La ecuación de Boltzmann

Transcripción

1 La ecuación de Boltzmann El movimiento de un portador en un metal o semiconductor está condicionado por un lado por presencia de campos externos (eléctricos, magnéticos), gradientes de temperatura y por otro por la colisiones que sufren los portadores con las impurezas, vibraciones reticulares, ect. Unos efectos actúan acelerando el portador y otros frenándolo. Un balance de todos estos efectos conduce a establecer la ecuación de transporte de Boltzmann para los sólidos. La situación no es muy diferente a la que se establecer la estudiar los fenómenos de transporte en gases. Hay dos diferencias principales. 1. En sólidos se usa la estadística de Fermi-Dirac en lugar de usar la de Maxwell-Boltzmann. 2. En sólidos las colisiones se dan entre partículas de diferente naturaleza: electrón-impureza y electrón-fonón(vibración reticular). Las aplicaciones de esta teoría son variadas. De nuevo se trabaja en el límite clásico de teoría cuántica en la que los portadores vienen descritos por un paquete de ondas, y la evolución de las magnitudes que describen este paquete (k) siguen ecuaciones clásicas. En este idea consideraremos nuestra distribución de portadores caracterizado por las magnitudes posición espacial (r) y por su estado descrito por el vector de ondas k.

2 Estudiaremos la función f k (r,t), definida como: probabilidad de que un electrón ocupe un estado por unidad de volumen para un vector de onda k y una orientación de dada de spin en las proximidades del punto ren el tiempo t. En todos los problemas que estudiaremos consideraremos a los electrones partículas (metales) y admitiremos que f k (r,t) tiene el mismo valor para las dos posibilidades de orientación de spin. En las situaciones de equilibrio termodinámico la función f k (r,t) tiende a la de Fermi Dirac f k0 y para débiles desequilibrios (como los que vamos a considerar) difiere poco de la de Fermi-Dirac

3 Deducción de la ecuación de Boltzmann en la aproximación tiempo de relajación Aproximación tiempo de relajación

4 Conductividad eléctrica en metales Es obvio que en el metal en ausencia de campo eléctrico no hay flujo neto de portadores. Este hecho se debe a que por cada electrón con una determinada cantidad de movimiento, existe otro con la misma cantidad de movimiento en sentido opuesto. (simetría primera zona de Brillouin) Si embargo cuando se aplica un campo eléctrico pya no se anula. Bajo un campo de esta naturaleza, cada electrón experimenta una fuerza en la misma dirección, acelerándose los electrones de valencia generándose una corriente. Para determinar la conductividad eléctrica usaremos la ecuación de Boltzmannsuponiendo campo magnético nulo y situación estacionaria. Notación Eε

5 La aplicación del campo eléctrico desplaza la esfera de Fermi un cantidad dad por proporcional al campo. Además la distribución de Fermi-Diracsolo difiere de la de equilibrio en la vecindad de la esfera de Fermi ε Desarrollo en serie de Taylor de f k Se usa 2 k

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7 Por tanto la integración en el espacio de las k la hemos transformado a una integral sobre superficies de energía constante Ejemplo: conductividad eléctrica en un metal isótropo

8 - Solo los electrones cercanos al nivel de Fermi contribuyen en la conducción del sólido

9 Conductividad Térmica (Ley de Fourier): Ley de Wiedemann-Franz La conductividad térmica en los sólidos es debida al efecto combinado de electrones y vibraciones reticulares. En aislantes y semiconductores la conductividad está dominada por las vibraciones reticulares (fonones). Sin embargo en metales los electrones juegan un papel muy importante. Calcularemos en esta sección la conductividad vinculada a los electrones del sistema. Donde E es la energía térmica asociada a cada electrón. Desde un punto de vista atomístico la corriente eléctrica es un movimiento de partículas cargadas y la corriente térmica un desplazamiento de la energías contenida en las partículas.

10 Particularizando al caso de un gradiente de temperatura en el eje x Se calculan ahora los gradientes en r t k para espesarlos en función del campo eléctrico y el gradiente de temperaturas y poder calcular los flujos de corriente t y calor

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13 n 3/2 n Por tanto se iguala la corriente eléctrica a cero y el resultado se sustituye en la ecuación para el flujo de calor

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15 Se demuestra la ley de Wiedemann-Franz que ya vimos en el caso de los electrones libres

16 Conductividad Térmica (Ley de Fourier): Interpretación de los resultados

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18 Efectos termoeléctricos: Efectos Seebeck, Peltier y Thomson Son una consecuencia de las relaciones previamente establecidas entre la presencia de una gradiente de temperatura y la conducción eléctrica. Se utilizan en variadas aplicaciones: Termopares Estabilización de temperaturas (detectores Ge, PbS, PbSe, células CCD). Refrigeración de instrumentación científica. Equipamiento médico Refrigerados portátiles, sistemas aeroespaciales. Disipadores térmicos en informática (CPU, circuitos integrados). Las principales ventajas de estos sistemas son: Rápido intercambio térmico Nulo ruido eléctrico Espacio reducido del sistema (tamaño y peso) Insonoro, no hay vibraciones

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20 Efecto Seebeck FES. Propiedades de transporte

21 Para poder cuantificar estos efectos se parte de las ecuaciones deducidas en el cálculo de la conductividad térmica y que relacionaban la corriente y el flujo de calor Donde E es el poder termoelécrico del metal

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23 Efecto Peltier FES. Propiedades de transporte

24 Donde Π es el coeficiente Peltier del metal En una sistema en el que hay dos metales unidos se establecerá un flujo térmico (Π a - Π b )J n que es emitido en una unión y absorbido en la otra.

25 Efectos termomagnetoeléctricos: Efectos que aparecen cuando una corriente eléctrica y/o una corriente de origen térmico circulan en dirección perpendicular a un campo magnético aplicado. Los coeficientes R. N, E t, y L t son coeficientes asociados a cada tipo de efecto. Su valor puede deducirse del estudio de la ecuación de Boltzmann. Estudiaremos el caso del efecto Hall suponiendo bajos campos magnéticos (max10 4 G) de forma que tenemos una pequeña perturbación en la que tiene validez la aproximación tiempo de relajación.

26 Efecto Hall El efecto consiste en la aparición de una diferencial de potencial en la dirección perpendicular a la de la corriente y campo magnéticos aplicados. Este efecto se utiliza por ejemplo para: 1. Medir a través de la constante Hall la concentración de portadores y su signo. 2. La determinación de la movilidad de los portadores y los mecanismos de colisión a través de la medida de la constante de Hall y la conductividad eléctrica. 3. Medición de campos magnéticos en imanes permanentes. 4. Medidas de H y J.

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30 Obtención de la tensión Hall y ángulo de Hall

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32 Por tanto se obtiene el mismo resultado que para el caso de electrones libres, si bien se obtiene que los tiempos de relajación están evaluados en las proximidades de la superficie de Fermi y además se sabe que la masa debe ser sustituida por la masa efectiva de los portadores.