PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2017 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

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1 PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 017 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio 1, Opción A Junio, Ejercicio 1, Opción B Reserva 1, Ejercicio 1, Opción A Reserva 1, Ejercicio 1, Opción B Reserva, Ejercicio 1, Opción A Reserva, Ejercicio 1, Opción B Reserva, Ejercicio 1, Opción A Reserva, Ejercicio 1, Opción B Reserva 4, Ejercicio 1, Opción A Reserva 4, Ejercicio 1, Opción B Septiembre, Ejercicio 1, Opción A Septiembre, Ejercicio 1, Opción B

2 Se quiere hacer una puerta rectangular coronada por un semicírculo como el de la figura. El hueco de la puerta tiene que tener 16 metros cuadrados. Si es posible, detera la base para que el perímetro sea mínimo. h MATEMÁTICAS II JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN A. a) Función que queremos que sea mínimo: P h h 1 18 b) Relación entre las variables: 16 h 16 h h 8 8 c) Epresamos la función que queremos que sea máimo con una sola variable P h d) Derivamos e igualamos a cero ( 4) ( 4) 51 ( 4) P' ( 4) e) Calculamos la segunda derivada: ( 4) P '' P'' 0 Mínimo ( 4) 4 18 Luego, el valor de la base es: 4' m ( 4)

3 Considera la función f definida por f( ) 1 para 1 a) Estudia y detera las asíntotas de la gráfica de f. b) Estudia y detera los intervalos de crecimiento y los intervalos de decrecimiento de f. Calcula los etremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) MATEMÁTICAS II JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN B. a) Asíntotas Verticales: La recta 1 es una asíntota vertical ya que lim f( ) 1 Asíntota horizontal: lim lim 1 1 No tiene. Asíntota oblicua: y 1 1 lim m lim lim lim n lim lim lim lim b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: ( 1) 1 y ' 0 0 ; ( 1) ( 1) Creciente: (,0) (, ) Decreciente: (0, ) Máimo 0,0 mínimo (, 4) (,0) (0, ) (, ) Signo y ' + + Función C D C Máimo 0,0 mínimo (, 4)

4 Se sabe que la función f : dada por si 0 f ( ) a cos( ) si 0 a b si es continua. a) Detera a y b. b) Estudia la derivabilidad de f. MATEMÁTICAS II RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCIÓN A. a) La función, es continua y derivable en. La función a cos, es continua y derivable en. La función a b es continua y derivable en. Por lo tanto, sólo estudiamos la continuidad y derivabilidad en 0 y. Estudiamos la continuidad en 0 : lim lim f ( ) lim f ( ) f (0) a a 1 a a lim cos 0 Estudiamos la continuidad en : b) lim a cos lim a b b Calculamos la función derivada: Estudiamos la derivabilidad en 0 : lim f ( ) lim f ( ) f ( ) b b si 0 f '( ) sen si 0 si f f '(0 ) f '(0 ) f '(0 ) No derivable '(0 ) 0 Estudiamos la derivabilidad en : f f '( ) f '(0 ) f '(0 ) derivable '( ) Luego, la función es derivable en 0

5 1 cos Calcula lim 0 sen MATEMÁTICAS II RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCIÓN B. 1 cos sen cos 0 cos cos sen 0 lim lim lim 0 sen 0 sen 0 0 sen cos 0 sen sen sen cos 0 lim 0 0 cos cos sen

6 Se considera la función f dada por f( ) para 1. 1 a) Estudia y calcula las asíntotas de la gráfica de f. b) Detera los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. MATEMÁTICAS II RESERVA. EJERCICIO 1. OPCIÓN A. a) Asíntotas Verticales: La recta 1 es una asíntota vertical ya que lim f( ) 1 Asíntota horizontal: lim 6 lim 1 1 No tiene. Asíntota oblicua: y lim m lim lim lim 1 n lim lim lim lim b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: y ' 0 1 ; 1 6 ( 1) 1 ( ) 6 ( 1) ( 1),1 1,1 1,1 1, Signo y ' + + Función D C C D Creciente: 1,1 1,1 Decreciente:,1 1, Máimo: 1'57, 9'46 Mínimo: (0'4, '5)

7 Una cuerda de un metro de longitud se divide en dos trozos con los que se construyen un cuadrado y una circunferencia respectivamente. Detera, si es posible, las longitudes de los trozos para que la suma de las áreas sea mínima. MATEMÁTICAS II RESERVA. EJERCICIO 1. OPCIÓN B. a) Función que queremos que sea mínimo: S (1 ) b) Derivamos e igualamos a cero 88 4 S Lado del cuadrado Radio de la circunferencia Luego, el lado del cuadrado es el doble del radio de la circunferencia. Las longitudes de los trozos son: 4 ; 1 4 4

8 Se necesita construir un depósito cilíndrico, con tapas inferior y superior, con capacidad de 0 m. El material para las tapas cuesta 10 euros cada m y el material para el resto del cilindro 8 euros cada m. Calcula, si eiste, el radio de las tapas y la altura del cilindro que hace que el coste total sea mínimo. MATEMÁTICAS II RESERVA. EJERCICIO 1. OPCIÓN A. a) Función que queremos que sea mínimo es: C r r h r r h b) Relación entre las variables: V r h 0 h r r c) Epresamos la función que queremos que sea máimo con una sola variable. 0 0 C 0r 16 r 0 r r r d) Derivamos e igualamos a cero 0 40r 0 C ' 40r 0 r 8 m r r e) Comprobamos que corresponde a un mínimo: 4 10r r(40r 0 ) 40r 640 C '' 4 r r 40 () 640 C'' ( r ) 0 Mínimo () Luego, las dimensiones del depósito son: r m y h 5 m

9 Considera la función f : dada por f ( ) a b c d. Calcula a; b; c y d sabiendo que f tiene un etremo relativo en (0,1) y su gráfica un punto de infleión en (1, 1). MATEMÁTICAS II RESERVA. EJERCICIO 1. OPCIÓN B. Calculamos su derivada primera y segunda: f '( ) a b c ; f ''( ) 6a b - Etremo relativo en (0,1) Pasa por a b c d d f '(0) 0 a 0 b 0 c 0 c 0 (0,1) Punto de infleión en (1, 1) Resolviendo el sistema resulta: a 1 ; b Pasa por a b cd a b f ''(1) 0 6a 1 b 0 6a b 0 (1, 1) Luego: a b c d f 1 ; ; 0 ; 1 ( ) 1

10 Calcula la función polinómica, de grado, de la que se sabe que tiene un etremo relativo en el punto (0, ) y que la tangente a su gráfica en el punto de abscisa 1 es la recta y. MATEMÁTICAS II RESERVA 4. EJERCICIO 1. OPCIÓN A. La función será: f ( ) a b c d. Calculamos su derivada primera y segunda: f '( ) a b c ; f ''( ) 6a b - Etremo relativo en (0, ) Pasa por a b c d d f '(0) 0 a 0 b 0 c 0 c 0 (0, ) Pasa por (1,) f (1) a b c d a b 0 a b 0 - La tangente en 1 tiene de pendiente 1 f a b c a b a b '(1) Resolviendo el sistema resulta: a 1 ; b 1 Luego: a b c d f 1 ; 1 ; 0 ; ( )

11 4 Considera la función definida por f ( ) para 0. a) Estudia y detera las asíntotas de la gráfica de f. b) Detera los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus etremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). c) Esboza la gráfica de f. MATEMÁTICAS II RESERVA 4. EJERCICIO 1. OPCIÓN B. a) Asíntotas Verticales: La recta 0 es una asíntota vertical ya que lim f( ) Asíntota horizontal: lim lim lim No tiene. Asíntota oblicua: y lim m lim lim lim lim n lim lim lim 0 b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: ( 4) 8 y' 0 4 (, ) (,0) (0, ) Signo y ' + Función D C D Creciente: (, 0) Decreciente: (, ) (0, ) Mínimo: (,) c)

12 Una imprenta recibe un encargo para realizar una tarjeta rectangular con las siguientes características: la superficie rectangular que debe ocupar la zona impresa debe ser de 100 cm, el margen superior tiene que ser de cm, el inferior de cm y los laterales de 5 cm cada uno. Calcula, si es posible, las dimensiones que debe tener la tarjeta de forma que se utilice la menor cantidad de papel posible. MATEMÁTICAS II SEPTIEMBRE. EJERCICIO 1. OPCIÓN A. cm 5 cm 100 cm 5 cm y cm Paso 1: Escribimos la función que queremos que sea mínima: S y 50 5 Paso : Escribimos la relación entre las variables: 100 ( 10) ( y 5) y 10 Paso : Sustituimos: S y Paso 4: Derivamos e igualamos a cero: ' '14 ; 4'14 S ( 10) Como es una longitud, el valor es: 4'14 Paso 5: Calculamos la ª derivada y comprobamos que corresponde a un mínimo. 000 S '' S ''( 4'14) 0'70 mínimo ( 10) Luego las dimensiones de la tarjeta son: 4'14 cm ; y 1'07 cm

13 e e Considera la función f : definida por f( ) a) Estudia y detera los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. Calcula los etremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). b) Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa 0. MATEMÁTICAS II SEPTIEMBRE. EJERCICIO 1. OPCIÓN B. a) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: e e y ' 0 e e 0 0 (,0) (0, ) Signo y ' + Función D C mínimo (0,1) La función es decreciente en (,0) y creciente en (0, ). Tiene un mínimo relativo en (0,1) b) Calculamos f (0) 1 y f '(0) 0 La recta normal en 0 es: 1 1 y f (0) ( 0) y 1 ( 0) 0 f '(0) 0

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