EJERCICIOS UNIDADES 1 y 2: MATRICES Y DETERMINANTES = = A donde ( ) ( ) 2. B calcule la matriz X que verifique.

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1 ES Pdre Poved (Gudi) Memáics plicds ls SS Deprmeno de Memáics loque : Álgebr Linel Profesor: Rmón Lorene Nvrro Uniddes : Mrices Deerminnes EJEROS UNDDES : MTRES Y DETERMNNTES (Jun-96) Encuenre un mriz que verifique l iguldd, siendo: (Jun-97) Hlle l mriz que verific: (Jun-98) Deermine los elemenos de un mriz, donde ( ) ( ),, j i j i j i ij lcule l mriz invers de Si, 7 clcule l mriz que verifique (Sep-98) Dd l mriz, deermine los vlores de pr los que l mriz no iene invers Hlle l invers en el cso (-Sep-) Sen ls mrices ) ( punos) Resuelv l ecución mricil, siendo l mriz rspues de b) ( puno) lcule l mriz 6 (-M--b) ( punos) Siendo, rzone si posee solución l ecución mricil, en cso firmivo, resuélvl 7 (-M--) ( punos) Resuelv l siguiene ecución mricil, siendo, 8 (-M;Jun--) ) ( puno) Deermine los vlores de e que hcen cier l siguiene iguldd: b) ( punos) Deermine l mriz de dimensión l que:

2 ES Pdre Poved (Gudi) Memáics plicds ls SS 9 (-M6--) Se consider l mriz ) ( punos) lcule los vlores de pr los que no eise l invers de b) ( punos) Pr, clcule, si es posible, (-M--) Se l mriz m 6 m ) ( punos) Deermine pr qué vlores del prámero m eise b) ( punos) lcule pr m (-M--b) ( punos) Dd l mriz que verifique, deermine, si eise, l mriz (-M--) ( punos) Sen ls mrices lcule,, z, sbiendo que D,, z D z z (-M--) Sen ls mrices:, ) ( puno) Relice, cundo se posible, los siguienes producos de mrices:,, b) ( punos) Resuelv l ecución mricil: (-M6;Sep--) Se l mriz m 6 m ) ( puno) lcule los vlores de m pr que dich mriz eng invers b) ( punos) Hciendo m, resuelv l ecución mricil ( ) (-M--b) ( punos) Sen ls mrices lcule ( ), donde es l mriz unidd de orden 6 (-M;Jun--) Sen ls mrices M N ) (7 punos) lcule l mriz M M M b) ( punos) lcule l mriz M resuelv l ecución N M M, donde es un mriz Deprmeno de Memáics Profesor: Rmón Lorene Nvrro loque : Álgebr Linel Uniddes : Mrices Deerminnes

3 ES Pdre Poved (Gudi) Memáics plicds ls SS 7 (-M;Sep--) Se l mriz ) ( punos) Hlle los vlores de pr los que se verific b) ( punos) Pr, hlle ompruebe el resuldo clculndo 8 (-M--b) ( punos) Resuelv l ecución Deprmeno de Memáics Profesor: Rmón Lorene Nvrro m 9 (-M--) Se l mriz m m ) ( puno) lcule los vlores de m pr que dich mriz eng invers b) ( punos) Hciendo m, resuelv l ecución mricil, donde es l mriz unidd de orden es un mriz cudrd de orden (-M6--b) ( punos) Deermine l mriz, de orden, que verific l iguldd: 7 (-M--) Sen ls mrices, ) ( puno) lcule ( ), siendo l mriz idenidd de orden b) ( puno) Obeng l mriz clcule, si es posible, c) ( puno) lcule l mriz que verific (-M;Sep--) ( punos) De un mriz se sbe que su segund fil es ( ) su segund column es Hlle los resnes elemenos de sbiendo que (-M--b) ( puno) Dd l mriz, hlle (-M;Jun--) Sen ls mrices,, ) ( punos) lcule l mriz P que verific P b) ( punos) Deermine l dimensión de l mriz M pr que pued efecurse el produco M c) ( punos) Deermine l dimensión de l mriz N pr que N se un mriz cudrd (-M;Jun--) Sen ls mrices ) ( puno) lcule l mriz b) ( punos) Hlle l mriz que verifique loque : Álgebr Linel Uniddes : Mrices Deerminnes

4 ES Pdre Poved (Gudi) Memáics plicds ls SS Deprmeno de Memáics loque : Álgebr Linel Profesor: Rmón Lorene Nvrro Uniddes : Mrices Deerminnes 6 (-M--) ( puno) Sen ls mrices De ls siguienes operciones, lguns no se pueden relizr; rzone por qué Efecúe ls que se puedn relizr ; ; ; 7 (-M;Sep--) Sen ls mrices ) ( punos) Deermine el vlor de en l mriz pr que se verifique l iguldd b) ( punos) Obeng l mriz l que 8 (-M6--) Sen ls mrices ) ( puno) lcule, si eise, l mriz invers de b) ( punos) Si, clcule e 9 (6-M--) Sen ls mrices, ) ( punos) lcule ( ) b) ( punos) Deermine l mriz pr que (6-M;Jun--) Sen ls mrices ) ( puno) Encuenre el vlor o vlores de de form que b) ( puno) gulmene pr que c) ( puno) Deermine pr que (6-M--) ( punos) Sen ls mrices, lcule ( ) (6-M--) ( punos) Sen ls mrices: ; ; ; D ; E lcule los vlores de los números reles z,,, pr que se verifique l siguiene iguldd enre mrices: D z E (6-M6--) ( punos) Sen ls mrices ( ) Eplique qué dimensión debe ener l mriz pr que eng senido l ecución mricil ( ) Resuelv dich ecución (7-M--) Sen ls mrices, ) ( puno) Encuenre el vlor o vlores de de form que b) ( puno) gulmene pr que c) ( puno) Deermine pr que

5 ES Pdre Poved (Gudi) Memáics plicds ls SS Deprmeno de Memáics loque : Álgebr Linel Profesor: Rmón Lorene Nvrro Uniddes : Mrices Deerminnes (7-M;Jun--) Sen ls mrices, e z Y ) ( puno) Deermine l mriz invers de b) ( punos) Hlle los vlores de z,, pr los que se cumple Y 6 (7-M;Sep--) ( punos) Hlle l mriz que verific: (7-M--) ( puno) Se l mriz b lcule el vlor de b pr que 8 (7-M--b) ( punos) Dds ls mrices, resuelv l ecución mricil, donde es un mriz cudrd de orden 9 (7-M6--) Sen ls mrices, ) ( punos) lcule b) ( punos) Hlle l mriz que verific ( ) (8-M--) ) ( puno) Dd l mriz, clcule el vlor de pr que se l mriz nul b) ( punos) Dd l mriz, M clcule l mriz ( ) M M (8-M;Sep--) ) ( punos) Plnee resuelv el sisem de ecuciones ddo por: b) ( punos) lcule l mriz invers de (8-M;Jun--) Sen ls mrices 6 b ) ( punos) lcule los vlores de b pr que b) ( punos) Pr, b resuelv l ecución mricil (8-M--) ) ( puno) Dds ls mrices ( ) F, clcule los producos F F b) ( punos) Dds ls mrices,, clcule l mriz que verifique l ecución

6 ES Pdre Poved (Gudi) Memáics plicds ls SS Deprmeno de Memáics loque : Álgebr Linel Profesor: Rmón Lorene Nvrro Uniddes : Mrices Deerminnes 6 (8-M--) ) ( punos) Hlle l mriz que verific l ecución ( ) b) ( puno) Deermine los vlores de e que cumplen l iguldd (8-M6--) Sen ls mrices siguienes:, ) ( puno) lcule ( ) ( ) b) ( punos) Deermine l mriz, cudrd de orden, en l ecución mricil ( ) 6 (9-M;Sep --) Sen ls mrices, ) ( puno) lcule b) ( punos) Resuelv l ecución mricil 7 (9-M;Jun--) Se l iguldd, donde, son mrices cudrds de l mism dimensión ) ( puno) Despeje l mriz en l iguldd nerior, sbiendo que iene invers b) ( punos) Obeng l mriz en l iguldd nerior, siendo 8 (9-M--) b) ( puno) Dd l mriz, clcule l mriz M 9 (9-M6--) ( punos) Sen ls mrices:, 6 Deermine en l ecución mricil (-M--) ) ( puno) Sen, mrices con, fils respecivmene Sbiendo que el produco de mrices es posible que el resuldo es un mriz con columns, hlle ls dimensiones de dichs mrices b) ( punos) Hlle l mriz que verific ( ), siendo

7 ES Pdre Poved (Gudi) Memáics plicds ls SS b (-M--) Sen ls mrices, ) ( puno) Hlle los vlores de b pr que se verifique b) (7 punos) Eise lgún vlor de b pr el que el produco se igul l mriz nul? c) (7 punos) Pr b, hlle l mriz que verific l iguldd O (O represen l mriz nul) (-M;Sep--) Sen ls mrices: c d 6 P, Q R 8 b ) ( puno) lcule, si es posible, P Q Q P, rzonndo l respues b) ( punos) uáno deben vler ls consnes, b, c d pr que P Q R? (-M;Jun--) Sen ls mrices ) ( puno) lcule b) ( punos) Resuelv l ecución mricil (-M--) Sen ls mrices D ) ( punos) Resuelv l ecución mricil D ( D) b) ( puno) Si ls mrices D son ls mrices de dcenci de dos grfos, de vérices, b, c,,, respecivmene, h l represención gráfic de dichos grfos (-M--) 6 ) ( punos) Dd l mriz 7, clcule ( ) b) ( punos) Dds ls mrices,, D, deermine b de b mner que D O, siendo O l mriz nul 6 (-M--) ) ( punos) De un mriz cudrd,, de orden se conocen los siguienes elemenos,, Deermine los demás elemenos de l mriz sbiendo que debe cumplirse l ecución, donde ( ) ( ) b) ( puno) lcule D, siendo D 7 (-M;Jun--) Sen ls mrices,, ) ( puno) lcule b) ( punos) Resuelv l ecución mricil Deprmeno de Memáics Profesor: Rmón Lorene Nvrro 7 loque : Álgebr Linel Uniddes : Mrices Deerminnes

8 ES Pdre Poved (Gudi) Memáics plicds ls SS 8 (-M;Sep--) Sen ls mrices ) ( punos) Efecúe, si es posible, los siguienes producos: ; ; b) ( punos) Resuelv l siguiene ecución mricil 9 (-M6--) ) ( punos) Dds ls mrices M N, rzone cuáles de ls siguienes operciones ienen senido efecúe ls que puedn relizrse: M N, M N, M N b) ( puno) Un indusril cfeero produce dos ipos de cfé, nurl descfeindo, en res modliddes cd uno,, Se hn nodo en l mriz P los pesos, en kg, del cfé que el indusril produce de cd un de ls modliddes de cd ipo, en l mriz Q los precios los que vende el kg de cd produco finl: P : nurl descfein 6 nurl Q : descfein Efecúe el produco P Q eplique el significdo económico de cd uno de los elemenos de l digonl principl de l mriz resulne 6 (-M--) Sen ls mrices 6, b ) ( puno) Hlle los vlores de b pr que se verifique b) ( punos) Resuelv l ecución mricil 6 (-M--) ( punos) Hlle l mriz que verifique l ecución mricil, siendo, ls mrices,, 6 (-M;Sep--) Un fábric produce dos ipos de producos,, que disribue res clienes En el mes de enero el primer cliene compró 9 uniddes de de, el segundo cliene de 7 de, el ercer cliene de 6 de En el mes de febrero el primer cliene el segundo duplicron ls comprs del mes nerior, el ercer cliene compró de cd produco un unidd más de ls que compró en enero En mrzo el primer cliene no compró nd, el segundo el ercero comprron lo mismo que en febrero ) (7 punos) Pr cd mes consru l mriz de dimensión correspondiene ls comprs de ese mes b) ( punos) lcule l mriz de comprs del rimesre c) ( punos) Si los precios de los producos son, respecivmene, 8 euros, clcule lo que fcur l fábric en el primer rimesre, por cd cliene en ol 6 (-M;Jun--) Se l mriz ) ( punos) Resuelv l ecución mricil b) ( punos) Qué requisios mínimos debe cumplir un mriz pr que pued efecurse el produco? c) ( punos) Y pr el produco? Deprmeno de Memáics Profesor: Rmón Lorene Nvrro 8 loque : Álgebr Linel Uniddes : Mrices Deerminnes

9 ES Pdre Poved (Gudi) Memáics plicds ls SS 6 (-M--) Los lumnos de º de chillero orgnizn un ven de pseles pr el vije de fin de curso Venden pseles grndes, que necesin huevos, errones de zúcr g de hrin cd uno, pseles pequeños, que necesin huevo, errones de zúcr 8 g de hrin cd uno ) ( punos) Presene en un mriz M, de dimensión, ls cniddes de los elemenos necesrios pr l elborción de un psel grnde uno pequeño b) ( punos) Si desen fbricr pseles de un clse de or, escrib ls dos mrices column, ( grndes pequeños) ( grndes pequeños) que represenn ese repro c) ( punos) lcule los producos M M e indique si con 8 docens de huevos, errones de zúcr kg de hrin se pueden elborr pseles grndes pequeños Y grndes pequeños? 6 (-M6--) Un empres vende res rículos diferenes,, cd uno de ellos en dos formos, grnde norml En l mriz F se indicn ls cniddes de los res rículos, en cd uno de los dos formos, que h vendido l empres en un mes En l mriz G se indicn ls gnncis, en euros, que obiene l empres por cd unidd que h vendido de cd rículo en cd formo 8 grnde 6 8 grnde F G norml norml ) ( puno) Efecúe los producos F G F G b) (7 punos) ndique en qué mriz se pueden enconrr ls gnncis que h recibido l empres en ese mes por el ol de ls uniddes vendids de cd uno de los res rículos especifique cuáles son ess gnncis c) (7 punos) ndique en qué mriz se pueden enconrr ls gnncis que h recibido l empres en ese mes por el ol de ls uniddes vendids en cd uno de los dos formos, especifique cuáles son ess gnncis hlle l gnnci ol 66 (-M--) b) ( punos) Sen ls mrices ( ), Resuelv, si es posible, l ecución mricil 67 (-M;Sep--) Sen ls mrices,, ) ( punos) Resuelv l ecución mricil ( ) b) ( puno) Deermine en cd cso l dimensión de l mriz D pr que se puedn relizr ls siguienes operciones: D, D, D, D 68 (-M--) ) ( punos) Se considern ls mrices Deermine l mriz que verific 6 b) ( punos) lcule l mriz Y que verific Y 6 Deprmeno de Memáics Profesor: Rmón Lorene Nvrro 9 loque : Álgebr Linel Uniddes : Mrices Deerminnes

10 ES Pdre Poved (Gudi) Memáics plicds ls SS 8 69 (-M--) Sen ls mrices,,, D ) ( puno) lcule b) ( punos) Deermine l mriz pr que D 7 (-M--) Sen ls mrices, ) ( puno) lcule b) ( punos) Resuelv l ecución mricil 7 (-M6;Jun--) Sen ls mrices b ) ( punos) Obeng b sbiendo que Es siméric? b) ( punos) Pr los vlores b clcule l mriz l que ( ) 8 7 (-M--) Sen ls mrices ) ( punos) Deermine l dimensión que debe ener un mriz pr que se verifique l iguldd b) ( punos) Hlle l mriz nerior, sbiendo que de ell se conocen los elemenos,, 7 (-M--) ) ( puno) Deermine los vlores de e que hcen cier l iguldd b) ( punos) Resuelve l ecución mricil: 7 (-M--) Se considern ls mrices ( ) ) ( punos) lcule el vlor del prámero pr que se verifique ( ) b) ( punos) Pr, resuelv l ecución mricil 7 (-M;Jun--) Se considern ls mrices, siendo un número rel culquier ) ( puno) Obeng l mriz b) ( punos) Pr, resuelv l ecución mricil O Deprmeno de Memáics Profesor: Rmón Lorene Nvrro loque : Álgebr Linel Uniddes : Mrices Deerminnes

11 ES Pdre Poved (Gudi) Memáics plicds ls SS 76 (-M--) Se considern ls mrices ) ( punos) Efecúe l operción b) (7 punos) Deermine l mriz l que c) ( punos) lcule l mriz Y, sbiendo que 6 Y 9 77 (-M--) ) ( punos) Resuelve l ecución mricil ( D ), siendo, D b) ( puno) Si (,), (,), (,), D( 6,) E (,6) son los vérices de un región fcible, deermine, en es región, el vlor mínimo el vlor máimo de l función F, e indique los punos donde se lcnzn ( ) (-M6;Sep--) Sen ls mrices ) ( punos) lcule ls mrices e Y pr ls que se verific Y Y b) ( punos) Hlle l mriz Z que verific Z 79 (-M--) Sen ls mrices ) (7 punos) Efecúe l operción b) (7 punos) Deermine l mriz l que 6 c) ( puno) Hlle l mriz Y l que Y 9 8 (-M--) Sen ls mrices,, ( ), D ( ) ) (8 punos) Esudie cuáles de los siguienes producos de mrices se pueden relizr, indicndo ls dimensiones de l mriz resulne: D D D b) ( punos) Despeje l mriz en l ecución D, sin clculr sus elemenos D c) ( punos) lcule l mriz ( ) 8 (-M;Sep--) Sen ls mrices,, ) ( punos) lcule b) ( punos) Resuelv l ecución mricil Deprmeno de Memáics Profesor: Rmón Lorene Nvrro loque : Álgebr Linel Uniddes : Mrices Deerminnes

12 ES Pdre Poved (Gudi) Memáics plicds ls SS 8 (-M;Jun--) Sen ls mrices,, ) (7 punos) lcule ls mrices e Y si Y Y b) (8 punos) nlice cuáles de ls siguienes operciones con mrices se pueden relizr, indicndo en los csos firmivos ls dimensiones de l mriz D: D D D D 8 (-M--) Sen ls mrices, ) ( punos) Resuelv l ecución 8 b) ( punos) lcule 8 (-M6--) ) ( punos) Resuelv l ecución mricil b b) ( puno) Dds ls mrices M, clcule los vlores de b pr que se verifique l ecución M 8 (6-M;Sep--) Sen ls mrices, ) (7 punos) Resuelv l ecución mricil b) (8 punos) Qué dimensiones deben ener ls mrices P Q pr que ls mrices ( ) P Q sen cudrds? 86 (6-M--) Sen ls mrices 6 ) ( punos) Resuelv l ecución mricil ( ) b) ( puno) Rzone cuáles de ls siguienes operciones pueden relizrse e indique, en su cso, l dimensión de l mriz resulne:,,, 87 (6-M--) Sen ls mrices, 6 ) ( puno) lcule b) ( punos) Resuelv l ecución mricil 88 (6-M--) ) ( punos) Si es un mriz de dimensión m n, indique l dimensión de un mriz si se verific que ( ) n Deprmeno de Memáics Profesor: Rmón Lorene Nvrro loque : Álgebr Linel Uniddes : Mrices Deerminnes

13 ES Pdre Poved (Gudi) Memáics plicds ls SS b) ( punos) lcule dich mriz en el cso en que c) (7 punos) lcule, si es posible, el produco ( ) 89 (6-M--) Sen ls mrices, ( ) ) ( puno) Jusifique cuáles de ls siguienes operciones se pueden relizr en dichos csos clcule el resuldo:,, b) ( punos) lcule l mriz en l ecución 9 (6-M--) Sen ls mrices, ) (7 punos) Resuelv l ecución mricil b) (8 punos) nlice cuáles de ls siguienes operciones, sin efecurls, se pueden relizr jusifique ls respuess:,, 9 (6-M6;Jun--) Ls fils de l mriz P indicn los respecivos precios de res rículos, en dos comercios, (fil ) (fil ): P 7 i dese comprr uniddes del rículo, de de Mnuel dese comprr uniddes de, de de Hn dispueso ess comprs en l mriz Q : Q P Q Q P e indique el significdo de los elemenos de ls ) (8 punos) lcule mrices resulnes b) (7 punos) l vis de lo obenido en el prdo nerior, dónde les ineres hcer l compr cd uno? Deprmeno de Memáics Profesor: Rmón Lorene Nvrro loque : Álgebr Linel Uniddes : Mrices Deerminnes