls mtrices cudrds siguietes: I Se pide clculr, eplicdo todos los psos ecesrios: ) Ls mtrices. ) Los úmeros reles pr los cules se verific (I + ) = I +. () Dd l ecució mtricil: 7 B dode B es u mtri cudrd de tmño, se pide: ) Clcul el vlor o vlores de pr los que est ecució tiee solució. ) Clcul B e el cso =. (7) U mtri se dice que es trigulr si el primer elemeto de su segud fil es. Ecuetr tods ls mtrices trigulres B tles que. 8 7 t B B

17 Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. º Bchillerto. Cpítulo : Mtrices utor: Letici Goále Pscul Revisores: Álvro Vldés Jvier Rodrigo 7 (8) Comprue rodmete que: ) Si el producto de dos mtrices cudrds B es comuttivo, etoces se deduce que el producto de los cudrdos de dichs mtrices es igul l cudrdo del producto de dichs mtrices. ) L mtri 7 stisfce l relció + I = O, siedo I O, respectivmete, ls mtrices de orde uidd ul. c) Clcul rodmete escriiedo todos los psos del romieto utilido, los vlores que hce que = + I, siedo que l mtri verific l iguldd = + I. (9) ) Clcul ls mtrices reles cudrds de orde, X e Y, que stisfce ls ecucioes: C Y X B Y X dode: C B ) Si X e Y so ls mtrices teriores, clcul ( X + Y) X ( X + Y) (Y). () Clcul todos los vlores reles,,, t pr los cules se verific X = X, dode t X () Teemos ls mtrices e I ) Clcul l mtri ivers de. ) Clcul l mtri B = ( + I). c) Determi los úmeros reles que cumple: = + I, = + t I, () Se ls mtrices: B dos mtrices de orde ( ) e ls que, R deot vlores uméricos descoocidos. ) Determi, rodmete, los vlores de, R de mer que B =. ) Es posile el cálculo de B? Ro l respuest () Se + I = B u epresió mtricil, dode B deot l mtri cudrd de orde ( ): B e I es l mtri idetidd de orde correspodiete: ) Qué dimesió tiee l mtri? ) Determi los elemetos que itegr l mtri, esto es, ij q. c) Clcul + I. () Se B dos mtrices descoocids. Resuelve el siguiete sistem de ecucioes: 7 7 B B () Se X e Y dos mtrices descoocids. Resuelve el siguiete sistem de ecucioes: 9 Y X Y X () Se llm tr de u mtri l sum de los elemetos de su digol pricipl. Hll, mtri de tmño ( ), siedo que l tr de t es cero. (7) Se u mtri que tiee tres fils; se B l mtri que result de sustituir e l ª fil por l sum de ls otrs dos. Qué dee ocurrir etre ls fils de pr que B teg el mismo rgo? (8) Dds ls mtrices c c B se pide: ) Ecotrr ls codicioes que dee cumplir, c pr que se verifique B = B. ) Pr = = c =, clculr B. (9) Deotmos por M t l mtri trspuest de u mtri M. Cosider: 9,, C B ) Clcul ( B) t (B ) t. ) Determi u mtri X que verifique l relció C B X t.

18 8 CPÍTULO : DETERMINNTES. CONCEPTO DE DETERMINNTE.. Defiició Dd u mtri cudrd de orde, represet por... se llm determite de l mtri se... u úmero rel que es igul : i... det S Es decir, el determite de u mtri cudrd es el úmero rel que se otiee sumdo todos los fctoril (!) productos posiles de elemetos (orde de l mtri) de l mtri, de form que e cd producto h u elemeto de cd fil uo de cd colum, precedido cd producto co el sigo + ó segú que l permutció de los suídices que idic l colum teg u úmero de iversioes, respecto del orde turl, que se pr o impr. Est defiició sólo es práctic pr resolver los determites de orde. Los determites de orde superior se resuelve co otros métodos, que plicdo l defiició serí mu lorioso... Determites de orde dos tres. Regl de Srrus... Determites de orde dos Dd u mtri de orde,, se llm determite de l mtri, det l úmero: Es decir, se multiplic los elemetos de l digol pricipl se le rest el producto de los elemetos de l digol secudri. Ejemplos 8 B B 8... Determites de orde tres. Regl de Srrus Dd u mtri cudrd de orde, se llm determite de l mtri l úmero: Este desrrollo procedete de l defiició de determite, puede recordrse fácilmete co este digrm, coocido como l regl de Srrus: º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Determites utores: Letici Goále LirosMreVerde.tk Álvro Vldés

19 9 Ejemplo ctividdes propuests. Clcul los siguietes determites: ). Clcul los siguietes determites: ) 8 77 º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Determites utores: Letici Goále LirosMreVerde.tk Álvro Vldés ) ). PROPIEDDES DE LOS DETERMINNTES ª) El determite de u mtri es igul l determite de su trspuest. Demostrció t t reorgido térmios: Ejemplo : 8 t 8 Teiedo e cuet est propiedd, prtir de hor todo lo que se dig pr l fils de u determite será igulmete válido pr ls colums, vicevers, pudiedo hlr simplemete de líes de u determite. ª) Si los elemetos de u fil o de u colum se multiplic todos por u úmero, el determite qued k multiplicdo por dicho úmero: k k k k Demostrció k k k k k k k k c) c) k k k k k k t k k Ejemplo Est propiedd tiee dos impliccioes:. Nos permite scr fuer los fctores comues todos los elemetos de u líe.. k = k, siedo l dimesió de l mtri

20 Demostrció: Pr orde : k k k k k k k k k k k k k k Pr orde : k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ª) Si los elemetos de u líe se puede descompoer e sum de dos o más sumdos, el determite será igul l sum de dos determites (o más) que tiee tods ls resttes líes igules e dich líe tiee los primeros, segudos, etc. sumdos: Demostrció: reorgido térmios: 7 Ejemplo Descompogmos l segud colum: Por tto: 7 9 ª) Si e u determite los elemetos de u líe so ulos, el determite es ulo: Demostrció: ª) Si e u mtri se permut dos fils (o dos colums), el determite cmi de sigo: º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Determites utores: Letici Goále LirosMreVerde.tk Álvro Vldés

21 Demostrció: Ejemplo: º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Determites utores: Letici Goále LirosMreVerde.tk Álvro Vldés ctividd propuest. Comprue qué ocurre e u determite de orde tres cudo hces dos permutcioes de fils.. Comprue qué ocurre e u determite de orde dos cudo hces u permutció de fils seguid de u permutció de colums.. Comprue qué ocurre e u determite de orde tres cudo hces dos permutcioes de fils.. Comprue qué ocurre e u determite de orde tres cudo hces u permutció de fils seguid de u permutció de colums. ª) Si u determite tiee dos líes prlels igules, el determite es ulo: Demostrció: c c c c c c Ejemplo: ( ) ( ) ctividd propuest 7. Ro por qué est propiedd puede deducirse de l propiedd úmero. 8. Comprue e u determite de orde que l propiedd se verific tmié cudo h dos colums igules. Hlo de dos forms diferetes: desrrolldo el determite utilido l propiedd del determite de l mtri trspuest. Como cosecueci de ls segud, tercer set propieddes teemos ls siguietes: 7ª) Si u mtri cudrd tiee dos fils o dos colums proporcioles, su determite es ulo: k Demostrció: k k k k c k c k c c Ejemplo: 9 c k k k c (como vimos e l propiedd terior) 8ª) Si los elemetos de u líe so comició liel de ls resttes líes prlels, el determite es ulo. r s r s r s Demostrció: Pr determites de orde dos est propiedd se reduce l terior. c c

22 Pr determites de orde tres: r s r s r s Prop. Prop. Prop. Ejemplo: 7 7 CCC r r r r r s s s s s 9ª) Si los elemetos de u líe se le sum u comició liel de ls resttes líes prlels, el r s determite o vrí: r s r s Demostrció Pr determites de orde dos sólo h u posile comició: r r Prop. r r Prop. 7 ctividdes propuests 9. Demuestr est propiedd pr determites de orde tres.. Comprue que el vlor del segudo determite, oteido del primero co l trsformció idicd, es el mismo que el del determite de prtid. 7 C C C C ª) El determite del producto de dos mtrices cudrds es igul l producto de los determites de ls mtrices: B B Demostrció: Pr determites de orde dos: B Por tto: B plicmos dos veces l propiedd (): B fctores comues que se puede (propiedd ): B º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Determites utores: Letici Goále LirosMreVerde.tk Álvro Vldés 7 Y oservmos que el primer el último determites so ulos (propiedd ): B Vemos que e el segudo determite h u permutció de colums, luego: B ctividdes propuests B. Comprue est propiedd pr ls siguietes mtrices cudrds de orde tres: ) B ; ) B ; c) B Etremos todos los 7

23 . Ro si es posile que pr dos mtrices B eist los productos B B, pero o se verifique que B B.. Dds dos mtrices B, cudrds de igul dimesió, ro si ls siguietes epresioes so cierts o o: ) B B B B f) B B ) B B B g) B B B c) B B B B d) B h) B B B B B B B i) B B B e) j) B B B. CÁLCULO DE DETERMINNTES POR LOS ELEMENTOS DE UN LÍNE Hemos clculdo determites de orde usdo l defiició de determite (regl de Srrus). Itetr plicr l defiició determites de orde mor que es mu egorroso, por lo que los mtemáticos uscro otro método... Defiicioes Comemos por defiir lguos coceptos que vmos ecesitr.... Meor complemetrio Dd u mtri cudrd, de orde, se llm meor complemetrio del elemeto ij, se represet por ij, l determite de orde ( ) que se otiee l elimir l fil i l colum j.... djuto de u elemeto Dd u mtri cudrd, de orde, se llm djuto del elemeto ij se represet por ij, l meor complemetrio ij, precedido del sigo + o segú que l sum de los suídices (i + j) se pr o impr: ij i j ij sí, el djuto del elemeto será: = el djuto del elemeto será: = +... Cálculo de determites por djutos El determite de u mtri es igul l sum de los productos de los elemetos de u líe por sus djutos correspodietes. i j ij j i i i i j j j i j º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Determites utores: Letici Goále LirosMreVerde.tk Álvro Vldés ij ij ij o ij i j i j (por fils) (por colums) sí, el determite de u mtri, de orde, se podrí clculr de seis forms diferetes: (por l primer fil) (por l segud fil) (por l tercer fil) (por l primer colum) O (por l segud colum) (por l tercer colum) El prolem de sigr el sigo más o meos cd djuto se simplific si se tiee e cuet que éstos v lterádose que el correspodiete l elemeto es el sigo +, si importr el cmio que se sig pr llegr l elemeto correspodiete.

24 º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Determites utores: Letici Goále LirosMreVerde.tk Álvro Vldés Ejemplo: Vmos desrrollr u determite de orde medite los djutos de l primer fil: Si desrrollmos el determite por los djutos de l segud fil (o de l segud colum) os ecotrmos co u producto e que uo de los fctores es ulo, lo que os simplific el cálculo: Por tto, cudo se comi este método pr clculr determites co ls propieddes de los mismos, trjmos tes pr coseguir el mor úmero posile de ceros e u líe, podremos clculr de form mu secill dicho determite por los djutos de dich líe. Ejemplo Clcul este determite medite djutos, hciedo ceros pr simplificr ls fils: 7 F F F F Medite este método se h psdo de clculr u determite de orde clculr u determite de orde. uque el ejemplo se h hecho co u determite de orde, vle pr culquier orde os re l puert clculr determites de orde superior. ctividd propuest. Clcul por djutos el vlor de este determite:.. Determite de u mtri trigulr Como cs de compror e l ctividd terior: El determite de u mtri trigulr es igul l producto de los elemetos de l digol pricipl. Demostrció Desrrollmos el determite por los djutos de l primer colum: Repetimos desrrolldo por los djutos de l uev primer colum: Es evidete que este proceso se repetirá hst gotr ls colums, por tto:

25 El proceso que hemos seguido e est demostrció es u versió mu simplificd de u método de demostrció llmdo método de iducció. Ejemplo: ctividd propuest Hll el vlor de que verific: Mtri djut Se llm mtri djut de l mtri l mtri formd por los djutos de l mtri, se represet por dj(). dj Ejemplos: dj( ) B dj( B) Por tto: dj(b ) 7 ctividdes propuests. Pr ls mtrices B del ejemplo, determi: ) B ) dj t dj B t c) dj t B djb t Qué oservs? 7. ) Clcul l mtri djut de: C ) Hll C, dj C t efectú el producto C djc c) Qué oservs? º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Determites utores: Letici Goále LirosMreVerde.tk Álvro Vldés t.

26 . MTRIZ INVERS E el tem terior (mtrices) se h visto el cocepto de l mtri ivers de u mtri cudrd se h clculdo iverss de mtrices de orde medite sistems de ecucioes o co el método de Guss Jord. E este cpítulo veremos u tercer form de clculr mtrices iverss. Recordemos que u mtri cudrd se llm regulr (o iversile) si eiste otr mtri cudrd, llmd ivers que se represet por, que multiplicd por l mtri os d l mtri idetidd. I Vmos deducir cómo es l mtri ivers. Supogmos u mtri cudrd de orde, uque pr fcilitr los cálculos trjremos co u mtri de orde. Hllmos l trspuest de l mtri djut: dj t Multiplicdo l mtri por l trspuest de su djut º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Determites utores: Letici Goále LirosMreVerde.tk Álvro Vldés t dj teemos: I Es decir, l multiplicr uestr mtri por l trspuest de su djut os h precido l mtri uidd: t t I dj dj I De dode se deduce que, si el determite de o es ulo: dj t Como de tod mtri cudrd se puede hllr su djut luego l trspuest de ést, lo úico que puede hcer que o eist l ivers es que o eist el fctor, que o eiste cudo =. Luego: L codició ecesri suficiete pr u mtri cudrd teg ivers es que su determite se distito de cero Por otro ldo, como I por l ove propiedd: I ctividdes resuelts Hll l mtri ivers de E primer lugr compromos el vlor de su determite: Hllmos l mtri djut l trspuest de ést: t dj( ) dj( ) Hll l mtri ivers de B E primer lugr compromos el vlor de su determite:

27 7 B 8 77 B B U ve comprod l eisteci de mtri ivers, hllmos l djut de B. dj(b ) l trspuest de est mtri: t dj( B ) 7 Y, filmete: B dj( B) B 77 7 ctividd propuest 8. Comprue pr los ejemplos teriores que = I B B = I RNGO DE UN MTRIZ: Si recordmos que u mtri es u tl de iformció, que l ctidd de iformció que lmce lgus tls es mostruos (st co imgir l se de dtos de u empres), es evidete l ecesidd de ecotrr u mer de elimir iformció redudte quedrse co u ctidd míim co l que poder recuperr los dtos elimidos. Ese es el cocepto cotidio de rgo, el míimo úmero de elemetos idepedietes de u tl de iformció, es decir, el meor úmero de líes co ls que podemos oteer tods ls demás. De este modo, st gurdr u ctidd pequeñ de líes juto co ls opercioes que geer el resto... Meor de u mtri Dd u mtri de dimesió m, se llm meor de orde k l determite formdo por l itersecció de k fils k colums de l mtri. sí, por ejemplo, e l mtri: - Los determites será lguos de los meores de orde. - Los determites - Los determites, será lguos de los meores de orde. so meores de orde. E este cso l mtri o tiee meores de orde superior, pues sólo tiee tres fils... Rgo de u mtri Defiimos e su mometo el rgo de u mtri como el úmero de fils o colums lielmete idepedietes, lo clculmos usdo el método de Guss. Vmos ver otr form de defiir clculr el rgo de u mtri. Se llm rgo de u mtri (o crcterístic de u mtri) l orde del meor de mor orde o ulo. º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Determites utores: Letici Goále LirosMreVerde.tk Álvro Vldés

28 º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Determites utores: Letici Goále LirosMreVerde.tk Álvro Vldés 8 ctividdes resuelts ) Como l mtri o es l mtri ul, st co escoger u elemeto o ulo pr compror que el rgo de l mtri es por lo meos. Tommos el elemeto trjmos prtir del él (podrímos her cogido culquier otro): rg Trjmos hor prtir del meor de orde que hemos tomdo, pr costruir los meores de órdees superiores. rg L mtri o puede teer rgo mor que pues sólo tiee dos colums. ) B Como l mtri o es l mtri ul, semos que su rgo será mor o igul que por lo tto empemos trjr co meores de orde. rg B rg 9 B El rgo o puede ser mor que. c) C Tommos u meor de orde que se distito de cero trjmos co él pr formr los meores de orde superiores. rg C Formmos u meor de orde : Como este meor de orde es ulo, formmos otro meor de orde, pero siempre prtir del mismo meor de orde, hst que ecotremos u meor de orde que se distito de cero, si lo h: Como todos los meores de orde que se puede formr so ulos, etoces el rgo de l mtri es. Es itereste coocer est propiedd: Si los todos los meores de u determido orde so ulos, tmié lo so los de órdees superiores.

29 º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Determites utores: Letici Goále LirosMreVerde.tk Álvro Vldés 9 EJERCICIOS Y PROBLEMS..- Clcul los determites de ls siguietes mtrices: ) ) c) d) e) f) g) h) i) j) m m.- Prue, si desrrollrlos, que los determites de ls siguietes mtrices so ulos: ) c c c ) d c c d d c.- Demuestr si desrrollr que los determites 8 9 so múltiplos de..- Prue si desrrollr que los determites siguietes so múltiplos de : ) 8 9 ) Comprue, prtir de ls propieddes de los determites, que = que = Siedo que: i h g f e d c clcul, si desrrollr, el vlor de c e d c f h g i 7.- Siedo que r q p c clcul si desrrollr: q r p c c r c q p q q r c c r p p 8.- Cuál será el orde de u mtri cudrd si semos que su determite vle que el determite de l mtri t vle? 9.- Justific, si relir cálculo lguo, que.- Dds ls mtrices B de orde co B, clcul, B t t B..- Oté, e fució de, c el vlor del determite: c m m m

30 .- Demuestr que:.- Dd l mtri se pide: ) Clcul: ; ; ; ; ( ) ( ) ) Resuelve l siguiete ecució:.- Se u mtri simétric M cuo determite es. Comprue si es verddero o flso t 9 t t M 7 M t t t t 7 9 Si so flss, idic l respuest correct..- Se ls mtrices B M tles que B. Co estos dtos clcul de form rod: B ; B ; B ; t B ; B t ;. - Se F, F, F F ls cutro fils de u mtri cudrd, cuo determite vle. Se pide clculr de form rod: ) El determite de l mtri. ) El determite de l mtri ivers de. c) El determite de l mtri. d) El determite de u mtri cus fils so: F, F F, F, F. c d c d 7.- Pr los determites ) Hll los meores complemetrios de los elemetos,,, cudo eist. ) Hll los djutos de dichos elemetos, cudo eist. 8.- ) L mtri verific. Hll los posiles vlores del determite de. t ) L mtri verific que I. Hll los posiles vlores del determite de. 9.- Dd l mtri clcul el determite de l mtri de ls siguietes mers: ) plicdo l regl de Srrus. ) Desrrolldo por los elemetos de l ª fil de l ª colum. º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Determites utores: Letici Goále LirosMreVerde.tk Álvro Vldés

31 º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Determites utores: Letici Goále LirosMreVerde.tk Álvro Vldés.- Dds ls mtrices, B C se pide clculr el vlor de los siguietes determites: B ; C ; t t B ; B C ; C.. - Resuelve ls siguietes ecucioes: ) ).- Resuelve ls siguietes ecucioes: ) ).- Resuelve l siguiete ecució I, siedo e I l mtri uidd..- Hll los determites de ls siguietes mtrices: B D E F G H J.- plicdo propieddes, clculr el vlor del determite: ) Idicdo los psos relir, hst llegr uo de orde. ) Desrrolldo por los elemetos de u líe.. - Compror el vlor de los siguietes determites: 7 ; Clcul el determite: Clcul los determites siguietes: ) )

32 º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Determites utores: Letici Goále LirosMreVerde.tk Álvro Vldés 9. - Resuelve ls siguietes ecucioes: ) 7 ).- Resuelve ls siguietes ecucioes: ) 7 8 ) 7.- Hll ls mtrices iverss de ls mtrices: ) ) c) c c c.- Dd l mtri. ) Hll l mtri ivers de. ) Comprue que I. c) Hll u mtri X tl que B X, siedo B.- Se ls mtrices B ) Clcul l mtri ivers de B. ) Hll el producto de l ivers de B por l ivers de. Qué relció eiste etre l mtri del prtdo terior est mtri? Justific l respuest..- Siedo ls mtrices B. ) Es cierto que det( B) = det(b )? ) Clcul, si es posile, l ivers de B.. - Dd l mtri t t hll los vlores de t pr los cules o tiee ivers..- Dd l mtri, verigu pr qué vlores de eiste, clcúll pr. 7.- Clcul l mtri ivers de 8.- Dd l mtri M ) Comprue si es u mtri regulr o iversile. E cso firmtivo, hll su ivers. ) Descompó l mtri M e sum de dos mtrices, u simétric otr tisimétric. c) Descompó M e sum de dos determites P Q, tles que sus elemetos se todos o ulos que el vlor de uo de ellos se ulo. d) Comprue si: Q P M Q P M e) Resuelve l ecució: M

33 º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Determites utores: Letici Goále LirosMreVerde.tk Álvro Vldés 9.- Pr qué vlores de l mtri o tiee ivers? Hll l ivers pr =..- ) Pr qué vlores del prámetro o es ivertile l mtri? 7 ) Pr los vlores de ecotrdos clculr los determites de t de t..- Se C l mtri m ) Pr qué vlores de m o tiee ivers l mtri C? ) Clcul l ivers de C pr m =..- Dd l mtri dode es u úmero rel, hll: ) Los vlores de pr los que l mtri pose ivers. ) L ivers de pr =. c) Co =, el vlor R pr que l mtri teg determite..- Dds ls mtrices, B C M, plte l resolució de ls siguietes ecucioes utilido l mtri ivers: ) B X ) X B X B c) B C X t.- Clcul tods ls mtrices digoles de orde dos que coicide co su ivers. Si es u de ess mtrices, clcul su cudrdo..- ) Hll, si eiste, l mtri ivers de M. M ) Clcul l mtri X que cumple M M M X.- Dds ls mtrices: C D ) Qué vlores de hce sigulr l mtri C? ) Qué dimesioes dee teer l mtri B pr que l ecució D BC teg setido? c) Clcul B pr el vlor. 7.- Resuelve ls siguietes ecucioes: ) 7 9 ) c) 8.- Hll el rgo de ls siguietes mtrices: ) ) c) d) 9. - Hll el rgo de ls siguietes mtrices: B 9 9 C

34 º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Determites utores: Letici Goále LirosMreVerde.tk Álvro Vldés.- Hll el rgo de ls mtrices e fució del prámetro: ) ) c) d). - Determi el rgo de ls mtrices siguietes e fució del prámetro correspodiete: B C.- Dd l mtri ) Resuelve l ecució det ) Clcul el rgo de l mtri segú los vlores de.. - Dds ls mtrices m m m B ) Discute el rgo de segú los vlores de m. ) Qué dimesioes dee teer l mtri X pr que se posile l ecució B X? c) Clcul X pr m =..- Resuelve ls ecucioes: ) B X siedo B ) C X B, siedo B C c) C B X siedo, 9 B C d) C B X siedo, B C

35 º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Determites utores: Letici Goále LirosMreVerde.tk Álvro Vldés UTOEVLUCIÓN Dds ls mtrices = B = 7.- El vlor del determite de l mtri es: ) ) c) d) 8.- El djuto B del determite de l mtri B es: ) ) c) d).- El vlor del determite de l mtri B es: ) ) c) 8 d) 8.- El rgo de B es: ) ) c) d).- L mtri ivers de es: ) ) / / / / / / / / / c) d) / / / / / / / / / Dds ls mtrices: ; ; ; F E D C.- L mtri ivers de l mtri F es: ) F ) F ) F c ) F d 7.- El rgo de l mtri C es: ) ) c) d) o tiee 8.- L mtri de determite ulo es: ) C ) D c) E d) F 9.- El determite de l mtri CD vle: ) ) c) d).- El rgo de l mtri CF es: ) ) c) d) o tiee

36 Defiició de determite Determite de orde dos RESUMEN El determite de u mtri cudrd es el úmero rel que se otiee medite i det... det S 7 Determite de orde tres. Regl de Srrus 8 Meor complemetrio Meor complemetrio del elemeto ij, ij, es el determite de orde que se otiee l elimir l fil i l colum j. djuto de u elemeto djuto del elemeto ij, ij, es el meor complemetrio ij, precedido de + o segú l sum de los suídices i i j + j se pr o impr. ij ij Mtri djut Se llm mtri djut de l mtri l mtri formd por los djutos de l mtri, se represet por dj(). dj Desrrollo por djutos El determite de u mtri es igul l sum de los productos de los elemetos de u líe por sus djutos correspodietes. Mtri ivers Si el determite de o es ulo: dj t Meor de u mtri Meor de orde k es el determite formdo por l M itersecció de k fils k colums de l mtri. Rgo de u mtri Rgo (o crcterístic) de u mtri es el orde del meor de mor orde o ulo El rgo de l mtri terior es dos, porque M = =. º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Determites utores: Letici Goále LirosMreVerde.tk Álvro Vldés

37 7 pédice: Prolems de determites e l P..U. () Cosider ls mtrices, B, I ) Puede eistir u mtri C de form que se pued relir los productos C C B? Si es posile, proporcio u ejemplo. Si o es posile, eplic por qué. ) Clcul (B I). c) Determi los vlores de que verific = 7 I () Ddos los úmeros reles,, c d, se cosider l mtri. Prue que el poliomio p() = det( I ) c d es p() = tr() + det(), dode tr() es l tr de l mtri, es decir, l sum de los elemetos de l digol de. () Cosider l mtri ) Hll el determite de l mtri. ) Hll el determite de l mtri. c) Hll el determite de l mtri ( ). () Dds ls mtrices cudrds I ) Clcul ls mtrices ( I) ( I). ) Justific rodmete que.) Eiste ls mtrices iverss de ls mtrices ( I)..) No eiste l mtri ivers de l mtri ( I). c) Determi el vlor del prámetro rel pr el que se verific que = ( I). () Cosider l mtri secθ tg θ tg θ secθ ) Estudi pr qué vlores de t l mtri tiee ivers. ) Busc, si es posile, l mtri ivers de cudo () Se d ls mtrices, I M, dode M es u mtri de dos fils dos colums que verific que M = M. Oté rodmete: ) Todos los vlores reles k pr los que l mtri B = k I tiee ivers. ) L mtri ivers B cudo k =. c) Ls costtes reles pr ls que se verific que + = I. d) Comprue rodmete que l mtri P = I M cumple ls relcioes: P = P M P = P M. (7) Ddo el úmero rel se cosider l mtri ) Oté los vlores del úmero rel pr los que l mtri tiee ivers. ) Busc, si es posile, l mtri ivers de cudo =. (8) Se cosider l mtri c ) Oté el poliomio p() = det(). ) Si c =, usc ls ríces de p() depediedo de. º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Determites utores: Letici Goále LirosMreVerde.tk Álvro Vldés

38 º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Determites utores: Letici Goále LirosMreVerde.tk Álvro Vldés 8 (9) Se cosider ls mtrices: B ) Clcul, si es posile, l mtri ivers de l mtri. ) Resuelve, si es posile, l ecució mtricil X = B. () Utilido ls propieddes de los determites: ) Verific que: ) Clcul: 7 () Se ) Clcul su ivers, si eiste. ) Ecuetr l regl de cálculo de ls sucesivs potecis de. c) Resuelve l ecució () Se cosider u mtri cudrd de orde tres que verific l ecució = 9 I, dode I es l mtri idetidd. ) Epres como comició liel de I. ) ) Estudi si l mtri: B verific l ecució B = B 9 I. ) Determi si B tiee ivers, si l tiee, clcúll. () Dd l mtri ) Resuelve l ecució det() =. ) Clcul el rgo de l mtri segú los vlores de. () Se d c ) Clcul ls mtrices que verific l relció = + I (I es l mtri idetidd) ) Clcul tods ls mtrices digoles, que o posee ivers que verific l relció terior. c) Se verific pr culquier pr de mtrices B C l relció B + C = B + C? Si o es cierto po u cotrejemplo. () Se l mtri ) Clcul el vlor de su determite e fució de ) Ecuetr su ivers, si eiste, cudo =. () plicdo ls propieddes de los determites ( si desrrollr, i plicr l regl de Srrus) respode rodmete ls siguietes preguts: ) Cómo vrí el determite de u mtri de orde si se multiplic cd elemeto ij de l mtri por i j? ) L mtri, de orde, = ( ij ) co ij = i + j, tiee ivers?

39 º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Determites utores: Letici Goále LirosMreVerde.tk Álvro Vldés 9 (7) plicdo ls propieddes de los determites si utilir l regl de Srrus, clcul rodmete ls ríces de l ecució poliómic: p ) ( Euci ls propieddes utilids. (8) Dd l siguiete mtri de orde : se pide: ) Clculr el determite de l mtri. ) Clculr el determite de l mtri. c) Clculr el determite de l mtri. (9) Dd l mtri: M ) Determi el rgo de M segú los vlores del prámetro. ) Determir pr qué vlores de eiste l mtri ivers de M. Clcul dich ivers pr =. () Hll u mtri X tl que X = B, siedo: B () Clcul los vlores de pr los cules l mtri tiee ivers. () Resuelve l siguiete ecució: () Oté rodmete: ) El determite de u mtri cudrd B de dos fils, que tiee mtri ivers verific l ecució B = B. ) El determite de u mtri cudrd que tiee tres fils que verific l ecució: 9 siedo que el determite de es positivo. () Dd l mtri M se se que T es u mtri cudrd de tres fils tres colums cuo determite vle. Clcul rodmete los determites de ls siguietes mtrices, idicdo eplícitmete ls propieddes utilids e su cálculo: ) ½ T ) M c) TM T - () Dds ls mtrices 8 ) ( 8 ) ( B ) Oté rodmete el vlor de pr que el determite de l mtri () se. ) Clcul rodmete el determite de l mtri (). c) Demuestr que l mtri B() o tiee mtri ivers pr igú vlor rel de.

40 º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Determites utores: Letici Goále LirosMreVerde.tk Álvro Vldés () Se d l mtri m m dode m es u prámetro rel. ) Oté rodmete el rgo o crcterístic de l mtri e fució de los vlores de m. ) Eplic por qué es ivertile l mtri cudo m =. c) Oté rodmete l mtri ivers - de cudo m =, idicdo los distitos psos pr l oteció de -. Comprue que los productos - - d l mtri idetidd. (7) Dds ls mtrices B clcul rodmete el vlor de los determites siguietes escriiedo todos los psos utilidos. ) B B ) B B c) B B (8) Dd l mtri ) ( ) Clcul, e fució de, le determite de l mtri (), escriiedo los cálculos ecesrios. ) Determi, rodmete, los úmeros reles, pr los que el determite de l mtri ivers () es igul. (9) Dds ls mtrices cudrds, B e I ) Justific que l mtri tiee ivers oteer rodmete l mtri ivers de, icluedo e l respuest todos los psos. ) Clcul, rodmete, el determite de l mtri -, icluedo e l respuest todos los psos relidos. c) Oté rodmete los vlores reles,, que verific l ecució: I + + = B. () Dd l mtri ) Clcul ( I) ( I) dode I es l mtri idetidd. ) Oté l mtri trspuest de l mtri. c) Ro si eiste l mtri ivers de, e su cso, clcúll. () Teemos ls mtrices reles I : ) Justific que eiste l mtri ivers de, clcúll clcul el determite de -. ) Clcul el determite de l mtri B, B = ( + I ). c) Determi los úmeros reles,,, t que cumple: - = + I, = + t I.

41 CPÍTULO : SISTEMS DE ECUCIONES. REPSO: SISTEMS DE DOS ECUCIONES LINELES.. Ecució liel de dos icógits U ecució liel co dos icógits, es u epresió de l form c, dode e so ls icógits, c so úmeros reles, de los cules se les deomi coeficietes c térmio idepediete. todo pr de úmeros (, ) que verifique l epresió terior se le deomi solució de l ecució. L represetció gráfic de tods ls solucioes de dich epresió será u rect... Sistem de ecucioes lieles. U sistem de dos ecucioes lieles co dos icógits es u epresió del tipo: c c Si represetmos l gráfic de cd ecució, otedremos dos rects. El puto de corte de ms rects, si eiste, será l úic solució del sistem. ctividdes resuelts Resuelve gráficmete el sistem Y Si represetmos l gráfic de cd ecució, oteemos dos rects: Y Y X X Vemos que se cort e el puto (, ), que es l solució del sistem: X,, U sistem de ecucioes que tiee u úic solució se deomi Comptile Determido. Resuelve gráficmete el sistem E este cso oteemos dos rects que se superpoe: Esto quiere decir que tod solució de u ecució es tmié solució de l otr. Y El sistem, e este cso, tiee ifiits solucioes, que so los ifiitos putos de l rect. U sistem de ecucioes co ifiits solucioes se deomi Comptile Idetermido. Resuelve gráficmete el sistem Y E este cso oteemos dos rects prlels: Ls rects NO se cort e igú puto, por tto el sistem o tiee solució. X U sistem de ecucioes que o tiee solució se deomi Icomptile. Podemos formr el siguiete esquem pr clsificr los sistems tediedo l úmero de solucioes: Determid o SCD tiee u solució Comptile Sistems Idetermi do SCI tiee ifiits solucioes Icompti le SIo tiee solució º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Sistems utor: Letici Goále Pscul LirosMreVerde.tk Revisor: Álvro Vldés

42 º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Sistems utor: Letici Goále Pscul LirosMreVerde.tk Revisor: Álvro Vldés.. Epresió mtricil de u sistem de ecucioes lieles El curso psdo estudimos tres forms de resolver sistems de ecucioes lieles: reducció, sustitució e igulció. Resolvmos por reducció u sistem geerl de l form c c Si multiplicmos l primer ecució por l segud por : c c c c Restmos miemro miemro: c c c c Oservmos que si el fctor es distito de cero, podemos despejr como: c c Operdo del mismo modo, podemos hllr : c c Fijádoos ie e ms epresioes, podemos recoocer tto e el umerdor como e el deomidor l form crcterístic de u determite, lo que os llev l siguiete romieto: Todo sistem de l form c c se puede epresr medite el producto de mtrices: c c l primer formd por los coeficietes que se deomi mtri socid del sistem: l mtri de los térmios idepedietes: c c B Si retommos ls epresioes oteids pr e vemos que ecesitmos u tercer mtri: Comido e B se otiee l mtri mplid: * c c Co ells podemos deducir l solució del sistem origil: e c c c c. SISTEMS GENERLES DE ECUCIONES LINELES.. Defiició de sistem de ecucioes lieles E geerl se deomi sistem de m ecucioes lieles co icógits u cojuto de relcioes de l form: m m m dode,, so ls icógits, los úmeros ij so los coeficietes de ls icógits los i so los térmios idepedietes. El cojuto de úmeros reles ordedos,,, será solució del sistem si stisfce tods ls ecucioes del mismo. Idepedietemete del úmero de icógits ecucioes, estos sistems puede clsificrse del mismo modo que los de ( ):

43 º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Sistems utor: Letici Goále Pscul LirosMreVerde.tk Revisor: Álvro Vldés S.I. Icomptile S.C.I. Idetermido S.C.D. Determido Comptile Sistems Ejemplos: El sistem solo tiee u solució: = = =, es comptile determido. El sistem Tiee ifiits solucioes; prte de l terior: = = =, podemos ecotrr =, =, =, o =, = /, = ½ muchs más. Es, por tto, comptile idetermido. El sistem No puede teer solució, que l tercer ecució se cotrdice co l primer (o puede verificrse simultáemete). Es, por tto, u sistem icomptile. L difereci fudmetl estri e l iterpretció geométric de los sistems. Si u ecució liel e e es u rect e el plo, l umetr el úmero de icógits l figur geométric cmi, psdo ser u plo e el espcio de tres dimesioes: d c : u hiperplo e dimesioes superiores... Sistems homogéeos U sistem de ecucioes lieles se dice que es HOMOGÉNEO cudo el térmio idepediete de tods ls ecucioes es igul cero; es decir, i i : m m Todo sistem homogéeo es comptile, pues tiee l meos u solució, i = i. Se llm solució trivil de u sistem homogéeo l mtri colum: E geerl, l solució trivil o suele teer iterés. Si el sistem es comptile idetermido se suele trjr pr dejr l solució e form prmétric, es decir, hciedo que u (o más) de ls icógits se comporte como u prámetro lire epresdo ls demás e fució de ell. Ejemplo: El sistem Tiee ifiits solucioes; prte de l trivil: = = =, podemos ecotrr =, =, =, o =, =, = es, como tes, idetermido. Pr epresrlo e form prmétric elegimos l icógit que se pued despejr más fácilmete, e este cso. Simplemete sumdo miemro miemro ls dos primers ecucioes: F F F podemos despejr e fució de : t t t ie o

44 º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Sistems utor: Letici Goále Pscul LirosMreVerde.tk Revisor: Álvro Vldés.. Sistems equivletes Dos sistems co el mismo úmero de icógits, uque o teg el mismo úmero de ecucioes, se dice que so equivletes si tiee ls misms solucioes, es decir, tod solució del primero es solució del segudo, vicevers. Ejemplo: Los sistems tiee mos l mism solució: = = =. Pr psr de u sistem otro equivlete, se puede usr ls siguietes Trsformcioes de Guss: ) Cmir el orde de ls ecucioes del sistem. ) Multiplicr los dos miemros de u ecució por u mismo úmero distito de cero. c) Suprimir u ecució del sistem que se comició liel de ls demás. d) Sustituir u ecució por l sum de ell más otr ecució multiplicd por u úmero rel culquier. e) Sustituir u ecució por u comició liel de ell de ls resttes, siempre que el coeficiete de l ecució sustituid, e l comició liel, se distito de cero. Est últim trsformció se cooce como Teorem Fudmetl de equivleci de sistems. Ejemplo: Trsformemos el sistem F F F F F F F F. RESOLUCIÓN DE SISTEMS.. Método de Guss o de elimicioes sucesivs: Este método cosiste e sustituir el sistem ddo por otro equivlete, plicdo ls trsformcioes de Guss, hst coseguir u sistem esclodo, e el cul los coeficietes de ls icógits que qued por dejo de l digol del sistem se ulos. sí, por ejemplo, del sistem: llegrímos l sistem: Pr resolver el sistem o teemos más que ir sustituedo el vlor de l vrile oteid e u ecució e l ecució terior, sí sucesivmete. Este método os permite ser demás, segú ls ecucioes que otegmos, si el sistem tiee o o solució cuts tiee. ctividdes resuelts licemos el sistem 8 8 E E E E E E El último sistem, como se ve, es esclodo. De l últim ecució oteemos que =, sustituedo sucesivmete e l segud e l primer oteemos =, =. Se trt de u sistem comptile determido (SCD). licemos el sistem E E E E E E E este cso, después de relir ls trsformcioes de Guss, result u sistem co dos ecucioes tres icógits, u sistem comptile idetermido (SCI). Se trt de u sistem uiprmétrico, dode u de ls icógits hce de prámetro puede tomr culquier vlor. Ls otrs icógits tomrá vlores depediedo del vlor que le demos l prámetro. Ls solucioes se

45 º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Sistems utor: Letici Goále Pscul LirosMreVerde.tk Revisor: Álvro Vldés preset de l form: k k k 7 7 (Tmié podrímos her oservdo que l tercer ecució es sum de ls otrs dos) licemos el sistem 9 E E E E E E Como se ve l últim ecució es imposile, por tto el sistem o tiee solució, es u sistem icomptile (SI). (Tmié podrímos her oservdo que los coeficietes de l tercer ecució so el dole de los de l segud, pero el térmio idepediete o está duplicdo, lo que geer u surdo). Se h oteido e los tres csos tres sistems esclodos pero de distito tipo: E el cso, teemos tts ecucioes como icógits, l últim ecució tiee solució. Se trt pues de u sistem comptile determido (SCD), que tedrá u úic solució. E el segudo cso, sistem B, teemos más icógits que ecucioes. Se trt de u sistem comptile idetermido (SCI) tedrá ifiits solucioes. E este cso, ls solucioes viee dds e fució de u solo prámetro, uque puede her sistems co más de u prámetro. E el tercer cso, sistem C, l últim ecució es imposile, por tto el sistem o tiee solució. Se trt de u sistem icomptile (SI). Pr discutir el sistem tedremos e cuet l form de l últim ecució trsformd: l hor de despejr teemos tres situcioes diferetes: ;, ; ; L primer es trivil o merece más eplicció, el sistem puede resolverse. E l segud vemos que culquier vlor de stisfce l ecució. Por tto h ifiits solucioes el sistem es idetermido. Vemos que l últim es clrmete imposile (igú vlor multiplicdo por cero puede dr u resultdo diferete de cero) el sistem es icomptile. Por tto, el álisis de l últim ecució qued: SI ;, SCI ; SCD ; Esto es precismete lo que vimos e los tres ejemplos teriores que os d lugr los tres tipos de sistems. Por tto tedremos que ver qué hce que el coeficiete de se ulo si esos vlores coicide o o co los vlores que hce que el térmio idepediete se ulo. ctividdes propuests. li resuelve medite el método de Guss los sistems siguietes: ) ) c) 9 7 d) 9 9

46 º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Sistems utor: Letici Goále Pscul LirosMreVerde.tk Revisor: Álvro Vldés. EXPRESIÓN MTRICIL DE UN SISTEM DE ECUCIONES: Ddo u sistem de m ecucioes lieles co icógits: m m podemos epresrlo como producto de mtrices e l form B X, es decir: m m m m que se deomi epresió mtricil de u sistem. recie el omre de mtri de coeficietes o mtri del sistem: m m m B se deomi mtri de los térmios idepedietes: m B Y llmmos mtri X l mtri colum formd por ls icógits X prtir de ls mtrices B defiimos l mtri mplid: m m m m * ctividd resuelt Plte mtricilmete el sistem 8 m m Simplemete escriimos: 8 m m B X Plte el sistem cus mtrices de coeficietes de sus térmios idepedietes so: B Como B so mtrices de dimesioes ( ) ( ), l mtri de icógits dee ser: X Pltemos l ecució mtricil X = B: B X opermos: ) ( ) ( e igulmos los térmios de ls mtrices pr oteer el siguiete sistem: ) ( B X

47 º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Sistems utor: Letici Goále Pscul LirosMreVerde.tk Revisor: Álvro Vldés 7.. Resolució de sistems medite l mtri ivers: L epresió mtricil de u sistem de ecucioes lieles, os ofrece otro mecismo de resolució del sistem prtir de l mtri ivers de l mtri de los coeficietes: B X I B X B X B X Pr ello dee cumplirse: m : el sistem tiee que teer tts ecucioes como icógits, es decir, l mtri de los coeficietes dee ser cudrd. : el determite de l mtri de los coeficietes dee ser distito de cero, pr que l mtri teg ivers. Ests codicioes o so triviles, pues os muestr ls codicioes ecesris pr que el sistem teg solució: Pr que u sistem de m ecucioes lieles co icógits teg solució, el úmero de ecucioes lielmete idepedietes dee coicidir co el úmero de icógits. ctividd resuelt Resuelve medite l mtri ivers el sistem 8 Solució: Escriimos el sistem e form mtricil: 8 B X Clculdo el determite de vemos que vle =, por tto podemos hllr l ivers: Y multiplicmos por : por l iquierd: 9 8 B X.. Teorem de Rouchè-Fröeius: Cosideremos u sistem de m ecucioes lieles co icógits: m m Pr el que ls mtrices de coeficietes mplid so, respectivmete: m m m m m m m * El teorem de Rouchè-Fröeius dice: "L codició ecesri suficiete pr que u sistem de m ecucioes icógits se comptile (teg solució) es que el rgo de l mtri de los coeficietes se igul l rgo de l mtri mplid". Si estudimos los rgos de ls mtrices os podemos ecotrr co ls siguietes situcioes: Icomptile Sist. rg rg SCI rg SCD rg Comptile Sist. rg rg * * plicció Sistems Homogéeos: U sistem homogéeo tedrá siempre solució, que el rgo de será siempre igul l rgo de *, pues l últim colum de l mtri mplid so ceros. L solució será úic (l trivil) si el rgo de es igul l úmero de icógits. Y tedrá ifiits solucioes si el rgo de es meor que el úmero de icógits. * m m m U sistem homogéeo es siempre COMPTIBLE. U sistem homogéeo tedrá sólo l solució trivil si el determite de l mtri de los coeficietes es distito de cero.

48 º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Sistems utor: Letici Goále Pscul LirosMreVerde.tk Revisor: Álvro Vldés 8.. Método de Guss epresió mtricil Utilido ls mtrices socid mplid podemos simplificr el método de Guss visto tes. Ejemplo: F F F F F F E este sistem l últim ecució, que correspode l últim fil de l mtri, es. Por tto el sistem tiee solució úic: El método de Guss tmié os permite discutir los sistems e fució de los distitos vlores que tome u prámetro determido que, como vimos, es u método pr determir rgos. Ejemplo: F F F F F F De l últim ecució ) ( deducimos los vlores del prámetro que os puede hcer que el sistem teg o o solució, e el cso de que teg solució de que se o o u úic solució... álisis de u sistem por el método de Guss licemos de form geéric u sistem e form mtricil. Cometámos tes que estmos itetdo covertir el sistem: e el sistem equivlete: E form mtricil se trt de covertir l mtri mplid e: m m m m m m * * tes eplicmos que pr discutir el sistem limos l últim ecució. E este cso, limos l últim fil, llegmos dos situcioes diferetes: Cso : co * m m m Oservmos que los rgos de ls mtrices * so igules, e igules l úmero de ecucioes todo depederá del úmero de icógits. Cso : m * Oservmos que los rgos de ls mtrices * o coicide. Recuperemos el ejemplo terior: Ejemplo: limos el último térmio, que correspode l ecució ) (, deducimos los vlores del prámetro que os puede dr u solució válid. Como vimos, todo depede de cuádo ese prámetro es ulo, por tto: Co lo que deducimos:

49 º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Sistems utor: Letici Goále Pscul LirosMreVerde.tk Revisor: Álvro Vldés 9 Si el sistem es comptile determido (SCD), que el coeficiete de es distito de cero, Si, l últim ecució es de l form = (e este cso tmié l segud ecució) por lo que el sistem tiee ifiits solucioes. E este cso se trt de u sistem iprmétrico, dos de ls icógits hce de prámetros l tercer tom vlores e fució de ells (SCI). Si, l últim ecució qued =, por lo que es imposile el sistem o tiee solució (SI)... Regl de Crmer: Se dice que u sistem de ecucioes lieles es u sistem de Crmer si el úmero de ecucioes es igul l úmero de icógits demás el determite formdo por los coeficietes de ls icógits es distito de cero. Ejemplos: NO es sistem de Crmer SÍ es sistem de Crmer. L Regl de Crmer dice que: "u sistem de ecucioes co icógits, e el cul el determite de l mtri de los coeficietes es distito de cero, dmite u solució sólo u, es decir, es u sistem comptile determido". Vmos ver como se clcul est solució por el método de Crmer: Cosideremos u sistem de ecucioes icógits: m L epresió mtricil del sistem es: l ser u sistem de Crmer, el determite de l mtri de los coeficietes es distito de cero por tto dmite ivers. Multiplicdo los dos miemros de l ecució por l ivers de, teemos: B X B X I B X B X Es decir: Operdo ls mtrices e iguldo los térmios correspodietes teemos: hst llegr l últim icógit: Oservmos que los umerdores de ests frccioes so los desrrollos de determites por los elemetos de u líe, co lo cul teemos:.

50 º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Sistems utor: Letici Goále Pscul LirosMreVerde.tk Revisor: Álvro Vldés E cd u de ls frccioes el determite del umerdor es el determite de l mtri de los coeficietes de ls icógits cmido, e cd cso, l colum correspodiete l icógit i por los térmios idepedietes. El deomidor e todos los csos es el determite de l mtri de los coeficietes. Podemos simplificr ess epresioes si represetmos por,,, los determites de los umerdores, l solució geéric de u sistem de Crmer puede represetrse como: L solució de u sistem de Crmer puede clculrse como: i i Siedo i el determite que result de sustituir l colum de l icógit i ésim por l mtri de térmios idepedietes: i Est omecltur geéric qued más clr cudo teemos los sistems co ls icógits hitules (,,, ): e el que podemos hllr ls solucioes como:,, siedo:,, E ocsioes se represet por l determite del sistem, que semos que o puede ser ulo: ctividdes resuelts Epres e form mtricil los siguietes sistems comprue que so sistems de Crmer. ) ) Resuélvelos utilido plicdo l regl de Crmer. ) Escriimos el sistem e form mtricil: B X De dode, l mtri de los coeficietes l mtri mplid qued: * Vemos si es u sistem de Crmer: 7 9 es u sistem de Crmer Lo resolvemos plicdo l regl de Crmer: L solució es: ;

51 () Escriimos el sistem e form mtricil: X B Vemos si es u sistem de Crmer: 8 8 Crmer. plicmos l regl de Crmer:, 8, 8 Es u sistem de 8 8 Filmete:,, Es decir, l solució del sistem qued:,,. Pltemieto de prolems E este tem es fudmetl ser plter u prolem prtir de u eucido de teto. L clve pr ello es ser LEER TRDUCIR decudmete tod l iformció que se d e u prolem, ESCRIBIENDO correctmete lo que estmos leedo. Nuc se escrie demsido uc u prolem está demsido eplicdo l hor de itetr resolverlo. Ejemplo: U determid empres hce u prue de selecció que cosiste e u test de 9 preguts. Por cd cierto d putos, por cd fllo quit, putos por cd pregut o cotestd quit, putos. Pr pror h que oteer por lo meos putos. Cuáts preguts h que cotestr correctmete pr oteer los putos que el úmero de ciertos más el de preguts o cotestds se igul l dole del úmero de fllos? Empemos defiiedo ( lo escriimos clrmete): = º de preguts cotestds correctmete = º de preguts cotestds erróemete = º de preguts o cotestds cotiució, vmos trocedo el prolem: El test cost de 9 preguts, por tto deducimos que: 9 Por cd cierto d putos, por cd fllo quit, putos por cd pregut o cotestd quit, putos:,, Pr que el úmero de ciertos más el de preguts o cotestds se igul l dole del úmero de fllos: 9 Pltemos el sistem:,,, desde este mometo, sólo teemos que plicr lo predido e el tem: Pltemos l mtri de los coeficietes l mtri mplid. Compromos si es u sistem de Crmer (que el determite del sistem o se ulo) Resolvemos co el método de Crmer. ctividd propuest. Resuelve el sistem terior comprue que el spirte deerá cotestr preguts correctmete, erróemete dejr preguts si cotestr pr lcr los putos. º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Sistems utor: Letici Goále Pscul LirosMreVerde.tk Revisor: Álvro Vldés

52 º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Sistems utor: Letici Goále Pscul LirosMreVerde.tk Revisor: Álvro Vldés RESUMEN Ejemplos Sistem de ecucioes lieles Se deomi sistem de m ecucioes lieles co icógits l cojuto de relcioes: m m m Sistem homogéeo U sistem de ecucioes lieles se dice que es homogéeo cudo el térmio idepediete de tods ls ecucioes es igul cero. Sistems equivletes Dos sistems co el mismo úmero de icógits, uque o teg el mismo úmero de ecucioes, se dice que so equivletes si tiee ls misms solucioes, es decir, tod solució del primero es solució del segudo, vicevers. Verific = ; = Epresió mtricil de u sistem Todo sistem puede epresrse como producto de mtrices e l form B X : m m m m 8 B X 8 Resolució por ivers B X I B X B X B X Teorem de Rouchè- Fröeius El teorem de Rouchè-Fröeius dice: "L codició ecesri suficiete pr que u sistem de m ecucioes icógits se comptile (teg solució) es que el rgo de l mtri de los coeficietes se igul l rgo de l mtri mplid". S.I. rg rg SCI rg SCD rg rg rg * * Regl de Crmer L solució de u sistem puede clculrse como: Si i i Siedo i el determite que result de sustituir l colum de l icógit i ésim por l mtri de térmios idepedietes., EJERCICIOS Y PROBLEMS.. Resuelve los siguietes sistems plicdo el método de elimició o de Guss: ) ) c) 9 7 d) 9 9. Ddos los sistems: ) ) c) ) Epréslos e form mtricil comprue que so sistems de Crmer. ) Resuélvelos utilido l mtri ivers plicdo l regl de Crmer.

53 º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Sistems utor: Letici Goále Pscul LirosMreVerde.tk Revisor: Álvro Vldés. Discute resuelve, cudo se posile, los siguietes sistems: ) 9 ) c) 9. Resuelve los siguietes sistems plicdo, si es posile, l Regl de Crmer: ) 7 ) 9 c) 9 d). Discute resuelve los sistems e los csos que se posile: ) ) m m. Ddo el sistem ) Estudi su comptiilidd segú los vlores de. ) Resuélvelo pr el cso =. 7. Dds ls ecucioes: 9 se pide: ) ñde u ecució pr que el sistem resulte ser icomptile. ) ñde u ecució pr que el sistem resulte ser comptile determido. 8. Ddo el sistem de ecucioes se pide: ) Discute resuelve, cudo se posile. ) ñde u ecució liel pr que el sistem resultte teg: i) u solució ii) muchs solucioes iii) o teg solució 9. Discute resuelve cudo se posile los siguietes sistems homogéeos: ) ) c). Se ls mtrices m, B, m C, D, E ) Clcul cd uo de los tres productos B, E D, D E. ) Si D B C plte u sistem de ecucioes icógits (represetds por, ) e fució de m. Pr qué vlores de m el sistem tiee solució? Es siempre úic?. Se ls mtrices, B, C, D, E ) Siedo que E D C B, plte u sistem de ecucioes icógits (represetds por,, ) e fució de. ) Pr lgú vlor de el sistem tiee solució úic? c) Pr = ecuetr u solució del sistem co. El cjero utomático de u determid etidd cri sólo dmite illetes de, de euros. Los vieres deposit e el cjero illetes por u importe totl de 7. verigu el úmero de illetes de cd vlor depositdo, siedo que l sum del úmero de illetes de de euros es el dole que el úmero de illetes de euros.

54 . Se dispoe de tres illeters, B C co illetes de, euros respectivmete. Si psmos illetes de B, el úmero de illetes e ést es igul l sum de los otros dos, pero si psmos illetes de C, el úmero de illetes e ést tmié es igul l sum de los otros dos. verigu cuátos illetes h e cd illeter si se se que e totl h euros.. L sum de ls tres cifrs de u úmero es 8. L cifr de ls uiddes es igul l sum de ls deces más ls cetes. Si se ivierte el orde de ls cifrs el úmero umet e 9 uiddes. De qué úmero se trt?. U eme de Mtemátics II v cosistir e u test de preguts. Por cd cierto se drá putos, por cd fllo se quitrá putos por cd pregut o cotestd se quitrá puto. Pr pror h que oteer por lo meos putos. Cuáts preguts hrá que cotestr correctmete pr oteer los putos que el úmero de fllos más el quítuple del úmero de preguts o cotestds se igul l úmero de ciertos?. E el mercdo podemos ecotrr tres limetos preprdos pr gtos que se fric poiedo, por kilo, ls siguietes ctiddes de cre, pescdo verdur: limeto Migto: g de cre, g de pescdo g de verdur limeto Ctomel: g de cre, g de pescdo g de verdur limeto Comect: g de cre, g de pescdo g de verdur Si queremos ofrecer uestro gto 7 g de cre, 7 g de pescdo g de verdur por kilo de limeto, qué porcetje de cd uo de los compuestos teriores hemos de meclr pr oteer l proporció desed? 7. Clcul ls eddes de u fmili (pdre, mdre e hij), siedo que etre los tres sum 7 ños, que hce cutro ños l edd del pdre er siete veces l edd de l hij que detro de quice ños l edd de l hij será l curt prte de l sum de ls eddes del pdre de l mdre. 8. U perso ivirtió 7 reprtidos e tres empress otuvo de eeficios. Clculr l iversió relid e cd empres siedo que e l empres B hio el triple de iversió que e l C juts, que los eeficios de ls empress fuero del % e l empres, el 8 % e l empres B el % e l empres C. 9. Se tiee tres tipos de cfé: el de l clse, que cuest /kg, el de clse B, que cuest 8 /kg el de l clse C que cuest /kg. Se dese hcer u mecl pr veder 8 kg de cfé 7 /kg. Cuátos kg de cd clse se dee poer si del primer tipo dee etrr el dole del segudo más el tercero?. Clcul ls eddes ctules de u mdre sus dos hijos, siedo que hce ños l edd de l mdre er veces l sum de ls eddes de los hijos e quel mometo, que detro de ños l edd de l mdre será l sum de ls eddes que los hijos tedrá e ese mometo que cudo el hijo mor teg l edd ctul de l mdre, el hijo meor tedrá ños.. E u frmci se comercili tipos de chmpú de ciert mrc: orml, co vitmis ticsp. Se se que el precio l que se vede el orml es de euros el de vitmis es de euros. Se descooce el precio l que se vede el ticsp. Por otro ldo, el diero totl oteido por ls vets de los tipos de chmpú el mes psdo fue de euros el diero oteido e vets co el chmpú orml fue euros iferior l diero totl oteido e vets co el resto. demás, el diero totl oteido e vets co el chmpú de vitmis el ticsp fue el mismo que el que huier oteido vediedo 8 uiddes del ticsp igu de los demás. ) Plte u sistem de ecucioes (e fució del precio descoocido del chmpú ticsp, que puedes llmr por ejemplo m) dode ls icógits (,, ) se ls uiddes vedids el mes psdo de cd tipo de chmpú. ) Qué puedes cocluir sore el precio del chmpú ticsp prtir de u estudio de l comptiilidd del sistem? c) Si se se que el úmero de uiddes vedids del ticsp fue, utili el resultdo del prtdo () pr clculr ls uiddes vedids de los otros.. E el trecto que h etre su cs el trjo, u idividuo puede repostr gsoli e tres estcioes de servicio (, B C). El idividuo recuerd que este mes el precio de l gsoli e h sido de, euros/litro el precio de l gsoli e B de,8 euros/litro, pero h olviddo el precio e C. (Supogmos que so m euros/litro). Tmié recuerd que: l sum del gsto e litros de gsoli e ls estcioes B superó e,8 l gsto e C. el úmero de litros de gsoli cosumidos e B fue el mismo que e C. el gsto de litros e superó l de B e, euros. ) Plte u sistem de ecucioes (e fució de m ) pr determir los litros cosumidos e cd gsolier. ) Estudir l comptiilidd del sistem e fució de m. Puedes dr lgú precio l que se imposile her vedido l gsoli e l gsolier C?. E u cfeterí los ocuptes de u mes oro por cfés, tostd refrescos, mietrs que los de otr mes pgro 9 por cfés, tostds refrescos. ) Cuáto tiee que pgr los clietes de u tercer mes si h cosumido cfés tostds? ) Co los dtos que se d, se puede clculr cuáto vle u cfé? Justific ls respuests. º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Sistems utor: Letici Goále Pscul LirosMreVerde.tk Revisor: Álvro Vldés

55 º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Sistems utor: Letici Goále Pscul LirosMreVerde.tk Revisor: Álvro Vldés UTOEVLUCIÓN Ddo el siguiete sistem de ecucioes: Su mtri de coeficietes es: ) ) c) d).- Su mtri mplid es: ) ) c) d).- Si plicmos el método de Guss l uev mtri mplid oteid es: ) ) c) d).- El sistem es: ) comptile determido ) comptile idetermido c) icomptile d) tiee tres solucioes Ddo el siguiete sistem de ecucioes.- Su form mtricil es: ) ) c).- l ñdir l ecució idicd el sistem es comptile determido ) 7 ) 7 c) d) l ñdir l ecució idicd el sistem es comptile idetermido ) 7 ) 7 c) d) l ñdir l ecució idicd el sistem es icomptile ) 7 ) 7 c) d) Idic l firmció que es correct: ) Los sistems homogéeos tiee siempre ifiits solucioes. ) Dos sistems so equivletes si coicide lgu de sus solucioes. c) U sistem es comptile si sólo si el rgo de l mtri de los coeficietes coicide co el rgo de l mtri mplid. d) Todos los sistems se puede resolver por el método de Crmer.

56 pédice: Prolems de mtrices e ls P...U. () Ddo el siguiete sistem de ecucioes: - - ) Oté su mtri de coeficietes. ) Clcul el determite de l mtri terior. c) Si resolver el sistem, ror si tedrá solució úic. () E el primer curso de u cetro de l Uiversidd de Oviedo se h mtriculdo lumos divididos e tres titulcioes distits. E l tercer titulció h l tercer prte de lumos que e l primer, l difereci de lumos que h etre l primer titulció l segud es iferior e dos lumos l dole de los lumos que h e l tercer. ) Estlece u sistem de ecucioes co ls codicioes del prolem, e fució del úmero de lumos e cd titulció, oteg el úmero de lumos que h e cd titulció. ) Clcul el determite de l mtri del sistem. () E u prtido de locesto femeio, el equipo de l Uiversidd de Oviedo gó l de otr uiversidd espñol co u mrcdor 8. El mrcdor oteido por el equipo gdor se cosiguió medite csts de dos putos, triples (csts de tres putos) tiros lires (csts de u puto). El úmero de tiros lires fue dos más que cico veces el úmero de triples. demás, el úmero de csts de dos putos fue dos más que el úmero de tiros lires. ) Plte el sistem de ecucioes resultte de lo terior. ) Escrie l mtri mplid del sistem oteido e ). c) Cuáts csts de cd tipo metió el equipo de l Uiversidd de Oviedo? () Cd cció de BB h ddo u gci de euros cd cció de NKO h ddo u gci de m euros. U iversor hí comprdo ccioes de mos tipos, lo que le supuso u gci totl de 8 euros, pero está rrepetido de su iversió, porque si huiese comprdo l mitd de ccioes de BB el dole de NKO, su gci totl hrí sido de euros. ) Plte u sistem de ecucioes (e fució de m) dode ls icógits e se el úmero de ccioes comprds de cd tipo. Bsádote e u estudio de l comptiilidd del sistem, eiste lgú vlor de m pr el que el sistem teg más de u solució? ) Si l gci por cd cció de NKO fue de euros, cuáts ccioes de NKO hí comprdo? () U tied vede olss de crmelos euros cd u olss de gomiols euros cd u. L recudció de u determido dí por estos dos coceptos h scedido euros se se que el úmero de olss de crmelos que h vedido ese dí es m veces el úmero de olss de gomiols. ) Plte u sistem de ecucioes (e fució de m) dode ls icógits e se el úmero de olss de cd tipo que se h vedido ese dí. Bsádote e u estudio de comptiilidd del sistem terior, es posile que se h vedido el dole de olss de crmelos que de gomiols? ) Supoiedo que se h vedido el triple de olss de crmelos que de gomiols, cuáts olss de gomiols se h vedido? () U tre reli u vije directo etre dos cpitles. El vije lo reli por dos tipos de vís, por l primer circul siempre Km/h por l segud circul siempre m Km/h. El recorrido totl del vije es de Km l durció del mismo es de hors. ) Plte u sistem de ecucioes (e fució de m) dode ls icógits e se el úmero de hors que circul por cd tipo de ví. Bsádote e u estudio de l comptiilidd del sistem terior, es posile que l velocidd l que circul por el segudo tipo de ví se tmié de Km/h? ) Supoiedo que l velocidd l que circul por el segudo tipo de ví es Km/h, cuáto tiempo h estdo circuldo por el primer tipo de ví? (7) U cdemi de idioms d clses de espñol u totl de m lumos, etre los de ivel ásico los de ivel vdo, co los que recud euros. Los lumos de ivel ásico pg m euros l mes, mietrs que los de ivel vdo pg el dole. ) Plte u sistem de ecucioes (e fució de m) dode ls icógits e se el úmero de lumos de cd tipo e ls clses de espñol de l cdemi. Bsádote e u estudio de comptiilidd del sistem terior, es posile que los lumos de ivel ásico pgue euros l mes? ) Si los lumos de ivel ásico pg euros l mes, cuátos lumos de ivel vdo h? º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Sistems utor: Letici Goále Pscul LirosMreVerde.tk Revisor: Álvro Vldés

57 º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Sistems utor: Letici Goále Pscul LirosMreVerde.tk Revisor: Álvro Vldés 7 (8) Ju Luis so dos migos que e totl tiee hijos. U tercer migo, Jvier, tiee m hijos más que Ju m veces los de Luis. ) Plte u sistem de ecucioes (e fució de m) dode ls icógits e se el úmero de hijos de Ju Luis. Pr qué vlores de m el sistem terior tiee solució? E cso de eistir solució, es siempre úic? ) Si Jvier tiee el dole de hijos que Luis, cuátos hijos tiee Luis? (9) U grupo de persos se reúe pr ir de ecursió, jutádose u totl de etre homres, mujeres iños. Cotdo homres mujeres jutos, su úmero result ser el triple del úmero de iños. demás, si huier cudido u mujer más, su úmero igulrí l de homres. ) Plter u sistem pr verigur cuátos homres, mujeres iños h ido de ecursió. ) Resolver el prolem. () Cosidere el sistem ) Estudie su comptiilidd segú los distitos vlores del úmero rel. ) Resuélvlo, si es posile, e el cso. () Ddo el sistem ) Estudie su comptiilidd segú los vlores de. ) Resuélvlo cudo. () L mtri mplid socid cierto sistem de ecucioes lieles es: * ) Oteer ls ecucioes del sistem. ) Clculr el rgo de l mtri formd por los coeficietes del sistem. c) Si resolver el sistem, deducir rodmete si dmite solucioes e qué úmero. () L mtri de los coeficietes de u sistem es l de térmios idepedietes ) Pr qué vlor o vlores de el sistem o tiee solució? ) Pr cierto vlor de u idividuo ecotró solucioes del sistem. Cuáto vlí? Teí más solucioes el sistem? c) Ecuetr u vlor de pr el que el sistem teg solució úic, pr dicho vlor, resuélvelo. () Se ls mtrices,, D C B dode,, so descoocidos. ) Clculr ls mtrices ( B) + C D ) Siedo que D C B, plter u sistem de ecucioes pr ecotrr los vlores de,,. c) Estudir l comptiilidd del sistem Cuáts solucioes tiee? d) Ecotrr, si es posile, u solució. () Se ls mtrices B C dode es descoocido. ) Se el sistem de ecucioes co tres icógits cu mtri de coeficietes es de térmios idepedietes B. Puede pr lgú vlor de o teer solució este sistem? Pr qué vlores de el sistem tiee solució úic? ) Si l mtri de coeficietes es pero l de térmios idepedietes es C, es posile que pr lgú vlor de el sistem o teg solució? Ecuetr u vlor de pr el que el sistem teg más de u solució clcul dos de ells.

58 8 () Se ls mtrices, m B, C, D, E m m ) Clcul cd uo de los tres productos B, D E, E B. ) Si B C D plte u sistem de ecucioes icógits (represetds por, ) e fució de m. Pr qué vlores de m el sistem tiee solució? Es siempre úic? (7) Se ls mtrices, B, C, D ) Si B C D, plte u sistem de ecucioes icógits (represetds por, ) e fució de. ) Pr qué vlores de el sistem tiee solució? Es siempre úic? Ecuetr u solució pr = co (8) Se ls mtrices B C D ) Siedo que B = C D, plte u sistem de ecucioes icógits (represetds por,, ) dode es cierto vlor descoocido. ) Si se supier que el sistem tiee solució, podrímos descrtr lgú vlor de? c) Si se supier que el sistem tiee solució úic, podrímos descrtr lgú vlor de? d) H lgú vlor de pr el que el sistem teg más de u solució? (9) Se ls mtrices, B, C, D, E ) Siedo que B CD E, plte u sistem de ecucioes icógits (represetds por,, ) e fució de. ) Pr lgú vlor de el sistem tiee solució úic? c) Pr = ecuetr u solució del sistem co () Hll tods ls solucioes de u sistem liel de tres ecucioes co tres icógits del que se cooce que,,,,, (,, so solucioes el rgo de l mtri de los coeficietes es mor o igul que uo. ) º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Sistems utor: Letici Goále Pscul LirosMreVerde.tk Revisor: Álvro Vldés

59 9 CPÍTULO : PROGRMCIÓN LINEL. INECUCIONES LINELES CON DOS INCÓGNITS U iecució liel co dos icógits es u epresió e l que dos epresioes lieles está relciods etre sí por u desiguldd. E su form reducid podemos ecotrr cutro tipos de iecucioes lieles: c c c c Ls dos primers se deomi desigulddes estricts ls dos últims desigulddes mplis. El método hitul pr resolver ls iecucioes lieles es el método gráfico. L ecució resultte de covertir l desiguldd e u iguldd: c es u X líe rect, su represetció gráfic divide l plo crtesio e dos semiplos: Es trivil deducir que u de ess dos regioes cumplirá que c o que c, por tto: L solució de u iecució será ls coordeds de los putos (, ) que verific l desiguldd lgeric, perteece uo de los dos semiplos defiidos l represetr l rect cus epresioes lieles mos ldos de l iguldd coicide co ls de l iecució plted. El semiplo solució puede ser ierto (o cotiee l rect) o cerrdo (cotiee l rect) segú l desiguldd se estrict o o, respectivmete. Desde el puto de vist práctico eiste dos forms de verigur qué semiplo represet l solució de l iecució:. Tommos u puto culquier del plo vemos si sus coordeds cumple l iecució. Si l cumple, el semiplo dode se ecuetr dicho puto será el cojuto solució de l iecució. Si o es sí, l regió solució será el otro semiplo.. limos los sigos de los coeficietes el setido de l desiguldd: Desiguldd: c c c c > l iquierd de l rect l derech de l rect < l derech de l rect l iquierd de l rect > Por dejo de l rect Por ecim de l rect < Por ecim de l rect Por dejo de l rect Bst co lir u úico sigo, siedo más fácil lir los coeficietes positivos. ctividd resuelt Represet l regió solució de l iecució >. Pltemos l rect. Ddo dos vlores culesquier u de ls dos icógits despejmos l otr teemos ls coordeds de dos putos de l rect, l represetmos: P :, P :, Determimos hor el semiplo solució: Método : Tommos u puto que o esté sore l rect, por ejemplo (, ), que está l iquierd de l rect. Sustituimos sus coordeds e l iecució: Vemos que o cumple l iecució pues deerí ser mor que, por lo que este puto o perteece l cojuto solució. Es decir, l solució de l iecució es el otro semiplo, e el que o está el puto elegido (el de l derech). Método : El coeficiete de es positivo l desiguldd put hci l derech, por lo que el semiplo solució es el de l derech. Filmete, decidimos que l rect o form prte de l solució porque l desiguldd es estrict, por tto, l regió solució es l de l gráfic: ctividd propuest. Represet l solució gráfic de ls iecucioes siguietes: Idic e cd cso si el recito solució es ierto o cerrdo. Y º de Bchillerto. Mtemátics. ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Progrmció liel utores: Letici Goále Álvro Vldés LirosMreVerde.tk Revisor: Edurdo Cuchillo Iáñe

60 . SISTEMS DE INECUCIONES LINELES U sistem de iecucioes lieles co dos icógits es el cojuto de dos o más iecucioes que dee cumplirse l ve. Pr resolver u sistem de iecucioes lieles se procede de l mer siguiete: Se resuelve cd iecució por seprdo, es decir, se ecuetr el semiplo solució de cd u de ls iecucioes. El cojuto solució del sistem, tmié llmdo regió fctile, está formdo por l itersecció o regió comú de ls solucioes de tods ls iecucioes. ctividdes resuelts Diuj ls regioes fctiles de los siguietes sistems: ) ) c) 8 E cd uo de los csos represetmos ls rects socids cd iecució. Buscmos pr cd u de ls iecucioes su semiplo de solucioes, por último, l regió comú todos los semiplos. E ls represetcioes gráfics siguietes puede verse l regió fctile o regió de solucioes de los sistems (e verde l solució de l iecució liel, e ul l regió fctile): ) Solució cotd ) Solució o cotd c) No posee solució. E los ejemplos teriores podemos ver los tres tipos de solucioes que podemos ecotrr:. Solució cotd. Los putos de l regió fctile está ecerrdos por u polígoo coveo.. Solució o cotd. L regió solució se etiede hst el ifiito.. Si solució. Ls codicioes o puede stisfcerse simultáemete. ctividd propuest. Represet l regió fctile de los siguietes sistems de iecucioes: Idic e cd cso si l solució es cotd, o cotd o o eiste solució.. PROGRMCIÓN LINEL:.. Defiició Se llm progrmció liel, o tmié progrm liel, l formulció lgeric que pretede optimir (mimir o miimir) u fució liel de vris vriles, sujet u serie de restriccioes, tmié lieles. L fució liel optimir se deomi fució ojetivo, ls restriccioes se epres medite u sistem de iecucioes lieles que deemos resolver. L epresió geerl de u prolem de progrmció liel e dos dimesioes es, por tto: Fució ojetivo: f(, ) = + Máimo o míimo c c Restriccioes: k k ck dode l desiguldd represetd por puede ser de los cutro tipos eplicdos tes (>, <, o ). Típicmete u de ls restriccioes es que los vlores se positivos, es decir: e. L solució fctile que hce óptim (máim o míim, segú se desee) l fució ojetivo, se llm solució óptim, siempre se ecuetr e l froter de l regió fctile. º de Bchillerto. Mtemátics. ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Progrmció liel utores: Letici Goále Álvro Vldés LirosMreVerde.tk Revisor: Edurdo Cuchillo Iáñe

61 .. Teorem fudmetl de l progrmció liel E u progrm liel co dos vriles, si eiste u solució úic que optimice l fució ojetivo, ést se ecuetr e u puto etremo (vértice) de l regió fctile cotd, uc e el iterior de dich regió. De este teorem oteemos dos cosecuecis: Si l fució ojetivo tom el mismo vlor óptimo e dos vértices, tmié tom idético vlor e los putos del segmeto que determi. E el cso de que l regió fctile o se cotd, l fució liel ojetivo o lc ecesrimete u vlor óptimo cocreto, pero, si lo hce, éste se ecuetr e uo de los vértices de l regió. ctividd resuelt U empres eroáutic costrue dos tipos de vioes B. Pr ello dispoe de 8 milloes de euros, siedo el coste de cd vió milloes de euros, respectivmete. demás ls codicioes de mercdo eige que el úmero totl de vioes producidos o se mor de 8. Siedo que el eeficio oteido e l vet de u vió del tipo es de milloes de euros e el tipo B, milloes de euros. Cuátos vioes dee costruir de cd clse pr que el eeficio se máimo? Deemos LEER co cuiddo el prolem trducirlo decudmete l leguje lgerico, tl como se dijo e el cpítulo terior. L progrmció liel pretede optimir u fució, e este cso es hcer máimo el eeficio, que depede de dos vriles (ls escriimos): úmero de vioes de tipo Se úmero de vioes de tipo B Pr plter l fució optimir (l fució ojetivo), ls restriccioes orgimos l iformció del prolem: Nº vioes Coste Beeficio Tipo Tipo B Restriccioes No se mor de 8 Dispoe de 8 Fució Ojetivo 8 8 Flt u detlle teer e cuet, los vlores dee ser positivos (o se puede teer u úmero egtivo de vioes), es decir: e, por tto: Fució ojetivo: f(, ) = + Máimo (e milloes de euros) r : 8 r : 8 Restriccioes: r : r : Siguiedo el procedimieto eplicdo e l secció () oteemos l regió fctile: Teiedo e cuet el teorem terior, se trt de ecotrr los vértices de l regió fctile. Pr ello se resuelve todos los sistems que se puede formr co ls ecucioes de ls restriccioes, que os v ddo los distitos putos de corte de ls rects: 8 8 (, ) (, 8) 8 8 (, ) (,) 8 8 (8, ) (,9) Los putos (, ), B (, 8), C (, ), D (, ), E (8, ) F (, 9) so los putos de corte de ls rects que form l regió fctile, pero o todos ellos tiee por que ser los vértices de l regió fctile. Los vértices de l regió fctile cumple tods ls restriccioes ( o sólo dos), por lo que teemos que ver cules de estos putos cumple tods ls restriccioes. uque podemos verlo e l represetció gráfic, tmié podemos compror líticmete cuáles form l regió fctile sustituimos cd puto e ls restriccioes resttes: º de Bchillerto. Mtemátics. ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Progrmció liel utores: Letici Goále Álvro Vldés LirosMreVerde.tk Revisor: Edurdo Cuchillo Iáñe

62 E o cumple l restricció 8, que 8 8 por lo que E o es u vértice de l regió fctile. F o cumple 8, que + 9 = 9 > 8, por tto F o es u vértice de l regió fctile. Es decir, que l regió fctile tiee como vértices los putos, B, C D, que so los que verific tods ls restriccioes: r, r r, r r, r r,r :, B :,8 C :, D :, El último pso es ver cuál de los vértices que form l regió fctile hce máim l fució ojetivo.... Método lgerico El método lgerico cosiste e evlur l fució ojetivo e cd uo de los vértices (o se, sustituir ls coordeds de los vértices de l regió fctile e l fució ojetivo) compror cuál (o cuáles) de ellos proporcio el máimo o míimo de l fució ojetivo. E el ejemplo: f (, ). Sustituimos los vlores de los cutro vértices: Puto Fució ojetivo :, f (, ) B :,8 f (, 8) 8 C :, f (,) D :, f (,) L solució óptim correspode l vértice pr el que l fució ojetivo tom el vlor máimo. E este cso es el vértice :, : Solució: H que costruir vioes del tipo, del tipo B el eeficio es de milloes de euros. ctividd propuest. Co l mism regió fctile del ejemplo, optimi ls siguietes fucioes ojetivo: ) = + Má ) = + Mí c) = + Má... Método gráfico o de ls rects de ivel E este método los vértices de l regió fctile se hll gráficmete. U ve hlld l regió fctile se represet ls rects de ivel socids l fució ojetivo ( k ) se ve cuál es l que tom u vlor k óptimo (e este cso máimo). Pr relir este pso lo que se hce es diujr u rect de ivel culquier luego trr prlels ell hst ecotrr el vértice de l regió fctile que hg óptim l fució ojetivo: Si se pretede uscr u máimo, el puto (o putos) más l derech. Si se pretede uscr u míimo, el puto (o putos) más l iquierd. E el ejemplo l fució ojetivo es = +. Ls curvs de ivel so de l form + = k. Ls represetmos sore l regió fctile empedo por l más fácil, l que ps por el orige, trmos prlels ell que pse por cd vértice hst ecotrr l más etrem: L solució óptim es l rect de color verde, que ps por el vértice :, hce que: = + = + = H que costruir vioes del tipo, del tipo B el eeficio es de milloes de euros. lo lrgo de l eplicció hemos ido viedo que es posile comir mos métodos pr fcilitr l oteció de l solució. Represetr gráficmete l regió fctile horr tiempo l determir los vértices, mietrs que evlur f (,) es más preciso que el trdo de prlels. º de Bchillerto. Mtemátics. ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Progrmció liel utores: Letici Goále Álvro Vldés LirosMreVerde.tk Revisor: Edurdo Cuchillo Iáñe

63 .. Tipos de solucioes e progrmció liel Vmos cosiderr ls distits situcioes que se suele presetr e los progrms lieles pr dos vriles. Los progrms lieles pr dos vriles puede clsificrse, tediedo l tipo de solució que preset, e los csos siguietes: - Fctiles co solució úic, cudo preset u úico óptimo. - Fctiles co solució múltiple, si preset más de u solució óptim. E estos csos, ls solucioes suele ser todos los putos de u segmeto, es decir, los putos compredidos etre dos vértices de l regió fctile. f.o. Solució úic f.o. Solució múltiple - Fctile o cotd, cudo o eiste ite pr l fució ojetivo, es decir, l fució ojetivo puede hcerse t grde como se desee e l regió fctile. - No fctile, si o eiste el cojuto de solucioes. E ests situcioes, ls desigulddes que descrie ls restriccioes so icosistetes. Solució o cotd ctividdes propuests. Resuelve los siguietes prolems de progrmció liel: f.o. f (, ) f.o. f (, ) f.o. 9 s.. s. s.. No fctile f.o., s... PROBLEMS RESUELTOS Típicmete se d u omre geérico los diferetes tipos de prolems de progrmció liel, pero o suele ser ecesrio preocuprse de socir cd prolem uo de esos tipos si etedemos ie el eucido... Prolem de producció ctividd resuelt U cs empcdor de limetos recie dirimete 7 kg de cfé tipo C 8 kg de cfé tipo K. Hce co ellos dos mecls. L de tipo que cost de prtes de cfé de tipo C u prte de cfé de tipo K e l que g, euros por kg; l de tipo B co u prte de cfé tipo C dos prtes de cfé tipo K e l que g, euros por kg. Hll l ctidd de mecl que l cs empcdor dee hcer de cd tipo pr que l gci se máim. E este tipo de ejercicios es coveiete hcer u cudro dode se ve todos los dtos de que se dispoe que os permite escriir ls restriccioes l fució ojetivo. Se kilos demecl etoces: kilos demeclb º de Bchillerto. Mtemátics. ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Progrmció liel utores: Letici Goále Álvro Vldés LirosMreVerde.tk Revisor: Edurdo Cuchillo Iáñe

64 Ls restriccioes so: Fctores C K Productos B Recursos Productos Beeficios,, 7 8 Queremos que el eeficio se máimo, por tto l fució ojetivo es:,, Má. Hllmos l regió fctile: Teemos u regió fctile COTD, los vértices so los putos: (, ), B (, ), C (, 9), D (, ). El siguiete pso es ver qué vlores tom l fució ojetivo e cd uo de los vértices, pr ser dode es óptim (máim): : =, +, = B : =, +, = C : =, +, 9 = es el máimo D : =, +, = Por tto dee producirse kg de l mecl tipo 9 kg de l de tipo B pr que el eeficio se máimo e igul euros... Prolems de diets So típicos los prolems de progrmció liel e los que lo que se quiere es preprr u diet (mecl) que reú u serie de codicioes prtir de uos productos determidos que se ecuetr e el mercdo. Se trt de ser que ctiddes ( e ) deemos meclr de dichos productos. ctividd resuelt U gderí dese proporcior su gdo u diet que coteg u míimo de uiddes del pieso u míimo de uiddes del pieso B. E el mercdo se comercili dos tipos de compuestos C C, elordos co mos piesos. El pquete de C cotiee uidd de de B, siedo su precio de euro, el de C cotiee uiddes de de B, siedo su precio euros. Qué ctiddes de C C deerá empler l gderí pr preprr su diet co el míimo coste? Mercdo C C Uiddes Piesos Fució Ojetivo: dee ser míim. B Ctidd Restriccioes: Coste Hllmos l regió fctile: Se trt de u regió fctile o cotd. Determimos co ectitud los vértices: : : (,) B : B : (,) C : C : (,) Hllmos el vlor que tom l fució ojetivo e cd uo de los vértices: 7 B 9 C El óptimo, e este cso míimo, se ecuetr e el vértice B, por lo que se dee meclr pquetes de C pquetes de C, co u coste de 9 euros. 7 8 º de Bchillerto. Mtemátics. ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Progrmció liel utores: Letici Goále Álvro Vldés LirosMreVerde.tk Revisor: Edurdo Cuchillo Iáñe

65 .. Prolems de trsporte E estos csos se trt de resolver prolems de logístic, es decir, trsportr merccís desde vrios orígees (oferts o dispoiiliddes) hst vrios destios (demds o ecesiddes), co u coste míimo, teiedo e cuet ls ctiddes de que se dispoe e los orígees ls ctiddes demdds e los destios, sí como el coste de trsporte etre cd orige cd destio. ctividd resuelt Pr stecer de mder tres serrderos,, h dos osques B B, que produce toelds respectivmete. Ls ecesiddes de cd serrdero so, toelds respectivmete. Si los precios de coste de trsporte por toeld de los osques los serrderos so e euros los que se idic e l tl djut, propoer el trsporte co el precio míimo. B B Teemos dos orígees que so los osques B B co sus oferts ( toelds respectivmete) tres destios que so los serrderos, co sus demds. toelds demderdesdeb L mor dificultd cosiste e mejr correctmete l iformció plter decudmete todo e fució de ls icógits elegids. Se: toelds demderdesdeb Co ells, ls epresioes correspodietes ls toelds desplds etre los demás osques serrderos se recoge e l siguiete tl: Destios Oferts Orígees B ( ) B Demds Costes L fució ojetivo viee dd por l sum de todos los costes h de ser míim: 7 7 Ls restriccioes so ls que se deduce de teer e cuet que tods ls ctiddes trsportds dee ser mores o Por tto, el prolem qued pltedo como: f.o. f (, ) 7 mí igules cero: s.. Costruimos l regió fctile: Determimos ectmete los vértices: (, ); B (, ); C (, ); D (, ); E (, ); F (, ) Hllmos el vlor de l fució ojetivo e cd uo de los vértices: = = B = = C = = 8 D = = E = = F = = Por tto, desde el osque B se dee llevr toelds l serrdero, igu l toelds l desde el osque B se trsportrá toelds l serrdero 8 l. El coste de trsporte será de euros. ctividdes propuests. Diuj el recito que cumple ls restriccioes: li si los putos (, ), (, ), (, ) (, ) l cojuto de, solucioes del sistem terior. º de Bchillerto. Mtemátics. ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Progrmció liel utores: Letici Goále Álvro Vldés LirosMreVerde.tk Revisor: Edurdo Cuchillo Iáñe

66 9. Diuj el recito que cumple ls restriccioes: d seis putos que se solució del sistem terior, 7. Mimi l fució f (,) = + sujet ls restriccioes: 9 d seis putos que se solució del, sistem terior 8. Se S l regió del plo defiid por. ) Represet l regió S clcul ls coordeds de sus vértices. ) Oté los vlores máimo míimo de l fució f (,) = e S idicdo los putos de S e los cules se lc dichos vlores máimo míimo. 9. Se cosider l fució f (;) = l regió del plo S defiid por el siguiete cojuto de restriccioes: ) Represet l regió S. ) Clcul ls coordeds de los vértices de l regió S oté los vlores máimo míimo de l fució f e S idicdo los putos dode se lc.. Miimi = sujet ) Medite l resolució gráfic del prolem, discute si eiste solucioes fctiles si eiste solució óptim. ) Si se ñde l restricció: +, discute si eiste solució óptim e cso firmtivo clcúll.. U stillero recie u ecrgo pr reprr rcos de l flot de u rmdor, compuest por pesqueros de toelds tes de toelds. Cd pesquero se trd e reprr hors cd te hors. El stillero dispoe de hors pr hcer ls reprcioes. Por polític de empres, el stillero o cept ecrgos de más de pesqueros i más de tes. Ls reprcioes se pg euros l toeld, idepedietemete del tipo de rco. Cuátos rcos de cd clse dee reprr el stillero pr mimir el igreso co este ecrgo? Cuál es dicho igreso máimo? EJERCICIOS Y PROBLEMS.. - Ecuetr el cojuto de solucioes de ls iecucioes siguietes: ) 7 ) c) d) e) f). - Diuj ls regioes fctiles de los siguietes sistems: 9 7 ) ) c). - Mimir l fució sujet ls restriccioes:. - Clcul el vlor máimo el míimo de l fució f, sometid ls restriccioes. - Se quiere elorr u diet diri pr gdo que stisfg us codicioes míims de coteido vitmíico l dí: mg de vitmi, mg de vitmi B, de l C de l D. Pr ello se mecl piesos de los tipos P Q cuo precio por kilogrmo es pr mos de cétimos, cuo coteido vitmíico por kilo se recoge e l tl djut. B C D P Q 7, Cómo dee meclrse los piesos pr que el gsto se míimo? Cuál es este gsto míimo? M M M B Plific el trsporte pr que el coste se míimo U empres costrue e dos fctorís, F F, tres tipos de rcos deportivos (, B C). L fctorí F costrue e u mes: rco del tipo, del tipo B del tipo C, siedo su coste de mteimieto mesul curet mil euros. F costrue e u mes: rco del tipo, de tipo B de tipo C, siedo su coste mesul. euros. L empres se h comprometido etregr ulmete u clu deportivo rcos tipo, de tipo B de tipo C. Cuátos meses deerá trjr cd fctorí, co ojeto de que l empres cumpl su compromiso co el míimo coste? º de Bchillerto. Mtemátics. ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Progrmció liel utores: Letici Goále Álvro Vldés LirosMreVerde.tk Revisor: Edurdo Cuchillo Iáñe

67 E u lmcé se gurd ceite de girsol de oliv. Pr teder los clietes se h de teer lmcedo u míimo de idoes de ceite de girsol de ceite de oliv, demás, el úmero de idoes de ceite de oliv o dee ser iferior l mitd del úmero de idoes de ceite de girsol. L cpcidd totl del lmcé es de idoes. Siedo que el gsto de lmceje de u idó de ceite de oliv es de euro, el de u idó de ceite de girsol es de, euros, cuátos idoes de cd tipo hrá que lmcer pr que el gsto se míimo? Y pr que el gsto se máimo? 9. - U empres elor dos productos, cd uo de ellos e u ctidd que es múltiplo de. Cooce que l demd de mos productos cojutmete es mor que uiddes meor que uiddes. simismo, se que l ctidd que se demd de u producto es mor que l mitd meor que el dole de l del otro. Si l empres dese veder tod l producció: ) De cuátos modos puede orgir l producció? ) Pr oteer los máimos eeficios, cuáto h de ser l producció de cd uo de los productos si uo se vede u precio que es triple que el del otro?. - U empres dedicd l fricció de pies de utomóvil tiee dos fctorís que produce, respectivmete, 8 pies mesules. Ests pies h de ser trsportds tres fárics que ecesit, 7 pies respectivmete. Fá. Fá. Fá. Fct. Fct. Los costes de trsporte, e cétimos de euro, por pie so los que prece e el cudro djuto. Cómo dee orgirse el trsporte pr que el coste se míimo?. - U perso v iicir u diet recie ls siguietes recomedcioes: - Dee tomr u mecl de dos compuestos D D - L ctidd totl diri que puede igerir, u ve mecldos los compuestos, o dee ser superior grmos i iferior grmos. - E l mecl dee her más ctidd de D que de D - L mecl o dee coteer más de grmos de D Se se que cd grmo de D port, mg de vitmis, clorís cd grmo de D port, mg de vitmis, clorís. Cuátos grmos de cd compuesto dee tomr pr oteer l máim ctidd de vitmis? Cuátos grmos de cd compuesto dee tomr si dese el míimo posile de clorís?. - U promotor pretede diseñr u urició co lo sumo edificcioes etre chlets loques de pisos. Los loques de pisos o deerí ser más de u % de ls edificcioes que se costru. L urició tedrí como mucho chlets como poco loques de pisos. ) Qué comicioes de cd tipo de vivieds so posiles? Plte el prolem represet gráficmete el cojuto de solucioes. ) Qué comició hce mor l difereci etre el úmero de chlets de loques de pisos?. - Pr dotr moilirio ciert o de u ciudd, se quiere colocr l meos pies etre frols jrdiers. H frols jrdiers dispoiles. Se pretede que el úmero de jrdiers colocds o se superior u tercer prte del de frols colocds, pero de form que por lo meos u % de ls pies que se coloque se jrdiers. ) Qué comicioes de pies de cd tipo se puede colocr? Plte el prolem represet gráficmete el cojuto de solucioes. ) Qué comició hce que l difereci etre el úmero de frols de jrdiers colocds se mor? Es l comició dode más pies de moilirio se coloc?. - U resturte quiere decur, e prte o e su totlidd, u superficie de m pr prcmieto áre recretiv iftil. L superficie de áre recretiv h de ser de l meos m. El prcmieto h de teer como poco m más que el áre recretiv, como mucho 7 m más que l mism. El prcmieto le cuest euros por m, el áre recretiv euros por m. ) Qué comicioes de superficie dedicdos cd tipo de servicio se puede decur? Plte el prolem represet gráficmete ls solucioes. ) Cuál es l comició más cr? Coicide co l que dedic más espcio l prcmieto?. - U empres está selecciodo empledos co cotrto evetul por u ño co cotrto fijo. El sueldo ul (e miles de euros) de cd empledo evetul es 8 de cd empledo fijo es. L empres tiee u tope de 8 (miles de euros) pr pgr los sueldos ules de los empledos que cotrte. Los empledos fijos h de ser por lo meos, o más de. demás el úmero de evetules o puede superr e más de l de fijos. ) Qué comicioes de empledos fijos evetules se puede cotrtr? Plte el prolem represet gráficmete el cojuto de solucioes. Podrí cotrtr fijos igú evetul? ) Si el ojetivo es cotrtr el mor úmero totl de empledos cuátos h de cotrtr de cd tipo? Y si el ojetivo es cotrtr el mor úmero de evetules? º de Bchillerto. Mtemátics. ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Progrmció liel utores: Letici Goále Álvro Vldés LirosMreVerde.tk Revisor: Edurdo Cuchillo Iáñe

68 8. - U empres de utouses dispoe de u vehículo pr curir dos líes ( B) que puede trjr e ells, lo sumo, hors mesulmete. U servicio e l líe llev hors, mietrs que e l B supoe hors. Por otr prte, e l líe B se dee curir l meos servicios mesulmete, demás, el utoús o puede prestr glolmete más de 9 servicios cd mes etre ms líes. ) Cuátos servicios puede prestr el vehículo l mes e cd u de ls líes? Plter el prolem represetr gráficmete su cojuto de solucioes. ) Siedo que l empres otiee u eeficio co cd servicio prestdo de euros 8 euros e ls líes B respectivmete, cuátos servicios le covedrá relir e cd u pr mimir el eeficio totl? Cuál será su importe? 7. - E u fáric de cjs de crtó pr emlje reglo se fric dos tipos de cjs: l cj que requiere pr su costrucció m de ppel decordo, m de rollo de crtó, que se vede 8 euros, l cj B que requiere m de ppel decordo, m de rollo de crtó que se vede euros. E el lmcé dispoe úicmete de m de ppel de reglo de m de rollo de crtó. Si supoemos que se vede tod l producció de cjs, cuáts de cd tipo deerá de fricrse pr que el importe de ls vets se máimo? cuáto scederá? 8. - U fricte de coches l u ofert especil e dos de sus modelos, ofreciedo el modelo u precio de 9 euros el modelo B euros. L ofert está limitd por ls eistecis, que so coches del modelo coches del modelo B, queriedo veder l meos tts uiddes del modelo como del modelo B. Por otr prte, pr curir los gstos de est cmpñ, los igresos oteidos co ell dee ser, l meos, de euros. ) Cuáts uiddes de cd modelo se podrá veder? Plte el prolem represet gráficmete su cojuto de solucioes. ) Cuátos coches deerá veder de cd modelo pr mimir sus igresos? Cuál es su importe? UTOEVLUCIÓN.- Idic cuál de ls iecucioes siguietes es estrict: ) 7 ; ) 7 ; c) 7 ; d) 7.- Idic cuál de ls regioes fctiles de los sistems siguietes es cotdo: 8 ) ) c) d).- Idic cuál de ls regioes fctiles de los sistems siguietes o posee solució: 8 ) ) c) d).- Idic cuál de ls firmcioes siguietes es ciert: ) L solució de u progrm liel está siempre e u vértice ) L solució óptim de u progrm liel siempre se ecuetr e l froter de l regió fctile. c) L regió fctile determi l fució ojetivo. d) E u progrm liel se optimi l regió fctile..- U uev grj estudi cuátos ptos gsos puede lergr. Cd pto cosume kg de pieso por sem cd gso kg de pieso por sem. El presupuesto destido pieso permite comprr 7 kg semles. demás, quiere que el úmero de ptos se mor que el de gsos. Deomi l úmero de ptos e l de gsos. Cuál es el máimo úmero de imles que podrí lergr l grj?.- Pr este prolem l fució ojetivo es: ) Mí ) Má c) Mí d) Má 7.- Pr este prolem ls restriccioes so: 7 7 ) ) 7 c) d) Resuelve el prolem e idic si l solució es: ) No tiee solució. ) ptos gsos. c) ptos igú gso. d) Nigú gso 7 ptos. º de Bchillerto. Mtemátics. ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Progrmció liel utores: Letici Goále Álvro Vldés LirosMreVerde.tk Revisor: Edurdo Cuchillo Iáñe

69 9 Sistems de iecucioes lieles Progrmció liel RESUMEN U sistem de iecucioes lieles es el cojuto de dos o más iecucioes que dee cumplirse l ve. Se llm progrmció liel, o tmié progrm liel, l formulció lgeric que pretede optimir (mimir o miimir) u fució liel de vris vriles, sujet u serie de restriccioes, tmié lieles. L fució liel optimir se deomi fució ojetivo, ls restriccioes se epres medite u sistem de iecucioes lieles que deemos resolver. 8 8, f.o.: f (, ) Má o mí c c s..: k k ck Teorem fudmetl Método lgerico de resolució Método gráfico de resolució Tipos de solucioes E u progrm liel co dos vriles, si eiste u solució úic que optimice l fució ojetivo, ést se ecuetr e u puto etremo (vértice) de l regió fctile cotd, uc e el iterior de dich regió. El método lgerico cosiste e evlur l fució ojetivo e cd uo de los vértices (o se, sustituir ls coordeds de los vértices de l regió fctile e l fució ojetivo) compror cuál (o cuáles) de ellos proporcio el máimo o míimo de l fució ojetivo. E este método los vértices de l regió fctile se hll gráficmete. Sore l regió fctile se represet ls rects de ivel socids l fució ojetivo ( k ) se ve cuál es l que tom u vlor k óptimo. - Fctiles co solució úic. - Fctiles co solució múltiple, - Fctile o cotd. - No fctile. pédice: Prolems de Progrmció liel e ls P...U. () U empres fric úicmete tps evses. Cd lote de tps requiere de litro de ri miutos e el horo, mietrs que cd lote de evses requiere de litros de ri miutos e el horo. Semlmete se dispoe de litros de ri miutos e el horo. Por restriccioes de su ifrestructur, l producció seml etre los dos productos es, como mucho, de lotes. ) Cuátos lotes de cd tipo puede fricr l empres cd sem? Plte el prolem represet gráficmete el cojuto de solucioes. Se cumplirí los requisitos si l empres fricse lotes de tps lotes de evses? ) Si l empres vede todo lo que fric g por cd lote de tps fricdo euros por cd lote de evses euros, cuátos lotes de cd tipo deerá fricr pr mimir sus gcis? () U empresrio dispoe u determido dí de euros pr fricr rtoes tecldos. Cd rtó le cuest euros lo vede euros. E cuto los tecldos, cd uo tiee socido u coste de fricció de euros u precio de vet de euros. Por restriccioes de l empres, o se puede fricr más de 9 prtos e totl e u dí. ) Cuátos rtoes cuátos tecldos puede fricr e u dí? Plte el prolem represet gráficmete el cojuto de solucioes. Podrí fricr e u dí rtoes tecldos? ) Teiedo e cuet que el eeficio es l difereci etre el precio de vet el coste que l empres vede todo lo que fric, cuátos prtos de cd tipo dee fricr e u dí pr que el eeficio se máimo? () U empres fric dos tipos de pies: B. Cd dí dee fricr l meos pies, dispoiedo pr ello de hors de mo de or. L fricció de cd pie tipo ecesit 8 hors de mo de or l de tipo B ecesit hors de mo de or. Eiste demás l restricció de que o puede fricr más de pies de tipo. ) Cuáts pies de cd tipo puede fricr e u dí? Plte el prolem represet gráficmete el cojuto de solucioes. ) Si vede todo lo que fric por cd pie tipo otiee u eeficio de euros por cd pie tipo B otiee u eeficio de euros, cuáts pies de cd tipo dee fricr cd dí pr mimir su eeficio? cuáto º de Bchillerto. Mtemátics. ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Progrmció liel utores: Letici Goále Álvro Vldés LirosMreVerde.tk Revisor: Edurdo Cuchillo Iáñe

70 7 sciede dicho eeficio? () U crpiterí elor dos tipos de mueles, B. Cd muele de tipo requiere dís de trjo pr su elorció, mietrs que cd muele de tipo B requiere dís. Por l estructur orgitiv de dich empres, cd mes, que cost de dís lorles, se puede elorr, lo sumo, mueles de tipo 8 de tipo B. ) Cuátos mueles de cd tipo puede fricr e u mes pr cumplir co todos los requerimietos teriores? Plte el prolem represet gráficmete el cojuto de solucioes. ) Si vede todo lo que fric el eeficio proporciodo por cd muele tipo vedido es de euros por cd muele de tipo B es de euros, cuátos mueles de cd tipo deerí fricr pr mimir el eeficio? Cuátos tedrí que fricr pr mimir el úmero de mueles elordos? () U fáric de cerve produce cerve egr rui. Pr l elorció de u idó de cerve egr so ecesrios kg de lúpulo, kg de mlt u hor de trjo. Pr l elorció de u idó de cerve rui so ecesrios kg de lúpulo, kg de mlt u hor de trjo. Cd dí se dispoe de kg de lúpulo, 8 kg de mlt hors de trjo. El eeficio oteido es de euros por cd idó de cerve egr vedido de euros por cd idó de cerve rui. ) Cuátos idoes de cerve de cd tipo puede producir l dí pr cumplir co todos los requerimietos teriores? Plte el prolem represet gráficmete el cojuto de solucioes. Es posile que e u dí culquier se h producido idoes de cerve egr de cerve rui? ) Si vede todo lo que produce, cuátos idoes de cerve de cd tipo deerí producir pr mimir el eeficio? () U vgoet de u empres está destid trsportr pquetes de tipo B soport como mucho kg de peso. Se se demás que cd pquete de tipo pes kg cd uo de tipo B pes kg. Por eigecis de l producció, e cd vije dee trsportr l meos pquetes de tipo l meos pquetes de tipo B. ) Cuátos pquetes de cd tipo se puede trsportr e u vije? Plte el prolem represet gráficmete el cojuto de solucioes. Podrí trsportr e u vije 7 pquetes de tipo l meos pquetes de tipo B? ) Cuátos pquetes de cd tipo deerí trsportr e u vije pr mimir el úmero totl de pquetes trsportdos? (7) U uev grj estudi cuáts gllis ocs puede lergr. Cd glli cosume kg de pieso por sem cd oc kg de pieso por sem. El presupuesto destido pieso permite comprr kg semles. demás, quiere que el úmero de gllis se meor o igul que cico veces el úmero de ocs. ) Cuáts gllis ocs podrá teer l grj? Plte el prolem represet gráficmete el cojuto de solucioes. Se cumplirí los requisitos si lergse gllis ocs? ) Segú estos requisitos, cuál es el máimo úmero de imles que podrí lergr l grj? (8) U fáric está especilid e dos juguetes: iciclets ptietes. l mes puede fricr u máimo de 8 iciclets ptietes. Pr l elorció de cd iciclet so ecesris hors de trjo pr l elorció de cd ptiete es ecesri u hor de trjo. Se dispoe de u máimo de hors de trjo l mes. ) Cuáts iciclets ptietes puede fricr e u mes pr cumplir co todos los requerimietos teriores? Plte el prolem represet gráficmete el cojuto de solucioes. ) Cuáts iciclets ptietes deerí fricr pr mimir el úmero totl de juguetes (iciclets más ptietes) fricdos? Cuátos juguetes fric e ese cso? (9) U costurer dispoe de metros de tel pr hcer flds ptloes. Necesit metro de tel pr hcer u fld metros de tel pr hcer u ptló. Por eigecis del cliete, tiee que hcer l meos l mism ctidd de flds que de ptloes l meos ptloes. ) Cuáts uiddes puede hcer de cd pred? Plte el prolem represet gráficmete el cojuto de solucioes. ) Si le cuest euros cd fld termid 9 euros cd ptló, cuáts uiddes dee producir de cd tipo pr miimir los costes? Cuáto serí e ese cso el coste totl? () U compñí mier etre dos tipos de cró, hull trcit, de form que todo el cró etrído es vedido. Por eigecis guermetles, dee etrer dirimete l meos el triple de cmioes de hull que de trcit. demás, por l ifrestructur de l compñí, como mucho se puede etrer 8 cmioes de cró e u dí l meos de ellos dee ser de trcit. ) Cuátos cmioes de cd tipo de cró se puede etrer e u dí? Plte el prolem represet gráficmete el cojuto de solucioes. Podrí etrer e u dí cmioes de hull de trcit? ) Si l gci por cd cmió de hull es de por cd cmió de trcit es de, cuátos cmioes de cd tipo deerí etrer e u dí pr mimir sus gcis? º de Bchillerto. Mtemátics. ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Progrmció liel utores: Letici Goále Álvro Vldés LirosMreVerde.tk Revisor: Edurdo Cuchillo Iáñe

71 7 () E ciert queserí produce dos tipos de queso: mecl trdiciol. Pr producir u queso mecl so ecesrios cl de leche de vc otros cl de leche de cr; pr producir uo trdiciol, sólo hce flt cl de leche de vc. L queserí dispoe de cl de leche de vc cl de leche de cr l dí. Por otr prte, puesto que los quesos trdicioles gust más, cd dí produce l meos ttos quesos de tipo trdiciol como de mecl. ) Cuáts uiddes de cd tipo podrá producir e u dí culquier? Plte el prolem represet gráficmete el cojuto de solucioes. ) Si l queserí vede todo lo que produce otiee u eeficio de euros por cd queso de tipo mecl de euros por cd queso de tipo trdiciol, cuáts uiddes de cd tipo dee producir dirimete pr mimir eeficios? Qué eeficio otiee e ese cso? () Pr que u ecuest sore polític de imigrció se file, se eige que h l meos persos etrevistds, etre espñoles etrjeros, de ls cules como mucho será etrjeros tmié se eige que los etrjeros se por lo meos u % del totl de persos etrevistds. ) Cuátos espñoles cuátos etrjeros puede ser etrevistdos? Plte el prolem represet gráficmete el cojuto de solucioes. ) Si el coste estimdo de cd etrevist es de euros, cuál serí el máimo coste que podrí teer l ecuest? cuátos espñoles se hrí etrevistdo e dicho cso? () U teist ple su etremieto pr l próim tempord. Dispoe de 8 hors semles e ls que puede etrer dee reprtir ese tiempo etre l preprció físic mejorr su técic. El etredor le olig dedicr l meos hors semles l prte físic l meos hors e totl, etre preprció físic técic. Por otr prte, él quiere dedicr l meos el dole de tiempo l prte técic que l preprció físic. ) Cuáts hors puede dedicr cd tipo de etremieto? Plte el prolem represet gráficmete el cojuto de solucioes. ) Si l hor de preprció físic le cuest euros l de mejor de l técic 8 euros, cuáts hors dee dedicr cd tipo de etremieto pr miimir el coste? cuáto scederí dicho coste? () Pr curir ls uevs ecesiddes de u cetro hospitlrio e los servicios de cort estci plt se quiere sigr u máimo de uilires de efermerí. E cort estci deerí her l meos. Como poco, tiee que her 8 uilires más e plt que e cort estci. ) Qué comicioes de uilires pr cd tipo de servicio se puede sigr? Plte el prolem represet gráficmete ls solucioes. ) Cuál es l comició co meos persol? Cuál sig más uilires e cort estci? () U empres de lt cofiterí elor trts icochos especiles, dispoiedo de 8 hors cd dí pr l elorció de dichos productos. Cd trt requiere hor pr su elorció cd icocho hors. demás dee stecer u resturte que compr todos los dís trts icochos. ) Cuáts uiddes de cd tipo podrá elorr e u dí pr cumplir todos los requisitos teriores? Plte el prolem represet gráficmete ls solucioes. ) Si cd trt le cuest l empres cd icocho le cuest, cuátos productos de cd tipo dee elorr e u dí pr miimir el coste totl? Y pr mimir el úmero de productos elordos? () Fd Móvil sólo comercili dos pltos: fd trdiciol light. Cd rció de fd trdiciol llev g de fes g de compgu, mietrs que cd rció de fd light llev g de fes g de compgu. Cd dí Fd Móvil dispoe de g de fes de g de compgu. Tiee u cliete fijo que compr cd dí rcioes de fd light que Fd Móvil se h comprometido stecer. ) Cuáts rcioes de cd tipo puede preprr Fd Móvil e u dí pr cumplir co todos los requerimietos teriores? Plte el prolem represet gráficmete el cojuto de solucioes. ) Cuáts rcioes de cd tipo deerí preprr pr mimir el úmero totl de rcioes de fd que puede poer l vet? Cuáts tedrí que preprr pr mimir el úmero de rcioes de fd trdiciol que puede poer l vet? (7) El foro máimo de u circo es de persos. Se eige que cd iño v compñdo l meos de u dulto. Por otro ldo, u suveció reciid olig que el úmero de dultos etre el púlico se como mucho el dole que el de iños. El circo g por dulto por iño. ) Cuáts etrds de dulto cuáts de iño se podrá veder e totl pr l próim sesió? Plte el prolem represet gráficmete el cojuto de solucioes. ) Cuáts etrds de cd tipo dee veder el circo pr mimir sus gcis? Y pr mimir el úmero de iños etre el púlico? º de Bchillerto. Mtemátics. ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Progrmció liel utores: Letici Goále Álvro Vldés LirosMreVerde.tk Revisor: Edurdo Cuchillo Iáñe

72 7 (8) U muelerí fric mess sills. L fricció de u mes requiere de hor de corte, hors de esmle hors de cdo, geerdo u eeficio de. L fricció de u sill requiere de hors de corte, h de esmle h de cdo, geerdo u eeficio de. Cd dí se dispoe de u máimo de hors de corte, h de esmle 8 h de cdo. ) Cuátos rtículos de cd tipo puede fricr cd dí est muelerí? Plte el prolem represet gráficmete el cojuto de solucioes. ) Si vede cuto produce, cuátos rtículos de cd tipo dee fricr dirimete pr mimir el eeficio? cuáto sciede dicho eeficio? (9) U empres especilid orgi u cumpleños pr iños, e el que se v servir heldos fles. Puesto que todos los iños quiere teer postre, el úmero de heldos más el de fles tiee que ser l meos igul l úmero de iños e el cumpleños. El cliete h eigido que h l meos heldos más que fles. L empres dispoe como mucho de heldos. ) Cuáts uiddes de cd tipo puede servir l empres pr cumplir todos los requisitos teriores? Plte el prolem represet gráficmete ls solucioes. ) Si l empres cor l cliete por cd heldo euros por cd fl euros, cuáts uiddes de cd tipo deerá servir pr mimir sus igresos? cuáto scederá dichos igresos? () E u determid empres, se elige eergí eólic o eergí eléctric l pricipio de cd dí pr el fuciomieto de u máqui que fric coches motos de juguete. Los dís que está co eólic l máqui fric coches motos. Los dís que está co eléctric fric coches 9 motos. L empres recie el pedido de u cliete que dese l meos coches l meos motos que tiee que ser stecido como mucho e dís. ) Cuátos dís deerá utilir cd tipo de eergí pr stecer dicho cliete cumpliedo los plos estlecidos? Plte el prolem represet gráficmete el cojuto de solucioes. ) Si l empres le cuest euros cd dí que utili l eergí eólic euros cd dí que utili l eléctric, cuátos dís dee utilir cd u pr miimir sus gstos? Y pr stecer l cliete lo tes posile? () U ONG v relir u evío compuesto de lotes de limetos de medicmetos. Como míimo h de mdr lotes de medicmetos, pero por prolems de cducidd o puede mdrse más de 8 lotes de estos medicmetos. Pr relir el trsporte se emple coteedores pr cd lote de limetos pr cd lote de medicmetos. El servicio de trsporte eige que l meos se evíe u totl de coteedores, pero que o se supere los. ) Qué comicioes de lotes de cd tipo puede evirse? Plte el prolem represet gráficmete ls solucioes. Puede evirse lotes de limetos de medicmetos? ) Si l ONG quiere mimir el úmero de lotes evidos, qué comició dee elegir? () U empres de ecvcioes movimietos de tierr v relir u pedido de gsóleo pr sus vehículos de trsporte ( u precio de,9 euros el litro) B pr l mquiri (,7 euros el litro). Como poco, se ecesit litros de gsóleo, como mucho de gsóleo B. E totl, etre mos tipos de gsóleo, o dee pedir más de litros. demás, se quiere pedir por lo meos litros más de gsóleo B que de gsóleo. ) Cuátos litros de cd tipo de gsóleo se puede pedir? Plte el prolem represet gráficmete ls solucioes. ) Cuál es l composició del pedido más rto? Y l del más cro? () E l remodelció de u cetro de eseñ se quiere hilitr u míimo de 8 uevs uls, etre pequeñs (co cpcidd pr lumos) grdes (co cpcidd pr ). Como mucho, u % de uls podrá ser grdes. demás, el cetro ecesit que se hilite l meos ul grde, o más de pequeñs. ) Qué comicioes de uls de cd tipo se puede hilitr? Plte el prolem represet gráficmete el cojuto de solucioes. ) Cuál es el cojuto míimo de uls pequeñs que se puede hilitr? Si se quiere que l cpcidd totl coseguid co ls uls hilitds se lo mor posile cuáts tedrí que hcer de cd tipo? Cuátos lumos crí e totl? () E u empres se está discutiedo l composició de u comité pr egocir los sueldos co l direcció. E el comité hrá sidiclists e idepedietes. El úmero totl de miemros o deerá ser iferior i superior. l meos u % del comité será sidiclists. El úmero de idepedietes será como poco u curt prte del de sidiclists. ) Qué comicioes de miemros de cd tipo puede teer el comité? Plte el prolem represet gráficmete el cojuto de solucioes. Puede her sidiclists idepedietes? ) Si se quiere que el úmero de idepedietes se máimo, cuál será l composició del comité? º de Bchillerto. Mtemátics. ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Progrmció liel utores: Letici Goále Álvro Vldés LirosMreVerde.tk Revisor: Edurdo Cuchillo Iáñe

73 7. LÍMITES.. Ide ituitiv de ite ctividdes de itroducció CPÍTULO : LÍMITES Y CONTINUIDD Vmos estudir el comportmieto de l fució f ( ) pr vlores próimos. E l tl siguiete oservmos que, cudo dmos vlores próimos pero iferiores que, l fució f () se proim o tiede 8: f () Decimos que cudo tiede por l iquierd, f () tiede 8, escriimos: Si f ( ) 8 E l tl que figur cotiució oservmos que, cudo dmos vlores próimos superiores, l fució f () se proim o tiede 8: f () Decimos que cudo tiede por l derech, f () tiede 8, escriimos: Si f ( ) 8 E este ejemplo los dos vlores que oteemos l cercros = por l derech por l iquierd coicide, podemos decir que, cudo tiede, f () tiede 8 podemos escriir: Si f ( ) 8 Estudiemos hor el comportmieto de l fució g( ) E( ) e =, dode E() es l fució prte eter de que devuelve el mor etero meor o igul que. L tl siguiete os muestr l tedeci por l iquierd: g() Decimos que cudo tiede por l iquierd, g() tiede escriimos: g( ) L tl siguiete os muestr l tedeci por l derech: 9 g() 9 si, Decimos que cudo tiede por l derech, g() tiede g escriimos: si, g( ) Los vlores o coicide, podemos decir que cudo tiede, g() o tiede igú vlor... Defiició mtemátic de ite E el prtdo terior h precido plrs o epresioes tles como tiede o se proim. Vmos formlir mtemáticmete el sigificdo de ests epresioes.,, : Se defie etoro de cetro rdio, se represet por E, l itervlo ierto E, R ; Se defie etoro reducido de cetro rdio, se represet por E *,, l etoro, * : E, R ; E ecepto el propio puto Hemos visto que l fució f ( ) tiede 8 o tiee por ite 8, cudo tiede. L ide de tedeci o proimció se trduce medite los etoros como: 8, E,, de modo que pr culquier del etoro reducido Pr culquier E, podemos ecotrr u etoro * E,, se cumple que su imge f está e el etoro 8, E. Si emrgo, g( ) E( ) o tiee ite e = porque o es posile defiir u etoro úico e el que * culquier del etoro reducido E,, su imge f esté e u etoro fijo, que podrímos defiir E, º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Límites cotiuidd utor: Letici Goále Pscul LirosMreVerde.tk Revisor: Álvro Vldés Ilustrcioes INTEF de los utores

74 7 o, E iquierd derech, respectivmete. Podemos defiir el ite de u fució e u puto de l siguiete form: U fució, se represet como f ( ) f tiee por ite L cudo tiede L si pr todo etoro E L, eiste u etoro E,, de modo que pr todo perteeciete l etoro reducido E *, se cumple que f perteece l etoro E L, : f ( ) L EL,, E(, ) ; E, f ( ) EL, o tmié: f ( ) L, ; si f ( ) L º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Límites cotiuidd utor: Letici Goále Pscul LirosMreVerde.tk Revisor: Álvro Vldés Ilustrcioes INTEF de los utores f que cumple est defiició decimos que es covergete e. U fució Oservmos que pr que u fució teg ite e o se covergete, o es ecesrio que l fució esté defiid e, pues e l defiició se hl de u etoro reducido de. Ejemplo Hll el ite e el orige de l fució f ( ) Oservmos que l fució o eiste e el orige, pero sí podemos hllr:.. Límites lterles Ejemplos E el primer prtdo hemos visto que l fució Podemos escriir: 8 f ( ) tiede 8 cudo tiede por l iquierd. simismo, l fució g( ) E( ) tiede cudo tiede por l iquierd. Podemos escriir: E( ) L ide de tedeci por l iquierd qued recogid medite los etoros lterles l iquierd de : E (, ) (, ) U fució f tiee por ite L cudo tiede si pr todo etoro L, por l iquierd, se represet como f ( ) L E eiste u etoro lterl l iquierd de, E (, ) (, ), de modo que pr todo perteeciete este etoro lterl, se verific que f perteece l etoro E L, : f ( ) L EL,, E (, ); E, f ( ) EL o tmié Ejemplos, f ( ) L, ; si E el mismo epígrfe hemos visto que l fució Podemos escriir: ( ) 8 g( ) E( f ( ) L f ( ) tiede 8 cudo tiede por l derech. simismo, l fució ) tiede cudo tiede uo por l derech. Podemos escriir: E ( ) L ide de tedeci por l derech qued recogid medite los etoros lterles l derech de : E (, ) (, )

75 7 U fució f tiee por ite L cudo tiede por l derech, se represet como si pr todo etoro L, f ( ) L E eiste u etoro lterl l derech de, E (, ) (, ), de modo que pr todo perteeciete este etoro lterl, se verific que f perteece l etoro E L, : f ( ) L EL,, E (, ); E, f ( ) EL o tmié, f ( ) L, ; si f ( ) L Es itereste otr que pr que u fució teg ites lterles e o es ecesrio que l fució esté defiid e ese puto. L codició ecesri suficiete pr que u fució f teg ite e u puto es que teg ite lterl por l iquierd ite lterl por l derech, siedo mos coicidetes. f ( ) L f ( ) f ( ) L Ejemplos Oservmos que l fució f ( ) tiee ite lterl por l iquierd ite lterl por l derech cudo tiede, siedo mos igules 8, por lo que el ite de l fució, cudo tiede, eiste vle 8: ( ) 8 Si emrgo, l fució g( ) E( ) o tiee ite cudo tiede, puesto que uque eiste los ites lterles cudo tiede, o so coicidetes. E( ) E( ) E( ) Si u fució tiee ite e u puto, éste es úico. Ejemplo Dd l fució si f ( ) si si Hll los ites lterles e =, e = e =. () limos el puto = : Los vlores e toro = o preset prolem lguo, se evlú co el primer troo de l fució, es seguro que: ( ) ( ) Por tto, eiste el ite e = : f f f () limos el orige utilido e cd cso el troo de fució decudo: Por tto, eiste el ite e el orige: f f f uque l fució o eiste e el orige. () limos el puto = : Por tto, o eiste el ite e = : f f f eiste e el puto =. uque l fució si º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Límites cotiuidd utor: Letici Goále Pscul LirosMreVerde.tk Revisor: Álvro Vldés Ilustrcioes INTEF de los utores

76 7.. Opercioes co ites Si f g so dos fucioes covergetes e el puto, cuos ites so: f ( ) L g( ) M Se tiee: f g f g L M k f k f k L k R º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Límites cotiuidd utor: Letici Goále Pscul LirosMreVerde.tk Revisor: Álvro Vldés Ilustrcioes INTEF de los utores f g f g LM f f g g f f L g f f si f L M g g si L Ests epresioes so válids tmié e el cso de ites e el ifiito, por tto: f g f g k f k f k R f g f g f g f g f f g f f si f g si g M g g E el cálculo de ites, es ecesrio operr co epresioes dode prece ifiito. Ests so lgus epresioes cuos resultdos so coocidos: SUM Y REST PRODUCTO COCIENTE POTENCI k si k k k k si k k si k k si k k si k k si k k si k k si k k si k k si k si k si k Es importte eteder que el álger del ifiito es diferete l de los úmeros reles mietrs trjmos co ifiitos ls coss o suele ser cómo prece... Límites ifiitos Límites ifiitos e u puto fiito Oservmos e l figur djut que, medid que os proimmos por l iquierd, los vlores correspodietes que tom l fució so cd ve mores. firmmos que cudo tiede por l iquierd, f tiede +: f U fució f tiee por ite + cudo tiede por l iquierd si pr todo úmero rel K eiste u etoro lterl l iquierd de, E (, ) (, ), de modo que, pr todo que perteece este etoro, se verific que f es mor que K. f K R, ; E f K, o E est figur oservmos que, medid que os proimmos por l derech, los vlores correspodietes que tom l fució so cd ve mores. o

77 77 firmmos que cudo tiede por l derech, f tiede +: f U fució f tiee por ite + cudo tiede por l derech si pr todo úmero rel K eiste u etoro lterl l derech de, E, ) (, ), de modo que, pr todo que perteece este etoro, se verific que f es mor que K. ( K R, ; E f K f, o E l figur de l derech vemos que medid que os proimmos los vlores correspodietes que tom l fució so cd ve mores. firmmos que cudo tiede, f tiede +: f U fució f tiee por ite + cudo tiede si pr todo úmero rel K eiste * u etoro reducido de, E (, ), de modo que, pr todo que perteece este etoro, se verific que f es mor que K. R, o, f K * f ( ) K ; E E el cso de que l proimros l fució tome vlores cd ve meores, tto si os proimmos por l iquierd, por l derech o por los dos ldos l ve, decimos que l fució tiede. E este cso, ls figurs defiicioes correspodietes estos tres csos so: M R, ; E f M f, f ( ) M R, ; E, f M * f ( ) M R, ; E, f M E ocsioes o os import el sigo decimos simplemete que: * f ( ) M R, ; E, f M Cudo eiste lguo de los seis ites que figur e este prtdo, decimos que l fució verticl de ecució. f tiee u sítot º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Límites cotiuidd utor: Letici Goále Pscul LirosMreVerde.tk Revisor: Álvro Vldés Ilustrcioes INTEF de los utores

78 78 lgus fucioes que geer sítots verticles so: f. El cociete de fucioes: si g g e ls que se iclue ls trigoométrics como tg, sec, cosec, cotg, que so cocietes por defiició.. L fució logrítmic: lf() si f OJO: No eiste i l divisió etre cero i el logritmo de cero. Hlmos de que el ite cudo el deomidor o el rgumeto tiede cero es ifiito. Ejemplo Hll ls sítots verticles de l fució f ( ) l Como se eplicó, l fució logrítmic tiee u sítot verticl cudo su rgumeto es ulo, por tto: si º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Límites cotiuidd utor: Letici Goále Pscul LirosMreVerde.tk Revisor: Álvro Vldés Ilustrcioes INTEF de los utores l es u sítot verticl Límites fiitos e el ifiito Oservmos e l figur de l derech que, pr vlores positivos mu grdes de, los correspodietes vlores que tom l fució se proim cd ve más hci u vlor L. firmmos que, cudo tiede +, f tiede L. U fució f tiee por ite u úmero rel L, cudo tiede +, se escrie f( ) L, si pr todo ε positivo, eiste u úmero rel K, de modo que, pr culquier vlor de mor que K, se verific que f está e el etoro L, R E. EL, f() L, K ; si Kf E l figur de l derech oservmos que, pr vlores egtivos mu grdes e vlor soluto de, los correspodietes vlores que tom l fució se proim cd ve más hci u vlor L. firmmos que, cudo tiede, f tiede L. U fució f tiee por ite u úmero rel L, cudo tiede, se escrie f ( ) L, si pr todo ε positivo, eiste u úmero rel M, de modo que, pr culquier vlor de meor que M, se f está e el etoro E L,. f ( ) L, M si M f EL, verific que Cudo eiste lguo de los ites teriores decimos que l fució L. Ejemplo l Hll ls sítots horiotles, si eiste, de l fució f ( ) Semos que el domiio de l fució logrítmic so úicmete los reles positivos, sí que l fució sólo puede teer sítot horiotl e +. demás, e l gráfic djut: Vemos que l fució poliómic del deomidor ( ) crece mucho más rápidmete que l logrítmic, de modo que cudo tiede ifiito, el cociete tiede cero: l sítothoriotl E el prtdo siguiete veremos cómo hllr ites como el terior de form más simple. Límites ifiitos e el ifiito Cudo hlmos de ites ifiitos e el ifiito os ecotrmos co cutro posiiliddes: f ( ), l fució tiede más ifiito cudo tiede más ifiito. U fució f tiede + cudo tiede + si pr todo úmero rel K, eiste u úmero rel M, tl que, pr culquier mor que M, se verific que mor que K.: f() K R, M R; Mf K R; f tiee u sítot horiotl de ecució f es

79 79 f ( ), l fució tiede meos ifiito cudo tiede más ifiito. U fució f tiede cudo tiede + si pr todo úmero rel K, eiste u úmero rel M, tl que, pr culquier mor que M, se verific que f es meor que K. f ( ) K R, M R; M f K f ( ), l fució tiede más ifiito cudo tiede meos ifiito. U fució f tiede + cudo tiede si pr todo úmero rel K, eiste u úmero rel M, tl que, pr culquier meor que M, se verific que f es mor que K: f ( ) K R. M R; M f º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Límites cotiuidd utor: Letici Goále Pscul LirosMreVerde.tk Revisor: Álvro Vldés Ilustrcioes INTEF de los utores K f ( ), l fució tiede meos ifiito cudo tiede meos ifiito. U fució f tiede cudo tiede si pr todo úmero rel K, eiste u úmero rel M, tl que, pr culquier meor que M, se verific que f ( ) K M R; M f f es meor que K. K E ocsioes o os iteres fijros e el sigo de ifiito decimos simplemete f ( ), l fució tiede ifiito cudo tiede ifiito. Como ejemplo sirve U fució f tiede cudo tiede si pr todo úmero rel K grde positivo, eiste u úmero rel grde positivo M, tl que, pr culquier meor e vlor soluto que M, se verific que f es meor e vlor soluto que K. f ( ) K R, M R; ; M f K.. Cálculo de ites Límites secillos El proceso de cálculo de u ite prtir de l defiició es mu complejo, sí que e l práctic strá co sustituir l vrile por el vlor l que tiede operr, oteiedo u resultdo que podrá ser u vlor fiito, ifiito o idetermido. Ejemplos Clcul los siguietes ites: l R, l l l cos cos l l Si emrgo, eiste csos e los que deemos teer cuiddo. Límites e los que se ul el deomidor Y vimos teriormete que este tipo de ite geer u ifiito, pero o semos si será positivo o egtivo. Deemos, por tto, estudir los ites lterles fijádoos sore todo e los sigos. Si los ites lterles so distitos, diremos que o eiste el ite pedido. Ejemplos Clcul los siguietes ites: Deemos hllr los ites lterles pr ver si eiste el ite de l fució e ese puto. Límite por l derech: Tommos vlores próimos, pero mores que : represetmos u úmero positivo mu cerco cero (+ ). Límite por l iquierd: Tommos vlores próimos, pero meores que : dode por + dode por

80 8 represetmos u úmero egtivo mu cerco cero ( ). Como los ites lterles o coicide, diremos que o eiste. Este cso es diferete l terior, semos que es u fució siempre positiv, sí que: Límites e el ifiito Pr resolver ites e el ifiito es ecesrio coocer cómo se comport ls fucioes más comues pr vlores mu grdes de l vrile. Muchs de ells se eplicro e cursos teriores l estudir el comportmieto de ests fucioes. Fucioes poteciles: Llmmos fucioes poteciles quells de l form f ( ), siedo u úmero rel. Pr ells: si pr si si impr si si si si Ejemplos ) porque = > ) porque = > pr c) porque = > d) porque = > e impr e) porque = < f) porque = < g) porque = < h) Fucioes epoeciles: Llmmos fucioes poteciles quells de l form f ( ), siedo u úmero rel. Pr ells: si si si si o eiste si o eiste si Ejemplos ) porque = > ) porque = > c) porque =, d) porque =, e) o eiste f) Fució logrítmic: De l fució logrítmic es imprescidile coocer los siguietes ites: log log o eiste No podemos cometer el error de pesr que todos los ifiitos que os prece l clculr u ite so igules. Si u fució viee epresd medite opercioes elemetles de fucioes de diferetes tipos, deemos ser cuál es el térmio domite del ite pltedo, es decir, qué térmio crece más rápidmete que los demás determi el vlor del ite: Epoecil > Poliómic > Logrítmic > Costtes Est relció se preci e l gráfic del mrge e l que vemos cómo pr vlores grdes de l epoecil domi frete l potecil (e este cso, ). º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Límites cotiuidd utor: Letici Goále Pscul LirosMreVerde.tk Revisor: Álvro Vldés Ilustrcioes INTEF de los utores

81 8 Ejemplos ) porque el térmio domite e u poliomio es el de mor grdo: es decir, los térmios de meor grdo so despreciles, por tto: ) porque uque el, se verific que: el térmio potecil es desprecile frete l epoecil. Etoces: c) porque los térmios domites del umerdor deomidor so, respectivmete, los demás so despreciles frete ellos. Etoces: d) se e) porque uque o eiste el ite de l fució seo, semos que es u úmero compredido etre cero uo el térmio del deomidor tiede ifiito: se úmero cotdo E l gráfic se preci lo que hemos demostrdo lgericmete. Oservmos que e l primer gráfic l escl es l mism, e l segud, l escl del eje de ordeds es el itervlo ', cudo > el vlor de los máimos de l fució es mu próimo cero, por ejemplo: se ' f ' '7 ' d) e porque reescriiedo el ite como: e el térmio epoecil crece mucho más rápidmete e e que el potecil. Etoces: e l ivers, tedremos que: e fuerte déil déil fuerte E otros csos, los resultdos que oteemos o os permite determir si u ite eiste cuál es su resultdo, o si o eiste. Estos csos se deomi idetermicioes. º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Límites cotiuidd utor: Letici Goále Pscul LirosMreVerde.tk Revisor: Álvro Vldés Ilustrcioes INTEF de los utores

82 º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Límites cotiuidd utor: Letici Goále Pscul LirosMreVerde.tk Revisor: Álvro Vldés Ilustrcioes INTEF de los utores 8.7. Idetermicioes Eiste siete idetermicioes ásics:,,,,, Idetermicioes del tipo Resolveremos ests idetermicioes lido los térmios domites tto del umerdor como del deomidor. Ejemplos ) El umerdor tiee grdo, el deomidor tiee grdo /, por tto: ) Como tes: Idetermicioes del tipo prece l clculr ites de fucioes co difereci de cociete de poliomios o difereci de rdicles, puede resolverse desrrolldo l rest coveietemete o multiplicdo umerdor deomidor por l epresió cojugd, respectivmete. Ejemplos ) lim Oservmos qué tipo de idetermició prece: lim Desrrollmos l rest: ) Oservmos qué tipo de idetermició prece: Multiplicmos dividimos por el cojugdo:

83 º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Límites cotiuidd utor: Letici Goále Pscul LirosMreVerde.tk Revisor: Álvro Vldés Ilustrcioes INTEF de los utores 8 Idetermicioes del tipo E ese tem sólo resolveremos quells que prece l clculr ites co fucioes poliómics o fucioes irrcioles. E mos csos se itetrá simplificr l frcció, ormlmete fctorido el umerdor el deomidor medite l Regl de Ruffii o usdo igulddes otles. Ejemplos ) E primer lugr, vemos si eiste lgu idetermició: Fctorimos los poliomios del umerdor el deomidor simplificmos: Clculmos el ite de l epresió resultte: ) 9 E primer lugr, vemos si eiste lgu idetermició: 9 9 Relimos ls siguietes trsformcioes: 9 Clculmos el ite de l epresió resultte: Idetermicioes del tipo Se resuelve trsformádols e ls del tipo o e ls del tipo. Ejemplo e Reescriiedo el ite como: e e, vimos que el térmio epoecil es domite frete l potecil. Etoces: e e Idetermicioes del tipo prece si l fució es de l form: ) ( ) ( g f, tles que f g. E este cso, se verific que: ) ( ) ( ) ( ) ( f g g e f Demostrció E efecto, el úmero e se defie como: e Se trt de reproducir l form del ite e co uestro ite origil, sí que opermos ñdiedo los térmios ecesrios: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( f f g g g g f f f f Y sólo os qued reestructurr el epoete:

84 º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Límites cotiuidd utor: Letici Goále Pscul LirosMreVerde.tk Revisor: Álvro Vldés Ilustrcioes INTEF de los utores 8 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( f g f f g f g f f f El ite etre prétesis es el úmero e, por tto: ) ( ) ( ) ( ) ( f g g e f l hor de resolver l idetermició podemos reproducir estos psos o utilir directmete l fórmul. Ejemplos ) Oservmos qué tipo de idetermició prece: plicdo l fórmul: ) ( ) ( ) ( ) ( f g g e f Clculmos f : f Clculmos f g : f g 7 De quí: 7 e e e ) Oservmos qué tipo de idetermició prece: plicdo l fórmul de uevo: ) ( ) ( ) ( ) ( f g g e f Clculmos f : f Clculmos f g : f g De quí: e e e e Si emrgo: c) 7, o es u idetermició. d), o es u idetermició.. CONTINUIDD Y preció vris veces lo lrgo de l ESO l ide ituitiv de cotiuidd: L fució f se puede diujr, e el etoro de, si levtr el lápi del ppel. De mer más forml, oservmos que l fució eiste e el puto, tiee ite cudo tiede, que el vlor de este ite coicide co el vlor de l fució e. Si se cumple ests tres codicioes, firmmos que est fució es cotiu e.

85 8 g o se puede diujr e u etoro licemos hor lguos cotrejemplos: L fució de si levtr el lápi del ppel. Est fució o tiee ite fiito e tmpoco está defiid e ese puto. firmmos que g o es cotiu e. L fució h o es cotiu e, L fució t o es cotiu e pues o eiste el ite cudo tiede, pues, uque eiste el ite el vlor, uque sí está defiid e. de l fució, mos o coicide. L ide de poder diujr l gráfic de u fució e u etoro de u puto si levtr el lápi del ppel, o l de u fució cotiu e ese puto se mtemti trvés del cocepto de ite. U fució f es cotiu e u puto si se cumple ls tres codicioes siguietes:. Eiste f, es decir, Dom f ( ) f f f. Eiste, es decir,. Los dos vlores teriores coicide. f f ( ).. Opercioes co fucioes cotius Si f g so dos fucioes cotius e, se verific: f g es cotiu e f g es cotiu e k f es cotiu e, k R f g es cotiu e f es cotiu e g, siempre que.. Cotiuidd lterl L fució f o es cotiu e, si emrgo, tiee ite fiito cudo tiede por l iquierd coicide co el vlor que tom l fució e. Por est ró, firmmos que est fució es cotiu por l iquierd e. U fució es cotiu por l iquierd e u puto de scis si eiste ite por l iquierd e ese puto coicide co el vlor de l fució e : f f De l mism mer, se dice que u fució es cotiu por l derech e u puto de scis si eiste ite por l derech e ese puto coicide co el vlor de l fució e : f f º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Límites cotiuidd utor: Letici Goále Pscul LirosMreVerde.tk Revisor: Álvro Vldés Ilustrcioes INTEF de los utores

86 8.. Cotiuidd e u itervlo U fució f itervlo U fució f, f es cotiu por l derech e f es cotiu por l iquierd e es cotiu e u itervlo ierto es cotiu e u itervlo cerrdo f es cotiu e el itervlo ierto Ejemplo L fució l derech es cotiu e el itervlo, (trmo de color ul). Vemos que es discotiu e, que cotiú cudo (líe egr) que o eiste e R., si sólo si es cotiu e todos los putos de dicho, si sólo si se cumple ls siguietes codicioes: Ls fucioes elemetles so cotius e sus respectivos domiios de defiició: - Ls fucioes poliómics so cotius e todo R. - Ls fucioes rcioles o so cotius e los putos que ul el deomidor. - Ls fucioes co rdicles co ídice pr o eiste e los vlores que hce el rdicdo egtivo. Si el ídice es impr, so cotius e todo R. - Ls fucioes epoeciles so cotius e todo R. - Ls fucioes logrítmics o so cotius e los putos e los que l epresió de l que queremos hllr el logritmo se covierte e cero o e u úmero egtivo. - De ls fucioes trigoométrics o so cotius quells que implic u cociete, es decir: L tgete secte, que o so cotius e los putos e los que se ul el coseo ( k, co k Z), L secte cotgete, que o so cotius e los putos e los que se ul el seo ( k, co k Z)... Tipos de discotiuidd U fució que o es cotiu e u puto de scis, decimos que es discotiu e ese puto. Depediedo de l codició o codicioes de cotiuidd que flle, podemos clsificr ls discotiuiddes e:. Discotiuidd evitle U fució preset u discotiuidd evitle e u puto de scis cudo se produce u de ests situcioes: - El ite de l fució e eiste es fiito pero o coicide co el vlor de l fució e. - L fució o está defiid e. Est discotiuidd se evit redefiiedo l fució e, hciedo que e este puto tome el vlor del ite. Ejemplo Y vimos cómo se comport l fució se f ( ) e el ifiito. licemos hor qué ocurre e el puto. Vemos e l gráfic, o ie ddo vlores cercos, que l fució tiede cudo tiede. se Por tto, eiste el ite: podemos redefiir l fució se como: si f ( ) pr covertirl e cotiu. si º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Límites cotiuidd utor: Letici Goále Pscul LirosMreVerde.tk Revisor: Álvro Vldés Ilustrcioes INTEF de los utores

87 87. Discotiuidd o evitle U fució preset u discotiuidd o evitle e u puto cudo o eiste el ite e ese puto. Podemos distiguir dos csos: - Discotiuidd de primer especie: cudo eiste los ites lterles pero so distitos, por lo que o eiste el ite de l fució. Los ites lterles puede ser mos fiitos se trtrá de u discotiuidd de primer especie de slto fiito, o puede ser que uo o los dos ites lterles se ifiitos, trtádose de u discotiuidd de primer especie de slto ifiito. - Discotiuidd de segud especie: se d cudo uo o los dos ites lterles o eiste. - Podemos resumir los tipos de discotiuidd co l siguiete tl: DISCONTINUIDD NO EVITBLE DISCONTINUIDD EVITBLE ª ESPECIE ª ESPECIE Slto fiito Slto ifiito ctividdes resuelts si Estudi los putos de discotiuidd de l fució f ( ). si Es u fució defiid troos formd por dos fucioes poliómics por tto, cotius e todos los putos. Por tto el úico puto dudoso es el puto de uió de los dos troos, el. Pr vlores meores que cero, el ite lterl por l iquierd es, pr vlores mores que, el ite lterl por l derech es. Luego eiste mos ites so fiitos por lo que e cero tiee l fució u discotiuidd de ª especie de slto fiito. si Estudi los putos de discotiuidd de l fució f ( ). si Es u fució defiid troos formd por u fució poliómic u rciol. Por tto, cotius e todos los putos, slvo dode se ul el deomidor. Por tto los úicos putos dudosos so el puto de uió de los dos troos, el, el puto dode se ul el deomidor, el. Pr vlores meores que cero, el ite lterl por l iquierd es, pr vlores mores que, el ite lterl por l derech es tmié, luego l fució es cotiu e. Si clculmos el ite cudo tiede oteemos por lo que e tiee l fució u discotiuidd de ª especie de slto ifiito. ctividdes resuelts Determi, e ls siguietes fucioes, los dtos pedidos: f f f f g g g º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Límites cotiuidd utor: Letici Goále Pscul LirosMreVerde.tk Revisor: Álvro Vldés Ilustrcioes INTEF de los utores

88 88 f f Respuests: f f f f f f f f, f g g g g f g g f f f f f f f f, Utili l defiició de ite pr demostrr: ) ) 8 Respuests: L defiició de ite es: f ( ) L / si sí que se trt de trjr co desigulddes itetdo cotr f ) L ) f ( ) L por tto, hciedo se verific l defiició. ) 8 g g g g g g g 7 c) f ( ) L ( prtir de. f ( ) L 8 ( ) 9 Es fácil ver que el triomio es u cudrdo perfecto, por tto: ( ) L f por tto, hciedo se verific l defiició c) f ( ) L Como se trt de cercrse lo más posile, dee ser u vlor pequeño. Por simplicidd hgmos que. Se verific que 8. De este modo: 8 Buscmos u ite superior pr f ( ) L, por tto elegimos l segud desiguldd: f ( ) L por tto, hciedo se verific l defiició. Clcul ls sítots de l fució: ( )( ) f ( ) ( )( ) Es u fució rciol. Los vlores que ul el deomidor so: = =, por tto tiee dos sítots verticles que so ls rects verticles: = = Pr determir el comportmieto e el ifiito se clcul el ite cudo tiede. Tto si tiede como si tiede + el ite es : ( )( ) f ( ) ( )( ) Por tto tiee u sítot horiotl que es l rect =. º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Límites cotiuidd utor: Letici Goále Pscul LirosMreVerde.tk Revisor: Álvro Vldés Ilustrcioes INTEF de los utores

89 89. Clcul los siguietes ites: ) ) g) h) EJERCICIOS Y PROBLEMS. c) i) d) j) e) ( 7) k) f) l). Hll los siguietes ites: 7 ) ) 7 c) 7 d) 7 e) g) 7 h) 7 i) 7 j) 7 k) 7 m) ) ñ) o) p) r) s) t) u) v) 7 f) 7 l) 7 q) w). Hll los siguietes ites: ) e) i) ) f) j) c) g) k) d) h) l). Determi el ite de ests fucioes: ) ) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) ) ñ) o) 7. Determi los ites de ests fucioes: 9 ) ) c) d) e) f) 7 g) h). Clcul los siguietes ites: ) ) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Límites cotiuidd utor: Letici Goále Pscul LirosMreVerde.tk Revisor: Álvro Vldés Ilustrcioes INTEF de los utores

90 9 7. Resuelve los siguietes ites: ) ) : c) 8. Hll los siguietes ites de fucioes: ) c) d) ) e) 9. Clcul los siguietes ites: ) 7 d) g) j) 7 7. Clcul los siguietes ites: ) d) 9. Clcul los siguietes ites: ) f) ) e) f). Clcul los siguietes ites: ) ). Clcul los siguietes ites: ) e) ) ) e) h) k) ) e) 7 9 f). Clcul los siguietes ites: ) ) 9 g) h) º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Límites cotiuidd utor: Letici Goále Pscul LirosMreVerde.tk Revisor: Álvro Vldés Ilustrcioes INTEF de los utores c) g) c) c) c) 7 f) i) l) 7 c) f) d) d) g) d) e). Resuelve los siguietes ites: ) ) c) d) h) c) f) d) 8 9

91 9. Clcul los siguietes ites: ) ) 7. Clcul estos ites: ) ) e) f) c) c) g) 8 8 d) 8 d) h) 8 8. Clcul los siguietes ites: ) ) 9. Clcul los siguietes ites: ) ) e) f) i) j) 9 c) c) g) k) 8 9 m) ) o) se 9 d) d) h) se l) 7. Clcul los siguietes ites: ) 7 ) 9. Clcul los siguietes ites: ) ) e) i) f) j). Clcul los siguietes ites: ) c) ) c) g) k) l l d) lim d) h). Clcul los ites lterles el ite, cudo eist, de ls siguietes fucioes e los putos que se idic: si ) f e ) si f e si si. Hll el vlor de los siguietes ites: ) ) c) d). Clcul el vlor de los siguietes ites: ) 7 ) º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Límites cotiuidd utor: Letici Goále Pscul LirosMreVerde.tk Revisor: Álvro Vldés Ilustrcioes INTEF de los utores

92 º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Límites cotiuidd utor: Letici Goále Pscul LirosMreVerde.tk Revisor: Álvro Vldés Ilustrcioes INTEF de los utores 9. Dd l fució si si si f clcul: ) f ) f c) f d) f. Tiee lgu discotiuidd? 7. Estudi l cotiuidd de ls siguietes fucioes: ) si si f ) si si si f 8. Clsific ls discotiuiddes que preset l siguiete fució: 9. Estudi l cotiuidd de ls siguietes fucioes: ) si si si f ) si si si g. Estudi l cotiuidd de ls fucioes: ) f ) Z Z f si si c) f d) * si si f R e) si si f. Estudi l cotiuidd de l fució f e el itervlo,.. Estudi l cotiuidd de ls fucioes: ) si si f ) si si si f c) si si si f d) si si si f e) si si 9 f f) si si f g) f h) l si e si f

93 9. Determi el vlor de pr que est fució se cotiu e todo R: si f si si. Determi el vlor del prámetro pr que l fució f se cotiu e todo su domiio. si. Hll el vlor de k pr que l fució f si se cotiu e. k si. Clcul m, p pr que l siguiete fució se cotiu e todo R: si 8 f m si 8 si p si 7. Clcul k, e cd cso, de modo que ls siguietes fucioes se cotius e todo R. k si si ) f ) f k si si si 8. El espcio recorrido por u móvil e fució del tiempo viee ddo por l siguiete fució: t si t e t t si t t t si t Determi los vlores de, pr que l fució se cotiu e t t. 9. U comercite quiere veder u determido producto, pr ello cor por cd uidd. No ostte, si se le ecrg más de uiddes, dismiue el precio por uidd, por cd uiddes cor: si C() si ) Hll el vlor de de form que el precio vríe de form cotiu l vrir el úmero de uiddes que se compr. ) cuáto tiede el precio de u uidd cudo se compr muchísims uiddes? si. Dd l fució: f () si si ) Hll pr que l fució se cotiu. ) Clcul: f f f,, c) Si 8, estudi ls discotiuiddes.. Diuj l gráfic de u fució que se juste ls siguietes codicioes: Cotiu e R,,, 7 f, f Discotiuidd de slto fiito e, f de slto ifiito e 7 f º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Límites cotiuidd utor: Letici Goále Pscul LirosMreVerde.tk Revisor: Álvro Vldés Ilustrcioes INTEF de los utores

94 9. Diuj l gráfic de u fució Dom f R / f tl que: f, f, f, f 7 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 7 f ( ) f ( ) UTOEVLUCIÓN si. Los ites de l fució f ( ) l iquierd de l derech de vle: 7 si ), ), 7 c), d) No eiste pues f() o está defiid e. El ite vle: ) ) c) + d) /.. El ite vle: ) ) c) d) /. El ite vle: ) ) c) d) 7. El ite vle: ) ) c) d) / si. Pr que l fució f se cotiu dee vler: si ) ) c) 7 d) / 7. Idic cuál de ls siguietes fucioes tiee u sítot verticl e =. ) f ( ) log( ) ) f ( ) c) f ( ) d) f ( ) se(cos( )) 8. Idic cuál de ls siguietes fucioes tiee u sítot horiotl =. ) f ( ) log( ) ) f ( ) c) f ( ) d) f ( ) tg(cos( )) 9. Idic cuál de los siguietes ites NO vle. e ) ) c) d) e e. Los putos de discotiuidd de l fució g ( ) 9 so: ) ) c) Niguo d), 9 º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Límites cotiuidd utor: Letici Goále Pscul LirosMreVerde.tk Revisor: Álvro Vldés Ilustrcioes INTEF de los utores

95 9 Etoro de u puto Límite de u fució e u puto Límite lterl de u fució e u puto Opercioes co ites Idetermicioes Cotiuidd RESUMEN Etoro de cetro rdio, E,, es el itervlo ierto E, R; o tmié:, : Ejemplos L,, E (, ); E, f ( ) E L, f ( ) L E f ( ) L, ; si Límite por l iquierd: Límite por l derech: f ( ) L f ( ) L, ; si f ( ) L, ; si f g f g L M f g f g L M f L f U ite idetermido es quél que implic opercioes cuo resultdo o se puede precisr. f es cotiu e u puto si:. Eiste f, es decir, Domf ( ). Eiste f, es decir, f f. Los dos vlores teriores coicide. f f ( ) U fució f ( ) L f ( ) L k f k f k L k R f f g g L M g f f si f si g g L M g,,,,, DISCONTINUIDD EVITBLE Tipos de discotiuidd DISCONTINUIDD NO EVITBLE ª ESPECIE Slto fiito Slto ifiito ª ESPECIE º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Límites cotiuidd utor: Letici Goále Pscul LirosMreVerde.tk Revisor: Álvro Vldés Ilustrcioes INTEF de los utores

96 9 pédice: Prolems de ites e ls P...U..- Clcul: si.- Ddo R, se cosider l fució f. Determi los vlores de pr los que l fució si es cotiu. si.- Dd l fució F, respode rodmete ls siguietes cuestioes. ) Pr qué vlores de si l fució F() es cotiu e =? ) Si F() es cotiu cudo etoces o eiste F, es cierto?.- Se h ivestigdo el tiempo (T, e miutos) que se trd e relir ciert prue de tletismo e fució del tiempo de etremieto de los deportists (, e dís), oteiédose que: T si ) Justific que l fució T es cotiu e todo su domiio. ) Por mucho que se etree u deportist, será cp de hcer l prue e meos de miuto? e meos de?.- El redimieto de u estudite e u eme de u hor de durció viee ddo por l siguiete epresió (f () si, represet el redimieto, e tto por cieto, e el istte, medido e hors): f ( ) 8 si, ) Es el redimieto u fució cotiu del tiempo? ) E qué mometos umet e qué mometos dismiue el redimieto? Cuádo otiee el mor redimieto cuál es ese redimieto?.- L eergí que produce u plc solr viee descrit por l siguiete curv e fució del tiempo trscurrido desde que mece (f() es l eergí producid ls hors de her mecido): f si si si 8 8 ) Estudi l cotiuidd de l fució f e su domiio. ) E qué mometo del dí l plc produce más eergí? Cuáto produce e ese mometo? 7.- El tiempo que u empledo trd e relir u tre vrí durte los cutro primeros meses de cotrto segú su eperieci. sí, l fució que relcio el tiempo empledo e relir l tre co l eperieci del operrio es (f () represet el tiempo, e hors, que trd e relir l tre u empledo que llev cotrtdo u tiempo, medido e meses): f si si ) Represet gráficmete l fució f. Es el tiempo ecesrio pr relir l tre u fució cotiu del tiempo de eperieci? ) E qué mometo el tiempo ecesrio pr relir l tre es míimo? Cuáto tiempo le llev filir l tre e ese istte? Cosigue el empledo filir l tre e meos de hors e lgú mometo durte los primeros cutro meses de cotrto? 8.- U proveedor cor el ceite segú el volume del pedido. sí, l fució que relcio el importe del pedido co el si volume del mismo es f () (e euros), de u pedido de litros de ceite): f si ) Es el importe u fució cotiu del volume del pedido? ) Estudi los itervlos de crecimieto decrecimieto de l fució represétl gráficmete. si 9.- L velocidd de u coche de crrers viee dd por l siguiete epresió: f si dode represet el tiempo, e segudos, f() represet l velocidd del coche, e km/h. ) Es l velocidd u fució cotiu del tiempo? ) Dismiue l velocidd del coche e lgú istte?, se podrí lcr los km/h de velocidd co este coche? º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Límites cotiuidd utor: Letici Goále Pscul LirosMreVerde.tk Revisor: Álvro Vldés Ilustrcioes INTEF de los utores

97 97 CPÍTULO : DERIVDS. CONCEPTO DE DERIVD.. Ts de vrició medi de u fució El curso psdo estudimos los coceptos de ts de vrició de ps de vrició medi de u fució que os sirve pr determir, por ejemplo, l ts de vrició de u polció o l velocidd medi de u vehículo. Ts de vrició Se defie l ts de vrició de u fució f etre los vlores como: TV(, ) = f() f() Ts de vrició medi Se defie l ts de vrició medi de u fució f etre los vlores como: f ( ) f ( ) TVM(, ) = L ts de vrició medi determi l velocidd medi, si l fució f es u fució espcio tiempo, determi l pediete o coeficiete gulr de l rect secte que ps por los putos (, f()) (, f()). L ts de vrició medi de u fució f e el itervlo (, ) coicide co l pediete de l rect secte l gráfic de l fució que ps por los putos (, f()) (, f()). ctividdes propuests. C() = + + es l fució de costes dode C() idic el coste de fricció de uiddes. Clcul l ts de vrició medi etre uiddes, l ts de vrició medi etre 8 uiddes.. L fució de eeficios de u ciert empres viee dd por: B() = + +, dode B() idic el eeficio que otiee l empres cudo fric uiddes. Clcul l ts de vrició medi de los eeficios etre uiddes, l ts de vrició medi de los eeficios etre uiddes.. U empres determi que los costes de producció por trjdor cotrtdo so C() = +, que los igresos por vets tmié por trjdor cotrtdo viee ddos por I() = +. Por tto los eeficios B() por trjdor cotrtdo so igresos meos costes. (Oserv que ests fucioes o so cotius, o se puede cotrtr 7 trjdores, es u fució esclod, pero vmos trjr co ells como si fuer cotius). Determi l ts de vrició medi si se cotrt etre trjdores... Cocepto de derivd de u fució e u puto Del curso psdo cooces l defiició de derivd. Vmos recordrl. Recuerd que: L derivd de u fució e u puto respode l estudio de dos prolems pretemete distitos: El primero es el estudio del ritmo de vrició de l fució e dicho puto. El segudo es de ídole geométric: l derivd de u fució e u puto idic el vlor de l pediete de l rect tgete l gráfic de l fució e ese puto. El estudio de l ts de vrició medi os result isuficiete pr resolver determidos prolems. Por ejemplo: Si u vió (o u coche) sufre u ccidete, los epertos quiere determir ls cuss, o les iteres l velocidd medi del vió, (o del coche) sio l velocidd isttáe e el mometo del ccidete. Otro ejemplo más: Los omeros utili los pr recoger ls persos que dee sltr de u icedio. Pr fricr l lo que resist dee coocer l velocidd e el mometo del impcto, o l velocidd medi de cíd. Defiició: Si X es u itervlo ierto, f: X u fució cotiu e X, se dice que f es derivle e si eiste el ite: f ( ) f ( ) es u úmero rel (es decir, o es ifiito). df El vlor del ite lo deomimos derivd de f e =, lo represetmos por f (), Df() o por (). d df f ( ) f ( ) f ( h) f ( ) f '( ) DF( ) ( ) = d h h º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Derivds utor: Mrí Molero pricio LirosMreVerde.tk Revisores: Letici Goále Pscul Álvro Vldés Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

98 98 ctividdes resuelts Clcul l derivd e el puto = de l fució = ². Sustituedo los vlores de l fució = ² e l defiició result que: f() = ; f() = : f ( ) f () f '() Por lo que l solució ps por resolver este ite. Recorddo lo predido sore ites, vemos que se trt de u idetermició que pr e = se ul el umerdor el deomidor. De mer que, igul que e otrs ocsioes, deemos dividir mos poliomios. Medite culquier método de descomposició medite ríces, se comprue que: = ( ) ( + ) (sum por difereci, difereci de cudrdos) ( ) ( ) sí que, después de sustituir, el ite serí: f '() ( ) Si f es derivle e u puto etoces l fució es cotiu e dicho puto. ctividdes resuelts Ls fucioes cus gráfics prece cotiució so cotius e todos los putos, derivles e todos los putos ecepto e =. Oserv el comportmieto de l gráfic e dicho puto. Los ites lterles eiste, pero o coicide, vle respectivmete. Los ites lterles eiste, pero o coicide, vle respectivmete. L fució = / es cotiu pero o es derivle e =. L fució = / es cotiu pero o es derivle e =. ctividdes propuests. Clcul l derivd de l fució f() = e = teiedo e cuet l defiició de dich fució: si f ( ) comprue que o es derivle. si. Utilido l defiició de derivd comprue que ls derivds de ls siguietes fucioes e los putos idicdos es el vlor ddo: ) f() = e = f () =. g() = + e = g () =.. Estudi l derivilidd e = de f() =. (Selectividd Juio 99).. Iterpretció geométric de l derivd. Rect tgete Recuerd que: L pediete de l rect tgete l gráfic de = f() e el puto (, f()) es igul f (). Por tto l ecució de l rect tgete es: = f() + f () ( ). Ejemplo: Pr ecotrr l ecució de l rect tgete l gráfic de l fució = ³ + e = uscmos l rect de pediete f () que pse por el puto (, f()): f() = ³ + = ; f () = ² + ; f () = ² + = 9; Ecució de u rect de pediete 9 que ps por el puto (, ): = + 9( ) = 9. º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Derivds utor: Mrí Molero pricio LirosMreVerde.tk Revisores: Letici Goále Pscul Álvro Vldés Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

99 99 ctividdes resuelts Se cosider ls fucioes f() = +, g() = + ) Clcul pr que ls gráfics de f g se tgetes e el puto de scis =. ) Pr los vlores de clculdos e el prtdo terior, diuj ls gráfics de ms fucioes hll l ecució de l rect tgete comú. (Septiemre. Opció ) ) Clculmos ls derivds e = f () =, g () = f () =, g () = = = ½. Pr = f() = = g() = (/) + = + =. ) Rect tgete e (, ) de pediete : = + ( ) =. Ls fucioes so práols de vértices (, ) (, ) respectivmete, que ps por el puto (, ). ctividdes propuests 7. Dd l fució f() =. Hll u vlor > tl que l rect tgete l gráfic de f e el puto (, f()) se prlel l rect =. Selectividd. Curso /7. 8. Se cosider l fució f() = + m, dode m > es u costte. ) Pr cd vlor de m hll el vlor > tl que l rect tgete l gráfic de f e el puto (, f()) pse por el orige de coordeds. ) Hll el vlor de m pr que l rect = se tgete l gráfic de f(). Selectividd. Juio 7... Fució derivd. Propieddes Recuerd que: Si f es derivle e X se llm fució derivd de f l fució que soci cd úmero rel de X el vlor de l df derivd de f e dicho puto. est uev fució l desigmos por f, Df o. d Por ejemplo E el cso: f() = ³ su derivd e = es f () = ². Por lo tto, si f() = ³ etoces f () = ². Pero l fució derivd podemos volverl derivr, oteer sí l derivd segud: f () =. Y volver derivr, oteiedo l derivd tercer: f () =. Y l curt: f IV) () =. Cuáto vle l derivd 8 de es fució? Ses hcerl? Clro que ses! prtir de l derivd tercer tods ls derivds vle cero. Ls derivds sucesivs se puede omrr: f, f, f, f IV),, f ), o tmié Df, D f, D f,, D ) f. ctividd resuelt Clcul l derivd -ésim de f ( ) : ( )( ) ) ( )! f ( ) f '( ) f ''( ) f ( ) ctividdes propuests 9. Comprue que l derivd -ésim de ls siguietes fucioes es l idicd: ) ( )! )! f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ( ) ( ) Notció diferecil f ( h) f ( ) L ts de vrició medi de u fució = f() e el itervlo (, + h) es: siedo el umerdor el h icremeto de l fució el deomidor el icremeto de l vrile. Gottfried Wilhelm Leii utilió l otció: d pr d deotr l derivd de l fució respecto de l vrile, dode d d o so umerdor deomidor, sio u todo iseprle. Se lee, derivd de respecto de. Est otció es útil, sore todo, si h distits vriles. Ejemplo: Si S = πr² etoces ds dr. 8 r Si V = πr²h etoces dv = πr h dv = πr². dr dh º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Derivds utor: Mrí Molero pricio LirosMreVerde.tk Revisores: Letici Goále Pscul Álvro Vldés Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

100 . CÁLCULO DE DERIVDS L fució derivd es liel Recuerd que: L derivd de u sum de fucioes es l sum de ls derivds de cd u. Es decir: (f + g) () = f () + g () L derivd de u fució multiplicd por u costte es igul l costte por l derivd de l fució: Si f() = c g() etoces f () = c g (). Ests dos propieddes, que cooces del curso psdo, os idic que el operdor derivd, D, es liel permite escriir: D(f + g) = Df + Dg D(cf) = cdf Opercioes co derivds Recuerd que: Cooces el comportmieto de l derivd co otrs opercioes, el producto, cociete, composició. L derivd del producto de dos fucioes es igul l producto de l derivd de l primer fució por l segud fució si derivr más el producto de l primer fució si derivr por l derivd de l segud fució: (f g) () = f () g() + f() g () L derivd del cociete de dos fucioes es igul l derivd del umerdor por el deomidor si derivr meos el umerdor si derivr por l derivd del deomidor, divididos por el cudrdo del deomidor: l f f '( ) g( ) f ( ) g'( ) ( ) g g( ) L regl de l cde epres l derivd de l composició de fucioes f g () : h( ) f g ( ) f g ( ) h' ( ) ( f g )' ( ) f ' g ( ) g '( ) df df dg o escrito e otció de Leii: d dg d ctividdes resuelts Clcul l derivd de = ( 7 + ). Pr plicr ie l regl de l cde es mu importte que compreds ie l composició de fucioes. E l derivd propuest teemos l fució potecil elevr, cu derivd cooces ie, l fució 7 + cu derivd es 7. plicmos l regl de l cde, primero l derivd de l fució potecil e el puto 7 +, luego multiplicmos por l derivd de est fució: = ( 7 + ) 7. Siedo que l derivd de l fució = se() es = cos() utili l regl de l cde pr compror que: ) = se () = se() cos() ) = se(²) = cos(²) Siedo que l derivd de l fució f ( ) es f '( ) comprue que: c) f ( ) f '( ) d) f ( ) f '( ) ( ) ( ) e) f ( ) ( ) f ' ( ) ( ) f) f ( ) 9 f '( ) 9 ctividdes propuests. Si f g so dos fucioes derivles e todo puto, se se que f() =, f() =, g() =, g() =, f () =, f () =, f () =, g () =, g () =, g () =. Determi el vlor de: ) ( f g )' () ; ) ( g f )'() ; c) ( g f )' () ; d) ( f f )'().. Se u() v() dos fucioes derivles e u puto. Pruéese que su producto u()v() es derivle oteiedo l epresió de su derivd: Du()v() = u ()v() + u()v () (Selectividd Septiemre 99) Otrs regls de derivció Del curso psdo cooces lgus regls de derivció de fucioes. Vmos repsr lgus estudir otrs uevs. Derivd de l fució potecil: L derivd de l fució f() = k, pr culquier vlor umérico de k, es f () = k k. º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Derivds utor: Mrí Molero pricio LirosMreVerde.tk Revisores: Letici Goále Pscul Álvro Vldés Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

101 Derivd de l fució logritmo: Si f() = log () etoces f () = log e. Derivd de l fució epoecil: Si = etoces = l(). Derivd de l fució seo: Si f() = se() etoces f () = cos(). Derivd de l fució coseo: Si f() = cos() etoces f () = se(). ctividdes resuelts Oserv cómo se h oteido ls derivds siguietes: Fució f() = f() = = / f() = = / f() = / = f() = /² = Derivd f () = f () = f () = (/) (/) = (/) (-)/ = l 8 7 l º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Derivds utor: Mrí Molero pricio LirosMreVerde.tk Revisores: Letici Goále Pscul Álvro Vldés Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF f () = () ² = f () = ³ = Clcul ls siguietes derivds comprue el resultdo: ) f ( ) f '( ) ) f ( ) f '( ) 9 9 c) f ( ) f () d) f() = l( ) f'() = ( ) 8 7 ( ) e) f ( ) f '( ) f) f ( ) ( ) ( ) f '( ) g) f ( ) ( )( ) f ' ( ) ( ) ( )( ) h) f ( ) f '( ) ( ) Derivd de l fució logritmo Vmos estudir l derivd de u fució mu itereste, l fució logritmo, vmos utilir u técic mu útil, l derivció logrítmic, pr clculr ls derivds de otrs muchs fucioes. Si f() = log () etoces f () = log e. Demostrció f( h) f() log Utilimos l defiició de derivd: f' () h h h Por ls propieddes de los logritmos: ) log log B = log (/B); ) klog = log k. h h log h h h h f' log log log log h h h h h h Clculmos el ite, que es u ite tipo e. Recuerd que e que los ites e que l se tiede, el epoete ifiito se clcul utilido est defiició del úmero e. f '( ) log (e), c.q.d. ctividdes resuelts Hll l derivd de f() = l(⁵ 7³) Teemos que utilir l derivd de l fució logritmo eperio (f() = l() f () = /) l regl de l cde f (g()) g (), dode g() = ⁵ 7³ su derivd: g () =. Por tto: f'() = ( ) 7 ctividdes propuests. Clcul ls derivds de ls siguietes fucioes: h h = ) = log(⁵ 7³)¹² ) = log (³ ²)⁷ c) d)

102 Técic de l derivció logrítmic Est técic cosiste e plicr logritmos los dos miemros de l fució, cotiució, derivr. ctividdes resuelts (⁵ ³) Utilido derivció logrítmic hll l derivd de f() = e ) plicmos logritmos eperios: l(f()) = l(e ( ⁵ 7³) ) ) Utilimos propieddes de los logritmos pr simplificr el segudo miemro (e este ejemplo, el logritmo de u poteci es igul l epoete por el logritmo de l se): l(f()) = l(e ( ⁵ 7³) ) = (⁵ 7³) l(e) = (⁵ 7³) ) Derivmos los dos miemros de l iguldd: f '( ) f ( ) ) Despejmos f (): f () = f() ( ) = e ( ⁵ 7³) ( ). Hll l derivd de l fució epoecil f() =. Utilimos l mism técic. Itet hcerlo tú solo luego comprue si te h slido ie: ) plicmos logritmos: l(f()) = l( ) ) Utilimos propieddes de los logritmos pr simplificr el segudo miemro (e este ejemplo, el logritmo de u poteci es igul l epoete por el logritmo de l se): l(f()) = l( ) = l() f ( ) ) Derivmos los dos miemros de l iguldd: f '( ) l ) Despejmos f (): f () = f() l() = l(). Si = etoces = l(). Si = e etoces = e. L fució epoecil = e coicide co su derivd, = e. Hll l derivd de l fució potecil f() = k, k. Y cooces su derivd cudo el epoete es u úmero turl. hor vmos demostrrlo siedo el epoete culquier úmero, egtivo, frcciorio Itet hcerlo tú solo luego comprue si te h slido ie: ) plicmos logritmos: l(f()) = l( k ) ) Utilimos propieddes de los logritmos pr simplificr el segudo miemro (e este ejemplo, el logritmo de u poteci es igul l epoete por el logritmo de l se): l(f()) = l( k ) = k l() ) Derivmos los dos miemros de l iguldd: f '( ) f ( ) ) Despejmos f (): f () = f() (k/) = k (k/) = k k-. Si = k etoces = k k-, k. Hll l derivd de l fució epoecil potecil: f() = g() h(). Utilimos l mism técic. Itet hcerlo tú solo luego comprue si te h slido ie: ) plicmos logritmos: l(f()) = l(g() h() ) ) Utilimos ls propieddes de los logritmos pr simplificr el segudo miemro (e este ejemplo, el logritmo de u poteci es igul l epoete por el logritmo de l se): l(f()) = l(g() h() ) = h() l(g()) f ( ) ) Derivmos los dos miemros de l iguldd: f '( ) h'( ) l( g( )) h( ) g'( ) º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Derivds utor: Mrí Molero pricio LirosMreVerde.tk Revisores: Letici Goále Pscul Álvro Vldés Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF k g( ) g( ) ) Despejmos f (): f '( ) f ( ) ( h'( ) l( g( )) h( ) g'( )) Est fórmul o te l preds de memori. Es preferile plicr derivció logrítmic e cd cso cocreto. Hll l derivd de l fució epoecil potecil: f() =. Utilimos l mism técic. Itet hcerlo tú solo luego comprue si te h slido ie: ) plicmos logritmos: l(f()) = l( ) ) Utilimos propieddes de los logritmos pr simplificr el segudo miemro (e este ejemplo, el logritmo de u poteci es igul l epoete por el logritmo de l se): l(f()) = l( ) = l() f ( ) ) Derivmos los dos miemros de l iguldd: f '( ) l( ) l( ) ) Despejmos f (): f () = (l() + )

103 Y ses que l fució tgete se defie como el cociete etre el seo el coseo que l derivd de l fució seo es l fució coseo. Clcul ls siguietes derivds utilido l técic de derivció logrítmic comprue los resultdos: ) f() = se() se ( ) se ( ) f '( ) (cos( ) l( ) ) tg ( ) tg( ) se( )cos( ) l( ) ) f ( ) f '( ) ( ) cos ( ) se ( ) ctividdes propuests. Clcul ls derivds de ls siguietes fucioes: ) ; ). Clcul ls derivds de ls siguietes fucioes: 7 ) 9 ; c) 7 7 ) ( ) ; d) 7 ( )( ) 7. c) d). Clcul ls derivds de ls siguietes fucioes: e ) f ( ) log ) f ( ) ( ) log( ) e 9se se cos c) f ( ) log d) f ( ) cos cos se. Utili derivció logrítmic pr clculr ls derivds de ls siguietes fucioes: ) = () ⁵ 9³ ) = ((+7) ³ ² ) c) = ( + e) ( ⁵ 8³) ⁵ d) f ( ) ( ) 7. Clcul ls derivds de ls siguietes fucioes: ) = se 8 log ) e c) 7 se (l ) d) l se. PLICCIONES DE L DERIVD.. Crecimieto decrecimieto Recuerd que: Si f () > etoces l fució = f() es creciete e =. Si f () < etoces l fució = f() es decreciete e =. ctividdes resuelts Determi si = ² + 8 es creciete o decreciete e =. Clculmos l derivd: = + ; e = : () = () + = 7 >. L fució es creciete. El deprtmeto de mrketig de u empres estim que los igresos mesules que v producir el lmieto de u uevo producto viee ddos por: = + t² t³, dode t es el tiempo epresdo e meses desde que el producto slg l mercdo, e so los igresos e cietos de euros. ) Clcul si los igresos está creciedo o decreciedo los meses de lmieto del producto. ) Durte qué periodo de tiempo umet los igresos? c) Durte qué periodo de tiempo dismiue? Solució: ) = 8t 9 t², () = 8 >. Creciete. ) 8t 9t² = t(8 9t) = t =, 8 = 9t t = 8/ proimdmete poco meos de los 9 meses empie desceder los igresos. c) L fució derivd es u práol que cort los ejes e t = e t = 8/ tes de t = después de t = 8/ es egtiv. Los igresos tes de t = o tiee setido. Luego crece hst t = 8/ Y luego so decrecietes e (8 89, +). º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Derivds utor: Mrí Molero pricio LirosMreVerde.tk Revisores: Letici Goále Pscul Álvro Vldés Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

104 ctividdes propuests 8. ) Determi los itervlos de crecimieto decrecimieto de l fució: = ³ + 7. ) Determi los itervlos de crecimieto decrecimieto de l fució: = ³ 7. c) Cómo so e =? d) Y e =? Y e =? 9. U empres determi que los costes de producció por trjdor cotrtdo so C() = +, que los igresos por vets, tmié por trjdor cotrtdo, viee ddos por I() = +. Por tto los eeficios B() por trjdor cotrtdo so igresos meos costes. L fució eeficios B() respecto del úmero de trjdores cotrtdos, es creciete o decreciete?.. Máimos míimos Recuerd que: U fució lc e (, f()) u máimo glol o soluto si f() es el mor vlor que lc l fució. U fució lc e (, f()) u míimo glol o soluto si f() es el meor vlor que lc l fució. U fució lc e (, f()) u máimo locl o reltivo si eiste u itervlo que cotiee e el que f() es el mor vlor de l fució e ese itervlo. U fució lc e (, f()) u míimo locl o reltivo si eiste u itervlo que cotiee e el que f() es el meor vlor de l fució e ese itervlo. Ejemplo: L fució = ( ) + de l gráfic del mrge o lc i máimos i míimos solutos, pero lc u máimo reltivo e puto (, ) u míimo reltivo e el puto B. Ejemplo: L fució de l gráfic del mrge o tiee máimos solutos, pero lc máimos reltivos e = e =. Tiee tres míimos que so l ve solutos reltivos e =, = e =. Refleio: Imgi u fució cotiu co derivd cotiu. tes de que l fució lcce u máimo, dee ser u fució creciete, después del máimo dee ser l fució decreciete. Por tto, tes de u máimo l derivd dee ser positiv, después dee ser egtiv. E cosecueci si l fució tiee u máimo e u puto de u itervlo es derivle e dicho puto, etoces l derivd e el máimo es cero. Hcemos u romieto similr pr u míimo. tes de que u fució lcce u míimo, dee ser u fució decreciete, después del míimo dee ser creciete. Por tto, tes de u míimo l derivd dee ser egtiv, después dee ser positiv. E cosecueci si l fució tiee u míimo e u puto de u itervlo es derivle e dicho puto, etoces l derivd e el míimo es cero. Si u fució tiee u máimo o u míimo e (, f()) eiste f (), etoces f () =. Se deomi puto sigulr o puto crítico de = f() los putos e los que se ul l derivd. Pr ser si u puto crítico es u máimo, o u míimo, o u puto de ifleió de tgete horiotl podemos utilir lguo de los tres criterios siguietes: Criterio : Si f () =, estudimos los vlores de próimos, tto l derech como l iquierd. Criterio : Estudir el sigo de l derivd e putos próimos, co lo que sremos si l fució crece o decrece e esos putos. Criterio : Si f () = f () > etoces (, f()) es u míimo. Si f () = f () < etoces (, f()) es u máimo. ctividdes resuelts Clcul los máimos míimos de l fució: = 7² +. Solució: Clculmos l derivd l igulmos : = + = = /. Pr ser si es máimo o míimo clculmos l derivd segud: = >. Es u míimo. L fució es u práol de vértice (/, 7(/) + (/)) ( 8, 89). Pr < / l fució es decreciete, pr > /, es creciete. º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Derivds utor: Mrí Molero pricio LirosMreVerde.tk Revisores: Letici Goále Pscul Álvro Vldés Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

105 L fució = + t² t³ idic los igresos mesules por u uevo producto que h slido l mercdo. Clcul cudo los igresos so máimos cudo so míimos. Solució: Clculmos l derivd = 8t 9 t², 8t 9t² = t(8 9t) = t =, 8 = 9t t = 8/ Los putos críticos so t = t = 8/ 9. Clculmos l derivd segud = 8 8 t, E t = () = 8 >, es u míimo. E t = 8/ (8/ 9) = 8 8(8/ 9) = 8 <, es u máimo. Por tto l fució tiee u míimo locl pr t =, e el puto (, ) u máimo locl pr t = 8/ 9, e (8/ 9, ). Dos oservcioes importtes ) Puede eistir máimos o míimos e putos dode o eist l derivd. Por ejemplo: L fució vlor soluto de tiee u míimo e (, ). si si Pero l derivd o se ul e (, ). No eiste. L derivd l derech de vle, l derivd l iquierd vle. So distits, luego l fució o es derivle e (, ). ) Puede eistir putos dode l derivd vlg si emrgo o se i máimos i míimos. Por ejemplo: L fució = ³ de derivd = ², que se ul e (, ) o tiee e dicho puto i u máimo, i u míimo. L fució es siempre creciete. V teer e (, ) u puto de ifleió de tgete horiotl. Pr estr seguros de o perder igu posile solució coviee, pr determir todos los máimos míimos solutos reltivos de u fució, uscr: ) Los putos dode se ul l derivd: f () =. ) Los putos dode l fució o se derivle. ) Los vlores de f() e los etremos del domiio de defiició de l fució. Determir el vlor de l fució e todos estos putos comprmos estos vlores. ctividdes resuelts Determi los máimos míimos, solutos reltivos, de l fució f() = 9 +, e el itervlo [, ] e el itervlo [, ]. L fució es derivle e todos los putos. f () = 8 +, que se ul e = e =. mos vlores perteece l itervlo [, ], por lo que los vlores vlorr so:,,. E el itervlo [, ] el puto = o perteece, luego teemos que vlorr,. f() = ; f() = ; f() = 8; f() = ; f() =. Clculmos l derivd segud: f () = 8, e los putos dode se ul l derivd: f () = < ; f () =. E (, ) se lc u máimo reltivo e (, ) u míimo reltivo. Itervlo [, ]: Máimo soluto reltivo es (, ) míimo soluto es (, ). Itervlo [, ]: Máimos solutos es (, ) (, ), míimos solutos so (, ) (, ). Determi los máimos míimos, solutos reltivos, de l fució f() = e el itervlo [, ]. L fució o es derivle e (, ). L derivd vle si es positivo si es egtivo, por lo que l derivd o se ul e igú puto. Estudimos los etremos del itervlo, : f() = = ; f() = =. El míimo soluto de l fució se lc e (, ) el máimo soluto e (, ). H u máimo reltivo e (, ). ctividdes propuests. Clcul los máimos míimos de ls fucioes siguietes: ) = ⁴ ; ) = ³ + 9; c) = ⁴ ² + ; d) = 9³.. Demuestr que l sum de dos sumdos positivos, cuo producto es costte, es míim cudo estos so igules.. Clcul los máimos míimos reltivos solutos de l fució: f() = + 7, e el itervlo [, ] e el itervlo [, ].. Determi los máimos míimos de ls fucioes siguietes: ) = I 9I; ) = I + I + I I.. Determi los máimos míimos, solutos reltivos, de l fució f() = + e el itervlo [, ]. º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Derivds utor: Mrí Molero pricio LirosMreVerde.tk Revisores: Letici Goále Pscul Álvro Vldés Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

106 e si. Se cosider l fució: f ( ) si Cotest, rodmete, ls siguietes preguts: ) Es cotiu e el puto =? ) Es derivle e el puto =? c) lc lgú etremo? (Prue previ Selectividd 999).. Cocvidd coveidd. Putos de ifleió Se f: [, ] u fució. f es cove [, ] si pr tod ter,, del itervlo co < < se verific que: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ). f es cócv [, ] si, e ls misms codicioes, se verific que: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ). Cove Cócv Oserv que pr est defiició o se h impuesto ser derivle l fució. Si l fució es derivle dos veces e el itervlo de estudio se tiee: f es cove [, ] f es estrictmete creciete f '' f '' f es cócv [, ] f es estrictmete decreciete f '' f '' Oserv tmié que si l fució es cove, l gráfic qued por ecim de l rect tgete, si es cócv, por dejo. Del mismo modo que e los putos de l gráfic de u fució e los que se ul l derivd primer se produce u cmio, ps de creciete decreciete, o vicevers, e los putos e los que se ul l derivd segud tmié se produce u modificció e l gráfic, ps de cócv cove, o vicevers. Vmos lir ese cmio estudido lguos csos: E ls cutro gráfics de rri hemos señldo u puto l rect tgete e ese puto. L derivd segud se ul e los putos señldos de ls cutro gráfics. li lo que ocurre. Oserv que l rect tgete dej l gráfic us veces por rri otrs por jo. Dirímos que trvies l gráfic. H u cmio e l cocvidd. Esos putos se llm putos de ifleió. Si l fució = f() tiee u puto de ifleió e =, eiste l segud derivd, etoces se ul f (). Si demás, como e l primer gráfic e l curt, se ul l derivd primer se dice que tiee u puto de ifleió de tgete horiotl. Oserv ls gráfics siguietes. H máimos, míimos putos de ifleió e el orige (, ). º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Derivds utor: Mrí Molero pricio LirosMreVerde.tk Revisores: Letici Goále Pscul Álvro Vldés Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

107 7 = () = () = () = ; iv) () > Míimo = () = () = () = iv) () = ; v) () Puto de ifleió de tgete horiotl = () = () = () = iv) () = v) () = ; vi) () <. Máimo = 7 () = () = () = iv) () = v) () = vi) ()= ; vii) () Puto de ifleió de tgete horiotl Ls propieddes estudids se puede geerlir co el siguiete teorem: Se f: [, ] u fució k + veces derivle e [, ] se c u puto de (, ). Etoces: ) Si f (c) = f (c) = = f k) (c) =, f k+) (c) k es impr: Si f k+) (c) < etoces f lc u máimo reltivo e c. Si f k+) (c) > etoces f lc u míimo reltivo e c. ) Si f (c) = = f k) (c) =, f k+) (c) k es pr, etoces f tiee u puto de ifleió e c. Si demás f (c) = l tgete del puto de ifleió es horiotl. ctividdes resuelts Determi los putos de ifleió los itervlos de cocvidd coveidd de l fució f() = +. Clculmos l derivd segud f () = + ; f () =. Se ul e =. Clculmos ls derivds sucesivs: f () = ; f IV) () = ; f V) () = ; f () = f IV) () = f V) (). L primer derivd que o se ul e = es l quit, es impr, luego e (, ) h u puto de ifleió, como o se ul l derivd primer o es u puto de ifleió de tgete horiotl. L derivd segud f () = es positiv si > egtiv si <, por tto l fució es cove si > cócv si <. ctividdes propuests. Siedo que u fució f() tiee como derivd f () = ( ) ( 8 + 7), ) Hll los itervlos de crecimieto decrecimieto de f ) Hll los máimos míimos reltivos de f c) Es el puto = u puto de ifleió de f? Justific rodmete l respuest. Septiemre. Opció 7. Determi los máimos, míimos putos de ifleió de ls fucioes siguietes: ) = ³ ² + + ; ) = ³ 7 + 8; c) = + ; d) =... Represetció gráfic de u fució U de ls pliccioes de l derivd es l represetció gráfic de fucioes. Vmos seguir u orde pr hcerlo: ) Putos de itersecció co los ejes coordedos. ) sítots. Domiio de defiició. Comportmieto e el ifiito. ) Derivd primer: crecimieto decrecimieto. Máimos míimos. ) Derivd segud: cocvidd coveidd. Putos de ifleió. ctividdes resuelts ( )( ) H u esoo de l gráfic de l fució rciol: f() = ( )( ) ) Putos de itersecció co los ejes coordedos: E ocsioes es difícil ecotrrlos. E otrs es secillo como e este cso. Pr = = /, (, /) puto de itersecció co el eje de ordeds. L orded vle pr = pr =, B(, ), C(, ) que so los putos de itersecció co el eje de sciss. ) sítots. Domiio de defiició. Comportmieto e el ifiito: L fució está defiid e tod l rect rel ecepto e los vlores que ul l deomidor, dode teemos dos sítots verticles: = pr =. Cudo tiede ifiito l tiede, luego teemos u sítot horiotl: =. E muchs ocsioes co est iformció somos cpces de hcer u primer esoo de l gráfic: º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Derivds utor: Mrí Molero pricio LirosMreVerde.tk Revisores: Letici Goále Pscul Álvro Vldés Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

108 8 si H u esoo de l gráfic de l fució: f() = e si. Putos de itersecció co los ejes coordedos. L rm I o cort l eje de sciss. L rm II tmpoco. Si = e l rm II teemos que f() =, el puto B (, ) de l gráfic.. sítots. Domiio de defiició. Comportmieto e el ifiito. L fució f() es cotiu e todos los putos slvo e {, } e Comportmieto e = :. l iquierd de tom el vlor. E = tiee u sítot verticl. e Comportmieto cudo tiede :... Derivd primer: crecimieto decrecimieto. Máimos míimos. f'() = si e ( ) si E = o es derivle pues o es cotiu. Oservdo el sigo de l derivd teemos que l fució es creciete e el itervlo (, ), decreciete e el itervlo (,), decreciete e (, ), decreciete e (, ) creciete e (, +) E = h u míimo: (, e). E = h u máimo, e el puto C de l gráfic.. Derivd segud: cocvidd coveidd. Putos de ifleió. si f () = e ( ) si L derivd segud o se ul e l rm I i e l rm II. No h putos de ifleió. Es cócv de (, ) cove de (, ) de (, +). º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Derivds utor: Mrí Molero pricio LirosMreVerde.tk Revisores: Letici Goále Pscul Álvro Vldés Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

109 9 ctividd resuelt Represet gráficmete l fució f ( ). hor queremos represetr gráficmete l fució, o hcer u simple esoo. Es decir, queremos plicr pso pso todo lo que hemos predido sore fucioes e el diujo de l gráfic. - Domiio: ulmos el deomidor:. Por tto, Dom f () = R { }. - Cortes co los ejes: o Eje X: f ( ) (, ) o Eje Y: hemos visto que = cudo =. - Simetrí: Ls potecis de so impres, pero h u térmio idepediete, luego o tiee simetrí. ( ) f() Podemos comprorlo: f( ) ( ) f() - Regioes de eisteci: Los cortes co los ejes el domiio defie los itervlos (, ), (, ) (, +). Itervlo (, ) (, ) (, +) f ) f ( ) f ( ') f ( ) ( f () Positiv Negtiv Positiv - sítots: o Horiotles: limos el ite e el ifiito es u sítot horiotl o Verticles: limos qué ocurre e = : es u sítot verticl "" o Como tiee sítots horiotles, o tiee sítots olicus. - Mootoí: hllmos l derivd: f ( ) f ( ) ( ) vemos que uc se ul. Del domiio defiimos los itervlos:,,. Itervlo (, ) (, +) f ' ( ) f ( ) f ( ) f () Creciete Creciete Es siempre creciete. - Máimos míimos: Como l derivd o se ul, o h máimos i míimos reltivos. - Curvtur: Hllmos l derivd segud: f ( ) f ( ) que tmpoco se ul e el domiio de l fució. Cosidermos, como tes, los itervlos: (, ),. Itervlo (, ), f ''( ) f ( ) f ( ) f () Cócv Cove º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Derivds utor: Mrí Molero pricio LirosMreVerde.tk Revisores: Letici Goále Pscul Álvro Vldés Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

110 - Putos de ifleió: Como l derivd segud o se ul, o h putos de ifleió. Co tod l iformció recopild podemos diujr l gráfic de f (): ctividd resuelt Represet gráficmete l fució f ( ). Si sólo os iteres hcer u esoo rápido de l gráfic de u fució defiid co u rí cudrd, podemos hcer u esoo de l fució de detro de l rí, teiedo e cuet que o está defiid cudo resulte egtiv, plicr l rí lo oteido. hor queremos hcer pso pso l represetció gráfic de est fució: - Domiio: l teer ídice pr, el rdicdo h de ser mor o igul que cero: Tmié podemos fctorir el rdicdo lir los sigos: ( ) ( ) Itervlo (, ] (, ) [+, +) ( ) + ( + ) f () Eiste Eiste Por tto, Dom f () = R (, + ) = (, ] [ +, + ) - Cortes co los ejes: (, ) o Eje X: f ( ) (, ) o Eje Y: = o perteece l domiio, por tto o cort l eje OY. - Simetrí: es pr, luego f () tmié lo es: f ( ) ( ) f ( ) f () es pr - Regioes de eisteci: Como f () es u rí de orde pr, es siempre positiv e su domiio: Itervlo (, ] (, ) [ +, + ) f () Positiv Positiv º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Derivds utor: Mrí Molero pricio LirosMreVerde.tk Revisores: Letici Goále Pscul Álvro Vldés Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

111 - sítots: o Verticles: No tiee, que es cotiu e todo R. o Horiotles: limos los ites e el ifiito o tiee sítots horiotles o Como o tiee sítots horiotles, limos ls sítots olicus: f ( ) si m si Etoces: ( )( ) [ f ( ) m] [ ] ( ) º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Derivds utor: Mrí Molero pricio LirosMreVerde.tk Revisores: Letici Goále Pscul Álvro Vldés Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF Etoces, h dos sítots olicus: = cudo + e = cudo - Mootoí: Hllmos l derivd: f ( ) f ( ) l itetr ulrl, otedrímos =, que o perteece l domiio. Etoces: Itervlo,, f f f f () Decreciete Creciete - Máimos míimos: Como l derivd o se ul e el domiio, o h máimos i míimos reltivos. - Curvtur: Hllmos l derivd segud: ( ) f f ( ) que tmpoco se ul e el domiio de l fució, se ve fácilmete que es siempre egtiv que el sigo de l rí cudrd es positivo. Por tto, f () es siempre cove - Putos de ifleió: Como l derivd segud o se ul, o h putos de ifleió. Co tod l iformció recopild podemos diujr l gráfic de f (): ctividdes propuests 8. Determi el domiio de ls siguietes fucioes: ) f () = +, ) f () = cotg, c) f ( ), d) f ( ) e) f ( ), f) f ( ) log( ). 9. Determi el cojuto imge (o recorrido) de ls siguietes fucioes: ) f ( ), ) f () = +, c) f ( ).. li l simetrí de ls siguietes fucioes: ) f ( ), ) f ( ), c) ( ) f.

112 . Estudi ls sítots el comportmieto e el ifiito de ls siguietes fucioes. si ) f (), ) f ( ), c) f ( ) si. Estudi los itervlos de crecimieto decrecimieto, máimos míimos l cocvidd de: ) f ( ) 9, ) f ( ), c) f ( ). Se cosider l fució f() = ) Idicr el domiio de defiició de l fució f sus sítots ) Hllr los etremos reltivos de l fució f sus itervlos de cocvidd coveidd. c) Diujr l gráfic de f hllr su máimo su míimo soluto e el itervlo [, ]. Selectividd. Opció. Se l fució f() = ) Estudi su cotiuidd derivilidd ) Diuj su gráfic. Selectividd. Septiemre. Opció B. Se cosider l fució ( ) f ( ) Clcul ls sítots, el máimo el míimo solutos de l fució f().. Selectividd Juio. Opció.. Prolems de optimició los prolems de máimos míimos se les suele deomir prolems de optimició. ctividdes resuelts Cortdo u mismo cudrdo de ls cutro esquis de u hoj rectgulr de dimesioes se puede costruir u cj iert por l prte superior. Clcul el ldo del cudrdo que h que cortr pr que l cj teg máim cpcidd. El volume de l cj es el producto de los tres ldos. Si cortmos ls esquis el rectágulo de logitud tedrá hor u logitud. Lo mismo el de logitud. L ltur es. V = ( )( ) = +. Pr oteer el volume máimo, derivmos e igulmos cero. V = ( + ) + = Por cosidercioes geométrics, el vlor oteido es u máimo, pues si el ldo del cudrdo vle, o si vle l mitd del ldo, el volume de l cj es míimo, que vle pues o se form cj. Etre todos los cilidros de volume V ddo determi el rdio l ltur del de mor superficie. El volume de u cilidro es igul : V = πr h, su superficie totl es igul S = πrh + πr. L superficie depede de dos vriles, el rdio l ltur. Como os dice que el volume es ddo, despejmos de su V V V epresió por ejemplo l ltur, l sustituimos e l superficie: h S r r r r r r Derivmos l superficie respecto r, e igulmos cero l derivd: V S ' r V r V r r r Pr ser si ese vlor del rdio coduce u máimo o u míimo. Hllmos el sigo de l derivd segud: V V S '' > r V L solució oteid os d u superficie míim. V V ; V r h V ctividdes propuests. Se dese fricr evses co form de ortoedro de se cudrd de form que el volume se de dos litros l superficie empled se míim. 7. Determi ls dimesioes de u coo de volume máimo iscrito e u esfer de rdio R = cm. (ud: L ltur del coo es igul R +, el rdio de l se r = R ). º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Derivds utor: Mrí Molero pricio LirosMreVerde.tk Revisores: Letici Goále Pscul Álvro Vldés Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

113 8. Clcul l se l ltur del triágulo isósceles de perímetro 8 áre máim. (Selectividd) RESUMEN Defiició de derivd f '( ) f '( ) h f ( ) f ( ) f ( h) f ( ) h Ejemplos Rect tgete = f() + f ()( ) Tgete = ³ + e el puto (, ): = + ( ) =. Crecimieto decrecimieto Máimos míimos Si f () > etoces = f() es creciete e =. Si f () < etoces = f() es decreciete e =. Si (, f()) es u máimo o u míimo de = f() eiste f () etoces f () =. Si f () = etoces (, f()) es u puto crítico. Si f () = f () > etoces (, f()) es u míimo. Si f () = f () < etoces (, f()) es u máimo. Si (, f()) es u puto de ifleió de = f() eiste f () etoces f () =. f () < cócv. f () > cove = ³ = ² = =, =. Pr <, > creciete. Pr < <, < decreciete Pr >, > creciete = ³ = ² =. () =, () <, luego (, ) es u máimo reltivo. () =, () >, luego (, ) es u míimo reltivo. (, ) es u puto de ifleió EJERCICIOS Y PROBLEMS. Cocepto de derivd. Pies e u ejemplo de fució o derivle que sí se cotiu.. Utili l defiició de derivd pr clculr l derivd de l fució = e =,,... Puedes oteer l derivd e =? Ro l respuest. ( ) si. Se cosider l fució f() =, idic cuál o cuáles de ls siguietes firmcioes so cierts, si > rodo l respuest. ) f es derivle e =, pues ls derivds lterles se ul e dicho puto. ) f i es cotiu e = i derivle e dicho puto (Selectividd Septiemre 99). Cuátos putos h e l fució f() = que o teg derivd? Justific l respuest. (Selec. Juio 99). Determi l ecució de l rect tgete l gráfic de l fució = ² + e el puto =.. U vehículo espcil despeg de u plet co u trectori dd por: = ² ( e e km). L direcció del vehículo os l proporcio l rect tgete e cd puto. Determi l direcció del vehículo cudo está km de distci sore el horiote. 7. Clcul ls rects tgetes de ls gráfics de ls fucioes siguietes e los putos idicdos: ) = ³ + e =. ) = + 7 e =. c) = ³ + e =. 8. Determi ls coordeds de los putos de l gráfic = ³ + e los que su tgete se prlel: ) l rect = ; ) l rect =. º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Derivds utor: Mrí Molero pricio LirosMreVerde.tk Revisores: Letici Goále Pscul Álvro Vldés Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

114 9. Determi l rect tgete de l gráfic de l fució e =.. Determi ls rects tgetes l fució f() = e los putos e los que l pediete es. Cuál es el meor vlor que puede teer l pediete est curv? E qué putos se lc?. Determi los coeficietes, c de l fució f() = + + c, que ps por el puto (, ) es tgete l rect = e el puto O(, ).. Determi los coeficietes, c pr que ls fucioes f() = + + c g() = c teg l mism rect tgete e el puto (, ).. Determi el coeficiete, pr que l fució f() = +, se tgete l rect =. Cálculo de derivds. Clcul ls derivds de ls siguietes fucioes: ) = ² + 7 ) = ³ ² + + c) = ² + 7 d) = 9⁷ ⁶ ³. Clcul: ) D(² + 9) ) D(7 ² + + ) c) D( + d ) d) (7 8⁶ 9 8 ) d. Clcul ls derivds de ls siguietes fucioes: ) = ² + / ) = 7³ ² + c) 7. Clcul ls derivds de ls siguietes fucioes: º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Derivds utor: Mrí Molero pricio LirosMreVerde.tk Revisores: Letici Goále Pscul Álvro Vldés Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF d) 7 ) ) 8 c) d) 7 8. Clcul ls derivds de ls siguietes fucioes: ) = ( + ) (8⁶ 7); ) = (9³ ) (7⁴ + ); c) 9. Clcul ls derivds de ls siguietes fucioes: ) ; ) ( ) ; c). Clcul ls derivds de ls siguietes fucioes: 7 ; d) 8 ( ) 7 ) = ( ) 9 ) = ( 7 ) 7 c) 9 d). Clcul ls derivds de ls siguietes fucioes: ) = (⁷ + ²)⁶ ) c) = (7³ + )⁵ (⁵ 8⁸) d) 9. Utili derivció logrítmic pr clculr ls derivds de ls fucioes siguietes: ) = () ⁵ ³ ) = (+) ( ³ + ²) c) = e ( ⁵ ³)⁵ d). Clcul ls derivds de ls siguietes fucioes: ( ) ) = e ⁵ + 7³ ) = (e ³ ² ) ⁷ c) = e (⁵ + 8³)⁵ d) e. Clcul ls derivds de ls siguietes fucioes: ) = l((⁵ ³)¹² ( + )) ) l 7 c) l d) l 8

115 . Clcul ls derivds de ls siguietes fucioes: e ) f ( ) l ) f ( ) ( ) l( 7 ) e 9se c) f ( ) l d) l( ). Clcul ls derivds de ls siguietes fucioes: se ) l(rccos) ) = l( 7 e ) c) f ( ) l d) l(l ) se 7. Clcul ls derivds de ls siguietes fucioes: ) = log( ) 8 ) = log (8 ) 7 9 c) l d) l 7 pliccioes de l derivd 8. Determi los itervlos de crecimieto decrecimieto de f() = /( ). 9. Determi los itervlos de crecimieto decrecimieto de f() = ( + )/( ).. Determi los itervlos de crecimieto decrecimieto de f() = +. Clcul sus máimos míimos h u esoo de su gráfic.. Determi los itervlos de crecimieto decrecimieto de f() = +. Clcul sus máimos míimos. H u esoo de su gráfic.. Si f () = ( ), cuál de ls siguietes gráfics podrí ser l de f()?. Determi los itervlos de crecimieto decrecimieto de f() =. Clcul sus máimos míimos. H u esoo de su gráfic.. Clcul los máimos míimos reltivos solutos de l fució f() = + 7 e el itervlo [, ] e el itervlo [, ].. Determi los máimos míimos, solutos reltivos, de l fució f() = + e el itervlo [, ]. Prolems. El espcio recorrido, e metros, por u vehículo los t segudos de psr por u cotrol de rdr, viee ddo por: = 8t + t². Qué velocidd llev l psr por el cotrol? Y los segudos? Si cotiú sí, e qué mometo psrá de los km/h? 7. L distci, d, e metros, recorrid por u ojeto e cíd lire e l Tierr los t segudos, viee dd proimdmete por d = t². Si se ce u torillo desde l primer pltform de l Torre Eiffel, (que está 7 m de ltur), qué velocidd llegrí l suelo? Y si cer desde l segud pltform (que está m)? Y desde l tercer pltform (que está 7 m)? 8. U depósito cilídrico de metros de diámetro se lle de gu m³ por miuto. qué velocidd vrí l ltur de gu los miutos? Y los miutos? 9. Queremos costruir cjs usdo crtulis rectgulres de cm por cm. Pr ello se cort e cd esqui u cudrdo de ldo, se dol. Qué vlor dee teer el ldo del cudrdo,, recortdo pr que ls cjs coteg u volume máimo? ud: Tedrás que escriir el volume de ls cjs e fució de.. Uos rriles pr lmcer ceite so cilídricos tiee u cpcidd de litros. Si se dese costruirlos de form que su superficie totl se míim, cuáto dee medir su ltur el rdio de su se? º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Derivds utor: Mrí Molero pricio LirosMreVerde.tk Revisores: Letici Goále Pscul Álvro Vldés Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

116 UTOEVLUCIÓN. L ts de vrició medi de l fució = ³ + ² + e el itervlo [, ] es: ) ) 7 c) d) L. L derivd de l fució f ( ) e = ) o eiste ) c) d). L derivd de l fució f ( ) e e = es ) e/ ) o eiste c) e/ d) e. L fució es cotiu derivle e tod l rect rel si: d ) =, d = ) =, d = c) =, d = d) =, d =. L ecució de l rect tgete l gráfic de l fució = ² ³ e = es: ) = ) = c) = d) = +. L fució = 7³ + ² + e = es: ) cócv ) tiee u puto de ifleió de tgete horiotl c) cove d) tiee u puto de ifleió de tgete olicu 7. L fució = ³ + ² + e = es: ) creciete ) decreciete c) lc u míimo d) lc u máimo 8. Si l derivd de u ciert fució es: = ( )( + ) etoces los itervlos de crecimieto decrecimieto de dich fució so: ) <, decreciete; < <, decreciete; >, creciete ) <, decreciete; < <, creciete; >, decreciete c) <, creciete; < <, creciete; >, decreciete d) <, creciete; < <, decreciete; >, creciete 9. L fució = ² ³ tiee u puto de ifleió e: ) = / ) = / c) = d) =. Si l derivd de u ciert fució es: = ( ) etoces su gráfic puede ser: ) ) c) d) PROBLEMS DE SELECTIVIDD.. L rmp de u toogá, de esos que desciede los iños e los prques iftiles, está fricdo emplmdo dos trmos, dos pies metálics. Qué precució h que tomr l emplmr ls dos pies pr que el desceso o ofrec dificultd los iños? Se se que u tl toogá tiee u trmo recto e su prte lt u segudo trmo curvo. El trmo recto es el segmeto B, dode (, ) B(, ). El trmo curvo empie e B desciede hst el suelo ( = ) l que lleg co tgete horiotl. Si este trmo curvo es u práol = + + c, hllr ést. (Prue previ selectividd 99). Demuéstrese que si f() es u fució derivle e u puto =, etoces tmié es derivle e l fució F() = f(), su derivd es F () = f()f (). (Se pide u demostrció direct, o deerá recurrirse resultdos similres, como l derivd de u producto) (Prue previ selectividd 99). Se se que = f() e = g() so dos curvs crecietes e =. lícese si l curv = f() g() h de ser etoces creciete e =. (Si l respuest es firmtiv, justifíquese; e cso cotrrio, dese u cotrejemplo que lo cofirme). (Selectividd Juio 99). Defi derivd de u fució f e u puto. plicdo l defiició de derivd, demostrr que si f es derivle periódic, de periodo T, etoces su derivd f tmié es periódic de periodo T. (Selectividd Juio 99). E l figur se represet u escler B, cuo etremo iferior recorre el suelo (rect O) cuo etremo superior B recorre u pred verticl (rect OB). L logitud de l escler es B =. El puto se lej de O co velocidd costte c. Se pide: ) Si hcer igú cálculo, idicr cuáto vle l velocidd de B e el mometo e el que O = OB. ) Hllr l velocidd v del puto B e fució de l distci (O) c) L velocidd co l que B lleg l puto O. (Prue previ selectividd 99) º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Derivds utor: Mrí Molero pricio LirosMreVerde.tk Revisores: Letici Goále Pscul Álvro Vldés Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

117 7. Diújese l gráfic de u fució de e, que cumpl ls siguietes codicioes: f () = f () > pr < < f () > pr < < ½ Señálese otrs propieddes de l curv que se diuje. (Prue previ selectividd 99) 7. Dos líes férres se cort perpediculrmete. Por cd líe v u locomotor (de logitud desprecile) dirigiédose ms l puto de corte; sus velociddes so km/h km/h h slido simultáemete de estcioes situds, respectivmete km del puto de corte. ) Hllr l distci l que se ecuetr ls locomotors, e fució del tiempo que ps desde que iici su recorrido. ) Hllr el vlor míimo de dich distci. (Selectividd Juio 99) 8. Hllr los máimos los míimos de l fució e. (Selectividd Septiemre 99) 9. L celerció de u móvil que descrie u trectori rectilíe es (formuld e fució del tiempo t) t ( t). Se se que pr t = el móvil está prdo e l posició = 8 ) Pr qué vlores de t es l velocidd del móvil? ) Hllr l vrició de l velocidd e el itervlo de tiempo, 8 el espcio recorrido e ese itervlo c) Hllr l fució de posició de este móvil. (Selectividd Septiemre 99) se cos si. Se f() l fució defiid por ls epresioes f() = m si < ) Clculr pr que f() se cotiu e el puto =. ) Clculr m pr que f() se derivle e el puto =. Prue previ Selectividd 99. Se cosider u cj si tpder (cost de cutro crs lterles el fodo). Siedo que el fodo es u cudrdo coociedo que el áre totl (de ls cico crs) es de cm, hllr sus dimesioes pr que teg l mor cpcidd posile. Prue previ Selectividd 99. Se cosider u vet como l que se idic e l figur (L prte iferior es rectgulr, l superior u semicircufereci). El perímetro de l vet mide m. Hllr ls dimesioes e pr que l superficie de l vet se máim. Y (Epresr los resultdos e fució de ) Selectividd Septiemre 99. Se l fució f() = ( )e. Represetr l gráfic de l fució f() idicdo mootoí, etremos, putos de ifleió rms sitótics. Prue previ Selectividd 998. Se l fució f() = Se pide: ) Hcer u diujo proimdo de l fució. Estudir l derivilidd de l fució e =. Selectividd Septiemre 997. L gráfic de l figur correspode l primer derivd de u fució f(). Qué puede decirse sore los posiles máimos míimos reltivos de l fució f()? Ror l respuest. Selectividd Septiemre Estudir l derivilidd de l fució f() = +. Prue previ selectividd 997 L 7. Se l fució f ( ). Estudir el domiio, ls sítots, los posiles putos de máimo míimo hcer u diujo proimdo de l gráfic de l fució. Prue previ selectividd 997. º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Derivds utor: Mrí Molero pricio LirosMreVerde.tk Revisores: Letici Goále Pscul Álvro Vldés Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

118 8 8. Se f: u fució derivle e ; se dos ríces de l derivd f () tles que etre ells o h igu otr rí de f (). Ror deidmete si puede ocurrir cd u de ls siguietes posiiliddes:.- Etre o eiste igu rí de f()..- Etre eiste u sol rí de f()..- Etre eiste dos o más ríces de f(). Selectividd Juio Clculr l se l ltur del triágulo isósceles de áre máim que puede iscriirse e u circufereci de cm de diámetro. Prue previ Selectividd 998. Dos vioets se ecuetr situds ls 9 de l mñ u distci de kilómetros, e ls posicioes que se idic e l figur. L vioet se mueve hci el sur u velocidd de 7 km/h, mietrs que l vioet B se dirige hci el oeste (e direcció ), km/h. ) ( puto) Escriir ls fucioes que idic ls posicioes de B e cd istte, sí como l distci etre ms. ) ( puto) qué hor será míim dich distci) Selectividd Juio 999. Se cosider u triágulo isósceles cu se (el ldo desigul) mide cm cu ltur mide cm. E él se iscrie u rectágulo, cu se está situd sore l se del triágulo. ) Epresr l áre de dicho rectágulo e fució de l logitud de su se. ) Escriir el domiio de l fució () diujr su gráfic. c) Hllr el vlor máimo de dich fució. Selectividd Septiemre 999. Se dese costruir u cj cerrd de se cudrd cu cpcidd se 8 dm. verigur ls dimesioes de l cj pr que l superficie eterior se míim. Selectividd Septiemre 999 se. Se si f ( ) k si ) H lgú vlor de k pr el cul f() se cotiu e =? ) H lgú vlor de k pr el cul f() se derivle e =? c) Determir sus sítots. Prue previ de selectividd. Ddos tres úmeros culesquier r, r r, hllr el úmero rel que miimi l fució D( ) ( r ) ( r ) ( r ) Selectividd Septiemre. Se f() = + + c + d u poliomio que cumple f() =, f'() =, tiee dos etremos reltivos pr = =. ) Determir,, c d. ) So máimos o míimos los etremos reltivos? Selectividd Juio. ) Si es posile, diujr de form clr l gráfic de u fució cotiu e el itervlo [, ] que teg l meos u máimo reltivo e el puto (, ) u míimo reltivo e el puto (, ) ) Si l fució fuese poliómic, cuál h de ser como míimo su grdo? Selectividd Juio 7. Se l fució f() = + se. ) Determir si tiee sítots de lgú tipo. ) Estudir su mootoí l eisteci de etremos reltivos Selectividd Septiemre 8. Se l fució f() = + +. ) Determir los putos de corte de su gráfic co los ejes los itervlos de crecimieto decrecimieto. ) Esor l gráfic de l fució Selectividd Septiemre 9. Se l fució rel de vrile rel defiid por ) Ror si l fució es cotiu e tod l rect rel. ) Ror si f es derivle e tod l rect rel. Selectividd: Juio. Opció B. ) Determir los etremos reltivos de l fució f() = - +. Diujr su gráfic. ) Hllr ls ecucioes de ls dos rects tgetes l gráfic de f que ps por el puto P(,- ). Selectividd: Juio. Opció B. Se P() u poliomio de grdo tl que: i) P() es u fució pr. ii) Dos de sus ríces so =, = iii) P() = Se pide: Hllr sus putos de ifleió. Diujr su gráfic. Selectividd: Septiemre. Opció B. Se cosider l fució rel de vrile rel defiid por: f ( ) ) Hllr l ecució crtesi de l rect tgete e el puto de ifleió de scis positiv de l gráfic de f. Selectividd: Juio. Opció º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Derivds utor: Mrí Molero pricio LirosMreVerde.tk Revisores: Letici Goále Pscul Álvro Vldés Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

119 9. Se cosider l fució rel de vrile rel defiid por: si f ( ) ( ) si ) Estudir su cotiuidd su derivilidd ) Hllr l ecució crtesi de l rect tgete l gráfic de f e el puto (,) Selectividd: Septiemre. Opció. Se f() u fució rel de vrile rel, derivle co derivd cotiu e todos sus putos tl que: f() = ; f() = ; f '() = ; f '() =. Se pide: ) Clculr g'(), siedo g() = f(+f()) ( f ( )) f ( ) ) Clculr lim e. Selectividd: Septiemre. Opció B. Determir los vlores de ls costtes, B, C D pr los cules l gráfic de l fució rel de vrile rel f() = se + B + C + D tiee tgete horiotl e el puto (, ) demás su derivd segud es f''() = se -. Selectividd: Curso /. Modelo opció. Se cosider l fució rel de vrile rel defiid por: f ( ). Se pide: ) Hllr sus máimos míimos reltivos sus sítots ) Hllr los putos dode l gráfic de f tiee tgete horiotl c) Represetr gráficmete l fució Selectividd: Curso /. Modelo opció B Not: Pr oteer ls sítots puede utilirse l iguldd: B B B B 7. ) Diujr l gráfic de l fució g() = e ) Clculr el domiio de defiició de f ( ) su comportmieto cudo tiede cudo tiede -. e c) Determir (si eiste) los máimos míimos solutos de f() e su domiio de defiició. Selectividd: Juio. Opció B 8. Dd l fució f() = -, se pide: ) Hll l ecució de l rect tgete l gráfic de f e el puto P(, f()), dode <<. ) Hll los putos B e l que l rect hlld e el prtdo ) cort los ejes verticl horiotl respectivmete. c) Determi el vlor de (, ) pr el cul l distci etre el puto el puto P(, f()) es el dole de l distci etre el puto B el puto P(, f()) Selectividd: Juio. Opció B 9. Se l fució f ( ) ( ) ) Hll sus máimos míimos reltivos sus sítots. ) Diuj l gráfic de l fució utilido l iformció oteid e el prtdo terior, teiedo e cuet, demás que f tiee ectmete tres putos de ifleió cus sciss so,,, respectivmete. Selectividd: Septiemre. Opció B. Se cosider l fució f() = l ( + ), dode l sigific Logritmo Neperio. Determi los itervlos de crecimieto decrecimieto los itervlos de cocvidd coveidd. Diuj l gráfic de f. Clcul ls ecucioes de ls rects tgetes l gráfic de f e sus putos de ifleió. Selectividd: Curso /. Modelo opció B. Dd l fució f() = se pide: Hll l ecució de l rect tgete su gráfic e el puto (, f()). Hll los putos de corte de l rect tgete del prtdo ) co los ejes de coordeds. Hll el vlor de > que hce que l distci etre los dos putos hlldos e el prtdo ) se míim. Selectividd: Septiemre. Opció e. Se cosider l fució f() =. Clcul los etremos locles gloles de l fució f(). ( e ) Selectividd: Septiemre. Opció B º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Derivds utor: Mrí Molero pricio LirosMreVerde.tk Revisores: Letici Goále Pscul Álvro Vldés Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

120 . Dd l fució: f() =. Hll sus máimos míimos locles /o gloles. Selectividd: ( ). ) Hll el puto P e el que se cort ls gráfics de ls fucioes: f() = g() =. ) Hll ls ecucioes de ls rects tgetes e el puto P cd u de ls curvs teriores demuestr que so perpediculres. Selectividd: Curso /. Modelo. Opció B. Diuj l gráfic de l fució f() = idicdo su domiio, itervlos de crecimieto decrecimieto sítots. Selectividd: Juio. Opció. Estudi represet gráficmete l fució f() = ( ) Selectividd: Juio. Opció B si 7. Clculr los vlores de pr que l fució: f() = cos si se cotiu pr todo vlor de. si Estudi l derivilidd de f() pr los vlores de oteidos e el prtdo terior. Selectividd: Septiemre. Opció 8. Dd l fució f() = e, se pide diujr su gráfic idicdo su domiio, sítots, itervlos de crecimieto decrecimieto, máimos míimos reltivos, itervlos de cocvidd coveidd putos de ifleió. Selectividd: Septiemre. Opció B 9. Diuj l gráfic de l fució f() = idicdo su domiio, itervlos de crecimieto decrecimieto sítots. Selectividd: Juio 7. Opció B. Hll los máimos míimos reltivos los putos de ifleió de l fució: f() =. Selectividd Septiemre 7. Opció. Se g() u fució cotiu derivle pr todo vlor rel de, de l que se cooce l siguiete iformció: i) g () > pr todo є (-, ) U (, + ), mietrs que g () < pr todo є (, ). ii) g () > pr todo є (, ) g () < pr todo є (-, ) U (, + ). iii) g(-) =, g() =, g() =. iv) lim g( ) lim g( ). Teiedo e cuet estos dtos se pide: ) li rodmete l posile eisteci o o eisteci de sítots verticles, horiotles u olicus. ) Diuj de mer esquemátic l gráfic de l fució g(). Selectividd: Septiemre 7. Opció B. Se cosider l fució f() =. ) Hll sus sítots sus etremos locles. ) Clcul los putos de ifleió de f() e diuj l gráfic de f(). Selectividd: Curso 7/8. Modelo. Opció. Se cosider l fució si f() = Se pide: Clcul pr que f se cotiu derivle e todo R. Selectividd: Curso 7/8 si. Oté los máimos míimos reltivos los putos de ifleió de l fució: f() = (l()), siedo l() el logritmo eperio de. Selectividd: Juio 8. Opció. Dd l fució f() = e - ( + ). Se pide: Diuj l gráfic de f, estudido el crecimieto, decrecimieto, putos de ifleió sítots. Selectividd: Septiemre 8. Opció. Se: f ( ) 7 ( ( ) ) si si º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Derivds utor: Mrí Molero pricio LirosMreVerde.tk Revisores: Letici Goále Pscul Álvro Vldés Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF Estudi l cotiuidd derivilidd de f(). Hll los máimos míimos locles. de f(). Diuj l gráfic de f(). Selectividd: Curso 8/9. Modelo. Opció 7. Si l derivd de l fució f() es: f () = ( ) ( ), oté: ) Los itervlos de crecimieto decrecimieto de f. ) Los vlores de e los cules f tiee máimos reltivos, míimos reltivos, o putos de ifleió. c) L fució f siedo que f() =. Selectividd: Juio 9. Opció B

121 l( ) si 8. Dd l fució: f( ) se pide: ) Hll los vlores de los prámetros si pr los cules l fució f es cotiu e =. ) Pr = =, estudi si l fució f es derivle e = plicdo l defiició de derivd. Selectividd: Septiemre 9. Opció 9. ) Dd l fució f(), hll el puto o los putos de l gráfic de f() e los que l pediete de l rect tgete se. ) Hll l ecució de l rect tgete l gráfic de f() e el puto =. c) Se g u fució derivle co derivd cotiu e tod l rect rel, tl que g() =, g() =. Demuestr que eiste l meos u puto c e el itervlo (, ) tl que g (c) =. Selectividd: Septiemre 9. Opció B. Dd l fució: f() = - ) Hll l ecució de l rect tgete l gráfic e el puto (-, f(-)) ) Determi los putos de itersecció de l rect hlld e el prtdo terior co l gráfic de f Selectividd: Curso 9/. Model. Dd l fució f() = e + e -, siedo u úmero rel, estudi los siguietes prtdos e fució de : ) Hll los etremos reltivos los itervlos de crecimieto decrecimieto de f. ) Estudi pr qué vlor, o vlores, de l fució tiee lgu sítot horiotl. Selectividd: Curso 9/. Modelo. Opció. Dd l fució f(). Se pide: ) Estudi los itervlos de crecimieto decrecimieto de l fució f(). ) Hll los putos de ifleió de l gráfic de f(). c) Hll ls sítots diuj l gráfic de f(). Selectividd: Juio l. Dd l fució si f ( ) (l sigific logritmo eperio de ), se pide: ) Determi el vlor de k k si pr que l fució se cotiu e R. ) Hll los putos de corte co los ejes de coordeds. c) Oté l ecució de l rect tgete l gráfic de l fució e el puto de scis =. Selectividd: Juio. FG. Opció B. Dd l fució: f() = l ( + -), dode l sigific logritmo eperio de, se pide: ) Determi el domiio de defiició de f() ls sítots verticles de su gráfic. ) Estudi los itervlos de crecimieto decrecimieto de f(). Selectividd: Juio. FE. Opció. Los putos P (,, ), Q (,, ) (,, ) co >, determi u plo π que cort los semiejes positivos de OY OZ e los putos B C respectivmete. Clcul el vlor de pr que el tetredro determido por los putos, B, C el orige de coordeds teg volume míimo. Selectividd: Septiemre. FG. Opció B. Dd l fució f(), se pide ) Estudi oté ls sítots. ) Estudi los itervlos de cocvidd coveidd. c) Represet gráficmete l fució. 7. Dd l fució f(), se pide: Oté, si eiste, los máimos míimos reltivos ls sítots de f. ( ) Selectividd: Septiemre. FE. Opció B Selectividd: Curso /. Modelo. Opció 8. Hll los vlores míimo máimo solutos de l fució f() Selectividd: Juio.. Opció 9. Demuestr que l ecució + + m = sólo tiee u rí rel culquier que se el úmero m. Justific l respuests idicdo qué teorems uss. Selectividd: Juio.. Opció 7. Dd l fució: f(), se pide: ) Determi el vlor de pr el que l fució posee u míimo reltivo e =. Pr ese vlor de, oté los otros putos e que f tiee u etremo reltivo. ) Oté ls sítots de l gráfic de = f() pr =. c) Eso l gráfic de l fució pr =. Selectividd: Juio.. Opció B 7 7. Dd l fució f(), se pide: ) Hll ls sítots de l gráfic de l fució = f(). ) Hll los itervlos dode f crece quellos e que f decrece. Determi todos los máimos míimos locles. c) Eso l gráfic de = f() prtir de los resultdos oteidos e los prtdos teriores. Selectividd: Juio.. Opció 7. Hllr el domiio de defiició de l fució f() =. tiee derivd 9. Hllr el cojuto de putos e los que l fució f Selectividd: Septiemre. Opció º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Derivds utor: Mrí Molero pricio LirosMreVerde.tk Revisores: Letici Goále Pscul Álvro Vldés Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

122 7. Ddo el poliomio P() = c, oteer los vlores de, c de modo que se verifique ls codicioes siguietes: ) El poliomio P() teg etremos reltivos e los putos de sciss = /, =. B) L rect tgete l gráfic de P() e el puto (; P()) se = +. Selectividd: Curso /. Modelo. Opció 7. Hllr ; ; c de modo que l fució f() = c lcce e = u máimo reltivo de vlor, teg e = u puto de ifleió. Selectividd: Juio. Opció l( ) 7. Dds ls fucioes f() lim f ( ), g( ) (l ), h( ) se( ) se pide: ) Hllr el domiio de f(). ) Clculr g (e). c) Clculr, e el itervlo (; π), ls coordeds de los putos de corte co el eje de sciss ls coordeds de los etremos reltivos de h(). si 7. Dd l fució f(), se pide: Hll el vlor de pr que f() se cotiu. Es si derivle pr ese vlor de? Hll los putos e los que f () =. ) Hll el máimo soluto el míimo soluto de f() e el itervlo [, 8] Selectividd: Juio. Opció B Selectividd: Septiemre. Opció 77. Dd l fució f() se, se pide: ) Determi, justificdo tu respuest, si l ecució f() = tiee lgu solució e el itervlo ierto (π/, π). ) Oté l ecució de l rect orml l gráfic de = f() e el puto (π, f(π)). Selectividd: Septiemre. Opció B si 78. Dd l fució f() si ; se pide: ) Determir el vlor de pr que f se cotiu e =. e si ) Pr ese vlor de, estudir l derivilidd de f e =. c) Hllr, si ls tiee, ls sítots de l gráfic = f(). Selectividd: Curso /. Modelo. Opció 79. Dd l fució f() =, se pide: ) Hll ls sítots de su gráfic. ) Hll l ecució de l rect tgete l gráfic de f() e el puto de scis =. Selectividd: Juio. Opció 8. Dd l fució f() = cos se pide: ) Determir los etremos solutos de f() e, ) Determir los putos de ifleió de f() e, Selectividd: Juio. Opció B 7 8. Dd l fució f( ), se pide: ) Hll ls sítots de su gráfic. ) Determi los itervlos de crecimieto decrecimieto clcul sus putos de ifleió. c) Eso l gráfic de l fució. Selectividd: Septiemre. Opció 8. Dd l fució f( ), se pide: Hll l ecució de l rect tgete l gráfic de f e =.Selectividd: Septiemre 8. Dd l fució f() e, se pide: ) Clcul lim f ( ), lim f ( ) estudi l eisteci de ) Eso l gráfic de = f() determido los itervlos de crecimieto decrecimieto de f() sus sítots. lim f ( ) Septiemre. Opció B si 8. Dd l fució f(), se pide: ) Estudir su cotiuidd. ) Estudir l eisteci de si sítots de su gráfic, e su cso, clculrls. c) Hllr los etremos reltivos esor de su gráfic. Selectividd: Curso /. Modelo. Opció B. º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Derivds utor: Mrí Molero pricio LirosMreVerde.tk Revisores: Letici Goále Pscul Álvro Vldés Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

123 8. ) Se f: R R u fució dos veces derivle. Siedo que el puto de scis = es u puto de ifleió de l gráfic de f() que l rect de ecució = + es tgete l gráfic de f() e dicho puto, determi: f( ); f ( ) f ( ): Selectividd: Juio. Opció 8. Dd l fució f( ), se pide: ) Determi el domiio de f sus sítots. ) Clcul f () determi los etremos reltivos de f(). Selectividd: Septiemre. Opció se si 87. Dd l fució f( ) si, se pide: ) Hllr, si eiste, el vlor de pr que f() se cotiu. e si ) Decidir si l fució es derivle e = pr lgú vlor de. Selectividd: Septiemre. Opció B º de Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Derivds utor: Mrí Molero pricio LirosMreVerde.tk Revisores: Letici Goále Pscul Álvro Vldés Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

124 CPÍTULO 7: INTEGRLES ctividdes de itroducció Clcul el áre de l regió limitd por l fució f etre el orige de coordeds u puto geérico de scis. Si represetmos l fució f diujmos l superficie etre ell el eje OX, oteemos el triágulo rectágulo de l figur. Semos que el áre del triágulo es: se ltur Áre. Tto l se como l ltur vle uiddes, por tto: Áre. Por tto, el áre jo l curv f se clcul como. Clcul el áre de l regió limitd por l fució f etre el orige de coordeds u puto geérico de scis. Como tes, represetmos l fució f diujmos l superficie etre ell el eje OX. hor oteemos el trpecio rectágulo de l figur. Si dividimos l figur e u rectágulo de ltur u u triágulo, el áre se clcul como: el áre jo l curv f se clcul como: ctividdes propuests Áre.. Por tto,. Clcul el áre de l regió limitd por cd u de ls fucioes f, g h R) etre el orige de coordeds u puto geérico de scis. li: Deriv ls epresioes oteids e los ejercicios teriores ro qué relció h etre ls fucioes (co f. Recuerd l iterpretció de áre como sum de ls uiddes cudrds ecerrds por u figur. plícl pr determir el áre de l fució f, represetádol e u cudrícul cotdo el úmero de cudrdos jo ell pr diferetes vlores de. Ro qué ocurre co el áre cudo l fució f es egtiv e el itervlo lido.. PRIMITIV DE UN FUNCIÓN. L INTEGRL INDEFINID.. Defiició de primitiv Se llm fució primitiv de u fució f otr fució F tl que l derivd de F es f F f Ejemplo: L fució F Teiedo e cuet ls propieddes de l derivd, se verific que si fució primitiv de f es de l form C F f F C F C f es u primitiv de f, que F f. F es u fució primitiv de f F, co C R. E efecto; cosidermos l fució C, es decir,, culquier otr F, tl que C R. Si derivmos: f. Por tto, F C es primitiv de f... Defiició de itegrl idefiid L itegrl idefiid de u fució f es el cojuto de tods sus primitivs, se represet como f d. Se lee itegrl de f diferecil de. Por tto, si F es u primitiv de f : f d F C C se l deomi costte de itegrció, el d os idic que estmos itegrdo respecto de. Esto que hor o prece teer demsid importci, sí l tedrá más delte, que está relciodo co l regl de l cde que vimos e el cpítulo terior, e el futuro, prederás relir itegrles e vris vriles. Por otro ldo, si recordmos lo visto e l ctividd iicil lo eplicdo e el Resume cerc del orige del símolo de itegrl, l epresió de l itegrl idefiid es l estilició de l epresió: Sum de f por cudo, es decir: f d sigific l sum del áre de todos los rectágulos de ltur f se ifiitesiml (d) º de Bchillerto. Mtemátics. ls Ciecis Sociles II. Cpítulo 7: Itegrles utores: Letici Goále Álvro Vldés LirosMreVerde.tk Revisores: Mrí Molero Jvier Rodrigo

125 Ejemplos: d C porque C. d l C porque l C.. Propieddes de l itegrl idefiid Ls propieddes de ls derivds justific muchs de ls propieddes de ls itegrles. Sum ( rest) de itegrles Siedo que si h f g h f g: f gd f d gd Producto por u úmero rel Siedo que si h k f h' k f ' : k f d k f d Ejemplos: d d d porque C. C cos d 7 cos d 7 se C ctividdes resuelts 7 porque 7 se C 7 cos Determi los vlores de, c pr los que F e c 7 f e. Como F es u primitiv de F f e c 7 es u primitiv de l fució f : e 7,, c Determi pr que F l se u primitiv de l Como F es u primitiv de f : F f l f. Es imposile Si represet el volume de producció de u fáric, el coste mrgil de l mism viee ddo por l fució f 8. Ecuetr l fució del coste totl, F de f que verific que F. Como F es u primitiv de f 8 F Nos dice que, si se se que dich fució viee dd por l primitiv F : f d 8 d C F : F C C Etoces el coste totl es: F ctividdes propuests. Clcul ls siguietes primitivs: ) d ) d c) d. Dd f, clcul l primitiv F() de f que verific F.. Comprue si F es u primitiv de f. Determi los vlores de,, c d pr los que F c d f. d) d. E cso egtivo, eplic por qué. es u primitiv de l fució. l resolver u primitiv, Jvier Ricrdo h utilido métodos diferetes, como er de esperr, h oteido epresioes distits. Después de revisrlo muchs veces o ecotrr igú error e los cálculos, le llev el prolem l profesor pr ver quié tiee ie el ejercicio. Pr su sorpres, l profesor les dice que mos tiee ie el prolem. Cómo es posile?. Ro por qué l gráfic siguiete: es u primitiv de l fució prte eter de, E, (slvo e los putos de discotiuidd dode o es derivle): º de Bchillerto. Mtemátics. ls Ciecis Sociles II. Cpítulo 7: Itegrles utores: Letici Goále Álvro Vldés LirosMreVerde.tk Revisores: Mrí Molero Jvier Rodrigo

126 . INTEGRLES DE FUNCIONES ELEMENTLES.. Itegrl del diferecil de. Itegrles imedits El térmio d está relciodo, como su propio omre idic, co el cocepto de diferecil visto e el cpítulo terior. Teiedo e cuet que l derivd l itegrl so opercioes iverss u de l otr, es imedito deducir que: d C co C R. Est ide os permite defiir ls itegrles imedits: Itegrles imedits so ls que se otiee directmete por l propi defiició de itegrl. Si recordmos l regl de l cde pr l derivció: F f u F f u u, podemos reescriirl e form F f u df f u,, clculdo su itegrl: f u du df F C diferecil como: du Ejemplos: e d e d e du e C e C d / d / C º de Bchillerto. Mtemátics. ls Ciecis Sociles II. Cpítulo 7: Itegrles utores: Letici Goále Álvro Vldés LirosMreVerde.tk Revisores: Mrí Molero Jvier Rodrigo C l d l d l l dl C l C.. Itegrl de l fució costte L itegrl de u costte es igul es costte multiplicd por. k d k C co C R. E efecto; cosidermos l fució F k C, co C R. Si derivmos: F k C k k. Tmié podrímos demostrrlo utilido l propiedd del producto por u úmero (.) co lo visto e.: k d k d k C Ejemplos: d C d C.. Itegrles de fucioes poteciles d C Y coocemos l derivd de l fució potecil: f Tmié coocemos que: f l f Ejemplos: d C 8 8 d C f co R. Es fácil ror el proceso iverso: d C si co C R. C d / u / d u C / C d d C C C El cso = correspode l logritmo eperio: d d l C co C R. Dode el vlor soluto se dee que teemos que plter tods ls posiles fucioes cu derivd se l fució del itegrdo, se cumple que: f l l si si f f l si si Ests dos fórmuls se puede geerlir prtir de l regl de l cde, como vimos tes: f f f f d C si d l f C f co C R. Ejemplos: cos se d l 9 C 9 d l se cos se cos C d d f f d f C C C

127 7.. Itegrles de fucioes epoeciles Prtiedo de l derivd de ls fucioes epoeciles: f e f e f f l, deducimos: e d e C d C l co C R. Y su geerlició co l regl de l cde: f f e f d e C f f f d C l co C R. Ejemplos: d C 7 d C l 7 l e d e C e 9 e d 9e d 9e C e d d e d e C Necesitmos l derivd del epoete. Lo soluciomos multiplicdo dividiedo por e e d d e d e C Necesitmos l derivd del epoete, es decir,. Teemos el, pero os flt el. Pr soluciorlo, multiplicmos dividimos por d d d C l Necesitmos l derivd del epoete, es decir,. Pr ello, dividimos multiplicmos por... Itegrles de fucioes trigoométrics directs se d cos C se f f d cos f C co C R. cos d se C cos f f d se f C co C R. sec d tg C sec f f d tg f C co C R. se Ejemplos: 7d cos 7 C se d cos C cosl d cosl d selc ctividdes resuelts Clcul ls siguietes primitivs: o d. Oservmos que l derivd del rdicdo es, sí que multiplicmos dividimos etre : Etoces, est primitiv es equivlete d d d u du u u u du C C : C C d o d. cos L fució más importte es el coseo, vemos que l rí de tres o tiee d que ver co ell. Lo scmos fuer de l itegrl: cos d cos d. L derivd del rgumeto del coseo es, sí que multiplicmos por por detro º de Bchillerto. Mtemátics. ls Ciecis Sociles II. Cpítulo 7: Itegrles utores: Letici Goále Álvro Vldés LirosMreVerde.tk Revisores: Mrí Molero Jvier Rodrigo

128 8 d d d fuer de l itegrl pr oteer u itegrl imedit: C sec tg cos cos e o d. e De tods ls primitivs que hemos visto, sólo el logritmo ls poteciles co epoete egtivo geer u frcció. Es u itegrl logrítmic si e el umerdor teemos l derivd del deomidor. Lo compromos: e e du e Etoces, est primitiv es equivlete l u C, result: d e C u l e e o d. e hor el umerdor NO es l derivd del deomidor, sio sólo de l epresió etre prétesis. Es fácil ver que l du u e primitiv es equivlete u du C C, result: C d u u e e. MÉTODOS DE INTEGRCIÓN.. Itegrció por cmio de vrile L itegrció por cmio de vrile usc trsformr l primitiv dd e u más secill, puede hcerse de dos forms diferetes: Cso. Idetificr u prte del itegrdo co u uev vrile t. Ejemplo: d. No es ecesrio u cmio de vrile, pero vmos mostrr el mecismo: t dt Hcemos el iomio igul t diferecimos mos térmios: dt d t t d dt d t t Resolvemos l primitiv e l form hitul: t dt C C Filmete, deshcemos el cmio: d C El cso más frecuete es quél e el que oservmos u fució complicd su derivd: f g g d U ve idetificd, el cmio de vrile cosiste e llmr dich fució t diferecir: g t f gg d gd dt L itegrl se trsform e otr que itegrremos: f t dt F t C Pr, filmete, deshcer el cmio: f gg dt F g C Ejemplo: e e e d. Podrímos desrrollr el producto e itegrr ls epoeciles idividulmete: Pero si hcemos l epoecil igul t, itegrremos u poliomio: e e e d e e e d e e e C e t e d dt e e e d t t dt t t t C Deshcemos el cmio oteemos: e e e d e e e C Muchs veces se covertirá e u itegrl imedit, como e los ejemplos, o hrí sido ecesrio dicho cmio. Cso. El cmio será de l form g t, dode g t se elegirá de form decud pr simplificr el itegrdo. Se difereci l iguldd: g t f d d gdt t dt º de Bchillerto. Mtemátics. ls Ciecis Sociles II. Cpítulo 7: Itegrles utores: Letici Goále Álvro Vldés LirosMreVerde.tk Revisores: Mrí Molero Jvier Rodrigo

129 9 Sustituimos e l itegrl, itegrmos deshcemos el cmio hlldo l fució ivers de g: gt f g t g ( ) ( t) dt F t C f d Fg C t g Ejemplo: d. L derivd del logritmo es: l l que se ecuetr e l frcció que precede l diferecil de. Hcemos el cmio: º de Bchillerto. Mtemátics. ls Ciecis Sociles II. Cpítulo 7: Itegrles utores: Letici Goále Álvro Vldés LirosMreVerde.tk Revisores: Mrí Molero Jvier Rodrigo C l t d dt dt l t C l l t H muchos cmios estudidos, de uso frecuete pr csos cocretos, pero super los coteidos de este curso. ctividdes resuelts d. Como tes, es u itegrl imedit, pero vmos repetir el procedimieto: Hcemos el iomio igul t diferecimos: t d t dt t dt d dt d dt Resolvemos l primitiv: t dt t dt Y deshcemos el cmio: d C t C Resuelve d hciedo el cmio de vrile t C t t t Hcemos el cmio que os idic: d t d t dt t t dt Desrrollmos el cudrdo, simplificmos e itegrmos: 7 t t t dt t t t t dt t t t dt t t t C Y, filmete, deshcemos el cmio: d C t t ctividdes propuests 7. Clcul ls siguietes primitivs utilido el cmio idicdo: ) d hciedo = t d. ) e e hciedo e = t. e) d d) hciedo t se se se cosd hciedo se 8. Elige el cmio de vrile que simplific ls siguietes itegrles: tg 7 7 c) 7 d hciedo t e l l ) d ) d c) d d) cos l 9 d e) d f) d.. Itegrció por prtes L itegrció por prtes es u método que os permite clculr l itegrl del producto de dos fucioes de turle diferete, u fácilmete derivle otr fácilmete itegrle. E este curso os limitremos los productos de fucioes logrítmics, poliómics, epoeciles trigoométrics (seos coseos), que se recoge e l regl memotécic L P E S. Co el método de itegrció por prtes trsformremos itegrles de l form u vd dode v es l fució fácil de itegrr, e otr epresió más secill e l que prece u uev itegrl más fácil de clculr que l de prtid. u v d u v v u d Se utili l siguiete fórmul: que se suele escriir de form revid como: u dv u v v du t

130 Eiste muchs regls memotécics pr recordr est fórmul, recogemos tres de ells: - Sliero Uidos De Vije Y U Vijero Meos Se Vio De Ujo. Ujo es u hermoso puelo sturio - Susit U Dí Vio U Vliete Solddo Vestido De Uiforme. - Sergio U Dí Vio U Vc Sord Vestid De Uiforme. Demostrció: Cosidermos el producto de fucioes u v clculmos su derivd: u v u v uv Itegrmos mos miemros de l iguldd: u v d u v u vd u v d u vd u vd De dode: u v u vd u vd Despejdo, result: u vd u v v ud uque suele escriirse e l form terior: u dv u v v du Oservcioes:. Como orm geerl, se elige como u l primer fució de l plr LPES como dv l resto del itegrdo, pudiedo drse el cso de teer que plter dv = d. d u l du d Ejemplo: l d l l d l C dv d v d. Sremos que estmos plicdo correctmete el método si oteemos u itegrl más simple que l iicil. u du d Ejemplo: se d cos cos d dv se d v se d cos cos cos d cos se C. El proceso de itegrció por prtes puede plicrse vris veces. E ese cso se dee mteer l elecció iicil de u v. Si se ivierte, volveremos l itegrl de prtid. Ejemplo: u du d e d e e d e e d dv e d v e d e e e d e e e d e e C e C u du d e dv e d v e d e e. Si l itegrl iicil es el producto de u epoecil por u trigoométric, se otiee lo que se deomi itegrles cíclics. l plicr por segud ve el método de itegrció por prtes, se otiee l itegrl de prtid, se dee resolver como u ecució: Ejemplo: Repetimos: u e du e d e cos d dv cos d v cos d se e se se e d e se e se d u e du e d dv se d v se d cos º de Bchillerto. Mtemátics. ls Ciecis Sociles II. Cpítulo 7: Itegrles utores: Letici Goále Álvro Vldés LirosMreVerde.tk Revisores: Mrí Molero Jvier Rodrigo cos cos e cos d e se e e d e cos d e se e cos e cos d 9 9 Oservmos que oteemos l itegrl de prtid. Si deotmos I e cos d : I e se e cos I I I e se e cos I e se e cos I e se e cos e. El método de itegrció por prtes o es ecluete. Podemos utilirlo después de veros oligdos relir u Etoces, sustituedo I por su epresió desrrolldo ls frccioes: e cos d se cos C

131 cmio de vrile, o teer que relir u cmio de vrile después de her plicdo l itegrció por prtes.. Eiste otrs itegrles que se resuelve por prtes que o está recogids e l regl de los LPES. L estrtegi geerl es uscr u fució fácilmete itegrle otr fácilmete derivle pr simplificr l primitiv iicil. ctividd resuelt d. Est primitiv puede resolverse de vris forms diferetes:. Por prtes: L dificultd es ecotrr l fució fácilmete itegrle. E este cso, l elecció es: / dv d v / d / d u du d L segud primitiv es más simple que l primer, sí que estmos e el ue cmio: d / / d / / C Es decir: d C. Por cmio de vrile: El cmio de vrile que uscmos es el que permite elimir l rí del itegrdo: t t d d t t tdt t t dt d t dt d t dt Resolvemos l primitiv: t t dt t t C C Ls dos epresioes so diferetes, pero es secillo mipulrls pr hcerls igules. ctividdes propuests 9. Determi si ls siguietes itegrles so imedits o o: l l ) d ) d c) se cos d d) º de Bchillerto. Mtemátics. ls Ciecis Sociles II. Cpítulo 7: Itegrles utores: Letici Goále Álvro Vldés LirosMreVerde.tk Revisores: Mrí Molero Jvier Rodrigo d e) d f) d g) e d h) e d. Resuelve ls siguietes itegrles: ) e e e e d d e d d ; ) cos e e d ; c) l cos tg d ; d) ; i) ; j) e l. Resuelve ls siguietes itegrles: ) e d ) l d c) cos d d) Curiosidd ide feli: Resuelve l primitiv cos l d u du cosl Pr ello, multiplic divide el itegrdo por : d cos l dv d v. Se f e 8, justific si es primitiv de lgu de ls siguietes fucioes: g e 8 h e.. Dd l fució o es primitiv de f., f. ) Clcul u primitiv de f. ) Justific que l fució F. Dd l fució f cos, f puede serlo tmié G F primitiv de, dode es u costte, ) Ecuetr u primitiv de f. ) Si F es u?. Se f dode es u costte. Ecuetr, siedo que h u primitiv F de f co F. Ecuetr tmié l epresió de F. F. Dd l fució f, dode es u costte, ecuetr u primitiv de f. Posteriormete, ecuetr pr que si f es l derivd de f, etoces f.

132 . EL PROBLEM DEL CÁLCULO DEL ÁRE.. Áre jo u curv Dd u fució f cotiu o egtiv e u itervlo,, su gráfic determi u regió del plo que vedrá limitd por l fució, el eje de sciss ls rects. Vemos cómo podemos clculr de form proimd el áre de dich regió: Tommos u prtició del itervlo,. Cosiste e dividir el itervlo e prtes, tomdo pr ello los putos,,,, verificdo.,,,,,. sí, teemos los itervlos, cotiució, deotmos por m i l míimo vlor que tom l fució e el itervlo i, i por M i l máimo vlor que tom l fució e el mismo itervlo. sí, e cd itervlo i, i cosiderremos dos posiles figurs, l cred co rectágulos de se i i ltur m i l cred co rectágulos de se i i ltur M i. Sumdo ls áres de los rectágulos, oteemos: Sum iferior Sum superior E el primer cso oteemos u proimció por defecto del áre ecerrd jo l curv: s m m m mi i i i Est sum se deomi sum iferior de l prtició e el itervlo,. E el segudo cso oteemos u proimció por eceso del áre ecerrd jo l curv. S M M M M i i i i Est sum se deomi sum superior de l prtició e el itervlo,. Hemos oteido dos proimcioes del áre, u por defecto s otr por eceso S. Se tiee que s S. Si teemos u prtició P del itervlo,, co sum iferior s sum superior S, diremos que otr prtició P del itervlo, es más fi que P si cotiee todos los putos de l prtició P demás otros putos uevos. Pr dich prtició P, teemos u sum iferior s u sum superior S. Se verific que: s s S S Es decir, l tomr u prtició más fi, l sum iferior umet (siedo todví meor o igul que el vlor del áre) l sum superior dismiue (siedo mor o igul que el vlor del áre). Prtició P Prtició P Prtició P Prtició P Esto sigific que cuto más fi se l prtició, más os cercmos l verddero vlor del áre. Cosiderdo u sucesió de prticioes cd u más fi que l terior, P, P,, P, P,, otedremos s, s,, s, s, l sucesió de áres por defecto S, S,, S, S, l sucesió de áres por eceso. Cudo, l logitud de los itervlos de l prtició se hce cd ve más pequeñ, luego i i. sí, cudo l fució se itegrle, ls sums iferiores superiores tederá l áre: S s lim S s lim S lim s, de quí: lim S lim s Esto sigific que º de Bchillerto. Mtemátics. ls Ciecis Sociles II. Cpítulo 7: Itegrles utores: Letici Goále Álvro Vldés LirosMreVerde.tk Revisores: Mrí Molero Jvier Rodrigo

133 Sum iferior superior co l prtició P Sum iferior superior co l prtició P.. Itegrl defiid Se u fució f cotiu o egtiv e u itervlo,. Defiimos l itegrl defiid etre de f como l epresió f d Su vlor es el áre compredid etre l gráfic de f, el eje de sciss ls rects. Los vlores se llm ites de itegrció. Hemos visto que dd u sucesió de prticioes P, P,, P, P, del itervlo,, cd u más fi de l terior, co sums iferiores s, s,, s, s, sums superiores S, S,, S, S,, se verific que dichs sums tederá l verddero vlor del áre. Se tiee que: f d lim S lim s l sum del áre de todos los rectágulos de ltur Propieddes:, es decir, que l itegrl se puede iterpretr como:. Si los ites de itegrció so igules, l itegrl defiid vle cero. f d. Si l curv está por ecim del eje X f, l itegrl es positiv, f d, mietrs que si l curv está por dejo del eje X f, se puede defiir tmié l itegrl defiid, que será egtiv: f d. º de Bchillerto. Mtemátics. ls Ciecis Sociles II. Cpítulo 7: Itegrles utores: Letici Goále Álvro Vldés LirosMreVerde.tk Revisores: Mrí Molero Jvier Rodrigo Áre f se ifiitesiml (d) compredidos etre c. Se c,, etoces podemos descompoer l itegrl de l form: f d f d f d. c. Si itercmimos los ites de itegrció, l itegrl cmi de sigo. f d f d. Dds dos fucioes f g cotius e el itervlo,, se tiee que: f gd f d gd f g d f d g d. Dd u fució f cotiu e el itervlo, u costte k R, se tiee que: k f d k f 7. - Dds dos fucioes f g cotius e,, verificdo f g,, se tiee: f d gd.. Teorem del vlor medio del cálculo itegrl Dd u fució f cotiu e el itervlo que f d f c,, etoces eiste u puto c, tl. Iterpretció geométric: Siedo l itegrl u áre, l iterpretció geométric es simple: Eiste u puto c, tl que el áre ecerrd etre l curv, el eje de sciss ls rects es igul l áre de u rectágulo de se l mplitud del itervlo,, ltur el vlor que tom l fució e el puto itermedio, f c. d

134 Ejemplo: Ecuetr los vlores de c que verific f d f c siedo orige rdio, los putos de corte de l mism co el eje OX. Semos que l ecució de l circufereci e el plo es r, sí que pr el prolem que se os plte teemos que f putos de corte co el eje so,,. los Se trt de ecotrr el rectágulo (ul) cu áre coicide co l de l semicircufereci (roj), siedo que l se pr ms figurs está compredid etre los putos,,. Etoces, siedo: h r rect circ r h h h Dee verificrse: El vlor de h correspode l vrile, pero os pide u vlor de. Por tto: r h.. Fució itegrl o fució áre Dd u fució f cotiu e el itervlo fució itegrl o fució áre como: F :, R F f t dt.. Teorem fudmetl del cálculo itegrl Se f u fució cotiu e el itervlo derivle e, F f Demostrció:.899,, pr culquier puto, f l semicircufereci de cetro el, que so los vlores de c que os pide. se defie l, se F f t dt co, pr culquier puto,. h h F f t dt f t F plicdo l defiició de derivd teemos: F h h h h Seprdo l primer itegrl e dos sumdos (propiedd ): h h f t dt f t dt f t dt f t dt F h h h h h plicdo el teorem del vlor medio del cálculo itegrl, c h f t dt f c l fució itegrl. Etoces F es, tl que hfh c h f t dt sí: f c h F f c. h h h h h Como c, h f es cotiu etoces lim f c f, por tto: F f. h ctividd resuelt Si efectur el cálculo de l itegrl idefiid, clcul f si dt f t dt plicdo el teorem fudmetl del cálculo itegrl: f f t Geerlició (): Si e lugr de vlores reles, los ites de itegrció so fucioes reles de vrile rel, se plic l regl de l cde pr oteer: h Se f u fució cotiu e el itervlo, e R se F f t dt co, l fució itegrl. Si h() es derivle, etoces F es derivle e, F f h h pr culquier puto,. º de Bchillerto. Mtemátics. ls Ciecis Sociles II. Cpítulo 7: Itegrles utores: Letici Goále Álvro Vldés LirosMreVerde.tk Revisores: Mrí Molero Jvier Rodrigo dt

135 Geerlició (): h Se f u fució cotiu e el itervlo, e R se F f t dt co, l fució itegrl. Si h() g g() so derivles, etoces F es derivle e, F f h h f g g pr culquier puto,. ctividd resuelt Si efectur el cálculo de l itegrl idefiid, clcul f si dt f t plicdo el teorem fudmetl del cálculo itegrl: dt f f.. Regl de Brrow Si t º de Bchillerto. Mtemátics. ls Ciecis Sociles II. Cpítulo 7: Itegrles utores: Letici Goále Álvro Vldés LirosMreVerde.tk Revisores: Mrí Molero Jvier Rodrigo f es u fució cotiu e el itervlo, F es u primitiv de f, etoces: d F F suele represetrse como: f d F Demostrció: Se tiee que F es u primitiv de f G f t dt tmié es u primitiv de f costte: G F C G FC F F f. Por otro ldo, plicdo el teorem fudmetl del cálculo itegrl,. l ser dos primitivs de l mism fució, sólo se difereci e u Evludo ls dos epresioes teriores e el puto, teemos: G F C G F C F C C F G f t dt G f t dt Evludo hor dichs epresioes teriores e el puto, teemos: G F C G F C G F F f t dt F G f t dt G f t dt Etoces, pr plicr l Regl de Brrow se sigue los siguietes psos: f. Clculmos u primitiv F de. Hllmos los vlores de es fució etre : F F. Clculmos l itegrl f d F F F Ejemplos: d. F L fució f es u fució poliómic, luego es cotiu e todo R, por tto es cotiu e el itervlo [, ].. - Clculmos u primitiv de f : d. - Hllmos el vlor de es primitiv pr los etremos del itervlo: F F F. plicmos l regl de Brrow: d F F d. L fució 7 7 f es u fució poliómic, luego es cotiu e todo R, por tto es cotiu e [, +].. - Clculmos u primitiv de f : d. - Hllmos el vlor de es primitiv pr los etremos del itervlo restmos: 7 d

136 º de Bchillerto. Mtemátics. ls Ciecis Sociles II. Cpítulo 7: Itegrles utores: Letici Goále Álvro Vldés LirosMreVerde.tk Revisores: Mrí Molero Jvier Rodrigo ctividdes propuests 7. Resuelve ls siguietes itegrles defiids: ) d ; ) d ; c) d ; d) d ; e) se d ; f) e d l 8. Hll el vlor de c que verific c f d ro su iterpretció geométric. 9. Si efectur el cálculo de l itegrl idefiid, clcul f si e dt f l.7. pliccioes de l itegrl defiid Áre ecerrd jo u curv Pr clculr el áre compredid etr l gráfic de u fució f el eje de sciss e u itervlo e el que l gráfic prece por ecim por dejo del eje X, es ecesrio hllr cd u de ls áres por seprdo. E los suitervlos e los que l gráfic está por dejo del eje X, l itegrl será egtiv, tomremos el vlor soluto e tod l itegrl. Áre F F F F F F d f d f d f Desde el puto de vist práctico, si teemos l represetció gráfic de l fució se puede plter el áre como sum o rest de ls regioes dode l fució es positiv o egtiv, respectivmete. Ejemplo: Hll el áre ecerrd etre l gráfic de l fució f, el eje X ls rects. L fució f es u fució poliómic, luego es cotiu e todo R, por tto es cotiu e el itervlo [, ]. L gráfic de f es u práol cócv (). Clculmos el vértice: Si f Teemos:, V Clculmos los putos de corte de l fució co el eje X. Pr ello, resolvemos l ecució f : f,, Represetdo l fució f ls rects oservmos que el áre que queremos clculr se divide e tres regioes. Hllmos u primitiv de f : d Hemos oteido tres regioes. El áre totl será l sum del áre de cd regió: Áre d d d F F F F F F 7 7 u Por tto, el áre de l regió es igul 7 u Tmié podrímos plter, que teemos l represetció gráfic de l fució: Áre Áre Áre Áre d d d Áre u Propieddes:. Si l fució es impr, l itegrl defiid e u itervlo simétrico respecto l orige es ul:

137 7 f es impr, Si f d. Si l fució es pr, l itegrl defiid e u itervlo simétrico respecto l orige es: Si f es pr, f d f d Pr eteder ests dos propieddes os st co ver ls gráfics de cd tipo de fució. - Si l fució es impr, es simétric respecto l orige de coordeds defie dos recitos de sigo opuesto e igul áre mos ldos del orige. l sumrl, el resultdo es ulo. - Si l fució es pr, es simétric respecto l eje OY defie dos recitos de igul sigo e igul áre. Fució impr Fució pr ctividd resuelt Clcul el áre de u círculo de rdio r. Podemos elegir l uicció de l circufereci, sí que l cetrmos e el orige. Pr este cso, l ecució de u circufereci de rdio r es: r r Podemos provechr l simetrí del prolem clculr el áre prtir del recito r del primer cudrte: r d L primitiv se resuelve co el cmio: r se t d r cost dt proporcio: r d r rcse r C r plicdo l regl de Brrow oteemos: r r r d r rcse r r r r rcse r r r r rcse r r r r r Áre compredid etre dos curvs El áre compredid etre ls gráfics de ls fucioes Es decir, llegmos l coocid fórmul: f, es igul que l áre que se ecierr etre l fució difereci g e ese itervlo. f gd Siedo g g e el itervlo f el eje X f. Si o se determi qué fució está por ecim de l otr, podemos escriir l epresió geerl: f g d Si emrgo, desde el puto de vist práctico, e el cso e el que ls fucioes f g teg vrios putos de corte, será coveiete hllr ls diferetes regioes determir ls áres por seprdo. Ejemplo: Hll el áre compredid etre ls gráfics de ls fucioes f g etre ls rects. Ls represetcioes gráfics de f g so u práol u rect, respectivmete, sí que es de esperr que h dos cortes etre ells, por tto, es posile que h vris regioes diferecids teer e cuet. L gráfic de f es u práol cove. Hllmos su vértice: Si f 8 V,. Clculmos los putos de corte de l fució co el eje X, resolviedo l ecució f : f º de Bchillerto. Mtemátics. ls Ciecis Sociles II. Cpítulo 7: Itegrles utores: Letici Goále Álvro Vldés LirosMreVerde.tk Revisores: Mrí Molero Jvier Rodrigo

138 8 L gráfic de g es u rect. Pr diujrl, st co oteer dos putos: Pr determir l regió de l que queremos clculr el áre, l represetmos, juto co los ites de itegrció Buscmos los putos de corte etre ls dos fucioes, resolviedo l ecució f g: f g Áre Por tto, el áre que queremos clculr será: f g Hllmos u primitiv de f g: f g f g f gd d Hemos oteido dos regioes. El áre totl será l sum del áre de cd regió: Áre d d 9 Por tto, el áre de l regió es igul u F F F F u d RESUMEN CUDRO DE PRIMITIVS d C f d f + C f d f d + f f d f C f g d f d gd f l, f d l f f f ( ) f e f d e + C f f d + C,, > cos f f d se f C se f f d cos f C sec f tg f f d sec f C sec f f d tg f C cosec f f d cotg f C Método de itegrció por cmio de vrile Método de itegrció por prtes. gf f d t f dt f d ; gt dt Gt C F G f C. f d g t d gdt t ; f g t g t dt G t C F G g u dv u v v du Regl de Brrow f d F F F Áre etre u curv el eje OX Áre etre dos curvs f g f d d C C º de Bchillerto. Mtemátics. ls Ciecis Sociles II. Cpítulo 7: Itegrles utores: Letici Goále Álvro Vldés LirosMreVerde.tk Revisores: Mrí Molero Jvier Rodrigo

139 9. - Siedo que d C ) d ) d ) d 7) d EJERCICIOS Y PROBLEMS. f f f d C, clcul: ) d ) 7 d ) 7 d 8) d 9) ) d ) d ) d ) d ) d ) d ) d 7) d e 8) d 9) d ) e d ) d ) d ) d ) d ) d ) d 7) d 8) ( 7) d 9) d ) d ) d ) d ) d d ) d ) d ) d 7) 8) d 9) ( ) d ) d ) d d ) ) ) 7d ) d d 7 8 d ) d 7) 8) d 9) d ) d ) d ) e e d ) se cos d l se ) cos se d ) d ) d cos e 7) d 8) tg sec sec d 9) l d ) d e tg. - Siedo que d l C f ' d f C l, clcul: f d ) ) d ) ) d d ) d ) d 7) d 8) d 9) d ) d ) d ) d ) d l ) d ) e e d e ) e d 7) tg d 8) cotg d 9) d ) se cos l cos ) se cos d ) se cos se ) cotg d se cos º de Bchillerto. Mtemátics. ls Ciecis Sociles II. Cpítulo 7: Itegrles utores: Letici Goále Álvro Vldés LirosMreVerde.tk Revisores: Mrí Molero Jvier Rodrigo d

140 f, e f f d e C. - Si e d e C, d C l f f ' f d C, clcul: l ) d ) d ) e d ) e d ) ) e d 7) e d ) e d e d 9) e d e 8) e l ) d e ) d ) e cos d se e d ) d e cos ) e se d e ) cos e d 7) e se d 8) e d e tg 9) e sec d ) d ) d. - Siedo que se d cos C, f se f d cos f C, cos d se C cos f f d se f C clcul: ) se 8d ) se d ) cos d se cos ) se d ) d ) se d 7) e cos e d 8) cos se d sel 9) d f. Si d tg d tg C d f f d f C tg ' tg, clcul: cos cos f ) tg d ) tg d ) tg d. Hll el vlor de ls siguietes itegrles, usdo u cmio de vrile: ) d ) d ) d ) d ) d ) e d 7) se se cos d 8) d e cos cos 9) d ) se d ) e d ) e e d e 7. Hll el vlor de ls siguietes itegrles, usdo el método de itegrció por prtes: ) cos d l ) se d ) l d ) l d ) d ) e cos d 8. Hll el vlor de ls siguietes itegrles defiids: ) d ) d ) se d ) se d ) d ) d 7) d 8) d 9. Hll el vlor de pr que se cumpl d. f, el eje de sciss ls rects.. Hll el áre etre l fució. Hll el áre de l regió limitd por l fució f el eje de sciss.. Hll el áre delimitd por ls gráfics: ) e. ) f g ; c) f g º de Bchillerto. Mtemátics. ls Ciecis Sociles II. Cpítulo 7: Itegrles utores: Letici Goále Álvro Vldés LirosMreVerde.tk Revisores: Mrí Molero Jvier Rodrigo

141 UTOEVLUCIÓN. Los vlores de, c pr los que F e c se f 7 e cos so: es u primitiv de l fució ), 7, ; ), 7, ; c), 7, ; d), 7,. L itegrl imedit d vle: ) C ; ) C. L itegrl d vle: c) C ; d) C ) l C ; ) l C c) l C ; d) l C. l itegrr por prtes se d se otiee: ) se cos C ; ) cos se C c) cos se C ; d) se cos C. L itegrl d vle: ) C ; ) C ; c) ; d) C. L itegrl e cos e d vle: ) se e C ; ) e se e se C c) C ; d) e se e C e 7. L itegrl defiid cos d vle: ) ; ) c) ; d) 8. El áre compredid etre l gráfic de l fució f, el eje de sciss ls rects = = vle: ) 8/; ) / c) /; d) / 9. El áre compredid etre ls gráfics de ls fucioes f g vle: ) 9/; ) 9/ c) 7/; d). L regl de Brrow sirve pr : ) clculr determites de orde ; ) resolver sistems de ecucioes; c) resolver itegrles defiids; d) clculr l proilidd de sucesos. () Clcul u primitiv de l fució f pédice: Prolems de itegrles e ls P..U. () Clcul hciedo el cmio de vrile e t : () Clcul e cos d e ) e d e e ) e () Cosider l fució. ) Determi l rect tgete e el puto e que l fució lc su máimo reltivo. ) Diuj el recito limitdo por l curv l rect tgete terior. c) Hll el áre del recito del prtdo (). () Cosider l fució f se f, el eje OX ls rects =. ) Clcul el áre del recito terior.. ) Diuj el recito cotdo por l gráfic de () ) Diuj el recito plo limitdo por l práol = ls tgetes l curv e los putos de itersecció co el eje de sciss. ) Hll el áre del recito diujdo e (). d º de Bchillerto. Mtemátics. ls Ciecis Sociles II. Cpítulo 7: Itegrles utores: Letici Goále Álvro Vldés LirosMreVerde.tk Revisores: Mrí Molero Jvier Rodrigo

142 si (7) Se l fució f : R R defiid por f. ) H u diujo proimdo de l gráfic de l si fució f. ) Clcul el áre del recito limitdo por l fució f, el eje de sciss l rect =. (8) Se l práol. ) Hll l ecució de l tgete l gráfic de es curv e el puto de scis =. ) H u diujo proimdo del recito limitdo por l gráfic de l práol, el eje OY l rect tgete hlld teriormete. c) Clcul el áre del recito terior. (9) Cosider ls curvs f g. ) Ecuetr sus putos de itersecció. ) Represet el recito limitdo que ecierr etre ells. c) Ecuetr el áre del recito limitdo por ls dos curvs. () Dd l fució f cos, usc el vlor del úmero rel siedo que f d () Ls curvs e, e l rect limit u recito fiito e el plo. ) Diuj u esquem del recito. ) Clcul su áre. () Se cosider l curv de ecució. ) Clcul l ecució de l rect tgete l gráfic de es curv e el orige. ) Diuj u esquem del recito limitdo por l gráfic de l curv l rect hlld. c) Clcul el áre de ese recito. f 9. ) Clcul los itervlos de crecimieto decrecimieto () L derivd de u fució f es f. ) Determi l fució f siedo que los máimos míimos de f. () L gráfic de l práol divide l cudrdo de vértices,, B,,, plos. ) Diuj l gráfic de l fució los recitos. ) Clcul el áre de cd uo de ellos. f siedo que su derivd es f e que f e. C, D e dos recitos () ) Clcul l fució ) Demuestr que f tiee u etremo reltivo e u puto del eje de sciss ro si es máimo o míimo. () Ls gráfics de l curv de l práol ecierr u recito plo. ) Diuj ese recito. ) Clcul su áre. si (7) Se f : R R l fució defiid por f m si. ) Clcul m pr que f se cotiu e todo si su domiio. ) Pr esos vlores hlldos, clcul el áre del recito limitdo por l gráfic de f l rect =. si (8) Se l fució f : R R defiid por f. ) Diuj l gráfic de l fució. ) Hll el áre del si recito limitdo por l gráfic de f el eje de sciss. (9) L curv l rect limit u recito fiito e el plo. ) Diuj u esquem del recito. ) Clcul su áre. () L práol l rect limit u recito fiito e el plo. ) Diuj u esquem del recito. ) Clcul su áre. () L curv l rect limit u recito fiito e el plo. ) Diuj u esquem del recito. ) Clcul su áre. () Se cosider l práol. ) Clcul l ecució de ls rects tgetes l gráfic de l práol e los putos de corte co el eje OX. ) Diuj u esquem del recito limitdo por l gráfic de l práol ls rects hllds teriormete. c) Clcul el áre de ese recito. si () Se cosider l fució f. ) Determi el vlor de k > pr que l fució se cotiu e e k si el itervlo,. ) Supoiedo que k, hll l rect tgete e. c) Supoiedo que k, hll el áre que l fució determi co el eje OX, pr,. () ) Resuelve por prtes l siguiete itegrl: l d f l,. ) De tods ls primitivs de clcul l que ps por el puto º de Bchillerto. Mtemátics. ls Ciecis Sociles II. Cpítulo 7: Itegrles utores: Letici Goále Álvro Vldés LirosMreVerde.tk Revisores: Mrí Molero Jvier Rodrigo

143 () L gráfic de l práol 8 l rect ecierr u recito plo. ) Diuj proimdmete dicho recito. ) Clcul el áre de ese recito. () L gráfic de l curv f ls rects ecierr u recito plo. ) Diuj proimdmete dicho recito. ) Clcul el áre de ese recito. (7) Eso l gráfic de l práol 7 hll el áre de l regió del plo determid por l práol l rect que ps por los putos,,. (8) Se dispoe de u chp de cero que puede represetrse por l regió del plo determid por l práol l rect. ) Represet gráficmete l chp clcul su áre. ) Determi ls dimesioes del rectágulo de áre máim que se puede oteer prtir de dich chp co l codició de que uo de sus ldos esté e l rect. (9) Represet gráficmete ls práols clcul el áre que ecierr. () Se cosider l fució f. ) Hll los máimos, míimos putos de ifleió. ) Pr,, eso l gráfic de l fució clcul el áre compredid etre ell el eje X. () Se cosider l fució f. ) Hll sus sítots, máimos míimos. ) Represet gráficmete l fució. c) Hll el áre delimitd por l fució el eje OX, pr. () Si represet el volume de producció de u fáric, el coste mrgil de l mism viee ddo por l fució f 8. Se pide: ) Ecuetr l fució del coste totl F, si se se que dich fució viee dd por l primitiv F de f que verific que F, () L fució de costes mrgiles de u empres es f. ) Estudi represet gráficmete l fució f e el itervlo. Clcul el áre limitd por l curv el eje X etre.. Se pide: ) Ecuetr l primitiv F de f verificdo que F. ) Estudi represet gráficmete l fució f. Clcul el áre limitd por l curv el eje X etre. f ( > ). Si f ' represet su derivd, ) Clcul el áre limitd por l curv el eje X etre. f, dode es u costte, ) Si se supier que f dode f ' es l derivd de f, cuáto vldrí? ) Diuj l fució f si hll el áre limitd por l curv el eje X etre () Se l fució () Dd l fució. f. ) Diuj l fució f. Hll. Si f represet su derivd, ) Ecuetr u primitiv F de f verificdo () Se l fució f F f. ) Diuj l fució f. Clcul el áre limitd por l curv el eje X etre. (7) Dd l fució f 8, ) Si f represet l derivd de f, ecuetr u primitiv F de f tl que F f '. B) Diuj l fució f. Hll el áre limitd por l curv el eje X etre. (8) ) Dd l fució f, dode es u costte, ecuetr u primitiv de f hll el vlor de pr que si f es l derivd de f, etoces f. ) Diuj l fució f, el áre limitd por l curv el eje de sciss etre los putos de sciss.,e f l (9) Determi l fució primitiv el áre jo l curv e el itervlo de l fució. () Euci l regl de Brrow plícl l fució f e e el itervlo,. hll º de Bchillerto. Mtemátics. ls Ciecis Sociles II. Cpítulo 7: Itegrles utores: Letici Goále Álvro Vldés LirosMreVerde.tk Revisores: Mrí Molero Jvier Rodrigo

144 CPÍTULO 8: PROBBILIDD. PROBBILIDD.. Álger de sucesos Eperimeto letorio U feómeo o eperimeto letorio es quel que, mteiedo ls misms codicioes e l eperieci, o se puede predecir el resultdo. Ejemplos: So eperimetos letorios: ) Lr u ddo otr el úmero de l cr superior. ) Lr tres ddos otr los úmeros de ls crs superiores. c) Si e u ur h ols lcs rojs, scr u l r otr el color. d) Tirr u moed tres veces otr el úmero de crs oteido e) Scr, si reemplmieto, cico crts de l rj. f) rir u liro otr l pági por l que se h ierto. Si emrgo, soltr u ojeto compror que ce, clculr el coste de l frut que hemos comprdo siedo el peso el precio por kg, clculr el coste del recio de l compñí telefóic siedo el gsto o so eperimetos letorios. ctividdes propuests. Idic si so, o o, feómeos letorios: ) El úmero de hittes de ls provicis espñols. ) El áre de u cudrdo del que se cooce el ldo. c) Tirr tres ddos otr l sum de los vlores oteidos. d) Ser si el próimo ño es isiesto. Suceso, suceso elemetl, espcio muestrl l relir u eperimeto letorio eiste vrios posiles resultdos o sucesos posiles. Siempre se otedrá uo de los posiles resultdos. Se llm suceso elemetl cd uo de los posiles resultdos de u eperimeto letorio. El cojuto de los posiles resultdos de u eperimeto letorio se deomi espcio muestrl, E. U suceso S es u sucojuto del cojuto de posiles resultdos, es decir, del espcio muestrl: S E. Ejemplos: Los posiles resultdos l tirr u moed so que slg cr o slg cru. El cojuto de sucesos elemetles es {cr, cru}. El cojuto de posiles resultdos de los eperimetos letorios siguietes: ) Etrer u ol de u ols co 9 ols lcs 7 egrs es E = {lc, egr}. ) Scr u crt de u rj espñol es E = {s de Oros, O, O,, SO, CO, RO, s de Cops,, RC, s de Bstos,, RB, s de Espds,, RE} l lr u ddo, el cojuto de posiles resultdos es E = {,,,,, }, el suceso oteer pr es = {,, }, el suceso B oteer impr es B = {,, }, el suceso C oteer múltiplo de es C = {, }, el suceso D scr u úmero meor que es D = {, }. l lr dos moeds el cojuto de posiles resultdos es E = {(C, C), (C, +), (+, C), (+, +)}. El suceso scr cero crs es = {(+, +)}, el suceso scr u cr es B = {(C, +), (+, C)} el suceso scr dos crs C = {(C, C)}. ctividdes propuests. Escrie el cojuto de posiles resultdos del eperimeto letorio: Escriir e seis trjets cd u de ls letrs de l plr MONED scr u l r.. Escrie el cojuto de posiles resultdos del eperimeto letorio: Scr u ol de u ols que tiee ols egrs, rojs lcs.. Ivet dos sucesos del eperimeto letorio: Tirr dos ddos. Opercioes co sucesos Ddos dos sucesos B: L uió: B se verific si ie se verific o ie se verific B. L itersecció: B se verific si se verific demás se verific B. L difereci: B se verific si se verific o se verific B. L uió, itersecció difereci de dos sucesos letorios, so tmié sucesos letorios, pues so sucojutos del espcio muestrl. º Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo 8: Proilidd utor: Dvid Mird LirosMreVerde.tk Revisores: Álvro Vldés Letici Goále Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

145 Ls opercioes co sucesos verific ls misms propieddes que ls opercioes co cojutos: socitiv: ( B) C = (B C) ( B) C = (B C) Comuttiv: B = B B = B Distriutiv: (B C) = ( B) ( C) (B C) = ( B) ( C) Simplifictiv: (B ) = (B C) = Lees de Morg: ( B) C = C B C ( B) C = C B C Tods ells puedes comprederls represetdo cojutos usdo digrms de Ve. Ejemplos: l lr u ddo, hemos llmdo l suceso oteer pr: = {,, }, B l suceso oteer múltiplo de : B = {, }. Etoces B = {,,, }, B = {}, B = {, }. ctividdes propuests. Comprue, utilido el ejemplo terior, que se verific ls propieddes del Álger de Sucesos. Por ejemplo: Vmos compror l Le de Morg: ( B) C = C B C : B = {} ( B) C = {,,,, }. = {,, } C = {,, }; B = {, } B C = {,,, }; C B C = {,,,, }.. l scr u crt de u rj espñol, llmmos B l suceso scr u oro l suceso scr u re. Escrie los sucesos: B, B, B, C, ( B) C, C B C. Suceso seguro, suceso imposile suceso cotrrio Se cosider u suceso l espcio muestrl, E, se le deomi suceso seguro. Oserv que l relir el eperimeto letorio es seguro que sle uo de los posiles resultdos, luego es seguro que se verific E. El cojuto vcío es u sucojuto de E luego es u suceso letorio. Como suceso l cojuto vcío,, se le llm suceso imposile. Oserv que como o tiee elemetos es imposile que se verifique. Ddo u suceso, se deomi suceso cotrrio (o suceso complemetrio) de, se escrie, (o, o C, o o), l suceso E, es decir, está formdo por los elemetos del espcio muestrl que o está e el suceso. Sucesos icomptiles Dos sucesos B so icomptiles si B =. E cso cotrrio se llm sucesos comptiles. Ejemplos: l scr u crt de u rj, si = Scr u s B = Scr stos C = Scr u re. Etoces los sucesos B so comptiles pues podemos scr el s de stos, pero los sucesos C so icomptiles pues C =, igu crt es l ve s re. ctividdes propuests 7. Utili u digrm de Ve pr escriir B C como uió de cojutos disjutos. 8. Cosider hor u digrm de Ve co sólo dos cojutos, represet e él l siguiete situció: Se se que e u grupo de trjo de persos, h persos que tom té, 7 que tom cfé B persos que o tom igu eid: ( B) C ) Sum más de? Eso es porque h persos que tom té cfé, cuáts? Escríelo e fució de B, represétlo e el digrm de Ve. B) Cuáts persos sólo tom té cuáts tom sólo cfé? C) Nomr co letrs los cojutos siguietes e idic de cuáts persos está formdos: ) Tom cfé té. ) No tom i cfé i té. c) Tom té o ie tom té. d) Tom té o tom cfé. D) De etre ls persos que tom cfé, cuáts tom tmié té? este cojuto lo omrmos /B. E) Cuáts persos o tom cfé? Nómrlo co letrs e idíclo e el digrm. F) Cuáts persos tom l meos u de ls dos eids? Compr el resultdo co el de ls persos que o tom igu de ls dos medids... sigció de proiliddes Eiste u defiició iomátic de proilidd deid Kolmogorov reltivmete reciete (9), pero tes se hí sido usdo este cocepto por ejemplo por Fermt Pscl e el siglo XVII que se escriiero crts refleiodo sore lo que ocurrí e los juegos de r. Cudo o compredí cómo sigr u determid proilidd, jug muchs veces l juego que fuese veí qué vlor se proim ls frecuecis reltivs. sí, l proilidd de u suceso podrí defiirse como el ite l que tiede ls frecuecis reltivs de ese suceso cudo el úmero de eperimetos es mu lto. Si los sucesos elemetles so equiproles, es decir, todos ellos les podemos sigr l mism proilidd, (si l moed o está trucd, si el ddo o está trucdo ) se puede usr l Relgl de Lplce: Por tto: Pr clculr proiliddes se us dos técics, u eperimetl, posteriori, lido ls frecuecis reltivs de que ocurr el suceso, l otr por simetrí, priori, cudo se se que los sucesos elemetles so equiproles, etoces se divide el úmero de csos fvorles por el úmero de csos posiles. Esto último, cudo se puede usr, simplific l form de sigr proiliddes se cooce como Regl de Lplce que dice que: º Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo 9: Proilidd utor: Dvid Mird LirosMreVerde.tk Revisores: Álvro Vldés Letici Goále Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

146 Regl de Lplce Si los sucesos elemetles so equiproles, l proilidd de u suceso es el úmero de csos fvorles dividido por el úmero de csos fvorles l suceso úmero de csos posiles : P( ) úmero de csos posiles L regl de Lplce está sd e el pricipio de ró isuficiete: si priori o eiste igu ró pr supoer que u resultdo se puede presetr co más proilidd que los demás, podemos cosiderr que todos los resultdos tiee l mism proilidd de ocurreci. Le de los Grdes Números Jko Beroulli, e 89, defiió proilidd utilido l Le de los Grdes Números, que dice que l frecueci reltiv de u suceso tiede estilirse cudo el úmero de prues tiede ifiito. ese úmero l que tiede ls frecuecis reltivs lo llmó proilidd. Puedes compreder que est defiició tiee grves icoveietes. No semos cuáts prues deemos relir. H que hcer muchs e ls misms codicioes. Se otiee u vlor proimdo de l proilidd. ctividdes resuelts L proilidd de que slg u l tirr u ddo es /, pues h seis csos posiles {,,,,, }, u úico cso fvorle,, supoemos que el ddo o está trucdo. Si sospechármos que el ddo estuvier trucdo, pr sigr es proilidd hrí que tirr el ddo u motó de veces pr oservr hci qué vlor se cerc l frecueci reltiv de oteer u. L proilidd de scr u úmero pr l tirr u ddo es / = / pues h seis csos posiles {,,,,, }, los cso fvorles so, {,, } supoemos que el ddo o está trucdo, luego todos ellos so equiproles, por lo que plicmos l Regl de Lplce. L proilidd de que l crur l clle te pille u coche NO es /, uque sólo h dos csos posiles, que te pille el coche que o te pille, pues te hrí pilldo u motó de veces. Pr clculr es proilidd se recoge dtos de petoes tropelldos se clcul utilido ls frecuecis reltivs. Si cosidermos u rj espñol de crts elegimos u crt, lguos de los sucesos que puede ocurrir so scr u cop, o scr u cllo, o scr el cllo de cops Como de temo o semos lo que v ocurrir decimos que estos sucesos so letorios o de r. tes de scr igu crt tods ells so igulmete fctiles, como puede slir u culquier de ls crts decimos que l proilidd, de por ejemplo, scr el cllo de cops es /, l de scr u cop es /, l de u cllo es /. Cuál es l proilidd de scr u re o ie u cop? Y de scr u re demás u cop? Deemos clculr P(re cop), h crts (cso posiles), rees cops, pero está el el re de cops (que lo estrímos cotdo dos veces), luego los cso fvorles so, P(re cop). Deemos clculr P(re cop), como h u úico re de cops, es /. E u clse h chicos chics. Como o se preset die pr ser delegdo sudelegdo se hce u sorteo l r. Cuál es l proilidd de que e l clse tto l delegd como l sudelegd se chics? Los csos posiles so 98, por qué? los csos fvorles so, por qué?, de cuerdo co l Le de Lplce, úmerodecsos fvorlesl suceso l proilidd pedid es P ( ) ' úmerodecsos posiles 98 ctividdes propuests 9. Clcul l proilidd de que l scr u crt de l rj se u espd.. Pr ser l proilidd de que u recié cido se urdo, te srís e el estudio de ls frecuecis reltivs o l sigrís por simetrí?. Clcul l proilidd de, l tirr u ddo dos veces, scr u dole.. l tirr u ddo, clcul l proilidd de slg u múltiplo de o ie u múltiplo de.. l tirr u ddo, clcul l proilidd de slg u múltiplo de demás u múltiplo de.. l tirr u ddo, clcul l proilidd de slg u úmero meor que o ie u úmero mor que.. l tirr u ddo, clcul l proilidd de slg u úmero meor que demás u úmero mor que.. Tirmos dos ddos. Clcul l proilidd de que l sum de sus crs superiores se Tirmos dos ddos. Clcul l proilidd de que l sum de sus crs superiores meor que 7... iomátic de Kolmogorov El mtemático ruso dre Kolmogorov (9, 987) sádose e ls propieddes del álger de suceso e ls propieddes de ls frecuecis reltivs dio u defiició de proilidd sd e u sistem de ioms. L defiició iomátic de Kolmogorov es más complicd que l que viee cotiució. Pero est simplificció puede serviros: º Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo 9: Proilidd utor: Dvid Mird LirosMreVerde.tk Revisores: Álvro Vldés Letici Goále Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

147 7 Defiició L proilidd es u plicció (fució) que sig cd suceso de u espcio muestrl E u úmero rel que dee verificr ls siguietes propieddes: E R P().- L proilidd del suceso seguro es : P(E) =..- L proilidd de culquier suceso siempre es u úmero o egtivo: P(), pr todo..- Si dos sucesos so icomptiles etoces l proilidd de l uió es l sum de sus proiliddes: Si B = etoces P( B) = P() + P(B). Ls dos últims ls verific tods ls medids. L proilidd es u medid. Cosecuecis de los ioms De estos ioms se deduce ls siguietes propieddes: ) L proilidd del suceso cotrrio es meos l proilidd del suceso: P( ) = P(). Demostrció: E efecto, u suceso su suceso cotrrio so icomptiles, su uió es el suceso seguro. Por lo que usdo los ioms se tiee: = P(E) = P( ) = P() + P( ) P( ) = P(). ) L proilidd del suceso imposile es : P() =. Demostrció: E efecto, el suceso imposile es el suceso cotrrio del suceso seguro, por lo utilido l propiedd terior el iom, se tiee: P() = P( E )= P(E) = =. ) L proilidd de u suceso (fiito) es l sum de ls proiliddes de los sucesos elemetles que lo compoe. Demostrció: E efecto, los sucesos elemetles so icomptiles etre sí, luego si = {,,, } por el iom se tiee que: P() = P{,,, } = P( ) + P( ) + + P( ). Si los sucesos elemetles so equiproles de est propiedd se deduce l regl de Lplce. ctividdes resuelts Cuál es l proilidd de scr l meos u l tirr dos ddos? El suceso scr l meos u es el suceso cotrrio l de o scr igú. L proilidd de o scr u e el primer ddo es /, luego l proilidd de o scr igú es (/)(/). L proilidd de scr l meos u, l ser el suceso cotrrio es: P(Scr l meos u ) = P(No scr igú ) = (/)(/) = /. ctividdes propuests 8. Cuál es l proilidd de o scr u l tirr u ddo? Y de scr u 7? Y de scr u úmero meor que o ie u úmero mor que? 9. l tirr u moed tres veces, cuál es l proilidd de o scr igu cr? Y de scr l meos u cr? Oserv que scr l meos u cr es el suceso cotrrio de o scr igu cr. Sucesos comptiles e icomptiles Ejemplo: l tirr u ddo, cuál es l proilidd de scr u úmero meor que o ie u úmero mor que? = {}, B = {}. Deemos clculr P( B) = P(, } = /. Los sucesos B so icomptiles, o se verific l ve, luego P( B) = P() + P(B) = / + /,H cops oros, igu crt es l ve cop oro, luego l proilidd es /. l tirr u ddo, cuál es l proilidd de scr u múltiplo de o ie u múltiplo de? = {,, }, B = {, }. Deemos clculr P( B) = {,,, } = /. Los sucesos B so comptiles, pues el úmero es l ve múltiplo de de. hor o se verific que l proilidd de l uió se igul l sum de proiliddes, pues: P() + P(B) = / + / = /. Llmmos sucesos icomptiles los que o puede relirse l ve, por lo que su itersecció es el suceso imposile, sucesos comptiles los que puede relirse l ve. Desigmos P( B) l proilidd del suceso se verific o ie se verific B. Hemos visto e el ejemplo que si los sucesos so icomptiles su proilidd es igul l sum de ls proiliddes, pues se verific el iom de Kolmogorov. P( B) = P() + P(B), si B so icomptiles. Pero si B tiee u itersecció o vcí, puede verificrse l ve, hrá que restr esos csos, ess veces e que se verific B l ve. P( B) = P() + P(B) P( B), si B so comptiles. º Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo 9: Proilidd utor: Dvid Mird LirosMreVerde.tk Revisores: Álvro Vldés Letici Goále Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

148 8 Est segud epresió es más geerl que l primer, que e el cso e que B so icomptiles etoces P(B)=. ctividdes resuelts Clcul l proilidd de los sucesos siguietes: ) Scr u sot o u figur; ) No sle u sot o sle u sot; c) Scr u oro o u figur. ) H sots h = figurs (s, sot, cllo re), pero ls cutro sots so figurs, por tto P(Sot Figur) = / + / / = / =. ) H = crts que o so sots, h sots, luego P(o sot sot) = / + / =. Est coclusió es más geerl. Siempre: P( ) =, pues u suceso su cotrrio vimos que verific que P() + P( ) =. c) H oros h figurs, pero h figurs que so l ve oros (s, sot, cllo re), luego P(Oro Figur) = / + / / = / = /. Sucesos depedietes e idepedietes Ejemplo: Teemos u ols co 7 ols rojs ols egrs. Cuál es l proilidd de scr u ol roj? Si scmos dos ols, cuál es l proilidd de scr dos ols rojs? L proilidd de scr u ol roj es 7/. Pero l de scr dos ols rojs, depede! Depede de si volvemos meter e l ols l primer ol roj, o si l dejmos fuer. E el primer cso decimos que es co reemplmieto e el segudo, si reemplmieto. Si l volvemos meter, l proilidd de scr ol roj volverá ser 7/, l proilidd de scr dos ols rojs es 7/ 7/ = 9. L proilidd de est segud ol o depede de lo que hmos scdo, e este cso l proilidd se otiee multiplicdo. Si los sucesos B so idepedietes: P( B) = P() P(B). Pero si l dejmos fuer, hor e l ols sólo h 9 ols de ells sólo qued ols rojs, luego l proilidd de que es segud ol se roj es /9, está codiciod por lo que tes hmos scdo. Se escrie: P(Roj/Roj) se lee proilidd de Roj codiciod her scdo Roj. L proilidd de scr dos ols rojs es hor: 7/ /9 = /9 =. Oserv el digrm de árol comprue que l proilidd de scr primero u ol roj luego u ol egr (o Roj) es 7/ /9 = /9 pues después de scr u ol roj e l ols qued sólo 9 ols de ells so egrs. L proilidd de scr primero u ol egr (o Roj) luego ol Roj es / 7/9 = /9, l de scr dos ols egrs es: / /9 = /9. Los sucesos so depedietes. El que ocurr, o o ocurr, fect l proilidd de B. Por eso se dice que B está codiciodo. Si los sucesos B so depedietes etoces: P( B) = P() P(B/) Pero oserv más coss. P() + P( ) = : 7/ + / = ; /9 + /9 = ; 7/9 + /9 =. P(E) = P( )+P( )+ +P( ) = : /9 + /9 + /9 + /9 = ctividdes resuelts Scmos dos crts de u rj de crts si reemplmieto. Cuál es l proilidd de scr dos oros? Si fuer co reemplmieto l proilidd serí / /, pero l ser si reemplmieto l proilidd del segudo oro viee codiciod por que hmos scdo u oro previmete. hor e l rj o qued crts sio 9, o qued oros sio sólo 9, luego l proilidd es: / 9/9 = /. Oserv que: Si dos sucesos so depedietes etoces: P(B/) P(B). Pero si dos sucesos so idepedietes etoces: P(B/) = P(B/ ) = P(B). Por tto l epresió: P( B) = P() P(B/) es geerl, que si los sucesos so idepedietes etoces P(B/) = P(B) por tto P( B) = P( B) = P() P(B/) = P() P(B). º Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo 9: Proilidd utor: Dvid Mird LirosMreVerde.tk Revisores: Álvro Vldés Letici Goále Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

149 9 ctividdes propuests. E tu cudero h u digrm e árol similr l terior co los sucesos B: = scr u oro e l primer etrcció, = o scr oro, B = scr u oro e l segud etrcció, B = o scr oro e l segud etrcció. Cuál es l proilidd de scr oro e l segud etrcció codiciodo o herlo scdo e l primer? Y l de o scr oro e l segud etrcció codiciodo o herlo scdo e l primer? Cuál es l proilidd de scr dos oros? Y l de scr u solo oro? Y l de scr l meos u oro?. E el digrm de árol terior idic cul es l proilidd de o sle oros l de o sle igú oro.. l tirr dos veces u ddo clcul l proilidd de scr l meos u. ud: Quiás te se más fácil clculr l proilidd de o scr igú, utilir el suceso cotrrio.. Lmos dos ddos que o esté trucdos otmos los úmeros de su cr superior. Cosidermos el suceso que l sum de ls dos crs se, el suceso B que esos úmeros difier e dos uiddes. ) Clcul P() P(B). ) Clcul ls proiliddes de: P( B); P( B); P( B ); P( B); P( B ). c) Clcul P(/B); P(/ B ); P( /B).. L proilidd del suceso es /, l del suceso B es / l de l itersecció es /8. Hll: () L proilidd de que se verifique lguo de los dos. () L proilidd de que o ocurr B. (c) L proilidd de que o se verifique i i B. (d) L proilidd de que ocurr si se h verificdo B. Selectividd. Septiemre 9. E u supermercdo se h estudido el úmero de clietes que compr tres productos, B C. Del estudio se h oteido que u % de los clietes compr el producto u % compr el producto B. demás, u % compr B, u % compr C igú cliete que compre C compr tmié B. () Cuátos clietes compr úicmete el producto B? () Siedo que u cliete h comprdo, cuál es l proilidd de que tmié h comprdo C pero o B? Selectividd. Curso 9/97. Se B dos sucesos socidos u eperimeto letorio. Siedo que P() = /, P(B) =/ P(UB) = 7/, hllr: ) L proilidd de que se verifique B. ) L proilidd de que se verifique o B. c) L proilidd de que o se verifique i i B. d) L proilidd de que o se verifique, si o se h verificdo B. Selectividd. Septiemre Se B dos sucesos letorios tles que: P ( ), P( B), P( B) Clculr: P( B), P( B), P( / B), P( B / ). Selectividd. Septiemre 7 8. Se cosider dos sucesos B tles que: P() =, P(B ) =, P( U B) =. 9. Clcul rodmete: () P( B). () P(B). (c) P ( B / ) (d) P ( / B) Selectividd. Septiemre Not. S deot el suceso complemetrio del suceso S. P(S T) deot l proilidd del suceso S codiciod l suceso T... Tls de cotigeci digrms de árol Digrms de árol Ejemplo: Se hce u estudio sore eergís ltertivs e u pís el % de l eergí ltertiv es eergí solr, el % eólic el resto otros tipos de eergís. Represet est situció co u digrm de árol. ctividdes resuelts Se cosider que el % de los icedios forestles se dee egligecis, tomdo este dto como u proilidd, cuál es l proilidd de que l cosiderr dos icedios, l meos uo se de egligecis? Llmmos N l suceso icedio deido egligeci co P(N) =, N = on l suceso icedio deido u cus distit u egligeci co P( N ) =. Represetmos l situció e u digrm de árol. L cus de u icedio se cosider idepediete de l cus del segudo icedio, por lo que teemos que: P(N, N) = = que es l proilidd de que tto e el primer icedio º Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo 9: Proilidd utor: Dvid Mird LirosMreVerde.tk Revisores: Álvro Vldés Letici Goále Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

150 como e el segudo l cus se u egligeci. P(N, N ) = = que es l proilidd de que el primer icedio se de u egligeci el segudo o. P( N, N) = = P( N, N ) = = L proilidd de que l meos uo h sido por egligeci l podemos clculr sumdo ls proiliddes de (N, N), (N, N ) ( N, N) que es + + =. Pero más secillo es clculr l proilidd del suceso cotrrio P(o N, o N) = P( N, N ) = restrl de : P(l meos uo por egligeci) = P(iguo por egligeci) = =. ctividdes propuests. Diuj e tu cudero u digrm e árol pr tres icedios, clcul l proilidd de que l meos uo h sido por egligeci siedo P(N) =.. U fáric de móviles desech ormlmete el, % de su producció por fllos deidos l r. Clcul l proilidd de que: ) l coger dos móviles l r h que desechr mos. ) l coger dos móviles l r h que desechr sólo uo. c) l coger dos móviles l r o h que desechr iguo. d) Verificmos móviles, clcul l proilidd de desechr los tres. e) Clcul l proilidd de l verificr móviles rechr sólo el tercero.. E u erove se h istldo tres dispositivos de seguridd:, B C. Si fll se poe B e fuciomieto, si tmié fll B empie fucior C. Ls proiliddes de que fucioe correctmete cd dispositivo so: P() = 99; P(B) = 9 P(C) = 97. ) Clcul l proilidd de que flle los tres dispositivos. ) Clcul l proilidd de que todo v ie.. Lmos u moed hst que prec dos veces seguids del mismo ldo. Clcul ls proiliddes de que: ) L eperieci termie l segudo lmieto. B) Termie l tercer lmieto. C) Termie e el curto. D) Termie lo sumo e el curto lmieto (es decir, que termie e el segudo o e el tercero o e el curto lmieto). Tls de cotigeci Ejemplo: Se h estudido mil efermos del heptitis C lido por u procedimieto más rto si ls lesioes so grves o leves. Luego se les volvió lir por el procedimieto usul determido qué digósticos hí sido correctos cuáles icorrectos. Los vlores oteidos se represet e l tl: Digóstico correcto Digóstico icorrecto Totles Lesió mlig Lesió eig 8 Totles 98 Determimos l tl de frecuecis reltivs: Digóstico correcto (C) Digóstico icorrecto (I) Totles Lesió mlig (M) Lesió eig (B) 8 Totles 98 ctividd resuelt Imgi que ests frecuecis reltivs pudier tomrse como proiliddes. Iterpret etoces el sigificdo de cd uo de estos vlores. serí l proilidd de que el digóstico de lesió mlig fuese correcto: P(M C). = P(M I); = P(B C); 8 = P(B I). Y? El úmero de lesioes mligs es 8, luego = P(M). Del mismo modo: = P(B); 98 = P(C); = P(I). Oserv que P(M) + P(B) = que P(C) + P(I) =. So sucesos cotrrios. E geerl se deomi tl de cotigecis : No = B P( B) P( B) P(B) No B = B P( B ) P( B ) P( B ) P() P( ) E u tl de cotigeci figur tods ls proiliddes o cotigecis de los sucesos compuestos. Oserv que: Como semos por l proilidd del suceso cotrrio: P() + P( ) = P(B) + P( B ) =. Oserv tmié que: P() = P( B) + P( B ), del mismo modo que P(B) = P( B) + P( B) pues se otiee sumdo respectivmete l primer colum l primer fil. Tmié: P( ) = P( B) + P( B ) P( B ) = P( B ) + P( B ). º Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo 9: Proilidd utor: Dvid Mird LirosMreVerde.tk Revisores: Álvro Vldés Letici Goále Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

151 ctividd resuelt Dd l tl de cotigeci determi si los sucesos B so, o o, depedietes No = B /9 /9 7/9 No B = B /9 /9 /9 /9 = / /9 = / P( B) = P() P(B/), por tto: /9 = / P(B/), lo que os permite oteer: P(B/) = (/9)/(/) = / 7 que es distito de 7/ que es l proilidd de B. Se puede firmr que B so depedietes que P(B/) P(B). ctividdes propuests. Se h hecho u estudio estdístico sore ccidetes de tráfico se h determido ls siguietes proiliddes reflejds e l tl de cotigeci: ccidete e crreter (C) ccidete e o ur (U) Totles ccidete co víctims (V) ccidete co sólo dños mteriles (M) Totles 7 ) Copi l tl e tu cudero complétl. ) Determi ls siguietes proiliddes: P(V C); P(V U); P(M C); P(M U); P(V); P(M); P(C) P(U). c) Clcul P(U/V); P(C/V); P(V/U); P(V/C). So depedietes o idepedietes los sucesos: ccidete co víctims ccidete e crreter?. Ivet u tl de cotigeci cosiderdo que los ccidetes pued ser de crreter (C) o uros (U), pero que hor los clsificmos e leves (L), grves (G) o mortles (M). Oserv que lo fudmetl pr cofeccior l tl es que los sucesos se icomptiles dos dos. Digrms de árol tls de cotigeci Los digrms de árol ls tls de cotigeci está relciodos. Ddo u árol puedes oteer u tl de cotigeci, vicevers. Tiee iterés est relció pues co los dtos del prolem veces es más secillo costruir uo de ellos dr l solució psdo l otro. ctividd resuelt Dd l tl de cotigeci, oteer el digrm de árol que comie co o =. No = B 7 No B = B Coocemos l P() =, P( ) =, P(B) = 7 P( B ) =. Tmié coocemos P( B) = ; P( B ) = ; P( B) = P( B ) =. Nos flt coocer P(B/) que podemos oteer dividiedo P( B) etre P(): P(B/) = P( B)/P() = : = / = /. Del mismo modo clculmos: P( B /) = P( B )/P() = : = / = /. P(B/ ) = P( B)/P( ) = : = /. P( B / ) = P( B )/P( ) = : = /. El árol es el del mrge: ctividd resuelt Recíprocmete, ddo el digrm de árol del mrge oteer l tl de cotigeci: hor coocemos P() = /9 P( ) = /9. demás coocemos: P(B/) = /; P(B/ ) = /7; P( B /) = / P( B / ) = /7. Clculmos, multiplicdo: P( B) = (/9) (/) = / = /; P( B ) = (/9) (/) = 8/; P( B) = (/9) (/7) = / = / P( B ) = (/9) (/7) = /. º Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo 9: Proilidd utor: Dvid Mird LirosMreVerde.tk Revisores: Álvro Vldés Letici Goále Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

152 Rellemos co estos dtos u tl de cotigeci: No = B / / No B = B 8/ / / = /9 / = /9 Clculmos, sumdo, ls csills que os flt, P(B) = (/) + (/) = 9/ P( B ) = (8/) + (/) = / No = B / / 9/ No B = B 8/ / / /9 /9 Puede ser mu itereste psr de u digrm de árol l tl de cotigeci de ést, l otro digrm de árol, co el que podemos coocer: P(/B) = (/)/(9/) = 8/; P( /B) = (/) / (9/) = / P(/ B ) = (8/)/(/) = /9 P( / B ) = (/)/. (/) = /9 ctividdes propuests. Dd l tl de cotigeci, costrue dos digrms de árol. No = B No B = B 8 7. Ddo el digrm de árol del mrge, complétlo clculdo ls proiliddes de ls iterseccioes, costrue l tl de cotigeci socid, después el otro digrm de árol. 8. Se se que e ciert polció, l proilidd de ser homre dltóico es u docevo l proilidd de ser mujer dltóic es u veiticicovo. L proporció de persos de mos seos es l mism. Se elige u perso l r. () Si l perso elegid es homre, hllr l proilidd de que se dltóico. () Si l perso elegid es mujer, hllr l proilidd de que se dltóic. (c) Cuál es l proilidd de que l perso elegid pdec dltoismo? Selectividd Juio 9 9. U cj de crmelos cotiee 7 crmelos de met de fres. Se etre l r u crmelo se sustitue por dos del otro sor. cotiució se etre u segudo crmelo. Hállese l proilidd de que: ) El segudo crmelo se de fres. ) El segudo crmelo se del mismo sor que el primero. Selectividd Septiemre. E u vió de líe regulr eiste clse turist clse preferete. L clse turist ocup ls dos tercers prtes del psje l clse preferete el resto. Se se que todos los psjeros que vij e l clse preferete se hlr iglés que el % de los psjeros que vij e clse turist o se hlr iglés. Se elige u psjero del vió l r. ) Clcúlese l proilidd de que el psjero elegido sep hlr iglés. ) Si se oserv que el psjero elegido se hlr iglés, cuál es l proilidd de que vije e l clse turist? Selectividd Septiemre. U tied de trjes de cllero trj co tres sstres. U % de los clietes tedidos por el sstre o qued stisfecho, tmpoco el 8 % de los tedidos por el sstre B i el % de los tedidos por el sstre C. El % de los rreglos se ecrg l sstre, el % l B el % restte l C. Clcúlese l proilidd de que: ) U cliete o quede stisfecho co el rreglo. ) Si u cliete o h queddo stisfecho, le h hecho el rreglo el sstre. Selectividd Juio. Teemos dos urs, B. L primer co ols lcs 8 ols egrs. L segud co ols lcs ols egrs. Se sc u ol l r, de u de ls dos urs, tmié l r result ser egr. Cuál es l proilidd de que proced de l ur? º Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo 9: Proilidd utor: Dvid Mird LirosMreVerde.tk Revisores: Álvro Vldés Letici Goále Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

153 .. Teorems de l proilidd totl teorem de Bes Thoms Bes e 7 eució el teorem que llev su omre. Sirve pr resolver prolems del tipo de l pági iicil: Coocemos l proilidd de que u efermo que tiee heptitis esté lgo mrillo. Clcul l proilidd de que lguie que esté lgo mrillo, teg heptitis. Es decir permite clculr l proilidd de /B coociedo l proilidd de B/ (o mejor, ls proiliddes de B codiciodo u cojuto de sucesos i tles que so icomptiles dos dos cu uió es todo el espcio muestrl). Vmos eucirlo, pero o te sustes! Y ses resolver prolems e los que se us el Teorem de Bes! No hce flt que te preds l fórmul! Previmete vmos eucir u teorem que tmié hs usdo, el teorem de l proilidd totl, que es como u pso itermedio del teorem de Bes. Eucido del teorem de l proilidd totl Se {,,, } u sistem completo de sucesos icomptiles dos dos, co proiliddes o uls, sum de proiliddes. Se B otro suceso del que coocemos ls proiliddes codiciods: P(B/ i ). Etoces: P( B) P( B / k ) P( k k Eucido del teorem de Bes Se {,,, } u sistem completo de sucesos icomptiles dos dos, co proiliddes o uls, sum de proiliddes. Se B otro suceso del que coocemos ls proiliddes codiciods: P(B/ i ). Etoces: P( B / i ) P( i ) P( B / i ) P( i ) P( i / B) P( B) P( B / ) P( ) Vmos compror que lo ses co u ejemplo secillo, que hs resuelto e ls ctividdes propuests del prtdo terior. Pr resolver prolems tipo Bes st costruir u digrm de árol, luego l tl de cotigeci socid, cotiució el otro digrm de árol. ctividdes resuelts tes de compror que SÍ ses resolver prolems tipo Bes, vmos trjr u poco l omecltur de ls proiliddes codiciods. Escrie co símolos ls siguietes proiliddes: ) Semos que se h verificdo B, cuál es l proilidd de? P(/B) = P( B) : P(). ) Proilidd de B P( B) = P(B ) = P()P(B/) = P(B)P(/B) c) H slido u ol egr (), proilidd de que se de l segud ur (B) P (B/) d) Proilidd de B o P( B) = P(B ) e) El ccidete h sido e crreter (), proilidd de que h sido mortl (B) P (B/) Teemos u cojuto de sucesos {,, } tles que E =, so icomptiles dos dos. Coocemos sus proiliddes: P( ) =, P( ) =, P( ) =. Teemos otros dos sucesos icomptiles, B, de los que coocemos ls proiliddes codiciods P(/ ) =, P(B/ ) =, P(/ ) =, P(B/ ) = 7, P(/ ) =, P(B/ ) =. Queremos clculr P( /B). Cofecciomos u árol co los dtos que teemos. hor podemos clculr ls proiliddes de ls iterseccioes. Y ses que: P( ) = P( ) P( / ) = = P( B) = P( ) P(B / ) = = 8 P( ) = P( ) P( / ) = = P( B) = P( ) P(B / ) = 7 = P( ) = P( ) P( / ) = = P( B) = P( ) P(B / ) = = Llevmos estos resultdos l tl de cotigeci socid: P( ) = P( ) = P( ) = P() = + + = 7 B P( B) = 8 P( B) = P( B) = P(B)= 8+ + = P( ) = + 8 = P( ) = + = P( ) = + = Sumdo colums compromos que o os estmos equivocdo e los cálculos pues ls proiliddes que oteemos: P( ) = + 8 = ; P( ) = + = P( ) = + = so ls coocids. º Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo 9: Proilidd utor: Dvid Mird LirosMreVerde.tk Revisores: Álvro Vldés Letici Goále Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF k ) k k

154 Sumdo por fils oteemos ls proiliddes: P() = + + = 7 P(B) = =. Co ests proiliddes podemos costruir el otro árol. hor es posile clculr ls otrs proiliddes codiciods, utilido ls proiliddes de l itersecció dividiedo: P( /) = P( ) : P() = / 7 = /7 P( /) = P( ) : P() = / 7 = /7 P( /) = P( ) : P() = / 7 = /7 P( /B) = P( B) : P(B) = 8/ = 8/ P( /B) = P( B) : P(B) = / = / P( /B) = P( B) : P(B) = / = / L proilidd pedid P( /B) = 8/ = /7. Oserv que: Vmos repsr los cálculos, pr compreder mejor los teorems de l proilidd totl de Bes. Si mirmos l tl hemos oteido P(B) sumdo l fil como: P(B) = P( B) + P( B) + P( B) Y ls proiliddes de ls iterseccioes ls hemos oteido multiplicdo e el árol: P( B) = P( ) P(B / ) luego: P(B) = P( B) + P( B) + P( B) = P(B / ) P( ) + P(B / ) P( ) + P(B / ) P( ). Teorem de l proilidd totl: P( B) P( B / ) P( k k k E el segudo árol hemos oteido P( /B) dividiedo P( B) : P(B). Pr teer el teorem de Bes st sustituir de uevo l proilidd de l itersecció por el producto, utilir el teorem de l proilidd totl: P( B ) P( B / ) P( ) P( B / ) P( ) P ( / B) P( B) P( B) P( B / ) P( ) Teorem de Bes: P( B / i ) P( i ) P( B / i ) P( i ) P( i / B) P( B) P( B / ) P( ) k º Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo 9: Proilidd utor: Dvid Mird LirosMreVerde.tk Revisores: Álvro Vldés Letici Goále Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF ) k k k k k Teemos dos urs, B. L primer co 8 ols lcs ols egrs. L segud co ols lcs ols egrs. Se sc u ol l r, de u de ls dos urs, tmié l r result ser egr. Cuál es l proilidd de que proced de l ur B? Deemos clculr P(Negr/B). Pr que se prec más l eucido del teorem vmos llmr Blc = Negr =. El cojuto de sucesos {, } verific ls codicioes del teorem de Bes. Por tto queremos clculr P( /B). Podemos costruir el árol del mrge. Por el eucido coocemos ls siguietes proiliddes. Nos dice que l elecció de ur es l r, por tto P() = P(B) = /. Si scmos u ol de l ur semos que P(Blc/) = P( /) = 8/, pues e l ur h ols de ls que 8 so ols lcs. Del mismo modo semos: P(Negr/) = P( /) = /; P(Blc/B) = P( /B) = /, P(Negr/B) = P( /B) = /. Multiplicdo clculmos ls proiliddes de los sucesos compuestos: P( ) = /, P( ) = /, P(B ) = /, P(B ) = /. Estos dtos os permite costruir l tl de cotigeci socid: Blc = Negr = P( ) = / P( ) = / P() = / + / = / B P(B ) = / P(B ) = / P(B) = / + / = / P( ) = / + / = / P( ) = / + / = / = / Comprue cómo se verific el teorem de l proilidd totl: P(B) = / + / = / = P(B ) + P(B ) = P(B/ )P( ) + P(B/ )P( ) Lo mismo pr P(), P(Blc) P(Negr).

155 Y hor costruimos el otro digrm de árol. Coocemos P( ) = / P( ) = /, demás de ls proiliddes de ls iterseccioes, por lo que podemos clculr ls proiliddes codiciods, dividiedo: Por ejemplo: P(/ ) = P( )/P( ) = (/)/(/) = /. Co lo que teemos resuelto uestro prolem pues: P(B / Negr) = P(B / ) = /. Vmos compror que es el mismo resultdo ( los mismos cálculos) que huiérmos oteido usdo l epresió del teorem de Bes: P( / B) P( B) P( / B) P( B) P( B) / P( B / ) P( ) P( / ) P( ) P( / B) P( B) P( ) P( B) / / ctividdes propuests. E u proceso de fricció de omills se detect que el % sle defectuoss. Se utili u dispositivo pr detectrlos que result que detect el 9 % de ls omills defectuoss, pero señl como defectuoss u % que o lo so. ) Clcul l proilidd de que se correct u omill que el dispositivo h clificdo como defectuos. B) Clcul l proilidd de que se defectuos u omill que el dispositivo h clificdo como correct. ud: Utili primero u digrm e árol luego u tl de cotigeci. Selectividd. Se tiee cjs,, B C. L cj tiee ols de ls cules so egrs. L cj B tiee ols co u ol egr. L cj C tiee ols co egrs. Se coge u cj l r de es cj se sc u ol, tmié l r, es egr. Clcul l proilidd de que se h scdo de l cj C.. Teemos u moed trucd cu proilidd de oteer cr es. Si sle cr se escoge l r u úmero del l, si sle cru, se escoge u úmero del l. Clcul l proilidd de que el úmero escogido se impr. Selectividd. l lir ls ctividdes de ocio de u grupo de trjdores fuero clsificdos como deportists o o deportists como lectores o o lectores. Se se que el % de los trjdores se clsificro como deportists o lectores, el % como deportists el % lectores. Se elige u trjdor l r: Selectividd Juio ) Clcúlese l proilidd de se deportist o lector. ) Siedo que el trjdor elegido es lector, clcúlese l proilidd de que se deportist. 7. Tres máquis, B C fric torillos del mismo tipo. L proilidd de que u torillo fricdo e l máqui se defectuoso es, de que lo se uo fricdo e B es de que lo se si h sido mufcturdo e C es E u cj se mecl torillos: de l máqui, de l B 7 de l C. Selectividd Curso / ) Clcúlese l proilidd de que u torillo elegido l r o se defectuoso. ) Elegido u torillo l r result defectuoso. Cuál es l proilidd de que h sido fricdo por l máqui B? 8. U escuel de tció ofrece cursos de iicició perfecciomieto e ls ctegorís pre-ejmí (7-8 ños), ejmí (9- ños) leví (- ños). L siguiete tl cotiee l iformció co el úmero de ddores mtriculdos e cd curso: Selectividd Curso. / Pre ejmí Bejmí leví Totl Iicició 7 Perfecciomieto 9 8 Totl 8 Se elige l r u ddor de l escuel. ) Cuál es l proilidd de que esté e el curso de iicició? ) Cuál es l proilidd de que esté e el curso de perfecciomieto o ie se leví? c) Si el ddor elegido es u ejmí, cuál es l proilidd de que esté e el curso de perfecciomieto? d) Si el ddor elegido está e el curso de iicició, cuál es l proilidd de que se ejmí? 9. E u triul de l prue de cceso ls eseñs uiversitris oficiles de grdo se h emido 8 lumos del colegio, 7 lumos del colegio B lumos del colegio C. L prue h sido superd por el 8 % de los lumos del colegio, el 9 % de los del colegio B por el 8 % de los del colegio C. Juio () Cuál es l proilidd de que u lumo elegido l r h superdo l prue? () U lumo elegido l r o h superdo l prue, cuál es l proilidd de que perteec l colegio B? º Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo 9: Proilidd utor: Dvid Mird LirosMreVerde.tk Revisores: Álvro Vldés Letici Goále Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

156 Sucesos sigció de proiliddes iomátic de Kolmogorov Propieddes de l Proilidd Teorem de l proilidd totl RESUMEN l relir u eperimeto letorio eiste vrios posiles resultdos o sucesos posiles. U suceso es u sucojuto del cojuto de posiles resultdos. U medid Límite l que tiede ls frecuecis reltivs. Regl de Lplce: Si los sucesos elemetles so equiproles etoces: p = csos fvorles / csos posiles.. P(E) =.. P(), pr todo.. Si B = etoces P( B) = P() + P(B). Suceso cotrrio: P(X) + P(oX) =. Sucesos depedietes: P( B) = P() P(B/). Sucesos comptiles: P( B) = P() + P(B) P( B) P( B) P( B / k ) P( k k P( B / Teorem de i) P( i ) P( B / i ) P( i ) P( i / B) Bes P( B) P( B / ) P( ) k Tirmos u ddo. Posiles resultdos = {,,,,, } Suceso oteer múltiplo de = {, } P() = /. P(scr múltiplo de ) = / P(o ) = / = /. P( múl. ) = / + / =/ P scr primero u luego múltiplo de =/ / = / UTOEVLUCIÓN. l tirr dos ddos, l proilidd de scr l meos u es: ) / ) / c) / d) /. l tirr moeds, l proilidd de scr ectmete dos crs es: ) / ) / c) /8 d) /8. l tirr moeds, l proilidd de scr l meos dos crs es: ) / ) / c) /8 d) /8. Scmos u crt de u rj de crts, l proilidd de que se u oro o u múltiplo de es: ) / ) 9/ c) / d) /. Idic cuál de ls firmcioes siguietes es siempre correct: ) P() + P(o) = ; P( B) = P() P(B); P( B) = P() + P(B). El eucido del teorem de Bes es: P( C / i ) P( i ) P( C / i ) P( i ) P( B / ) P( i ) ) P( i / C) ) P( i / B) P( C) P( C / ) P( ) P( B / ) P( ) k k P( B / ) ( ) c) i P P( B / i) P( i ) P( B / i ) P( i ) P( i / B) d) P( i / ) P( B) P( B) P( B / ) P( ) 7. E u ur h ols rojs ols egrs. Se sc dos ols. Llmmos l suceso scr u ol roj, B scr u ol egr. Los sucesos B so: ) Cotrrios ) Icomptiles c) Idepedietes d) Depedietes 8. Scmos u crt de u rj. Llmmos l suceso scr u re B scr u sot. Los sucesos B so: ) Cotrrios ) Icomptiles c) Idepedietes d) Depedietes º Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo 9: Proilidd utor: Dvid Mird LirosMreVerde.tk Revisores: Álvro Vldés Letici Goále Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF k ) k k k k k k k k

157 7 EJERCICIOS Y PROBLEMS. Prolems propuestos e selectividd. Juio 9. Opció B ( putos) Se l dos veces u ddo equilirdo co seis crs. Hllr l proilidd de que l sum de los vlores que prece e l cr superior se múltiplo de tres.. Curso 9/9. Modelo Opció ( putos) E cierto istituto se ofrece iformátic tetro como sigturs opttivs. El grupo cost de estudites, los grupos B C tiee cd uo. El por cieto del grupo h elegido tetro, sí como el por cieto del grupo B el por cieto del resto h elegido iformátic. ) Si se pregut u estudite elegido l r, hllr l proilidd de que h optdo por iformátic. ) Si u estudite h elegido tetro, clculr l proilidd de que perteec l grupo B.. Curso 9/9. Modelo Opció B ( putos) Se se que se h elimido vris crts de u rj espñol que tiee curet. L proilidd de etrer u s etre ls que qued es, l proilidd de que slg u cop es 8 l proilidd de que o se i s i cop es 8. ) Hllr l proilidd de que l crt etríd se s o cop. B) Clculr l proilidd de que l crt se el s de cops. Se puede firmr que etre ls crts que o se h elimido está el s de cops?. Juio 9. Opció. ( putos) E u ciudd e l que h dole úmero de homres que de mujeres, h u epidemi. El % de los homres el % de ls mujeres está efermos. Se elige l r u idividuo. Clculr l proilidd de: ) que se homre. ) que esté efermo. c) que se homre, siedo que está efermo.. Septiemre 9. Opció B. ( putos) U perso despistd tiee ocho clceties egros, seis ules cutro rojos, todos ellos sueltos. U dí co much pris, elige dos clceties l r. Hllr l proilidd de: ) que los clceties se egros. ) que los dos clceties se del mismo color. c) que l meos uo de ellos se rojo. d) que uo se egro el otro o.. Septiemre 9. Opció B. ( putos) Tres persos vij e u coche. Si se supoe que l proilidd de cer e culquier dí del ño es l mism semos que iguo h cido e u ño isiesto, () hllr l proilidd de que solmete u de ells celere su cumpleños ese dí. () clculr l proilidd de que l meos dos cumpl ños ese dí. 7. Curso 9/9. Modelo Opció ( putos) E u ols h siete ols umerds de l 7, e otr ols B h cico ols umerds del 8 l. Se reli l eperieci compuest cosistete e tomr u ol l r de, otr su pridd e itroducirl posteriormete e l ols B, cotiució se etre l r u ol de B se ot tmié su pridd. () Clculr l proilidd de que ls dos ols etríds teg l mism pridd. () Hllr l proilidd de que l ol etríd de B correspod u úmero impr. 8. Juio 9. Opció. ( putos) U ur cotiee ols lcs egrs u segud ur B cotiee ols lcs egrs. Se seleccio u ur l r de ell se etre ols si reemplmieto. Clculr l proilidd de que: () Ls dos ols se lcs. () Ls dos ols se del mismo color. (c) Ls dos ols se de distito color. 9. Juio 9. Opció B. ( putos) De u rj de crts se elige l r simultáemete crts. Hllr: ) Proilidd de que se hll elegido l meos u re. ) Proilidd de que tres de ls cutro crts se del mismo plo.. Septiemre 9. Opció. ( putos) L curt prte de ls prticiptes e u cogreso so espñols. L proilidd de que u cogresist desue té si es espñol es u octvo l proilidd de que tome té si es etrjer, es u tercio. Si se elige u cogresist l r: ) cuál es l proilidd de que desue té? ) cuál es l proilidd de que o se espñol si desu té? c) cuál es l proilidd de que se espñol si o desu té?. Curso 9/97. Modelo Opció (, putos) Pr relir u cotrol de clidd de u producto se emi uiddes del producto etríds l r si reemplmieto de u lote de uiddes. Ls uiddes puede teer defectos de dos tipos, B. Si e el lote de uiddes eiste uiddes co defectos del tipo úicmete, 8 uiddes co defecto del tipo B úicmete, dos uiddes co mos tipos de defecto, se dese determir l proilidd de que e l muestr de tres uiddes etríds se oteg e totl: ) Cero defectos. ) U uidd co defecto del tipo otr co defecto del tipo B, o ie u uidd co mos tipos de defecto. º Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo 9: Proilidd utor: Dvid Mird LirosMreVerde.tk Revisores: Álvro Vldés Letici Goále Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

158 8. Curso 9/97. Modelo Opció ( putos) Se reli l eperieci compuest cosistete e lr l ire u ddo cotiució itroducir u uev ol e u ur que cotiee ols lcs egrs de modo que si el úmero oteido e el ddo es pr, se itroduce e l ur u ol lc, si es impr, se itroduce u ol egr. ) Clcul l proilidd de oteer, l r, ols lcs l relir dos etrccioes sucesivs si reemplmieto de l ur, siedo que l lr el ddo hemos oteido u úmero pr. B) Si se sc simultáemete dos ols l r de l ur después de her ldo el ddo, cuál es l proilidd de que ms se lcs?. Septiemre 97. Opció. ( putos) Trs u estudio relido sore los tists de u ciudd espñol, se h oservdo que el 7 tiee más de ños de estos el % es propietrio del vehículo que coduce. Tmié se h verigudo que el porcetje de tists que o superdo los ños, es propietrio del vehículo que coduce se reduce l %. Se pide: ) L proilidd de que u tist, elegido l r, se propietrio del vehículo que coduce. ) Se elige u tist l r, se comprue que es propietrio del vehículo que coduce, Cuál es l proilidd de que teg más de ños?. Curso 97/98. Modelo Opció ( putos) E dos urs B, se itroduce dos ols lcs u egr, tres ols egrs u lc, respectivmete. Se seleccio u ur l r, se etre tmié u ol de dich ur. Cuál es l proilidd de que l ur escogid se l, si l ol escogid resultó ser lc?. Curso 97/98. Modelo Opció B ( putos) Se dispoe de dos urs B, de idético specto etero. L ur cotiee ols rojs mrills, mietrs que B cotiee ols rojs mrills. U idividuo se dirige u de ls urs etre si reemplmieto, dos ols de l mism. Hllr l proilidd de que: () ms ols se rojs. () Ls dos ols se del mismo color.. Juio 98. Opció. ( putos) Se l u ddo de seis crs, umerds del l, dos veces cosecutivs. () Clcúlese l proilidd de que l sum de los resultdos se igul. () Clcúlese l proilidd de que e el primer lmieto h slido u, siedo que l sum es. 7. Septiemre 98. Opció ( putos) E u eme h tems de máim dificultd, de dificultd medi de escs dificultd, de los cules se elige uo l r. L proilidd de que u lumo pruee el eme si el tem es de máim dificultd es de /, si es de dificultd medi, /, si es de escs dificultd, /. () Hállese l proilidd de que el lumo pruee el eme. () Hállese l proilidd de que el tem elegido h sido de máim dificultd, si el lumo lo proó. 8. Curso98/99. Modelo Opció. (putos) De u ur co cico ols, dos lc tres egrs, etremos dos ols si reemplmieto. Clcul l proilidd de cd uo de los siguietes sucesos: ) = Ls dos ols etríds so del mismo color. ) B = Etremos l meos u ol lc. 9. Curso 98/99.Modelo Opció B. ( putos) Tommos cutro crts diferetes de u rj, dos cicos, u seis u siete. Ls crts se poe oc jo sore u mes ls meclmos l r. Determi l proilidd de que l drles l vuelt, tods ls crts esté ordeds e orde creciete, si los dos cicos so idistiguiles.. Juio 99. Opció. ( putos) Se escuch tres discos se vuelve gurdr l r Cuál es l proilidd de que l meos uo de los discos h sido gurddo e el evoltorio que le correspodí?. Juio 99. Opció B. ( putos) Se cosider u célul e el istte t =. E el istte t = l célul puede: o ie reproducirse, dividiédose e dos, co proilidd /; o ie morir, co proilidd /. Si l célul se divide, etoces, e el tiempo t = cd uo de sus dos descedietes puede tmié sudividirse o morir, co ls misms proiliddes de tes, idepedietemete uo de otro. () Cuáts céluls es posile que h e el tiempo t =? () Co qué proilidd?. Septiemre 99. Opció. ( putos) Se l dos ddos. Clcúlese l proilidd de cd uo de los siguietes sucesos: () = Se otiee cico e lguo de los ddos. () B = Se otiee u dole (los dos ddos preset l mism putució). (c) (d) º Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo 9: Proilidd utor: Dvid Mird LirosMreVerde.tk Revisores: Álvro Vldés Letici Goále Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

159 9. Septiemre 99. Opció B. ( putos) Se dispoe de tres urs, l que cotiee dos ols lcs cutro rojs, l B co tres lcs tres rojs, l C co u lc cico rojs. () Se elige u ur l r se etre u ol de ell, cuál es l proilidd de que est ol se lc? () Si l ol etríd result ser lc, cuál es l proilidd de que proced de l ur B?. Curso 99/. Modelo Opció ( putos) Si se escoge u úmero l r de ciert ciudd espñol, l proilidd de que figure omre de u homre es 7 de que figure omre de u mujer es. E dich ciudd, l proilidd de que u homre trje es 8 de que lo hg u mujer es 7. Se elige u úmero de teléfoo l r. ) Cuál es l proilidd de que correspod u perso que trj? ) Cuál es l proilidd de que correspod u homre, siedo que perteece u perso que trj?. Curso 99/. Modelo Opció B ( putos) U eme cosiste e elegir l r dos tems de etre los die del progrm desrrollr uo. ) Qué proilidd tiee u lumo, que se seis tems de pror el eme? ) Qué proilidd tiee el mismo lumo de serse uo de los dos tems elegidos el otro o?. Juio. Opció. ( putos) De u ur co ols lcs egrs se etre l r, sucesivmete si reemplmieto, dos ols. () Cuál es l proilidd de que ls ols etríds se lcs? () Si l segud ol h resultdo ser egr, cuál es l proilidd de que l primer tmié lo h sido? 7. Juio. Opció B. ( putos) Se B dos sucesos de u eperimeto letorio tls que P() = ; P(B) = () Clcúlese róese si los sucesos B so idepedietes. () Clcúlese 8. Septiemre. Opció. ( putos) L proilidd de que e u mes ddo u cliete de u gr superficie compre u producto es ; l proilidd de que compre u producto B es. Se se tmié que l proilidd de que u cliete compre el producto B o hiedo comprdo el producto es. () Cuál es l proilidd de que u cliete h comprdo sólo el producto B? () Cuál es l proilidd de que u cliete o h comprdo iguo de los productos? 9. Septiemre. Opció B. ( putos) U empres emple tres ufetes de ogdos pr trtr sus csos legles. L proilidd de que u cso se de remitir l ufete es ; de que se remit l ufete B es de que se remit l ufete C es. L proilidd de que u cso remitido l ufete se gdo e los triules es ; pr el ufete B est proilidd es 8 pr el ufete C es,7. () Clcúlese l proilidd de que l empres ge u cso. () Siedo que u cso se h gdo, determíese l proilidd de que lo h llevdo el ufete.. Curso /. Modelo Opció. ( putos) E u ciudd, l proilidd de que uo de sus hittes cesdos vote l prtido es ; l proilidd de que vote l prtido B es l proilidd de que vote l prtido C es. Por otro ldo, ls proiliddes de que u votte de cd prtido le dirimete lgú periódico so, respectivmete, ;. Se elige u perso de l ciudd l r: ) Clcúlese l proilidd de que le lgú periódico. ) L perso elegid lee lgú periódico, cuál es l proilidd de que se votte del prtido B?. Curso /. Modelo Opció B. ( putos) U ur cotiee 7 ols lcs, ols rojs ols egrs. Se cosider el eperimeto letorio cosistete e etrer tres ols de l ur, de form sucesiv si reemplmieto. Se los sucesos B: L primer ol es lc, B: L segud ol es lc B: L tercer ol es lc. ) Eprésese co ellos el suceso Ls ols etríds e primer tercer lugr so lcs, l etríd e segudo lugr o. ) Clcúlese l proilidd del suceso Ls tres ols so del mismo color. º Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo 9: Proilidd utor: Dvid Mird LirosMreVerde.tk Revisores: Álvro Vldés Letici Goále Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

160 . Juio. Opció. ( putos) U fáric produce tres modelos de coche:, B C. Cd uo de los modelos puede teer motor de gsoli o diesel. Semos que el % de los modelos so de tipo el % de tipo B. El % de los coches fricdos tiee motor diesel, el % de los coches del modelo so de tipo diesel el % de los coches del modelo B tiee motor diesel. Se elige u coche l r. Se pide ls proiliddes de los siguietes sucesos: () El coche es del modelo C. () El coche es del modelo, siedo que tiee motor diesel. (c) El coche tiee motor diesel, siedo que es del modelo C.. Juio. Opció B. ( putos) Tres máquis, B C fric torillos. E u hor, l máqui fric torillos, l B l C. Ls proiliddes de que ls máquis produc torillos defectuosos so, respectivmete, de pr, de pr B de pr C. l filir u hor se jut todos los torillos producidos se elige uo l r. () Cuál es l proilidd de que o se defectuoso? () Cuál es l proilidd de que lo h fricdo l máqui, siedo que o es defectuoso?. Septiemre. Opció. ( putos) E u videoclu qued 8 copis de l películ, 9 de l B de l C. Etr tres clietes cosecutivmete cd uo elige u copi l r. Clcúlese l proilidd de que: () Los tres escoj l mism películ. () Dos escoj l películ el otro l C.. Septiemre. Opció B. ( putos) Co el ojetivo de recudr fodos pr u vije, los lumos de u istituto reli u rif co úmeros. U lumo compr dos úmeros. () Si sólo h u premio, qué proilidd tiee el lumo de que le toque él? () Si h dos premios, qué proilidd tiee el lumo de que le toque l meos uo de ellos?. Curso /. Modelo Opció. ( putos) U proveedor sumiistr lotes de mteri prim el % de ellos result defectuoso. Selecciodo l r lotes () Cuál es l proilidd de que l meos se defectuosos? () Cuál es l proilidd de que el máimo de lotes defectuosos se? 7. Curso /. Modelo Opció B. ( putos) U prue pr determir ciert cotmició e el gu preset los siguietes resultdos e proilidd: de flsos positivos, esto es, csos e los que estdo el gu lire de cotmició, el test dice que el gu se ecuetr cotmid. Si el gu está cotmid, el test lo detect co proilidd 99. El gu está lire de cotmició co proilidd 99. Si se relir u uev prue el test idic que h cotmició, clculr l proilidd de que el gu esté lire de cotmició. 8. Juio. Opció. ( putos) Se tiee tres cjs igules. L primer cotiee ols lcs, egrs; l segud cotiee ols egrs, l tercer lcs egrs. ) Se elige u cj l r luego se etre u ol, cuál es l proilidd de que l ol etríd se egr? ) Si se etre u ol egr de u de ls cjs, cuál es l proilidd de que proced de l segud cj? 9. Juio. Opció B. ( putos) Se l dos ddos equilirdos de seis crs tres veces cosecutivs: ) Clculr l proilidd de que e los tres lmietos slg el seis dole. ) Clculr l proilidd de que e los tres lmietos slg u dole distito del seis dole.. Septiemre. Opció. ( putos) U perso dese jugr e u trcció de feri, dode regl u peluche, si l tirr u drdo se ciert e u lco. Si solo se permite tirr tres ddos l proilidd de certr e cd tird es. ) Cuál es l proilidd de llevrse el peluche? ) Cuál es l proilidd de llevrse el peluche ectmete e el tercer lmieto? c) Y de llevárselo ectmete e el segudo?. Septiemre. Opció B. ( putos) U dí determido, e u tied de rop jove, se h relido vets pgds co l trjet de crédito V vets pgds co l trjet MC. Ls vets resttes del dí h sido ods e metálico. Se comprue que de ls vets pgds co l trjet de crédito V super los euros, mietrs que de ls comprs pgds co MC super es ctidd. Se etre l r u comprote de ls vets del dí pgds co trjet de crédito. ) Cuál es l proilidd de que correspod u compr superior euros? ) Si l compr es iferior euros, cuál es l proilidd de que h sido pgd co l trjet MC? º Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo 9: Proilidd utor: Dvid Mird LirosMreVerde.tk Revisores: Álvro Vldés Letici Goále Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

161 . Curso /. Opció. ( putos) U rosl o está e ue estdo, por tto, si se rieg tiee l mism proilidd de mteerse que de secrse. L proilidd de que se mteg si o se rieg es. L proilidd de o regr el rosl es /. Si el rosl se h secdo, cuál es l proilidd de o herlo regdo?. Curso /. Opció. ( putos) Sore los sucesos B se cooce ls siguietes proiliddes: P() = 7 P(B) = P B, Clculr ) P(B/) ) P c B c c represet el suceso complemetrio del suceso.. Juio. Opció ( putos) El % del ceso de ciert ciudd vot l cdidto, el % l cdidto B el resto se stiee. Se elige l r tres persos del ceso. Clculr l proilidd de los siguietes sucesos: () Ls tres persos vot l cdidto. () Dos persos vot l cdidto l otr l cdidto B. (c) l meos u de ls tres persos se stiee.. Juio. Opció B ( putos) De u rj espñol de curet crts se etre sucesivmete tres crts l r. Determir l proilidd de oteer: () Tres rees. () U figur co l primer crt, u cico co l segud u seis co l tercer. (c) U s, u tres u seis, e culquier orde.. Septiemre. Opció ( putos) U test pr detectr u sustci cotmite e el gu, preset los siguietes resultdos: si el gu o está cotmid, suceso que ocurre co u proilidd igul 99, el resultdo del test es que el gu está cotmid co u proilidd igul. Cudo el gu está cotmid, el test lo detect co u proilidd igul 99. Se h relido u prue el test idic que h cotmició. Clculr l proilidd de que el gu o esté relmete cotmid. Iterpretr el vlor umérico oteido. 7. Curso /. Opció ( putos) E u I.E.S. h lumos mtriculdos e segudo de Bchillerto, de los cules utili el trsporte escolr. De estos últimos, l mitd hce uso del comedor del cetro, mietrs que sólo de los que o utili el trsporte escolr cude l comedor. () Se elige l r u lumo de segudo de chillerto, cuál es l proilidd de que o sist l comedor? () Si el lumo elegido utili el trsporte escolr, cuál es l proilidd de que sist l comedor? 8. Curso /. Opció B ( putos) E u clse, el % de los lumos prue legu, el % prue mtemátics el % prue legu etrjer. Se se demás que el % prue mtemátics legu etrjer el 7% prue legu legu etrjer. So idepedietes los sucesos "pror legu etrjer" "pror legu'? So idepedietes los sucesos "pror mtemátics" "pror legu etrjer"? 9. Juio. Opció ( putos) Dos epertos, E E, reli peritcioes pr u ciert compñí de seguros. L proilidd de que u peritció h sido relid por E es por E es. Si u peritció h sido relid por E, l proilidd de que dé lugr l pgo de u idemició es 98 si h sido relid por E, l proilidd de que dé lugr l pgo de u idemició es 9. U siiestro h supuesto l compñí el pgo de u idemició. Hllr l proilidd de que l peritció h sido relid por E.. Juio. Opció B ( putos) E u empres se produce dos tipos de omills: hlóges de jo cosumo, e u proporció de, respectivmete. L proilidd de que u omill hlóge se defectuos es de que u de jo cosumo se defectuos es 9. Se escoge l r u omill result o defectuos, cuál es l proilidd de que se hlóge?. Septiemre. Opció ( putos) U ciert señlició de seguridd tiee istldos dos idicdores. te u emergeci los idicdores se ctiv de form idepediete. L proilidd de que se ctive el primer idicdor es 9 de que se ctive el segudo es 9. () Hllr l proilidd de que te u emergeci se ctive sólo uo, de los idicdores. () Hllr l proilidd de que te u emergeci se ctive l meos uo de los idicdores. º Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo 9: Proilidd utor: Dvid Mird LirosMreVerde.tk Revisores: Álvro Vldés Letici Goále Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

162 . Septiemre. Opció B ( putos) E u polció, el % so homres el % mujeres. E es polci el 8 % de los homres el % de ls mujeres so ficiodos l fútol. () Clculr l proilidd de que u perso elegid l r se ficiod l fútol. () Elegid l r u perso result ser ficiod l fútol, cuál es l proilidd de que se mujer?. Curso /. Opció B ( putos) E u cetro de eseñ h estudites mtriculdos e º curso de Bchillerto. L siguiete tl recoge su distriució por seo por opció que se curs: Chics Chicos Tecológic Humiddes C. Sociles 7 Si se elige u estudite l r de etre los que curs º de Bchillerto e ese cetro, clculr l proilidd de que: () No curse l opció Cietífico-Tecológic. () Si es chico, curse l opció de Humiddes Ciecis Sociles.. Curso /. Opció ( putos) U jedrecist g u prtid co proilidd, l empt co proilidd l pierde co proilidd. El jugdor jueg dos prtids. () Descriir el espcio muestrl l proilidd de cd uo de los resultdos de este eperimeto letorio. () Clculr l proilidd de que ge l meos u prtid.. Juio. Opció ( putos) U cj co u doce de huevos cotiee dos de ellos rotos. Se etre l r si reemplmieto (si devolverlos después de mer cosecutiv) cutro huevos. () Clculr l proilidd de etrer los cutro huevos e ue estdo. () Clculr l proilidd de etrer de etre los cutro, ectmete u huevo roto.. Juio. Opció B ( putos) E u eperimeto letorio cosistete e lr simultáemete tres ddos equilirdos de seis crs, se pide clculr l proilidd de cd uo de los siguietes sucesos: "Oteer tres uo, "Oteer l meos u dos, "Oteer tres úmeros distitos" "Oteer u sum de. 7. Septiemre. Opció ( putos) E u colectivo de iversores ursátiles, el % reli opercioes ví Iteret. De los iversores que reli opercioes ví Iteret, u 8 % cosult IfoBolsWe. De los iversores ursátiles que o reli opercioes ví Iteret sólo u % cosult IfoBolsWe. Se pide: () Oteer l proilidd de que u iversor ursátil elegido l r e este colectivo cosulte IfoBolsWe. () Si se elige l r u iversor ursátil de este colectivo result que cosult IfoBolsWe, cuál es l proilidd de que relice opercioes por Iteret? 8. Septiemre. Opció B ( putos) Se B dos sucesos, tles que P( ) P( B) P B Clculr: () P(B/). () P( / B) Not: represet el suceso complemetrio del suceso. 9. Curso /. Opció ( putos) Se dispoe de l siguiete iformció reltiv los sucesos B: P() = P(B) = P( B) =. () Clculr ls proiliddes de los sucesos( U B) (/( U B)). () So icomptiles? So idepedietes?. Curso /. Opció B ( putos) U ur cotiee dos ols. L ur se lleó tirdo u moed equilird l ire dos veces poiedo u ol lc por cd cr u ol egr por cd cru. Se etre u ol de l ur result ser lc. Hllr l proilidd de que l otr ol de l ur se tmié lc.. Juio. Opció ( putos) U perso cuid de su jrdí pero es stte distríd se olvid de regrlo veces. L proilidd de que se olvide de regr el jrdí es /. El jrdí o está e mu ues codicioes, sí que si se le rieg tiee l mism proilidd de progresr que de estroperse, pero l proilidd de que progrese si o se le rieg es de. Si el jrdí se h estropedo, cuál es l proilidd de que l perso olvidr regrlo? º Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo 9: Proilidd utor: Dvid Mird LirosMreVerde.tk Revisores: Álvro Vldés Letici Goále Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

163 . Juio. Opció B ( putos) Se cosider el eperimeto cosistete e lr u moed equilird u ddo equilirdo. Se pide: ) Descriir el espcio muestrl de este eperimeto. ) Determir l proilidd del suceso: Oteer u cr e l moed u úmero pr e el ddo.. Septiemre. Opció ( putos) Los tigres de cierto pís procede de tres reservs: el % de l primer, el % de l segud el % de l tercer. L proporció de tigres lios de l primer reserv es %, mietrs que dich proporció es % e l segud % e l tercer. Cuál es l proilidd de que u tigre de ese pís se lio?. Septiemre. Opció B ( putos) U ur cotiee ols lcs egrs. Se etre dos ols l r si reemplmieto. Cuál es l proilidd de que se del mismo color?. Juio 7. Opció ( putos) Segú cierto estudio, el % de los hogres europeos tiee cotrtdo el cceso Iteret, el % tiee cotrtd l televisió por cle, el % dispoe de mos servicios. Se seleccio u hogr europeo l r. () Cuál es l proilidd de que sólo teg cotrtd l televisió por cle? () Cuál es l proilidd de que o teg cotrtdo iguo de los dos servicios?. Juio 7. Opció B ( putos) Los piists de Isl Sordi se form e tres coservtorios, C, C C, que form l %, % % de los piists, respectivmete. Los porcetjes de piists virtuosos que produce estos coservtorios so del %, % %, respectivmete. Se seleccio u piist l r. () Clculr l proilidd de que se virtuoso. () El piist result ser virtuoso. Clculr l proilidd de que se h formdo e el primer coservtorio (C). 7. Septiemre 7. Opció ( putos) E el deprtmeto de lácteos de u supermercdo se ecuetr mecldos l vet ogures de l mrc, de l mrc B de l mrc C. L proilidd de que u ogur esté cducdo es pr l mrc ; pr l mrc B pr l mrc C. U comprdor elige u ogur l r. () Clculr l proilidd de que el ogur esté cducdo. () Siedo que el ogur elegido está cducdo, cuál es l proilidd de que se de l mrc B? 8. Juio 8-Opció, putos E u juego cosistete e lr dos moeds idistiguiles equilirds u ddo de seis crs equilirdo, u jugdor g si otiee dos crs u úmero pr e el ddo, o ie ectmete u cr u úmero mor o igul que cico e el ddo. ) Clcúlese l proilidd de que u jugdor ge. ) Se se que u perso h gdo. Cuál es l proilidd de que otuvier dos crs l lr ls moeds? 9. Juio 8-Opció B, putos Se cosider dos sucesos B de u eperimeto letorio, tles que: P() = /, P(B) = /, P(UB) = / ) So B sucesos idepedietes? Róese. ) Clcúlese P / B.Not.- L otció represet l suceso complemetrio de. 7. Septiemre 8-Opció, putos Se cosider dos ctividdes de ocio: = ver televisió B = visitr cetros comerciles. E u ciudd, l proilidd de que u dulto prctique es igul ; l proilidd de que prctique B es igul l proilidd de que prctique B es igul. ) Se seleccio l r u dulto de dich ciudd. Cuál es l proilidd de que o prctique igu de ls dos ctividdes teriores? ) Se elige l r u idividuo de etre los que prctic lgu de ls dos ctividdes. Cuál es l proilidd de que prctique ls dos ctividdes? 7. Septiemre 8-Opció B, putos Se supoe que ls señles que emite u determido telégrfo so puto r que el telégrfo eví u puto co proilidd /7 u r co proilidd /7. Los errores e l trsmisió puede hcer que cudo se evíe u puto se reci u r co proilidd / que cudo se evíe u r se reci u puto co proilidd /. ) Si se recie u r, cuál es l proilidd de que se huier evido relmete u r? ) Supoiedo que ls señles se eví co idepedeci, cuál es l proilidd de que si se recie puto-puto se huier evido r-r? º Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo 9: Proilidd utor: Dvid Mird LirosMreVerde.tk Revisores: Álvro Vldés Letici Goále Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

164 7. Juio 9 Opció, putos Se cosider tres sucesos, B, C de u eperimeto letorio tles que: P() = /; P(B) = /; P(C) = /; P( B C) = /; P( B C) = : P(/B) = P(C/)= ½. () Clcúlese P(C B). () Clcúlese P( B C ). 7. Juio 9 Opció B, putos Pr l costrucció de u lumioso de ferise dispoe de u coteedor co omills lcs, omills ules 8 rojs. L proilidd de que u omill del coteedor o fucioe es igul si l omill es lc, es igul si l omill es ul e igul si es roj. Se elige l r u omill del coteedor. () Clcúlese l proilidd de que l omill elegid o fucioe. () Siedo que l omill elegid o fucio, clcúlese l proilidd de que dich omill se ul. 7. Septiemre 9. Opció, putos E u cierto co el % de los créditos cocedidos so pr vivied, el % se desti empress el % so pr cosumo. Se se demás que de los créditos cocedidos vivied, el % result impgdos, de los créditos cocedidos empress so impgdos el % de los créditos cocedidos pr cosumo result impgdos el %. ) Clcúlese l proilidd de que u crédito elegido l r se pgdo. ) Cuál es l proilidd de que u crédito elegido l r se h destido cosumo, siedo que se h pgdo? 7. Septiemre 9 Opció B, putos L proilidd de que u hitte de u cierto puelo de l Comuidd de Mdrid le guste l músic moder es igul ; l proilidd de que le guste l músic clásic es igul l proilidd de que o le guste igu de ls dos es igul. Se elige l r u hitte de dicho puelo. Clcúlese l proilidd de que le guste: ) l meos uo de los dos tipos de músic. ) L músic clásic tmié l músic moder. c) Sólo l músic clásic. d) Sólo l músic moder. 7. Juio Fse geerl. Opció, putos U ols cotiee die moeds equilirds. Cico de dichs moeds tiee cr cru otrs tres so moeds co dos crs ls dos resttes so moeds co dos cruces. Se elige l r u moed de l ols se l. ) Clcúlese l proilidd de que slg cr e dicho lmieto. ) Si e el lmieto h slido cr, cuál es l proilidd de que l moed elegid teg cr cru? 77. Juio Fse geerl. Opció B, putos Se B dos sucesos de u eperimeto letorio tles que P() = P(B) =. ) Si B so mutumete ecluetes, determíese P( B). So demás B idepedietes? Róese. ) Si B so idepedietes, clcúlese P( B). So B demás mutumete ecluetes? Róese. c) Si P(/B) =, clcúlese P( B). So B mutumete ecluetes? So B idepedietes? Róese. d) Si B, clcúlese P( B). So B idepedietes? Róese. 78. Juio Fse específic. Opció, putos Se B dos sucesos de u eperimeto letorio tles que P() = ; P(B) = ; P( B) =. Clcúlese cd u de ls siguietes proiliddes: ) P( B) ) P( B ) c) P(/B) d) P( B ). Not. represet l suceso complemetrio de. 79. Juio Fse específic. Opció B, putos Se dispoe de u ddo equilirdo de seis crs, que se l seis veces co idepedeci. Clcúlese l proilidd de cd uo de los sucesos siguietes: ) Oteer l meos u seis e el totl de los seis lmietos. ) Oteer u seis e el primer último lmietos e los resttes lmietos u úmero distito de seis. 8. Septiemre Fse geerl. Opció, putos Se cosider tres sucesos, B C de u eperimeto letorio, tles que: P(/C) P(B/C), P(/ C ) P(B/ C ). Róese cuál de ls siguietes desigulddes es siempre ciert: ) P() < P(B); ) P() P(B). 8. Septiemre Fse geerl. Opció B, putos Se cosider los siguietes sucesos: Suceso : L ecoomí de u cierto pís está e recesió. Suceso B: U idicdor ecoómico muestr que l ecoomí de dicho pís está e recesió. Se se que P() = ; P(B/) = 9; P( B /) = 9. ) Clcúlese l proilidd de que el idicdor ecoómico muestre que l ecoomí del pís o está e recesió demás l ecoomí del pís esté e recesió. ) Clcúlese l proilidd de que el idicdor ecoómico muestre que l ecoomí del pís está e recesió. º Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo 9: Proilidd utor: Dvid Mird LirosMreVerde.tk Revisores: Álvro Vldés Letici Goále Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

165 8. Septiemre Fse específic Opció, putos E u resideci uiversitri vive 8 estudites, de los cules utili l iliotec. De estos últimos 7 estudites hce uso de l lvderí, mietrs que sólo de los que o us l iliotec utili l lvderí. Se elige u estudite de l resideci l r. ) Cuál es l proilidd de que utilice l lvderí? ) Si el estudite elegido o utili l lvderí, cuál es l proilidd de que utilice l iliotec? 8. Septiemre Fse específic Opció B, putos Se B dos sucesos de u eperimeto letorio, tles que P() =. Clcúlese P( B ) e cd uo de los siguietes csos: ) B so mutumete ecluetes. ) B. c) B P(B) =. d) P( B ) =. 8. Curso /. Modelo. Opció, putos Se B dos sucesos de u eperimeto letorio tles que l proilidd de que mos ocurr simultáemete es igul / l proilidd de que o ocurr iguo de los dos es igul 7/. Se se demás que P(/B) = /. ) Clcul l proilidd de que ocurr o B. ) Clcul l proilidd de que ocurr. 8. Curso /. Modelo. Opció B, putos E u ciert polció, l proilidd de que u hitte elegido l r sig u diet de delgmieto es igul. Etre los hittes que sigue diet de delgmieto, l proilidd de que uo de ellos elegido l r prctique deporte regulrmete es igul. Etre los hittes que o sigue diet de delgmieto l proilidd de que uo de ellos elegido l r prctique deporte regulrmete es igul. Se elige l r u hitte de l polció. ) Clcul l proilidd de que prctique deporte regulrmete. ) Si se se que dicho hitte prctic deporte regulrmete, cuál es l proilidd de que esté siguiedo u diet de delgmieto? 8. Juio. Opció, putos E u edificio iteligete dotdo de sistems de eergí solr eólic, se se que l eergí sumiistrd cd dí proviee de plcs solres co proilidd, de molios eólicos co proilidd de mos tipos de istlcioes co proilidd. Elegido u dí l r, clcul l proilidd de que l eergí se sumiistrd l edificio: ) por lgu de ls dos istlcioes, ) solmete por u de ls dos. 87. Juio. Opció B, putos E u cierto puto de u utopist está situdo u rdr que cotrol l velocidd de los vehículos que ps por dicho puto. L proilidd de que el vehículo que pse por el rdr se u coche es, de que se u cmió es de que se u motociclet es. L proilidd de que cd uo de los tres tipos de vehículos supere l psr por el rdr l velocidd máim permitid es pr u coche, pr u cmió pr u motociclet. E u mometo ddo u vehículo ps por el rdr. ) Clcul l proilidd de que este vehículo supere l velocidd máim permitid. ) Si el vehículo e cuestió h superdo l velocidd máim permitid, cuál es l proilidd de que se trte de u motociclet. 88. Septiemre. Opció, putos Se supoe que l proilidd de que c u iñ es 9 de c u iño es. U fmili tiee dos hijos: ) Cuál es l proilidd de que mos se iños, codiciod porque el segudo se iño? ) Cuál es l proilidd de que mos se iños, codiciod porque l meos uo se iño? 89. Septiemre. Opció B, putos Se dispoe de tres urs, B C. L ur cotiee ol lc ols egrs, l ur B cotiee ols lcs ol egr l ur C cotiee ols lcs ols egrs. Se l u ddo equilirdo si sle, o se escoge l ur, si sle el se escoge l ur B si sle o se elige l ur C. cotiució, se etre u ol de l ur elegid. ) Cuál es l proilidd de que l ol etríd se lc? ) Se se que l ol etríd h sido lc, cuál es l proilidd de que l ol h sido etríd de l ur C? 9. Septiemre. Opció, (Reserv) putos L proilidd de que el jugdor de locesto cosig u cst de tres putos es igul 7/9, l proilidd de que otro jugdor B cosig u cst de tres putos es /7. Cd uo de estos jugdores reli u lmieto de tres putos. ) Clcúlese l proilidd de que solmete uo de los dos jugdores cosig u triple. ) Clcúlese l proilidd de que l meos uo de los dos jugdores cosig u triple. º Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo 9: Proilidd utor: Dvid Mird LirosMreVerde.tk Revisores: Álvro Vldés Letici Goále Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

166 9. Septiemre. Opció B, (Reserv) putos Los dtos de l tl siguiete se h etrído de ls estdístics oficiles de l prue de cceso estudios uiversitrios (fse geerl) de l covoctori del curso 9/, e el Distrito úico de Mdrid: Chico Chic pto 9 98 No pto 77 Se elige u lumo l r de etre los que se presetro dich prue.. Cuál es l proilidd de que el lumo elegido se chic o h resultdo pto?. Si el lumo elegido es chico, Cuál es l proilidd de que h resultdo o pto? 9. Curso /. Modelo. Opció, putos U ols cotiee dos moeds equilirds. U de ls moeds tiee cr cru l otr tiee dos crs. Se elige l r u moed de l ols se l dos veces cosecutivs co idepedeci, oservádose dos crs. Cuál es l proilidd de que l moed elegid se l moed de dos crs? 9. Juio. Opció B, putos Se B dos sucesos de u eperimeto letorio tles que: P( B) = P( B ), P( B) =.Clcul: () P(B). () P( U B). (c) P(). (d) P( B / ) 9. Septiemre. Opció, putos. Se dispoe de cjs opcs. U cotiee u ol lc, dos cotiee u ol egr ls otrs dos está vcís. U juego cosiste e ir selecciodo l r secuecilmete u cj o selecciod previmete hst oteer u que coteg u ol. Si l ol de l cj selecciod es lc, el jugdor g; si es egr, el jugdor pierde. () Clcul l proilidd de que el jugdor ge. () Si el jugdor h perdido, cuál es l proilidd de que h selecciodo u sol cj? 9. Curso /. Modelo. Opció B, putos Se B dos sucesos letorios tles que P ( ) PB ( ) P ( B ) ) Determíese si so comptiles o icomptiles los sucesos B. ) Determíese si so depedietes o idepedietes los sucesos B. Not: S deot l suceso complemetrio del suceso S. º Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo 9: Proilidd utor: Dvid Mird LirosMreVerde.tk Revisores: Álvro Vldés Letici Goále Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

167 CPÍTULO 9: ESTIMCIÓN. INTERVLOS DE CONFINZ. MUESTREO ESTDÍSTICO Medite l ifereci estdístic se itet coocer lgo cerc de ls crcterístics de l polció e su cojuto medite l geerlició de lo oteido e l muestr. Pero es ecesrio ser cosciete de que, e l morí de los csos, l verdder turle crcterístics ects de l polció v ser descoocids, uc v poderse coocer co ectitud. lo más que se puede llegr es u coocimieto proimdo, que se pretederá que se lo más ecto ojetivo posile, ddo el ivel de iformció empíric del que se dispog. Es por ello por lo que l ifereci proporcio coclusioes si certe totl, sio e térmios de proilidd o de ivel de cofi. lgus de ls crcterístics descoocids de l polció puede ser su distriució de proilidd, e muchos csos, el vlor de los prámetros que defie dich distriució. sí, muchos de los procedimietos ásicos de l ifereci estdístic clásic está cetrdos lrededor del vlor de dichos prámetros. cotiució desrrollmos l metodologí de estimció de prámetros. E muchs ocsioes se dese estimr u resultdo. Resolver l form mejor de hcerlo es tod u prte de l Estdístic, l Teorí de Muestrs, que os idic vrios detlles teer e cuet: Cómo se dee elegir los elemetos de l muestr? Cuál dee ser el tmño de l muestr? Hst qué puto l muestr es represettiv de l polció? Si se d como resultdo de l estimció u vlor umérico cocreto se hl etoces de estimció putul, mietrs que si se d u cojuto de vlores, etre los cules se esper que se ecuetre el verddero vlor del prámetro co u cierto grdo de cofi, se hl etoces de estimció por itervlo. Poiedo otro ejemplo, supogmos que e u estció de ferrocrril se ecuetr u máqui utomátic de cfé reguld de tl form que se está iteresdo e coocer l ctidd medi de cfé que l máqui sumiistr e cd t. Es ctidd medi de cfé es u prámetro polciol, por tto, su vlor ecto es descoocido siempre lo será. Si emrgo, medite l iformció muestrl, es posile estimr, esto es, ofrecer u proimció uméric dicho vlor prmétrico descoocido. E este cso, u posile estimdor putul de l medi de l polció puede ser l medi de l muestr. Si se reli l estimció por itervlo se otiee co u cofi determid, que l ctidd medi de cfé sumiistrd por t estrá etre dos vlores uméricos determidos. l hor de estimr prámetros polcioles, prece u ue estrtegi iicil utilir el que quí se deomirá criterio de logí. Segú este criterio, se elige como estimdor de u prámetro polciol (co sigificdo coocido) su correspodiete álogo e l muestr. E est primer secció de este cpítulo vmos estimr el vlor de u estdístico de u muestr coociedo l polció. E l siguiete hremos lgo más útil, estimr el vlor de u prámetro de u polció, l medi o l proporció, prtir del oteido e u muestr. Coocer el vlor ecto v ser imposile, por eso estudiremos los itervlos de cofi que os dirá, co u ivel de cofi u itervlo e el que puede estr el prámetro de l polció. E l tercer secció estudiremos el cotrste de hipótesis... Polció muestr E cursos teriores hs estudido lo que se etiede por muestr por polció: Defiició: Polció estdístic, colectivo o uiverso es el cojuto de todos los idividuos (persos, ojetos, imles, etc.) que coteg iformció sore el feómeo que se estudi. Ejemplos: Si estudimos el precio de l vivied e u ciudd, l polció será el totl de ls vivieds de dich ciudd. Se v relir u estudio estdístico sore el porcetje de persos csds e l peísul. Pr ello o es fctile estudir todos cd uo de los hittes por roes de coste de rpide e l oteció de l iformció. Por lo tto, es ecesrio cudir emir sólo u prte de est polció. Es prte es l muestr elegid. Defiició: Muestr es u sucojuto represettivo que se seleccio de l polció sore el que se v relir el álisis estdístico. Muestreo es el proceso medite el cul se seleccio l muestr de l polció. El tmño de l muestr es el úmero de sus elemetos. Cudo l muestr comprede todos los elemetos de l polció, se deomi ceso. Ejemplo: Si se estudi el precio de l vivied de u ciudd, lo orml será o recoger iformció sore tods ls vivieds de l ciudd ( que serí u lor mu complej costos), sio que se suele seleccior u sugrupo (muestr) que se etied que es suficietemete represettivo. º Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo 9: Estimció. Itervlos de cofi utor: Rquel Cro LirosMreVerde.tk Revisores: Letici Goále Pscul Álvro Vldés Meéde Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

168 7 E cotrol de clidd, por ejemplo, si se estudi l vid de u electrodoméstico, pr ello dee fucior hst que se estropee, es surdo estudir todos los electrodomésticos (polció) pues os quedmos si fricció, por lo que es imprescidile seleccior u muestr que se represettiv de l polció. ctividdes propuests. Señl e qué cso es más coveiete estudir l polció o u muestr: ) El diámetro de los torillos que fric u máqui dirimete. ) L ltur de u grupo de seis migos.. Se puede leer el siguiete titulr e el periódico que pulic tu istituto: L ot medi de los lumos de º de Bchillerto de l Comuidd de Mdrid es de 7 9. Cómo se h llegdo est coclusió? Se h estudido tod l polció? Si huier selecciodo pr su cálculo solo ls mujeres, serí represettivo su vlor? Recuerd que: L medi muestrl l represetmos por o por l letr m, se defie como: k i i i i f i i i L desvició típic muestrl l represetmos por l letr s, se defie como: i s L medi muestrl l desvició típic muestrl so los estdísticos de l muestr que vmos usr. L medi polciol, o l medi de u distriució, l represetmos por l letr grieg se defie: E ( ) i p( i ) E( ) f ( ) d i L desvició típic polciol, o de u distriució, l represetmos por l letr grieg se defie: ( i ) p( i ) E( ) E ( ) E ( ) E ( ) ( ) f ( ) d i L medi polciol l desvició típic polciol so los prámetros de l polció que vmos usr. Recuerd que: Estdístico: vlor oteido de l muestr. Prámetro: vlor de l polció... Tipos de muestreos letorios L form de seleccior l muestr, muestreo, dee reuir us determids crcterístics pr que pued crcterir l polció, ser represettiv de l polció. Dee ser u muestreo letorio, es decir, l r. Todos los idividuos de l polció dee teer ls misms posiiliddes de ser selecciodos pr l muestr. Ejemplos: Se quiere estudir el ivel dquisitivo de los persos de u ciudd, pr lo que psmos u ecuest l puert del Corte Iglés, te prece u muestreo letorio? No lo es. Ls persos que etr e u determido estlecimieto o represet tod l polció. Vs hcer u estudio sore los gustos musicles de los jóvees, pr ello, preguts cico de etre tus mistdes, te prece u muestreo letorio? No lo es. Tus mistdes puede teer uos gustos diferetes los del resto de l polció. Si l muestr está ml elegid, o es represettiv, se produce sesgos, errores e los resultdos del estudio. H muchos tipos de muestreo, que drí pr lir e u liro sore Muestreo. Pero es coveiete coocer lguo: Muestreo letorio simple: Todos los idividuos de l polció tiee l mism proilidd de ser elegidos e l muestr. Muestreo letorio sistemático: Se orde los idividuos de l polció. Se elige l r u idividuo, se seleccio l muestr tomdo idividuos medite sltos igulmete espcidos. Muestreo letorio estrtificdo: Se divide l polció e grupos homogéeos de u determid crcterístic, estrtos, por ejemplo edd, se tom u muestr letori simple e cd estrto. Ejemplo: Se estudi el estdo de los huesos de l polció de u pís, se divide l polció e iños, jóvees, edd medi tercer edd. E cd grupo se hce u muestreo letorio simple. Muestreo por coglomerdos o áres: Se divide l polció e coglomerdos o áres, seleccio l r uo o vrios coglomerdos se estudi. Ejemplo Se estudi l icideci de efermeddes crdics e l polció rurl espñol. Pr ello se hce u ceso de puelos se elige vrios l r, dode se estudi l polció Muestreo o letorio: veces tmié se us. Por ejemplo, cooces l estimció de voto que suele hcerse pie de ur. Es cómodo, rto pero o es represettivo. º Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Estimció. Itervlos de cofi utor: Rquel Cro LirosMreVerde.tk Revisores: Letici Goále Pscul Álvro Vldés Meéde Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

169 8.. Tmño represettividd de u muestr Cudo se elige u muestr los dos spectos que h que teer e cuet so, el tmño l represettividd de l muestr. Si l muestr es demsido pequeñ, uque esté ie elegid, el resultdo o será file. Ejemplo: Queremos estudir l esttur de l polció espñol. Pr ello elegimos u perso l r l medimos. Evidetemete este resultdo o es file. L muestr es demsido pequeñ. Si l muestr es demsido grde los resultdos será mu files, pero el gsto puede ser demsido elevdo. Icluso, e ocsioes, muestrs demsido grdes o os proporcio mejores resultdos. Vmos preder ecotrr cuál es el tmño decudo pr que podmos firmr que l polció tiee tl crcterístic co u proilidd dd, grde. Cudo u muestr teg el tmño decudo, h sido elegid de form letori diremos que es u muestr represettiv. Si l muestr o h sido elegid de form letori diremos que l muestr es sesgd. ctividd resuelt Idic si es polció o muestr: ) E u gderí se mejor el pieso de tods ls ovejs co u determido tipo de gro. ) E otr gderí se seleccio ovejs pr limetrls co ese tipo de gro estudir su eficci. E el primer cso, tods ls ovejs, so l polció. E el segudo se h elegido u muestr. E u serie de televisió tiee duds sore qué hcer co l protgoist, si que teg u ccidete o si dee csrse. V hcer u cosult. tod l polció o selecciodo u muestr represettiv? Oserv que o semos ie cuál serí l polció, los que ve es serie? o tod l polció espñol? Si so los que ve l serie, cómo los coocemos? Cómo pregutr todos? Prece más opertivo pregutr u muestr. El estudio de l vid medi de us omills, se puede hcer sore tod l polció? El estudio es destructivo. Si se hicier sore tod l polció os quedmos si omills. Es imprescidile tomr u muestr. ctividdes propuests. Pr estudir el úmero de ccidetes de u polció de mil coductores, de los cules l mitd tiee cret de coducir etre ños, l curt prte lo tiee más de ños l otr curt prte lo tiee meos de ños. Se quiere elegir por muestreo letorio estrtificdo proporciol, coductores, cuátos selecciorís de cd grupo?.. Teorem cetrl del ite Cudo el curso psdo estudimos l distriució orml cometmos que se pesó que todos los feómeos se just es distriució, co l rom de que los mtemáticos pes que los físicos lo hí comprodo eperimetlmete, los físicos que los mtemáticos lo hí demostrdo. Este juste de los feómeos l distriució orml se cooce como Teorem Cetrl del Límite, que fue eucido por primer ve por el mtemático frcés que cooces por el cálculo de proiliddes, Pierre Simo Lplce (79 87) demostrdo por el mtemático ruso lesksdr Mikhilovich Lpuov (87 98). Teorem Cetrl del Límite: Si X es u vrile letori de u polció de medi fiit desvició típic fiit. Etoces: L distriució de l medi muestrl de tmño tiee de medi desvició típic, se proim u distriució orml medid que crece el tmño de l muestr. El prolem es que o especific qué se etiede por crecer el tmño. uque sí semos que si l polció de prtid es orml, etoces l distriució de l medi muestrl es tmié orml. Si l polció de prtid o es orml etoces l distriució de l medi muestrl se proimrá u orml cudo el tmño de l muestr se suficietemete grde. Vmos cosiderr que ese tmño es grde si es mor que. ctividd resuelt Los prámetros de u distriució so = desvició típic =. Se etre u muestr de idividuos. Clcul P(8 < < ). Por el teorem Cetrl del Límite semos que l medi muestrl de u polció orml se distriue segú otr distriució orml N(, ) = N(, /) = N(, ). Pr clculr l proilidd pedid, tipificmos uscmos e l tl de l orml. 8 P (8 ) P ( ) P ( ) P ( ) P ( ) ' ' P ( ) ( '8 ) '8 Dees recordr pr hcerlo ls propieddes de l curv orml cómo se clcul proiliddes co l tl. º Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Estimció. Itervlos de cofi utor: Rquel Cro LirosMreVerde.tk Revisores: Letici Goále Pscul Álvro Vldés Meéde Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

170 9 ctividdes propuests. Los prámetros de u distriució so = desvició típic =. Se etre u muestr de idividuos. Clcul P(9 9 < < )... Distriució de l medi muestrl De u polció se seleccio u muestr se clcul su medi su desvició típic, s. Elegimos otrs muestrs de l mism polció, de cd u oteemos su medi desvició típic. Cómo es l distriució de ess medis? Y de ess desvicioes típics? Ls diferetes medis d lugr u vrile letori que l vmos represetr por X. El Teorem Cetrl del Límite os grti que: L medi de l vrile letori X es l medi polciol. L desvició típic de l vrile letori X es dode es l desvició típic polciol es el tmño de ls muestrs elegids. Pr vlores de suficietemete grdes, ( ) l distriució de X se proim u orml: N(, ). Est firmció es ciert, se cul se l distriució de l polció de prtid, tto si es discret como si es cotiu, tto si es orml (etoces se proim est orml pr vlores de meores que ) como si o lo es. ctividd resuelt Cotrol de ls medis muestrles: E el cotrol de clidd de u fáric de lts de tú, se ems lts de grmos co u desvició típic de grmos. Se empquet e cjs de lts. Clcul l proilidd de que l medi de ls lts de u cj se meor que 99 grmos. Los dtos que os d so l medi polciol, =, l desvició típic polciol, =, el tmño de l muestr, =. Semos que l medi muestrl se distriue segú u N(, ) = N(, 8). Vmos recordr como clculámos ess proiliddes. Queremos clculr P( < 99). 99 Lo primero tipificmos pr psr u distriució N(, ): P( < 99) = P ( ) P( ') P( ') '8 Recuerd: L distriució orml es simétric, por eso e l tl o prece vlores egtivos, pues los clculmos usdo los positivos. Buscmos e l tl oteemos que P( < ) = P( < 99) = P( < ) = 9998 =, u proilidd mu pequeñ. ctividd resuelt Cotrol de l sum: E el mismo ejemplo terior determi l proilidd de que u lote de lts pese más de grmos. i Como l medi muestrl es igul i, etoces i, por lo que su distriució es u orml de medi i desvició típic : N(, ). E uestro cso N(, ) = N(, ) = N(, ) Queremos clculr P( i > ) = P ( ) P( ') P( ') = 998 =. i Us cjs de cd mil pesrá más de kg. ctividdes propuests. Los pesos de ls ovejs de u ciert gderí tiee u medi de kg co u desvició típic de. Elegimos l r u muestr letori simple de ovejs. ) Determi l proilidd de que su medi se superior kg. B) Se iferior kg. C) Se superior 8 kg. D) Esté etre 8 kg kg.. U polció tiee u medi = u desvició típic =. Etremos u muestr de idividuos. Hll el itervlo crcterístico, pr u proilidd de 9, de l medi muestrl. Lo mismo pr u proilidd del El peso de u polció se estim que tiee de medi = 7 kg u desvició típic =. Se elige u muestr letori simple de idividuos se pes todos jutos. Clcul l proilidd de que dicho peso se superior 7 kg. º Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Estimció. Itervlos de cofi utor: Rquel Cro LirosMreVerde.tk Revisores: Letici Goále Pscul Álvro Vldés Meéde Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF,

171 7.. Distriució de u proporció muestrl Hemos estudido el curso psdo l distriució iomil. Er u situció e que ls úics posiiliddes er éito o éito. Queremos ser cómo se distriue l proporció muestrl (úmero de éitos etre el úmero de veces que se repite el eperimeto). Cd muestr que otegmos de tmño se distriue segú u distriució iomil B(, p), por tto l sum de vriles B(, p) es u iomil B(, p) por el pricipio de reproductividd de l distriució. Por el Teorem Cetrl del Límite se puede firmr que l distriució de l proporció muestrl p : Medi: = p. Desvició típic: p ( p ). medid que crece l distriució de l proporció muestrl, se proim u orml p ( p ) N ( p, ), siempre que p o tome vlores próimos o. ctividd resuelt U evsdor detect que el % de los pquetes de kilo de rro tiee eceso de peso. Tom u muestr de pquetes. Qué distriució sigue l proporció de pquetes co eceso de peso? Clcul l proilidd de que e l muestr elegid eist más de u pquete co eceso de peso. L proporció sigue, pr grde, u distriució: p ( p ) ' '9 N ( p, ) N (', ) N (', ' ) ' ( ) P( '8) P( '8 ' Clculmos l proilidd tipificmos: P( p > ) = P ) ctividdes propuests 8. E los eámees de selectividd l proporció de prodos es del 98 %. U cetro escolr preset 78 estudites l eme. ) Qué distriució sigue l proporció de prodos? ) Clcul l proilidd de que e l muestr elegid h meos de suspesos. c) Clcul l proilidd de que e l muestr elegid h más de suspesos. d) Clcul l proilidd de que e l muestr elegid o h igú suspeso. 9. E u fáric de omills de jo cosumo h que rechr por defectos l % de l producció. Se tom u muestr letori simple de omills. ) Qué distriució sigue l proporció de omills defectuoss? ) Clcul l proilidd de que e l muestr elegid h meos de omills defectuoss.. INTERVLOS DE CONFINZ.. Estimdores putules E el prtdo terior hemos oteido iformció sore ls muestrs letoris etríds de u polció coocid. Pero es más usul querer oteer iformció de l polció prtir de l iformció sumiistrd por u muestr. So vrios los procesos posiles seguir: estimció putul o por itervlos de prámetros, cotrste de hipótesis Desemos coocer lgo sore l polció, por ejemplo, l medi pr ello se seleccio de form letori u muestr. E ell podemos clculr es medi ese vlor lo deomimos estimdor o estimdor putul, l hecho de hcerlo, u estimció putul, es decir, cudo teemos l muestr cocret ese estimdor tomrá u vlor cocreto. Co dich estimció podremos iferir es medi sore l polció. Y semos que o se puede segurr que l polció teg es medi, sio que l tiee co u ciert proilidd. Pero l hcerlo sí se dice que hemos hecho u estimció putul. Todo prámetro polciol, medi, desvició típic, vri tiee u estdístico prlelo e l muestr. Decimos que u estimdor es isesgdo o cetrdo si su medi coicide co el vlor del prámetro que se quiere estudir. L medi muestrl l proporció muestrl so estimdores cetrdos. Si o lo es, l error cometido de le deomi sesgo. U estimdor es eficiete si su vri es míim. Pr medir l eficieci de u estimdor cetrdo se utili l ivers de l vri. Ejemplos: L medi muestrl es u estimdor cetrdo de l medi polciol de eficieci: /. L proporció muestrl es u estimdor cetrdo de l proporció de l polció de eficieci:. p( p) l umetr el tmño de l muestr umet l eficieci de l medi muestrl de l proporció muestrl. ctividdes propuests. Determi l eficieci de l medi muestrl si el tmño de l muestr es l desvició típic polciol es.. Determi l eficieci de l proporció muestrl si el tmño de l muestr es l proporció polciol es %. º Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Estimció. Itervlos de cofi utor: Rquel Cro LirosMreVerde.tk Revisores: Letici Goále Pscul Álvro Vldés Meéde Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

172 7.. Itervlos de cofi hor queremos, prtir de u muestr de tmño, estimr el vlor de u prámetro de l polció ddo u itervlo e el que cofimos que esté dicho prámetro. este itervlo lo deomimos, itervlo de cofi, se clcul l proilidd de que eso ocurr l que se deomi ivel de cofi. Este curso úicmete estudiremos estimcioes pr l medi pr l proporció. tes de cocretrse e u vlor pr u muestr determid, culquier estdístico puede ser trtdo como u vrile letori cu distriució de proilidd depederá de l distriució de l vrile que represete el comportmieto de l polció ojeto de estudio. Prece role provechr l distriució de proilidd del estdístico utilido como estimdor putul de u prámetro pr, sádose e ell, llegr determir u itervlo de cofi pr el prámetro que se dese estimr. El método que se utili pr l oteció del itervlo se cooce como método del estdístico pivote cost ásicmete de los siguietes psos: Se elige u estdístico t(x), deomido estdístico pivote, que cumpl los siguietes requisitos: Su epresió dee depeder del prámetro que se quiere estimr. Por último, su distriució de proilidd h de ser coocid ( e muchos csos tuld) o dee depeder del vlor de. Pr u determido ivel de cofi,, utilido l distriució de proilidd de t(x;) se clcul los vlores k k, coocidos como vlores críticos. E el siguiete prtdo se muestr los desrrollos ecesrios co vists oteer itervlos de cofi pr estimr uo de los prámetros de distriució orml, es decir, l medi. Tmié se detll el cálculo de itervlos de cofi pr l proporció de éitos e prues iomiles (, p). Coceptos: Itervlo de cofi: Si P ( X ) ' 9 teemos el itervlo de cofi (, ) Nivel de cofi o coeficiete de cofi: =, e uestro ejemplo, 9 Nivel de sigificció o de riesgo:, e uestro ejemplo, Vlor crítico: k k, que dej l derech (o l iquierd) u áre /. E l N(, ) so 9 9 pr =. Mrge de error: Difereci etre los etremos del itervlo de cofi. Máimo error dmisile: Vlor prefijdo que o puede superr el vlor soluto de l difereci etre el estimdor el prámetro. Otros coceptos los hemos trjdo: Polció. Prámetro de l polció (medi, proporció) Muestr. Estdístico de l muestr. Tmño de l muestr. ctividd resuelt Semos que e u distriució orml estádr P( 9 < < 9) = 9. Determi u itervlo de cofi co u ivel de cofi del 9 de u N(, ). Determi el mrge de error. X P( 9 < Z < 9) = 9 P ( '9 '9) ' 9 ' P (( ' ( '9)) X (' '9) ) '9 P ( '8 X ') ' 9 L vrile letori X estrá e el itervlo ( 8, ) co u ivel o coeficiete de cofi de 9. El mrge de error viee ddo por l mplitud del itervlo: Mrge de error: 8 =. ctividdes propuests. Determi u itervlo de cofi co u ivel de cofi del 9 % de u N(, ). Determi el mrge de error.. Determi u itervlo de cofi co u ivel de cofi del 99 % de u N(, ). Determi el mrge de error... Itervlo de cofi pr l medi polciol co desvició típic coocid Cudo se quiere costruir u itervlo de cofi pr estimr l medi de u polció orml e l que se supoe que l desvició típic de l distriució,, es coocid, se utili como estimdor l medi muestrl, es decir, se recurre u muestr de tmño de l que se otiee l medi muestrl. Y semos que l medi muestrl, sigue u distriució orml de medi desvició típic si l polció de prtid es orml, o si, uque o lo se, el tmño de l muestr es suficietemete grde,. Pr oteer, etoces u itervlo de cofi co u ivel de cofi = deemos uscr dos vlores tles que divid el áre jo l curv orml e tres os, de áres, /, /. º Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Estimció. Itervlos de cofi utor: Rquel Cro LirosMreVerde.tk Revisores: Letici Goále Pscul Álvro Vldés Meéde Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

173 7 ( ) / ; ( ). / f() L siguiete figur ilustr l loclició de estos vlores / /.. Semos que -. i i ; X : N(, ) ; Z : : N(, ). Se oserv que el estdístico depede del prámetro que se v estimr que su distriució de proilidd (orml tipificd) es coocid o depede de dicho prámetro. sí pues, ddo u ivel de cofi = se usc dos vlores -/ -/ que verifique: P ( ) ) Llmmos -/ l vlor de l N(, ) que dej u áre l derech de vlor /. Etoces, por l simetrí de l distriució orml, l iquierd de -/ quedrá u áre igul /. Por tto: P ( Z ) (Recuerd: Si ( ) % = 9 %, etoces / = 9). cotiució se puede despejr l medi polciol pr oteer el itervlo de cofi: P ( Z ) P ( ) P ( ) P ( ) U ve oteid l medi muestrl determimos, co u ivel de cofi = el itervlo de cofi. L medi polciol, puede perteecer o o dicho itervlo. Por tto, se otiee pr l medi polciol el itervlo l ( ) % de cofi:, Por último, es itereste recordr que el itervlo de cofi se iterpret de l siguiete mer: si tuviésemos u úmero ifiito de muestrs de l polció, costruésemos co cd u u itervlo, etoces el % de dichos itervlos cotedrí l verddero vlor del prámetro μ. E l práctic, sólo teemos u muestr, por eso sólo podemos costruir u itervlo. No tiee etoces setido iterpretr el itervlo como l regió e l que estrá μ co proilidd, puesto que e el itervlo clculdo, l medi μ estrá o o estrá. Por eso, pr epresr uestr icertidumre sore si el itervlo clculdo co uestr muestr cotiee o o l prámetro μ empleremos l epresió ivel de cofi. ctividd resuelt Si se puede relir l hipótesis de que el cosumo de comustile sigue u distriució orml, vemos el itervlo de cofi pr l medi l 9 %, supoiedo coocid l vri (igul 78 l ). Se recoge u muestr letori simple de tmño, se otiee u medi muestrl de 97 9 l. Pr u ivel de cofi del 9 % l tl de l orml estádr os d que / = 9. 87' 87', 97'9 '9, 97'9 '9 899', 97'. ctividd resuelt El tiempo de reovció de u teléfoo móvil, epresdo e ños, se puede proimr medite u distriució orml co desvició típic ños. Se tom u muestr letori simple de usurios se otiee u medi muestrl igul ños. Determíese u itervlo de cofi l 9 % pr el tiempo medio de reovció de u teléfoo móvil. Buscmos e l tl de l orml estádr se otiee que / = 9 pr u ivel de cofi del 9 %. Coocemos l desvició típic polciol =, l muestr os d u medi =. El itervlo de cofi pedido es: º Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Estimció. Itervlos de cofi utor: Rquel Cro LirosMreVerde.tk Revisores: Letici Goále Pscul Álvro Vldés Meéde Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

174 7 ' ', ' '9,' '9 Teemos l cofi de que el 9 % de los csos l medi polciol perteecerá l itervlo: (, 78). ctividdes propuests. Determi u itervlo de cofi pr l medi polciol co u ivel de cofi del 9 % de u polció de desvició típic coocid, =, si hemos escogido u muestr letori simple de tmño clculdo l medi muestrl que es.. Determi u itervlo de cofi pr l medi polciol co u ivel de cofi del 98 % de u polció de desvició típic coocid, =, si hemos escogido u muestr letori simple de tmño clculdo l medi muestrl que es. Compr co el terior itervlo de cofi.. Se h tomdo u muestr letori simple de pcietes se h otdo el úmero de dís que h reciido trtmieto pr los trstoros del sueño que sufre. Los resultdos h sido: 8; 8; 9; ; 9; ; ; ; 9; ; ; ; 9; 8; ;. Se se que l durció, e dís, del trtmieto se puede proimr por u vrile letori co distriució orml de medi descoocid desvició típic dís. Determi u itervlo de cofi co u ivel del 9 % pr l medi polciol... Relció etre ivel de cofi, error dmisile tmño de l muestr Hemos visto que P ( ' '78,' '78 ','78 ), es decir, el ( ) % de ls muestrs cumple que: Defiició: Se llm error máimo dmisile l vlor E. Oserv que depede del tmño de l muestr del ivel de cofi. l umetr el tmño de l muestr dismiue el error máimo dmisile, l umetr el ivel de cofi tmié umet el error máimo dmisile. Puedes comprorlo co l tl de l orml estádr, los iveles de cofi más usdos: Si os fij el error máimo dmisile, E, el ivel de cofi, podemos determir el míimo tmño que dee teer l muestr simplemete despejdo: E E. E Oserv que el tmño de l muestr dee ser más grde cuto meor se el error máimo dmisile: Pr estimcioes más preciss se dee umetr el tmño de l muestr. l umetr el ivel de cofi umet el tmño de l muestr, luego: Pr umetr el ivel de cofi se dee umetr el tmño de l muestr. ctividd resuelt Cuál es el úmero míimo de estudites que deemos elegir de u polció de =, pr u muestr letori simple si el error míimo dmisile es de, el ivel de cofi del 9 %? E '9 ' ' L muestr dee teer l meos 7 estudites. Coocido el tmño de l muestr el error máimo dmisile, despejdo uscdo e l tl, tmié podemos determir el ivel de cofi. E E º Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Estimció. Itervlos de cofi utor: Rquel Cro LirosMreVerde.tk Revisores: Letici Goále Pscul Álvro Vldés Meéde Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

175 7 ctividd resuelt El otorrio cooce que l desvició típic del tiempo de respuest u soido es de u segudo. Dese estudir dicho tiempo de respuest co u error máimo dmisile de hciedo u estudio co pcietes: Determi co qué ivel de cofi otedrá el itervlo de cofi. E ' Buscmos e l tl: P ( Z ) P ( Z ) ' 8, es decir que el ivel de cofi es del 8 %. ctividd resuelt E l polció de estudites de desvició típic =, se quiere psr u prue estudites pr determir sus coocimietos de Mtemátics co u error míimo del. Cuál es el ivel de cofi oteido? Buscmos e l tl: E ' ' P ( Z ) P ( Z ') ' 998, es decir que el ivel de cofi es del 99 8 %. ctividdes propuests 7. Qué tmño míimo dee teer u muestr pr que el error máimo cometido e l estimció de l medi se meor de, uiddes, co u ivel de cofi del 9 %, siedo que l desvició típic polciol es coocid vle? 8. Determi el tmño muestrl míimo ecesrio pr que el vlor soluto de l difereci etre l medi muestrl l medi polciol se meor o igul ños co u ivel de cofi del 9 % siedo que l polció se distriue segú u orml de desvició típic. 9. E el estudio terior se tom u muestr de 9 idividuos. Queremos que el error máimo dmisile se de. Cuál será el ivel de cofi? El itervlo sore el vlor del prámetro, que se costruirá utilido ls propieddes del estimdor, se deomi itervlo de cofi. Cuto más estrecho se dicho itervlo, meos icertidumre eistirá sore el verddero vlor del prámetro. demás del cocepto de cofi, que se c de lir, e los itervlos prece los coceptos de precisió de mplitud. L mplitud es, l difereci etre los etremos del itervlo, es decir, t S (X) t I (X). Pr u muestr cocret, l mplitud del itervlo costruido prtir de ell será: t S (X ) t I (X ). L precisió es u form de evlur el grdo de eficci del itervlo, está iversmete relciodo co el cocepto de mplitud. E pricipio será desele que los itervlos costruidos teg l máim precisió posile, uque el tmño muestrl siempre será u limitció, que si es mu pequeño, o se puede coseguir u precisió elevd. Y se h dicho que etre precisió mplitud eiste u relció ivers: mor precisió desed, meor h de ser l mplitud del itervlo costruido. Por ello, e pricipio lo desele es que el itervlo presete l meor mplitud posile. Si se otiee u itervlo prtir de u muestr de tmño, cómo puede mejorrse este itervlo? U posiilidd es umetr l precisió. Pero pr umetr l precisió (lo que equivle dismiuir l mplitud), mteiedo el tmño muestrl el úico istrumeto que eiste es el ivel de cofi. sí, es ecesrio dismiuir l cofi ( que l precisió h mejordo). Es decir, si l cofi ps del 99 % ser, por ejemplo, del 9 %, se puede oteer u mplitud meor. Otr posiilidd es umetr l cofi. E tl cso, de mer álog, deerí dismiuirse l precisió (lo que equivle umetr l mplitud). Si eiste l posiilidd de umetr el tmño muestrl (es decir, si se puede dispoer de más iformció, lo que supoe u situció mejor), se puede umetr l precisió si modificr l cofi o umetr l cofi si modificr l precisió. Por ejemplo, si se umet el tmño muestrl, se puede umetr l precisió o umetr l cofi del itervlo, si modificr l otr crcterístic. Relmete, umetdo el tmño muestrl siempre mejorrá el itervlo costruido, pero dicho umeto suele teer u coste. Por lo tto, cudo se quiere costruir u itervlo de cofi pr u prámetro, tes de oteer l muestr, puede ser itereste relir u estudio previo pr oteer el vlor de óptimo e térmios de relció coste-eeficio. º Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Estimció. Itervlos de cofi utor: Rquel Cro LirosMreVerde.tk Revisores: Letici Goále Pscul Álvro Vldés Meéde Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

176 7.. Itervlo de cofi pr l proporció e muestrs grdes L costrucció de u itervlo de cofi pr l proporció de éitos e u prue de Beroulli se puede llevr co utilido el estimdor putul que se h visto e el prtdo de estimció putul. Etoces, se hí demostrdo que el estimdor de l proporció polciol es u estimdor isesgdo p. Semos por el teorem cetrl del ite que l proporció muestrl se distriue segú u distriució orml p( p) N ( p, ) pr suficietemete grde. Tipificdo l vrile oteemos u distriució N(, ), por lo tto: Ddo u ivel de cofi =, se puede uscr dos vlores -/ -/ que verifique: ( ) / ; ( ) / De mer que costruimos el itervlo de cofi pr l proporció de éitos p. L vri es descoocid por tto p ( p) se utili como desvició típic su estimdor putul, : p p P / / p ( p) p ( p) p ( p) P p / p p / Multiplicmos por, cmimos el setido de l desiguldd: p ( p) p ( p) P p / p p / Teemos el itervlo pr l proporció polciol: p ( p) p ( p) p p, p / / Co lo que se otiee el itervlo de cofi pr l proporció de éitos l ivel de cofi,. Se puede demostrr que es el itervlo de meor mplitud ddo u ivel de cofi. ctividd resuelt Determi el itervlo de cofi l 99 % pr l proporció de compoetes defectuosos que se produce e u fáric. Pr ello se h elegido u muestr letori simple de compoetes e ell se h oteido que l proporció de defectuosos es del 7 %. Buscmos e l tl de l orml el vlor de pr u proilidd de 99, se otiee 8, es decir / = 8. Coocemos p = 7, =, por lo que el itervlo de cofi pedido es: ( ) ( ) p p p p p, p '7 '8 '7 '9, '7 '8 '7 '9 (', 99% ') 99% Co u ivel de cofi del 99 % l proporció de defectuosos polciol está etre % %. ctividd resuelt Determi el itervlo de cofi l ivel de cofi del 9 % del 99 % pr estimr l proporció efermos de l gripe e l polció si de u muestr de persos h co gripe. Determi e cd cso el mrge de error. Buscmos e l tl de l orml los vlores de / pr esos iveles de cofi oteemos pr 9 %, / =, pr el 99 %, / = 7. Coocemos =, p p( p) = / = /. Clculmos: ' Por tto los itervlos de cofi pedidos so: º Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Estimció. Itervlos de cofi utor: Rquel Cro LirosMreVerde.tk Revisores: Letici Goále Pscul Álvro Vldés Meéde Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF 99%

177 7 9 % p p( p), p p( p) ' ', 9% Mrge de error = =. Podemos iterpretrlo como que hrá etre u % u % de persos co gripe. ( ) ( ) 99 % p p p p p, p '8 ', 99% ' ' (', 9% '8 ' ('79, 99% ') 99% ') 99% Mrge de error = 79 = 7. Podemos iterpretrlo como que hrá proimdmete etre u 8 % u % de persos co gripe. Oserv que: l umetr el ivel de cofi, umet l mplitud del itervlo por lo tto umet el mrge de error. ctividdes propuests. Determi el itervlo de cofi pr l proporció de ároles efermos e Mdrid co u ivel de cofi del 9 %, si se h elegido u muestr letori simple de ároles de los que h efermos.. Se quiere estudir l proporció de estudites que hce ctividdes etrescolres. Pr ello se h selecciodo u muestr de estudites de los cules hce ctividdes etrescolres. Determi el itervlo de cofi pr l proporció co u ivel de cofi del 9 %... Determició del tmño de l muestr pr u proporció Pr determir el tmño prtimos de dos situcioes diferetes. Que se cooc l medi o l proporció polcioes. Que o se cooc Y hemos determido el tmño de l muestr pr l medi polciol, hor veremos lgú ejemplo pr l proporció. El procedimieto es el mismo que tes. L difereci v estr e despejr el tmño pues vmos teer u desiguldd co ríces cudrds. Como el tmño uscdo tmié es u desiguldd podremos simplificr es desiguldd. Veámoslo co uos ejemplos: ctividd resuelt Cuál dee ser el tmño de l muestr e u polció de 8 milloes de vottes pr coocer si tiee l iteció de votr u determido prtido político co u proilidd de cierto del 9 u mrge de error iferior? Se cooce l proporció polciol: %. Utilimos itervlos de cofi: Es u distriució iomil, pues u votte o vot dicho prtido, o o lo vot. Llmmos l tmño de l muestr, p l úmero de los que votrá l prtido e l polció, X los que vot l prtido X e l muestr: P ( ' p ') P(( ' p) X (' p) ) ' 9 E l distriució iomil teemos que l medi es p l vri pq = p(p). Psmos de l distriució iomil l distriució orml, ñdiedo de l logitud de los itervlos: X P ( ' p ') P( ' p ' X ' p ') '9 ' ' X p ' ' ' ' ' ' Tipificmos: P ( ) ' 9 P ( ) ' 9 P ( ) ' 97 p( p) p( p) p( p) p( p) p( p) Buscmos e l tl de l orml estádr oteemos que ' ' '9. () p( p) L proporció es coocid p =, q =, ' ' '9 p( p) ' ' '9 ' ' Podemos resolver l desiguldd pero tmié podemos simplificrl, pues se seguirá verificdo pr este cso (uque o e el otro setido): ' '9 '' Elevmos l cudrdo despejmos: Por tto se dee psr l ecuest 8 vottes o más. º Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Estimció. Itervlos de cofi utor: Rquel Cro LirosMreVerde.tk Revisores: Letici Goále Pscul Álvro Vldés Meéde Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

178 77 ctividd resuelt Cuál dee ser el tmño de l muestr e u polció de 8 milloes de vottes pr coocer si tiee l iteció de votr u determido prtido político co u proilidd de cierto del 9 u mrge de error iferior? Se descooce l proporció polciol. Es el mismo prolem terior, pero descoocemos l proporció. ' ' Prtimos de l desiguldd (): ' 9 ' ' '9 p( p) p( p) Dode teemos dos vriles p. Vmos cotr p( p). Diujmos l práol = ( ) que lc su vlor máimo, /, pr = /, por lo que p( p) /. Sustituimos este vlor. ' ' '9 p( p) '9 Elimimos (pr simplificr cálculos), elevmos l cudrdo, oteemos que:. L ecuest dee de relirse pr más de vottes. Hemos clculdo el tmño de l muestr co u mrge de error o superior u certe del 9 %. ctividdes propuests. Cuáts veces se dee lr u moed pr que l proporció de crs o se prte de l teóric, /, más de u cetésim, co u grdo de certe o iferior l 9 %? Cuáts, co el mismo mrge de error u certe o iferior l 99 %? Lo mismo co 99 9 % de certe? (Solucioes: 9,, ) Volvemos l prolem de ls ecuests de votos. ctividd resuelt E u polció de 8 milloes de vottes elegimos u muestr letori de de l que 7 persos os firm que v votr u determido prtido. Qué podemos segurr sore el úmero de votos que reciirá dicho prtido? Como 7/ =, u primer respuest podrí ser que 8 = 8 votos, pero qué cofi podemos teer de ese resultdo. Fijmos u ivel de sigificció, o u grdo de cofi, =. Se = = = 9. Se p l proporció de vottes l prtido estudido. Teemos u distriució iomil de medi = p = p pq p( p). Clculmos l proilidd de que el úmero de vottes l prtido estudido de l muestr se: P( k X + k) 9. Psmos de l distriució iomil l orml pr clculr k p: P( k X + k + ) 9 k ' k ' k ' Tipificmos: P( Z ) 9. Oteemos que = 9, por lo que k + 9. Deemos sustituir e fució de p como se hio teriormete se otiee que: 8 p 79, es decir que l proporció de vottes dee estr etre el % el 7 %. ctividdes propuests. Reh los cálculos de l ctividd terior pr u ivel de cofi del 99 %. Se ivestig los háitos de cosumo de u polció de dos milloes de persos. Se ps u ecuest mil persos se les pregut si e su domicilio se coci co gs, de los que respode firmtivmete. Qué puedes firmr sore el úmero de persos e ls que e su domicilio se us gs co u ivel de cofi del 9 %.. CONTRSTE DE HIPÓTESIS.. Test de hipótesis. Cotrste de hipótesis pr l proporció polciol Empecemos co u ejemplo. ctividd resuelt L proilidd de currse u efermedd co u cierto medicmeto es 8. Se ivestig u uevo medicmeto que queremos mejore el úmero de curcioes. Se trt efermos de los que se cur. Podemos estr seguros de que el uevo medicmeto es mejor que el tiguo? E primer lugr vmos clculr l proilidd de que co el primer medicmeto se huier curdo efermos. Teemos u distriució iomil de medi = p = 8 =, pq '8' ' ' justmos l iomil co u orml, tipificmos uscmos e l tl: ' P ( ') P( ') '98 '9 ' L proilidd h slido mu pequeñ. Rechmos l hipótesis. uque es posile que sí huier co el primer º Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Estimció. Itervlos de cofi utor: Rquel Cro LirosMreVerde.tk Revisores: Letici Goále Pscul Álvro Vldés Meéde Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

179 78 medicmeto curcioes, pero sólo e el 9 % de los csos. Nivel de sigificció E el ejemplo hemos prtido de cosiderr ciert u hipótesis, que los medicmetos fuer igules. Si l proilidd sle meor que u cierto vlor, llmdo ivel de sigificció, rechmos l hipótesis. Se suele tomr como iveles de sigificció %, %, % segú l turle del prolem. E l ctividd terior dirímos que rechmos l hipótesis de que mos medicmetos se igul de efectivos co u ivel de sigificció del %, pero o podrímos rechrl co u ivel de sigificció del % por ser 9 >. ctividd resuelt E l ctividd terior, el úmero de curcioes oservds,, es comptile co que el medicmeto se efectivo e el 9 % de los csos, co u ivel de sigificció del %? Y e el 7 % co igul ivel de sigificció? Repetimos el proceso pr estos uevos vlores: p Z P( ) 9 p = 9 = 8 pq '9 ' ' = 7 = 9 7 p = 7 = pq '7 ' 8 ' ' = '8-97 = Rechmos l hipótesis co u ivel de sigificció del % de que el porcetje de curcioes se del 8 %, del 9 %. Espermos que el porcetje de curcioes del segudo medicmeto se superior l 7 %. Test uilterl test ilterl Hemos cosiderdo e ls ctividdes teriores l hipótesis de que mos medicmetos tiee u porcetje de curcioes igules, l hipótesis cotrri de que el segudo medicmeto tiee u mor porcetje de curcioes. Hemos clculdo P( ), es decir, l proilidd de que l vrile letori tome vlores l derech de. Este tipo de test se deomi uilterl. Si deemos clculr proiliddes simétrics mos ldos, se deomi ilterl. ctividd resuelt Queremos compror si u moed o está trucd, co u ivel de sigificció del %. Lmos l moed l ire veces oteemos crs. ceptmos l hipótesis de que l moed o está trucd? Teemos ls siguietes hipótesis: H = l moed tiee u proilidd de slir cr de /. H : L moed está trucd, l proilidd de cr es distit de /. Es u distriució iomil de medi = (/) =, vri = (/)(/) = =. L hipótesis H idic que p podrí ser mor que / o meor que /, por lo que deemos cosiderr tto que se oteg más de crs como que se oteg meos. Hemos oteido crs, que super e l vlor medio,, luego vmos clculr: P( > ), es decir, P( > ) + P( + < ) De uevo proimmos l iomil co l orml: P( > ) + P( < 9 ) = P( > ) + P( < ) = ( P( )) + ( P( )) = ( P( )) = ( 98) = ( 79) = 8 Como 8 <, podemos rechr l hipótesis de que l moed esté equilird (teg u proilidd de /, se de Lplce:..) l ivel de sigificció del %. E mos ejemplos teemos dud sore si el prámetro polciol tom u vlor determido. Pr slir de es dud hcemos u test estdístico, tomdo u muestr letori que os permit scr coclusioes de l polció, ceptr o rechr l hipótesis previmete emitid Cso H o H Curcioes p = 9 % p > 9 % Moed p = / p / ctividdes propuests. Repite los cálculos de u ctividd terior pr compror si u moed o está trucd, co u ivel de sigificció del %. Pr ello lmos l moed l ire veces oteemos crs. Se puede segurr que se u moed de proilidd /?. Se h clculdo que etre los deportists que jueg l futol h u porcetje de ccidetes del %. Se h estudido el úmero de ccidetes etre persos que prctic l tció h resultdos ccidetds persos. Es l tció igul de peligros que el futol? º Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Estimció. Itervlos de cofi utor: Rquel Cro LirosMreVerde.tk Revisores: Letici Goále Pscul Álvro Vldés Meéde Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

180 79.. Cotrste de hipótesis pr l medi polciol Podemos ecotrr dos csos, que l hipótesis ul H se del tipo =, o que se co u desiguldd:, o ie. Pso : Hipótesis H : =, H :. Pso : Zo de ceptció. Cosidermos que l medi se distriue segú N(, ) lo que es cierto si l distriució polciol es orml o si el tmño de l muestr es suficietemete grde. L o de ceptció de l hipótesis es el itervlo:, Pso : Verificció: Se etre l muestr se clcul. Pso : Decisió: Se cept o se rech l hipótesis. ctividd resuelt Se pies que el tiempo de reovció de u teléfoo móvil, epresdo e ños, se puede proimr medite u distriució orml de medi co desvició típic ños. Pr cotrstr est hipótesis se ps u ecuest persos, el tiempo medio de reovció de sus teléfoos móviles h sido de 8 ños. Se puede ceptr l hipótesis co u ivel de sigificció del %? Pso : Hipótesis H : =, H :. Pso : Zo de ceptció: ' ', = '9, '9 = ( 9, 8) Pso : Verificció: l etrer l muestr l medi h sido 8 que o perteece l itervlo de ceptció. Pso : Se rech l hipótesis de que l medi se. Pr el cotrste uilterl l o de ceptció o será simétric. ctividd resuelt E l ctividd terior se quiere cotrstr l hipótesis de que l medi es superior. Pso : Hipótesis H : >, H :. Pso : Zo de ceptció: ', = '9, = ( 9, +). Pso : Verificció: l etrer l muestr l medi h sido 8 que o perteece l itervlo de ceptció. Pso : Se rech l hipótesis de que l medi se superior... Hipótesis ul. Error de primer segud especie Hemos visto ejemplos e los que hemos hecho u hipótesis, (que mos medicmetos er igules, que l moed o est trucd ). L hipótesis, H, de que o h cmios se llm hipótesis ul. L hcemos co l iteció de rechrl, ceptr l hipótesis cotrri, H, de que sí h cmios (el segudo medicmeto es mejor, l moed está trucd ). Pr decidir si rechmos H hemos fijdo u ivel de sigificció,, hemos relido u test que os sumiistr u o crític D e l que: Si supoiedo que H es verdder ocurre que P( D) <, etoces rechmos H. Si supoiedo que H es verdder ocurre que P( D), etoces NO rechmos H. Podemos cometer dos tipos de errores, el error de tipo, es rechr H siedo verdder; el error del tipo, de ceptr H siedo fls. L proilidd de cometer u error del primer tipo es el ivel de sigificció. ctividdes propuests 7. L ts de tlidd de u regió h sido del 8 7 por mil hittes durte u cierto ño. Supoemos que l ts de tlidd es l mism l ño siguiete, hst qué úmero de cimietos etre hittes estrís dispuesto cofirmr dich hipótesis?.. logí etre itervlos de cofi cotrste de hipótesis Eiste u gr relció etre el itervlo de cofi pr u prámetro de u distriució el cotrste de hipótesis sore el mismo. Si l costruir el itervlo de cofi, el estimdor muestrl o perteece él, se rech l hipótesis ul de que l polció teg dicho prámetro. El ivel de sigificció de u cotrste de hipótesis es el complemetrio del ivel de cofi de u estimció:. º Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Estimció. Itervlos de cofi utor: Rquel Cro LirosMreVerde.tk Revisores: Letici Goále Pscul Álvro Vldés Meéde Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

181 8 Muestr letori simple RESUMEN Todos los idividuos de l polció tiee l mism proilidd de ser elegidos e l muestr. Se umer l polció se us úmeros letorios pr elegir l muestr. Teorem cetrl del ite Si X es u vrile letori de u polció de medi fiit desvició típic fiit. Etoces: L distriució de l medi muestrl de tmño tiee de medi desvició típic se proim u distriució orml medid que crece el tmño de l muestr Polció N(, ) Muestr de tmño =. Distriució de l medi muestrl: N(, ) Medi muestrl N(, ) Proporció muestrl Itervlo de cofi Itervlo de cofi pr l medi Error máimo dmisile. Tmño míimo de l muestr Itervlo de cofi pr l proporció N( p, p( p) ) P(8 ) P( ) P( ) '8 Itervlo de cofi: Si P ( X ) ' 9 teemos el itervlo de cofi (, ) Nivel de cofi o coeficiete de cofi: =, e uestro ejemplo, 9 Nivel de sigificció o de riesgo:, e uestro ejemplo, Vlor crítico: k k, que dej l derech (o l iquierd) u áre /. E l N(, ) so 9 9 pr =. Mrge de error: Difereci etre los etremos del itervlo de cofi. p p / E, p ( p), E p / p ( p) Proporció: %. Muestr de tmño = N(, ) N(, ), = = 9; P( 9 < (X-)/ < 9) = 9 P ( '8 X ') ' 9 N(, ), = 9; = E = 9(/) = 9. Si E = = ( 9(/ )) Proporció:/. Muestr de tmño =. = 9 / = ; s = (, ) Cotrste de hipótesis Pso : Hipótesis H: =, H:. Pso : Zo de ceptció., Pso : Verificció: Se etre l muestr se clcul. Pso : Decisió: Se cept o se rech l hipótesis. EJERCICIOS Y PROBLEMS. Utili ls tls de l orml estádr comprue ls proiliddes siguietes: ) P( < ) = 8; ) P( 7) = 78; c) P( > ) = 8 = 87; d) P( 8) = ; e) P( 8 < < ) = ; f) P( > 8) = 88; g) P( 8 < 7) = Utili ls tls de l orml estádr pr clculr ls proiliddes siguietes: ) P( < 7); ) P( ); c) P( > 9); d) P( 8); e) P(, < < 8); f) P( < < ); g) P( 7 > > 7); h) P( 9 > > ). º Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Estimció. Itervlos de cofi utor: Rquel Cro LirosMreVerde.tk Revisores: Letici Goále Pscul Álvro Vldés Meéde Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

182 8. U vrile letori X sigue u distriució orml de medi desvició típic. Clcul ls siguietes proiliddes: ) P(X < ); ) P(X ); c) P(X > ); d) P(X ); e) P( < X < ); f) P(X > ); g) P( X < 7); h) P( > X > ).. E u cetro escolr h 9 estudites, que so de ESO de Bchillerto. Se quiere tomr u muestr letori por muestro estrtificdo proporciol de tmño. Cuátos estudites se dee escoger de form letori de ESO cuátos de chillerto?. El úmero de megtes (M) descrgdos mesulmete por u grupo de clietes de u compñí de telefoí móvil se proim por u distriució orml co medi M desvició típic igul M. Se tom u muestr letori simple de tmño. ) Cuál es l proilidd de que l medi muestr se iferior M? ) Se superior M? c) Se supoe hor que l medi polciol es descoocid que l medi muestr tom el vlor 7 M. Oté u itervlo de cofi l 9 % pr l medi de l polció. Oté tmié u itervlo de cofi l 99 % pr l medi de l polció. Es mor o meos que el terior? Eplic este resultdo. L durció e hors de u cierto tipo de omills de jo cosumo se puede proimr por u distriució orml de medi desvició típic igul hors. Se tom u muestr letori simple. ) Qué tmño muestrl se ecesitrí como míimo pr que, co u ivel de cofi del 9 %, el vlor soluto de l difereci etre l durció medi oservd X de ess omills se iferior hors? ) Si el tmño de l muestr es l durció medi oservd X es de hors, oté u itervlo de cofi l 9 % pr l medi polciol. 7. L logitud, e mietros (mm), de los idividuos de u determid pltció de mejilloes se puede proimr por u vrile letori co distriució orml de medi descoocid desvició típic igul mm. ) Se tom u muestr letori simple de mejilloes se otiee u medi muestrl igul 7 mm. Determi u itervlo de cofi pr l medi polciol de l logitud de los mejilloes co u ivel de cofi del 99 %. Determi tmié u itervlo de cofi pr l medi polciol de l logitud de los mejilloes co u ivel de cofi del 9 %. ) Determi el tmño muestrl míimo ecesrio pr que el error máimo cometido e l estimció de por l medi muestrl se meor o igul que mm co u ivel de cofi del 9 %. 8. El cosumo mesul de leche (e litros) de los lumos de u determido colegio se puede proimr por u vrile letori co distriució orml de medi desvició típic = litros. ) Se tom u muestr letori simple se otiee el itervlo de cofi (; ) pr estimr, co u ivel de cofi del 9 %. Clcul l medi muestrl el tmño de l muestr elegid. ) Se tom u muestr letori simple de tmño 8. Clcul el error máimo cometido e l estimció de medite l medi muestrl co u ivel de cofi del 9 %. 9. El cosumo fmilir dirio de electricidd (e kw) e ciert ciudd se puede proimr por u vrile letori co distriució orml de medi = kw desvició típic 9 kw. Se tom u muestr letori simple de tmño. Clcul: ) L proilidd de que l medi muestrl esté compredid etre kw kw. ) El ivel de cofi co el que se h clculdo el itervlo de cofi ( ; ) pr l medi del cosumo fmilir dirio.. Se h tomdo u muestr letori simple de 9 pcietes se h otdo el úmero de dís que h reciido trtmieto pr trstoros digestivos que sufre. Los resultdos h sido:, 98, 7,, 8, 9,, 8, 7. Se se que l durció, e dís, del trtmieto se puede proimr por u vrile letori co distriució orml de medi descoocid desvició típic 9 dís; ) Determi u itervlo de cofi co u ivel del 9 % pr ; ) Qué tmño míimo dee teer l muestr pr que el error máimo cometido e l estimció de l medi se meor de dís, co u ivel de cofi del 9 %?. El tiempo de reovció de u teléfoo móvil, epresdo e ños, se puede proimr medite u distriució orml co desvició típic ños. ) Se tom u muestr letori simple de 8 usurios se otiee u medi muestrl igul 8 ños. Determi u itervlo de cofi l 9 % pr el tiempo medio de reovció de u teléfoo móvil. ) Determi el tmño muestrl míimo ecesrio pr que el vlor soluto de l difereci etre l medi muestrl l medi polciol se meor o igul ños co u ivel de cofi del 9 %. º Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Estimció. Itervlos de cofi utor: Rquel Cro LirosMreVerde.tk Revisores: Letici Goále Pscul Álvro Vldés Meéde Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

183 8. Se cosider u vrile letori co distriució orml de medi desvició típic igul. Se tom u muestr letori simple de elemetos. ) Clcul l proilidd de que el vlor soluto de l difereci etre l medi muestrl se mor o igul que. ) Determi u itervlo de cofi del 9 % pr ; si l medi muestrl es igul.. L esttur e cetímetros (cm) de los vroes mores de edd de u determid polció se puede proimr por u vrile letori co distriució orml de medi desvició típic = cm. ) Se tom u muestr letori simple de idividuos oteiédose u medi muestrl = 7 cm. Determi u itervlo de cofi l 9 % pr. ) Cuál es el míimo tmño muestrl ecesrio pr que el error máimo cometido e l estimció de por l medi muestrl se meor que cm, co u ivel de cofi del 9 %?. El míimo tmño muestrl ecesrio pr estimr l medi de u determid crcterístic de u polció que puede proimrse por u vrile letori co distriució orml de desvició típic, co u error máimo de 7 u ivel de cofi del 9 %, super e uiddes l que se ecesitrí si el ivel de cofi fuer del 9 % el error máimo fuer de. Epres los tmños muestrles e fució de l desvició típic clcul l desvició típic de l polció los tmños muestrles respectivos. UTOEVLUCIÓN. Idic cuál de los siguietes motivos o es por el que se recurre u muestr: ) El proceso de medició es destructivo ) L polció es mu umeros c) L polció es imposile o difícil de cotrolr d) L polció tiee ml crácter. U gderí tiee die mil ovejs de diferetes rs. Queremos etrer u muestr de ovejs. Idic el tipo de muestreo más decudo: ) muestreo letorio sistemático ) muestreo letorio estrtificdo c) muestreo o letorio d) muestreo letorio por coglomerdos. Idic cuál de ls siguietes firmcioes es fls e u distriució N(, ): ) P( < ) = ) P( < ) = c) P( = ) = d) P( > ) =.. De u polció de medi 9 desvició típic 8 se tom u muestr de tmño. L proilidd de que u idividuo de l muestr teg u vlor mor que 9 es: ) P( > 9) = 9987 ) P( > 9) = c) P( > 9) = 9 d) P( > 9) =.. Los prámetros de u distriució so = desvició típic =. Se etre u muestr de idividuos. El vlor de P(8 < < ) es: ) P( < ) = 8 ) 88 c) 8 d) 8.. E el cotrol de clidd de u fáric de chocolte, se ems tlets de grmos co u desvició típic de grmos. Se tom u muestr de tlets. Clcul l proilidd de que el peso medio de ls tlets se meor que 99 grmos: ) ) 9998 c) d). 7. E el cotrol de clidd de u evsdor de estuches de jmó, se evs e estuches de grmos co u desvició típic de grmos. L proilidd de que u lote de estuches pese más de grmos es de: ) 998 ) c) d), Determi u itervlo de cofi co u ivel de cofi del 9 de u N(, ): ) P ( '8 X ') ' 9 ) P ( '9 X ' ) ' 9 c) P ( '8 X ') ' 99 d) P ( X ) ' 9 9. Se h elegido u muestr letori simple de compoetes e ell se h oteido que l proporció de defectuosos es del 7 %. Determi el itervlo de cofi l 99 % pr l proporció de compoetes defectuosos que se produce e u fáric: ) ( 7, 7) ) ( 8, ) c) (, ) d) (, ). Cuál dee ser el tmño de l muestr e u polció de 8 milloes de vottes pr coocer si tiee l iteció de votr u determido prtido político co u proilidd de cierto del 9 u mrge de error iferior?: ) ) 99 c) d) º Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Estimció. Itervlos de cofi utor: Rquel Cro LirosMreVerde.tk Revisores: Letici Goále Pscul Álvro Vldés Meéde Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

184 8 ÁRES BJO L DISTRIBUCIÓN DE PROBBILIDD NORML ESTÁNDR, N(, ) Tl de l um: Uiversidd utóom de Mdrid,,,,,,,7,8,9,,,,8,,,99,9,79,9,9,,98,8,78,7,7,9,,7,7,7,,79,8,87,9,98,987,,,,,,79,7,,9,,8,,,8,7,,,9,8,,7,7,77,88,8,879,,9,9,98,79,7,788,7,77,79,7,,77,79,7,77,789,7,7,78,77,79,7,78,7,7,77,77,77,77,779,78,78,8,788,79,799,797,799,8,8,878,8,8,9,89,88,8,88,8,889,8,8,8,889,,8,88,8,88,88,8,8,877,899,8,,8,8,88,878,879,879,877,879,88,88,,889,889,8888,897,89,89,89,898,8997,9,,9,99,9,98,999,9,9,97,9,977,,99,97,9,9,9,9,979,99,9,99,,9,9,97,97,98,99,9,98,99,9,,9,9,97,98,99,9,9,9,9,9,7,9,9,97,98,99,999,98,9,9,9,8,9,99,9,9,97,978,98,99,999,97,9,97,979,97,97,978,97,97,97,97,977,,977,9778,978,9788,979,9798,98,988,98,987,,98,98,98,98,988,98,98,98,98,987,,98,98,988,987,987,9878,988,988,9887,989,,989,989,9898,99,99,99,999,99,99,99,,998,99,99,99,997,999,99,99,99,99,,998,99,99,99,99,99,998,999,99,99,,99,99,99,997,999,99,99,99,99,99,7,99,99,997,998,999,997,997,997,997,997,8,997,997,997,9977,9977,9978,9979,9979,998,998,9,998,998,998,998,998,998,998,998,998,998,,9987,9987,9987,9988,9988,9989,9989,9989,999,999,,999,999,999,999,999,999,999,999,999,999,,999,999,999,999,999,999,999,999,999,999,,999,999,999,999,999,999,999,999,999,9997,,9997,9997,9997,9997,9997,9997,9997,9997,9997,9998,,9998,9998,9998,9998,9998,9998,9998,9998,9998,9998,,9998,9998,9999,9999,9999,9999,9999,9999,9999,9999,7,9999,9999,9999,9999,9999,9999,9999,9999,9999,9999,8,9999,9999,9999,9999,9999,9999,9999,9999,9999,9999,9,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, º Bchillerto. Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II. Cpítulo : Estimció. Itervlos de cofi utor: Rquel Cro LirosMreVerde.tk Revisores: Letici Goále Pscul Álvro Vldés Meéde Ilustrcioes: Bco de Imágees de INTEF

Matemáticas Aplicadas. 2º de Bachillerato. LibrosMareaVerde.tk Autores: Leticia González y Álvaro Valdés

Matemáticas Aplicadas. 2º de Bachillerato. LibrosMareaVerde.tk  Autores: Leticia González y Álvaro Valdés Mtemátics plicds ls Ciecis Sociles II º de Bchillerto LirosMreVerde.tk www.putesmreverde.org.es utores: Letici Goále Álvro Vldés TEXTOS MRE VERDE LirosMreVerde.tk www.putesmreverde.org.es No se permite

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES

SISTEMAS DE ECUACIONES . Sistems de ecucioes lieles SISTEAS DE ECUACIONES Se deomi ecució liel quell que tiee l form de u poliomio de primer grdo, es decir, ls icógits o está elevds potecis, i multiplicds etre sí, i e el deomidor.

Más detalles

CÁLCULO DE DETERMINANTES DE SEGUNDO Y TERCER ORDEN. REGLA DE SARRUS

CÁLCULO DE DETERMINANTES DE SEGUNDO Y TERCER ORDEN. REGLA DE SARRUS Fcultd de Cotdurí y dmiistrció. UNM Determites utor: Dr. José Muel Becerr Espios MEMÁICS BÁSICS DEERMINNES CONCEPO DE DEERMINNE DEFINICIÓN Se u mtriz cudrd de orde. Se defie como ermite de (deotdo como,

Más detalles

TEMA 1. VECTORES Y MATRICES 1.4. APLICACIONES

TEMA 1. VECTORES Y MATRICES 1.4. APLICACIONES TEM. VECTORES Y MTRICES.. PLICCIONES . VECTORES Y MTRICES.. PLICCIONES... Cálculo del rgo de u mtri.... Cálculo de l ivers de u mtri.... Resolució de ecucioes mtriciles.... Discusió resolució de sistems

Más detalles

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES SISTEM DE ECUCIONES LINELES Defiició: Llmremos sistem de m ecucioes co icógits, u cojuto de ecucioes de l form: m.... m..... m m (S) Los elemetos so los coeficietes del sistem. ij Los elemetos i so ls

Más detalles

MATRICES: INVERSA GENERALIZADA DE MOORE-PENROSE. Jorge Eduardo Ortiz Triviño

MATRICES: INVERSA GENERALIZADA DE MOORE-PENROSE. Jorge Eduardo Ortiz Triviño MTRIES: INVERS GENERLIZD DE MOORE-PENROSE Jorge Edurdo Ortiz Triviño jeortizt@uleduco http:/wwwdocetesuleduco Mtrices Elemeto: ij Tmño: m Mtriz cudrd: orde ) Elemetos de l digol: m m m Vector colum mtriz

Más detalles

MATRICES Y DETERMINANTES

MATRICES Y DETERMINANTES Eucidos de proles de selectividd. Mteátics II. Mtrices y deterites MTRICES Y DETERMINNTES.(97).- Se dice que u triz cudrd es ortogol si se verific que t I. Si y B so dos trices ortogoles de igul tño, lizr

Más detalles

Matemáticas II Hoja 2: Matrices

Matemáticas II Hoja 2: Matrices Profesor: Miguel Ágel Bez lb (º Bchillerto) Mtemátics II Hoj : Mtrices Opercioes: Ejercicio : Ecotrr ls mtrices X e Y tles que: X Y 5 X Y 7 Ejercicio : 5 Dds ls mtrices y B, clcul: ) -B b) B c) B(-) d)

Más detalles

TEMA 2: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

TEMA 2: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Profesor: Rf Gozález Jiméez Istituto St Eulli TEM 2: SISTEMS DE ECUCIONES LINELES ÍNDICE 2..- Sistems de Ecucioes Lieles. Geerliddes. 2.2.- Sistems equivletes. 2.3.- Resolució de S.E.L. por mtriz ivers.

Más detalles

el blog de mate de aida CSI: sistemas de ecuaciones. pág

el blog de mate de aida CSI: sistemas de ecuaciones. pág el blog de mte de id CSI: sistems de ecucioes pág SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO U sistem de "m" ecucioes lieles co "" icógits,,,, es u cojuto de "m" igulddes de l form: m m b b m dode ij, b i

Más detalles

los coeficientes 10 y 30 tienen los factores comunes 2, 5 y 10, se saca el mayor factor común: 10, de las letras el factor 2

los coeficientes 10 y 30 tienen los factores comunes 2, 5 y 10, se saca el mayor factor común: 10, de las letras el factor 2 CASO I: CUANDO TODOS LOS TÉRMINOS DE UN POLINOMIO TIENEN UN FACTOR COMÚN ) Fctor comú moomio. Ejemplos: descompoer e fctores ) fctor comú como coeficiete de u prétesis; detro de los prétesis se escrie

Más detalles

TERCER PERÍODO 2015 CASO I: CUANDO TODOS LOS TÉRMINOS DE UN POLINOMIO TIENEN UN FACTOR COMÚN

TERCER PERÍODO 2015 CASO I: CUANDO TODOS LOS TÉRMINOS DE UN POLINOMIO TIENEN UN FACTOR COMÚN TERCER PERÍODO 01 CASO I: CUANDO TODOS LOS TÉRMINOS DE UN POLINOMIO TIENEN UN FACTOR COMÚN ) Fctor comú moomio. Ejemplos: descompoer e fctores ) fctor comú como coeficiete de u prétesis; detro de los prétesis

Más detalles

Matemáticas Aplicadas a la Ciencias Sociales II SISTEMAS DE ECUACIONES. , a toda ecuación que pueda escribirse de la forma: ...

Matemáticas Aplicadas a la Ciencias Sociales II SISTEMAS DE ECUACIONES. , a toda ecuación que pueda escribirse de la forma: ... Mtemátics Aplicds l Ciecis Sociles II SISTEMAS DE ECUACIONES Ecució liel Se llm ecució liel co icógits,,,,,, tod ecució que pued escriirse de l form: + + + + = dode,,,,, so úmeros reles El cojuto de úmeros

Más detalles

ACADEMIA GENERAL MILITAR AÑO 2013 EJERCICIO DE CIENCIAS MATEMÁTICAS

ACADEMIA GENERAL MILITAR AÑO 2013 EJERCICIO DE CIENCIAS MATEMÁTICAS CDEMI GENERL MILITR ÑO.- Idique cul de ls siguietes firmcioes referetes ls propieddes de ls mtrices es FLS: ) B C B C T T ) B T B T T B T B T T.- Dd l mtriz cudrd M =, determir respectivmete el meor complemetrio

Más detalles

TEMA1: MATRICES Y DETERMINANTES:

TEMA1: MATRICES Y DETERMINANTES: TEM: MTRICES Y DETERMINNTES: MTRICES: U triz de diesió, es u tbl ford por fils y colus. j i siedo ij,.,,., ) ( Por ejeplo: Se ll Mtriz Fil l que tiee u sol fil, ejeplo: Se ll Mtriz Colu l que tiee u sol

Más detalles

D E T E R M I N A N T E S M A T R I Z I N V E R S A

D E T E R M I N A N T E S M A T R I Z I N V E R S A º DE BACHILLERATO DETERMINANTES D E T E R M I N A N T E S ----------- M A T R I Z I N V E R S A DETERMINANTES I. Determites. II. Primers pliioes de los determites. I. Determites.. Defiió álulo de u determite.

Más detalles

Sucesiones de Números Reales

Sucesiones de Números Reales Apédice A Sucesioes de Números Reles A.. Defiicioes U sucesió de úmeros reles es u correspodeci A que soci, cd úmero turl, u úmero rel A ( ) El cojuto de los úmeros turles, cotiee ifiitos elemetos e u

Más detalles

Álgebra para ingenieros de la Universidad Alfonso X

Álgebra para ingenieros de la Universidad Alfonso X Crrer: UAX Asigtur: temátics Fech: Pági de 9 Álger pr igeieros de l Uiversidd Alfoso X -trices y sistems de ecucioes lieles Opercioes co mtrices: A= m m B= m p p q q pq Sum: - s mtrices sumr tiee que teer

Más detalles

POTENCIAS Y RAÍCES DE NÚMEROS RACIONALES

POTENCIAS Y RAÍCES DE NÚMEROS RACIONALES Lecció : POTENCIAS Y RAÍCES DE NÚMEROS RACIONALES.1.- POTENCIA DE UNA FRACCIÓN Si se tiee e cuet que ls frccioes so cocietes idicdos y que l poteci de u cociete es igul l cociete de potecis, se puede decir

Más detalles

Potencias y radicales

Potencias y radicales Potecis y rdicles Ojetivos E est quice prederás : Clculr y operr co potecis de epoete etero. Recoocer ls prtes de u rdicl y su sigificdo. Oteer rdicles equivletes uo ddo. Epresr u rdicl como poteci de

Más detalles

Licenciatura en Electrónica y Computación: Métodos Numéricos

Licenciatura en Electrónica y Computación: Métodos Numéricos CIICp VLORES Y VECTORES PROPIOS Los vlores y vectores propios se cooce tmié como eigevlores y eigevectores. Estos vlores y vectores propios se utiliz geerlmete e sistems lieles de ecucioes homogéeos que

Más detalles

Supertriangular Subtriangular Diagonal Unidad

Supertriangular Subtriangular Diagonal Unidad MT. EMPRESRILES TE RESOLVEMOS LS PRIMERS DUDS L eorí de mrices es l que v porr l form operiv de resolver u iumerle cidd de ejercicios de Álger. Por odo lo que supoe eso, os vmos proporcior los coocimieos

Más detalles

NÚMEROS REALES NEGATIVOS (Z - ) 0 POSITIVOS (Z + )

NÚMEROS REALES NEGATIVOS (Z - ) 0 POSITIVOS (Z + ) LOS NÚMEROS REALES Sistem de úmeros reles Vlor soluto COMPENTECIA: Utilizr rgumetos de l teorí de úmeros pr justificr relcioes que ivolucr los úmeros turles NÚMEROS REALES Recuerde que: REALES (R) IRRACIONALES

Más detalles

TEMA 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS

TEMA 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS Aloso Ferádez Gliá Tem : Epresioes lgerics - - TEMA : EXRESIONES ALGEBRAIAS U poliomio es u sum idicd de moomios de distito grdo. Los poliomios se omr medite u letr múscul seguid de l vrile escrit etre

Más detalles

TEMA 1. ÁLGEBRA LINEAL

TEMA 1. ÁLGEBRA LINEAL Te Álgebr Liel Mteátics TEMA. ÁLGEBRA LINEAL - VECTORES DE R Defiició R {(,,..., )/,,..., R } (-tupls de os reles ordeds) Defiios e este cojuto opercioes: Su () Pr culesquier eleetos, (,,..., ), (y,y,...,y

Más detalles

( a b c) n = a n b n c n ( a : b) n = a n : b n a n a m = a n+m a n :a m = a n-m (a n ) m = a n.m

( a b c) n = a n b n c n ( a : b) n = a n : b n a n a m = a n+m a n :a m = a n-m (a n ) m = a n.m Igreso Potecició e R: Ddo u úmero rel, que le llmremos bse y u umero turl, l que le llmremos epoete. defiimos: =.... Propieddes de l potecició: veces ( epoete) Ests propieddes se eplic mejor si se etiede

Más detalles

Escuela Pública Experimental Desconcentrada Nº3 Dr. Carlos Juan Rodríguez Matemática 4º Año Ciclo Básico de Secundaria Teoría Nº 1 Primer Trimestre

Escuela Pública Experimental Desconcentrada Nº3 Dr. Carlos Juan Rodríguez Matemática 4º Año Ciclo Básico de Secundaria Teoría Nº 1 Primer Trimestre Escuel Púlic Experimetl Descocetrd Nº Dr. Crlos Ju Rodríguez Mtemátic º Año Ciclo Básico de Secudri Teorí Nº Primer Trimestre Cojuto de los úmeros rcioles Los úmeros rcioles so quellos que puede ser expresdos

Más detalles

RAÍCES Y SUS PROPIEDADES Guía para el aprendizaje (Presentar el día martes 29 de abril 2014)

RAÍCES Y SUS PROPIEDADES Guía para el aprendizaje (Presentar el día martes 29 de abril 2014) NOMBRE DEL ESTUDIANTE:: RAÍCES Y SUS PROPIEDADES Guí pr el predizje (Presetr el dí mrtes 9 de ril 0) CURSO: RADICALES Se llm ríz -ésim de u úmero, se escrie, u úmero que elevdo de. 9, porque 9 7, porque.0,

Más detalles

lasmatemáticas.eu Pedro Castro Ortega materiales de matemáticas son equivalentes porque 2 10 4 5.

lasmatemáticas.eu Pedro Castro Ortega materiales de matemáticas son equivalentes porque 2 10 4 5. Itroducció º ESO º ESO Pr operr co frccioes se sigue el mismo método que pr operr co úmeros eteros. Es decir, hy que respetr u jerrquí. Recordémosl: 1. Corchetes y prétesis.. Multipliccioes y divisioes..

Más detalles

1.1 Secuencia de las operaciones

1.1 Secuencia de las operaciones 1 Uiversidd Ctólic Lo Ágeles 1. FUNDAMENTOS MATEMATICOS BASICOS 1.1 Secueci de ls opercioes Ls opercioes mtemátics tiee u orde de ejecució, de mer que es ecesrio teer presete l secueci lógic de ls opercioes,

Más detalles

SUCESIONES DE NÚMEROS REALES

SUCESIONES DE NÚMEROS REALES SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Sucesioes de úmeros reles Se llm sucesió de úmeros reles u plicció del cojuto N * (cojuto de todos los úmeros turles excluido el cero) e el cojuto R de los úmeros reles. N

Más detalles

Binomio de Newton. Teorema: Sean a, b dos números reales no nulos, y sea n N un número natural. Entonces: a n k b k. n 1 a n 1 b + 2.

Binomio de Newton. Teorema: Sean a, b dos números reales no nulos, y sea n N un número natural. Entonces: a n k b k. n 1 a n 1 b + 2. Biomio de Newto Teorem del biomio de Newto Teorem: Se, b dos úmeros reles o ulos, y se N u úmero turl. Etoces: b b b b b b L expresió l derech se deomi el desrrollo biomil de b. Observmos que este desrrollo

Más detalles

x que deben ser calculados

x que deben ser calculados UNIDD 9.- Sistes de ecucioes lieles UNIDD 9: Sistes de ecucioes lieles. SISTEMS DE ECUCIONES LINELES U siste de ecucioes lieles co icógits es tod epresió del tipo:.. Llos: - Coeficietes del siste los úeros

Más detalles

ANEXO: Determinantes de matrices de orden 2 x 2 y 3 x 3. Aplicaciones al cálculo de la inversa de una matriz.

ANEXO: Determinantes de matrices de orden 2 x 2 y 3 x 3. Aplicaciones al cálculo de la inversa de una matriz. Profesor: Rf Gozález Jiméez Istituto St Eulli TEM : MTRICES ÍNDICE..- Cocepto de mtriz..2.- Tipos de mtrices..3.- Opercioes co mtrices..3..- Sum de mtrices. Propieddes..3.2.- Producto por u esclr. Propieddes..3.3.-

Más detalles

Área de Matemáticas. INTERVALOS Un intervalo es un subconjunto de números reales, existen los siguientes tipos de intervalos INTERVALOS CERRADO

Área de Matemáticas. INTERVALOS Un intervalo es un subconjunto de números reales, existen los siguientes tipos de intervalos INTERVALOS CERRADO Istitució Eductiv S Vicete de Púl Cieci, Tecologí y Sociedd e Armoí Áre de Mtemátics AREA: Mtemátics PROFESOR: Crlos A. Márquez Ferádez Mil: kmrfer@gmil.com Grdo: GUIA Nº TEMA: INTERVALOS Y DESIGUALDADES

Más detalles

a se llama la n-ésima potencia de a, siendo a la base y n el

a se llama la n-ésima potencia de a, siendo a la base y n el Guí de estudio Expoetes rdicles Uidd A: Clse Cmilo Eresto Restrepo Estrd, Li Mrí Grjles Vegs Sergio Ivá Restrepo Ocho.. Expoetes rdicles. Este trjo está pesdo pr repsr el álger elemetl estudid e el chillerto.

Más detalles

Matrices = A. Matriz cuadrada, si tiene el mismo nº de filas que de columnas. ... ... ... ...

Matrices = A. Matriz cuadrada, si tiene el mismo nº de filas que de columnas. ... ... ... ... Mtrices Mtrices INTRODUCCIÓN E el te terior heos usdo l tri plid de u siste, pr ejr, co ás coodidd, los úeros que iterviee e u siste liel E otros uchos proles es útil dispoer ejr u cojuto de úeros dispuestos

Más detalles

COTAS Y EXTREMOS DE CONJUNTOS DE NUMEROS REALES

COTAS Y EXTREMOS DE CONJUNTOS DE NUMEROS REALES VALORES ABSOLUTOS Defiició: si 0 =, si < 0 = Por lo tto 0 R Teorem 2 = 2 Demostrció: si 0 2 = 2, si < 0 2 = ( ) 2 = 2 PROPIEDADES. =. = + + (desiguldd trigulr) = Teorem x x Demostrció: x x 2 2 x 2 2 x

Más detalles

INSTRUCTIVO PARA TUTORÍAS

INSTRUCTIVO PARA TUTORÍAS INSTRUCTIVO PARA TUTORÍAS Ls tutorís correspode los espcios cdémicos e los que el estudite del Politécico Los Alpes puede profudizr y reforzr sus coocimietos e diferetes tems de cr l eme de dmisió de l

Más detalles

el blog de mate de aida. NÚMEROS REALES 4º ESO pág. 1 NÚMEROS REALES

el blog de mate de aida. NÚMEROS REALES 4º ESO pág. 1 NÚMEROS REALES el log de mte de id. NÚMEROS REALES 4º ESO pág. NÚMEROS REALES Expresió deciml de los úmeros rcioles. Pr psr u úmero rciol de form frcciori form deciml st dividir el umerdor por el deomidor. Como l hcer

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SISTES DE ECUCINES INEES Ecucioes lieles. Se llm ecució liel co icógits tod ecució que pued escriirse de l form: dode so vriles y... so úmeros reles siedo i el coeficiete de l vrile i y el térmio idepediete

Más detalles

Profesorado de Informática - Ciencias de la Computación - INET DFPD Matemática II 2010 Sucesiones

Profesorado de Informática - Ciencias de la Computación - INET DFPD Matemática II 2010 Sucesiones Profesordo de Iformátic - Ciecis de l Computció - INET DFPD Mtemátic II Sucesioes Sucesioes Tems: Límites de sucesioes. Sucesioes moótos y sus límites. Pres de sucesioes moótos covergetes. Número e. Opercioes

Más detalles

Fracción generatriz de un decimal. Denominador :1 seguido de tantos 0 como cifras decimales haya 1000 = 7 8

Fracción generatriz de un decimal. Denominador :1 seguido de tantos 0 como cifras decimales haya 1000 = 7 8 º BACHILLERATO (LOMCE) MATEMÁTICAS CC SS TEMA.- NÚMEROS- PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES.- FRACCIONES Y DECIMALES Opercioes comids co frccioes Pr relizr vris opercioes se reliz primero los prétesis y se

Más detalles

Capítulo 3. Potencias de números enteros

Capítulo 3. Potencias de números enteros Cpítulo. Potecis de úmeros eteros U poteci es u epresió de l form, dode es l bse de l poteci y el epoete. Se lee: elevdo. U poteci es el producto de l bse por sí mism tts veces como idic el epoete. se

Más detalles

Potenciación en R 2º Año. Matemática

Potenciación en R 2º Año. Matemática Potecició e R º Año Mtemátic Cód. 0-7 P r o f. M r í d e l L u j á M r t í e z P r o f. V e r ó i c F i l o t t i P r o f. J u C r l o s B u e Dpto. de Mtemátic Poteci de epoete etero. POTENCIACIÓN EN

Más detalles

Sucesiones de funciones

Sucesiones de funciones Tem 7 Sucesioes de fucioes Defiició 7. Se A IR y F A, IR el cojuto de ls fucioes de A e IR. Llmremos sucesió de fucioes de A culquier plicció de IN F A, IR, y l deotremos por f } = ó f } =. 7. Covergeci

Más detalles

Tema 7: Series Funcionales

Tema 7: Series Funcionales I.T.Telecomuiccioes Curso 99/ Tem 7: Series Fucioles Al estudir el teorem de Tylor se oservó l posiilidd de epresr u fució f ifiitmete derivle como u sum ifiit de fucioes moomiles, lgo sí como u poliomio

Más detalles

Progresiones aritméticas y geométricas

Progresiones aritméticas y geométricas Progresioes ritmétics y geométrics Progresioes ritmétics y geométrics. Esquem de l uidd PROGRESIONES Progresioes Aritmétics Progresioes Geométrics Iterés compuesto Sum de térmios Sum de térmios Producto

Más detalles

I.E.S. PADRE SUÁREZ Álgebra Lineal 1 TEMA I MATRICES. DETERMINANTES.

I.E.S. PADRE SUÁREZ Álgebra Lineal 1 TEMA I MATRICES. DETERMINANTES. I.E.S. PDRE SUÁREZ Álgebr Linel TEM I. Mtrices.. Operciones con mtrices. Determinnte de un mtriz cudrd.. Mtriz invers de un mtriz cudrd. MTRICES. DETERMINNTES.. MTRICES. Llmmos mtriz de números reles,

Más detalles

3.- Solución de sistemas de ecuaciones lineales

3.- Solución de sistemas de ecuaciones lineales .- Solució de sistes de ecucioes lieles U siste de ecucioes lieles e icógits tiee l for geerl: + + + +... + +... + +... + (.) L solució de estos sistes de ecucioes lieles ls podeos ctlogr segú l tl. Siste

Más detalles

EL ÁLGEBRA LINEAL Y EL PROBLEMA DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS. Santiago Relos Paco Universidad Privada Boliviana

EL ÁLGEBRA LINEAL Y EL PROBLEMA DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS. Santiago Relos Paco Universidad Privada Boliviana INVESTIGCIÓN & DESRROLLO No. Vol. : 7 79 ISSN -6 RESUMEN EL ÁLGEBR LINEL Y EL PROBLEM DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS Stigo Relos Pco Uiversidd Privd Bolivi srelos@upb.edu Recibido el 5 juio ceptdo pr publicció el

Más detalles

Definición: Llamamos función exponencial a una función que se expresa de la forma: x. ( x)

Definición: Llamamos función exponencial a una función que se expresa de la forma: x. ( x) FUNCIÓN EXPONENCIAL Defiició: Llmmos fució epoecil u fució que se epres de l form: f = = co > 0 ( ), dode f ( ) : R R > 0 Ates de trbjr específicmete, co ls fucioes epoeciles, recordemos lguos coceptos

Más detalles

APUNTE: Introducción a las Sucesiones y Series Numéricas

APUNTE: Introducción a las Sucesiones y Series Numéricas APUNTE: Itroducció ls Sucesioes y Series Numérics UNIVERSIDAD NACIONAL DE RIO NEGRO Asigtur: Mtemátic Crrers: Lic. e Admiistrció Lic. e Turismo Lic. e Hotelerí Profesor: Prof. Mbel Chresti Semestre: do

Más detalles

Segunda definición.- Se llama sucesión de números reales a una aplicación del conjunto N* = N {0} en el conjunto de los números reales

Segunda definición.- Se llama sucesión de números reales a una aplicación del conjunto N* = N {0} en el conjunto de los números reales SUCESIONES DE NÚMEROS REALES. LÍMITE DE SUCESIONES. INTRODUCCIÓN.- Relció - Relció es tod propiedd que comuic los elemetos de dos cojutos o bie comuic etre sí los elemetos de u mismo cojuto. E geerl u

Más detalles

3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Teorí ejercicios de teátics II. Álger Sistes de ecucioes lieles - -. SISTES DE ECUCIONES INEES. DEFINICION U ecució liel es u ecució de l for e l que, so los coeficietes de ls icógits, es el tério idepediete

Más detalles

Las reglas de divisibilidad

Las reglas de divisibilidad Uiversidd Itermeric de Puerto Rico - Recito de Poce Ls regls de divisibilidd Por: Erique Díz Gozález Uiversidd Itermeric de Puerto Rico e el Recito de Poce Itroducció Desde l escuel elemetl los estudites

Más detalles

Olimpiada Costarricense de Matemáticas. II Eliminatoria Curso preparatorio Nivel B. Elaborado por: Christopher Trejos Castillo ÁLGEBRA

Olimpiada Costarricense de Matemáticas. II Eliminatoria Curso preparatorio Nivel B. Elaborado por: Christopher Trejos Castillo ÁLGEBRA Olimpid Costrricese de Mtemátics II Elimitori 011 Curso preprtorio Nivel B Elbordo por: Christopher Trejos Cstillo ÁLGEBRA Iicimos demostrdo dos resultdos que puede ser importtes pr resolver problems olímpicos.

Más detalles

Las reglas de divisibilidad Por: Enrique Díaz González

Las reglas de divisibilidad Por: Enrique Díaz González Uiversidd Itermeric de Puerto Rico - Recito de Poce Ls regls de divisibilidd Por: Erique Díz Gozález Itroducció Desde l escuel elemetl los estudites se les eseñ cudo u etero es divisible, por ejemplo,

Más detalles

Prof. Dr. Paul Bustamante

Prof. Dr. Paul Bustamante Práctics de C++ Prctic Nº 4 Iformátic II Fudmetos de Progrmció Prof. Dr. Pul Bustmte Prctic Nº4 Progrmció e C++ Pág. ÍNDICE ÍNDICE.... Itroducció.... Ejercicio : Números cpicús....2 Ejercicio 2: Producto

Más detalles

TEMA 2 ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMAS

TEMA 2 ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMAS TEMA ECUACIONES INECUACIONES Y SISTEMAS CURSO CERO MATEMÁTICAS:. ECUACIONES INECUACIONES Y SISTEMAS.. ECUACIONES DE PRIMER GRADO... Método geerl de resolució de ecucioes EJEMPLO: Resolver 4 5 6 (+7) =

Más detalles

1. ESTIMACIÓN DE RADICALES Llamaremos estimar una raíz a dar una aproximación de ella. Por ejemplo, Raíz de 178 aproximadamente es 13 4.

1. ESTIMACIÓN DE RADICALES Llamaremos estimar una raíz a dar una aproximación de ella. Por ejemplo, Raíz de 178 aproximadamente es 13 4. Amplició potecis y rdicles º ESO Curso 06_07. ESTIMACIÓN DE RADICALES Llmremos estimr u ríz dr u proimció de ell. or ejemplo, 78. Ríz de 78 proimdmete es.. RADICALES EN FORMA DE OTENCIA El vlor de u ríz

Más detalles

2.- Dadas las matrices A y B. Calcula A+B, A-B, A 2, B 2, AB, BA

2.- Dadas las matrices A y B. Calcula A+B, A-B, A 2, B 2, AB, BA ejeriiosemees.om MTRICES Y DETERMINNTES. Dds ls mtries Hllr ) ) B ).B d) B. e) +B f) C. g) C.B h) C.D i) j) B k) + l) B.B uioes. Dds ls mtries B. Clul +B, B,, B, B, B uió D C B.B / / / / / / / / B / /

Más detalles

Ejemplos 1. Encontrar el área de la región limitada por la curva y = 6 x x 2 y el eje x. Solución

Ejemplos 1. Encontrar el área de la región limitada por la curva y = 6 x x 2 y el eje x. Solución Cálculo de Áres Ejemplos. Ecotrr el áre de l regió limitd por l curv = 6 el eje. (6)(6) / A d 4 8 9 7 A ()( 8) A = 5/6 uiddes cudrds. Ecotrr el áre de l regió etre l curv = e el eje etre = = A = e d e

Más detalles

a 1. x 1 + a 2 x a n.x n =

a 1. x 1 + a 2 x a n.x n = TEMA SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Mteátics II º Bchillerto TEMA SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. ECUACIÓN LINEAL.. DEINICIÓN: U ecució liel es u ecució polióic de grdo uo co u o vris icógits:.. coeficietes

Más detalles

9 Proieddes del roducto de úmeros or mtrices: b y M m. socitiv: b b Distributiv e : b b Distributiv e M m : Elemeto eutro: =.. Producto de mtrices Pr

9 Proieddes del roducto de úmeros or mtrices: b y M m. socitiv: b b Distributiv e : b b Distributiv e M m : Elemeto eutro: =.. Producto de mtrices Pr . OPERIONES ON MRIES.. Sum de mtrices Pr oder sumr dos mtrices ésts debe teer l mism dimesió. Etoces se sum térmio térmio: b b m m m Proieddes de l sum de mtrices: socitiv: omuttiv: Elemeto eutro: L mtriz

Más detalles

Matemáticas 1 EJERCICIOS RESUELTOS:

Matemáticas 1 EJERCICIOS RESUELTOS: Mtemátics EJERCICIOS RESUELTOS: Series umérics Ele Álvrez Sáiz Dpto. Mtemátic Aplicd y C. Computció Uiversidd de Ctbri Igeierí de Telecomuicció Fudmetos Mtemáticos I Ejercicios: Series umérics Clculr l

Más detalles

ECUACIONES LINEALES SIMULTANEAS HOMOGENEAS

ECUACIONES LINEALES SIMULTANEAS HOMOGENEAS ECUACIONES LINEALES SIMULTANEAS HOMOGENEAS Métodos Numéricos /Aálisis Numérico/ Cálculo Numérico Objetivo: Resolució de sistems de ecucioes lieles homogées por métodos proimdos. SISTEMAS DE ECUACIONES

Más detalles

SOLUCIONES BLOQUE I:NÚMEROS Ejercicio nº1 Reduce a común denominador y ordena de forma creciente las siguientes fracciones:

SOLUCIONES BLOQUE I:NÚMEROS Ejercicio nº1 Reduce a común denominador y ordena de forma creciente las siguientes fracciones: SOLUCIONES BLOQUE INÚMEROS Ejercicio º Reduce comú deomidor y orde de form creciete ls siguietes frccioes ), y, y 0 0 9 0 9 0 ), y,, b ), 0 y 0,, 0 0 0 0 0 0 0 0 Ejercicio º Iterpret ls siguietes epresioes

Más detalles

Unidad 2: SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS.

Unidad 2: SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS. Uidd : SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS. U sucesió es u cojuto ordedo de elemetos que respode u ley de formció. L sucesió suele brevirse: (,...) ( ) =,, 3,..., 3 Siedo el primer térmio, el segudo térmio,

Más detalles

Tema 1: Números reales.

Tema 1: Números reales. Tem : Números reles. REALES se utiliz pr Medir mgitudes se obtiee Ctiddes todos so Números Errores viee fectds de errores Aproximcioes clses se represet Rect rel Aproximcioes decimles Redodeos Trucmieto

Más detalles

POTENCIAS.- a determina la potencia de base a y exponente n, significa que hemos de multiplicar a por si mismo n veces.

POTENCIAS.- a determina la potencia de base a y exponente n, significa que hemos de multiplicar a por si mismo n veces. POTENCIAS.- determi l oteci de se y exoete, sigific ue hemos de multilicr or si mismo veces. Defiició: L otció Bse Exoet El exoete,, idic ls veces ue se reite l se e el roducto de ést or si mism. L se,,

Más detalles

Seminario Universitario de Ingreso Números reales

Seminario Universitario de Ingreso Números reales Seirio Uiversitrio de Igreso 07 Núeros reles Si u úero posee ifiits cifrs deciles o periódics, o puede escriirse coo u cociete etre úeros eteros, es decir, o es u Núero Rciol. Estos úeros recie el ore

Más detalles

5. Repaso de matrices. ( Chema Madoz, VEGAP, Madrid 2009)

5. Repaso de matrices. ( Chema Madoz, VEGAP, Madrid 2009) . epso de trices he Mdoz, VEGP, Mdrid ) Mtrices Eleeto: ij Tño: Mtriz cudrd: orde ) Eleetos de l digol: Vector colu triz ) Vector fil triz ) ) 8, B ) 8) B Su: ij k k k k k k k k k k k ) Multiplicció por

Más detalles

Potencias y radicales

Potencias y radicales Potecis y rdicles Ojetivos E est quice prederás : Clculr y operr co potecis de epoete etero. Recoocer ls prtes de u rdicl y su sigificdo. Oteer rdicles equivletes uo ddo. Epresr u rdicl como poteci de

Más detalles

( x) OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Y RADICALES UNIDAD VI. 0 son coeficientes numéricos y n N, c R es un cero o raíz, de ( x)

( x) OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Y RADICALES UNIDAD VI. 0 son coeficientes numéricos y n N, c R es un cero o raíz, de ( x) Pági del Colegio de Mtemátics de l ENP-UNAM Opercioes co frccioes lgebrics rdicles Autor: Dr. José Muel Becerr Espios OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Y RADICALES UNIDAD VI VI. TEOREMAS DEL RESIDUO

Más detalles

Aproximación al área bajo una curva.

Aproximación al área bajo una curva. Aproimció l áre jo u curv. Por: Miguel Solís Esquic Profesor de tiempo completo Uiversidd Autóom de Cips Clculr cd u de ls áres de los rectágulos que lle l regió cotd pr lczr el vlor del áre ecesrimete

Más detalles

2.5 REGLA DE CRAMER (OPCIONAL)

2.5 REGLA DE CRAMER (OPCIONAL) CAPÍTULO etermites i. Cree u mesje pr su profesor. Utilizdo úmeros e lugr de letrs, tl y como se describió e el problem 9 de MATLAB.8, escrib el mesje e form mtricil pr que pued multiplicrlo por l derech

Más detalles

3º) (Andalucía, Junio, 00) Determina una matriz A simétrica (A coincide con su traspuesta) sabiendo que:

3º) (Andalucía, Junio, 00) Determina una matriz A simétrica (A coincide con su traspuesta) sabiendo que: PROLEMS SORE MTRICES. PROFESOR: NTONIO PIZRRO. http://ficus.pntic.mec.es/pis NDLUCÍ-MTEMÁTICS PLICDS LS CCSSII: º) (ndlucí, Junio, 98) Si son dos mtrices culquier, es correct l siguiente cden de igulddes?:

Más detalles

1.-INTEGRAL DEFINIDA.

1.-INTEGRAL DEFINIDA. INTEGRAL DEFINIDA .-INTEGRAL DEFINIDA. e y ƒ( u fució cotiu e u itervlo [, ]. Not.- Pr simplificr l demostrció se cosider positiv, ƒ( > 0, e todo puto del itervlo. e divide el itervlo [, ] e "" suitervlos

Más detalles

Repaso general de matemáticas básicas

Repaso general de matemáticas básicas Repso geerl de mtemátics básics Expoetes y rdicles Regl de l multiplicció: Cudo dos ctiddes co l mism bse se multiplic, su producto se obtiee sumdo lgebricmete los expoetes. m m Expoete egtivo U térmio

Más detalles

RESUMEN FUNCIÓN DERIVADA Y APLICACIONES

RESUMEN FUNCIÓN DERIVADA Y APLICACIONES Mtemátics II Proesor: Mrí José Sáchez Quevedo RESUMEN FUNCIÓN DERIVADA Y APLICACIONES DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Se u ució cotiu e =, se deie: ( ) ( ) ( ) lim se le deomi derivd de l ució e el

Más detalles

1. Discutir según los valores del parámetro k el sistema

1. Discutir según los valores del parámetro k el sistema . Discutir segú los vlores del práetro el siste C Si, el (º de icógits) S. C. D. Teiedo e cut lo terior se discute el tipo de solució del siste pr los vlores del práetro que ulr el deterite de l tri de

Más detalles

Capítulo 7. Series Numéricas y Series de Potencias.

Capítulo 7. Series Numéricas y Series de Potencias. Cpítulo Series Numérics y Series de Potecis.. Itroducció. E este cpítulo le dremos setido l cocepto de sum ifiit de úmeros ó serie uméric, es decir, diremos que sigific sumr u ifiidd de úmeros... 4 El

Más detalles

Transformaciones lineales

Transformaciones lineales Trsformcioes lieles [Versió prelimir] Prof. Isbel Arrti Z. 1 Se V y W espcios vectoriles sobre el cuerpo R de los úmeros reles. U trsformció liel o plicció liel de V e W es u fució T : V W que stisfce:

Más detalles

LOS NÚMEROS REALES. n, se llaman números irracionales. Una diferencia entre los

LOS NÚMEROS REALES. n, se llaman números irracionales. Una diferencia entre los LOS NÚMEROS REALES Los úmeros,, so usdos pr cotr Normlmete se los cooce como el cojuto de los úmeros turles, dicho cojuto se lo deot ormlmete co l letr N, sí N {,,K } Si se sum dos úmeros turles el resultdo

Más detalles

Integral Definida. Aplicaciones

Integral Definida. Aplicaciones Itegrl Defiid. Apliccioes. Itegrl defiid. Defiició Se f(x u fució cotiu e u itervlo cerrdo [, b] y cosideremos el itervlo dividido e prtes igules x < x < x s < < x b. Pr cd subitervlo [x i, x i ], l fució

Más detalles

LAS POTENCIAS Y SUS PROPIEDADES. Multiplicación y división de potencias de igual base. Potencia de un producto y de un cuociente.

LAS POTENCIAS Y SUS PROPIEDADES. Multiplicación y división de potencias de igual base. Potencia de un producto y de un cuociente. LAS POTENCIAS Y SUS PROPIEDADES Defiició de poteci y sigos de est. Multiplicció y divisió de potecis de igul bse. Poteci de poteci. Poteci de u producto y de u cuociete. Multiplicció y divisió de potecis

Más detalles

PROBLEMAS DE VARIABLE COMPLEJA. 1.-Demuestre que el inverso aditivo de todo número complejo z es único

PROBLEMAS DE VARIABLE COMPLEJA. 1.-Demuestre que el inverso aditivo de todo número complejo z es único PROBLEMAS DE VARIABLE COMPLEJA -Demuestre que el iverso ditivo de todo úmero compleo es úico Solució Supogmos que existe más de u iverso ditivo de Se esos iversos distitos Etoces * * * * = + + = + + =

Más detalles

1 Áreas de regiones planas.

1 Áreas de regiones planas. Cálculo Mtemático. (Tem 7) Hoj Escuel Uiversitri de Arquitectur Técic Cálculo Mtemático. Tem 7: L itegrl defiid Curso 8-9 Áres de regioes pls. Defiició.- Se f u fució cotiu y o egtiv e el itervlo [, b].

Más detalles

Sucesiones de números reales

Sucesiones de números reales Apédice A Sucesioes de úmeros reles Ejercicios resueltos. Está l sucesió de térmio geerl U cot iferior es pues 5 cotd? 5 5 4 4 lo cul se cumple culquier que se el úmero turl. U cot superior es pues 5 5

Más detalles

Enteros (Z):..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... Números enteros (positivos o negativos), sin decimales. Incluye a los naturales y a los enteros negativos.

Enteros (Z):..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... Números enteros (positivos o negativos), sin decimales. Incluye a los naturales y a los enteros negativos. Tem 1: Números Reles 1.0 Símbolos Mtemáticos Distito Aproximdo Meor o igul Myor o igul Uió Itersecció Cojuto vcío Existe No existe Perteece No perteece Subcojuto Implic Equivlete 1.1 Cojuto de los úmeros

Más detalles

MATEMÁTICA FINANCIERA. Préstamos Comerciales

MATEMÁTICA FINANCIERA. Préstamos Comerciales Préstmos MATEMÁTICA FINANCIERA PRÉSTAMOS Luis Alclá UNSL Segudo Cutrimeste 2016 Defiició Se llm préstmo l operció ficier cosistete e l etreg de u ctidd dd de diero (C 0 ), el pricipl (o deud), por prte

Más detalles

Partícula en una caja de potencial unidimensional

Partícula en una caja de potencial unidimensional Prtícul e u cj de potecil uidimesiol V() V() V() V()0 0 E este cso se tiee u electró o u prtícul de ms m que se ecuetr e el eje pero restrigid moverse e el itervlo (0 ). Detro de ese itervlo l eergí potecil

Más detalles

Universidad Alonso de Ojeda Facultad de Ciencias Administrativas Unidad Curricular: Matemática II FÓRMULAS ARITMÉTICAS

Universidad Alonso de Ojeda Facultad de Ciencias Administrativas Unidad Curricular: Matemática II FÓRMULAS ARITMÉTICAS Uiversidd Aloso de Ojed Fcultd de Ciecis Admiistrtivs Uidd Curriculr: Mtemátic II FÓRMULAS ARITMÉTICAS PARA FRACCIONES Número mixto Pr psr de úmero mixto frcció impropi, se dej el mismo deomidor y el umerdor

Más detalles

es una matriz de orden 2 x 3.

es una matriz de orden 2 x 3. TEMA 7: MATRICES. 7.. Introducción l concepto de mtriz. 7.. Tipos de mtrices. 7.. El espcio vectoril de ls mtrices de orden m x n. 7.. INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE MATRIZ. Se define mtriz de orden m x n

Más detalles

ÁLGEBRA POLINOMIOS APUNTES. Ing. Francisco Raúl Ortíz González UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ARAGÓN

ÁLGEBRA POLINOMIOS APUNTES. Ing. Francisco Raúl Ortíz González UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ARAGÓN UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ARAGÓN DIVISIÓN DE LAS CIENCIAS FÍSICO-MATEMÁTICAS Y DE LAS INGENIERÍAS INGENIERÍA MECÁNICA-ELÉCTRICA APUNTES y 6 y P - 7-77 -9-6

Más detalles

Unidad didáctica 3 Las potencias

Unidad didáctica 3 Las potencias Uidd didáctic Ls potecis 1.- Qué es u poteci? U poteci, es u producto de fctores igules que se repite vris veces. veces El fctor que se repite se llm bse,. El úmero de veces que se repite l bse es el expoete,.

Más detalles

POTENCIA DE UN NÚMERO NATURAL. a, es igual al producto de n veces el número Natural

POTENCIA DE UN NÚMERO NATURAL. a, es igual al producto de n veces el número Natural LICEO DE CERVANTES PP. AGUSTINOS BOGOTÁ ÁREA DE MATEMÁTICAS ASIGNATURA: Mtemátics DOCENTE: Elky F. Ortiz GRADO: QUINTO FECHA: CALIFICACIÓN DESCRIPCIÓN: Guí - Tller de potecició, Rdicció y logritmció. ESTUDIANTE:

Más detalles

TEMA 1: MATRICES. Una matriz de orden mxn es un conjunto de m n números reales dispuestos en m filas y n columnas ...

TEMA 1: MATRICES. Una matriz de orden mxn es un conjunto de m n números reales dispuestos en m filas y n columnas ... Deprtmento de Mtemátics TEM : MTRICES Un mtriz de orden mxn es un conjunto de m n números reles dispuestos en m fils y n columns... n... n... m m m... mn los números reles ij se les llm elementos de l

Más detalles

Si quieres que algo se haga, encárgaselo a una persona ocupada Proverbio chino

Si quieres que algo se haga, encárgaselo a una persona ocupada Proverbio chino i quieres que lgo se hg, ecárgselo u perso ocupd Proverbio chio hht ttpp: ://ppeer rssoo..wddoooo..eess/ /ti iimoomt tee Noviembre 006 PROGREIONE DEFINICIÓN DE UCEIÓN NUMÉRICA U sucesió uméric es u cojuto

Más detalles