Distribucions bivariants, independencia, covariància, correlació
|
|
- Sergio Cordero Fernández
- hace 6 años
- Vistas:
Transcripción
1 Distribucions bivariants, independencia, covariància, correlació Albert Satorra UPF Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 29
2 Continguts 1 Variables aleatòries bivariants (discretes) Distribucions conjuntes, marginals, condicionades, esperança condicional Independencia entre variables 2 Associació entre variables: Covariància i correlació Desigualtat de Cauchy-Schwarz, acotació de ρ XY 3 Exemples Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 29
3 Introducció Interessa la variació conjunte de dues o més variables aleatòries lligades al mateix espai mostral Ω. Primer ens centrarem en dues variables X i Y discretes. Motivem el tema amb un exemple. Exemple: Tenim una caixa amb boles de la que fem dues extraccions. Sigui X la bola de la primera extracció i Y la bola de la segona extracció. Considerem dos casos: i) extraccions sense restitució, i ii) extraccions amb restitució. En i), la distribució de probabilitat conjunta P XY (x, y) (les probabilitats p(x, y) de les diferents combinacions dels valors de les variables ) és P XY P Y (y) 1 0 1/6 1/6 1/3 2 1/6 0 1/6 1/3 3 1/6 1/6 0 1/3 P X (x) 1/3 1/3 1/3 1 Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 29
4 En ii), la distribució de probabilitat conjunta P XY (x, y) és P XY P Y (y) 1 1/9 1/9 1/9 1/3 2 1/9 1/9 1/9 1/3 3 1/9 1/9 1/9 1/3 P X (x) 1/3 1/3 1/3 1 Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 29
5 Distribució bivariant discreta Z = (X,Y) a valors un conjunt finit o infinit numerable Ω lligats a un experiment aleatori. Distribució de Probabilitat Conjunta: P XY (x i, y j ) = P([X = x i ] [Y = y j ]) (probabilitats dels diferents valors de la variable). Tenim que P XY (x i, y j ) 0 x,y P XY (x i, y j ) = 1 De la conjunta obtenim les Distribucions Marginals: P X (x) = y P XY (x, y), marginal de X P Y (y) = x p(x, y), marginal de Y NOTA: de les marginals no podem obtenir la distribució conjunta, llevat el cas en que X i Y són independents (ho veurem d aquí un moment). Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 29
6 Distribució condicionada (condicional), Y X = x, X Y = y Si sabem s ha produit X = x, modifica aquesta informació la P(Y )? Parlarem de la variable Y condicionada a X = x, Y X = x. Parlem de la distribució de probabilitat condicional P Y X P Y X (y) = P XY (x, y) P X (x) o, simplement, P X Y Noteu que hi ha una distribució condicional diferent per cada valor de la variable X. Podem considerar també l esperança condicionada E[Y X ] E(Y X = x) = j y j P[y j x] que és una funció de x. A vegades, E(Y X = x) és linial en x, és a dir E(Y X ) = a + bx. Penseu que X pot ser la renda, Y el consum. Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 29
7 Independencia entre X i Y : Quan Y X = x és igual a Y, o de forma equivalent, quan P Y X = P Y, parlem de independència entre X i Y. Hi ha independència entre X i Y si (i només si) P XY (x, y) = P X (x)p Y (y) és a dir, distribució de probabilitat conjunta és el producte de les marginals. És una propietat simètrica, independència entre X i Y implica (Y X = x) = Y i (X Y = y) = X Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 29
8 Esperança d una funció g(x, Y ) E(g(X, Y )) = x Ara podem demostrar E(X + Y ) = EX + EY : g(x, y)p(x, y) y E(X + Y ) = x (x + y)p(x, y) = y x xp(x, y) + y x yp(x, y) y = x x( y P(x, y)) + y y( x P(x, y)) = x x(p X (x)) + y y(p Y (y)) = E(X ) + E(Y ) Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 29
9 Exemple: E(XY ) E(XY ) = x xyp(x, y) Es verifica que E(XY ) = E(X )E(Y )?? Considereu dues variables X i Y i la variança de la variable (univariant) suma X + Y V (X + Y ) = E((X + Y ) 2 ) (E(X + Y )) 2 (E(X + Y )) 2 = (EX ) 2 + (EY ) 2 + 2(EX )(EY ) E(X + Y ) 2 = E(X 2 + Y 2 + 2XY ) = E(X 2 ) + E(Y 2 ) + 2E(XY ) De manera que V (X +Y ) = (E(X 2 ) (EX ) 2 )+(E(Y 2 ) (EY ) 2 )+2(E(XY ) (EX )(EY )) = V (X ) + V (Y ) + 2 {E(XY ) (EX )(EY )} y Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 29
10 Associació entre variables: Covariància, C(X, Y ), σ XY La σ XY entre dues variables aleatòries X i Y és σ XY = E(X µ X )(Y µ Y ) = E(XY ) E(X )E(Y ) Mesura associació (variació conjunta) entre les dues variables X i Y. NOTEU: C(X,Y)= 0 no implica independència entre X i Y. Per un exemple, considerem X: amb distribució uniforme (P[X=x] = 1/3), aleshores la va Y = X 2 no és independent de X i, en canvi, C(X, Y ) = 0 Ara podem enunciar una nova propietat de la variància. Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 29
11 Propietats de la variància de la suma i esperança del producte el cas de independència Independència entre X i Y implica EXY = EXEY ( Cov(X, Y ) = 0) Demostració: EXY = xyp XY (x, y) = xyp X (x)p Y (y) x y x y ( ) = xp X (x) yp Y (y) = E(X )E(Y ) x y V (X + Y ) = VX + VY (Noteu que V (X Y ) = VX + VY ) malgrat la indepenència, en general, V (X.Y ) V (X )V (Y ) Independencia entre més de dues variables aleatòries X 1,..., X K : P X1 X 2...X K (x 1,..., x K ) = P X1 (x 1 )... P XK (x K ) En aquest cas: E(X 1 X 2... X K ) = E(X 1 )E(X 2 )... E(X K ). Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 29
12 Propietat fonamental: V (X + Y ) = V (X ) + V (Y ) + 2Cov(X, Y ) Demostració V(X +Y) = V(X) + V(Y) + 2Cov(X,Y) V (X + Y ) = E[(X + Y ) 2 ] [E(X + Y )] 2 = EX 2 + EY 2 + 2EXY ((EX ) 2 + (EY ) 2 + 2(EX )(EY )) = (EX 2 (EX ) 2 ) + (EY 2 (EY ) 2 ) + 2(EXY (EX )(EY )) V (X ) + V (Y ) + 2C(X, Y ) Si X 1, X 2,... X n són (mutuament) independents: V (X 1 + X X n ) = V (X 1 ) + V (X 2 ) + + V (X n ) E(X 1 X 2 X n ) = E(X 1 ) E(X 2 ) E(X n ) Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 29
13 Propietats del operador covariància. Cov(X,Y) = Cov(Y,X) Cov(k,Z) = 0 (aquí k denota una variable aleatoria constant) V(X) = Cov(X,X) Cov(kX,Y) = kcov(x,y) (noteu que k pot esser negatiu, de manera que Cov(-2X,Y) = -2Cov(X,Y) Cov(X+k,Y) = Cov(X,Y) Cov(X+Y,Z) = Cov(X,Z) + Cov(Y,Z) Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 29
14 Exemple Tenim una caixa amb les boles i efectuem dues extraccions. Considerem dos casos: (i) amb restitució; (ii) sense restitució. X és el número de la primera extracció i Y al número corresponent a la segona extracció. Cal calcular Cov(X,Y) en els dos casos. En ambdos casos (i) i (ii), tenim En el cas (ii): EX = EY = (3 + 1)/2 = 2 V (X ) = V (Y ) = (2 4)/12 = 2/3 σ X = σ Y = 2/3 EXY = 1 2 1/ / / / / /6 = ( )/6 = 22/6 = 11/3 Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 29
15 Exemple (cont.) De manera que C(X, Y ) = 11/3 4 = 11/3 12/3 = 1/3 ρ(x, Y ) = 1/3 2/3 = 0.5 P Y X =1 (1) = 0; P Y X =1 (2) = 1/2; P Y X =1 (3) = 1/2 E(Y X = 1) = (2 + 3)/2 = 2.5 P Y X =2 (1) = 1/2; P Y X =2 (2) = 0; P Y X =2 (3) = 1/2 E(Y X = 2) = (1 + 3)/2 = 2 P Y X =3 (1) = 1/2; P Y X =3 (2) = 1/2; P Y X =3 (3) = 0 E(Y X = 3) = (1 + 2)/2 = 1.5 Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 29
16 Independència implica σ XY = ρ XY = 0 Si les variables X i Y són independents, aleshores E(XY ) = E(X )E(Y ) de manera que σ XY = 0 i ρ XY = σ XY σ X σ Y = 0. També es pot veure que en el cas de independència, E(Y X ) = E(Y ), idem E(X Y ) = E(X ); és a dir, les esperances condicionades són les mateixes que sense condicionar. Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 29
17 compte! σ XY = ρ XY = 0 NO implica Independència P XY 0 1 P X (x) 1 0 1/3 1/3 0 1/3 0 1/ /3 1/3 P Y (y) 1/3 2/3 1 En aquest cas, Y = X 2 ; és a dir, no són independents. Tot i això, podem veure que σ 12 = ρ 12 = 0. És a dir, que covariància zero no guaranteix independència. Solament en el cas (o veurem) de distribució conjunta normal bivariant. Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 29
18 Exemple d esperança condicional Noteu que E(Y X = x) és una funció de x, que podem representar en el gràfic de regressió següent: Figure : La funció de regressió E(Y X ) regressio Y X E(Y X) X Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 29
19 Exemple (cont.) En el cas (i) (amb restitució), tenim: EXY = 1 2 (1/9)+1 3 (1/9)+2 1 (1/9)+2 3 (1/9)+3 1 (1/9)+3 De manera que ( )/9 = 36/9 = 4 C(X, Y ) = 4 4 = 0 En aquest cas (i), P Y X =x (y) = P Y (y) = 1/3, de manera que E(Y X = x) = E(Y ) = 2 per qualsevol valor de x, de manera que la funció de regressió E(Y X = x) és constant en x Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 29
20 Exemple (cont.): Esperança condicional, E(Y X ) E(Y X = x) és constant en x Figure : La regressió E(Y X ) regressio E(Y X), cas (i) amb restitucio E(Y X) X Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 29
21 Correlació entre les variables X i Y, ρ(x, Y ), ρ XY, r XY ρ XY = C(X, Y ) V (X )V (Y ) = σ XY σ X σ Y Noteu també que σ XY = ρ XY σ X σ Y, de manera que podem obtenir la covariància a partir de la correlació i les desviacions estàndards. De fet, ρ XY coincideix amb la covariància si les X i Y són variables estandarditzades (tipificades, amb esperança zero, i variància 1). Veurem que 1 ρ XY 1 amb igualtat (a 1 o 1) solament si hi ha relació lineal exacta entre elles, si hi ha a, b, c tal que ax + by = c. Independència implica correlació zero, però correlació zero no implica independència. Noteu que hi ha correlació zero si i solament si la covariància és zero. Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 29
22 Desigualtat de Cauchy-Schwarz i acotació de ρ XY Si X i Y són dues variables aleatòries lligades al mateix Ω i am valor esperat finit, aleshores: (EXY ) 2 EX 2 EY 2 Demostració: Si Z = kx + Y, aleshores Z 2 = k 2 X 2 + Y 2 + 2kXY. Tenim que 0 E(Z 2 ) = k 2 EX 2 + 2kEXY + EY 2, d on obtenim... (recordeu ax 2 + bx + c = 0, el discriminant de l equació = b 2 4ac 0... Si = 0 aleshores hi ha un k amb Z = kx + Y = 0, és a dir, Y = kx ). Apliqueu la desigualtat anterior a les variables centrades X µ X i Y µ Y, i obteniu (Cov(X, Y )) 2 V (X )V (Y ) De manera que (Cov(X, Y )) 2 V (X )V (Y ) [ ] Cov(X, Y ) 2 = = ρ 2 XY σ X σ 1 y Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 29
23 ... acotació 1 ρ XY +1 amb igualtat si i solament si hi ha una dependencia linial exacta entre X i Y, si hi han a i b tals que Y = a + bx. Noteu que obtenim igualtat (es a dir correlació +1 o 1) en el cas solament que hi hagi un valor de k pel que Y µ Y = k(x µ X ), és a dir, quan Y = (µ Y kµ X ) + kx = a + bx. Donades les variables X 1 i X 2 la matriu ( σ 2 Σ = 1 σ12 σ12 σ2 2 ) S anomena matriu de var. -covar. del vector aleatoria (X 1, X 2 ). Per la desigualtat de Cauchy-Schwarz, el determinant d aquest matriu σ12 2 σ2 1 σ Direm que Σ és una matriu semi-definida positiva. Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 29
24 Exemple: Tenim una caixa amb boles de la que fem dues extraccions. Sigui X la bola de la primera extracció i Y la bola de la segona extracció. Considerem dos casos a) extraccions sense restitució i b) extraccions amb restitució. Considerarem primer el cas a). En aquest cas la distribució de probabilitat conjunta serà P XY /12 1/12 1/12 2 1/12 0 1/12 1/12 3 1/12 1/12 0 1/12 4 1/12 1/12 1/12 0 Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 29
25 Exemple: Cal considerar les distribucions de probabilitat marginals que, en aquest exemple, seran distribucions uniformes de 1 a 4. En aquest cas a) les variables X i Y no són independents. També podem considerar les corresponents distribucions de probabilitat condicionals. Y X o X Y. Tenim que la distribució condicionada Y X = 3 serà: Y X = 3 : P Y X =3 : 1/3 1/3 0 1/3 Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 29
26 exemple (cont.) Tenim que E(Y X = 3) = 7/3. De fet, X : E(Y X ) 9/3 8/3 7/3 6/3 (fer una representació gràfica de E(Y X = x) que és linial en x Noteu que Cov(X, Y ) = EXY EXEY = 35/6 (2.5)(2.5) = La variancia de les marginals és: V (X ) = EXX EXEX = 30/4 (2.5)(2.5) = 1.25 = Per tant, la correlació serà: ρ = = Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 29
27 exemple (cont.) Podem ara considerar el cas ii) d extraccions amb restitució. En aquest cas és fàcil veure que hi ha independència entre X i Y, que les distribucions marginals són iguals, que les esperances condicionades són iguals constants, que la covariancia i la correlació són zero, etc. Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 29
28 Exemples: Tenim dos valors de borsa X i Y cada un amb guany esperat 100 amb variància 10. Tenim l opció de i) comprar-ne 2 valors de X o ii) comprar-ne un de X i un de Y. Quina de les dues inversions té més risc?. Comenteu els tres casos: Cov(X,Y) = 0, Cov(X,Y) positiva, Cov(X,Y) negativa. Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 29
29 1 Considerem els valors X i Y amb distribució de probabilitat conjunta P XY Trobeu les distribucions de probabilitat condicionades, marginals, la covariància, esperança condicional, etc. 2 Si invertim 100 euros, que té més variància (risc), comprar deu bons de 10 en el mateix actiu X, o comprar deu bonos de 10 en deu actius diferents X 1,..., X 10 independents. Suposeu que el valor esperat i la variància són iguals en tots els actius. Hi ha diferència entre valors esperats de les dues opcions? Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor / 29
UPF, Curs Trimestre 1 Probabilitat i Estadística, Examen Primer Trimestre, Probabilitat
UPF, Curs 2015-16 Trimestre 1 Probabilitat i Estadística, Examen Primer Trimestre, Probabilitat Professors: Albert Satorra, Christian Brownlees, Mireia Besalú Nom i Cognoms: DNI: Grup: Signeu aquí 1. Ompliu
Más detallesValor esperat, variància
Valor esperat, variància 2009-10 Esperança de v.a. discretes i contínues Definició Valor esperat Si X és una v.a. discreta, amb f(m)p P[x], l esperança o valor esperat d X és Si X és una v.a. contínua,
Más detallesUPF, Curs Trimestre 1 Probabilitat i Estadística, Groups 1 a 4. Examen Final
UPF, Curs 2012-13 Trimestre 1 Probabilitat i Estadística, Groups 1 a 4 Examen Final Professors: Albert Satorra i Christian Brownlees Nom i Cognom..., Grup... NIA... Nom i Cognoms... 1 Test A Llegiu aquestes
Más detallesLliçons 15: Suma de moltes variables independents: Llei dels Grans Nombres, Teorema del Limit Central; Aproximem distribucions
Lliçons 15: Suma de moltes variables independents: Llei dels Grans Nombres, Teorema del Limit Central; Aproximem distribucions Albert Satorra Probabilitat, UPF Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU
Más detallesUPF, Curs Trimestre 1 Probabilitat i Estadística, Examen Primer Trimestre, Probabilitat
UPF, Curs 2015-16 Trimestre 1 Probabilitat i Estadística, Examen Primer Trimestre, Probabilitat Professors: Albert Satorra, Christian Brownlees, Mireia Besalú Nom i Cognoms: DNI: Grup: Signeu aquí 1. Ompliu
Más detallesLlei dels Grans Nombres, Teorema Central del Límit, distribucions asimptòtiques
Llei dels Grans Nombres, Teorema Central del Límit, distribucions asimptòtiques Albert Satorra Probabilitat, UPF Albert Satorra ( Probabilitat, UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2013 1 / 15 Continguts 1 Suma de variables
Más detallesPOLINOMIS. p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n,
POLINOMIS Un monomi és una expressió de la forma ax m, on el coeficient a és un nombre real o complex, x és una indeterminada i m és un nombre natural o zero. Un polinomi és una suma finita de monomis,
Más detallesUnitat 2. POLINOMIS, EQUACIONS I INEQUACIONS
Unitat 2. POLINOMIS, EQUACIONS I INEQUACIONS 2.1. Divisió de polinomis. Podem fer la divisió entre dos monomis, sempre que m > n. Si hem de fer una divisió de dos polinomis, anirem calculant les divisions
Más detallesTEMA 4: Equacions exponencials i logarítmiques
TEMA 4: Equacions exponencials i logarítmiques 4.1. EXPONENCIALS Definim exponencial de base a i exponent n:. Propietats de les exponencials: (1). (2) (3) (4) 1 (5) 4.2. EQUACIONS EXPONENCIALS Anomenarem
Más detallesResumen de Probabilidad
Definiciones básicas * Probabilidad Resumen de Probabilidad Para calcular la probabilidad de un evento A: P (A) = N o decasosfavorables N o decasosposibles * Espacio muestral (Ω) Es el conjunto de TODOS
Más detalles1- Preguntes breus (resposta correcta del apartat són 0.5 punts. Total de punts, 5 sobre 10).
UPF, Anàlisi Multivariant, Examen Final, de desembre de, De. a 7.,Aula 4. Professor: Albert Satorra Instruccions: Aquest examen consta de tres apartats. El primer són preguntes breus sobre temes diversos.
Más detallesTema 4: Variables aleatorias multidimensionales
Tema 4: Variables aleatorias multidimensionales Los contenidos a desarrollar en este tema son los siguientes: Distribución conjunta de probabilidad Probabilidad/densidad marginales y condicionadas Independencia
Más detallesc) C = (c ij ) de tres files i tres columnes per a) u r = (1, 2, 3, 4), c) u r = (1, 1, 1), v r = (2, 4, 8) i w r = (3, 9, 27)
SOLUCONAR Unitat 8 Comencem Cada 100 g de producte d un determinat aliment conté 0,06 g de vitamina A, 0,3 g de vitamina B i 0, g de calci. Anàlogament, un altre aliment conté 0,1 g de vitamina A, 0, g
Más detallesUIB 2 + f (x) + f(x) ց ց ր ր Per tant, el punt ( 3. Una altra forma de veure-ho és calcular la derivada segona i mirar el signe en x = 3: 2 f (x) =
El cas positiu no té solució. Si analitzam el cas negatiu, ens surt x = x+, d on x =. A continuació fem la taula següent per veure si el valor obtingut és un màxim, mínim o un punt de sella. x + f (x)
Más detallesTEMA 5 Variables aleatòries: Generalitats
TEMA 5 Variables aleatòries: Generalitats Dep. Estadística i Inv. Operativa Univ. de València Definició de variable aleatòria Una variable aleatòria (v.a.) és una funció que a cada element de l espai mostral
Más detallesProves d accés a la Universitat per a més grans de 25 anys Convocatòria 2013
Pàgina 1 de 5 Sèrie 3 Opció A A1.- Digueu de quin tipus és la progressió numèrica següent i calculeu la suma dels seus termes La progressió és geomètrica de raó 2 ja que cada terme s obté multiplicant
Más detallesPolinomis i fraccions algèbriques
Tema 2: Divisivilitat. Descomposició factorial. 2.1. Múltiples i divisors. Cal recordar que: Si al dividir dos nombres enters a i b trobem un altre nombre enter k tal que a = k b, aleshores diem que a
Más detalles( 2 3, utilitzeu la matriu inversa B 1 ( 1 4 ( 2 1. Matrius i determinants Sèrie 3 - Qüestió 4. Donada la matriu B =
1998 - Sèrie 3 - Qüestió 4 Donada la matriu B = ( 2 3, utilitzeu la matriu inversa B 1 1 1) B X B = ( 1 4 3 2). per trobar una matriu X tal que 2004 - Sèrie 1 - Qüestió 3 Considereu les matrius Trobeu
Más detallesTEMA 3.- VECTORES ALEATORIOS.- CURSO
TEMA 3.- VECTORES ALEATORIOS.- CURSO 017-018 3.1. VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES. FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN CONJUNTA. 3.. VARIABLES BIDIMENSIONALES DISCRETAS. 3.3. VARIABLES BIDIMENSIONALES CONTINUAS.
Más detallesSI ÉS CONVEXA HA DE SER SIMPLE FME, UPC, 3/5/2017. Andreu Mas-Colell, UPF i Barcelona GSE
SI ÉS CONVEXA HA DE SER SIMPLE FME, UPC, 3/5/2017 Andreu Mas-Colell, UPF i Barcelona GSE Basada en recerca conjunta amb el Professor Sergiu Hart de la Universitat Hebrea de Jerusalem (vegis: Hart i Mas-Colell:
Más detallesUn sistema lineal de dues equacions amb dues incògnites és un conjunt de dues equacions que podem representar de la manera:
Un sistema lineal de dues equacions amb dues incògnites és un conjunt de dues equacions que podem representar de la manera: ax + by = k a x + b y = k Coeficients de les incògnites: a, a, b, b. Termes independents:
Más detallesOficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina 1 de 6 PAU 2012
Oficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina 1 de 6 SÈRIE 4 1 1 k 1.- Determineu el rang de la matriu A = 1 k 1 en funció del valor del paràmetre k. k 1 1 [2 punts] En ser la matriu
Más detallesTEMA 4 : Matrius i Determinants
TEMA 4 : Matrius i Determinants MATRIUS 4.1. NOMENCLATURA. DEFINICIÓ Una matriu és un conjunt de mxn elements distribuïts en m files i n columnes, A= Aquesta és una matriu de m files per n columnes. És
Más detallesProva d accés a la Universitat (2013) Matemàtiques II Model 1. (b) Suposant que a = 1, trobau totes les matrius X que satisfan AX + Id = A, on Id
UIB Prova d accés a la Universitat () Matemàtiques II Model Contestau de manera clara i raonada una de les dues opcions proposades. Es disposa de 9 minuts. Cada qüestió es puntua sobre punts. La qualificació
Más detallesProves d accés a la universitat per a més grans de 25 anys Abril 2017
Pàgina 1 de Proves d accés a la universitat per a més grans de anys Abril 017 èrie 1 Part 1 Resoleu QUATRE de les cinc qüestions proposades. [4 punts: 1 punt per cada qüestió] Qüestió 1 Completeu la taula
Más detallesTema 4. El model de regressió múltiple: Inferència. Joan Llull. Materials:
Tema 4. El model de regressió múltiple: Inferència Joan Llull Materials: http://pareto.uab.cat/jllull Tutories: dijous de 11:00 a 13:00h (concertar cita per email) Despatx B3-1132 joan.llull [at] movebarcelona
Más detallesDistricte Universitari de Catalunya
Proves dʼaccés a la Universitat. Curs 2009-2010 Matemàtiques Sèrie 1 Responeu a CINC de les sis qüestions següents. En les respostes, expliqueu sempre què és el que voleu fer i per què. Cada qüestió val
Más detallesÀlgebra lineal i equacions diferencials. Curs 2001/02 Exemple de diagonalització.
Considerem la matriu Àlgebra lineal i equacions diferencials Química Curs 2001/02 Exemple de diagonalització. A = M 3 (R). Calculeu els valors propis de la matriu A. Calculeu els vectors propis pels valors
Más detallesGeometria / GE 2. Perpendicularitat S. Xambó
Geometria / GE 2. Perpendicularitat S. Xambó Vectors perpendiculars Ortogonal d un subespai Varietats lineals ortogonals Projecció ortogonal Càlcul efectiu de la projecció ortogonal Aplicació: ortonormalització
Más detallesSèrie 5. Resolució: 1. Siguin i les rectes de d equacions. a) Estudieu el paral lelisme i la perpendicularitat entre les rectes i.
Oficina d Accés a la Universitat Pàgina 1 de 11 Sèrie 5 1. Siguin i les rectes de d equacions : 55 3 2 : 3 2 1 2 3 1 a) Estudieu el paral lelisme i la perpendicularitat entre les rectes i. b) Trobeu l
Más detallesLlista 1. Probabilitat. (Amb solució)
Llista 1 Probabilitat (Amb solució 1 Descriu l espai mostral (Ω associat als següents experiments aleatoris: a Tirem dos daus distingibles i observem els números de les cares superiors b Tirem dos daus
Más detallesVariables aleatòries
Variables aleatòries 2009-10 Variables aleatòries Definicions bàsiques i propietats Funció (de massa) de probabilitat PF (o FP) Variables aleatòries discretes Funció de distribució (acumulativa) DF (o
Más detallesExamen Final 17 de gener de 2013
MATEMÀTIQUES FIB-UPC Examen Final 7 de gener de 03 a) Representeu gràficament la corba definida per l equació y = x 5x. b) Determineu si el conjunt C = { x R x 5x 6 } és fitat superiorment inferiorment)
Más detallesVariables aleatòries
Variables aleatòries 2010-11 Variables aleatòries Definicions bàsiques i propietats Variables aleatòries discretes, funció (de massa) de probabilitat, exemples, funció de distribució Variables aleatòries
Más detallesProporcionalitat i percentatges
Proporcionalitat i percentatges Proporcions... 2 Propietats de les proporcions... 2 Càlul del quart proporcional... 3 Proporcionalitat directa... 3 Proporcionalitat inversa... 5 El tant per cent... 6 Coneixement
Más detalles(1,2) (1,2) (1,3) (3,0) (0,3) (2,1) (3,0) (1,3) (1,3) (2,3) (3,1) (3,0) (0,3) (1,2) (1,3) (4,0) (3,1) (3,1) (1,2) (1,3)
1. DISTRIBUCIONS BIDIMENSIONALS Distribucions bidimensionals Moltes vegades interessa estudiar dues variables alhora dels elements d una població o mostra. En aquests casos, es recopilen dues dades per
Más detallesLES FRACCIONS Una fracció és part de la unitat Un tot es pren com a unitat La fracció expressa un valor amb relació a aquest tot
LES FRACCIONS Termes d una fracció: a b Numerador Denominador 1.- ELS TRES SIGNIFICATS D UNA FRACCIÓ 1.1. Una fracció és part de la unitat Un tot es pren com a unitat La fracció expressa un valor amb relació
Más detallesMATEMÀTIQUES Versió impresa ESTADÍSTICA
MATEMÀTIQUES Versió impresa ESTADÍSTICA 1. RepÀs d estadística unidimensional 1.1. Freqüències absoluta i relativa Si ho recordeu, una de les primeres magnituds que es calcula en un estudi estadístic és
Más detallesGuia docent. 1. Estimació puntual de paràmetres a. Característiques desitjables dels estimadors 2. Estimació per intervals dels paràmetres
Guia docent 1. Estimació puntual de paràmetres a. Característiques desitjables dels estimadors 2. Estimació per intervals dels paràmetres 1 1. Estimació puntual de paràmetres a. Característiques desitjables
Más detallesTema 4: Variables aleatorias multidimensionales
1 Tema 4: Variables aleatorias multidimensionales En este tema: Distribución conjunta de probabilidad Probabilidad/densidad marginal Probabilidad/densidad condicionada Esperanza, varianza, desviación típica
Más detallesTEMA 5 : Resolució de sistemes d equacions
TEMA 5 : Resolució de sistemes d equacions 5.1. EQUACIÓ LINEAL AMB n INCÒGNITES Una equació lineal de n incògnites es qualsevol expressió de la forma: a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, on a i b son
Más detallesAnells i cossos. Definició i exemples. Donat un conjunt A i dues operacions binàries que denotarem per + i, direm que (A, +, ) és un anell si
Anells i cossos Definició i exemples Donat un conjunt A i dues operacions binàries que denotarem per + i, direm que (A, +, ) és un anell si (A, +) és un grup commutatiu, l operació és tancada, associativa
Más detallesNom i Cognoms: Grup: Data:
n BATX MA ) Raoneu la certesa o falsedat de les afirmacions següents: a) Si A és la matriu dels coeficients d'un sistema d'equacions lineals i Ampl és la matriu ampliada del mateix sistema. Rang(A) Rang
Más detallesSOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D APRENENTATGE
SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D APRENENTATGE 3 Activitat Completa els productes següents. a) 0 = 5... e) 0 = 5... b)... = 5 3 f) 25 =... 5 c) 5 =... g) 55 = 5... d) 30 = 5... h) 40 =...... a) 0 = 5 0 e)
Más detallesPROBLEMES de PROBABILITAT CONDICIONADA
PROBLEMES de PROBABILITAT CONDICIONADA 1. PROBLEMA de les DUES CIUTATS (Cas estàndard) Siguin dues ciutats, A i B, i dos partits polítics, m i n. Fem l experiment aleatori d agafar una persona a l atzar
Más detallesOficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina 1 de 10 PAU 2009 QÜESTIONS
Oficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina 1 de 10 PAU 009 SÈRIE 4 QÜESTIONS 1. Considereu el sistema d inequacions següent: x 0, y 0 x+ 5y 10 3x+ 4y 1 a) Dibuixeu la regió de solucions
Más detalles1. Què tenen en comú aquestes dues rectes? Com són entre elles? 2. En què es diferencien aquestes dues rectes?
En la nostra vida diària trobem moltes situacions de relació entre dues variable que es poden interpretar mitjançant una funció de primer grau. La seva expressió algebraica és del tipus f(x)=mx+n. També
Más detallesTEMA 6. POLINOMIS II. a n a 2 a 1 a Teorema del residu. 4. Polinomis irreductibles. 6. Fraccions algebraiques
. REGLA DE RUFFINI És s un mètode m de divisió entre polinomis, més m s senzill que l algoritme l de la divisió i que permet la divisió només quan el divisor és s de la forma Q(x) x b. TEMA 6. S II Professor
Más detallesMatemàtiques 1 - FIB
Matemàtiques - FI 7--7 Examen Final F Àlgebra lineal JUSTIFIQUEU TOTES LES RESPOSTES. [ punts] Siguin E i F dos espais vectorials, f : E F una aplicació lineal. (a) Digueu què ha de satisfer f per tal
Más detallesVariables Aleatorias y Distribución de Probabilidades
Variables Aleatorias y Distribución de Probabilidades Julio Deride Silva Área de Matemática Facultad de Ciencias Químicas y Farmcéuticas Universidad de Chile 27 de mayo de 2011 Tabla de Contenidos Variables
Más detallesMomentos de Funciones de Vectores Aleatorios
Capítulo 1 Momentos de Funciones de Vectores Aleatorios 1.1 Esperanza de Funciones de Vectores Aleatorios Definición 1.1 Sea X = (X 1,..., X n ) un vector aleatorio (absolutamente continuo o discreto)
Más detallesCapítulo 2. Medidas Estadísticas Básicas Medidas estadísticas poblacionales
Capítulo 2 Medidas Estadísticas Básicas 2.1. Medidas estadísticas poblacionales Sea X una variable aleatoria con función de probabilidad p(x) si es discreta, o función de densidad f(x) si es continua.
Más detallesTEMA 3: Polinomis 3.1 DEFINICIONS:
TEMA 3: Polinomis 3.1 DEFINICIONS: Anomenarem monomi qualsevol expressió algèbrica formada per la multiplicació d un nombre real i d una variable elevada a un exponent natural. El nombre es diu coeficient
Más detallesA.1 Dar una expresión general de la proporción de componentes de calidad A que fabrican entre las dos fábricas. (1 punto)
e-mail FIB Problema 1.. @est.fib.upc.edu A. En una ciudad existen dos fábricas de componentes electrónicos, y ambas fabrican componentes de calidad A, B y C. En la fábrica F1, el porcentaje de componentes
Más detallesExamen FINAL M2 FIB-UPC 12 de juny de 2015
Examen FINAL M FIB-UPC 1 de juny de 015 1. ( punts Sigui a R, calculeu els límits següents segons els valors d a: n + n n + a+ a+n a n n n, n n + n!.. ( punts Considereu la integral següent: I = 1.8 1
Más detallesPropietats de les desigualtats.
Inequacions Desigualtats Direm que a < b a és menor que b si b a és un nombre positiu. Gràficament, a queda a l esquerra de b. Direm que a > b a major que b si a b és un nombre positiu. Gràficament, a
Más detallesTEMA 4 : Programació lineal
TEMA 4 : Programació lineal 4.1. SISTEMES D INEQUACIONS DE PRIMER GRAU AMB DUES INCÒGNITA La solució d aquest sistema és l intersecció de les regions que correspon a la solució de cadascuna de les inequacions
Más detalles.../... Atenció l'examen continua a l'altra pàgina
Generalitat de Catalunya Departament d Ensenyament Institut Jaume Balmes Departament de Matemàtiques 1r BATX MA 2n quadrimestral (Global del 2n BLOC) Nom i Cognoms: Grup: Data: Nota molt important: S han
Más detallesACTIVITATS. a) b) c) d) INS JÚLIA MINGUELL 2n Batxillerat. dv, 18 de març Alumne:
INS JÚLIA MINGUELL 2n Batxillerat Matemàtiques Tasca Continuada 4 «Matrius i Sistemes d equacions lineals» Alumne: dv, 18 de març 2016 LLIURAMENT: dm, 5 d abril 2016 NOTA: cal justificar matemàticament
Más detallesPOLINOMIS. Divisió. Regla de Ruffini.
POLINOMIS. Divisió. Regla de Ruffini. Recordeu: n Un monomi en x és una expressió algebraica de la forma a x on a és un nombre real i n és un nombre natural. A s anomena coeficient i n s anomena grau del
Más detallesDistricte Universitari de Catalunya
Proves d Accés a la Universitat per a més grans de 25 anys Convocatòria 2013 Estadística Sèrie 2 Fase específica Opció: Ciències de la salut Opció: Ciències socials i jurídiques Qualificació Etiqueta identificadora
Más detallesUna funció és una relació entre dues variables, de tal manera que al variar el valor d'una d'elles va variant el valor de l'altra.
UNITAT 7: FUNCIONS. Definició Una funció és una relació entre dues variables, de tal manera que al variar el valor d'una d'elles va variant el valor de l'altra. Eemple: Completa: f() g() - h() - - (-)
Más detallesIntroducció a la probabilitat. Curs
Introducció a la probabilitat Curs 2009-10 Continguts Conjunts Dels conjunts a la probabilitat Axiomes de la probabilitat; Conseqüències Mètodes de recompte Probabilitat condicionada i Independència Experiments
Más detallesTema 2: GEOMETRIA ANALÍTICA AL PLA
Tema : GEOMETRIA ANALÍTICA AL PLA Vector El vector AB és el segment orientat amb origen al punt A i extrem al punt B b a A B Les projeccions del vector sobre els eixos són les components del vector: a
Más detallesx + 2 y = 3 2 x y = 1 4 x + 3 y = k a) Afegiu-hi una equació lineal de manera que el sistema resultant sigui incompatible.
1998 - Sèrie 3 - Qüestió 4 Discutiu el sistema d'equacions a x y + 2 z = (2 a) 2 x + 3 y z = 3a x + 2 y z = 2a segons els valors del paràmetre a. 1999 - Sèrie 1 - Qüestió 1 Resoleu el sistema següent per
Más detalles1. SISTEMA D EQUACIONS LINEALS
1. SISTEMA D EQUACIONS LINEALS 1.1 Equacions lineals Una equació lineal està composta de coeficients (nombres reals) acompanyats d incògnites (x, y, z,t..o ) s igualen a un terme independent, i les solucions
Más detallesFUNCIONS EXPONENCIALS I LOGARÍTMIQUES. MATEMÀTIQUES-1
FUNCIONS EXPONENCIALS I LOGARÍTMIQUES. 1. Funcions exponencials. 2. Equacions exponencials. 3. Definició de logaritme. Propietats. 4. Funcions logarítmiques. 5. Equacions logarítmiques. 1. Funcions exponencials.
Más detallesVectores Aleatorios. Vectores Aleatorios. Vectores Discretos. Vectores Aleatorios Continuos
Definición Dado un espacio muestral S, diremos que X =(X 1, X 2,, X k ) es un vector aleatorio de dimension k si cada una de sus componentes es una variable aleatoria X i : S R, para i = 1, k. Notemos
Más detallesEstadístics descriptius utilitzant els menús Menú de Gretl: Ver/Estadísticos principales...
Econometria I Resum eines de Gretl Repàs estadística i Tema 1 Estadística amb Gretl. Estadístics descriptius utilitzant els menús Menú de Gretl: Ver/Estadísticos principales... Sel lecciona les variables
Más detalles2 desembre 2015 Límits i número exercicis. 2.1 Límits i número
I. E. S. JÚLIA MINGUELL Matemàtiques 2n BAT. 2 desembre 205 Límits i número exercicis 2. Límits i número 4. Repàs de logaritmes i exponencials: troba totes les solucions de cadascuna de les següents equacions:
Más detallesEquacions i sistemes de segon grau
Equacions i sistemes de segon grau 3 Equacions de segon grau. Resolució. a) L àrea del pati d una escola és quadrada i fa 0,5 m. Per calcular el perímetre del pati seguei els passos següents: Escriu l
Más detallesRang, r(a), d una matrix A (n x p), és el número de files (o de columnes) de A que són linialment independents. Propietats: r(ab) min(r(a), r(b))
Apèndix: Càlcul Matricial bàsic en l AM En aquest apartat introduirem eines de càlcul matricial necessàries en AM. Introduirem primer matrius i vectors associats a una matriu de dades, després desenvoluparem
Más detallesVECTORS I RECTES AL PLA. Exercici 1 Tenint en compte quin és l'origen i quin és l'extrem, anomena els següents vectors: D
VECTORS I RECTES AL PLA Un vector és un segment orientat que és determinat per dos punts, A i B, i l'ordre d'aquests. El primer dels punts s'anomena origen i el segons es denomina extrem, i s'escriu AB.
Más detallesGràficament: una funció és contínua en un punt si en aquest punt el seu gràfica no es trenca
Funcions contínues Funcions contínues Continuïtat d una funció Si x 0 és un nombre, la funció f(x) és contínua en aquest punt si el límit de la funció en aquest punt coincideix amb el valor de la funció
Más detallesMatemàtiques 1 - FIB
Matemàtiques 1 - FIB 8-1-016 Examen F1 Grafs JUSTIFIQUEU TOTES LES RESPOSTES 1 (a) [05 punts] Doneu la definició de la matriu d incidències d un graf (b) [15 punts] Enuncieu i proveu el Lema de les encaixades
Más detallesProbabilitat, probabilitat condicionada, independència
Probabilitat, probabilitat condicionada, independència Curs 2010-11 Continguts Conjunts Dels conjunts a la probabilitat Axiomes de la probabilitat; Conseqüències Mètodes de recompte Probabilitat condicionada
Más detallesCARTES DE FRACCIONS. Materials pel Taller de Matemàtiques
CARTES DE FRACCIONS Aquesta proposta és adequada pel primer cicle d ESO perquè permet recordar mitjançant un joc, una sèrie de conceptes que ja s han treballat a l Educació Primària. Per això resulta una
Más detallesExamen Final, PART II PROBLEMES
31 de març, 2006 LLICENCIATURA EN CIÈNCIES POLÍTIQUES I DE L ADMINISTRACIÓ, UPF ASIGNATURA: Estadística per les Ciències Polítiques i de l'administració Examen Final, PART II PROBLEMES Nom i cognom...
Más detallesManual per a consultar la nova aplicació del rendiment acadèmic dels Graus a l ETSAV
Manual per a consultar la nova aplicació del rendiment acadèmic dels Graus a l ETSAV Versió: 1.0 Data: 19/01/2017 Elaborat: LlA-CC Gabinet Tècnic ETSAV INDEX Objectiu... 3 1. Rendiment global dels graus...
Más detalles1.- Sabem que el vector (2, 1, 1) és una solució del sistema ax + by + cz = a + c bx y + bz = a b c. . cx by +2z = b
Oficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina de 5 PAU 0 - Sabem que el vector (,, ) és una solució del sistema ax + by + cz = a + c bx y + bz = a b c cx by +z = b Calculeu el valor
Más detallesFUNCIONS REALS. MATEMÀTIQUES-1
FUNCIONS REALS. 1. El concepte de funció. 2. Domini i recorregut d una funció. 3. Característiques generals d una funció. 4. Funcions definides a intervals. 5. Operacions amb funcions. 6. Les successions
Más detallescorresponent de la primera pàgina de l examen.
Oficina d Accés a la Universitat Pàgina 1 de 5 PAU 017 SÈRIE PAUTES PER ALS CORRECTORS RECORDEU: - Podeu valorar amb tants decimals com considereu convenient, però aconsellem no fer ho amb més de dos.
Más detallesUnitat 4. Fraccions algèbriques
Unitat 4. Fraccions algèbriques Curs d Anivellament de Matemàtiques Montserrat Corbera / Vladimir Zaiats montserrat.corbera@uvic.cat / vladimir.zaiats@uvic.cat c 2012 Universitat de Vic Sagrada Família,
Más detallesOficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina 1 de 10 PAU 2010
Oficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina 1 de 10 SÈRIE 1 Pregunta 1 3 1 lim = 3. Per tant, y = 3 és asímptota horitzontal de f. + 3 1 lim =. Per tant, = - és asímptota horitzontal
Más detallesOficina d Accés a la Universitat Pàgina 1 de 10 PAU 2014 Criteris específics de correcció i qualificació per ser fets públics un cop finalitzades
Oficina d Accés a la Universitat Pàgina 1 de 10 SÈRIE 3 Responeu a CINC de les sis qüestions següents. En les respostes, expliqueu sempre què voleu fer i per què. Cada qüestió val punts. Podeu utilitzar
Más detallesUNITAT FUNCIONS D ÚS AVANÇAT
UNITAT FUNCIONS D ÚS AVANÇAT 5 Funcions d Informació i altres funcions d interès Les funcions d Informació s utilitzen per obtenir dades sobre les cel les, el seu contingut, la seva ubicació, si donen
Más detallesÀmbit de les matemàtiques, de la ciència i de la tecnologia M14 Operacions numèriques UNITAT 2 LES FRACCIONS
M1 Operacions numèriques Unitat Les fraccions UNITAT LES FRACCIONS 1 M1 Operacions numèriques Unitat Les fraccions 1. Concepte de fracció La fracció es representa per dos nombres enters que s anomenen
Más detallesUn breu resum de teoria
SISTEMES MULTICOMPONENTS. Regla de les fases Un breu resum de teoria Els sistemes químics són en general mescles de més d un component. Les funcions termodinàmiques depenen de la temperatura i de la pressió
Más detallesINTRODUCCIÓ ALS MODELS NO EXPONENCIALS I XARXES DE CUES
INTRODUCCIÓ ALS MODELS NO EXPONENCIALS I XARXES DE CUES INTRODUCCIÓ A LES XARXES DE CUES. Concepte de xarxa oberta i tancada. Xarxes obertes i Teorema de Jackson. MODELS NO EXPONENCIALS Cua M/G/: Fòrmula
Más detallesLa creació de qualsevol llista es fa amb l operador list. En el cas de crear una llista buida la sintaxi és
ETSEIB PROGRAMACIÓ Grau en Estadística UB-UPC, març 2016 Prof: Robert Joan-Arinyo Llistes 1 Definició En el llenguatge de programació R, una llista és un conjunt d informacions ordenades i no necessàriament
Más detallesGeneralitat de Catalunya Departament d Ensenyament Institut Obert de Catalunya. Avaluació contínua. Cognoms. Centre: Trimestre: Tardor 11
Generalitat de Catalunya Departament d Ensenyament Institut Obert de Catalunya valuació contínua Qualificació prova TOTL Cognoms una lletra majúscula a cada casella: Nom: Centre: Trimestre: Tardor 11 M4
Más detallesEn muchos estudios no estamos interesados en saber cual evento ocurrió, sino en
Capítulo 3 Variable Aleatoria 3.. Introducción En muchos estudios no estamos interesados en saber cual evento ocurrió, sino en el número de veces que ha ocurrido un evento. Por ejemplo, al lazar dos monedas,
Más detallesh.itkur MD- Grafs 0-1/6
h.itkur MD- Grafs 0-1/6 Grafs Concepte de graf. Vèrtexs i arestes. Entendrem per graf a un parell ordenat G=(V,A), on V és un conjunt no buit d'elements que en diem vèrtexs i A és un subconjunt de parells
Más detallesINTEGRACIÓ: resolució exercicis bàsics ex res I.1
INTEGRACIÓ: resolució exercicis bàsics ex res I. R. Aplicant el teorema d integració per parts, calculeu les següents integrals: (a) π x cos xdx (b) π e x sin xdx eπ + (c) e ln xdx (d) π/ π/ e x cos xdx
Más detalles1.- Elements d una recta Vector director d una recta Vector normal d una recta Pendent d una recta
.- Elements d una recta..- Vector director d una recta..- Vector normal d una recta.3.- Pendent d una recta.- Equacions d una recta..- Equació ectorial, paramètrica i contínua..- Equació explícita.3.-
Más detallesFuncions de variables aleatòries
Funcions de variables aleatòries Ana Escudero Alícia Miralles Alícia Vila PID_009347 Els textos i imatges publicats en aquesta obra estan subjectes llevat que s indiqui el contrari a una llicència de Reconeixement-NoComercial-SenseObraDerivada
Más detallesResolucions de l autoavaluació del llibre de text
Pàg. 1 de 1 Tenim els vectors u(3,, 1), v ( 4, 0, 3) i w (3,, 0): a) Formen una base de Á 3? b) Troba m per tal que el vector (, 6, m) sigui perpendicular a u. c) Calcula u, ì v i ( u, v). a) Per tal que
Más detallesOficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina 1 de 6 PAU 2008 QÜESTIONS
Oficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina 1 de 6 SÈRIE 4 Aquestes pautes no preveuen tots els casos que en la pràctica es poden presentar. Tampoc no pretenen donar totes les possibles
Más detallesUNITAT 3: SISTEMES D EQUACIONS
UNITAT 3: SISTEMES D EQUACIONS 1. EQUACIONS DE PRIMER GRAU AMB DUES INCÒGNITES L equació x + y = 3 és una equació de primer grau amb dues incògnites : x i y. Per calcular les solucions escollim un valor
Más detalles