3.11 Intervalos de confianza basados en una población con distribución normal pero con muestras pequeñas

Transcripción

1 3. Intervalo de confianza baado en una población con ditribución normal pero con muetra pequeña Cuando n < 30 no e poible uar el teorema central del límite habría que hacer una upoición epecífica acerca de la forma de la ditribución (gamma, Weibull, etc) luego derivar un intervalo de confianza para ea ditribución en particular. En el preente curo no centraremo en el cao de ditribucione normale (que on la má comune en la medicione experimentale). Cuando n e pequeña, a no e tan probable que S ea cercana σ la variable aleatoria etandarizada Z preenta aleatoriedad en el numerador en el denominador. Eto implica que la ditribución de la variable etandarizada X µ Z S / etará má dipera que la ditribución normal etándar. Eta nueva ditribución e la familia de ditribucione t. Teorema: Cuando X e la media de una muetra aleatoria de tamaño n, de una ditribución normal con media µ, la variable aleatoria: T X µ S / tiene una ditribución de probabilidad llamada ditribución t-student con - grado de libertad. Una ditribución t-tudent etá regida por un olo parámetro llamado número de grado de libertad de la ditribución. Ete parámetro e repreenta con la letra griega ν puede tomar como valor lo entero poitivo. Cada valor diferente de ν correponde a una ditribución t diferente Si repreentamo con t v la curva función de denidad para ν (ν n-) grado de libertad, reulta que:. Cada curva t v tiene forma de campana con centro en 0.. Cada curva t v etá má dipera que la curva normal etándar 3. A medida que ν aumenta, la diperión de la curva t v correpondiente diminue. 4. A medida que ν, la ecuencia de la curva t v e aproxima a la curva normal etándar.

2 Figura 3.0: Curva t-tudent para diferente grado de libertad (ν 5, 5). La curva z repreenta la curva normal etándar El área bajo la curva de denidad t, con n- grado de libertad, entre t α/,n- t α/,n- e -α Área ombreada - α -t α/ 0 t α/ Figura 3.: Ditribución de probabilidad t. El área ombreada repreenta la probabilidad P(-t α/,n- < T < t α/,n- ) - α Eto implica que: x ± t α /, n e el intervalo de confianza aociado a la magnitud medida, con nivel de confianza de 00(- α)%. Ejemplo: Una agencia de protección ambiental hizo medicione de CL50 (concentración letal que mata al 50% de lo animale de experimentación) para cierto producto químico que e pueden encontrar en río lago. Para cierta epecie de pece, la medicione de CL50 para DDT en experimento arrojaron lo iguiente dato (expreado en parte por millón) Obtener un intervalo de confianza del 90 % x

3 90% ( α)% 0.9 α α 0. α / IC (90%) 9 ± ± Comparación de valore determinado experimentalmente para muetra pequeña. En ete cao el procedimiento de prueba e equivalente al eguido en la ección 3.0, pero en lugar de uar la variable etandarizada Z, e hace uo de la variable etandarizada T Hipótei nula: H o : µ µ o Hipótei alternativa: H a : µ µ o Etadítico de prueba: t x µ o x Que urge de coniderar que e ha trabajado con una muetra pequeña pero con ditribución normal. La región de rechazo correpondiente (do cola) reulta en ete cao: { t t o t t } α /, n α /, n para un nivel de ignificancia α. Aí para un nivel de ignificancia del 5%, α 0.05, α/ 0.05, i entonce e debe determinar t α/,n- tal que P(t > t α/,n- ) 0.05, reultando t α/,n { t.00 o.00} t De eta manera i el etadítico de prueba calculado con lo dato muetrale cae en la región de rechazo, e debe rechazar la hipótei nula a favor de la alternativa, concluir que nuetra medicione on inaceptable tratar de encontrar el origen de la dicrepancia.

4 Exiten otra do poible hipótei alternativa cua repectiva regione de rechazo con un nivel de ignificancia α on: Hipótei alternativa: H a : µ < µ o { t tα, n } Hipótei alternativa: H a : µ > µ o { t t } α, n Ejemplo: De una muetra de 0 lente para anteojo e determina que el groor promedio muetral e de 3.05 mm que la deviación etándar muetral e de 0.34 mm. Se deea que el groor promedio de la lente que e fabrican ea de 3.0 mm. Sugieren lo dato muetrale que el groor promedio de la lente e diferente al deeado? Pruebe con α 0.05 º: Etablecer la hipótei nula la hipótei alternativa adecuada Hipótei nula: H o : µ 3.0 mm Hipótei alternativa: H a : µ 3.0 mm º: Calcular el etadítico de prueba t x µ o x / 0 3º: Etablecer la región de rechazo para el nivel de ignificancia eleccionado. En ete cao α 0.05 por lo tanto { t t o t } 0.05,9 t 0.05,9 {.6.6} t o t Como el etadítico de prueba t. 395 no pertenece a la región de rechazo, no e rechaza la hipótei nula.

5 3.3 Covarianza Habíamo etablecido, in ninguna demotración, que cuando la variable on independiente aleatoria, la mejor etimación para la incertidumbre de un valor calculado q(x, x,.x n ) e la uma cuadrática: q x + x xn n También dijimo que a ea que la incertidumbre ean o no independiente aleatoria, q x + x xn n E iempre una cota uperior para la incertidumbre. Vamo a derivar ahora una incertidumbre para q que vale a ean o no independiente aleatoria la incertidumbre. Supongamo por implicidad que q q() que medimo x e mucha vece, obteniendo pare de dato (x i, i ). A partir de eta medida podemo calcular lo valore medio de x e u repectiva deviacione etándare, x. También podemo calcular valore de la cantidad de interé: ( ) q q x, i,..., i i i por lo tanto también e poible calcular q q. Suponiendo que toda la incertidumbre on pequeña que todo lo valore on próximo a u valore medio, podemo ecribir: Luego: q (, ) q x i i i (, ) ( i ) ( i ) q x + x x +

6 q n q i q( ) + ( xi x) + ( i ) n (, ) q x La deviación etándar aociada a q etá dada entonce por: n ( i ) q q q + n ( xi x) ( i ) + + n ( xi x) ( i ) ( xi x)( i ) La última uma recibe el nombre de covarianza etá definido de la iguiente manera: Con eta definición: ( )( ) x x x i i i q x + + x Eta expreión e válida a ea que la medida de x e ean o no independiente etén o no normalmente ditribuida. La covarianza atiface la deigualdad de Schwarz x x por lo tanto a partir de la última ecuación e obtiene:

7 q x + + x + x Por lo tanto: + q x Si aumimo que la deviación etándar q e una medida de la incertidumbre en q, entonce eta expreión garantiza que la mima nunca excederá el valor del lado derecho de la ecuación. Si q q(x,x,..x n ), la forma má general para la varianza de q e: q x x x x x x n n 3 + x... ix + j i j donde el ubindice j e iempre maor que el ubindice i