IES Fernando de Herrera 23 de octubre de 2013 Primer trimestre - Primer examen 4º ESO NOMBRE:

Transcripción

1 IES Fernndo de Herrer de octure de 0 Primer trimestre - Primer exmen 4º ESO NOMBRE: ) Nomrr los principles conjuntos numéricos, explicitndo cuáles son sus elementos y ls relciones de inclusión entre ellos (es decir, qué conjunto es suconjunto de cuál), y l intersección de Q con I. ) Hllr ls frcciones genertrices de: ), ), ) ) Representr en l rect rel: ) Qué número es el indicdo en el gráfico? 4) Clculr el resultdo simplificdo de: ) ) Clculr: [, ) (, ] ) Escriir en form de intervlo: A {xr / 4 < x } y B {xr / x > } ) Escriir en notción científic: ) 4,9 0 ) 0, c) ) Simplificr: ) Simplificr: 9) Simplificr: ( 7) (, puntos) (, puntos)

2 IES Fernndo de Herrer de octure de 0 Primer trimestre - Primer exmen 4º ESO SOLUCIONES ) Nomrr los principles conjuntos numéricos, explicitndo cuáles son sus elementos y ls relciones de inclusión entre ellos (es decir, qué conjunto es suconjunto de cuál), y l intersección de Q con I. Números nturles: N {0,,,,..., 0,,...} Números enteros: Z {...,,,, 0,,,,..., 0,,...} Números rcionles: Q {/, siendo, Z} (números que se pueden expresr como frcción) Números irrcionles: I {números que no se pueden expresr como frcción} Números reles: R Q I N Z Q R; I R; demás: Q I ) Hllr ls frcciones genertrices de: ), x, x 9, x 990x 9, Por tnto: x 990 ), Este número tiene infinits cifrs decimles no periódics Es irrcionl No se puede expresr como frcción. 47 ) ) Representr en l rect rel: Si dividimos 47 entre nos result un dividendo entero igul con de resto. 47 Esto signific que. Así que vnmos uniddes en sentido negtivo sore l rect rel y seguimos / más, esto es, dividimos el troo entre 4 y en prtes igules (cutro mrcs intermedis) y tommos l segund contndo de derech iquierd (porque vnmos en sentido negtivo, o se, decreciendo. ) Qué número es el indicdo en el gráfico? El trmo entre 7 y (que es un unidd) está dividido en prtes igules (medinte 7 0 mrcs intermedis). Nuestro número es l ª de ests mrcs contndo en sentido negtivo (decreciente, hci l iquierd), por lo que se trt de / más l iquierd que. Luego es: 4) Clculr el resultdo simplificdo de: IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de

3 IES Fernndo de Herrer de octure de 0 Primer trimestre - Primer exmen 4º ESO Es muy recomendle simplificr lo ntes posile. Y esto consiste en dividir un fctor (no sumndo ni prte de sumndo, sino un número que esté multiplicndo) del numerdor y otro del denomindor entre un mismo número, sustituyendo cd uno de ellos por el resultdo de dich división (esto es l propiedd fundmentl de ls frcciones). Recordr que no es posile relir 9, puesto que no es un sumndo, sino prte del primer sumndo: ) ) Clculr: [, ) (, ] A l vist del gráfico, como l intersección de dos conjuntos (y los intervlos lo son), es un nuevo conjunto que contiene los elementos que están en los conjuntos iniciles l ve, tenemos que: [, ) (, ] [, ]. ) Escriir en form de intervlo: A {xr / 4 < x } y B {xr / x > } Según ls definiciones de intervlo: A {xr / 4 < x } ( 4, ] (no entr 4 pero sí ) B {xr / x > } (, +) (no entr ni ni +, que no es un número) ) Escriir en notción científic: ) 4,9 0 ) 0, c) 49 0 Convertimos el número que está en notción hitul notción científic y multiplicmos, después, ls potencis de 0, en sus csos: 4,9 0 4, ,9 0 0, , , , ) Simplificr: 9 40 ( 7) 4 0 Cundo un signo está elevdo un exponente impr, el resultdo finl de l operción es negtivo. Así, plicndo propieddes de potencis: ( 7) ( 7) ) Simplificr: (, puntos) IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de

4 IES Fernndo de Herrer de octure de 0 Primer trimestre - Primer exmen 4º ESO L expresión finl dee estr con el denomindor rcionlido, los rdicles simplificdos, los exponentes positivos y, preferilemente, sin préntesis ni exponentes frccionrios. Así: ) Simplificr: (, puntos) Usndo ls propieddes de potencis y rdicles, sí como igulddes notles, tenemos: IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de

5 IES Fernndo de Herrer de diciemre de 0 Primer trimestre - Exmen glol 4º ESO NOMBRE: ) Simplificr plicndo propieddes de rdicles y potencis, dejndo el resultdo sin exponentes negtivos ni frccionrios y con el denomindor rcionlido: 4 ( ) ) (0,7 puntos) 9 0 ( ) ) 4 4 (0, puntos) c) (0,7 puntos) ) Hllr m pr que el resto de l división de P(x) mx x 4 + x entre x + se. ) ) Fctorir los siguientes polinomios: P(x) x 4 9x x + 9; Q(x) x + x + x. 4 x 9x x 9 ) Resolver l ecución: 0 x x x 4) Relir: ) Expresr log x en función de ln x. ) Aplicndo l definición de logritmo, clculr log. 4 c) Tomr logritmos (en se 0) y simplificr l expresión resultnte, en: 0x A y d) Quitr logritmos en: log A log x log y + log ) Clculr l sum de los múltiplos de 9 comprendidos entre 000 y Pr ello, clculr previmente cuál es el primer múltiplo de 9 myor que 000 y cuál es el último múltiplo de 9 menor que 0000.

6 IES Fernndo de Herrer de diciemre de 0 Primer trimestre - Exmen glol 4º ESO SOLUCIONES ) Simplificr plicndo propieddes de rdicles y potencis, dejndo el resultdo sin exponentes negtivos ni frccionrios y con el denomindor rcionlido: 4 ( ) ) (0,7 puntos) 9 0 ( ) 4 ( ) 9 ( ) ( ) 7 0 ( ) 4 ) c) ( ) 9. 4 ( ( ) ( ) ( ) ) 7 (0, puntos) 4 7 (0,7 puntos) (7 ) ) Hllr m pr que el resto de l división de P(x) mx x 4 + x entre x + se. Según el Teorem del Resto, el resto de l división de P(x) entre x + es P( ). Por tnto: P( ) m( ) ( ) 4 + ( ) m 4 m 7 m 7 m 4 m 4/ m 7/ ) ) Fctorir los siguientes polinomios: P(x) x 4 9x x + 9; Q(x) x + x + x. Fctorimos, en primer lugr, P(x): IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de

7 IES Fernndo de Herrer de diciemre de 0 Primer trimestre - Exmen glol 4º ESO Pr ello, hemos clculdo sus ríces por Ruffini, prondo divisores enteros, positivos y negtivos, del término independiente 9. Recordr que hy que poner un 0 como coeficiente de x. Pero llegdos este punto, no encontrmos cómo seguir. Así que intentmos fctorir el polinomio igulándolo cero y resolviendo l ecución de segundo grdo resultnte: x + x + 0 (mos miemros por /): x 4 + x + 0 x que no tiene solución, puesto que no existe l rí de un número negtivo. Por tnto: P(x) x 4 9x x + 9 (x )(x )(x + x + ) A continución, procedemos con Q(x) x + x + x De donde: Q(x) x + x + x (x )(x + )(x + ) 4 x 9x x 9 ) Resolver l ecución: 0 x x x 4 x 9x x 9 ( x )( x )(x x ) 0 0 x x x ( x )( x )( x ) ( x )(x x ) 0, si x, x, x ( x )( x ) porque dichos vlores de x nuln el denomindor de l ecución originl. Y un frcción se nul cundo y solmente cundo lo hce el numerdor pero no el denomindor. Así: (x )(x x 0 x + x + ) 0 x x 0, sin solución Luego l únic solución es x, que es válid porque no nul el denomindor de l ecución originl. 4) Relir: ) Expresr log x en función de ln x. Aplicndo l fórmul de cmio de se de logritmos: log x log x e log e ln x ln log x log x, result: log ) Aplicndo l definición de logritmo, clculr log. 4 Llmmos log (/ 4) x. El resultdo del logritmo es el exponente, según l definición de logritmos, lo que signific que: IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de

8 IES Fernndo de Herrer de diciemre de 0 Primer trimestre - Exmen glol 4º ESO x 4 x x x c) Tomr logritmos (en se 0) y simplificr l expresión resultnte, en: 0x A y 0x A y 0x log A log y log 0 x y log log 0 + log x + log y log + log x + log y log d) Quitr logritmos en: log A log x log y + log log A log x + log log 0 log y log x + log (log 0 + log y) log x + log log 0y log x log 0y log x 0y A x 0y ) Clculr l sum de los múltiplos de 9 comprendidos entre 000 y Pr ello, clculr previmente cuál es el primer múltiplo de 9 myor que 000 y cuál es el último múltiplo de 9 menor que En primer lugr, clculremos cuáles son el primer y el último número de l serie. Dividimos: 000/9,9. Luego el primer múltiplo de 9 myor de 000 es Dividimos: 0000/9 9,49. Por lo que el último múltiplo de 9 menor que 0000 es: A continución, tenemos en cuent que estmos trjndo con un progresión ritmétic, puesto que, entre l secuenci de múltiplos de 9, cd número es el nterior más 9. De este modo, podemos clculr de cuántos números const l serie: n ( n ) d (n ) n n Como sólo hemos cmido el segundo miemro de l iguldd, evitmos tener que copirl complet repetidmente, escriiendo signos "" cd pso: nos limitmos escriir que el segundo miemro es igul l expresión siguiente, de form que el primer miemro sigue siendo l cecer de l cden de igulddes. Despejmos: n 907 9n n 907/9 Por tnto, l sum de los términos vle: s 9. IES Fernndo de Herrer Prof. R. Mohigefer Págin de