Origen de la Estadística. Ejercicio de estadística 13/05/2015. Víctor Cuchillac (papá) Definiciones de Estadística. Definiciones de Estadística

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1 13/05/2015 Origen de la Estadística Ejercicio de estadística Víctor Cuchillac (papá) En su origen, la estadística surge como una disciplina enfocada a conocer los recursos del Estado mediante su cuantificación, de ahí su nombre. Posteriormente con la diversificación de sus aplicaciones, se dio por llamar estadísticas a las tablas en las que se codifica la información, extendiéndose este nombre a la disciplina en general de recopilar, ordenar, analizar e interpretar información cuantitativa. Definiciones de Estadística Noreau de Jonneis (1847).- "La Estadística es la ciencia de los hechos sociales, expresados en términos numéricos". Romelín (1863).-"La Estadística describe las características de la sociedad humana a base de observaciones metodológicas y de enumeraciones de fenómenos similares". Definiciones de Estadística Arthur Bowley (1901).- "La Estadística es la ciencia de los promedios, la ciencia de los grandes números". Mason y Lind (1998).- Ciencia que trata de la recopilación, organización, presentación, análisis e interpretación de datos numéricos (Estadísticas) con el fin de realizar una toma de decisiones más efectiva 1

2 13/05/2015 Método Estadístico Identificación y definición del problema. Formulación de objetivos e hipótesis. Recopilación de la información. Organización y aplicación de las herramientas estadísticas. Análisis e interpretación. Conclusiones. Toma de decisiones. Descriptiva, estudia poblaciones totales que describe a través de medidas que la resumen llamadas parámetros: Medidas de tendencia central Medidas de Posición Medidas de dispersión Asimetría Kurtosis Inferencial, estudia una muestra de la población que analiza exhaustivamente, y a partir de ella infiere lo que sucede en la población a través de los estimadores de los parámetros (estadísticos) que la describen: Probabilidad Muestreo Estimación Pruebas de Hipótesis Población, se refiere a una totalidad, es decir, al conjunto de todos los elementos que la conforman, o, a todos los valores que puede tomar la variable en estudio Muestra, parte representativa de la población, o un subconjunto de ella VARIABLE Elemento de interés que puede tomar valores diferentes. Cuantitativa; es aquella cuyos valores se pueden expresar como cantidades numéricas Cualitativa; solo puede clasificarse pero no medirse, no proporciona información cuantificable, se refiere solamente a las características de la variable 2

3 13/05/2015 Discretas, solo pueden asumir ciertos valores que se caracterizan por ser enteros, finitos y positivos VARIABLES CUANTITATIVAS Continuas, pueden asumir cualquier valor dentro de un cierto intervalo, caracterizándose porque pueden ser decimales e infinitas EJEMPLOS DE VARIABLES CONTINUAS Precio de una acción en una muestra de varios días. Peso de cajas de fruta empacadas para su exportación. Velocidad de un automóvil en ciertos tramos de una carretera. El tiempo de duración de 5,000 lámparas incandescentes. DISCRETAS Número de autos vendidos en un mes por una agencia. Número de cuadernos utilizados al semestre por un estudiante. Número de puntos anotados en un juego de baloncesto. Número de personas que asisten cada semana a los servicios religiosos de cierto templo. EJEMPLOS DE VARIABLES CONTINUAS Precio de una acción en una muestra de varios días. Peso de cajas de fruta empacadas para su exportación. Velocidad de un automóvil en ciertos tramos de una carretera. El tiempo de duración de 5,000 lámparas incandescentes. DISCRETAS Número de autos vendidos en un mes por una agencia. Número de cuadernos utilizados al semestre por un estudiante. Número de puntos anotados en un juego de baloncesto. Número de personas que asisten cada semana a los servicios religiosos de cierto templo. SERIES DE TIEMPO: Aquellas cuya información muestra un orden cronológico o una evolución temporal de la variable. VARIABLES CUANTITATIVAS SERIES DE CORTE TRANSVERSAL: Aquellas cuya información se toma en un mismo momento del tiempo entre diferentes miembros de una población o lugares. 3

4 13/05/2015 SERIE ESTADÍSTICA Serie Simple SERIE SIMPLE Conjunto de datos ordenados que miden los cambios en una variable, ya sea de manera cronológica o transversal SERIE DE CLASES Y FRECUENCIAS O DE DATOS AGRUPADOS SERIE DE FRECUENCIAS Como su nombre lo indica, es la más sencilla, y se define como: Conjunto de datos ordenados de manera ascendente o descendente, que miden las variaciones de un fenómeno o variable Serie o CONJUNTO DE DATOS ORDENADOS QUE MIDEN LOS CAMBIOS EN UN FENÓMENO O VARIABLE, RELACIONÁNDOLOS O PONDERÁNDOLOS CON SU FRECUENCIA Frecuencia, es el número de veces que un término o valor que adopta una variable se repite o existe en una serie estadística; se representa como y ó f. SERIE DE CLASES Y FRECUENCIAS CONJUNTO DE DATOS ORDENADOS, AGRUPADOS EN SUBCONJUNTOS QUE MIDEN LOS CAMBIOS DEL FENÓMENO O VARIABLE Y RELACIONÁNDOLOS CON SU FRECUENCIA Clase, es un subconjunto de algunas observaciones de la variable, cercanos unos a otros, de acuerdo con sus características. Intervalo de clases, es el rango de valores encontrados dentro de una clase. 4

5 13/05/2015 Intervalo de Clase 1. Buscamos el valor más pequeño o el primer valor en una serie ordenada previamente (frontera inferior) y el valor más grande (frontera superior). 2. Calculamos el rango o recorrido de la serie (Rango = F. Sup. F. Inf.). 3. Dividimos el rango entre el número de clases que se desea tener. EJEMPLO: Los siguientes datos se refieren a la duración en horas de 40 focos tomados por el departamento de control de calidad de su fábrica Intervalo de clase = Rango Número de clases que se desean Serie Simple n xi n xi n xi n xi SERIE O DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS xi y y ac y rel. % /40= /40= /40= /40= /40= /40= /40= /40= /40= SUMA 40 40/40=

6 13/05/2015 Qué tienen en común estos objetivos? El valor de la característica de interés cambia de individuo a individuo (la inflación, el número de glóbulos rojos, la puntuación en matemáticas, la evaluación a los profesores de cursos en el área de las matemáticas, el clima organizacional, el nivel de desempeño laboral). A estas características les llamaremos variables. Se representan con letras mayúsculas, y los valores que toma con letras minúsculas X = Número de estudiantes que llegan tarde x=0, 1, 2,, 15 El individuo puede ser una persona, un país, un producto de la línea de producción, etc. Dato: Es el valor de la variable observado en un individuo Ejemplo de variable: temperatura en Monterrey en un día de Enero 0 C, 17 C representan dos datos diferentes. Estadística inferencial (se apoya en la probabilidad) Ramas de la Estadística La estadística es la rama de la investigación científica que proporciona métodos para organizar y resumir información y usar ésta para obtener diversas conclusiones Estadística descriptiva Estadística Descriptiva Cuál es la finalidad de un gráfico? Estadística Descriptiva Distribuciones de s (tabulación de datos) Histograma Representaciones gráficas Medidas descriptivas Tendencia central Dispersión Diagrama de pastel Diagrama de barras 23 Por medio de un gráfico se puede visualizar el comportamiento de un conjunto de datos. Un gráfico habla más que mil palabras. Dependiendo si la variable es cualitativa ó cuantitativa, se selecciona el tipo de gráfico. 24 6

7 13/05/2015 Qué información brinda una tabla de s? Para qué tipos de variables, cualitativas ó cuantitativas, se puede usar una tabla de s? Qué es absoluta?, Qué es relativa? Qué es Acumulada? Para la siguiente tabla, distingue qué tipo de variable es el nivel educativo. Qué proporción de individuos tiene al menos estudios de preparatoria? Nivel Educativo Número de casos ( absoluta) Frecuencia Relativa Número ACUMULADO de casos ( ACUMULADA) Frecuencia Relativa ACUMULADA Primaria o menos Secundaria Preparatoria Profesional o postgrado Total El objetivo de un histograma es resumir la información de una variable cuantitativa. Pasos: Se secciona la información en clases ó intervalos Se cuenta el número de datos en cada clase. Esta se llama Se puede calcular la relativa Se grafica un histograma, teniendo como eje x las clases, como eje y las s ó s relativas. En cada clase se dibuja un rectángulo que tiene como altura su ó relativa. Histograma Sesgo a la derecha 26 Proceso para construir un histograma 1. Ordenar los datos 2. Obtener el Rango: Max-Min 3. Definer el número de clases. n. clases 3. Definir la amplitud de clase 4. Generar la tabla de n Frecuencia 5. Dibujar el histograma n Max Min Amplitud Hemoglobina Dato (gr/cm 3 ) Paso 1. Determine la cantidad de datos (n) n=

8 13/05/2015 Hemoglobina Hemoglobina Hemoglobina Hemoglobina Dato (gr/cm 3 ) (ordenados) Paso 2. Ordene los datos de menor a mayor Dato (gr/cm 3 ) (ordenados) Paso 3. Identifique el Valor Mayor (V M ) y el Valor menor (V m ) V M =18.5 V m = Representación Gráfica Se establecen los límites entre los que se encuentran todos los datos de la muestra. V m = 6.2 V M =18.5 Hemoglobina Hemoglobina Dato (gr/cm 3 ) (ordenados) Paso 4. Obtenga el Rango (R) R = V M - V m R = R =

9 13/05/2015 Representación Gráfica Se obtiene la distancia que hay entre el límite inferior y el límite superior. V m = 6.2 V M =18.5 R= V M V m R= R= 12.3 Dato Hemoglobina (gr/cm 3 ) Hemoglobina (ordenados) Paso 5. Obtenga el número aproximado de intervalos (k) k = sqrt(n) Tenemos que n=20 por lo tanto Redondeando k = sqrt(20) k = 4.47 k 5 Representación Gráfica Se divide la sección que tenemos entre el número de grupos (clases) que se obtuvo con la fórmula (5 grupos) R = Dato Hemoglobina Paso 5. Obtenga la longitud de cada intervalo (W) R W k Dado que R = 12.3 y k W

10 13/05/2015 Representación Gráfica Se calcula el ancho que debe tener cada grupo (clase) R= Dato Hemoglobina Paso 6. Construya los 5 intervalos con una longitud de Corchetes [ ]: Se [6.2,8.66) incluye el valor en [8.66,11.12) el Intervalo [11.12,13.58) Paréntesis (): No se Incluye el valor [13.58,16.04) en el Intervalo [16.04,18.5] Representación Gráfica Se establecen los valores que separan un grupo (clase) de otro R=12.3 Dato Hemoglobina Paso 7. Identifique y cuente los datos que caen dentro de cada Intervalo. Intervalo Datos f i [6.2,8.66) 6.2,8.2 2 [8.66,11.12) 9.1,9.3,10.1,10.6, [11.12,13.58) 11.6,11.9,11.9,12.9,13 5 [13.58,16.04) 14.1,14.4,14.7,15, [16.04,18.5] 16.7,16.9, f i : Frecuencia Absoluta 10

11 13/05/2015 De esta manera se obtiene la distribución de Frecuencia Absolutas Intervalo [6.2,8.66) 2 [8.66,11.12) 5 [11.12,13.58) 5 [13.58,16.04) 5 [16.04,18.5] 3 Total 20 f i Representación Gráfica A esta gráfica se le conoce como histograma de s absolutas. Frecuencia Niveles de Hemoglobina en la Sangre (gr/cm 3 ) f i : Frecuencia Absoluta Para obtener las relativas (h i ) divida cada absoluta entre el Total Intervalo f i h i [6.2,8.66) 2 2/ [8.66,11.12) 5 5/ [11.12,13.58) 5 5/ [13.58,16.04) 5 5/ [16.04,18.5] 3 3/ Total 20 20/20 1 Representación Gráfica Cuando se grafican las s relativas se conoce como histograma de s relativas y se representan en porcentajes. Frecuencia Relativa (%) Niveles de Hemoglobina en la Sangre (gr/cm 3 ) f i : Frecuencia Absoluta 11

12 13/05/2015 La absoluta acumulada (fa i ) y la relativa acumulada (ha i ) es la suma de las s anteriores Intervalo f i fa i h i ha i [6.2,8.66) [8.66,11.12) [11.12,13.58) [13.58,16.04) [16.04,18.5] Total 20 1 Representación Gráfica Cuando se grafican las s absolutas acumuladas se conoce como histograma de s absolutas acumuladas Frecuencia Absoluta Acumulada Niveles de Hemoglobina en la Sangre (gr/cm 3 ) Completa los espacios en blanco en la siguiente tabla de s. La variable de estudios son los años de escolaridad de los adultos de cierta colonia. acumulada relativa relativa acumulada 0-6 años % 7-9 años 38.5% años 72.5% años 97.0% años 100.0% Total % Solución: acumulada relativa relativa acumulada 0-6 años % 10.7% 7-9 años % 38.5% años % 72.5% años % 97.0% años % 100.0% Total %

13 13/05/2015 Medidas de centralización Asociadas a ideas como: valor esperado, representante de los datos, punto de equilibrio. Media aritmética Moda Mediana También llamadas medidas de localización. x x n x Media aritmética Se representa por x y se calcula sumando todos los datos y dividiéndolos entre el total de ellos. N Ejemplo, para muestra para población n o 2,2, 3, 3, 4, 5, 5, 7 su media es 31/8 = x o Media aritmética N número de datos x dato suma El Vaticano tiene un promedio de dos Papas por kilómetro cuadrado. Ejemplos, Mediana Valor de los datos que ocupa la posición central cuando los datos se ordenan según su tamaño. 2,2, 3, 3, 4, 5, 5, 7 su mediana es 3 ó 4, o bien 3.5 si tiene sentido, según el tipo de datos. A, A, A, A, B, B, B, C, C, C, C, D, D, D, F Su mediana es C Mediana Muestral: se obtiene al ordenar primeramente las n observaciones de menor a mayor, (incluyendo valores repetidos). Entonces: Si n es impar = (n + 1)/2 valor ordenado Si n es par = promedio de (n/2)ésimo y valores ordenados Ejemplo salarios en dolares Moda: Es el valor que más se repite en conjunto de datos (n/2 + 1)ésimo 7 datos 7 datos Mediana 13

14 13/05/2015 Moda Qué es una distribución simétrica? Ejemplo, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 7 en este caso es bimodal (hay dos modas) y son 3 y 5. A, A, A, A, A, B, B, B, C, C, C, C, D, D, D, F La moda es A Una distribución simétrica es la que se puede dividir en dos partes iguales. En estas distribuciones el valor de la media, mediana y moda son iguales. Distribución Normal Cómo es una distribución sesgada hacia la derecha ó con sesgo positivo? Características: Simetría alrededor de Forma de campana La mayoría de los datos se encuentran a una distancia de tres desviaciones estándar de la media. En este caso, la media es mayor que la mediana. La mediana divide a un conjunto de datos en dos. Pero en este caso, el 50% de los datos menores a la mediana están más concentrados y el 50% de los datos mayor a ella, están más alejados entre sí. 14

15 13/05/2015 Cómo es una distribución sesgada hacia la izquierda ó con sesgo negativo? Medidas de dispersión Asociadas a ideas como: variación, dispersión entre los datos, distancia de los datos respecto a una medida de centralización, En este caso, la media es menor que la mediana. La mediana divide a un conjunto de datos en dos. Pero en este caso, el 50% de los datos menores a la mediana están más alejados entre sí y el 50% de los datos mayor a ella, están más concentrados. Rango Varianza Desviación estándar Medidas de Dispersión También se conocen como medidas de variabilidad. Las medidas de tendencia central pueden no ser suficientes para describir totalmente un conjunto de datos. Estas 3 muestras son idénticas en su media y su mediana, Cuál es la diferencia? Qué se puede hacer para describir mejor cada muestra? 1: 2: 3: Rango Es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos. Rango R = Max Min Ejemplo De los datos 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 7 El rango es R=7 2 =

16 13/05/2015 Varianza Desviación estándar muestra Población muestra Población 2 2 ( x x) s n 1 s 2 = varianza x = dato x = media aritmética de la muestra n = tamaño de la muestra ( x ) 2 N 2 = varianza x = dato = media aritmética de la población n = tamaño de la población 2 s ( x x) n 1 s = desv. Estándar x = dato x = media aritmética de la muestra n = tamaño de la muestra 2 ( x ) N = desv. estándar x = dato = media aritmética de la población n = tamaño de la población 2 Ejercicio: 1. Determina el rango, la varianza y la desviación estándar para los siguientes datos: R = Rango 5; Varianza y Desviación Estándar Determina el rango, la varianza y la desviación estándar para los siguientes datos: R = Rango 5; Varianza y Desviación Estándar Determina el rango, la varianza y la desviación estándar para los siguientes datos: R = Rango 15; Varianza y Desviación Estándar Indica si las siguientes expresiones son siempre verdaderas (V) o no necesariamente verdaderas (F): 1. La mitad de los datos están por debajo de la media. 2. Cuando hay dos valores que se repiten más que los demás se dice que la moda no existe. 3. La mediana es el dato que se presenta en un 50% de las veces. 4. Al comparar dos grupos de datos del mismo tipo de medición, el grupo que tiene menor varianza es el que tiene una mayor concentración de datos cerca de su media. 5. En un tabla de s, la suma de las s relativas es La media y la mediana son medidas de tendencia central e indican la ubicación (locación) central de los datos

17 13/05/2015 Indica si las siguientes expresiones son siempre verdaderas (V) o no necesariamente verdaderas (F): 7. Si la media aritmética de un grupo de n datos es positiva, entonces los n datos son no-negativos. 8. La varianza de cualquier base de datos debe ser no negativa. 9. La desviación estándar entre los datos: 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, es mayor a cero. (Sin realizar cálculos). 10. El rango no puede tomar valores negativos

18 Origen de la Estadística Ejercicio de estadística Víctor Cuchillac (papá) En su origen, la estadística surge como una disciplina enfocada a conocer los recursos del Estado mediante su cuantificación, de ahí su nombre. Posteriormente con la diversificación de sus aplicaciones, se dio por llamar estadísticas a las tablas en las que se codifica la información, extendiéndose este nombre a la disciplina en general de recopilar, ordenar, analizar e interpretar información cuantitativa. Definiciones de Estadística Noreau de Jonneis (1847).- "La Estadística es la ciencia de los hechos sociales, expresados en términos numéricos". Romelín (1863).-"La Estadística describe las características de la sociedad humana a base de observaciones metodológicas y de enumeraciones de fenómenos similares". Definiciones de Estadística Arthur Bowley (1901).- "La Estadística es la ciencia de los promedios, la ciencia de los grandes números". Mason y Lind (1998).- Ciencia que trata de la recopilación, organización, presentación, análisis e interpretación de datos numéricos (Estadísticas) con el fin de realizar una toma de decisiones más efectiva

19 Método Estadístico Identificación y definición del problema. Formulación de objetivos e hipótesis. Recopilación de la información. Organización y aplicación de las herramientas estadísticas. Análisis e interpretación. Conclusiones. Toma de decisiones. Descriptiva, estudia poblaciones totales que describe a través de medidas que la resumen llamadas parámetros: Medidas de tendencia central Medidas de Posición Medidas de dispersión Asimetría Kurtosis Inferencial, estudia una muestra de la población que analiza exhaustivamente, y a partir de ella infiere lo que sucede en la población a través de los estimadores de los parámetros (estadísticos) que la describen: Probabilidad Muestreo Estimación Pruebas de Hipótesis Población, se refiere a una totalidad, es decir, al conjunto de todos los elementos que la conforman, o, a todos los valores que puede tomar la variable en estudio Muestra, parte representativa de la población, o un subconjunto de ella VARIABLE Elemento de interés que puede tomar valores diferentes. Cuantitativa; es aquella cuyos valores se pueden expresar como cantidades numéricas Cualitativa; solo puede clasificarse pero no medirse, no proporciona información cuantificable, se refiere solamente a las características de la variable

20 Discretas, solo pueden asumir ciertos valores que se caracterizan por ser enteros, finitos y positivos VARIABLES CUANTITATIVAS Continuas, pueden asumir cualquier valor dentro de un cierto intervalo, caracterizándose porque pueden ser decimales e infinitas EJEMPLOS DE VARIABLES CONTINUAS Precio de una acción en una muestra de varios días. Peso de cajas de fruta empacadas para su exportación. Velocidad de un automóvil en ciertos tramos de una carretera. El tiempo de duración de 5,000 lámparas incandescentes. DISCRETAS Número de autos vendidos en un mes por una agencia. Número de cuadernos utilizados al semestre por un estudiante. Número de puntos anotados en un juego de baloncesto. Número de personas que asisten cada semana a los servicios religiosos de cierto templo. EJEMPLOS DE VARIABLES CONTINUAS Precio de una acción en una muestra de varios días. Peso de cajas de fruta empacadas para su exportación. Velocidad de un automóvil en ciertos tramos de una carretera. El tiempo de duración de 5,000 lámparas incandescentes. DISCRETAS Número de autos vendidos en un mes por una agencia. Número de cuadernos utilizados al semestre por un estudiante. Número de puntos anotados en un juego de baloncesto. Número de personas que asisten cada semana a los servicios religiosos de cierto templo. SERIES DE CORTE TRANSVERSAL: SERIES DE TIEMPO: Aquellas cuya información se toma en un mismo momento del tiempo entre diferentes miembros de una población o lugares. Aquellas cuya información muestra un orden cronológico o una evolución temporal de la variable. VARIABLES CUANTITATIVAS

21 SERIE ESTADÍSTICA Serie Simple SERIE SIMPLE Conjunto de datos ordenados que miden los cambios en una variable, ya sea de manera cronológica o transversal SERIE DE CLASES Y FRECUENCIAS O DE DATOS AGRUPADOS SERIE DE FRECUENCIAS Como su nombre lo indica, es la más sencilla, y se define como: Conjunto de datos ordenados de manera ascendente o descendente, que miden las variaciones de un fenómeno o variable Serie o CONJUNTO DE DATOS ORDENADOS QUE MIDEN LOS CAMBIOS EN UN FENÓMENO O VARIABLE, RELACIONÁNDOLOS O PONDERÁNDOLOS CON SU FRECUENCIA Frecuencia, es el número de veces que un término o valor que adopta una variable se repite o existe en una serie estadística; se representa como y ó f. SERIE DE CLASES Y FRECUENCIAS CONJUNTO DE DATOS ORDENADOS, AGRUPADOS EN SUBCONJUNTOS QUE MIDEN LOS CAMBIOS DEL FENÓMENO O VARIABLE Y RELACIONÁNDOLOS CON SU FRECUENCIA Clase, es un subconjunto de algunas observaciones de la variable, cercanos unos a otros, de acuerdo con sus características. Intervalo de clases, es el rango de valores encontrados dentro de una clase.

22 Intervalo de Clase 1. Buscamos el valor más pequeño o el primer valor en una serie ordenada previamente (frontera inferior) y el valor más grande (frontera superior). 2. Calculamos el rango o recorrido de la serie (Rango = F. Sup. F. Inf.). 3. Dividimos el rango entre el número de clases que se desea tener. Ejemplo: Los siguientes datos se refieren a la duración en horas de 40 focos tomados por el departamento de control de calidad de su fábrica Intervalo de clase = Rango Número de clases que se desean Serie Simple n xi n xi n xi n xi SERIE O DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS xi y y ac y rel. % /40= /40= /40= /40= /40= /40= /40= /40= /40= SUMA 40 40/40=

23 Qué tienen en común estos objetivos? El valor de la característica de interés cambia de individuo a individuo (la inflación, el número de glóbulos rojos, la puntuación en matemáticas, la evaluación a los profesores de cursos en el área de las matemáticas, el clima organizacional, el nivel de desempeño laboral). A estas características les llamaremos variables. Se representan con letras mayúsculas, y los valores que toma con letras minúsculas X = Número de estudiantes que llegan tarde x=0, 1, 2,, 15 El individuo puede ser una persona, un país, un producto de la línea de producción, etc. Dato: Es el valor de la variable observado en un individuo Ejemplo de variable: temperatura en Monterrey en un día de Enero 0 C, 17 C representan dos datos diferentes. Estadística inferencial (se apoya en la probabilidad) Ramas de la Estadística La estadística es la rama de la investigación científica que proporciona métodos para organizar y resumir información y usar ésta para obtener diversas conclusiones Estadística descriptiva Estadística Descriptiva Cuál es la finalidad de un gráfico? Estadística Descriptiva Distribuciones de s (tabulación de datos) Histograma Representaciones gráficas Medidas descriptivas Tendencia central Dispersión Diagrama de pastel Diagrama de barras 23 Por medio de un gráfico se puede visualizar el comportamiento de un conjunto de datos. Un gráfico habla más que mil palabras. Dependiendo si la variable es cualitativa ó cuantitativa, se selecciona el tipo de gráfico. 24

24 Qué información brinda una tabla de s? Para qué tipos de variables, cualitativas ó cuantitativas, se puede usar una tabla de s? Qué es absoluta?, Qué es relativa? Qué es Acumulada? Para la siguiente tabla, distingue qué tipo de variable es el nivel educativo. Qué proporción de individuos tiene al menos estudios de preparatoria? Nivel Educativo Número de casos ( absoluta) Frecuencia Relativa Número ACUMULADO de casos ( ACUMULADA) Frecuencia Relativa ACUMULADA Primaria o menos Secundaria Preparatoria Profesional o postgrado Total El objetivo de un histograma es resumir la información de una variable cuantitativa. Pasos: Se secciona la información en clases ó intervalos Se cuenta el número de datos en cada clase. Esta se llama Se puede calcular la relativa Se grafica un histograma, teniendo como eje x las clases, como eje y las s ó s relativas. En cada clase se dibuja un rectángulo que tiene como altura su ó relativa. Histograma Sesgo a la derecha 26 Proceso para construir un histograma 1. Ordenar los datos 2. Obtener el Rango: Max-Min 3. Definer el número de clases. n. clases 3. Definir la amplitud de clase 4. Generar la tabla de Frecuencia 5. Dibujar el histograma n Max Min Amplitud n 27 Dato Hemoglobina (gr/cm 3 ) Paso 1. Determine la cantidad de datos (n) n=20

25 Dato Hemoglobina (gr/cm 3 ) Hemoglobina (ordenados) Paso 2. Ordene los datos de menor a mayor Dato Hemoglobina (gr/cm 3 ) Hemoglobina (ordenados) Paso 3. Identifique el Valor Mayor (V M ) y el Valor menor (V m ) V M =18.5 V m = Representación Gráfica Se establecen los límites entre los que se encuentran todos los datos de la muestra. V m = 6.2 V M =18.5 Dato Hemoglobina (gr/cm 3 ) Hemoglobina (ordenados) Paso 4. Obtenga el Rango (R) R = V M - V m R = R = 12.3

26 Representación Gráfica Se obtiene la distancia que hay entre el límite inferior y el límite superior. V m = 6.2 V M =18.5 R= V M V m R= R= 12.3 Dato Hemoglobina (gr/cm 3 ) Hemoglobina (ordenados) Paso 5. Obtenga el número aproximado de intervalos (k) k = sqrt(n) Tenemos que n=20 por lo tanto Redondeando k = sqrt(20) k = 4.47 k 5 Representación Gráfica Se divide la sección que tenemos entre el número de grupos (clases) que se obtuvo con la fórmula (5 grupos) R = Dato Hemoglobina Paso 5. Obtenga la longitud de cada intervalo (W) R W k Dado que R = 12.3 y k W

27 Representación Gráfica Se calcula el ancho que debe tener cada grupo (clase) R= Dato Hemoglobina Paso 6. Construya los 5 intervalos con una longitud de Corchetes [ ]: Se [6.2,8.66) incluye el valor en [8.66,11.12) el Intervalo [11.12,13.58) Paréntesis (): No se Incluye el valor [13.58,16.04) en el Intervalo [16.04,18.5] Representación Gráfica Se establecen los valores que separan un grupo (clase) de otro R=12.3 Dato Hemoglobina Paso 7. Identifique y cuente los datos que caen dentro de cada Intervalo. Intervalo Datos f i [6.2,8.66) 6.2,8.2 2 [8.66,11.12) 9.1,9.3,10.1,10.6, [11.12,13.58) 11.6,11.9,11.9,12.9,13 5 [13.58,16.04) 14.1,14.4,14.7,15, [16.04,18.5] 16.7,16.9, f i : Frecuencia Absoluta

28 De esta manera se obtiene la distribución de Frecuencia Absolutas Intervalo [6.2,8.66) 2 [8.66,11.12) 5 [11.12,13.58) 5 [13.58,16.04) 5 [16.04,18.5] 3 Total 20 f i Representación Gráfica A esta gráfica se le conoce como histograma de s absolutas. Frecuencia Niveles de Hemoglobina en la Sangre (gr/cm 3 ) f i : Frecuencia Absoluta Para obtener las relativas (h i ) divida cada absoluta entre el Total Intervalo f i h i [6.2,8.66) 2 2/ [8.66,11.12) 5 5/ [11.12,13.58) 5 5/ [13.58,16.04) 5 5/ [16.04,18.5] 3 3/ Total 20 20/20 1 Representación Gráfica Cuando se grafican las s relativas se conoce como histograma de s relativas y se representan en porcentajes. Frecuencia Relativa (%) Niveles de Hemoglobina en la Sangre (gr/cm 3 ) f i : Frecuencia Absoluta

29 La absoluta acumulada (fa i ) y la relativa acumulada (ha i ) es la suma de las s anteriores Intervalo f i fa i h i ha i [6.2,8.66) [8.66,11.12) [11.12,13.58) [13.58,16.04) [16.04,18.5] Total 20 1 Representación Gráfica Cuando se grafican las s absolutas acumuladas se conoce como histograma de s absolutas acumuladas Frecuencia Absoluta Acumulada Niveles de Hemoglobina en la Sangre (gr/cm 3 ) Completa los espacios en blanco en la siguiente tabla de s. La variable de estudios son los años de escolaridad de los adultos de cierta colonia. acumulada relativa relativa acumulada 0-6 años % 7-9 años 38.5% años 72.5% años 97.0% años 100.0% Total % Solución: acumulada relativa relativa acumulada 0-6 años % 10.7% 7-9 años % 38.5% años % 72.5% años % 97.0% años % 100.0% Total % -- 48

30 Medidas de centralización Asociadas a ideas como: valor esperado, representante de los datos, punto de equilibrio. Media aritmética Moda Mediana También llamadas medidas de localización. x x n x N Media aritmética Se representa por x y se calcula sumando todos los datos y dividiéndolos entre el total de ellos. Ejemplo, para muestra para población 2,2, 3, 3, 4, 5, 5, 7 su media es 31/8 = x n o Media aritmética o N número de datos x dato suma El Vaticano tiene un promedio de dos Papas por kilómetro cuadrado. Ejemplos, Mediana Valor de los datos que ocupa la posición central cuando los datos se ordenan según su tamaño. 2,2, 3, 3, 4, 5, 5, 7 su mediana es 3 ó 4, o bien 3.5 si tiene sentido, según el tipo de datos. A, A, A, A, B, B, B, C, C, C, C, D, D, D, F Su mediana es C Mediana Muestral: se obtiene al ordenar primeramente las n observaciones de menor a mayor, (incluyendo valores repetidos). Entonces: Si n es impar = (n + 1)/2 valor ordenado Si n es par = promedio de (n/2)ésimo y valores ordenados Ejemplo salarios en dolares Moda: Es el valor que más se repite en conjunto de datos (n/2 + 1)ésimo 7 datos 7 datos Mediana

31 Moda Qué es una distribución simétrica? Ejemplo, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 7 en este caso es bimodal (hay dos modas) y son 3 y 5. A, A, A, A, A, B, B, B, C, C, C, C, D, D, D, F La moda es A Una distribución simétrica es la que se puede dividir en dos partes iguales. En estas distribuciones el valor de la media, mediana y moda son iguales. Distribución Normal Cómo es una distribución sesgada hacia la derecha ó con sesgo positivo? Características: Simetría alrededor de Forma de campana La mayoría de los datos se encuentran a una distancia de tres desviaciones estándar de la media. En este caso, la media es mayor que la mediana. La mediana divide a un conjunto de datos en dos. Pero en este caso, el 50% de los datos menores a la mediana están más concentrados y el 50% de los datos mayor a ella, están más alejados entre sí.

32 Cómo es una distribución sesgada hacia la izquierda ó con sesgo negativo? Medidas de dispersión Asociadas a ideas como: variación, dispersión entre los datos, distancia de los datos respecto a una medida de centralización, En este caso, la media es menor que la mediana. La mediana divide a un conjunto de datos en dos. Pero en este caso, el 50% de los datos menores a la mediana están más alejados entre sí y el 50% de los datos mayor a ella, están más concentrados. Rango Varianza Desviación estándar Medidas de Dispersión También se conocen como medidas de variabilidad. Las medidas de tendencia central pueden no ser suficientes para describir totalmente un conjunto de datos. Estas 3 muestras son idénticas en su media y su mediana, Cuál es la diferencia? Qué se puede hacer para describir mejor cada muestra? 1: 2: 3: Rango Es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos. Rango R = Max Min Ejemplo De los datos 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 7 El rango es R=7 2 =

33 Varianza Desviación estándar muestra Población muestra Población s 2 ( ) x x n 1 s 2 = varianza x = dato x = media aritmética de la muestra n = tamaño de la muestra 2 2 ( x ) N 2 = varianza x = dato = media aritmética de la población n = tamaño de la población 2 s ( x x) n 1 s = desv. Estándar x = dato x = media aritmética de la muestra n = tamaño de la muestra 2 ( x ) N = desv. estándar x = dato = media aritmética de la población n = tamaño de la población 2 Ejercicio: 1. Determina el rango, la varianza y la desviación estándar para los siguientes datos: R = Rango 5; Varianza y Desviación Estándar Determina el rango, la varianza y la desviación estándar para los siguientes datos: R = Rango 5; Varianza y Desviación Estándar Determina el rango, la varianza y la desviación estándar para los siguientes datos: R = Rango 15; Varianza y Desviación Estándar Indica si las siguientes expresiones son siempre verdaderas (V) o no necesariamente verdaderas (F): 1. La mitad de los datos están por debajo de la media. 2. Cuando hay dos valores que se repiten más que los demás se dice que la moda no existe. 3. La mediana es el dato que se presenta en un 50% de las veces. 4. Al comparar dos grupos de datos del mismo tipo de medición, el grupo que tiene menor varianza es el que tiene una mayor concentración de datos cerca de su media. 5. En un tabla de s, la suma de las s relativas es La media y la mediana son medidas de tendencia central e indican la ubicación (locación) central de los datos

34 Indica si las siguientes expresiones son siempre verdaderas (V) o no necesariamente verdaderas (F): 7. Si la media aritmética de un grupo de n datos es positiva, entonces los n datos son no-negativos. 8. La varianza de cualquier base de datos debe ser no negativa. 9. La desviación estándar entre los datos: 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, es mayor a cero. (Sin realizar cálculos). 10. El rango no puede tomar valores negativos. 65