Carlos González y Dulcinea Raboso 4 de Noviembre, 2017

Transcripción

1 Carlos Gozález y Dulciea Raboso 4 de Noviembre, 207 Combiatoria Problema Cuátas formas hay de elegir u capitá y u capitá suplete e u equipo de fútbol de dieciocho compoetes? Problema 2 Llamamos palabra a cualquier secuecia fiita de letras, tega o o tega setido. Cuátas palabras diferetes de cuatro letras distitas se puede formar co las letras,, C y D? Y si las letras o tiee que ser distitas? Problema 3 a) Cuátas palabras diferetes se puede formar reordeado las letras de las siguietes palabras? VECTOR VERDD CRVN MM b) Cuátas palabras diferetes se puede formar reordeado las letras de CMINOS co la codició de que las vocales debe estar jutas? Problema 4 E u toreo de ajedrez participa 7 persoas y cada participate debe jugar cotra todos los demás ua sola partida. Cuátas partidas distitas se va a disputar? Problema 5 U cierto alfabeto costa de sólo tres símbolos: α, β y γ. Cada palabra está formada por ua secuecia arbitraria de o más de cuatro letras. Cuátas palabras se puede formar e este leguaje? Problema 6 De cuátas maeras se puede distribuir 0 caicas idéticas etre 6 iños? Y si las caicas so todas ellas de distito color? Problema 7 Cuátas diagoales tiee u polígoo covexo de vértices? Problema 8 De cuátas formas se puede setar los 0 caballeros alrededor de la mesa redoda?

2 Estalmat. Combiatoria 2 Problema 9 Se debe elegir u grupo de 5 miembros de u grupo formado por 2 chicas y 0 chicos. De cuátas maeras se puede realizar la elecció si o puede haber más de 3 chicos e el grupo? Problema 0 a) De cuátas formas diferetes se puede dividir u grupo de 5 persoas e tres grupos de 5 persoas cada uo? b) De cuátas formas se puede elegir dos grupos de 5 persoas cada uo de etre 5 persoas? Propiedad Prueba que = k k Propiedad 2 Prueba que = + k k Triágulo de Pascal para cualquier valor de k etre y. k El triágulo de Pascal está formado por casillas que va etiquetadas co dos parámetros, y k. El primero etiqueta las filas, empezado e = 0, y el segudo marca las diagoales izquierdas empezado e k = 0. Los valores e los bordes del triágulo (primera diagoal izquierda y derecha) so siempre, y las casillas iteriores se rellea sumado los valores de los dos imediatamete superiores. = 0 = = 2 = 3 = 4 = 5 = 6 k = 0 2 k = 3 3 k = k = k = k = 5 k =

3 Estalmat. Combiatoria 3 Problema 3 E u determiado tramo de escalera hay siete escaloes y para bajarlo podemos saltar u úmero cualquiera de escaloes, icluso los siete. De cuátas formas diferetes podemos bajar el tramo de escalera? y si cosideramos todos los escaloes de la escalera? Problema 4 Prueba que se puede elegir u úmero impar de elemetos de u cojuto de elemetos de 2 formas diferetes. Propiedad 5 Demuestra que ( ) = 0 Problema 6 E la figura puedes ver el mapa de ua ciudad. Todas sus calles so de setido úico, de modo que sólo se puede ir hacia el este y hacia el orte. a) Todos los camios de hasta tiee la misma logitud? b) Cuátas formas diferetes hay de ir desde hasta? c) Y si además fijamos que debemos pasar por el puto C? C d) Cómo podemos geeralizar estos argumetos a ciudades co 2 mazaas? e) Cuátas formas diferetes hay de ir desde hasta, pasado por cada uo de los putos co ua estrella? partir de esto puedes deducir ua ecuació que tiee que cumplir los úmeros biomiales? Propiedad 7 Prueba que cada úmero del triágulo de Pascal es igual a la suma de los úmeros de su diagoal aterior derecha comezado desde el primero de la izquierda hasta el que se ecuetra e la misma diagoal izquierda que él. Prueba lo mismo co las diagoales izquierdas.

4 Estalmat. Combiatoria Diagoal aterior derecha Diagoal aterior izquierda Propiedad 8 Prueba que cada úmero del triágulo de Pascal dismiuido e ua uidad es igual a la suma de todos los úmeros compredidos por el paralelogramo limitado por los lados del triágulo y por las diagoales a las que perteece el úmero, si icluir los úmeros de las diagoales Problema 9 E ua ciudad de tamaño, co calles de setido úico como e el Problema 6, la zoa por ecima de la diagoal que ue co está cosiderada como altamete peligrosa. Cosideramos los camios que coecta el vértice co el. Decimos que u camio es malo si e algú mometo de la ruta atraviesa la diagoal que ue co (icluso e el primer movimieto), e caso cotrario decimos que es bueo. Es decir, u camio es bueo si o pasa por la zoa peligrosa. Cuátos camios malos hay? y camios bueos? Los tres primeros so camios malos, el último es bueo

5 Estalmat. Combiatoria 5 Variacioes de elemetos tomados de k e k. (k ) Variacioes co repetició de elemetos tomados de k e k. Permutacioes de m elemetos. Permutacioes circulares de elemetos. * Importa el orde pero o tiee pricipio i fial. Permutació co repetició de elemetos. * = a + a a k El elemeto j-ésimo se repite a j veces. Combiacioes de elemetos tomados de k e k. V,k = ( ) ( k + ) =! ( k)! elemetos lista de logitud k elemetos lista de logitud k elemetos lista de logitud V R,k = k P = V, =! P C = ( )! (si repetir) (importa el orde) (se puede repetir) (importa el orde) (si repetir) (importa el orde) elemetos (si repetir) lista de logitud (importa el orde ) P R a,...,a k = ( a,...,a k ) =! a!...a k! elemetos (se puede repetir ) lista de logitud (importa el orde) C,k = k =! ( k)! k!,,, V,k = C,k P k cojuto de tamaño k (o importa el orde) elemetos (si repetir) Combiacioes co repetició de elemetos tomados de k e k. CR,k = ( +k ) k = (+k )! ( )! k! elemetos cojuto de tamaño k (se puede repetir) (o importa el orde)