4.6 EFECTO DE LAS PERTURBACIONES EN EL CASO SIMPLE ENTRADA SIMPLE SALIDA.

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1 4.6 EFECTO DE LAS PERTURBACIONES EN EL CASO SIMPLE ENTRADA SIMPLE SALIDA. Supongamos que: 1.- La variable de perturbación v p (t) es un proceso estocástico que no está correlacionado con la variable de referencia r(t) y el ruido de observación v m (t). Como resultado podemos obtener la variación de C e (t) y C u (t) colocando r(t) y v m (t) iguales a cero..- La variable controlada es también la variable observada, es decir, C=D. Esto significa que: y(t) = z(t) + v m (t) (4.41) yen el caso invariante en el tiempo: H(s) = K(s) (4.4) 3.- El sistema de control es Asintóticamente Estable e Invariante en el Tiempo. 4.- Las variables de entrada, controlada y referencia son escalares. W e y W u son iguales a La variable de perturbación v p (t) se puede escribir como: v p (t) = v po + v pv (t) (4.43) donde la parte constante v po es un vector estocástico con matriz de momento de segundo orden dada, y la parte variable v pv (t) es un proceso estocástico estacionario en el sentido amplio con media cero y matriz densidad espectral de potencia vp (w) no correlacionada con v po.

2 v p + r + u + P(s) B [si - A] -1 x D z - v m + + y G(s) Sistema de control cerrado Considerando r(t) = v m (t) = 0, la matriz de transferencia desde v p (t) a z(t) da la relación: Z(s) 1 = D[ si A] V (s) (4.44) p como la variable controlada es un escalar entonces 1 + H(s)G(s) es un escalar. Se define como función de sensibilidad la expresión: 1 S (s) = (4.45) La contribución de v p (t) al C e se calcula como la suma de dos términos: uno originado por la parte constante y el otro por la parte variable.

3 CONTRIBUCIÓN DE LA PARTE CONSTANTE EN C e Como Z(s) = S(s)D[sI - A] -1 V p (s) (4.46) Entonces la respuesta a estado estacionario de la parte constante es: lim z(t) = lim sz(s) = S(0)D[ A] v = S(0)v (4.47) t s 0 se supone que la matriz A es no singular y v oo = D[-A] -1 v po luego tenemos que: po oo C e = lim E{e (t)} = lim E{[z(t) r(t)] } t t = S(0) V o t = lim E{z (t)} = E{ S(0)v oo } = S(0) E{v oo } (4.48) CONTRIBUCIÓN DE LA PARTE VARIABLE EN C e. Usando (4.46) y los resultados vistos en los teoremas (.6) y (.7) la contribución de v p (t) a C e se puede expresar como: E{z T (t)z(t)} = tr[ Σ (w)df ] z = Q(jw) Σ (w)q vp T ( jw)df (4.49) donde : Q(jw) = S(jw)D[jwI A] (4.50) Simplificando tenemos que: E{z (t)} = S(jw) Σ (w) df vo (4.51) donde : T T Σ (w) = D[jwI A] Σ (w)[ jwi A ] D (4.5) vo vp

4 Luego el aumento de Ce debido a la perturbación es: C e = S(0) Vo + S(jw) Σ (w) df vo (4.53) OBJETIVO DE DISEÑO 4.5 Para obtener un C e pequeño en un S.C.L.I.T.A.E., debido a perturbaciones con una variable escalar, que es también la variable observada. El valor S(jw) se debe hacer pequeño sobre la banda de frecuencia de la perturbación equivalente en la variable controlada. Si los errores constantes son importantes de eliminar, S(0) se debe hacer pequeño, preferentemente cero. Observaciones Para obtener S(jw) pequeños hay que aumentar la ganancia del lazo H(jw)G(jw) en el rango de frecuencia adecuado. Para conseguir S(0) = 0 se puede agregar una acción integral en la función G(s). Un polo en el origen.

5 CONTRIBUCIÓN DE vp (t) EN C u Tenemos que: U(s) G(s) = D[sI A] V (s) (4.54) p Considerando los resultados anteriores tenemos que: C = G(s) G(jw) V + Σ (w) 1 + H(s)G(s) 1 + H(jw)G(jw) df (4.55) u 0 vo OBJETIVO DE DISEÑO 4.6 Para obtener un incremento pequeño en C u atribuible a la perturbación en un S.C.L.I.T.A.E., con una variable escalar, que es también la variable observada. G(jw) 1 + H(jw)G(jw) (4.56) Se debe hacer pequeño sobre la banda de frecuencia de la perturbación equivalente en la variable controlada. Observación Si se usa la ganancia del lazo H(jw)G(jw) grande según objetivo 4.5, la expresión (4.56) no resulta pequeña. Luego hay un compromiso entre los objetivos (4.5) y (4.6).

6 4.6 EFECTO DEL RUIDO DE OBSERVACION EN EL CASO SIMPLE ENTRADA SIMPLE SALIDA. Supongamos que: 1.- La variable de observación v m (t) es un proceso estocástico que no está correlacionado con la variable de referencia r(t) y la variable de perturbación v p (t). Como resultado podemos obtener la variación de C e (t) y C u (t) colocando r(t) y v p (t) iguales a cero..- La variable controlada es también la variable observada, es decir, C=D. Esto significa que: y(t) = z(t) + v m (t) (4.57) y en el caso invariante en el tiempo: H(s) = K(s) (4.58) 3.- El sistema de control es Asintóticamente Estable e Invariante en el Tiempo. 4.- Las variables de entrada, controlada y referencia son escalares. W e y W u son iguales a La variable ruido de observación v m (t) es un proceso estocástico estacionario en el sentido amplio con media cero y matriz densidad espectral de potencia vm (w). El siguiente diagrama ilustra la situación:

7 r P(s) + u H(s) z - v m + + y G(s) Sistema de control cerrado Considerando r(t) = v p (t) = 0, la matriz de transferencia desde v p (t) a z(t) da la relación: Z(s) = H(s)G(s)[V (s) + Z(s)] (4.59) m Z(s) H(s)G(s) = V (s) (4.60) m CONTRIBUCIÓN DE LA PARTE VARIABLE EN C e. Luego el C e debido a V m (s) es: E{z H(jw)G(jw) (t)} = C = Σ (w) df e vm 1 + H(jw)G(jw) (4.61) Esto lleva al siguiente objetivo de diseño:

8 OBJETIVO DE DISEÑO 4.7 Para obtener un C e pequeño en un S.C.L.I.T.A.E., debido a ruidos de observación con una variable escalar, que es también la variable a controlar. El sistema se debería diseñar de modo que: H(jw)G(jw) 1 + H(jw)G(jw) (4.6) sea pequeño sobre la banda de frecuencia de la variable de observación. Observación: Si H(jw)G(jw) se hace grande entonces (4.6) tiende a 1. CONTRIBUCIÓN DE v m (t) EN C u Tenemos que: U(s) G(s) = V (s) (4.63) m Considerando los resultados anteriores tenemos que: = G(jw) C Σ (w) 1 + H(jw)D(jw) df (4.64) u vm Esto lleva al siguiente objetivo de diseño:

9 OBJETIVO DE DISEÑO 4.8 Para obtener un incremento pequeño en C u atribuible al ruido de observación en un S.C.L.I.T.A.E., con una variable escalar, que es también la variable controlada. G(jw) 1 + H(jw)G(jw) (4.65) Se debe hacer pequeño sobre la banda de frecuencia de la variable de ruido de observación, v m (t). Observación Si se usa la ganancia del lazo H(jw)G(jw) grande según objetivo 4.5, la expresión (4.65) no resulta pequeña. Luego hay un compromiso entre los objetivos (4.5) y (4.8).