donde d representa el diámetro del liquen en milímetros, y t representa el número de años después de que el hielo desapareció.

Transcripción

1 M047: Líquenes A) Presentación del problema El hielo de algunos glaciares se está derritiendo como resultado del calentamiento global. Después de doce años de que el hielo desaparece, plantas muy pequeñas, llamadas líquenes, empiezan a crecer en las rocas. Cada liquen crece aproximadamente en forma de un círculo. La relación entre el diámetro del círculo y la edad del liquen se puede aproximar con la fórmula: d = 7.0 donde d representa el diámetro del liquen en milímetros, y t representa el número de años después de que el hielo desapareció. B) Preguntas del problema Pregunta 1 Usa la fórmula para calcular el diámetro del liquen después de 16 años de que el hielo ha desaparecido. Muestra tu procedimiento. Pregunta 2 Ana midió el diámetro de un liquen y encontró que era de 35 milímetros. Hace cuántos años que el hielo desapareció en este lugar? Muestra tu procedimiento. C) Solución directa del problema Para la pregunta 1: En este problema sólo se requiere sustituir el valor del tiempo dado, t = 16 años, en la formula proporcionada: d = 7.0 d = ! 12 = 7 4 = (7)(2) = 14mm

2 Para la pregunta 2: En este caso es necesario sustituir d = 35 mm y despejar para el tiempo: 35 = 7 " = = 25 = t = 37 años D) Criterios de evaluación del problema según los estándares de PISA INTENCIÓN DE LA PREGUNTA 1: Evaluar la habilidad del alumno para aplicar la fórmula. Código 2: 14 mm (no se requieren unidades). El código 2 debe de darse al alumno mientras que se proporcione 14 como respuesta correcta, aun cuando no se incluya el procedimiento. Código 1: Respuestas parciales que incluyan: Sustitución correcta del valor en la fórmula pero respuesta incorrecta o sin la respuesta final (sólo la sustitución) Respuestas incompletas (por ejemplo, 7 4 ). Código 0: Otras respuestas Código 9: Sin respuesta. INTENCION DE LA PREGUNTA 2: Evaluar la habilidad del alumno para aplicar la fórmula y despejar. Código 2: 37 años (las unidades no se requieren) se muestre el procedimiento o no. Código 1: Correcta sustitución de los valores en la fórmula pero respuesta incorrecta o sin respuesta final ó 36 años ó 38 años. (Los estudiantes pueden llegar a esta respuesta usando el método de prueba y error) Código 0: Otras respuestas. Código 9: Sin respuesta.

3 E) Solución comentada del problema según el proceso de matematización en el marco PISA. Identificación de un problema matemático. Identificación de los elementos matemáticos asociados al problema, reorganización del problema en términos de las matemáticas identificadas. En este problema se proporciona un modelo matemático para encontrar el diámetro de un liquen con respecto al tiempo. El alumno requiere manipular una fórmula. En la primera pregunta al sustituir un valor dado en el modelo matemático y realizar operaciones para obtener una cantidad y en la segunda, sustituyendo un valor dado y despejando. El punto más importante es que un fenómeno biológico es susceptible a ser tratado matemáticamente por cierta relación que guardan entre si sus variables. El punto matemático más importante aquí es entender que ciertas variables están relacionadas por medio de una función de raíz cuadrada. El estudiante debe primero identificar el significado de las variables que utilizará en la fórmula: d = diámetro del liquen en milímetros t = tiempo transcurrido en años La fórmula que se proporciona es una expresión con raíz cuadrada, el razonamiento numérico demanda que el alumno pueda procesar y entender números que son representados en diferentes formas. En la primera pregunta el alumno deberá sustituir el tiempo dado, realizar las operaciones y encontrar el resultado. Abstracción matemática progresiva de la realidad Para la segunda pregunta, debe sustituir y despejar, y así encontrar el diámetro que corresponde al tiempo dado. Para la pregunta 1: Usa la fórmula para calcular el diámetro del liquen después de 16 años de que el hielo ha desaparecido el alumno reconoce que el dato corresponde a la variable de tiempo t = 16 y sustituye en l fórmula dada: d = 7.0. Al sustituir el valor

4 para el tiempo, se obtiene: d = ! 12 Para la pregunta 2, al sustituir el diámetro, se obtiene: 35 = 7 " Resolución del modelo matemático Para la pregunta 1, el alumno debe realizar las operaciones y obtener el resultado final: d = 7.0 = 7 16! 12 4 = (7)(2) = 14mm Uso de la solución del modelo matemático como herramienta para interpretar el mundo real. En la pregunta 2: Ana midió el diámetro de un liquen y encontró que era de 35 milímetros. Hace cuántos años que el hielo desapareció en este lugar? El alumno debe reconocer que la información proporcionada corresponde a la variable d = 35, y es necesario despejar para el tiempo: 35 = 7 " = = 25 = t = 37 años Un componente esencial en el razonamiento cuantitativo del estudiante es la representación de números en diferentes maneras como es el dos y la raíz positiva de cuatro, y el desarrollar la comprensión de operaciones al sustituir y despejar variables en una ecuación. Este problema proporciona un modelo matemático que relaciona el diámetro y el tiempo en una situación del mundo real. Puede ser conveniente dar un poco más de información sobre de dónde se obtuvo el modelo y sus limitaciones. Es importante considerar que dada la naturaleza de las magnitudes involucradas, el resultado para el tiempo y

5 el diámetro deberán ser valores positivos y tener sentido de acuerdo a las unidades en las que están expresadas. Además de considerar las implicaciones de utilizar unidades distintas a las que contempla el problema. El estudiante se enfrenta al uso de diversas fórmulas en otras materias como química, física o biología. Donde será necesario que pueda identificar las variables involucradas, sustituir, despejar y encontrar el valor de la variable de interés. F) Comentarios al contexto y dominio del problema según el marco PISA. CLASIFICACION Contexto Científico: el problema proporciona una fórmula que fue encontrada para relacionar el diámetro de un liquen con su edad en años. Dominio Cantidad: se proporciona una fórmula para sustituir y despejar. G) Comentarios a los procesos matemáticos dominantes del problema según el marco PISA. Se marcan en amarillo las áreas dominantes: MACRO-PROCESOS PROCESOS Pensamiento y razonamiento Argumentación Comunicación, utilización de operaciones y lenguaje técnico (formal y simbólico). Construcción de modelos Planteamiento y solución de problemas Representación Uso de herramientas de apoyo. Reproducción Conexión Reflexión Este es un problema que se asemeja un poco más a lo que son los problemas típicos de un libro de texto. Una fórmula es dada y se substituyen números de diferentes maneras en la fórmula, se manipula

6 algorítmicamente y se obtiene un resultado. El alumno sólo tiene que reproducir las formas de pensamiento ya aprendidas de que una fórmula contiene variables que se deben tener valores numéricos para ellas, excepto una que es generalmente la pregunta. El alumno no participa en lo absoluto en la creación de un modelo matemático. La fórmula está dada y sólo tiene que reproducirla para calcular lo que se le pide. No hay nada por conectar, excepto el conocimiento procedimental que suponemos ya posee. La solución del problema es totalmente estándar, por ello es reproductiva. Una función es dada y hay procedimientos algebraico-aritméticos para manipular las variables de las mismas. H) Conexiones curriculares del reactivo PISA con el programa de la SEP. En el documento CurrMateSEPMaster obsérvense las siguientes conexiones curriculares. Para tener mayor detalle sobre los contenidos de cada conexión curricular véase Programa Mate SEP Sentido numérico y pensamiento algebraico Significado y uso de las operaciones Potenciación y radicación Resolver problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada y la potencia de exponente natural de números naturales y decimales Sentido numérico y pensamiento algebraico Significado y uso de las literales Ecuaciones Representar con literales los valores desconocidos de un problemas y usarlas para plantear y resolver un sistema de ecuaciones con coeficientes enteros Sentido numérico y pensamiento algebraico Significado y uso de las literales Ecuaciones Utilizar ecuaciones no lineales para modelar situaciones y resolverlas utilizando procedimientos personales u operaciones inversas Manejo de la información Representación de la información Gráficas Interpretar, construir y utilizar gráficas de relaciones funcionales no lineales para modelar diferentes situaciones o fenómenos.