Monto de una anualidad anticipada a interés simple

Transcripción

1 1 13. ANUALIDADES ANTICIPADAS Los compromisos de pagos o solamete se efectúa al fial de los periodos, sio tambié a iicio de cada periodo, tal es el caso de los alquileres de terreos, edificios, oficias, pago de pesioes de eseñaza, que por lo geeral se paga por adelatado y otros de acuerdo a lo coveido etre las partes e cada operació de orde comercial o fiaciero. Ua aualidad aticipada, es ua sucesió de pagos o retas que se efectúa o vece a pricipio de cada período; y se le cooce tambié co el ombre de aualidad adelatada, de pricipio de período o de imposició. Las aualidades aticipadas empieza e el periodo cero y termia al iicio del último periodo, de maera que todas las retas percibe itereses calculados a iterés simple, hasta el térmio del horizote temporal Moto de ua aualidad aticipada a iterés simple La estructura de la fórmula del moto de ua aualidad aticipada, es la misma que la de ua aualidad ordiaria, difereciádose úicamete por la expresió de ( + 1) e vez de ( 1), e cosecuecia para deducir la fórmula procedemos e forma similar a la ordiaria. Para deducir la formula, partimos de u problema supuesto como el siguiete: Dado ua serie de pagos iguales R, al iicio de cada periodo cuál será el moto acumulado e periodos de tiempo a ua tasa de iterés i?. Ilustraremos el problema plateado utilizado la escala de tiempo. Fig R R R R R R R R? Del gráfico se deduce que S, será la suma de los motos de cada uo de los pagos e forma idividual ya que los periodos de tiempo so diferetes para cada uo, y esto lo expresamos de la siguiete maera: Nº Reta Iterés 1ra. R + R. i. da. R + R. i. ( 1) 3ra. R + R. i. ( ) ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ava. R + R. i. Uiversidad Católica Los Ágeles / Sistema bleded learig

2 El moto es la suma de todos los depósitos o pagos más sus correspodietes itereses: Si los itereses lo ordeamos a maera de ua progresió aritmética teemos: R. + R. i R +. R. i R +.. R. R +.. R. +.. R. [. +. ( 1)... R + Cuado la tasa de iterés está dado e u periodo mayor al periodo de pago la fórmula es afectada por m. [. m. +. ( 1). R. + m Ejemplo Qué moto se habrá acumulado e ua cueta de ahorros, e u periodo de 6 meses, si a iicio de cada mes se deposita S/1,000 a ua tasa de iterés simple del 3% mesual?. [ (6 1) 6 x1, ,630 Ejemplos 13.. Hoy se apertura ua cueta e u baco co S/1500 y se cotiúa depositado cada 3 meses durate u año. Cuáto se habrá acumulado durate el periodo a ua tasa de iterés simple de 18% aual? [ x (4 1) 4x 1,500 + x4 6, Valor actual de ua aualidad aticipada a iterés simple Cosiste e calcular el valor actual o presete P, de ua serie uiforme de pagos aticipados, durate u determiado úmero de períodos de tiempo y a ua determiada tasa de iterés simple. Uiversidad Católica Los Ágeles / Sistema bleded learig

3 3 Tomamos como fecha focal el período cero para el proceso de actualizació;. de maera que el valor obteido, es el equivalete a la suma de todos los pagos actualizados idividualmete. Esto lo graficamos e la siguiete escala de tiempo.. Fig. 13.? R R R R R R R R I I I I I I.... I I I Para obteer ua fórmula que os permita actualizar ua serie de pagos futuros partimos de la fórmula del moto e forma similar a ua aualidad ordiaria a iterés simple. [ ( ) R + i 1 El primer miembro de la ecuació está costituido por el moto o valor futuro de u capital y este lo remplazamos por su equivalete P(1+: P (1+ = R[ + i( +1) Despejamos P que represeta al valor actual y obteemos la fórmula buscada R[ + i ( 1+ Cuado la tasa de iterés está dada, e u periodo mayor al periodo e el que se efectúa los depósitos o pagos, e la fórmula iterviee el elemeto m. R[ m + i. ( m + Podemos observar que las fórmulas so similares a las ordiaria variado úicamete la expresió (1) por (+1). Ejemplos 13.3 U local comercial es alquilado por u año, co pagos aticipados de S/.1, 500 mesuales. El propietario del imueble solicita se le cacele el total a la firma del cotrato, si la tasa de iterés es del % mesual, cuál será el valor a pagar? Uiversidad Católica Los Ágeles / Sistema bleded learig

4 4 1x1,500[ + 0.0( 1 + 1) ( x1. ) 39, ,403.3 Ejemplo 13.4 Las codicioes de veta de u equipo electróico so las siguietes: S/.600 al efectuar la compra y 11 cuotas mesuales más de S/.600 cada uo, si la tasa de iterés simple es del 4% aual. Cuál será su precio al cotado?. 1x600[ x ( 1 + 1).1 ( + 0.4x1) 195, , Reta de ua aualidad aticipada a iterés simple Es el pago que por cualquier cocepto se realiza periódicamete, e este caso a iicio de cada periodo y esta se preseta de dos maeras segú el caso, e fució al moto o e fució al valor actual Reta aticipada e fució del moto Cosiste e determiar el valor de la reta aticipada por periodo, que os permita formar u moto después de haber realizado varios depósitos y capitalizados a ua determiada tasa de iterés simple. Partiedo de la fórmula del moto de ua aualidad aticipada despejamos R. [ ( ) R + i +1 S [ + Al igual que e las aualidades ordiarias hacemos uso de ua seguda fórmula, cuado la tasa de iterés está dada, e u periodo mayor al periodo e el que se efectúa los depósitos o pagos.. Uiversidad Católica Los Ágeles / Sistema bleded learig

5 5 ms [ m + Las fórmulas obteidas os permite calcular el valor de la cuota o reta aticipada cuado se cooce el moto, la tasa de iterés y el úmero de pagos. Ejemplo 13.5 Se desea saber el valor de la cuota aticipada trimestral ecesaria, para acumular S/ e 8 etregas y a ua tasa del 4% de iterés simple aual. x4x30,750 8 [ x ( 8+ 1) 46, ,000 Ejemplo Se requiere determiar el importe de la cuota uiforme trimestral aticipada, que e el plazo de u año y 6 meses acumule u moto de S/.8,00, si los depósitos devega u iterés del 5% trimestral. x8, , [ (6 + 1) 4, Reta aticipada e fució del valor actual Cosiste e determiar el valor de la reta periódica aticipada, que permita recuperar ua iversió o liquidar ua deuda dada ua tasa de iterés simple y u determiado periodo de tiempo. E este caso despejamos R de la fórmula del valor actual. R[ + i ( 1+ R [ + i( + 1 = P ( 1+ P( 1+ [ + E el caso que se requiera aplicamos la fórmula: Uiversidad Católica Los Ágeles / Sistema bleded learig

6 6 P( m + [ m + Ejemplos 13.7 Ua persoa ivierte e u egocio, u capital de S/.64,000 y espera recuperar dicha iversió e u periodo de 3 años. Cuál deberá ser el redimieto trimestral, si la tasa de gaacia se estima e el 6% trimestral?. x64,000( x1) 1[ ( 1 + 1) 0, ,599.5 Ejemplo 13.8 Se obtiee u préstamo bacario de S/.50,000 para cacelarse e u periodo de 3 años y 6 meses, co gagos aticipados trimestrales. Calcular el valor de cada pago si el baco cobra el 5% de iterés simple aual. x50,000. ( x14) 14[ x ( ) 750, , Tasa de iterés de ua aualidad aticipada a iterés simple. La tasa de iterés es uo de los elemetos de mayor importacia, que le da setido a las operacioes fiacieras. El tema cosiste e determiar la tasa de iterés simple a la que se ha colocado ua serie de depósitos o pagos aticipados y se preseta dos casos, e fució del moto y e fució del valor actual. Cuado se cooce el moto de ua aualidad aticipada, el úmero de cuotas y el valor de la cuota, estamos e el primer caso. Cuado se cooce el valor actual de ua serie da pagos aticipados, el úmero de cuotas y el valor de cada cuota, estamos e el segudo caso Tasa de ua aualidad aticipada e fució del moto. Para calcular la tasa, la i lo despejamos de la fórmula del moto de ua aualidad aticipada, de la siguiete maera: Uiversidad Católica Los Ágeles / Sistema bleded learig

7 7 R [ + i( + 1) + i ( 1) = S R i ( + 1) = S R S R( + 1) + 1 El proceso es el mismo que es el mismo que e las aualidades ordiarias co la diferecia de haber isertado el sigo ( + ) e la fórmula, de maera que cudo el problema pide calcular la tasa e la misma uidad de tiempo que el periodo de cada pago. (Ejemplo se pide calcular la tasa mesual cuado los pagos tambié so mesuales), utilizamos la primera fórmula y;. Cuado se tiee que calcular la tasa e ua uidad de tiempo mayor al periodo de cada pago isertamos el elemeto m. (Ejemplo se pide calcular la tasa aual cuado los pagos so mesuales). ms R( + 1) m + 1 Ejemplo Calcular la tasa mesual de iterés simple a la que estuviero colocados 10 depósitos mesuales aticipados de S/.1,800 cada uo para capitalizar S/.0,870. x0,870 10x1,800(10 + 1) , , % mesual Ejemplo Calcular la tasa trimestral de iterés simple, a la que se colocaro ua serie de depósitos aticipados de S/.,000 mesuales, durate dos años, para formar u moto de S/.6,000 x1x6,000 x1 4x,000(4 + 1) Uiversidad Católica Los Ágeles / Sistema bleded learig

8 8 1'488,000 1'00, % aual 7% Trimestral Otra forma de solucioar el problema para obteer directamete la tasa trimestral, es la siguiete: x3x6,000 4x,000(4 + 1) x ,000 1'00, % trimestral Tasa de ua aualidad aticipada e fució del valor actual. E este caso la tasa i, lo despejamos de la fórmula del valor actual de ua aualidad aticipada. R [ + i ( 1 + P (1 + i = R [ + i ( +1) P + Pi = R + Ri(+1) Pi Ri(+1) = R P i [ R P = (R P) ( R P) [ P R Uiversidad Católica Los Ágeles / Sistema bleded learig

9 9 La fórmula obteida os permite calcular la tasa de iterés simple, e la misma uidad de tiempo e la que está dada la cuota. Cuado se tiee que calcular la tasa de iterés e ua uidad de tiempo mayor al periodo de la R, aplicamos la siguiete fórmula: m( R P) [ P R Ejemplo El precio de cotado de u artefacto electrodoméstico es de S/.4,65 y se compra el crédito hoy, co ua cuota iicial de S/.500 y se suscribe 9 letras co vecimieto mesual de S/.500 cada ua. Si el fiaciamieto es a iterés simple, se requiere coocer el valor de la tasa mesual que se aplicó e esta operació comercial. 10 ( 10x500 4,65) [ x4,65 500( ) , % mesual Ejemplos 13.1 U comerciate deposita e ua etidad bacaria u capital de S/.8,500, dicha etidad le otorga u aticipo de S/.1,000 y coviee e liquidar la cueta co 9 cuotas bimestrales mas de S/.1,000 cada ua, Cuál será la tasa de iterés simple aual que otorga el baco? x6( 10x1,800 8,500) [ x8,500 1,000( ) 18,000 60, % aual Uiversidad Católica Los Ágeles / Sistema bleded learig