En el caso en que el conjunto sea linealmente dependiente, exprese uno de los vectores como combinación lineal de los demás.

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1 Depto. de Álgebra curso Espacio vectorial Estructura Ejercicio 4.. Demuestre que el conjunto M ( R) con la suma de matrices y el producto de matrices por números reales es un R espacio vectorial. Ejercicio 4.. Sea V = M (m nk) el conjunto de las matrices de orden m n con elementos del cuerpo K. Pruebe que V con la suma de matrices y producto por elementos de K es un K espacio vectorial. Ejercicio 4.. Sean W el subconjunto de V = M (n nk) formado por las matrices simétricas y W el subconjunto de V formado por las matrices antisimétricas. Demuestre que W y W son espacios vectoriales. Ejercicio 4.4. Demuestre que el conjunto Q[ ]={x+y x y Q} posee estructura de Q espacio vectorial respecto de las operaciones inducidas en dicho conjunto por la suma y el producto de números racionales. Ejercicio 4.. Dado el conjunto V = C C pruebe que:. V es un C espacio vectorial respecto de las operaciones usuales.. V es un R espacio vectorial respecto de las operaciones usuales. Ejercicio 4.6. Sea V un R-espacio vectorial no nulo. Para cada vectorv V y a+ i b C definimos (a+ i b)v=av. Tiene así V estructura de C-espacio vectorial? Dependencia lineal Ejercicio 4.7. En el K-espacio vectorial K (K = QRC) analice la dependencia o independencia lineal de los siguientes conjuntos de vectores:. {() t () t }.. {() t () t ( ) t }.. {() t () t () t }. En el caso en que el conjunto sea linealmente dependiente exprese uno de los vectores como combinación lineal de los demás. Ejercicio 4.8. Existe algún valor deαpara el cual sean linealmente dependientes los vectores de R 4 dados porv = (α ) t v = (α ) t yv = ( ) t? Ejercicio 4.9. Consideremos en Q los vectores:. a = () t a = (78) t a = ( 6) t b=(7 m) t.. a = (44) t a = (7) t a = (46) t b=(9m) t.. a = (4) t a = (687) t b=(9m) t. 4. a = () t a = (47) t a = (6m) t b=() t.. a = (6) t a = (79) t a = () t b=(m) t. En cada caso halle m para que el vectorbsea combinación lineal de los vectoresa i. Ejercicio 4.. Proporcione un ejemplo de tres vectoresv v v R que sean linealmente dependientes y tales quev no dependa linealmente de {v v }. Ejercicio 4.. Sea V un K espacio vectorial y seanv v v v 4 V. Demuestre que las siguientes condiciones son equivalentes:. El conjunto {v v v v 4 } es linealmente independiente. Ejercicios de Álgebra Lineal y Geometría I 7

2 Depto. de Álgebra curso 7-8. El conjunto {v +v 4 v +v 4 v +v 4 v 4 } es linealmente independiente. Ejercicio 4.. Sea V un K espacio vectorial y seanv... v n V. Demuestre que las siguientes condiciones son equivalentes:. El conjunto {v... v n } es linealmente independiente.. El conjunto {v +v n v +v n... v n +v n v n } es linealmente independiente. Ejercicio 4.. Sean v v v vectores de un K-espacio vectorial V y consideremos escalares c c c K. Es el conjunto {c v c v c v c v c v c v } necesariamente un conjunto linealmente dependiente? Ejercicio 4.4. En C consideremos el conjunto S = v = +i +8i +7i v = i +i v = +i +i 4 i.. Es S un conjunto linealmente independiente si tomamos C como C-espacio vectorial?. Es S un conjunto linealmente independiente si tomamos C como R-espacio vectorial? Ejercicio 4.. Sean t n enteros positivos y para cada i t definimosv i = (a i... a in ) t R n tal que a j j > t i= ai j para todo j n. Pruebe que estos vectores forman un conjunto linealmente independiente. Ejercicio 4.6. En V = Q consideremos los vectores v = v = v = 4 v 4= 9 7 v = Existen números racionales a i j con i j tales que el conjunto { j= a i jv j i } es linealmente independiente? Ejercicio 4.7. Sea Ax = b un sistema de ecuaciones lineales sobre un cuerpo K. Pruebe que una combinación lineal no trivial de dos soluciones es solución si y solamente si el sistema es homogéneo. Conjunto generador y base Ejercicio 4.8. En el R-espacio vectorial R se consideran los siguientes conjuntos de vectores: S = {() t () t } T = {() t () t () t () t }.. Pruebe que S es un conjunto linealmente independiente y que T es un sistema de generadores de R.. Encuentre una base B que contenga al conjunto S y esté contenida en el conjunto T. Ejercicio 4.9. Determine cuáles de los siguientes conjuntos del espacio vectorial R son sistema de generadores cuáles son linealmente independientes y cuáles son bases:. {() t () t () t () t }.. {( ) t () t }.. {() t ( ) t ( ) t }. 4. {( ) t () t ( ) t }.. {() t () t () t }. Si algún conjunto es linealmente independiente amplíe hasta una base. Si alguno es sistema de generadores encuentre una base contenida en él. Ejercicio 4.. Cuáles de los siguientes son conjuntos generadores de R?. Ejercicios de Álgebra Lineal y Geometría I 8

3 Depto. de Álgebra curso 7-8. {() t }.. {() t () t }.. {() t () t () t () t }. 4. {() t ( ) t (44) t }.. {() t ( ) t (44) t }. Ejercicio 4.. Determine cuáles de estos conjuntos de R contienen una base y en caso afirmativo hállela.. {() t () t () t () t }.. {() t (4) t () t () t }.. {() t () t () t () t }. 4. {( ) t () t () t () t }.. {( 46) t () t () t (4) t }. Ejercicio 4.. Amplíe los siguientes conjuntos de R 4 hasta una base siempre que sea posible.. {() t }.. {(4 ) t () t }.. {(4) t (468) t }. 4. {() t () t ( ) t }.. {( 4) t ( ) t ( 4 ) t }. Ejercicio 4.. Sea V un K-espacio vectorial y sea S V. Demuestre los siguientes enunciados.. Si S es un conjunto linealmente dependiente yv V entonces S {v} es linealmente dependiente.. Si S es un conjunto linealmente independiente yv S entonces S\{v} es linealmente independiente.. Si S es un conjunto de generadores yv V entonces S {v} es un conjunto generador. 4. Si S entonces S es linealmente dependiente.. Si S es un conjunto generador yv V \S entonces S {v} es linealmente dependiente. 6. Si S es un conjunto linealmente independiente yv S entonces S\{v} no es un conjunto generador. 7. Si una base de V está contenida dentro de otra entonces son iguales. Ejercicio 4.4. En el espacio vectorial V = M ( R) consideramos las matrices ( ) ( ) ( ) E()= E()= E()= ( ) ( ) ( ) E()= E()= E()=. Demuestre que el conjunto {E()E()E()E()E()E()} es una base de V y por tanto que este espacio vectorial tiene dimensión 6. Ejercicio 4.. Pruebe que el conjunto {E(i j ); i j n} donde E(i j ) es la matriz con un en la posición (i j ) y en las restantes es una base del espacio vectorial V = M (m n K). Concluya que dim(v ) = mn. Ejercicio 4.6. Sean W el subconjunto de V = M ( K) formado por las matrices simétricas y W el subconjunto de V formado por las matrices antisimétricas. Sabemos que son espacios vectoriales. Obtenga una base y la dimensión de W y W. Ejercicios de Álgebra Lineal y Geometría I 9

4 Depto. de Álgebra curso 7-8 Ejercicio 4.7. Halle una base y la dimensión del Q-espacio vectorial Q[ ]. Ejercicio 4.8. Se considera el conjunto V = R[x] de los polinomios en la indeterminada x con coeficientes reales. Compruebe que V es un R espacio vectorial con la suma de polinomios y el producto de polinomios por números reales. Si n > es un número natural y notamos V (n) al conjunto de los polinomios de V de grado no superior a n pruebe que V (n) es un espacio vectorial de dimensión finita. Es V un R-espacio vectorial de dimensión finita?. Determine si los conjuntos siguientes son bases de V (): {+ x+ x+ x + x+ x + x }{ x+ x x + x+ x + x +x+ 4x + x x x x }. Ejercicio 4.9. Sea {v... v n } una base de V = R n. Es el conjunto {v +v v +v... v n +v n v n +v } una base de V? Ejercicio 4.. Sea V = Q[ ] como Q-espacio vectorial. Es el conjunto {+ + } una base de V? Ejercicio 4.. Calcule los valores de a R para los que el conjunto es una base de M ( R). {( a a a ) ( a ) ( a a+ a+ ) ( a+ a Ejercicio 4.. Sea V un C-espacio vectorial de dimensión n con {v... v n } una base. Pruebe que {v... v n iv... iv n } es una base de V como R-espacio vectorial. Ejercicio 4.. Sea V el espacio vectorial de los polinomios en R[x] de grado menor o igual que. Pruebe que el conjunto A= {x + x 4 x 7x x x + x} es linealmente independiente y calcule una base que lo contenga. Ejercicio 4.4. Determine si el conjunto {+ x + x x+ x x x } es una base de Q [x]. )} * Espacio producto Ejercicio 4.. Dado el conjunto V = C C pruebe que:. El conjunto {( )( )} constituye una base del C-espacio vectorial V.. El conjunto {( )( i )(i )(i i )} constituye una base del R espacio vectorial V. Ejercicio 4.6. Consideremos el espacio producto U V donde U y V son K-espacios vectoriales de bases respectivas {u u } y {v }. Determine si el conjunto {(u v )(u v )(u +u v } es una base de U V. Ejercicio 4.7. Sea V un R-espacio vectorial y formamos V C el conjunto V V con las operaciones (uv)+(u v )= (u+u v+v ) z (uv)=(au bvbu+ av) donde z=a+ i b C. Pruebe que V C es un C-espacio vectorial que recibe el nombre de complexificación de V. Si dimv = n qué dimensión tiene V C? Ejercicios de Álgebra Lineal y Geometría I

5 Depto. de Álgebra curso 7-8 Coordenadas Ejercicio 4.8. Sea B = {() t ( ) t () t ( ) t } una base de R 4. Calcule las coordenadas de los siguientes vectores respecto de la base B. v = () t v = () t v = ( ) t. Ejercicio 4.9. Sea V un Q-espacio vectorial de dimensión 4 y sean B= {u u u u 4 } y B = {u u u u 4 } dos bases de V relacionadas por: u = u + u u u = u + u + u 4 u = u + u u u 4 = u + u + u 4. Se consideran los vectores cuyas coordenadas respecto de la base B se dan: Determine sus coordenadas respecto de B. a B = () t b B = ( ) t c B = ( ) t d B = () t.. Se consideran los vectores cuyas coordenadas respecto de la base B se dan: Determine sus coordenadas respecto de B. a B = ( ) t b B = () t c B = ( 6) t. Cambio de base Ejercicio 4.4. En R consideramos las bases B = {() t () t () t } y B = {() t () t () t }. Calcule las matrices de cambio de base M(B B ) y M(B B ). Ejercicio 4.4. Consideremos las bases B= {u u u } y B = {u u u } de R donde. Calcule la matriz de paso de B a B.. Calcule las coordenadasw B donde u = u = u = u = u = u = w= 8 y aplique la fórmula del cambio de base para calcularw B.. Calcule las coordenadasw B directamente y compruebe el resultado con el apartado anterior. Ejercicio 4.4. Sea S la base estándar de R y B= {v v v } la base dada por. Calcule la matriz de paso M(B S ). v = v = v = 8 Ejercicios de Álgebra Lineal y Geometría I

6 Depto. de Álgebra curso 7-8. Calcule la matriz de paso M(S B) mediante la expresión de los vectores de la base estándar S como combinación lineal de los vectores de la base B.. Compruebe que M(S B)= M(BS ). 4. Sea w= Calculew B a partir de la definición y use la matriz de paso correspondiente para obtener [w] S.. Sea w = Calculew S y use la matriz de paso correspondiente para obtenerw B. Ejercicio 4.4. Consideremos la matriz P = y la base B de R dada por B= {u = u = u = }. Calcule una base B de R tal que P = M(B B) y una base B tal que P = M(BB ). Ejercicio Sean V y V dos K-espacios vectoriales de dimensión finita donde tenemos dos bases En el espacio producto V V formamos las bases B = {u i i n}b = {u i i n} bases de V B = {v j j m}b = {v j j m} bases de V. B V V = {(u i )(v j ) i n j m}b V V = {(u i )(v j ) i n j m}. Pruebe que ( M(B V V B M(B B V V )= ) O O M(B B ) ). Ejercicios de Álgebra Lineal y Geometría I

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