Como el sistema es homogéneo, sabemos que es compatible ( rang(a) = rang(a ) ). Estudiemos el máximo rango posible de A,

Transcripción

1 OPCIÓN A, se pide: Problema A.. Dado el sistema de ecuaciones lineales a)deducir, raonadamente, para qué valores de α el sistema sólo admite la solución (,, ) (0,0,0). (5 puntos) Solución: Estudiemos el sistema. Llamando A a la matri de coeficientes A a la matri ampliada, Como el sistema es homogéneo, sabemos que es compatible ( rang(a) rang(a ) ). Estudiemos el máimo rango posible de A, como el sistema es homogéneo la solución es la trivial, 0 Para α 9, estudiemos la matri A resultante. Para este valor de α sabemos que A 0, luego rang(a)

2 Busquemos un menor de orden dos no nulo, por ejemplo, luego rang(a) < nº de incógnitas Sistema Compatible Indeterminado. De lo estudiado anteriormente, las respuestas a cada uno de los apartados será: El sistema sólo admite la solución (,, ) ( 0, 0, 0 ) (solución trivial) para α 9 El valor de α que hace al sistema indeterminado es α 9 Para este valor de α la solución será: Utiliamos las ecuaciones e incógnitas correspondientes al menor de orden no nulo, es decir, Por tanto, para α 9 la solución del sistema es:

3 Problema A..Se dan las matrices T, se sabe que T es una matri cuadrada de filas columnas cuo determinante vale. Calcular raonadamente los determinantes de las siguientes matrices, indicando eplícitamente las propiedades utiliadas en su cálculo: a) ½ T. ( puntos) d T ( como T es una mátri ) d( T ) 8 8 b) M 4. ( puntos) d 4 ( M ) como det( A B) det( A) det( B) 4 4 ( ) det( ) 6 96 M ( 4) ( 4) 6 c) T M T -.(4 puntos) Como: det A B det ( ) det( A) det( B) ( A ) det ( A) Entonces: det ( T M T ) det( T ) det( M ) det( T ) det( T ) det( M ) det ( T ) 6 6 6

4 0 7 9 Problema A..Sean I A las matrices cuadradas siguientes: I, A.Se pide calcular, escribiendo eplícitamente las operaciones necesarias: a) Las matrices A A. (5 puntos). Cálculo de A Hemos obtenido que A I Cálculo de A A A. A I. A A b) Los números β α para los que se verifica ( I A) α I βa Utiliaremos los resultados del anterior apartado A I A A.(5 puntos). NOTA: También se puede resolver el sistema en función de los parámetros.

5 OPCIÓN B Problema B.. Dado el sistema dependiente α del parámetro real Se pide, a) Determinar, raonadamente los valores de α para los que el sistema es compatible determinado, compatible indeterminado e incompatible. (5 puntos) Llamando A a la matri de coeficientes del sistema A a la matri ampliada, A es una matri, luego el máimo rango de A será A es una matri 4, luego su máimo rango será Estudiemos el rango de A Sabemos que A 0 luego el rango de A será menor o igual que, como el menor de A

6 Ahora calculemos el rango de A. Orlando el menor anterior de A, no nulo, con ª fila 4ª columna de A, ran(a) ran(a ), Sistema Incompatible Como esta matri tiene todas sus filas (o columnas) iguales para estudiar su rango sólo debemos considerar una fila, la ª por ejemplo, como esta fila tiene elementos no nulos ran(a ). Lo mismo ocurre con la matri A, por lo que ran(a) ran(a ) < nº de incógnitas, Sistema Compatible Indeterminado. b) Obtener, raonadamente, la solución del sistema cuando α 0. (5 puntos). Sustituimos α 0 en el sistema nos queda: 0 ( ),,,,

7 Problema B.. Se da la matri donde m es un parámetro real. a) Obtener raonadamente el rango o característica de la matri A en función de los valores de m.(5 puntos) b) Eplicar por qué es invertible la matri A cuando m. ( puntos)

8 c) Obtener raonadamente la matri inversa A - de A cuando m, indicando los distintos pasos para la obtención de A -. Comprobar que los productos A A - A - A dan la matri unidad. ( puntos) También se puede calcular mediante transformaciones de filas columnas. ( A I ) ( I A )

9 0 7 9 Problema B.. Sean I A las matrices cuadradas siguientes: I, A.Se pide calcular, escribiendo eplícitamente las operaciones necesarias: a) Las matrices A A. (5 puntos). Cálculo de A Hemos obtenido que A I Cálculo de A A A. A I. A A b) Los números β α para los que se verifica ( I A) α I βa Utiliaremos los resultados del anterior apartado A I A A.(5 puntos). NOTA: También se puede resolver el sistema en función de los parámetros.