SIMULACIÓN NUMÉRICA DEL FLUJO SANGUÍNEO EN UNA ESTENOSIS ARTERIAL

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1 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial 0 [Escriba una cita del documento o del resumen de un punto interesante. Puede situar el cuadro de texto en cualquier lugar del documento. Utilice la ficha Herramientas de cuadro de texto para cambiar el formato del cuadro de texto de la cita.] ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA (ICAI) INGENIERO INDUSTRIAL SIMULACIÓN NUMÉRICA DEL FLUJO SANGUÍNEO EN UNA ESTENOSIS ARTERIAL Autor: Beatriz Rastrollo Lerma Directores: Alexis Cantizano González Mario Castro Ponce Madrid Junio de 2011

2 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial 1 ÍNDICE Capítulo 1 Introducción y planteamiento del proyecto Motivaciones Objetivos Metodología Recursos Capítulo 2 Hemodinámica y estenosis arterial. Fundamentos teóricos Introducción a la hemodinámica Biomecánica Hemodinámica Modelos de flujo sanguíneo Algunos conceptos fundamentales en hemodinámica Referencias históricas Estenosis arterial Estado del arte Capítulo 3 Modelización del caso Modelo de flujo. Comportamiento del flujo sanguíneo Caracterización de las arterias: rígidas Descripción y propiedades de las arterias Ensayo de tracción pura hasta rotura de arterias Ecuaciones de comportamiento Solución de Womersley 44 Capítulo 4 CFD: Introducción y validación del método Historia de la dinámica de fluidos computacional Método de discretización de los volúmenes finitos Descripción de OpenFOAM 54

3 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial Validación del método: simulaciones básicas Poiseuille Womersley 60 Capítulo 5 Simulaciones numéricas del caso Geometría Malla Influencia de la frecuencia cardíaca sobre el flujo sanguíneo en una estenosis arterial Análisis de velocidad y presión Análisis del esfuerzo cortante Influencia del grado de oclusión sobre el flujo sanguíneo en una estenosis arterial Análisis de velocidad y presión Análisis del esfuerzo cortante.90 Capítulo 6 Conclusiones Influencia de la frecuencia cardíaca sobre el flujo sanguíneo en una estenosis arterial Influencia del grado de oclusión sobre el flujo sanguíneo en una estenosis arterial Futuras líneas de investigación..100 Bibliografía...101

4 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial 3 CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN Y PLANTEAMIENTO DEL PROYECTO

5 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial Motivación La Hemodinámica es la parte de la Biomecánica que estudia el flujo sanguíneo en el sistema circulatorio, basándose en los principios físicos de la dinámica de fluidos. Estudia el movimiento de la sangre (campos de velocidades y presiones) y las fuerzas que genera el flujo en los elementos con los que interactúa (vasos sanguíneos, corazón). En este proyecto se ha estudiado la simulación del flujo sanguíneo en una arteria con estenosis. La estenosis es un estrechamiento localizado de la arteria causado típicamente por aterosclerosis [FARR95]. La formación de placa aterosclerótica en arterias coronarias depende, entre otras variables, de la hemodinámica del sistema arterial. En este proyecto se realizarán una serie de simulaciones numéricas de flujo sanguíneo mediante CFD de una arteria con estenosis. El interés por simular el comportamiento del flujo de la sangre a través de las arterias se debe a que las enfermedades del sistema circulatorio constituyen la primera causa de muerte en Europa y Estados Unidos, entre otros lugares [INE_08] [OMS_08]. Se hace necesario, por tanto, un estudio en profundidad de los factores que determinan la formación de la placa de ateroma que provoca el cierre parcial o total de la arteria y el endurecimiento de sus paredes, y el lugar más desfavorable donde se puede desarrollar dicha placa. Mediante el uso de software de Mecánica de Fluidos Computacional (CFD), este estudio pretende proporcionar información relevante acerca de las variaciones de presión y distribución de esfuerzos cortantes en el flujo de una arteria con estenosis, ayudando así a entender,

6 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial 5 predecir y solucionar este tipo de enfermedades vasculares. En nuestro caso utilizaremos como herramienta OpenFOAM [OPEN11], que es un software de cálculo en 3D que puede simular y resolver numéricamente flujos complejos incluyendo reacciones químicas, turbulencia y transmisión de calor, problemas estructurales o incluso electromagnetismo.

7 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial Objetivos El principal objetivo de este proyecto es caracterizar el flujo sanguíneo en una arteria con estenosis, y determinar así la distribución de esfuerzos cortantes en el flujo de la arteria o el perfil de velocidades para poder prevenir o paliar esta enfermedad. siguientes puntos: Para ello, se marcaron los - Familiarizarse con los conceptos básicos de la hemodinámica y las características del flujo sanguíneo. - Establecer y validar hipótesis sobre el fluido y la pared arterial para modelar el problema a estudiar. Ecuaciones de comportamiento. - Aprender a trabajar en Linux con el software OpenFOAM: aprender los comandos y aprender a programar los modelos hemodinámicos. - Programar simulaciones clásicas (flujo laminar Poiseuille-, flujo oscilatorio Womersley-) y comprobar la adecuación del software para estudiar simulaciones del flujo sanguíneo en arterias. - Programar la simulación del flujo sanguíneo en una arteria con estenosis y analizar los resultados obtenidos. Determinar qué parámetros son los más influyentes, valores críticos, zonas más desfavorables.

8 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial Metodología Se estudia el comportamiento del flujo sanguíneo en una arteria con estenosis. Para ello, en primer lugar, se realizó una revisión bibliográfica. La revisión de la bibliografía relacionada con el proyecto se hizo de forma más profunda durante los primeros meses de trabajo, aunque no dejó de hacerse durante toda la realización del proyecto. Se revisaron tesis, artículos y otros documentos sobre temas de Hemodinámica relacionados con este problema en particular. Fue necesario un aprendizaje del software. El software utilizado, OpenFOAM, requiere el uso del servidor Linux, por lo que fue necesario familiarizarse con este sistema y su software. Para ello, se llevaron a cabo unas simulaciones clásicas y se comprobó la validez del programa comparando resultados teóricos y experimentales. A través de los programas VNC, Putty y Xming se pudo acceder desde un PC (Windows), al servidor Dell PowerEdge R300 con procesador Dual Core Xeon de 8 núcles que utiliza Linux con arquitectura 64 bits que permite la paralelización del software OpenFOAM. Después se llevaron a cabo las simulaciones del caso objeto de estudio del PFC. Se define la geometría, el mallado y se ejecutaron las simulaciones del flujo sanguíneo en una arteria con estenosis. Por último se realizó la parte de análisis de resultados y conclusiones. Una vez programadas y ejecutadas las simulaciones, los resultados se analizaron mediante Matlab. Se estudiaron los resultados obtenidos, analizando los parámetros más influyentes, valores críticos y en qué zonas se tienen más complicaciones.

9 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial Recursos A lo largo del proyecto se utilizaron los sistemas operativos Windows y Linux, este último de software libre. En concreto, los softwares utilizados fueron: o En Windows: - Microsoft Word 2007 para la elaboración de los documentos. - Microsoft Excel 2007 para la realización de cálculos y gráficos sencillos. - Microsoft PowerPoint 2007 para la elaboración de figuras - ANSYS versión para la creación de la geometría y el mallado de la estenosis. - Matlab para el análisis de resultados. - Refworks para la bibliografía. o En Linux: - OpenFOAM para las simulaciones del flujo. - Paraview para la visualización de los resultados.

10 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial 9 CAPÍTULO 2 HEMODINÁMICA Y ESTENOSIS ARTERIAL. FUNDAMENTOS TEÓRICOS

11 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial Introducción a la hemodinámica En este capítulo se hará una breve introducción a la biomecánica y a la hemodinámica, explicando el funcionamiento del sistema cardiovascular. Se comentará cuáles son las actuales tendencias en la investigación del comportamiento del flujo sanguíneo, y, por último, se describirán los conceptos fundamentales necesarios para entender el estudio del flujo sanguíneo Biomecánica La biomecánica es la ciencia que estudia la aplicación de las leyes de la mecánica a las estructuras y los órganos de los seres vivos. Es una ciencia multidisciplinar: se apoya en la biología, la mecánica y la ingeniería. La biología estudia los fenómenos vitales y se encarga de la parte experimental, aportando valores reales a los parámetros físicos; mientras que la mecánica y la ingeniería proponen modelos teóricos y matemáticos que permiten simular sistemas biológicos. La biomecánica ha dado lugar a numerosas aplicaciones en medicina: nuevos métodos de diagnóstico, prótesis, válvulas cardiacas. Actualmente, una de las líneas de investigación más interesante es la resolución computacional de modelos numéricos cada vez más complejos y realistas.

12 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial Hemodinámica La Hemodinámica es la parte de la Biomecánica que se encarga del estudio del flujo sanguíneo en el sistema circulatorio, basándose en los principios físicos de la dinámica de fluidos. Estudia el movimiento de la sangre (campos de velocidades y presiones) y las fuerzas que genera el flujo en los elementos con los que interactúa (vasos sanguíneos, corazón). Descripción del sistema cardiovascular El sistema cardiovascular está formado por el corazón y los vasos sanguíneos y se encarga de dar un suministro continuo de oxígeno y nutrientes a todos los órganos y tejidos del cuerpo. El corazón es un órgano muscular hueco que actúa en el organismo como una bomba que aspira hacia las aurículas la sangre que circula por las venas y la impulsa desde los ventrículos hacia las arterias Los vasos sanguíneos son las arterias, los capilares y las venas. Las venas transportan sangre a más baja presión que las arterias y tienen en su interior válvulas para asegurar que la sangre vaya hacia el corazón, impidiendo que retroceda. Hay dos tipos de circulación que realizan dos trayectorias distintas a través de dos sistemas de vasos independientes: - Circulación mayor o circulación somática o sistémica: El recorrido de la sangre comienza en el ventrículo izquierdo del corazón, con sangre limpia cargada de oxígeno, y se extiende por la arteria aorta y sus ramas arteriales hasta el sistema capilar, llegando a todos los tejidos para realizar el suministro. Después regresa por las venas que contienen sangre pobre en oxígeno. Estas desembocan en las

13 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial 12 dos venas cavas (superior e inferior) que terminan en la aurícula derecha del corazón. - Circulación menor o circulación pulmonar o central: es la que se encarga de los gases de desecho y tomar nuevo oxígeno. La sangre pobre en oxígeno parte desde el ventrículo derecho del corazón por la arteria pulmonar que se bifurca en dos troncos, uno para cada pulmón. En los capilares alveolares pulmonares la sangre se oxigena a través de un proceso conocido como hematosis y se reconduce por las cuatro venas pulmonares que llevan la sangre rica en oxígeno a la aurícula izquierda del corazón. Figura 1: Tipos de circulación La actividad del corazón es cíclica y continua. El ciclo cardíaco es el conjunto de acontecimientos eléctricos, hemodinámicas, mecanismos, acústicos y volumétricos que ocurren en las aurículas, ventrículos y grandes vasos, durante las fases de actividad y de reposo del corazón. El ciclo cardiaco comprende el período entre el final de una contracción, hasta el final de la siguiente contracción. Tiene como finalidad producir una serie de cambios de presión para que la sangre circule.

14 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial 13 Fases del ciclo cardiaco: 1. Fase de llenado: tenemos válvulas sigmoideas aórtica y pulmonar (cerradas), y válvulas auriculoventriculares denominadas tricúspide y mitral (abiertas). Durante esta fase la sangre pasa desde la aurícula al ventrículo, es el principio de la diástole (relajación de los ventrículos). 2. Fase de contracción isométrica ventricular: en esta fase comienza la sístole (contracción ventricular) va a cerrar las válvulas auriculoventriculares. 3. Fase de expulsión: es la sístole propiamente dicha, en donde hay una contracción ventricular (cerrados) abriéndose las válvulas sigmoideas, existe una salida de sangre a la aorta y a la pulmonar. 4. Fase de relajación ventricular: los ventrículos se relajan, las válvulas sigmoideas se cierran y las válvulas auriculoventriculares se abren. El ciclo completo dura unos 0,8 s (en reposo), por lo que se considerará una frecuencia cardíaca de 1,2 Hz en este estudio. La trayectoria de la circulación mayor es considerablemente más larga que la de la circulación menor y está, además, mucho más ramificada. Por este motivo, las presiones requeridas para cada una de ellas son diferentes, siendo más elevadas las correspondientes a la circulación mayor.

15 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial 14 La presión arterial sistólica corresponde al valor máximo de la tensión arterial en sístole (cuando el corazón se contrae). Se refiere al efecto de presión que ejerce la sangre eyectada del corazón sobre la pared de los vasos. La presión arterial diastólica corresponde al valor mínimo de la tensión arterial cuando el corazón está en diástole o entre latidos cardíacos. Depende fundamentalmente de la resistencia vascular periférica. Se refiere al efecto de distensibilidad de la pared de las arterias, es decir el efecto de presión que ejerce la sangre sobre la pared del vaso. La presión de pulso es la diferencia entre la presión sistólica y la diastólica. Características del sistema vascular Caudal Δp f D art 6 l/min 40 mmhg 1,2 Hz Entre 0,1 mm (arteriolas) a 2 o 3 cm (aorta) Tabla 1 Características del sistema vascular [MAZU92] En condiciones normales, la presión de pulso es de unos 40 mm Hg y el caudal en reposo unos 5 l/min, pudiendo este último llegar a alcanzar los 35 l/min en situaciones que requieran un gran esfuerzo. El valor de caudal en reposo se ha calculado considerando una pulsación de

16 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial latidos/min y un volumen bombeado de 70 ml/bombeo. La velocidad de la sangre es máxima en la aorta, en torno a los 48 cm/s (siempre en condiciones normales) y decrece en los vasos posteriores debido a que el aumento de ramificaciones hace que el caudal correspondiente a cada vaso disminuya más rápidamente que el área de cada vaso. Las arterias tienen un diámetro de entre 2 y 3 cm Modelos de flujo sanguíneo El estudio del flujo sanguíneo resulta cada vez más importante por sus aplicaciones a la prevención y curación de enfermedades cardiovasculares. Desde hace dos décadas, la investigación de la hemodinámica sigue dos líneas: - Simplificando a una dimensión, se estudia la impedancia vascular correspondiente a un gran número de vasos sanguíneos. Este enfoque, similar al de impedancias eléctricas y utilizado en modelos matemáticos, estudia el sistema vascular de forma global pero no sirve para estudiar el flujo en zonas locales. - Caracterizando la hemodinámica localmente en un número pequeño de arterias, se estudia las enfermedades vasculares y el crecimiento y adaptación de los vasos sanguíneos. Los modelos de flujo sanguíneo detallados son importantes en áreas localizadas donde se producen alteraciones de flujo: ramificaciones, bifurcaciones o curvatura de arterias (coronarias, femorales, carótidas y abdominales). En estas zonas se produce una excesiva

17 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial 16 formación de placa debido a una alta velocidad de sedimentación de partículas y niveles bajos de tensión en las paredes. El uso de modelos experimentales proporciona grandes avances en la Hemodinámica. Sin embargo, estos procesos son lentos, caros y que conllevan varias limitaciones: - La sangre es un fluido complejo y resulta imprescindible el uso de fluidos similares para poder llevar a cabo un estudio realista y extraer conclusiones aplicables a la vida real. Sin embargo, no se consigue usar fluidos de la misma complejidad y características de la sangre. - Construir modelos con las mismas propiedades mecánicas y de transporte que los vasos sanguíneos no resulta fácil. Los materiales más usados actualmente son silicona o cristal, ya que consiguen simular con más precisión el comportamiento real de los vasos sanguíneos. - La información extraída se limita a pocos perfiles de velocidades y presiones, no podemos obtener un amplio rango de variaciones escalares, vectoriales y tensoriales de presión, velocidad y tensión viscosa.

18 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial Algunos conceptos fundamentales en hemodinámica En este apartado se definirán algunos conceptos fundamentales para la comprensión del comportamiento del flujo sanguíneo y la adecuación de las hipótesis que se describirán en el capítulo siguiente para modelar tanto el fluido como la pared arterial. Viscosidad La viscosidad es una medida cuantitativa de la resistencia del fluido al fluir. Determina la velocidad de deformación del fluido cuando se le aplica un esfuerzo cortante. Los fluidos para los que el esfuerzo aplicado es proporcional al gradiente de velocidad se denominan fluidos newtonianos. La sangre está formada por glóbulos rojos, glóbulos blancos y plaquetas (en una proporción de un 45% aproximadamente del volumen total) y por plasma, que está fundamentalmente constituido por agua. La sangre es unas cinco veces más viscosa que el agua. [BEST93]. La viscosidad de la sangre depende del plasma, del porcentaje del volumen de toda la sangre que está compuesta de glóbulos rojos (hematocrito) y de la deformabilidad, forma y tamaño de los glóbulos rojos. Se trata de una relación compleja que ha sido objeto de numerosos estudios. Se puede afirmar que cuanto más elevada es la cantidad de glóbulos rojos presentes en la sangre mayor es su viscosidad. [MILN89]. En este proyecto se considerará la sangre como un fluido newtoniano esto es, viscosidad independiente de la velocidad relativa de

19 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial 18 las capas y del diámetro de los vasos sanguíneos. Las hipótesis del comportamiento del flujo se desarrollarán en el capítulo tercero. Figura 2 Viscosidad de un fluido newtoniano Ley de Poiseuille Poiseuille estudió el flujo laminar, continuo y uniforme de un fluido newtoniano en un conducto rígido de sección circular constante, relacionando el caudal con la variación de presión: (1) donde ΔP es la caída de presión, L es la longitud del tubo, μ es la viscosidad dinámica, Q es la tasa volumétrica de flujo y r el radio.

20 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial 19 Figura 3 Perfil de velocidad parabólico Demostró que el perfil de velocidad es parabólico, con velocidad nula en las paredes y alcanzando la velocidad máxima en el centro. Además concluyó que el esfuerzo transversal τ no depende de la viscosidad: (2) Ecuación de Bernoulli Se trata de la ecuación de conservación de la energía para flujo estacionario: despreciando las pérdidas por fricción y por turbulencia, la energía total es constante.

21 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial 20 Figura 4 Flujo en un estrechamiento En una estenosis (estrechamiento), sin embargo, la energía total no se conserva debido a las pérdidas de presión por fricción y turbulencias. Las pérdidas de presión pueden ser calculadas a través de la ecuación de Young&Tsai que, aunque fue desarrollada para flujo continuo, también es válida en los casos de flujo oscilatorio: (3) El primer término representa las pérdidas debidas a esfuerzos viscoso, hallado mediante la aplicación de la ley de Poiseuille en estrechamientos, y el segundo representa las pérdidas por turbulencia y se deriva de las ecuaciones de mecánica de fluidos en divergencias abruptas. El coeficiente Ki se calcula empíricamente y tiene un valor de 1,5 aproximadamente. La relación entre la pérdida de presión y el caudal es cuadrática: la resistencia en una estenosis aumenta con el caudal. El término lineal se debe, como se ha dicho, a las pérdidas por los efectos viscosos, mientras que el término cuadrático es debido a las turbulencias. En estenosis severa

22 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial 21 (áreas de oclusión superiores al 85%), son las pérdidas por turbulencia las que tendrán mayor importancia. Turbulencia El número de Reynolds es un número adimensional que mide la relación entre la inercia y los esfuerzos viscosos. Para valores de Reynolds bajos dominarán los esfuerzos viscosos y se tendrá régimen laminar. A medida que el caudal vaya aumentando, se irán produciendo olas y vórtices, hasta llegar a régimen turbulento. En régimen turbulento se requiere mayor diferencia de presión para un caudal determinado. Es menos eficiente porque parte de la energía se pierde en el movimiento errático. El Reynolds crítico de transición a régimen turbulento es 2200 aproximadamente para flujo estacionario. Sin embargo, para flujos pulsátiles, como es el caso del flujo sanguíneo, el Reynolds crítico aumenta y las turbulencias tardarán más en producirse. En nuestro sistema sanguíneo se producirán turbulencias con más facilidad cuando estemos realizando ejercicio físico intenso, ya que el caudal aumentará entorno al 500%. También tendremos más probabilidad de alcanzar régimen turbulento en una estenosis, especialmente si se trata de una divergencia muy abrupta, ya que se podrán producir turbulencias a Re muy bajos (entorno a 50). Resistencia e Inertancia La Resistencia es una medida cuantitativa de la relación entre la variación de presión y el caudal. Depende de la geometría del vaso sanguíneo (longitud, diámetro) y de la viscosidad d la sangre.

23 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial 22 (4) La Inertancia L relaciona la variación de presión con la variación del flujo, midiendo la masa efectiva. Es otro tipo de resistencia, es la oposición que presentan los vasos sanguíneos al cambio de velocidad. (5) Como la densidad de la sangre es prácticamente constante, la inductancia L depende básicamente de la geometría del vaso sanguíneo. Figura 5 Inertancia: resistencia de los vasos a la variación de velocidad La Inertancia cobra mucha importancia en flujo oscilatorio, especialmente cuando el flujo se está acelerando o decelerando. Mientras que la resistencia depende inversamente del cuadrado del radio del vaso sanguíneo, la inductancia varía con la inversa del radio elevado a la cuarta. Así, en venas pequeñas tiene más importancia la resistencia que la inductancia, pero en venas grandes, como las arterias objeto de este estudio, es la inductancia el factor más relevante. [FARR95].

24 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial 23 Teoría del flujo oscilatorio El perfil de velocidad de un flujo oscilatorio depende del conducto, de la frecuencia de oscilación y de la densidad y viscosidad del fluido. Esto se recoge en el parámetro adimensional de Womersley, que expresa la importancia de la inercia frente a los efectos viscosos. (6) En el caso de tener valores del parámetro de Womersley bajos, que es lo que ocurre en vasos estrechos y valores bajos de frecuencia, dominarán los esfuerzos viscosos y se tendrá un perfil de velocidades parabólico, gobernado por la ley de Poiseuille. Por el contrario, para valores de elevados, mayores que 10, domina la inercia sobre los efectos viscosos y el perfil de velocidades se vuelve plano. El flujo se considerará entonces oscilatorio y se deberá tener en cuenta el valor de la inertancia. Si el parámetro de Womersley toma valores intermedios se tendrán que tener en consideración tanto la resistencia como la inertancia. Figura 6 Perfiles de velocidad de flujos oscilatorios

25 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial 24 La relación entre el gradiente de presión oscilatorio y el caudal se determina mediante las ecuaciones de Navier-Stokes, con las mismas hipótesis que para la ley de Poiseuille, esto es, conducto rígido y viscosidad newtoniana. Se concluye que el flujo es también laminar aunque oscilatorio. Supongamos un gradiente local de presión en forma de onda sinusoidal con amplitud y frecuencia conocida. El perfil de velocidad del fluido será entonces del tipo (7) donde y es la posición radial relativa y J la función de Bessel. El caudal se podrá expresar mediante la siguiente expresión: (8) El gradiente de presión producido por el corazón es una serie de ondas, por lo que el perfil de velocidad es la suma de varios harmónicos. La relación entre ambos es la impedancia longitudinal. Los efectos producidos por la oscilación del flujo en el perfil de velocidad no son grandes. Las formas de onda de presión y caudal vienen principalmente determinadas por ramificaciones, no uniformidades, etc., y

26 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial 25 podemos aproximar los vasos sanguíneos mediante inertancias y resistencias. Sin embargo, la teoría de flujo oscilatorio es realmente importante al estudiar fenómenos locales (como los esfuerzos transversales en las paredes). Elasticidad y Compilance En materiales biológicos, el módulo de elasticidad de Young es una curva. Cuanto mayor es la tensión que soporta más rígido se hace el material. El tejido vascular está compuesto por Elastina, una proteína que confiere elasticidad a los tejidos y cuyo módulo de Young E es constante, y por fibras de Colágeno, que son muy rígidas (unas 1000 veces más que la Elastina). Para valores bajos de tensión, la elasticidad de las venas se asemeja a la de la Elastina, mientras que para altos valores de tensión predomina la rigidez del colágeno. Figura 7 Elasticidad de la elastina y del colágeno El módulo de Young es una propiedad material y varía en función de tensión (esfuerzo). La diferencia de propiedades elásticas entre

27 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial 26 venas y arterias se debe a las grosor de la pared). diferencias estructurales (variaciones del La elasticidad de las arterias decrece con la edad, lo que supone un aumento de la presión arterial. En este estudio se considerará las venas como rígidas, hipótesis aceptada en arterias enfermas y de edad avanzada, que son las que van a estudiarse Referencias históricas - En el siglo IV a.c. Aristóteles dedujo la comunicación de los vasos sanguíneos con el corazón ( para transferir el pulso animal ) y con el estómago (para extraer nutrientes), aunque no reconoció la circulación de la sangre. - En el siglo III a.c. Praxágoras distinguió entre arterias, que son las que impulsan la sangre y tienen pulso, y venas. - En el sligo II d.c. Galeno concluyó que la presión del corazón se transmite a través de venas y arterias, considerando que forman un circuito cerrado. - William Harvey ( ) propuso la circulación de la sangre por medio del sistema cardiovascular, impulsado por la acción de bombeo del corazón. El flujo sería continuo y unidireccional, y la sangre retornaría al corazón porque es un circuito circular cerrado. - A mediados del siglo XVII, Malpighi y Van Leeuwenhoek descubrieron la existencia de capilares que unen venas y arterias, demostrando así la

28 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial 27 teoría de Harvey de que el flujo es unidireccional y el sistema circulatorio es cerrado. - Stephen Hales (fisiólogo, químico e inventor inglés) fue el primero, en 1727 en determinar la presión sanguínea arterial cuando midió el crecimiento de una columna de sangre en un tubo de cristal metido en una arteria. Constató que el flujo es pulsátil y desarrolló resistencia periférica vascular (arteriolas y capilares). el concepto de - En el siglo XVIII se explicó la capacidad del sistema circulatorio para almacenar energía, debido a la elasticidad de las arterias, y de disiparla (comportamiento viscoso de la sangre). - Poiseuille estudió el flujo laminar, continuo y uniforme de un fluido newtoniano en un conducto de sección circular constante y rígido. En 1840 y 1846 formuló el modelo matemático que relacionando el caudal con la variación de presión. - En el siglo XIX Young relacionó la elasticidad de las arterias y la velocidad de propagación de la onda pulsátil. Moens determinó empíricamente la velocidad de transmisión de una onda de presión en un tubo elástico de pared delgada con fluido incompresible y no viscoso. - El estudio del flujo sanguíneo en los siglos XVIII y XIX impulsó numerosos avances en mecánica de sólidos y fluidos, pero no fue hasta el siglo XX cuando, con la llegada de los métodos matemáticos y experimentales, se pudo describir la naturaleza pulsátil del flujo sanguíneo.

29 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial 28 - A principios del siglo XX, se establece la ley de Frank Starling que relaciona directamente el volumen del flujo sanguíneo con el volumen del corazón. Esto significa que la fuerza de contracción aumentará a medida que el corazón es llenado con mayor volumen de sangre, incrementándose la carga sobre la fibra muscular. Se popularizó el desarrollo de los modelos Windkessel (que significa depósito elástico en alemán). El efecto de Windkessel es el término usado en medicina para describir el efecto del retroceso de las arterias grandes, que contienen fibras elásticos en sus paredes. Estas arterias aumentan sus diámetros cuando aumenta la presión arterial y disminuya sus diámetros cuando la presión arterial baja y el caudal aumenta. - A mediados del siglo XX Womersley, a partir de los términos lineales de las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido incompresible en un conducto circular rígido, dedujo una ecuación para el flujo sometido a una función sinusoidal de presión.

30 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial Estenosis arterial Figura 8 Formación de placa en una estenosis La estenosis aterosclerótica consiste un estrechamiento localizado de la arteria causado por la acumulación de placa de ateroma, esto es, acumulación de sustancias lípidas, lo que dificulta el flujo sanguíneo. La estenosis aterosclerótica (a partir de ahora se denominará solamente estenosis) provoca, además, un endurecimiento de la arteria afectada. La estenosis se cuantifica por la relación de áreas As/A0, normalmente con el porcentaje de área taponada, lo que se denomina grado o severidad de la estenosis: G= (9) Como se ha comentado anteriormente, en situaciones de estenosis se producen pérdidas de presión producidas por los esfuerzos viscosos y las turbulencias. En estenosis severa (áreas de oclusión superiores al 85%), son las pérdidas por turbulencia las que tendrán mayor importancia.

31 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial 30 La estenosis es una enfermedad que tiende a localizarse en zonas donde la tensión tangencial toma valores bajos, como suele ocurrir típicamente en los bordes exteriores de las bifurcaciones y en arterias coronarias, renales, cervicales intracraneales y en la aorta. Algunos factores de riesgo son el tabaquismo, la obesidad o el sedentarismo. La tensión tangencial, llamada frecuentemente tensión de cizalladura en ambientes clínicos, es una fuerza que actúa sobre la superficie interior del vaso sanguíneo. [COTR95], [PACH03]. La relación entre la formación de placa de ateroma y la tensión tangencial ha sido objeto de estudio desde los años 70. [MALE99]. Originariamente se creía que era el elevado valor de esta tensión el que provocaba un desarrollo excesivo de la placa como mecanismo de defensa al daño que se estaba produciendo al endotelio. Más tarde surgió la segunda teoría, contradictoria, que defiende que el crecimiento de placa se produce en zonas afectadas por una tensión tangencial baja. Esta segunda teoría puede explicarse mediante le ley de Poiseuille: (10) donde es la tensión tangencial, µ es la viscosidad, Q el caudal y R el radio del vaso sanguíneo. Como se puede comprobar, disminuyendo la sección del vaso sanguíneo mediante la formación de placa se conseguirá elevar el valor de la tensión tangencial. [SHAA00]. En presencia de esfuerzos cortantes elevados, las placas de ateroma pueden presentar ruptura. Si esto ocurre, el contenido descubierto del ateroma estimula la coagulación por medio de la agregación y activación plaquetaria, iniciada por la adherencia de las plaquetas en la superficie del

32 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial 31 endotelio con un rápido reclutamiento de plaquetas adicionales gracias a la liberación de adenosín difosfato (ADP), [SHAH03], [RIOF02], [VERE02]. La segunda hipótesis ha sido confirmada mediante numerosos experimentos llevados a cabo en las dos últimas décadas. La explicación médica a este mecanismo está relacionada con las reacciones químicas que se producen en el endotelio, órgano que actúa simultáneamente como activador e inactivador de sustancias que provocan la formación de la placa de ateroma. [MALE99], [PACH03]. Interesa, por tanto, determinar las zonas de esfuerzo cortante máximo y mínimo Figura 9 Desarrollo de la placa de ateroma

33 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial 32 Las simulaciones computacionales permiten obtener el valor de la tensión tangencial y detectar en qué zonas es peligrosamente bajo o elevado. Además, posibilita el análisis de otras propiedades mecánicas que guardan relación con enfermedades cardiovasculares, como es el caso de la presión. Tiene especial interés clínico el estudio de las variaciones locales de presión ya que están directamente relacionadas con la tensión circunferencial en la placa aterosclerótica y si esta tensión llega a superar el valor crítico de 300 kpa, [CHEN93], la placa se vuelve inestable y puede producirse su ruptura. [OHAY01]. 2.3 Estado del arte Para poder prevenir la formación de placa y aterosclerosis (causantes de la estenosis arterial), es necesario conocer los factores y fuerzas hemodinámicas. Si anteriormente este estudio se limitaba a la observación del sistema cardiovascular humano y experimentación animal, hoy en día las líneas de investigación están orientadas a la aplicación de técnicas computacionales que puedan simular el funcionamiento del flujo sanguíneo y resolver las complejas ecuaciones que rigen la dinámica de fluidos. Las conclusiones obtenidas se aplicarán en el ámbito de la medicina para prevenir este tipo de enfermedades.

34 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial 33 CAPÍTULO 3 MODELIZACIÓN DEL CASO.

35 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial Modelo de flujo. Comportamiento del flujo sanguíneo. Figura 10 Composición de la sangre La sangre es un líquido formado por glóbulos rojos, glóbulos blancos, plaquetas y plasma cuya temperatura normal es de unos 36,5 ºC. De esta composición se deduce que el modelo constitutivo que se proponga para el flujo sanguíneo ha de reflejar su carácter viscoso. [FUNG97]. La incompresibilidad de la sangre viene determinada por el hecho de que el plasma (que supone un 55% del volumen total de la sangre) esté constituido principalmente por agua, que es incompresible. El carácter viscoso se intuye fácilmente ya que las partículas sólidas suspendidas en la sangre ofrecen resistencia al avance del flujo debido a que rozan entre sí, lo que confiere a la sangre una viscosidad más elevada que la del agua. La viscosidad ha sido muy estudiada y da lugar a la existencia de varias teorías en cuanto al comportamiento de la sangre.

36 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial 35 La viscosidad del plasma aislado sí que es constante (alrededor de los Poise), pero lo que hace variar la viscosidad de la sangre es el cómo se estructuran los glóbulos rojos. Los glóbulos rojos tienen la capacidad de deformarse y son además capaces de almacenar energía. La viscosidad de la sangre varía en función del gradiente de deformación γ y de su derivada temporal (velocidad del gradiente de deformación o gradiente de velocidad ). Es interesante destacar que en los vasos más pequeños el hematocrito (fracción de glóbulos rojos) es distinto que en los vasos grandes dando lugar a una viscosidad dependiente de la geometría. Figura 11 Viscosidad del plasma y de la sangre En los casos en los que el gradiente de velocidad es bajo ocurre el siguiente fenómeno: los glóbulos rojos se agregan formando un único cuerpo rouleaux- que hace aumentar la viscosidad de la sangre, tanto más cuanto mayor sea la cantidad de glóbulos rojos [MILN89]. Además, las fuerzas que se producen para deshacer los rouleaux provocan una notable deformación elástica en los glóbulos rojos y un cambio de su orientación,

37 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial 36 lo que conlleva un almacenamiento de energía elástica en el fluido [PIET05]. En estos casos el modelo de flujo que se adecuaría más sería un modelo viscoelástico, como el propuesto por Einstein [WEST05]. Figura 12 Modelo viscoelástico de Einstein en función del porcentaje de glóbulos rojos en la sangre Cuando el valor del gradiente de velocidad es suficientemente elevado (se suele aceptar superiores a 100 s -1 ) los glóbulos rojos se alinean con el flujo y no se forman agregados rouleaux-, por lo que la viscosidad ya no depende de del gradiente de deformación y puede suponerse constante. En esta situación es coherente considerar la sangre como un fluido newtoniano. Asumiendo la hipótesis de distribución parabólica de velocidad (que, en principio, sólo es estable para números de Reynolds bajos), se puede calcular de forma sencilla el gradiente de velocidad a partir de la velocidad media y del diámetro del vaso sanguíneo:

38 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial 37 γ (11) De esta manera, se obtiene la siguiente estimación del valor medio del gradiente de velocidad: Vaso γ (s -1 ) Aorta 155 Arterias 900 Arteriolas 8000 Capilares 1000 Vénulas 800 Venas 160 Vena cava 100 Tabla 2 Gradiente de velocidad en los distintos vasos sanguíneos En arterias medianas, que son precisamente las que son objeto de este estudio, se tendrá la segunda situación, esto es, valores suficientemente elevados del gradiente de velocidad por lo que la sangre se comporta como un fluido newtoniano. Sin embargo, en vasos sanguíneos estrechos (microcirculación), se debe considerar el carácter no newtoniano de la sangre.

39 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial Caracterización de las arterias: rígidas Descripción y propiedades de las arterias. Las arterias son conductos membranosos estructurados en tres capas concéntricas: la capa íntima, la media y la adventicia: - Capa íntima: La capa interna está constituida por células endoteliales que son las que están en contacto directo con el flujo sanguíneo soportando así la tensión tangencial del fluido. Esta capa está presente en todos los vasos (arterias o venas) con idéntica composición, por lo que la clasificación de los vasos depende de las otras dos capas. - Capa media: Esta capa intermedia está compuesta por fibras musculares lisas dispuestas de forma concéntrica, fibras elásticas y fibras de colágeno, en proporción variable según el tipo de arteria Es la capa más gruesa de las tres y la que tienen mayor capacidad de soporte de la estructura. En las arterias, la media es una capa de aspecto compacto y de espesor regular. En aquellas más próximas al corazón esta capa presenta un grosor mayor debido a los elevados valores de presión interna que tienen que soportar. - Capa adventicia: Es la capa más externa y está formada por tejido conjuntivo laxo, compuesto esencialmente por fibroblastos, colágeno, sustancia intercelular y elastina.

40 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial 39 Figura 13 Composición del tejido arterial Los límites entre las tres capas están sensiblemente definidos en las arterias. Las arterias presentan siempre una lámina elástica interna que separa la capa íntima de la media, y (a excepción de las arteriolas) una lámina elástica externa entre las capas media y adventicia. En arterias de gran tamaño la capa media es la más relevante a la hora de establecer sus propiedades mecánicas. En estas arterias esta capa es muy gruesa y está compuesta principalmente por fibras elásticas que tienen un comportamiento elástico no lineal, y las fibras de colágeno que tienen mucha mayor rigidez. [BEST93]. En arterias de menor tamaño o arteriolas la capa íntima, además de ser de menor espesor, está compuesta fundamentalmente por células musculares, las cuales no les confieren propiedades elásticas. El comportamiento de la pared arterial dependerá, por tanto, del tamaño del vaso y de su composición y combinación de fibras:

41 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial 40 Figura 14 Comportamiento de las fibras elásticas y de colágeno por separado y en combinación Para simular el comportamiento de las paredes arteriales se proponen varios modelos constitutivos, entre los que cabe destacar el modelo no lineal: debido a las grandes deformaciones que una arteria sufre en condiciones normales se propone un modelo constitutivo de sólido hiperelástico, [HUMP95]. Sin embargo, el objeto de estudio de este proyecto son arterias con estenosis, esto es, arterias que se endurecen debido a un estrechamiento de su sección producido por el crecimiento de la capa íntima de la pared arterial. El comportamiento de estas arterias puede aproximarse por un comportamiento de sólido rígido. Esta hipótesis está ampliamente aceptada en la literatura y es validada por el ensayo que se detalla a continuación, [MOAY03], [BACK96].

42 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial Ensayo de tracción pura hasta rotura de arterias Este experimento se llevó a cabo por el Departamento de Ciencias de los Materiales de la Universidad Politécnica de Madrid en colaboración con el Hospital Puerta de Hierro. El ensayo se realizó sobre una arteria sana y sobre otra con un grado severo de estenosis (grado severo se considera para áreas de oclusión superiores al 60%). Uno de los objetivos de este experimento era observar la diferencia en el comportamiento de ambas arterias. Se tomaron muestras en tres direcciones: dirección circunferencial, dirección a 45º y dirección axial. Todos los ensayos se realizaron hasta la rotura de fibras de la arteria. Las probetas tenían una longitud inicial de 1 cm. Figura 15 Probetas tomadas de la arteria en tres orientaciones diferentes Los resultados experimentales de las tres probetas (en las tres direcciones diferentes) tanto para la arteria sana como para la arteria con grado severo de estenosis son los siguientes:

43 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial 42 Figura 16 Curvas tensión - alargamiento obtenidas en los ensayos para la arteria sana Figura 17 Curvas tensión - alargamiento obtenidas en los ensayos para la arteria dañada con estenosis

44 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial 43 Como se puede apreciar, la arteria dañada es mucho más rígida que la arteria sana que tiene una resistencia bastante menor. Independientemente de la dirección, que se observa que apenas influye, la arteria con estenosis rompe para alargamientos (L/L0) inferiores a 1,4 mientras que la arteria sana rompe para alargamientos superiores a 2. Además, se calculó experimentalmente el módulo de elasticidad para ambas arterias, siendo el de la arteria estenótica de 316,94 KPa frente a los 82,77 KPa de la arteria sana. De esta forma se confirma que es válida la hipótesis de comportamiento de sólido rígido para las arterias que sufren estenosis severa. 3.3 Ecuaciones de comportamiento Recapitulando, en este estudio se considerará la sangre como un fluido newtoniano e incompresible, que constituye una muy buena aproximación para los valores de flujo y radios de arteria objeto de este análisis [BANE99], [CHO_91]. La arteria se considera rígida. Además, se tienen condiciones de simetría axial, se desprecian los efectos de la gravedad debido a las reducidas dimensiones de la arteria y a que dependen de la posición del cuerpo. Y por último, el flujo sanguíneo se asume que circula en régimen laminar a lo largo de toda la estenosis. Aunque en la circulación sanguínea se producen fenómenos termodinámicos en los que intervienen otras variables como la temperatura, entropía o energía, estas variables quedan desacopladas al asumir la incompresibilidad del flujo: en un fluido incompresible ecuación de estado es independiente de la temperatura [MALV69]. la

45 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial 44 Bajo estas hipótesis, el flujo está gobernado por las ecuaciones de continuidad y de Navier Stokes. (12) (13) Solución de Womersley Las ecuaciones de Navier-Stokes sólo tienen solución analítica en algunos casos con determinadas geometrías y condiciones de contorno. Estas soluciones analíticas son fundamentales para la validación de los métodos numéricos. Sin embargo, la mayoría de estas soluciones requiere asumir la condición de flujo estacionario por lo que no suelen ser útiles para el estudio de flujos transitorios, como es el caso del flujo sanguíneo. En particular, sí que existe la solución analítica para flujo pulsátil completamente desarrollado en el interior de un conducto cilíndrico rígido: la solución canónica de Womersley [TAYL96]. El modelo de Womersley está basado en el análisis de la componente lineal de la ecuación de Navier-Stokes y su resolución para un gradiente de presión oscilatorio puro. Al igual que para el modelo de Poiseuille, se utiliza un conducto rígido de longitud considerable, para así evitar los efectos de longitud de entrada y reflexión de ondas, [MILN89]. El modelo contempla la viscosidad del fluido y su comportamiento laminar. Considerando el sistema como lineal, puede

46 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial 45 someterse a evaluación un gradiente de presión periódico, que no se presenta como oscilatorio puro, aplicando la serie de Fourier. En este tipo de modelos, donde el flujo es pulsátil, se manifiesta la existencia de perfiles diferenciados del modelo de Poiseuille. Adicionalmente al formato parabólico, que se observa mayoritariamente durante la sístole cardiaca, se observan perfiles cuya porción central se encuentra aplanada. Generalmente durante la diástole las capas cercanas a la pared presentan sentido de circulación inverso. Este modelo teórico no contempla los efectos de longitud de entrada, que se observan plenamente en las arterias más cercanas al músculo cardíaco o los efectos generados por las sucesivas derivaciones arteriales, que se presentan en las arterias periféricas de menor diámetro, como las arteriolas. [RENE06]. Para desarrollar la solución de Womersley se parte pues de las ecuaciones de Navier- Stokes para un fluido incompresible en un conducto circular rígido. Se asume que la única componente de la velocidad no nula es la componente axial que depende únicamente de la posición radial y del tiempo. (14)

47 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial 46 El gradiente de presión periódico se puede escribir de la siguiente forma: (15) que si se descompone en términos de la Serie de Fourier resulta (16) La componente axial de la velocidad quedaría (17) De esta forma se obtiene como resultado una ecuación diferencial ordinaria (18)

48 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial 47 Las condiciones de contorno imponen velocidad nula en la zona del flujo en contacto con las paredes del cilindro, esto es, para r = R. La solución para el perfil de velocidad queda determinada como: (19) donde son funciones de Bessel de primera especie de orden 0 y funciones de Bessel de orden 1. Además, se define el número de Womersley que es un parámetro adimensional que relaciona la inercia con los esfuerzos viscosos. En el caso en el que lo que se conoce es la expresión del flujo volumétrico y se quiere calcular el perfil de velocidad de Womersley, es necesario hallar la componente frecuencial de la onda de caudal lo que se hace mediante la transformada de Fourier. (20) (21)

49 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial 48 sabiendo que (22) De esta forma se obtiene una nueva expresión del caudal (8) Los coeficientes An, expresados en términos de los coeficientes conocidos Bn, se insertan en la ecuación (19) obteniéndose la expresión del perfil de velocidad de Womersley conocida la expresión del flujo volumétrico: (7)

50 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial 49 El perfil de velocidad axial para distintos tiempos de un ciclo se muestra gráficamente en la figura 18: t/t = 0,2 azul t/t = 0,4 negro t/t = 0,6 verde t/t = 0,8 rojo t/t = 1,0 amarillo t/t = 1,1 cyan Figura 18 Perfil de velocidad para distintos tiempos de in ciclo Como puede apreciarse, en ciertos instantes del ciclo la velocidad es negativa en las zonas cercanas a las paredes, aunque el caudal sea positivo, debido a las fuerzas viscosas de tracción.

51 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial 50 CAPÍTULO 4 CFD: Introducción y validación del método.

52 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial Historia de la dinámica de fluidos computacional La historia de la dinámica de fluidos computacional, abreviado CFD en inglés, se inicia en los años 60. El objetivo de CFD es la resolución de flujos combinando física, métodos numéricos e informáticos. Su desarrollo, por tanto, está ligado a los progresos en la tecnología informática. En la década de los sesenta la división teórica de la NASA situada en Los Álamos investigó la dinámica de fluidos computacional, aportando numerosos modelos numéricos que hoy en día se siguen usando, como el conocido modelo de k-ξ. Durante los años setenta las principales investigaciones corrieron a cargo de un grupo de trabajo del Imperial College de Londres que bajo la dirección de D. Brian Spalding contribuyeron a la mejora de los códigos ya existentes y al desarrollo de nuevos modelos numéricos, [THOM33]. En 1980 se publicó uno de los libros más importantes hasta la fecha sobre la materia, que daría pie a la creación de multitud de códigos. Se titula Numerical Heat Transfer and Fluid Flow y su autor es Suhas V. Patankar. A mediados de los 80, la CFD se centró en la resolución de las ecuaciones de Navier-Stokes para flujos viscosos. Además, empiezan a aparecer modelos numéricos para la resolución de flujos turbulentos como el DNS (Direct Numerical Simulation) y el LES (Large Eddy Simulation). En esa década surgieron los primeros códigos de CFD comerciales, que tuvieron una gran aceptación y las grandes empresas los empezaron a utilizar en lugar de seguir creando sus propios códigos como habían hecho hasta entonces.

53 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial 52 Por otro lado, la demanda de soluciones para casos con geometrías complejas hace que se vayan desarrollando a la vez nuevas técnicas para la generación de los mallados de la geometría. Los avances en CFD y el aumento de la potencia de los ordenadores actuales han hecho de este método una herramienta imprescindible a la hora de resolver cualquier problema de dinámica de fluidos actual. La dinámica de fluidos computacional actual permite resolver numéricamente problemas que hasta hace poco eran prácticamente imposibles con los métodos matemáticos tradicionales. Uno de los principales problemas al que se enfrentan los ingenieros en fase de diseño es el trabajo con información empírica ya que está muy limitada para ciertos rangos de velocidad, temperatura y dimensiones. Para un rango diferente es necesario recurrir a la experimentación en laboratorio además de hacer uso de una experiencia que no siempre existe. Los códigos de resolución de CFD suponen una herramienta de diseño que ofrece un cierto grado de exactitud al mismo tiempo que un coste en dinero y tiempo inferior al de la investigación. Actualmente la investigación en CFD se centra fundamentalmente en la modelización de la combustión y la turbulencia. Además, los procesos de cambio de fase, como la condensación del vapor de agua en turbinas, son también una problemática importante a resolver. Las soluciones de los códigos de CFD se aplican en numerosos campos, como la aeronáutica, las turbomáquinas, la meteorología o la medicina. No obstante, no es una disciplina tan madura como pueden ser los Elementos Finitos para la resolución de problemas de estructuras y su interacción con

54 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial 53 otras disciplinas como la Transferencia de Calor requiere todavía una profunda investigación. 4.2 Método de discretización de los volúmenes finitos El método de los volúmenes de control finitos permite discretizar y resolver numéricamente ecuaciones diferenciales. Es un método alternativo a los de diferencias finitas y elementos finitos. Para aplicar este método las ecuaciones que rigen las incógnitas del problema tienen que estar escritas en su forma integral. La idea principal consiste en discretizar el modelo continuo mediante una malla y aplicar las ecuaciones de conservación (de la masa, del momento, de la energía ) a cada celda por separado. En torno a cada punto de esta malla se construye un volumen de control que no se traslapa con los de los puntos vecinos. De esta forma el volumen total de fluido resulta ser igual a la suma de los volúmenes de control considerados. La ecuación diferencial a resolver se integra sobre cada volumen de control, lo cual entrega como resultado una versión discretizada de dicha ecuación. Para realizar la integración se requiere especificar perfiles de variación de la variable dependiente entre los puntos de la malla, para poder evaluar las integrales resultantes. La principal propiedad del sistema de ecuaciones discretizadas resultante, es que la solución obtenida satisface de forma exacta las ecuaciones de conservación consideradas, independientemente del tamaño de la malla.

55 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial 54 El método de los volúmenes finitos es muy usado debido a su generalidad y a la facilidad de introducir dominios de cálculo complejos (en dos o tres dimensiones). Además el método es fácilmente adaptable a problemas de difusión del calor, de mecánica de fluidos para calcular campos de velocidades y presiones (fluidodinámica CFD) o de campo electromagnético. Dada la imposibilidad práctica de encontrar la solución analítica de estos problemas, con frecuencia en la práctica ingenieril los métodos numéricos, y en particular los volúmenes finitos se convierten en la única alternativa práctica de cálculo. Este método es el utilizado por el software OpenFOAM para resolver los diferentes modelos de ecuaciones que incluye. Una ventaja de este método es que las geometrías complicadas y las mallas no estructuradas se pueden tratar fácilmente sin necesidad de realizar ninguna transformación de coordenadas. 4.3 Descripción de OpenFOAM OpenFOAM (Open Field Operation and Manipulation) es una biblioteca [C++]] para personalizar y extender resolvedores numéricos de problemas de Mecánica de los Medios Continuos, incluyendo la Mecánica de Fluidos Computacional (CFD). Incluye también una gran cantidad de resolvedores aplicables a otros muchos tipos de problemas. OpenFOAM solo está disponible para el sistema operativo Gnu/Linux y no está disponible para Windows y Macosx.

56 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial 55 OpenFOAM es un código abierto, lo que hace que cualquier usuario pueda mejorar o extender el código. Tiene una gran base de usuarios en la mayoría de las áreas de la ingeniería y la ciencia. OpenFOAM tiene una amplia gama de características para resolver cualquier caso, desde los flujos de fluidos complejos que involucran reacciones químicas, la turbulencia y la transferencia de calor, a la dinámica de sólidos y electromagnetismo. Además, es compatible con otros software de pre-procesamiento, solución y post-procesamiento de problemas. OpenFOAM es usado básicamente para crear archivos ejecutables, conocidos como aplicaciones. Las aplicaciones se dividen en dos categorías: solvers y utilities. OpenFOAM se distribuye con un conjunto de numerosas aplicaciones precompiladas, pero los usuarios tienen la libertad de crear la suya propia o modificar las existentes, lo que constituye una de las principales ventajas de este software. Los solvers están diseñados para resolver un problema específico de Mecánica de los Medios Continuos. Los más importantes son: Basic CFD, Incompressible flows, Compressible flows, Multiphase flows, DNS and LES, Particle-tracking flows, Combustion, Heat transfer, Molecular dynamics, Electromagnetics, Solid dynamics. Para la resolución de nuestro problema usaremos el solver para fluidos incompresibles (icofoam), debido al interés en estudiar las regiones con un stress anómalo en vasos medianos. Las utilities llevan a cabo operaciones de pre y post procesamiento, relativas a la manipulación de datos y cálculos algebraicos. Uno de los más utilizados es ParaView, ya que sirve para visualizar la

57 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial 56 resolución y el mallado. OpenFOAM tiene la ventaja de tener convertidores de malla para la gran mayoría de los paquetes comerciales, además del suyo propio. A continuación se muestra la estructura general de OpenFOAM: Figura 19 Estructura general de OpenFOAM

58 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial Validación del método: simulaciones básicas. Para la verificación del modelo propuesto y de las prestaciones computacionales se han realizado varios ejemplos de validación. A continuación se muestran dos de ellos en los que se ha incluido el flujo de Womersley, que se ha elegido por ser un caso de régimen transitorio con solución analítica. Se compara la solución teórica con los resultados computacionales obtenidos. En ambos casos se considera una arteria de 3 cm de diámetro por la que circula un caudal de 6 l/min. Se toma un valor de densidad de la sangre de 1,06 g/cm 3 y un número de Reynolds de 1273, esto es, flujo laminar Poiseuille Este problema es ya un clásico de la mecánica de fluidos. Se trata del flujo laminar estacionario de un fluido incompresible y uniformemente viscoso (fluido newtoniano) a través de un tubo cilíndrico de sección circular constante. Descripción del problema: Imposición de una velocidad uniforme de valor 0,14 cm/s. Condición de no deslizamiento en las paredes, lo que equivale a anular la velocidad en el contorno. Se fija la viscosidad dinámica a 3, m 2 /s. Los resultados que se muestran se corresponden con la zona de flujo completamente desarrollado.

59 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial 58 En general, a medida que aumenta el Reynolds la malla ha de ser más fina. En este caso se ha utilizado una malla de 200x100 elementos, suficientemente fina para captar los detalles del flujo. Se fija el valor de la velocidad media y se calcula el gradiente de presión, imponiendo presión nula a la salida. El gradiente de presión obtenido analíticamente es de 14,5 mmhg mientras que en nuestra simulación se ha obtenido un gradiente de presión de 13,76 mmhg, como se muestra en la figura 20. El error cometido es del 5,1%, lo que se considera aceptable para validar el modelo. Figura 20 Presión simulación básica Poiseuille En la figura 21 se muestra el perfil de velocidad parabólico obtenido mientras que en la figura 22 se compara el resultado analítico (curva azul) con el obtenido con la simulación (curva verde) para un tiempo t=0,70 s, cuando el flujo se ha desarrollado completamente y se ha alcanzado la solución estacionaria. Como se puede observar los resultados concuerdan muy bien con la teoría.

60 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial 59 Figura 21 Velocidad simulación básica Poiseuille Solución teórica Solución numércia Figura 22 Comparación del perfil de velocidad obtenido mediante la simulación con el teórico

61 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial Womersley El flujo de Womersley es un caso con solución analítica de las ecuaciones de Navier-Stokes. En hemodinámica no se puede hablar de un flujo de Womersley puro ya que el caudal en ningún momento retrocede debido a la acción de las válvulas de los vasos sanguíneos. Sin embargo, el flujo sanguíneo es pulsátil, y en esto es similar al de Womersley. En todo momento el régimen es transitorio, aunque se puede decir que se alcanza una solución periódica. Descripción del problema: Se impone la ley de velocidades en el tiempo teórica y se comprueba si se obtiene una presión uniforme de variación sinusoidal. Se fija el valor medio de la velocidad en 0,14 cm/s, como en el caso anterior. La ley de velocidades es Esta solución analítica se ha programado para obtener los valores de la velocidad y así compararlos con la solución computacional obtenida. Se fija la viscosidad dinámica a 3, m 2 /s. Se fija una frecuencia de 7,536 rad/s, correspondiente a una frecuencia de 1,2 HZ, esto es, 72 latidos por minuto. Con los valores de frecuencia, viscosidad y diámetro de la arteria se obtiene un parámetro de Womersley de 11,3.

62 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial 61 Se estudian y comparan los resultados de un ciclo cardiaco completo. Para este caso la malla utilizada estaba compuesta de 200x100 elementos. Se fija el valor de la velocidad media y se calcula el gradiente de presión. Como se observa en la figura el gradiente d presión obtenido es una función sinusoidal, lo que coincide con los resultados teóricos. Figura 23 Presión simulación básica Womersley El perfil de velocidad para distintos instantes del ciclo cardiaco se muestra en la figura 24. Los resultados numéricos representan la situación de régimen permanente, una vez finalizado el transitorio.

63 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial 62 Figura 24 Velocidad simulación básica Womersley A continuación se comparan los resultados obtenidos con los teóricos en las figuras Las curvas azules muestran el perfil teórico de la velocidad, mientras que las verdes representan los resultados de cálculo numérico. Se observa una concordancia casi perfecta entre la solución teórica y la numérica.

64 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial 63 t/t = 0,032 Solución teórica Solución numérica Figura 25 Comparación perfil de velocidades teórico y numérico para t/t = 0,032 t/t = 0,264 Solución teórica Solución numérica Figura 26 Comparación perfil de velocidades teórico y numérico para t/t = 0,264

65 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial 64 t/t = 0,480 Solución teórica Solución numérica Figura 27 Comparación perfil de velocidades teórico y numérico para t/t = 0,480 t/t = 0,936 Solución teórica Solución numérica Figura 28 Comparación perfil de velocidades teórico y numérico para t/t = 0,936

66 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial 65 CAPÍTULO 5 SIMULACIONES NUMÉRICAS DEL CASO

67 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial 66 En este capítulo se describen los procedimientos realizados para generar simulaciones del flujo en arterias con estenosis (simulaciones CFD). Para esto se realizaron modelos 3D a partir de geometrías con distintas áreas de oclusión atendiendo al criterio NASCET reportadas en la literatura médica, [SMIT96], [GOUB02]. Teniendo en cuenta las características del flujo en estas geometrías, se elige el mallado. Después se analizan las variables obtenidas para las diferentes geometrías, especialmente el esfuerzo cortante. También se estudia la influencia del ritmo cardíaco. Estudios en plaquetas han indicado que éstas se agregan en arterias con presencia de estenosis. La adherencia y acumulación de estas plaquetas son función del esfuerzo cortante, y su activación está influida no sólo por la liberación de adenosín difosfato (ADP), sino también por los esfuerzos cortantes en la estenosis. Por este motivo, el análisis del esfuerzo cortante es de suma importancia para aportar datos cuantitativos a la ciencia médica, [UBAL99]. Existen dos teorías mecánicas que intentan explicar la génesis y crecimiento de las estenosis a partir del análisis de los esfuerzos cortantes en la zona de aparición de la obstrucción: una a través de la existencia de un esfuerzo cortante máximo que dañaría la arteria provocando acumulación de plaquetas y otra, en función de un esfuerzo de corte mínimo que beneficiaría la decantación y adherencia de partículas sólidas sobre las paredes interiores de los vasos [DIPA03]. Por esta razón, en este estudio se determinan las zonas en las cuales se producen esfuerzos cortantes máximos y mínimos.

68 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial 67 En presencia de esfuerzos cortantes elevados, las placas de ateroma pueden presentar ruptura. Si esto ocurre, el contenido descubierto del ateroma estimula la coagulación por medio de la agregación y activación plaquetaria, iniciada por la adherencia de las plaquetas en la superficie del endotelio con un rápido reclutamiento de plaquetas adicionales gracias a la liberación de ADP, [SHAH03], [RIOF02], [VERE02]. La agregación se relaciona también con zonas de bajo esfuerzo que también pueden resultar en la formación de un trombo, el cual puede llegar a arterias más pequeñas por las que no tiene paso y, por ende, taponarlas totalmente y hacerles perder su función. 5.1 Geometría Las geometrías 3D permiten obtener información global y útil en el análisis de cualquier modelo numérico. Las geometrías de arterias estenóticas se diseñan con diferente severidad teniendo en cuenta los estudios NASCET y ECST, que cuantifican el grado de severidad de la estenosis mediante diferentes métodos e indican los beneficios de la endacterectomia (procedimiento quirúrgico de remoción de la placa aterosclerótica en arterias carótidas) a partir de un porcentaje de estenosis mayor o igual al 70% y 80%, respectivamente, [TAMB03], [THRU99], [ZEND99], [STAI00].

69 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial 68 Es importante anotar que desde el punto de vista del radiólogo los valores de 50% y 75% de estenosis son un especial criterio en la evaluación y tratamiento de la enfermedad en estudios de ultrasonido vascular, [THRU99]. Severidad <50% Medicación 50% - 70% Angioplastia >70% NASCET >80% ECST Cirugía Tabla 3 Tratamiento médico recomendado según el grado de estenosis En nuestro caso, las geometrías se crearon con el software ANSYS. Se generaron 4 modelos con un grado de estenosis comprendido entre el 65% y 90%. Se tomaron longitudes de estenosis (longitud de la zona convergente, del estrechamiento y de la zona divergente) realistas de acuerdo con la literatura médica y se mantuvieron constantes en los diferentes modelos.

70 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial 69 Figura 29 Geometría de la estenosis desarrollada en ANSYS Dimensiones (mm) l c = 6 l e = 3 l d = 1,5 d a = 3 d e = 1,8 65% d e = 1,6 70% d e = 1,5 75% d e = 1,0 90% Severidad Tabla 4 Dimensiones del modelo. lc, le y ld son las longitudes de las zonas convergente, estenótica y divergente respectivamente. da y de son el diámetro de la arteria sana y el diámetro en la zona estenótica respectivamente.

71 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial Malla A partir de la geometría se elaboró la malla usando también el software ANSYS. La calidad de la malla juega un papel importantísimo en la exactitud y estabilidad de los cálculos numéricos. Algunos aspectos relacionados con la calidad de la malla son la densidad y distribución de los nodos, suavidad, esquinamiento, relación de aspecto, etc. La elección del software ANSYS se debió precisamente a la importancia de tener este control sobre el proceso de mallado. El esquinamiento de una celda se define como la diferencia entre la forma de la celda y la forma de una celda cuadrilátera del mismo volumen. Celdas muy esquinadas pueden reducir la exactitud y desestabilizar la solución. La relación de aspecto es una medida del estiramiento de la celda. Es conveniente no usar relaciones de aspecto superiores a la relación 5:1. La suavidad, por su parte, es una propiedad relacionada con el cambio de volumen entre celdas adyacentes. Los cambios muy rápidos conllevan un gran error de truncamiento. Como al mallar un modelo se define de forma discreta un recinto que en realidad es continuo, el grado de exactitud con el cual se resuelven las zonas más complejas del flujo (zonas en las que se producen ondas de choque, mezclas, fuentes o sumideros ) dependerá de la densidad y distribución de los nodos de la malla en dichas zonas. Una resolución de la malla pobre en estas zonas críticas puede alterar dramáticamente sus características. Por este motivo, se requiere un mallado bastante fino cerca de las paredes para poder obtener valores precisos del esfuerzo cortante

72 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial 71 (WSS, wall stress shear en inglés) y, especialmente, en la zona de la divergencia para que pueda describir cualquier flujo complejo. En flujos laminares, a la hora de mallar la zona adyacente a las paredes para modelar la capa límite, es particularmente importante que se cumpla la siguiente relación: (23) = distancia desde la pared al centro de la celda adyacente = velocidad del flujo libre = viscosidad cinemática del flujo pared = distancia desde el punto donde comienza la capa límite hasta la Un mallado rectangular permite mayores relaciones de aspecto. Una relación de aspecto elevada en mallado triangular implica necesariamente mayores esquinamientos de las celdas, lo que debe evitarse dada la repercusión negativa en la convergencia y exactitud del problema. Además, se consigue minimizar el problema de difusión numérica. Esto es debido a que se alinea el flujo con la malla, lo que resultaría imposible de lograr con un mallado triangular.

73 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial 72 Considerando los criterios expuestos se escogió un mallado formado por hexaedros que es el más apropiado para el análisis CFD de esta geometría, especialmente en la zona adyacente a las paredes donde imperan los esfuerzos cortantes. La malla se generó mediante ANSYS y se trata de un mallado fino de hexaedros de 3986 nodos y 3177 elementos. Figura 30 Mallado de la geometría

74 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial Influencia de la frecuencia cardíaca sobre el flujo sanguíneo en una estenosis arterial Las condiciones de flujo están caracterizadas por los números de Reynolds y Womersley. Este último relaciona las fuerzas inerciales pulsátiles con las viscosas. La frecuencia cardíaca y, por tanto, el número de Womersley, puede variar entre 70 y 160 pulsaciones por minuto, dependiendo de la edad de la persona y de las condiciones del ejercicio físico. Las zonas de lesión aterosclerótica están fuertemente relacionadas con el carácter oscilatorio del esfuerzo cortante. Por este motivo, el efecto de la frecuencia cardíaca sobre el esfuerzo cortante interesa ser estudiado. En todos los experimentos numéricos de este apartado la geometría de la estenosis fue mantenida con un porcentaje de oclusión del 70%, lo que corresponde con una estenosis de severidad elevada. La longitud de la zona divergente es de 6 milímetros, la de la zona estenótica es de 3 milímetros y la de la zona convergente es de 1,5 milímetros. Se fija una velocidad media de 0,15 m/s lo que corresponde a un número de Reynolds de 128 (flujo laminar). Estos valores, como ya se mencionó, son consistentes con la literatura médica.

75 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial 74 A efectos de investigar la influencia de la frecuencia del pulso de caudal sobre las variables fluidodinámicas se exploraron diferentes valores de frecuencia: Pulsaciones / minuto Número de Womersley α , , ,72 Tabla 5 Número de Womersley del flujo sanguíneo para distintas frecuencias El conjunto de parámetros utilizados podría ser, aproximadamente, el que caracteriza el flujo sanguíneo en arterias coronarias. Sin embargo, debe tenerse en cuenta que este trabajo no pretende analizar las condiciones específicas del flujo en una arteria en particular, sino, por el contrario, investigar algunos rasgos generales de la hemodinámica en vasos sanguíneos estenosados.

76 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial Análisis de velocidad y presión A partir de las simulaciones realizadas se puede afirmar que el gradiente de presión que experimenta el flujo sanguíneo aumenta con el incremento de la frecuencia. Así, la variación de presión que se produce es de Pa para el caso de tener una frecuencia de 72 pulsaciones/min, Pa para 100 puls/min y Pa para 150 puls/min. Se verifica la validez de estos resultados comparándolos con resultados experimentales reportados en la literatura médica, en los que el gradiente de presión en estenosis de arterias coronarias toma valores de entre 4 y 8 mmhg, [BERM02]. Figura 31 ΔP/ρ para una frecuencia de 72, 100 y 150 latidos por minuto respectivamente. El flujo sanguíneo se mueve en sentido ascendente.

77 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial 76 La caída de presión es lineal en la zona pre y post estenótica, ya que se trata de un flujo laminar, con una pendiente similar. En la zona más estrecha también se trata de una caída de presión lineal aunque con una pendiente mucho más acusada. En las zonas de cambio de sección, sin embargo, el gradiente de presión describe una curva debido a las pérdidas de carga por fricción y, especialmente a la salida, por turbulencia Pa P 72 P 100 P Figura 32 Comparación de la caída de presión [Pa] en una estenosis para distintas frecuencias en el instante del ciclo cardíaco t/t = 0,25

78 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial 77 Uno de los principales problemas asociados a la estenosis es la aparición de zonas de recirculación en el flujo, típicamente aguas abajo de la estenosis. La aparición de estas zonas de recirculación está ligada a los cambios bruscos de sección y por tanto al elevado gradiente de velocidad que se genera con un bajo valor del esfuerzo cortante. Se comprueba que a medida que aumenta la frecuencia cardiaca aparecen vórtices más intensos, aunque siempre en la misma zona para frecuencias de hasta 120 pulsaciones por minuto. Figura 33 Formación de zonas de recirculación del flujo aguas abajo de la estenosis

79 Simulación numérica del flujo sanguíneo en una estenosis arterial 78 Para frecuencias más elevadas, a partir de 120 pulsaciones por minuto (siempre para las características consideradas en este estudio), la aparición de las zonas de recirculación del flujo no se limitan exclusivamente a las zonas aguas abajo de la estenosis cercanas a la pared. Aparecen zonas de recirculación del flujo también en la propia zona estenótica y aguas arriba de ésta, favorecidos por el cambio de sección y, especialmente, por el efecto de flujo en sentido inverso en algunos instantes del ciclo. Figura 34 Recirculación del flujo en una estenosis para una frecuencia de 150 pulsaciones por minuto

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