Resumen de Transformaciones Isométricas. Traslaciones

Transcripción

1 Resumen de Transformaciones Isométricas Una transformación es un procedimiento geométrico o movimiento que produce cambios en una figura. La palabra isometría proviene del griego y significa igual medida (iso: igual o mismo, metría: medida). Una transformación isométrica es una transformación de una figura en otra congruente llamada imagen. Entre las transformaciones isométricas están las Traslaciones, las rotaciones o giros y las reflexiones o simetrías (Central y Axial). Coordenadas de un vector: Una forma de denotar un vector es mediante un par ordenado. Ubicación de un punto P(a, b) en el Plano Cartesiano: Coordenada Signo Desplazamiento a en el eje x positivo derecha a en el eje x negativo izquierda b en el eje y positivo arriba b en el eje y negativo abajo Las coordenadas de un vector indican su posición respecto al origen del sistema de coordenadas, es decir, se grafica partiendo del origen del sistema. Un vector de traslación ( ) indica que el objeto se debe trasladar 3 unidades a la derecha y 9 unidades hacia arriba. El vector ( ) indica que el objeto se debe trasladar 2 unidades a la izquierda y 5 unidades hacia abajo. Traslaciones Una traslación de una figura es una transformación isométrica que mueve cada punto de la figura de acuerdo a un vector dado. Si tenemos un punto en el plano cartesiano ( ) y le aplicamos la traslación ( ); el punto resultante será ( ). Se sugiere hacer el dibujo en cada uno de los ejemplos 1.- Al punto ( ) le aplicamos la traslación ( ), el punto A queda en: 2.- Dado el triángulo ABC cuyos vértices son: A (2, 2); B (4, 2) y C (3, 4) se le aplica la traslación T (7, 4), se obtiene el triángulo A B C de vértices A (9, 6); B (11, 6) y C (10, 8). 3.- Dado el triángulo ABC cuyos vértices son: A (1, 1); B (2,4) y C (5,3) se le aplica la traslación T (-2,-1), se obtiene el triángulo A B C de vértices A (-1, 0); B (0, 3) y C (3, 2). Observaciones: 1) Una figura conserva todas sus dimensiones, tanto lineales como angulares 2) Una figura no cambia su posición respecto de la horizontal. 3) No importa el número de traslaciones que se realicen, siempre es posible resumirlas en una sola traslación. 1

2 ROTACIONES Una rotación es una transformación que asocia a cada punto del plano una imagen de acuerdo a un punto llamado centro de rotación y a un ángulo que podemos llamar ángulo de giro. Si la rotación se realiza en sentido contrario a como giran las manecillas del reloj, se dice que la rotación es positiva o antihorario. Si la rotación se realiza en sentido de las manecillas del reloj, se dice que la rotación es negativa u horaria. Observaciones: Si la rotación es positiva con centro y ángulo de giro, se representa por ( ). Si la rotación es negativa con centro y ángulo de giro, se representa por ( ) Rotación con centro en el origen Rotación Punto inicial Positiva o antihorario (+) ( ) 1) Si se rota el punto ( ) en 90 respecto del origen del sistema de coordenadas, se obtiene su imagen ( ). 2) Si se rota el punto ( ) en 270 en sentido antihorario en torno al origen del sistema de coordenadas, se obtiene su imagen ( ). 3) Al rotar el triángulo cuyos vértices son ( ); ( ); ( ) en 180 en sentido positivo, respecto al origen, se obtienen las siguientes imágenes de sus vértices: ( ); ( ); ( ) Rotación con centro en el origen Punto Rotación inicial Negativa u ( ) horaria ( - ) 1) Si se rota el punto ( ) en -90 en torno al origen del sistema de coordenadas, se obtiene su imagen ( ). 2) Dado el punto ( ), su imagen, rotada en 180 en sentido horario, respecto del origen del sistema de coordenadas, es el punto ( ). 2

3 3) Un segmento con extremos en los puntos ( ) y ( ) es rotado con centro en el punto ( ) en un ángulo de Las coordenadas de su imagen son: ( ) y ( ). Si la rotación no es con centro en el origen, se debe trasladar el origen del sistema de coordenadas al nuevo origen dado, y proceder a rotar la figura con centro en el origen. 1) Si rotamos el punto ( ) en 90 en torno al punto de coordenadas ( ), se obtiene su imagen ( ). 2) Si rotamos el punto ( ) en -90 en torno al punto de coordenadas ( ), se obtiene su imagen ( ). 3) Dado el triángulo, cuyos vértices son ( ), si se rota el triángulo en 180 en torno al punto de coordenadas ( ), se obtiene el triángulo, cuyas coordenadas son ( ). Simetrías Las simetrías o reflexiones, son transformaciones isométricas, en las cuales se invierten los puntos y figuras del plano. Estas simetrías o reflexiones pueden ser respecto de un punto (simetría central) o bien respecto de una recta (simetría axial). Simetría Central Una simetría central es una transformación en la cual a cada punto de una figura se le asocia otro punto, llamado imagen, que cumple con las siguientes condiciones: 1) El punto y su imagen están a igual distancia de un punto dado, llamado centro de simetría (o). : 2) El segmento que une un punto con su imagen contiene al centro de simetría. En la figura el pescado es la imagen del pescado con respecto al centro de simetría O 3

4 Simetría central en el plano Cartesiano 1) Todo punto ( ) del plano cartesiano tiene su simétrico ( ) con respecto al origen ( ). Punto Simétrico con respecto al origen ( ) 2) Una simetría central respecto de un punto equivale a una rotación en 180 de centro. 3) Los trazos de la figura original son paralelos con los trazos homólogos de la figura transformada. // // // 1) Sea el punto ( ), su imagen respecto del origen del sistema cartesiano es ( ). 2) Dado el punto ( ), su simétrico con respecto al origen ( ) es ( ). 3) Sea el punto ( ), su imagen, respecto del punto ( ), es el punto ( ). 4

5 Simetría Axial Una simetría axial es una transformación en la cual a cada punto de una figura se le asocia otro punto, llamado imagen, de modo que: x 1) El punto y su imagen están a igual distancia de una recta dada, llamada eje de simetría ( ). 2) El segmento que une un punto con su imagen es perpendicular al eje de simetría. : eje de simetría El triángulo del triángulo eje de simetría. es la imagen con respecto al G E F Simetría Axial en el plano Cartesiano 1. Si a un punto ( ) se le aplica una simetría axial o reflexión con respecto al eje X, las coordenadas de su imagen serán ( ). Punto Simétrico respecto al eje X 2. Si a un punto ( ) se le aplica una simetría axial o reflexión con respecto al eje Y, las coordenadas de su imagen serán ( ). Punto Simétrico respecto al eje Y Composición de Isometrías Una composición de transformaciones Isométricas es la aplicación sucesiva de transformaciones Isométricas sobre una misma figura. 5