Una nueva unidad para medir ángulos: el radián

Transcripción

1 Unidd. Trigonometrí Un nuev unidd pr medir ángulos: el rdián Hst hor hemos utilizdo pr medir los ángulos el sistem segesiml. Como y ses cd un de ls 60 prtes igules en ls que se divide l circunferenci se denomin grdo segesiml. Cd grdo se divide en 60 minutos y cd minuto en 60 segundos. Otr medid de los ángulos es el rdián. Si se tom culquier circunferenci de rdio r O y se llev est longitud r sore un rco de l circunferenci es decir r O longitud el ángulo centrl determindo por el rco y sus rdios mide un rdián: rd. Relción entre grdos segesimles y rdines Pr clculr cuántos rdines equivle un ángulo completo de st con plicr un sencill relción de proporcionlidd direct. Diujmos un circunferenci de rdio r. Si un rco de longitud r le corresponde un rdián un rco de longitud l longitud de l circunferenci r le corresponderán rdines. sí podemos plicr l siguiente regl de tres direct: r Por tnto. Esto quiere decir que un ángulo completo de 60 le corresponden rdines o lo que es lo r mismo un ángulo llno de 80 le corresponden rdines. De este modo pr convertir un ángulo ddo en grdos en rdines rd o vicevers st con utilizr l siguiente proporción: rd 80 Vemos como ejemplo cuntos grdos segesimles equivle un rdián rd O se un rdián es igul proimdmente 5796 que epresdo en grdos minutos y segundos es: Uso de l clculdor rd 57 5' 45'' Pr hllr ls rzones trigonométrics de un ángulo ddo en rdines hy que empezr poniendo l clculdor en el modo rdines: MODE RD. Cd clculdor tiene un cominción de tecls propi pr psr l modo rdines. Y se h eplicdo lgo esto en l págin. Normlmente un clculdor viene en modo grdos segesimles: MODE DEG que suele venir indicdo con un D o l revitur DEG en l prte superior. Cundo psmos l modo rdines con l cominción de tecls decud en l prte superior precerá un R o l revitur RD. En estos momentos y está list l clculdor pr hcer cálculos en rdines. Vemos un ejemplo. Con l clculdor en el modo grdos segesimles es muy fácil otener que sen Pr ver que otenemos el mismo vlor en rdines psremos 7 rdines y luego clculremos el seno del vlor otenido y con l clculdor en el modo rdines. sí: tmién que sen rco rd rd 80 5 r r Rdines hor con l clculdor en modo rdines podemos compror O α r Trigonometrí Págin

2 Unidd. Trigonometrí Rzones trigonométrics de un ángulo gudo. Relciones fundmentles En todo triángulo rectángulo C c ls rzones trigonométrics (seno coseno y tngente) de uno de sus ángulos gudos en este cso se definen de l siguiente mner (ver figur de l izquierd): C cteto opuesto sen c hipotenus cteto opuesto tg cteto contiguo cteto contiguo cos c hipotenus Osérvese que como l hipotenus siempre es de myor longitud que los ctetos ls rzones seno y coseno hn de ser siempre menores que uno. Entre ests rzones trigonométrics eisten uns relciones fundmentles. L primer de ells se otiene utilizndo el teorem de Pitágors según el cul l sum de los cudrdos de los ctetos es igul l cudrdo de l hipotenus: c Si en l ecución nterior dividimos todos los términos entre c y luego hcemos uso de ls fórmuls nteriores tenemos: c sen cos c c c c c L fórmul nterior recie el nomre de fórmul fundmentl de l trigonometrí. Hitulmente escriiremos en lugr de y con lo que l fórmul fundmentl de l trigonometrí qued sí: cos sen cos sen cos sen L segund fórmul relcion ls tres rzones trigonométrics: seno coseno y tngente. Se otiene hciendo un pequeño truco en l definición de l tngente. Veámoslo: / c sen tg / c cos Osérvese que lo único que se h hecho es dividir el numerdor y el denomindor entre l mism cntidd c que es l longitud de l hipotenus. Por tnto: sen tg cos L últim fórmul fundmentl relcion el coseno y l tngente. st retocr un poco l fórmul fundmentl: sen cos sen sen cos tg Teniendo en cuent l igul que nteriormente que escriiremos cos cos cos cos cos cos tg tg cos en lugr de tg nos qued: Ests fórmuls permiten otener el vlor de ls rzones trigonométrics conociendo solmente el vlor de un de ells. Por ejemplo si tenemos que tg utilizndo l últim de ls relciones nteriores: tg 4 cos cos cos cos cos cos cos 4 4 sen tg sustituyendo tenemos: cos Por otro ldo como sen sen sen / y Trigonometrí Págin

3 Unidd. Trigonometrí Rzones trigonométrics de un ángulo culquier (entre 0 o y 60 o ) hor se trt de mplir el concepto de rzón trigonométric ángulos que no sen solmente gudos. De momento vmos considerr l posiilidd de que un ángulo esté comprendido entre y 60 es decir lo sumo un vuelt complet de l circunferenci. Luego mpliremos el concepto de ángulo y considerremos ángulos de culquier medid. Pr ello vmos diujr un circunferenci de rdio uno centrd en unos ejes de coordends (llmd circunferenci goniométric). Los ángulos del primer cudrnte estrán comprendidos entre 0 y 90 los del segundo entre 90 y 80 los del tercero entre 80 y 70 y finlmente los del curto cudrnte comprendidos entre 70 y 60. En ls figurs se represent l medid del seno y del coseno de un ángulo situdo en cd uno de los cudrntes. L orientción del ángulo es l contrri l de ls de ls gujs del reloj. Los distintos signos que presentn tnto seno como coseno (el seno es l coordend verticl y el coseno l coordend horizontl del punto donde el ángulo cort l circunferenci de rdio ). 0 sen sen cos cos (negtivo) Primer cudrnte Segundo cudrnte cos (negtivo) cos sen (negtivo) sen (negtivo) Tercer cudrnte En l siguiente tl resumimos los signos de ls distints rzones trigonométrics de un ángulo comprendido entre 0 y 60 dependiendo del cudrnte en el que se encuentre: Primer cudrnte Segundo Cudrnte Tercer Cudrnte Curto cudrnte sen + + cos + + tg + + Como ejemplo supongmos que nos piden el coseno de un ángulo del segundo cudrnte siendo que sen. Curto cudrnte Por l fórmul fundmentl: cos cos cos cos. 4 4 Hemos tomdo l solución negtiv porque l encontrrse el ángulo en el curto cudrnte el coseno es negtivo. Trigonometrí Págin

4 Unidd. Trigonometrí mplición del concepto de ángulo y uso de l clculdor Ángulos myores que 60 o Un ángulo myor que 60 h de entenderse como un ángulo que d más de un vuelt y termin en lgún lugr entre el primer y el curto cudrnte. Por ejemplo el ángulo 850 es un ángulo que d siete vuelts y luego hce 0 más y que: Esto quiere decir que el ángulo 850 se sitú en el curto cudrnte y tiene ectmente ls misms rzones trigonométrics que el ángulo 0. Pr ser cunts vuelts d un ángulo myor que 60 y con qué ángulo comprendido entre 0 y 60 coincide se reliz l división enter entre 60 sin etrer cifrs decimles. El cociente será el número de vuelts y el resto el ángulo comprendido entre 0 y 60 con el que coincide el ángulo originl: hor deido que dividendo es igul divisor por cociente más el resto se otiene l iguldd nterior que h de interpretrse como siete vuelts (siete veces 60 ) y 0 más. Ángulos negtivos Y se hí comentdo nteriormente que l orientción de un ángulo positivo es l contrri l de ls gujs del reloj. Un ángulo es negtivo y escriiremos cundo su orientción es l mism que l de ls gujs del reloj. Se dice que y son ángulos opuestos. Un cso prticulr es cundo un ángulo está comprendido entre y 80. Entonces 60 coincide ectmente con. Por ejemplo si tenemos 0 entonces Esto quiere decir que 0 0 (ver figur). Si unimos esto l ejemplo nterior del ángulo 850 podemos escriir que en el sentido de que los tres ángulos poseen ls misms rzones trigonométrics Uso de l clculdor Como l medid de los ángulos que estmos utilizndo son los grdos segesimles es muy importnte que l clculdor trje con este sistem. Pr ello dee precer un letr D myúscul en l prte superior de l pntll. Si prece otr letr es que l clculdor está trjndo con otro sistem. Por ejemplo si en l prte superior de l pntll prece un letr R myúscul es que l clculdor está trjndo en rdines sistem de medid de ángulos que veremos posteriormente. En ls clculdors Csio f-8 que hitulmente utilizáis l form de que prezc un letr D myúscul en l prte superior de l pntll es pulsndo dos veces l tecl MODE y luego eligiendo DEG (revitur de degree grdo en inglés). Si se elige RD se ps l letr R myúscul y se trj en rdines. Hy otro sistem GRD con el que l clculdor trj en grdientes pero que nosotros no utilizremos. Pr clculr l rzón trigonométric de un ángulo introduce l rzón con l tecl correspondiente (SIN COS o TN) el ángulo y puls l tecl igul. utomáticmente precerá en pntll el vlor. Como ejemplo prue que sen Es prole que tengmos que clculr el ángulo cuyo seno coseno o tngente se un número ddo. Imginemos que cos 05 y queremos conocer el ángulo. Pr ello pulsmos l siguiente cominción SHIFT COS 0.5 = oteniendo que 60. L cominción que proporcion el ángulo conociendo el coseno del mismo SHIFT COS pr l clculdor es COS -. Nosotros l ángulo cuyo coseno es cierto número lo llmremos rcocoseno (que quiere decir ángulo cuyo coseno es ) y lo denotremos por rccos. sí pues tenemos cos 05 rccos Lo mismo ocurre con el seno y l tngente los que corresponden el rcoseno y l rcotngente revidmente rcsen y rctg. Es importnte ser que l clculdor pr SIN - y TN - devuelve vlores entre 90 y 90 mientrs que pr COS - devuelve vlores entre 0 y 80. Trigonometrí Págin 4

5 Unidd. Trigonometrí Rzones trigonométrics de lgunos ángulos utilizdos con frecuenci Oservndo l circunferenci goniométric de l págin es fácil deducir ls rzones trigonométrics de los ángulos y 70. Son ls siguientes: 80 sen 90 cos90 0 sen 90 cos90 0 Ls rzones trigonométrics de 60 sen0 0 cos 0 tg90 sen80 0 cos80 tg90 sen 0 0 tg 0 tg 0 0 cos0 sen 90 tg90 no eiste (l división entre cero no tiene sentido) cos 90 0 sen80 0 tg 0 tg80 0 cos80 sen 90 tg90 no eiste (l división entre cero no tiene sentido) cos 90 0 coinciden con ls de 0 Deduzcmos hor ls rzones trigonométrics de los ángulos 0 45 pues 60 es ectmente un vuelt complet y 60 ángulos que precen con stnte frecuenci. Pr deducir ls rzones trigonométrics de vmos considerr un cudrdo de ldo y digonl (ver figur). L digonl divide l cudrdo en dos triángulos rectángulos mos isósceles es decir triángulos rectángulos donde los dos ángulos gudos son de 45. Por el teorem de Pitágors 45 d d d d Por ls definiciones de seno coseno y tngente (ver págin ): sen 45 d. De igul form se tiene que cos 45 sen 45 / tg 45 cos 45 /. O ien de est otr form: tg 45. Pr deducir ls rzones trigonométrics de 0 y vmos trjr hor sore un triángulo equilátero de ldo y ltur h (vése l figur de l derech). Como el triángulo es equilátero cd uno de sus ángulos es de 60. demás l ltur divide l triángulo equilátero en dos triángulos rectángulos igules de ángulos gudos Pitágors en uno de estos dos triángulos rectángulos tenemos: y 0. Usndo el teorem de 4 h h h h Otr vez por ls definiciones de ls rzones trigonométrics de un ángulo gudo sore un triángulo rectángulo tenemos: sen 60 De mner precid se tiene que: Finlmente: d 45 h / cos 60 sen 0 / cos0 sen 60 / tg 60 tg0 cos60 / / h / sen 0 / cos 0 / 60 d /. Por último 0 h Trigonometrí Págin 5

6 Unidd. Trigonometrí Relciones entre ls rzones trigonométrics de lgunos ángulos Pr resolver lgunos ejercicios prácticos es muy útil conocer ls relciones entre determindos tipos de ángulos. No es necesrio prenderls de memori sino que recurriendo l visulizción de los ángulos sore l circunferenci goniométric es posile deducirls sin myor prolem. Ángulos opuestos: y Ángulos suplementrios: y 80º 80 sen cos sen cos sen sen tg tg cos cos tg 80 sen 80 cos 80 sen cos sen 80 sen tg cos 80 cos Ángulos que difieren en 80 o : y 80 Ángulos complementrios: y tg 80 sen 80 cos 80 sen cos sen 80 sen tg cos 80 cos tg 90 sen 90 cos 90 cos sen sen 90 cos cos 90 sen tg Por ejemplo los ángulos 60 y 0 son complementrios (sumn 90 ) y por tnto: cos 60 sen 0 sen 60 cos0 tg 60. Por otro ldo 50 y 0 son suplementrios (sumn 80 ) luego: tg0 sen50 sen 0 cos50 cos 0 tg50 tg 0. Trigonometrí Págin 6

7 Unidd. Trigonometrí Resolución de triángulos rectángulos Resolver un triángulo es hllr uno o más elementos desconocidos prtir de los elementos (ldos y ángulos) conocidos. En el cso de un triángulo rectángulo siempre se conoce un ángulo: el ángulo recto o de 90. Por tnto sólo se pueden presentr dos csos. Cso. Se conocen dos ldos. Cso. Se conocen un ldo y uno de los dos ángulos gudos. El tercer ldo se clcul medinte el teorem de Pitágors. El ángulo que forme l hipotenus con uno de los ctetos se hll prtir de l rzón trigonométric que los relcion. El ángulo que qued por conocer es el complementrio del nterior. Culquier de los otros dos ldos se clcul medinte l rzón trigonométric que lo relcion con el ldo y el ángulo conocidos. El otro ángulo gudo es el complementrio del ángulo conocido. Ejemplo. Supongmos que conocemos un cteto hipotenus c 9 cm. 5 cm y l Ejemplo. Supongmos que conocemos l hipotenus ángulo 56. c cm y el 56 o o El otro cteto se hll medinte el teorem de Pitágors: c cm. Pr clculr el ángulo : 5 sen El ángulo es el complementrio del nterior: o Tenemos que cos 56 cos cm. y sen 56 sen cm. El ángulo es el complementrio de : plicción: cálculo de l ltur y del áre de un triángulo culquier Conocid l longitud de dos ldos y de un triángulo culquier y el ángulo que formn mos es muy sencillo hllr l ltur correspondiente uno de los ldos. Oserv que en el triángulo de l figur de l derech l ltur h sore el ldo de longitud conocid divide l mismo en dos triángulos rectángulos. Si nos fijmos en el de l izquierd tenemos: h sen h sen hor podemos deducir un fórmul pr el áre del triángulo: h sen sen Similr rzonmiento se puede hcer en un triángulo culquier. Utilizndo l ltur correspondiente uno de los ldos conseguiremos dos triángulos rectángulos y esto permitirá conocer otrs longitudes o distncis desconocids. Este método se conoce con el nomre de estrtegi de l ltur pr resolver triángulos no necesrimente rectángulos. α h Trigonometrí Págin 7