R 3 = { ( x, y, z ) / x R, y R, z R }
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- Ana María Torres Cárdenas
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1 El conjunto R 3 Es un conjunto de ternas ordenadas de números reales R 3 = { ( x, y, z ) / x R, y R, z R } Primera componente Segunda componente Tercera componente Igualdad de ternas: (x, y, z) = (x', y', z') x = x' y = y' z = z'
2 Operaciones en R 3 Suma en R 3 (suma de ternas) (x, y, z ) + (x', y', z') = (x + x', y + y', z + z') Es una operación interna en R 3. Con esta operación el conjunto verifica las propiedades: asociativa, conmutativa, tiene elemento neutro y opuesto Producto de un número real por una terna de R 3 a(x, y, z) = (ax, ay, az) Es una operación externa en R 3, sobre el cuerpo R Cumple las dos propiedades distributivas, la asociativa y de la unidad EL CONJUNTO DE LAS TERNAS DE R 3 SOBRE EL CUERPO R CON ESTAS OPERACIONES Y PROPIEDADES TIENE ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL (R 3, +, R)
3 Vectores fijos en el espacio Un vector fijo es un segmento de recta orientado. El primero de sus puntos recibe el nombre de origen, y el segundo, extremo. Cualquier punto A del espacio se considera como un vector fijo en el que coinciden origen y extremo. Todo vector fijo está caracterizado por su: Módulo: es la longitud del segmento. Dirección: determinada por la recta que contiene al segmento y todas sus paralelas. Sentido: para cada dirección hay dos sentidos posibles. El que corresponde al definido por el recorrido desde A hasta B y el definido por el recorrido desde B hasta A. AB extremo B B origen origen A A BA extremo Estos dos vectores tienen igual módulo, igual dirección y sentido contrario.
4 Vector libre Se dice que dos vectores fijos no nulos son equipolentes si y sólo si tienen igual módulo, igual dirección e igual sentido. Esta relación es de equivalencia y clasifica al conjunto de los vectores libres en clases de equivalencia llamadas VECTOR LIBRE. Todos los vectores nulos son equipolentes entre sí. Dado un vector fijo, el conjunto de todos los vectores equipolentes con él, se dice que forman un vector libre (todos tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido). El conjunto de los vectores libres del espacio se denomina V 3. C B El vector fijo AB es un representante del D A vector libre [ AB] = u El vector fijo CD es un representante del vector libre [ CD] = v
5 Suma de vectores libres En el conjunto V 3 de todos los vectores libres se define la suma de dos vectores de la siguiente manera: Se eligen dos representantes de manera que el origen del 2º coincida con el extremo del 1º y el vector suma se obtiene uniendo el origen del 1º con el extremo del 2º a b P a Q a + b b R
6 La suma de dos vectores: no depende del punto inicial a b P a Q a + b b R P' a Q' a + b b R' Los vectores PR y el P R son representantes del mismo vector libre con lo que tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido
7 Producto de un número por un vector libre En el conjunto V 3 de todos los vectores libres se define el producto de un número k 0 por un vector libre de la siguiente manera: Es un vector con la misma dirección, su módulo queda multiplicado por k. El sentido depende del signo de k k > 0: el módulo del vector queda multiplicado por k u k > 0 k. u El sentido permanece k < 0: el módulo del vector queda multiplicado por k El sentido cambia k < 0 k. u Si k = 0 ó u = 0 entonces k. u = 0
8 Espacio vectorial. Definición Decimos que el conjunto V ( no vacío) es un espacio vectorial sobre el cuerpo K si tiene definidas dos operaciones: Suma es una operación interna que verifica las propiedades, asociativa, elemento neutro, elemento simétrico y conmutativa, es decir, es un grupo conmutativo Producto por un escalar es una operación externa en la que se multiplica un escalar del cuerpo K por un vector de V y que verifica: 1) 1 v = v 2) λ (μ u) = (λ μ) u 3) (λ + μ) u = λ u + μ u 4) λ ( u + v) = λ u + λ v Entonces (V, +, K) es un espacio vectorial
9 Definición y Caracterización de subespacios Un subconjunto S de V se dice que es subespacio vectorial si es no vacío y es espacio vectorial con las operaciones inducidas de V Caracterización de los subespacios Un subconjunto S de V es subespacio vectorial si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones: a) u + v S u, v S b) λ u S λ R u S Un subconjunto S de V es subespacio vectorial si y sólo si se cumplen la siguiente condición: λ u + μ v S u, v S λ, μ R
10 Combinación lineal de vectores Un vector v de V 3 es combinación lineal de los vectores u 1, V 3 si puede expresarse así: u 2 y v = a 1 u 1 + a 2 u 2 +a 3 u 3 siendo a 1, a 2, a 3 números reales u 3 de
11 Dependencia e independencia de vectores Un conjunto de vectores u de V 3 1, u 2,..,u n son linealmente dependientes si al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás. u i =a 1 u 1 + +a i-1 u i-1 +a i+1 u i+1 +..a n u n Un conjunto de vectores dependientes si existen de manera : que: u 1, u 2,., u n a 1, a 2,., a n a 1 u 1 + a 2 u 2 + +a n u n = 0 de V 3 son linealmente no todos nulos Si un conjunto de vectores no es linealmente dependiente, se dice que es independiente
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15 Bases de V 3 El conjunto B = { u 1, u 2, u 3 } de V 3 forma una base ya que: Son linealmente independientes. Cualquier vector de V 3 se puede expresar como combinación lineal de ellos. Además:tres vectores u 1, u 2, u 3 no nulos y no coplanarios forman una base de V 3.
16 Coordenadas de un vector (x, y, z) son las coordenadas del vector v respecto de la base B = { u 1, u 2, u 3 } de V 3 si se verifica que: v = x u1 + y u 2 +z u 3 Las coordenadas de un vector respecto a una base son únicas. A cada vector v se le hace corresponder una única terna (x, y, z) y viceversa.
17 El vector obscuro (x, y) = (5, 7) puede expresarse como combinación lineal de dos pares de diferentes de vectores [(5 (1, 0) y 7 (0, 1)] azul; 3 [(-1, 1) y 4 (2, 1)] amarillo).
18 Producto escalar de dos vectores libres El producto escalar de dos vectores es un nº obtenido multiplicando el módulo del primer vector por el módulo del segundo vector por el coseno del ángulo que forman u. v = u. v cos 0 si u ó v son nulos ( u, v ) si u o v no son nulos v Interpretación geométrica el módulo del producto es el producto del módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él u' u, v v u, v v' u u u. v = u. v' u. v = v. u'
19 Ángulo de dos vectores Sea B = { i, j, k } una base ortonormal de V 3 y sean u = x i + y j + z k y v = x' i + y' j + z' k. v Obtenemos el coseno de los vectores despejándolo de la definición inicial. u, v cos ( u, v ) = u. v u. v = xx' + yy' + zz' x 2 + y 2 + z 2 x' 2 + y' 2 +z' 2 u
20 En física, cuando aplicamos una fuerza a un cuerpo y éste se mueve decimos que hacemos un trabajo. Sobre un suelo horizontal con un fuerza F trasladamos un peso de 100 kilos a una distancia d. El producto F.d da el valor del trabajo
21 Esto quiere decir que: Cuanto más fuerza tenemos que hacer, el trabajo será mayor. Cuanto mayor sea la distancia a la que hemos desplazado el cuerpo, mayor será el trabajo que hemos hecho. Entendemos como trabajo, en Física (mecánica), como el producto de una Fuerza por la Distancia que recorre un cuerpo al que le hemos aplicado la fuerza. La distancia que recorre es una magnitud vectorial porque tiene una medida módulo-, una dirección y un sentido. Lo mismo sucede con la fuerza que hacemos sobre el objeto. Tenemos que indicar de cuanto es el valor de la misma, su dirección y sentido, incluso podemos hablar de su punto de aplicación.
22 La fuerza la puedes aplicar en el mismo sentido que el desplazamiento. Tal como aparece en la última figura. Pero el ángulo que forma la fuerza con el desplazamiento puede variar entre un ángulo de 0º a 90º. En el primer caso, el ángulo entre F y d es de 0º. En el segundo caso, el ángulo entre F y d es de 22º. En el tercer caso, el ángulo entre F y d es de 90º.
23 Puede influir el ángulo en la cantidad de trabajo que tenemos que hacer? La respuesta es sí. Por qué? No es lo mismo hacer una fuerza en una dirección distinta a la del desplazamiento. El valor de la fuerza que actúa sobre el sólido en este caso, no tiene el mismo valor que si las direcciones de la fuerza y desplazamiento coincidieran. Cuando existe un ángulo entre F y d, tenemos que calcular la fuerza (f) que actúa en el sólido en la misma dirección que su desplazamiento:
24 Como f es el cateto contiguo, hallamos el coseno de 45º La verdadera fuerza que actúa sobre el sólido es f. Es la fuerza que tiene la misma dirección que el desplazamiento. La fórmula completa del trabajo será:
25 El coseno de 30ºvale >0, El coseno de 45º vale 0, El coseno de 70º vale 0, El coseno de 90º vale 0, Ves que a medida que aumenta el valor del ángulo, el valor de
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31 Una base B = { Algunas bases especiales u1, u2, u3 } de V 3 puede ser: Base normada Base ortogonal Base ortonormal u 2 u 2 u 2 u 1 u 1 3 u 3 u u 3 u 1 u1 u2 u3 1 u1u2 u1u3 u2u3 0 u1 u2 u3 1 u1u2 u1u3 u2u3 0
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34 Ángulo que tiene menos de 90 grados. es un ángulo que mide más de 90 pero menos de 180
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44 C AMBIO DE BASE, BASES ORTOGONALES DE GRAM - SCHMIDT
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