Matemáticas I. 1 o de Bachillerato - Suficiencia. 13 de junio de 2011

Transcripción

1 Matemáticas I. o de Bachillerato - Suficiencia. de junio de 20. Juan y Ana ven desde las puertas de sus casas una torre de televisión situada entre ellas bajo ángulos de 5 y 60 grados. La distancia entre sus casas es de 26 metros. Halla la altura de la torre. Consejo: realiza un dibujo de la situación. Te ayudará a resolver el problema. 2. Resuelve la ecuación trigonométrica: cos 2x + cos x = 0 ( punto) ( punto). Hallar la ecuación general de la recta r que pasa por el punto A(5, 2) y es paralela a la recta s 2x y 5 = 0. ( punto). Hallar la ecuación general de la recta perpendicular a la recta x 2y + = 0 que pasa por el punto (2, ). ( punto) 5. Hallar el valor de a para que la recta x ay + = 0 sea perpendicular a la recta (2 a)x y + 2 = 0. (2 puntos) x + 5 si x < 2 6. Dada la función: f (x) = x 2 si 2 x < si x x Estudia razonadamente y, en su caso, explica el tipo de discontinuidad, en los puntos x = 2 y x =. Representa gráficamente la función. (2 puntos) 7. Calcula las derivadas de las siguientes funciones y simplifica en lo posible el resultado: a) y = x 2 b) y = ln 2x x ( punto) ( punto) 8. Dada la función f (x) = x2 x 2, hallar: a) El dominio y los puntos de corte con los ejes. (0,5 puntos) b) Las asíntotas. ( punto) c) Los intervalos donde la función es estrictamente creciente y estrictamente decreciente, así como los máximos y mínimos relativos de la función. (,5 puntos) d) Representación gráfica indicando en esta representación los puntos máximos y mínimo obtenidos. ( punto)

2 Soluciones. Para la resolución nos basaremos en el siguiente dibujo: Como x + y = 26, entonces y = 26 x. Ahora podemos plantear el siguiente sistema: tg 60 o = h x h = x tg 5 o h x = 26 x x + x = 26 = h = 26 x 26 x,7x + x = 26 2,7x = 26 x = 26 2,7 x = 6,5 m Por tanto h = 26 x = 26 6,5 = 79,85, con lo que la altura de la torre será, aproximadamente, de 79,85 metros. 2. cos 2x + cos x = 0 cos 2 x sen 2 x + cos x = 0 cos 2 x ( cos 2 x) + cos x = 0 2 cos 2 x + cos x = 0 cos x = ± 2 2 ( ) = ± cos x = 2 = = cos x 2 = 60 o + 60 o k x = 00 o + 60 o k x 2 = 80 o + 60 o k. Un vector director de s es u = ( B, A) = (, 2). Entonces la ecuación de la recta es: x 5 = y ( 2) 2 2x 0 = y + 6 2x y 6 = 0. Un vector perpendicular a la recta x 2y + = 0 es u = (A, B) = (, 2). Por tanto la ecuación de la recta perpendicular que pasa por el punto (2, ) será: x 2 = y ( ) 2 2x + = y + 2x y + = 0

3 5. Los vectores directores de ambas rectas son, respectivamente, u = (a, ) y ( ) v =, 2 a. Como las rectas han de ser perpendiculares, entonces el producto escalar de ambos vectores debe ser cero, con lo que: u v = 0 (a, ) (, 2 a ) = 0 a + 2 a = 0 a + 6 a = 0 a = 6 6. Estudiemos la continuidad en x = 2: lím f (x) = lím + 5) = x 2 x 2 (x lím f (x) = lím ) = x 2 + x 2 +(x2 lím x 2 f (x) = Además f ( 2) =. Por tanto se cumple que lím en x = 2. x 2 Estudiemos ahora la continuidad en x = : lím f (x) = lím ) = 0 x x (x2 lím f (x) = lím + x x + f (x) = f ( 2) = y, por tanto, f es continua x = + Como uno de los límites laterales es infinito, no existe el límite de la función cuando x tiende a. Esto quiere decir que f no es continua en el punto x =. Hay una discontinuidad de salto infinito. Representación gráfica:

4 7. a) Lo más fácil es escribir la función como una única potencia de exponente racional: Entonces la derivada es: y = x 2 = y = x 2/ = x 2/ = y = 2 x 2/ = 2 x 5/ = 2 b) Derivamos utilizando la regla de la cadena: y = 2x x x 5/ = 2 x = 2 5 x x 2 2(x ) (2x ) (x ) 2 = x 6x 2 6x + 2x (x ) 2 = (2x )(x ) 8. a) Los números que anulan el denominador son x = 2 y x = 2. Por tanto se tiene que Dom f = R { 2, 2}. Igualando f (x) a 0 se obtiene el punto de corte con el eje X. Para ello basta que el numerador sea cero: x 2 x = = 0. Así pues los puntos de corte con el eje X son x 2 = (, 0) y (, 0). El punto de corte con el eje Y se obtiene haciendo x = 0. Entonces y =, y el punto de ( corte con el eje Y es 0, ). b) Los números que anulaban el denominador (x = 2 y x = 2) son también candidatos a asíntotas verticales. Veamos si lo son: x 2 lím x 2 x 2 = x 2 lím x 2 x 2 = [ ] = = 0 [ ] = = 0 + si x 2 si x 2 + si x 2 + si x 2 + De lo anterior se deduce que tanto x = 2 como x = 2 son asíntotas verticales. x 2 Por otro lado: lím x x 2 =. Entonces y = es una asíntota horizontal. c) La derivada de la función es: f (x) = 2x(x2 ) (x 2 )2x (x 2 ) 2 = 2x 8x 2x + 2x (x 2 ) 2 = 6x (x 2 ) 2

5 Entonces: f (x) = 0 6x 2 = 0 x = 0 (posible extremo relativo) Hagamos una tabla: (, 2) ( 2, 0) (0, 2) (2, + ) f + + f De la tabla se desprende que f es estrictamente creciente en (, 2) ( 2, 0) y estrictamente decreciente en (0, 2) (2, + ). ( Además ) f alcanza un máximo relativo en x = 0. Las coordenadas de este máximo son 0,. Para saber la coordenada y basta sustituir la coordenada x en la función inicial (obsérvese que el máximo coincide con el punto de corte con el eje Y). d) La representación gráfica queda como sigue: