MA Tarea No 5. Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM. 11 de enero de 2011

Transcripción

1 MA Tarea No 5 Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM 11 de enero de La población de un país particular se compone de tres grupos étnicos (GE). Cada individuo pertenece a uno de los cuatro grupos sanguíneos principales. La tabla de probabilidad conjunta anexa da la proporción de individuos en las diversas combinaciones de grupo étnico-grupo sanguíneo. Grupo sanguíneo GE O A B AB Suponga que se selecciona un individuo al azar de la población y que los eventos se definen como A {tipo de sangre A seleccionado} E i {grupo étnico i seleccionado} para i 1, 2, 3. a) Calcule, P (E 3 ) y P (A E 3 ). Observe que S E 1 E 2 E 3 y que los eventos E i son disjuntos. De esta manera A A S A (E 1 E 2 E 3 ) A E 1 A E 2 A E 3. Por tanto, De igual manera, Directo de la tabla P (A E 3 ) P (A E 1 ) + P (A E 2 ) + P (A E 3 ) P (E 3 ) P (E 3 0) + P (E 3 A) +P (E 3 B) + P (E 3 AB) b) Calcule tanto P (A E 3 ) y P (E 3 A) y explique en contexto de 10 personas qué representan cada una de estas probabilidades. Directo de la definción de probabilidad condicional: P (A E 3 ) P (A E 3) P (E 3 )

2 Esto dice: 0.4 es la probabilidad de que una persona del grupo etnico 3 tenga sangre tipo A: es decir, de cada diez personas del grupo étnico 3, 4 de ellas tendrán sangre tipo A. P (E 3 A) A E Esto dice: es la probabilidad de que una persona que tiene sangre tipo A sea del grupo étnico 3: es decir, de cada 100 personas que tienen sangre tipo A, 44 de ellas son del grupo étnico 3. c) Si el individuo seleccionado no tiene sangre de tipo B, cuál es la probabilidad de que él o ella pertenezca al grupo étnico l? Se nos pide P (E 3 B ), tenemos P (E 1 B ) P (E 1 B ) P (B ) ( ) Suponga que un individuo es seleccionado al azar de la población de todos los adultos varones que viven en Estados Unidos. Sea A el evento en que el individuo seleccionado tiene una estatura de más de 6 pies y sea B el evento en que el individuo seleccionado es un jugador profesional de básquetbol. Cuál piensa que es más grande, P (A B) o P (B A)? Por qué? P (A B) representa la probabilidad de que un individuo tenga altura de más de 6 pies (1.82 m) dado que es un jugador de basquetbol, mientras que P (B A) representa la probabilidad de que un individuo juegue basquetbol dado que tiene altura de más de 6 pies. Como en general los jugadores de basquetbol son muy altos, se piensa que P (A B) > P (B A). 3. Regrese al escenario de la tarjeta de crédito del problema 3 de la tarea 2, donde A {Visa}, B {MasterCard}, 0.5, P (B) 0.4 Y P (A B) Calcule e interprete cada una de las siguientes probabilidades (un diagrama de Venn podría ayudar). a) P (B A) Directamente de la definición P (B A) P (A B) b) P (B A) Primero calculemos P (A B ): Como A (A B) (A B ) entonces 0.5 P (A B) + P (A B ) P (A B ), por tanto P (A B ) 0.25 ahora apliquemos la fórmula de la probabilidad condicional P (B A) P (A B ) c) P (A B) Directamente de la definición P (A B) P (A B) P (B)

3 d) P (A B) Primero calculemos P (A B): Como B (B A) (A B) entonces 0.4 P (B) P (A B) + P (A B) P (A B), por tanto P (A B) 0.15 ahora apliquemos la fórmula de la probabilidad condicional P (A B) P (A B) P (B) e) Dado que el individuo seleccionado tiene por lo menos una tarjeta, cuál es la probabilidad de que él o ella tenga una tarjeta Visa? Note que el evento A B describe que el individuo tiene por lo menos una tarjeta, así lo que requerimos calcular es P (A A B) P (A A B) P (A (A B)) P (A B) P (A B) +P (B) P (A B) Una tienda de departamentos vende camisas sport en tres tallas (chica, mediana y grande), tres diseños (a cuadros, estampadas y a rayas) y dos largos de manga (larga y corta). Las tablas adjuntas dan las proporciones de camisas vendidas en las combinaciones de categoría. Manga corta Diseño Talla Cuadros Estampada Rayas CH M G Manga larga Diseño Talla Cuadros Estampada Rayas CH M G a) Cuál es la probabilidad de que la siguiente camisa vendida sea una camisa mediana, estampada y de manga larga? Se está preguntado por T mediana D estampado M larga, esto se obtiene directamente de la tabla: 0.05 (Dato de la tabla referente a manga larga, el renglón de la talla mediana y la columna del diseño estampado) b) Cuál es la probabilidad de que la siguiente camisa vendida sea una camisa estampada mediana? En este caso debemos sumar los datos referentes a manga corta y manga larga:

4 c) Cuál es la probabilidad de que la siguiente camisa vendida sea de manga corta? De manga larga? En esto habrá que sumar los datos de las tallas y los modelos para manga corta: Para manga corta aplicamos complementaridad: p manga corta p manga larga 1 p manga corta d) Cuál es la probabilidad de que la talla de la siguiente camisa vendida sea mediana? Que la siguiente camisa vendida sea estampada? Siguiendo un razonamiento análogo al del inciso anterior Similarmente, p estampada 0.25 p mediana e) Dado que la camisa que se acaba de vender era de manga corta a cuadros, cuál es la probabilidad de que fuera mediana? Queremos calcular la probabilidad del evento P (T mediana M corta D cuadros ): P (T mediana M corta D cuadros ) P (T mediana M corta D cuadros ) P (M corta D cuadros ) f ) Dado que la camisa que se acaba de vender era mediana a cuadros, cuál es la probabilidad de que fuera de manga corta? De manga larga? Queremos calcular la probabilidad del evento P (M corta T mediana D cuadros ): Por complementaridad tenemos que: P (M corta T mediana D cuadros ) P (Mcorta T mediana D cuadros ) P (T mediana D cuadros ) P (M larga T mediana D cuadros ) 1 P (M corta T mediana D cuadros ) Un taller repara tanto componentes de audio como de video. Sea A el evento en que el siguiente componente traído a reparación es un componente de audio y sea B el evento en que el siguiente componente es un reproductor de discos compactos (así que el evento B está contenido en A). Suponga que 0.6 y P (B) Cuál es P (B A)? 4

5 Note que como B está contenido en A, A B B. Ahora apliquemos la fórmula de la probabilidad condicional: P (B A) P (B A) P (B) En el ejercicio 4 de la tarea 3, A i {proyecto otorgado i} con i 1, 2, 3. Use las probabilidades dadas allí para calcular las siguientes probabilidades y explique en palabras el significado de cada una. a) P (A 2 A 1 ) Directamente de la fórmula: P (A 2 A 1 ) P (A 2 A 1 ) P (A 1 ) es la probabilidad de que se otorgue el proyecto 2 dado que ya se otorgó el proyecto 1. b) P (A 2 A 3 A 1 ) Directamente de la fórmula: P (A 2 A 3 A 1 ) P (A 2 A 3 A 1 ) P (A 1 ) es la probabilidad de que se otorguen los proyectos 2 y 3 dado que ya se otorgó el proyecto 1. c) P (A 2 A 3 A 1 ) Primero observamos que ahora aplicamos la fórmula: P ((A 2 A 3 ) A 1 ) P (A 2 A 1 ) + P (A 3 A 1 ) P (A A 2 A 3 ) P (A 2 A 3 A 1 ) P ((A 2 A 3 ) A 1 ) P (A 1 ) es la probabilidad de que entre los proyectos 2 y 3 se otorguen al menos 1 dado que ya se otorgó el proyecto 1. d) P (A 1 A 2 A 3 A 1 A 2 A 3 ). 5

6 Primero observamos que ahora aplicamos la fórmula: P (A 1 A 2 A 3 ) P (A 1 ) + P (A 2 ) + P (A 3 ) P (A 1 A 2 ) P (A 1 A 3 ) P (A 2 A 3 ) +P (A 1 A 2 A 3 ) 0.51 P (A 1 A 2 A 3 A 1 A 2 A 3 ) P ((A 1 A 2 A 3 ) (A 1 A 2 A 3 )) P (A 1 A 2 A 3 ) P (A 1 A 2 A 3 ) P (A 1 A 2 A 3 ) es la probabilidad de que se otorguen los tres proyectos simultánemente dado que al menos un proyecto ya se otorgó. 4. Reconsidere la situación del sistema defectuoso descrito en el problema 2 de la tarea 1. a) Dado que el sistema tiene un defecto de tipo 1, cuál es la probabilidad de que tenga un defecto de tipo 2? b) Dado que el sistema tiene un defecto de tipo 1, cuál es la probabilidad de que tenga los tres tipos de defectos? c) Dado que el sistema tiene por lo menos un tipo de defecto, cuál es la probabilidad de que tenga exactamente un tipo de defecto? d) Dado que el sistema tiene los primeros dos tipos de defectos, cuál es la probabilidad de que no tenga el tercer tipo de defecto? 5. Si se seleccionan al azar dos focos de la caja descrita en el problema 10 de la tarea 4 (4 focos de 40 watts, 5 focos de 60 watts y 6 focos de 75 watts) y por lo menos uno de ellos es de 75 W, cuál es la probabilidad de que los dos sean de 75 W? Dado que por lo menos uno de los dos seleccionados no es de 75 W, cuál es la probabilidad de que los dos focos seleccionados sean de la misma clase? Primeramente revisemos de cuántos elementos pueden ser las muestras de dos focos. El total de muestras de dos focos de los 15 disponibles es N, C 15, El total de muestras con exactamente un foco de 75 watts y otro de 40 watts es de N 40,75 C 4,1 C 6,1 24 El total de muestras con exactamente un foco de 75 watts y otro de 60 watts es de N 60,75 C 5,1 C 6,1 30 El total de muestras con exactamente un foco de 75 watts es de N /{75},75 C 6,1 C 9,1 54 N 40,75 + N 60,75 El total de muestras de dos focos de 75 watts es de N 75,75 C 6,2 15. El total de muestras de 2 focos sin foco de 75 watts es C 9,2 36. El total de muestras de 2 focos de 40 watts es N 40,40 C 4,2 6. 6

7 El total de muestras de 2 focos de 60 watts es N 60,60 C 5,2 10. El total de muestras de 2 focos uno de 40 watts y otro de 60 watts es N 40,60 C 4,1 C 5,1 20. Si A es el evento donde la muestra tiene dos focos son de 75 watts y B es el evento donde la muestra tiene exactamente un foco es de 75, así A B será el evento donde la muestra tiene al menos 1 foco es de 75. Por tanto, la probabilidad de seleccionar una muestra que tiene dos focos de 75 watts dado que la muestra tiene al menos uno de 75 watts es: P (A A B) P (A (A B)) P (A B) +P (B) N 75,75 /N, N 75,75 /N, +N /{75},75 /N, 15/105 15/105+54/ Para el otro inciso, sea C el evento en el cual la muestra tiene al menos 1 foco que no es de 75 watts, D el evento en el cual la muestra tiene 2 focos de 40 watts y E el evento en el cual la muestra tiene 2 focos de 60 watts. Observe que Así El evento C es la unión de los eventos ME donde en la muestra hay exactamente 1 foco de 75 watts y el evento donde en la muestra no hay foco de 75 watts. P (C) ( )/ , D E describe el evento en el cual la muestra tiene 2 focos de 40 watts o bien 2 focos de 60 watts. Es decir, el evento en el cual la muestra tiene 2 focos de la misma clase y no de 75 watts. P (D E) (N 40,40 + N 60,60 )/N, (6 + 10)/ D E está contenido en C, y por tanto (D E) C D E P (D E C) P ((D E) C) P (C) P (D E) P (C) será la probabilidad de que en la muestra salgan dos focos de la misma clase dado que en la muestra hay al menos un foco que no es de 75 watts. 7. Una caja contiene seis pelotas rojas y cuatro verdes y una segunda caja contiene siete pelotas rojas y tres verdes. Se selecciona una pelota al azar de la primera caja y se le coloca la segunda caja. Luego se selecciona al azar una pelota de segunda caja y se le coloca en la primera caja. a) Cuál es la probabilidad de que se seleccione una pelota roja de la primera caja y de que se seleccione una pelota roja de la segunda caja? Sea A roja el evento en el cual se selecciona pelota roja de la primera caja y sea B roja el evento en el cual se selecciona una pelota roja de la segunda caja. Nosotros queremos calcular P (A roja B roja ). Sabemos que P (A roja B roja ) P (B roja A roja ) P (A roja ). Como P (A roja ) 6/10 y P (B roja A roja ) 8/11, entonces P (A roja B roja ) P (B roja A roja ) P (A roja ) (6/10) (8/11) será la probabilidad de que se seleccione una pelota roja de la primera caja y que se seleccione una pelota roja de la segunda caja. 7

8 b) Al final del proceso de selección, cuál es la probabilidad de que los números de pelotas rojas y verdes que hay la primera caja sean idénticas a los números iniciales? Esto pasa cuando C:se toma una pelota roja de la primera caja y se selecciona de nuevo una roja para regresarla a la primera o cuando D:se toma una pelota verde de la primera caja y se selecciona de nuevo un pelota verde para regresarla a la segunda caja. Observe los eventos C y D son ME y que P (C) fue calculado en el inciso anterior. Entonces, debemos hacer el análogo al inciso anterior para las pelotas verdes: Así P (A verde B verde ) P (B verde A verde ) P (A verde ) (4/10) (4/11) P (C D) P (C) + P (D) será la probabilidad de que se elija una pelota de la primera caja se ponga en la segunda, se elija una pelota de la segunda y se coloque en la primera de tal manera que en la primera caja se tiene el mismo número de rojas y verdes que al inicio. 8. Un sistema se compone de bombas idénticas, #1 y #2. Si una falla, el sistema seguirá operando. Sin embargo, debido al esfuerzo adicional, ahora es más probable que la bomba restante falle de lo que era originalmente. Es decir r P (#2 falla #1 falla) > P (#2 falla) q. Si por lo menos una bomba falla alrededor del final de su vida útil en 7 % de todos los sistemas y ambas bombas fallan durante dicho periodo en sólo 1 %, cuál es la probabilidad de que la bomba #1 falle durante su vida útil de diseño? 8